Movimiento Ondulatorio

Movimiento Ondulatorio
El movimiento ondulatorio es la propagación de una onda por un medio material o
en el vacío. Sin que exista la transferencia de materia ya que sea por ondas
mecánicas o electromagnéticas.
Una onda es una perturbación de alguna propiedad de un medio (densidad, presión,
campo eléctrico, campo magnético). La onda transporta energía. Y así todo tipo de
onda se adquiere más fácil ya sea haciendo una ecuación o sustituyendo la
respuesta más rápidamente.
Clasificación de las ondas:
En función del medio en el que se propagan
Tipos de ondas y algunos ejemplos.

Ondas mecánicas: las ondas mecánicas necesitan un medio elástico
(sólido, líquido o gaseoso) para propagarse. Las partículas del medio oscilan
alrededor de un punto fijo, por lo que no existe transporte neto de materia a
través del medio. Como en el caso de una alfombra o un látigo cuyo extremo se
sacude, la alfombra no se desplaza, sin embargo una onda se propaga a través
de ella. La velocidad puede ser afectada por algunas características del medio
como: la homogeneidad, la elasticidad, la densidad y la temperatura. Dentro de
las ondas mecánicas tenemos las ondas elásticas, las ondas sonoras y
las ondas de gravedad.
 Ondas electromagnéticas: las ondas electromagnéticas se propagan por
el espacio sin necesidad de un medio, por lo tanto puede propagarse en el vacío.
Esto es debido a que las ondas electromagnéticas son producidas por las
oscilaciones de un campo eléctrico, en relación con un campo magnético
asociado. Las ondas electromagnéticas viajan aproximadamente a una
velocidad de 300nbsp;000 km por segundo, de acuerdo a la velocidad puede ser
agrupado en rango de frecuencia. Este ordenamiento es conocido como
Espectro Electromagnético, objeto que mide la frecuencia de las ondas.
 Ondas gravitacionales: las ondas gravitacionales son perturbaciones que alteran
la geometría misma del espacio-tiempo y aunque es común representarlas
viajando en el vacío, técnicamente no podemos afirmar que se desplacen por
ningún espacio, sino que en sí mismas son alteraciones del espacio-tiempo.
En función de su dirección:

Ondas unidimensionales: las ondas unidimensionales son aquellas que se
propagan a lo largo de una sola dimensión del espacio, como las ondas en los


muelles o en las cuerdas. Si la onda se propaga en una dirección única, sus
frentes de onda son planos y paralelos.
Ondas bidimensionales o superficiales: son ondas que se propagan en dos
dimensiones. Pueden propagarse, en cualquiera de las direcciones de una
superficie, por ello, se denominan también ondas superficiales. Un ejemplo son
las ondas que se producen en una superficie líquida en reposo cuando, por
ejemplo, se deja caer una piedra en ella.
Ondas tridimensionales o esféricas: son ondas que se propagan en tres
dimensiones. Las ondas tridimensionales se conocen también como ondas
esféricas, porque sus frentes de ondas son esferas concéntricas que salen de
la fuente de perturbación expandiéndose en todas direcciones. El sonido es una
onda tridimensional. Son ondas tridimensionales las ondas sonoras (mecánicas)
y las ondas electromagnéticas.
En función del movimiento de sus partículas:


Ondas longitudinales: son aquellas que se caracterizan porque las partículas del
medio se mueven o vibran paralelamente a la dirección de propagación de la
onda. Por ejemplo, un muelle que se comprime da lugar a una onda longitudinal.
Ondas transversales: son aquellas que se caracterizan porque las partículas del
medio vibran perpendicularmente a la dirección de propagación de la onda. Por
ejemplo, las olas en el agua o las ondulaciones que se propagan por una cuerda.
En función de su prioridad:


Ondas periódicas: la perturbación local que las origina se produce en ciclos
repetitivos por ejemplo una onda senoidal.
Ondas no periódicas: la perturbación que las origina se da aisladamente o, en
el caso de que se repita, las perturbaciones sucesivas tienen características
diferentes. Las ondas aisladas también se denominan pulsos.
Superposición de ondas:
Es el efecto que se produce cuando dos o más ondas se solapan o entrecruzan.
Cuando las ondas interfieren entre sí, la amplitud (intensidad o tamaño) de la onda
resultante depende de las frecuencias, fases relativas (posiciones relativas de
crestas y valles) y amplitudes de las ondas iniciales.
La forma de onda resultante de la superposición de ondas se obtiene sumando
algebraicamente cada una de las ondas senoidales que componen ese movimiento
complejo.
Interferencia:
Cuando dos ondas se cruzan, interfieren y dan en el punto de cruce una resultante
de características bien definidas -producto de la combinación de las dos-, pero
prosiguen sin modificarse la una a la otra, transportando cada una su energía.
En el punto en que se cruzan las ondas, si sigue llegando el tren de ondas, la
interferencia se mantiene en el tiempo con las mismas características iniciales de
fase o de desfase.
Cuando dos ondas de igual amplitud, dirección y frecuencia interfieren forman una
resultante que es la suma de las dos. La suma puede variar entre los siguientes
valores:



Si las ondas que interfieren están en fase, la onda resultante tendrá la misma
dirección, la misma frecuencia y su amplitud será el doble.
Si su desfase es de 180º se anulan, no dan onda, se destruyen.
Si su desfase se encuentra entre los dos valores anteriores, la onda
resultante tendrá la suma/resta de las amplitudes de las dos ondas que
interfieren. La resultante será distinta en cada instante.
La fase inicial entre las ondas que interfieren se mantiene constante,(a2- a1), y la
resultante tendrá una fase distinta, (a), pero también constante en el tiempo.
Interferencia de ondas:
Cuando dos pulsos que avanzan por una cuerda se encuentran, sus amplitudes se
suman formando un pulso resultante. Si los pulsos son idénticos pero avanzan por
lados opuestos de la cuerda, la suma de las amplitudes es cero y la cuerda
aparecerá plana durante un momento (A). Esto se conoce como interferencia
destructiva. Cuando dos pulsos idénticos se desplazan por el mismo lado, la suma
de amplitudes es el doble de la de un único pulso (B). Esto se llama interferencia
constructiva.
Velocidad de ondas sobre cuerdas:
Vamos a analizar la propagación de un movimiento ondulatorio en una cuerda
sometida a una tensión y a determinar la velocidad de propagación de las ondas
transversales que se forman en la misma.
La onda se propaga con una velocidad constante a lo largo de la cuerda. Si
pinchamos una cuerda de guitarra y soltamos, se forma una onda que se propaga
por la cuerda y rebota en los puntos de sujeción.
Se propaga con una velocidad que depende de la tensión del pellizco y de la masa
por unidad de longitud de la cuerda. A igualdad de pellizco la velocidad de la onda
en una "prima"-la cuerda inferior de la guitarra y más delgada- no es igual a aquella
con que se propaga en un "bordón".
Los elementos materiales de la cuerda se mueven perpendicularmente a ella, arriba
y abajo, con velocidad variable dada por la ecuación de un movimiento vibratorio
armónico simple, pero no se desplazan a lo largo de ella. La onda se propaga por
la cuerda con una velocidad constante que depende del impulso que se le aplica y
del grosor de la cuerda.
Pellizquemos una cuerda. Ahora sólo se está formando y se ha propagado a un
pequeño elemento de cuerda. Veamos esto pormenorizadamente.La tensión de la
cuerda se puede suponer que tiene dos componentes uno vertical y otro horizontal.
Las componentes horizontales se anulan al estar drigidos en sentidos opuestos y
neutralizados por la sujeción de las cuerda. La componente vertical de la tensión
acelera la masa de un pequeño trozo de la cuerda por donde se propagó la onda en
un tiempo "t", muy pequeño (la parte inclinada de la figura).
Cuerda vibrante:
La vibración de una cuerda es una onda. Por lo general una cuerda vibrante produce
un sonido cuya frecuencia en la mayoría de los casos es constante. Por lo tanto,
dado que la frecuencia caracteriza la altura, el sonido producido es una nota
constante. Las cuerdas vibrantes son la base de todos los instrumentos de cuerda
tales como la guitarra, el cello, o el piano.
La velocidad de propagación de una onda en una cuerda ( ) es proporcional a la
raíz cuadrada de la tensión de la cuerda ( ) e inversamente proporcional a la raíz
cuadrada de la densidad lineal ( ) de la cuerda:
Sea
la longitud de un trozo de cuerda, su masa, y su densidad lineal. Si la
componente horizontal de la tensión sobre la cuerda es constante, , entonces la
tensión que actúa en cada extremo del trozo de cuerda se expresa como
Si ambos ángulos son pequeños, entonces las tensiones en cada extremo son
iguales y la fuerza neta horizontal es nula. Aplicando la segunda Ley de Newton
para la componente vertical, la masa de este trozo multiplicada por su aceleración,
, será igual a la fuerza neta ejercida sobre el trozo de cuerda:
Dividiendo esta expresión por
resulta
y substituyendo la primera y la segunda ecuación
Las tangentes de los ángulos en los extremos del trozo de cuerda son iguales a las
pendientes en los extremos, con un signo negativo adicional a causa de la definición
de beta. Con este dato y reordenando se obtiene
En el límite cuando
tiende a cero, el lado izquierdo de la igualdad es la definición
de la derivada segunda de :
Esta es la ecuación de onda para
en el tiempo es
; por lo tanto
, y el coeficiente de la derivada segunda
Donde es la velocidad de propagación de la onda en la cuerda. (véase el artículo
sobre la ecuación de onda para mayores detalles). Sin embargo, este desarrollo es
solo válido para vibraciones de amplitud pequeña; en el caso de amplitudes
grandes,
no es una buen aproximación de la longitud del trozo de cuerda, la
componente horizontal de la tensión no es necesariamente constante, y no es
correcto aproximar las tensiones horizontales con .
Refracción y difracción de ondas:
Refracción de Ondas:
Es el cambio de dirección que experimenta una onda al pasar de un medio material
a otro. Sólo se produce si la onda incide oblicuamente sobre la superficie de
separación de los dos medios y si éstos tienen índices de refracción distintos. La
refracción se origina en el cambio de velocidad de propagación de la onda.
Ejemplos

Cuando se sumerge un lápiz en un vaso con agua: el lápiz parece quebrado.

También se produce refracción cuando la luz atraviesa capas de aire a
distinta temperatura, de la que depende el índice de refracción.

Los espejismos son producidos por un caso extremo de refracción,
denominado reflexión total. Aunque el fenómeno de la refracción se observa
frecuentemente en ondas electromagnéticas como la luz, el concepto es
aplicable a cualquier tipo de onda.
Ley de Refracción (ley de Snell)
La relación entre el seno del ángulo de incidencia y el seno del ángulo de refracción
es igual a la razón entre la velocidad de la onda en el primer medio y la velocidad
de la onda en el segundo medio, o bien puede entenderse como el producto del
índice de refracción del primer medio por el seno del ángulo de incidencia es igual
al producto del índice de refracción del segundo medio por el seno del ángulo de
refracción. Dónde: n1 = índice de refracción del primer medio, θ1= Ángulo de
Incidencia, n2 = índice de refracción del segundo medio y θ2 = ángulo de refracción.
sen Φ1 = n sen Φ3
Difracción de las Ondas
Es un fenómeno característico de las ondas, éste se basa en el curvado y esparcido
de las ondas cuando encuentran un obstáculo o al atravesar una rendija.Ocurre en
todo tipo de ondas, desde ondas sonoras, ondas en la superficie de un fluido y ondas
electromagnéticas como la luz y las ondas de radio. Se produce cuando la longitud
de onda es mayor que las dimensiones del objeto, por tanto, los efectos de la
difracción disminuyen hasta hacerse indetectables a medida que el tamaño del
objeto aumenta comparado con la longitud de onda.
Esta técnica se utilizó para intentar descubrir la estructura del ADN, y fue una de las
pruebas experimentales de su estructura de doble hélice propuesta por James
Watson y Francis Crick en 1953.
Ejemplos de Difracción

Sucede cuando un grupo de ondas de tamaño finito se propaga; por ejemplo,
por causa de la difracción, un haz angosto de ondas de luz de un láser deben
finalmente divergir en un rayo más amplio a una cierta distancia del emisor.

Es posible por lo tanto utilizar la difracción de rayos X como un método para
explorar la naturaleza de la estructura cristalina. La difracción producida por
una estructura cristalina verifica la ley de Bragg.
Ley de Bragg
La ley de Bragg permite estudiar las direcciones en las que la difracción de rayos X
sobre la superficie de un cristal produce interferencias constructivas, dado que
permite predecir los ángulos en los que los rayos X son difractados por un material
con estructura atómica periódica (materiales cristalinos). La interferencia es
constructiva cuando la diferencia de fase entre la radiación emitida por diferentes
átomos es proporcional a 2π. Esta condición se expresa en la ley de Bragg:
Donde :




n es un número entero,
λ es la longitud de onda de los rayos X,
d es la distancia entre los planos de la red cristalina y,
θ es el ángulo entre los rayos incidentes y los planos de dispersión.
Ondas estacionarias;
Las ondas estacionarias son aquellas ondas en las cuales, ciertos puntos de la onda
llamados nodos, permanecen inmóviles.
Una onda estacionaria se forma por la interferencia de dos ondas de la misma
naturaleza con igual amplitud, longitud de onda (ofrecuencia) que avanzan en
sentido opuesto a través de un medio.
Se producen cuando interfieren dos movimientos ondulatorios con la misma
frecuencia, amplitud pero con diferente sentido, a lo largo de una línea con una
diferencia de fase de media longitud de onda.
Una onda estacionaria se puede formar por la suma de una onda y su onda reflejada
sobre un mismo eje.(x o y)


Cuando llega a una cresta consecutiva, habiendo recorrido un valle.
Viceversa.
Se pueden obtener por la suma de dos ondas atendiendo a la fórmula:
Siendo para x=0 y t=0 entonces y=0, para otro caso se tiene que añadir su
correspondiente ángulo de desfase.
Estas fórmulas nos da como resultado:
Siendo
y
Resonancia:
La "resonancia" es un fenómeno que podrás encontrar no solo en la rama eléctrica
y electrónica (circuitos resonantes), sino también en acústica y en mecánica. Para
entender que es la resonancia acudamos a un ejemplo mecánico-acústico.
Energía transmitida por la onda:
Cuando la onda se traslada por la cuerda aporta la energía necesaria para producir
el desplazamiento de cada elemento. La energía que se transmite por unidad de
tiempo es la potencia. Puesto que la onda se propaga una longitud de onda en el
tiempo de un periodo, la potencia se obtiene multiplicando la energía de un elemento
unitario por la velocidad. Si µ es la masa del elemento con longitud unidad su
energía tiene el valor de la energía cinética máxima y viene dada por:
Donde la velocidad máxima se obtiene derivando el desplazamiento:
La potencia transmitida por una onda armónica es pues
Y resulta proporcional al cuadrado de la amplitud y al cuadrado de la frecuencia.
Ecuación lineal de ondas:
La ecuación de onda es una importante ecuación diferencial en derivadas
parciales lineal de segundo orden que describe la propagación de una variedad
de ondas, como las ondas sonoras, las ondas de luz y las ondas en el agua. Es
importante en varios campos como la acústica, el electromagnetismo y la dinámica
de fluidos.
Obtención de la ecuación de ondas:
De la ley de Hooke:
La ecuación de onda en el caso de una sola dimensión puede ser obtenida de la Ley
de Hooke de la siguiente manera: imaginese una serie de pequeños pesos de
masa m, interconectados por resortes sin masa de longitud h. Los resortes tienen
una rigidez de k:
Aquí u (x) mide la distancia en equilibrio de la masa situada en x. La segunda ley de
Newton aplicada sobre la masa
en el lugar
establece que:
La fuerza aplicada en este caso está dada por la ley de Hooke:
La ecuación de movimiento para la masa
en el lugar x+h resulta:
donde la dependencia con el tiempo de u(x) se hace explícita.
Si la serie de pesos consiste en N pesos espaciados uniformemente a lo largo
de L = N h de la masa total M =N m, y la rigidez total de la serie K = k/N podemos
escribir la ecuación anterior como:
Tomando el límite
(y suponiendo que es suave) se consigue:
(KL2)/M es el cuadrado de la velocidad de propagación en este caso particular.