facultad de ciencias exactas y naturales semillero de matemáticas

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS
Y NATURALES
GRADO 6
TALLER 7
SEMILLERO DE MATEMÁTICAS
SEMESTRE II
POTENCIACIÓN DE ENTEROS
RESEÑA HISTÓRICA
Pierre Fermat
Cuando comenzamos a comparar los números
elevados a diversas potencias, desde 2 hasta n, se
puede caer en la tentación de buscar la misma
relación que existe en el Teorema de Pitágoras:
a2 + b2 = c2 para las demás potencias, es decir,
hallar tres números tales que la suma de los dos
primeros elevados a una determinada potencia
tenga por resultado el tercero elevado a esta
potencia, por ejemplo: a3 + b3 = c3 o en general:
an + bn = cn pues bien, ya en el siglo XII el
matemático árabe Al-Jayyam había comprobado
que no existía ninguna solución para la potencia 3,
en el conjunto de los enteros. Y, posteriormente, el
gran matemático Pierre Fermat a mediados del
siglo XVII formuló su famosa conjetura en la que
afirmaba que an + bn = cn (para n > 2) no tenía
solución, en el conjunto de los números enteros. La
cual fue demostrado a finales de 1.994 por el
matemático británico Andrew Wiles
 OBJETIVO GENERAL
Entender el concepto de potenciación de números enteros.
 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Aplicar las propiedades de la potenciación de enteros a la solución de problemas en diversos
contextos.
 PALABRAS CLAVES
Número entero, potencia, base, exponente.
 DESARROLLO TEÓRICO
POTENCIACIÓN
La potenciación o exponenciación es una multiplicación de varios factores iguales, al igual
que la multiplicación es una suma de varios sumandos iguales.
En la nomenclatura de la potenciación se diferencian dos partes, la base y el exponente, que
se escribe en forma de superíndice. El exponente determina la cantidad de veces que la
base se multiplica por sí misma:
24 = 2·2·2·2 = 16
Una de las definiciones de la potenciación, por recursión, es la siguiente:
𝑥1 = 𝑥
𝑥 𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑥 𝑎−1
PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN
Potencia de potencia.
La potencia de una potencia de base a es igual a la base a, y el exponente es igual a la
multiplicación de los exponentes.
(𝑎𝑛 )𝑚 = 𝑎𝑛×𝑚
Multiplicación de potencias de igual base.
La multiplicación de dos o más potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y
exponente igual a la suma de los exponentes.
𝑎𝑛 × 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚
División de potencias de igual base.
La división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente
igual a la resta de los exponentes respectivos.
𝑎3
= 𝑎3−2
𝑎2
Propiedad distributiva
La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división, pero no lo es
con respecto a la suma ni a la resta.
(𝑎 × 𝑏)𝑚 = 𝑎𝑚 × 𝑏 𝑚
(𝑎/𝑏)𝑚 = 𝑎𝑚 /𝑏 𝑚
(𝑎 − 𝑏)𝑚 ≠ 𝑎𝑚 − 𝑏 𝑚
(𝑎 + 𝑏)𝑚 ≠ 𝑎𝑚 + 𝑏 𝑚
Propiedad conmutativa
La propiedad conmutativa no se cumple para la potenciación, exceptuando aquellos casos en
que base y exponente son el mismo número / la misma cifra o equivalentes.
𝑎𝑏 ≠ 𝑏𝑎
En general:
En particular:
𝑎𝑏 = 𝑏𝑎 𝑠𝑖 𝑎 = 𝑏
Propiedad asociativa
La propiedad asociativa se cumple para la potenciación.
Potencia de exponente 0
Toda potencia de exponente 0 y base distinta de 0 es igual a 1.
𝑎0 = 1 Si se cumple que 𝑎 ≠ 0
Potencia de exponente 1
Toda potencia de base a y exponente 1 es igual a.
𝑎1 = 𝑎
Potencia de base 10
Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como unidades posee
el exponente.
102 = 100
103 = 1000
104 = 10000
Potencia de exponente negativo
En toda potencia de exponente negativo se invierte la razón para obtener un exponente
positivo.
(𝑎/𝑏)−𝑚 = (𝑏/𝑎)𝑚
Actividad
1. Aplica las propiedades de la potenciación.
1
a.
(-2)0
2
1
1
+     =
2 
 2
b. (-0,5)-6+(0,25)-3 + (0,125)-2=
c. 23 + 62- 63· 23 – (-2)3 =
d. 30 – 3-1 + 3-2– 3 –3 =
e.
9 0  9 1  (9) 3

9 2  (9) 2  (9) 2
f. (-0,3)-1 +(-0,2)-3 =
x 3 y  y 3 x
g.

(xy) 2
3   2   3  2  2
2  3   3  2   2  3
2 2
h.
2 5
3 2
5
2
2 2
7
7
3

i. (2 x-1+ 3 y-1)-1 =
2. En cada caso selecciona la respuesta correcta
25-24+23-22+21 =
a.
b.
c.
d.
e.
8
16
22
32
26
3. Si n es un número natural, entonces, la expresión (-1)n·(-1)n+1 + 1-n·1-n+1 =
a.
b.
c.
d.
e.
–2
–1
0
1
4
La expresión (23n)2m es equivalente a:
I.
II.
III.
(22n)3m
(22m)3n
(2mn)6
4. De éstas afirmaciones, es(son) verdadera(s):
a.
b.
c.
d.
e.
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo I y II
Todas.
5. Al simplificar la expresión
a.
b.
c.
d.
e.
(2a 2 ) x  (4a x ) 2
resulta:
16a x  (2a) x
a2x
a-x
a3x
ax
1
Actividad
Buscar “regularidades” consiste en tratar de averiguar, dados los primeros elementos
De una secuencia, cuál es la regla de formación y así poder dar los siguientes elementos de
la secuencia.
1. Sin calcular, sino fijándote en alguna regularidad al multiplicar sucesivamente por 2,
descubre cuál es la última cifra de 229.
2. Observa la siguiente secuencia:
23 - 2 = 1 · 2 · 3
33 - 3 = 2 · 3 · 4
43 - 4 = 3 · 4 · 5
53 - 5 = 4 · 5 · 6
a. Escribe las 3 regularidades que siguen a continuación.
b. Ocupando la secuencia anterior, ¿cuánto es 123 – 12?
3. Completar la tabla siguiente:
Un número termina en:
Su cuadrado termina en:
Su cubo termina en:
Su cuarta potencia termina
en:
Su quinta termina en:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4. Observa la tabla y responde:
a. Ricardo dice que calculó el cuadrado de un número y que termina en 3. ¿Es posible?,
¿Por qué?
b. ¿En qué número termina 1434?
c.
¿El número 4.252 puede ser el cuadrado de un número entero?, ¿por qué?
d. ¿El número 4.52 puede ser el cubo de un número entero?. Si contesta NO, diga
porqué. Si contesta SÍ, haga una “estimación” de cuál sería el número y compruebe.
e. 205.379 es el cubo de un número X. ¿cuál debe ser la cifra de las unidades de X?
f. Un número natural y su cubo terminan en la misma cifra. ¿Cuáles son los posibles
valores de la última cifra?
g. ¿Qué observas respecto a la quinta potencia de un número cualquiera?
Actividad
El piso de una habitación cuadrada se quiere cubrir con baldosas cuadradas, de las cuales
se muestra una hilera en la figura 1. ¿Cuántas baldosas se necesitarán en total?
 PEQUEÑOS RETOS
1. Paulina y Matías practican un juego que consiste en que cada uno escribe un número
de cuatro cifras con los dígitos del 1 al 9 (las cifras pueden repetirse) y cada uno trata
de adivinar el número del otro, dándose pistas. Luego de jugar varias veces, deciden
que el número será solo con los dígitos impares para que sea más fácil adivinarlo.
¿Cuántos números distintos puede escribir cada participante con las condiciones que
acordaron?
¿Cuántos números distintos podían escribir inicialmente?
2. Alejandro, Bernardo, Carlos, Daniel y Edgardo tratan de adivinar la fecha de
cumpleaños de Luisa.
 Alejandro dice que su cumpleaños es el sábado 4 de marzo.
 Bernardo dice que la fecha es el domingo 4 de marzo.
 Carlos dice que ambos están equivocados y que el cumpleaños es el domingo
5 de abril.
 Daniel dice que la fecha es el sábado 5 de abril.
 Edgardo dice que Luisa cumple el sábado 5 de marzo.
 Luisa les dice a todos que cada uno adivinó alguna parte de la fecha correcta
(día de la semana, mes, número) pero sólo uno acertó la fecha exacta en la que
ella cumple años.
¿Quién acertó?
3. Una jaula está dividida en 10 celdas. En la jaula está sentado un canguro que puede
saltar hacia la izquierda o a la derecha sobre dos celdas (ej. desde la celda 5 a la 8) o
sobre 3 celdas (ej. Desde la celda 10 a la 6).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
¿Cuál es el menor número de movimientos necesarios para mover al canguro desde
la celda 6 a la 8?
a.
b.
c.
d.
e.
4
6
5
8
3
4. En una carrera participaron 32 niños. Cada niño tiene un número para la carrera del 1
al 32. Se considera un número “de suerte” si es múltiplo de 3 o 5 pero no si es
múltiplo de ambos al mismo tiempo. ¿Cuántos niños tendrán números de suerte?
a.
b.
c.
d.
e.
16
14
12
10
8