Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Probabilidad de

Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Probabilidad de
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
Antonio Francisco Roldán López de Hierro
*
Convocatoria de 2007
Las siguientes páginas contienen las soluciones de los ejercicios propuestos para las pruebas
de acceso a la Universidad en Andalucı́a de la asignatura Matemáticas aplicadas a las Ciencias
Sociales II sobre Probabilidad. Cada uno lleva un código como el siguiente: 2007-4-B-3, que
significa ejercicio 3 de la opción B del modelo 4 de la convocatoria de 2007.
Ejercicio 1 (2007-1-A-3) Se tienen dos dados, uno (A) con dos caras rojas y cuatro verdes,
y otro (B) con dos caras verdes y cuatro rojas. Se lanza una moneda; si sale cara se arroja
el dado A y si sale cruz el dado B.
(a) [1] Halle la probabilidad de obtener una cara de color rojo.
(b) [1] Si sabemos que ha salido una cara de color verde en el dado, ¿cuál es la probabilidad
de que en la moneda haya salido cara?
Solución :
(Apartado a) Llamemos A y B a los sucesos, “elegido un dado al azar, éste resulta
ser el dado A” o “el dado B”, respectivamente (lo cual ocurre si, en la moneda, sale cara o cruz,
en este orden). De la misma forma, llamemos R y V a los sucesos “lanzado un dado ha azar, ha
salido cara roja” o “verde”, respectivamente. Como la moneda no está trucada, los dos dados
tienen la misma probabilidad de ser elegidos:
1
p (A) = p (B) = .
2
En cada dado, hay un número concreto de caras rojas y caras verdes, lo que nos lleva al siguiente
*
Profesor del I.E.S. Acci de Guadix (Granada) - http://www.ies-acci.com/antonioroldan/
1
Selectividad
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
diagrama en árbol.
j4 R
jjjj
jjjj
j
: A TTTTTT
1
tt
TTTT
t
2 tt
4
*
6
V
tt
t
t
tt
• JJ
JJ
JJ
4
JJ
jj4 R
JJ
1
j6jjj
J$
j
j
2
j
j
B TTTTT
TTTT
T*
2
2
6
6
Aplicando el Teorema de la Probabilidad Total, deducimos que la probabilidad de obtener una cara de color
rojo es:
R
R
p (R) = p (A) · p
+ p (B) · p
=
A
B
=
1 2 1 4
6
· + · =
=
2 6 2 6
12
1
.
2
V
(Apartado b) La probabilidad de que en la moneda haya salido cara (o lo que es lo mismo,
se haya seleccionado el dado A) supuesto que en el dado se haya obtenido una cara de color
verde es, aplicando la definición de probabilidad condicionada:
1 4
p (A) · p VA
·
“cara”
2
A
p (A ∩ V )
p
=p
=
=
= 2 61 =
.
V
V
p (V )
1 − p (R)
3
1− 2
Ejercicio 2 En una población, el porcentaje de personas que ven un determinado programa
de televisión es del 40 %. Se sabe que el 60 % de las personas que lo ven tiene estudios
superiores y que el 30 % de las personas que no lo ven no tiene estudios superiores.
(a) [0’75] Calcule la probabilidad de que una persona vea dicho programa y tenga estudios
superiores.
(b) [1’25] Halle la probabilidad de que una persona que tiene estudios superiores vea el
citado programa.
Solución :
(Apartado a) Llamemos V y E a los sucesos “elegida una persona al azar de la
población, ésta ve el programa de televisión” o “tiene estudios superiores”, respectivamente. Los
datos que nos da el enunciado son:
C
E
E
0
0
=06
y
p
= 00 3.
p (V ) = 0 4,
p
V
VC
Andalucı́a
2
Antonio Roldán
Selectividad
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
Con estos datos, completamos el siguiente diagrama en árbol.
4
00i6iiiii E
i
i
i
i
Ui
t: V UUUUUUU
t
UU*
00 4tttt
00 4
EC
tt
t
t
tt
• KK
KKK
KKK
4
K
00i7iiiii E
00 6 KK%
i
i
ii
V C UUUUU
UUUU
* C
00 3
Aplicando el Teorema de la Probabilidad Compuesta
(o la definición de probabilidad condicionada), la probabilidad de que una persona vea dicho programa y tenga
estudios superiores es:
E
= 00 4 · 00 6 = 00 24.
p(V ∩ E) = p(V ) · p
V
E
(Apartado b) Aplicando el teorema de Bayes, la probabilidad de que una persona que tiene
estudios superiores vea el citado programa es:
p (V ) · p VE
V
00 4 · 00 6
p
=
=
=
E
00 4 · 00 6 + 00 6 · 00 7
p (V ) · p VE + p (V C ) · p VEC
=
24
00 24
=
=
0
0 66
66
4
11
b
= 00 36.
Ejercicio 3 (2007-2-A-3, Junio) La baraja española consta de diez cartas de oros, diez
de copas, diez de espadas y diez de bastos. Se extraen dos cartas. Calcule razonadamente
la probabilidad de que, al menos, una de las dos cartas sea de espadas en los siguientes
supuestos:
a) [1] Si se extraen las cartas con reemplazamiento.
b) [1] Si se extraen las cartas sin reemplazamiento.
Solución :
Llamemos Ei al suceso “elegida la i−ésima carta al azar, ésta resulta ser de espadas”.
Es claro que p (E1 ) = 10/40 = 1/4, porque hay 40 cartas y, de ellas, 10 son de espadas, y también
sabemos que p E1C = 1 − p (E1 ) = 3/4. El suceso en el que al menos una de las dos cartas es de
espadas es el suceso unión A = E1 ∪ E2 , pues o bien la primera carta es de espadas, o bien lo es
la segunda, o bien lo son las dos cartas extraı́das. Tenemos que calcular la probabilidad de este
suceso utilizando las propiedades que conocemos; por ejemplo, sabemos que este suceso es la
unión disjunta de dos posibilidades: o bien la primera es de espadas (y ya da igual la segunda),
Andalucı́a
3
Antonio Roldán
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Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
o bien la primera no es de espadas y la segunda sí lo es. De esta forma, tenemos:
E1
E2
p (E1 [ E2 ) = p (E1 ) + p (E2 E1 ) = p (E1 ) + p E1C \ E2 =
= p (E1 ) + p E1C
p
E2
E1C
:
Las probabilidades p (E1 ) y p E1C son conocidas, y la probabilidad condicionada p E2 =E1C
es la que varía según si hay o no reemplazamiento. Si hay reemplazamiento, la probabilidad de
que la segunda carta sea de espadas no depende de lo que haya pasado en la primera (los
sucesos son independientes), y así p E2 =E1C = 1=4. Si no hay reemplazamiento y la primera
carta no es de espadas, en la baraja quedan 39 cartas y 10 de ellas son de espadas, por lo que
p E2 =E1C = 10=39. Por consiguiente, la probabilidad de que alguna de las dos cartas extraídas
sea de espadas es:
p (E1 [ E2 ) = p (E1 ) + p E1C
8
1
>
>
< 4+
=
>
> 1
:
+
4
=
3 1
;
4 4
3 10
;
4 39
8
7
>
>
< 16 ;
>
>
: 23 ;
52
p
E2
E1C
=
si hay reemplazamiento,
si no hay reemplazamiento
9
>
>
=
>
>
;
=
si hay reemplazamiento,
si no hay reemplazamiento.
Nota 1 Una forma, quizá más sencilla, de realizar el ejercicio anterior consiste en pasar al
complementario: lo contrario de que alguna carta sea de espadas, (E1 [ E2 )C , aplicando las leyes
Andalucía
4
Antonio Roldán
Selectividad
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
de De Morgan, es que ninguna de las dos cartas sea de espadas, es decir, E1C ∩ E2C . Entonces:
p (E1 ∪ E2 ) = 1 − p (E1 ∪ E2 )C = 1 − p E1C ∩ E2C = 1 − p E1C · p E2C /E1C =

3 3

si hay reemplazamiento,

 1 − 4 · 4,
=


 1 − 3 · 29 , si no hay reemplazamiento
4 39

7


 16 , si hay reemplazamiento,
=


 23 , si no hay reemplazamiento.
52




=



Ejercicio 4 (2007-2-B-3, Junio) En una urna hay cuatro bolas blancas y dos rojas. Se
lanza una moneda, si sale cara se extrae una bola de la urna y si sale cruz se extraen, sin
reemplazamiento, dos bolas de la urna.
a) [1] Calcule la probabilidad de que se hayan extraı́do dos bolas rojas.
b) [1] Halle la probabilidad de que no se haya extraı́do ninguna bola roja.
(Apartado a) Llamemos c y × a los sucesos que ocurren cuando al lanzar la moneda
aleatoriamente, sale cara o sale cruz, respectivamente. Como suponemos que la moneda no
está trucada, es claro que p (c) = p (×) = 1/2. De la misma forma, llamemos Ri y Bi a los
sucesos “extraı́da la i−ésima bola al azar de la urna, ésta ha resultado ser roja” o “blanca”,
respectivamente. La probabilidad de que se hayan extraı́do dos bolas rojas es p (R1 ∩ R2 ), pues
tanto la primera como la segunda deben ser rojas. Tenemos entonces el siguiente esquema con
las siguientes probabilidades:
Solución :
1/3 iii4 R1
iii
i
i
i
i
:t c UUUUU
UUUU
t
1/2 ttt
U*
2/3
t
B1
tt
t
tt
•5
55
55
55
55
5
R
1/2 55
u: 1
55
1/3 uuu
55
uu
uu
5
u
uu
× II
II
II
II
2/3 III
$
1/5 jjjj4 R2
jj
j
j
j j
TTTT
TTTT
TT*
4/5
B2
2/5 jjjj4 R2
jj
j
j
j j
B1 TTTT
TTTT
TT*
3/5
B2
Andalucı́a
5
Antonio Roldán
Selectividad
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Antes de sacar alguna bola hay que tirar la moneda. Entonces el hecho de que salgan dos bolas
rojas puede ocurrir, en principio, habiendo salido cara o habiendo salido cruz. Por tanto, tenemos
la unión disjunta:
•
R1 ∩ R2 = (c ∩ R1 ∩ R2 ) ∪ (× ∩ R1 ∩ R2 ) .
Sin embargo, el primer suceso es imposible ya que si sale cara, sólo se extrae una bola, y entonces
la segunda no puede ser roja porque no hay una segunda bola (c ∩ R1 ∩ R2 ⊂ c ∩ R2 = ∅).
Queda entonces solamente el segundo suceso, × ∩ R1 ∩ R2 , en el que después de salir cruz, se
extraen dos bolas que resultan ser rojas. De esta forma, aplicando el teorema de la probabilidad
compuesta y teniendo en cuenta el anterior esquema en árbol:
R2
1 1 1
R1
1
·p
= · · = .
p (R1 ∩ R2 ) = p (× ∩ R1 ∩ R2 ) = p (×) · p
×
× ∩ R1
2 3 5
30
Esto demuestra que la probabilidad de que se hayan extraı́do dos bolas rojas es:
1
30
= 00 0b
3.
(Apartado b) Llamemos ahora A al suceso “ninguna de las bolas extraı́das al azar es roja”.
Razonando de forma similar, este suceso puede ocurrir habiendo salido antes o bien cara o bien
cruz, por lo que podemos descomponerlo como la unión disjunta:
•
A = (c ∩ A) ∪ (× ∩ A) ,
y esto nos lleva al teorema de la probabilidad total :
A
A
+ p (×) · p
.
p (A) = p (c ∩ A) + p (× ∩ A) = p (c) · p
c
×
Si sale cara, sólo se extrae una bola; por tanto, el hecho de que ninguna bola extraı́da sea roja
significa que la única que se ha sacado es blanca, y ası́:
B1
2
A
p
=p
= .
c
c
3
Por otro lado, si ha salido cruz, se extraen dos bolas, y que ninguna sea roja significa que las
dos bolas que se sacan son blancas. Entonces:
A
B1 ∩ B2
B1
B2
2 3
2
p
=p
=p
·p
= · = .
×
×
×
× ∩ B1
3 5
5
Recapitulando toda la información que tenemos:
A
A
1 2 1 2
8
p (A) = p (c) · p
+ p (×) · p
= · + · = .
c
×
2 3 2 5
15
De esta forma, la probabilidad de que ninguna bola extraı́da sea roja es 8/15.
8
15
Andalucı́a
= 00 5b
3.
6
Antonio Roldán
Selectividad
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Ejercicio 5 (2007-3-A-3, Septiembre) En un espacio muestral se sabe que para dos sucesos A y B se verifica:
p (A ∩ B) = 00 1,
p AC ∩ B C = 00 6,
p (A/B) = 00 5.
a) [0’75] Calcule p (B).
b) [0’75] Calcule p (A ∪ B).
c) [0’5] ¿Son A y B independientes?
Solución :
(Apartado a) Despejamos la probabilidad de B de la fórmula de la probabilidad
condicionada:
A
p (A ∩ B)
p (A ∩ B)
00 1
p
=
⇒ p (B) =
= 0 = 00 2.
p (B) = 00 2.
B
p (B)
p (A/B)
05
(Apartado a) La probabilidad de la unión de A y B se puede calcular aplicando las leyes
de De Morgan y la probabilidad del suceso contrario, pues:
00 6 = p AC ∩ B C = p (A ∪ B)C = 1 − p (A ∪ B) ⇒
p (A ∪ B) = 00 4.
(Apartado c) Finalmente, calculamos la probabilidad del suceso A con la fórmula de la
probabilidad del suceso unión:
p (A ∪ B) = p (A) + p (B) − p (A ∩ B)
⇒
⇒
p (A) = p (A ∪ B) + p (A ∩ B) − p (B) = 00 4 + 00 1 − 00 2 = 00 3.
Como p (A) = 00 3 y p (A/B) = 00 5,
los sucesos A y B no son independientes,
ya que los valores anteriores no coinciden.
Ejercicio 6 (2007-3-B-3, Septiembre) Una urna A contiene tres bolas azules y cuatro
rojas y otra urna B contiene dos bolas azules, dos rojas y dos negras. Se extrae, al azar,
una bola de una de las urnas.
a) [1] Calcule la probabilidad de que la bola extraı́da sea roja.
b) [1] Si la bola extraı́da resulta ser azul, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la urna
B?
Andalucı́a
7
Antonio Roldán
Selectividad
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Solución :
(Apartado a) Llamemos A, R y N a los sucesos aleatorios “extraı́da una bola al
azar, ésta resulta sea azul”, “roja” o “negra”, respectivamente, y llamemos UA y UB a los
sucesos “elegida una urna al azar, ésta resulta ser la urna A” o “la urna B”, según sea el caso.
Como no se indica lo contrario, la probabilidad de elegir una u otra urna es la misma, por lo
que p (UA ) = p (UB ) = 00 5. Dada la composición de las urnas, conocemos las probabilidades a
priori :
3
4
2
1
1
R
A
1
R
N
A
= , p
= , p
= = , p
= , p
= ,
p
UA
7
UA
7
UB
6
3
UB
3
UB
3
que representamos en el siguiente diagrama en árbol:
k5 A
k
k
k
k
kkk
U
S
A
S
SSS
w;
SSS
ww
SSS
w
w
SS)
1/2 w
4/7
w
R
ww
w
ww
w
ww
• GG
GG
GG
GG
GG
k5 A
1/3 kkkkk
1/2 GGG
k
GG
k
kk
#
kkk
/R
UB SSS
SS1/3
SSSS
SSSS
1/3
)
3/7 kkkkk
N
Por consiguiente, aplicando el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que la bola
extraı́da sea roja es:
R
1 4 1 1
19
R
+ p (UB ) · p
= · + · =
.
p (R) = p (UA ) · p
UA
UB
2 7 2 3
42
(Apartado b) De la misma forma, podemos calcular la probabilidad de que la bola extraı́da
sea azul:
A
A
1 3 1 1
8
p (A) = p (UA ) · p
+ p (UB ) · p
= · + · = ,
UA
UB
2 7 2 3
21
y esta probabilidad nos sirve para aplicar el teorema de Bayes en el cálculo de la probabilidad
de que, extraı́da una bola azul, ésta provenga de la urna B:
p (U ) · p A
1 1
b
·
UB
UB
7
p
=
= 283 =
.
A
p (A)
16
21
Ejercicio 7 (2007-4-A-3) [2] En un espacio muestral se consideran dos sucesos A y B tales
1
1
que p (A ∪ B) = 1, p (A ∩ B) =
y p (A/B) =
. Halle la probabilidad del suceso A
6
3
y la del suceso B.
Andalucı́a
8
Antonio Roldán
Selectividad
Solución :
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
De la definición de probabilidad condicionada deducimos la probabilidad de B:
1
p (A ∩ B)
1
A
1/6
1
6
=
=p
=
⇒ p (B) =
=
.
3
B
p (B)
p (B)
1/3
2
Ahora de la propiedad del suceso unión deducimos la probabilidad de A:
1 = p (A ∪ B) = p (A) + p (B) − p (A ∩ B) = p (A) +
1 1
−
2 6
⇒
p (A) = 1 −
1 1
2
+ =
.
2 6
3
Deducimos entonces que:
p (A) =
2
3
y
p (B) =
1
.
2
Ejercicio 8 (2007-4-B-3) Un experimento aleatorio consiste en lanzar simultáneamente
dos dados con las caras numeradas del 1 al 6. Calcule la probabilidad de cada uno de los
siguientes sucesos:
(a) [0’5] Obtener dos unos.
(b) [0’5] Obtener al menos un dos.
(c) [0’5] Obtener dos números distintos.
(d) [0’5] Obtener una suma igual a cuatro.
Solución :
Consideremos el espacio muestral asociado al experimento que consiste en lanzar
simultáneamente dos dados con las caras numeradas del 1 al 6. Sabemos que éste se obtiene
como el conjunto producto de los experimentos más simples que consisten en lanzar los dados
independientemente.




(1,
1)
,
(1,
2)
,
(1,
3)
,
(1,
4)
,
(1,
5)
,
(1,
6)
,










(2,
1)
,
(2,
2)
,
(2,
3)
,
(2,
4)
,
(2,
5)
,
(2,
6)
,





 (3, 1) , (3, 2) , (3, 3) , (3, 4) , (3, 5) , (3, 6) , 

E=
.

(4, 1) , (4, 2) , (4, 3) , (4, 4) , (4, 5) , (4, 6) , 







 (5, 1) , (5, 2) , (5, 3) , (5, 4) , (5, 5) , (5, 6) , 






 (6, 1) , (6, 2) , (6, 3) , (6, 4) , (6, 5) , (6, 6) 

En el conjunto anterior, el caso (2, 3) significa que en el primer dado sale un 2 y en el segundo
un 3. Aunque podamos pensar que los dados son indistinguibles, siempre podemos considerar
que están pintados de dos colores distintos (por ejemplo, rojo y azul), y ası́ es perfectamente
razonable distinguir entre el resultado que se obtiene en un dado y el resultado del otro lado.
Andalucı́a
9
Antonio Roldán
Selectividad
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
Como el conjunto anterior posee 36 casos y suponemos que los dados no están trucados, cada
una de los anteriores sucesos elementales posee probabilidad 1/36 (según la regla de Laplace).
(Apartado a) La probabilidad de obtener dos unos es:
p (“obtener dos unos”) = p (1, 1) =
1
.
36
(Apartado b) La probabilidad de obtener al menos un dos es:
p (“obtener al menos un dos”) = p (1, 2) + p (2, 1) + p (2, 2) =
3
=
36
1
.
12
(Apartado c) Obtener dos números distintos es lo contrario de obtener dos números iguales,
lo cual ocurre en 6 de los casos anteriores. Por tanto, la probabilidad de obtener dos números
distintos es:
p (“obtener dos números distintos”) = 1 − p (“obtener dos números iguales”) =
=1−
30
6
=
=
36
36
5
.
6
(Apartado d) La probabilidad de obtener una suma igual a cuatro es:
p (“obtener una suma igual a cuatro”) = p (1, 3) + p (2, 2) + p (3, 1) =
3
=
36
1
.
12
Ejercicio 9 (2007-5-A-3) El 30 % de los clientes de una tienda de música solicita la colaboración de los dependientes y el 20 % realiza una compra antes de abandonar la tienda.
El 15 % de los clientes piden la colaboración de los dependientes y hacen una compra.
(a) [1] Calcule la probabilidad de que un cliente ni compre, ni solicite la colaboración de
los dependientes.
(b) [1] Sabiendo que un cliente ha realizado una compra, ¿cuál es la probabilidad de que
no haya solicitado colaboración a los dependientes?
Solución :
(Apartado a) Llamemos S y R a los sucesos “elegido un cliente de la tienda al azar,
éste Solicita la colaboración de los dependientes” o “Realiza una compra antes de abandonar la
tienda”. Los datos del problema nos dicen que:
p (S) = 00 3,
Andalucı́a
p (R) = 00 2
10
y
p (S ∩ R) = 00 15.
Antonio Roldán
Selectividad
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
Aplicando las leyes de De Morgan, la probabilidad del suceso complementario y la probabilidad
del suceso unión, deducimos que la probabilidad de que un cliente ni compre ni solicite la
colaboración de los dependientes es:
Complementario
De Morgan Unión
p S C ∩ RC
=
p (S ∪ R)C
=
1 − p (S ∪ R) =
= 1 − (p (S) + p (R) − p (S ∩ R)) = 1 − 00 3 − 00 2 + 00 15 =
00 65.
(Apartado b) Sabiendo que un cliente ha realizado una compra, la probabilidad de que no
haya solicitado colaboración a los dependientes es:
C
p SC ∩ R
S
p (R) − p (S ∩ R)
00 2 − 00 15
p
=
=
=
=
R
p (R)
p (R)
00 2
=
5
00 05
=
=
00 2
20
1
.
4
Ejercicio 10 (2007-5-B-3) En un Instituto se pueden practicar dos deportes: fútbol y
baloncesto. Se sabe que el 48 % de los alumnos practica fútbol pero no baloncesto, que el
15 % practica baloncesto pero no fútbol y que el 28 % no practica ninguno de los dos. Si
se toma, al azar, un alumno de ese Instituto, calcule la probabilidad de que:
(a) [0’75] Practique fútbol.
(b) [0’5] Practique alguno de los dos deportes.
(c) [0’75] No practique fútbol, sabiendo que practica baloncesto.
Solución :
Los porcentajes que nos indica el enunciado quedan resumidos en la siguiente tabla
de contingencia:
Baloncesto
No baloncesto
Fútbol
No fútbol
TOTAL
48 %
15 %
28 %
TOTAL
100 %
Completamos fácilmente esta tabla de contingencia:
Andalucı́a
Baloncesto
No baloncesto
TOTAL
Fútbol
9 %
48 %
57 %
No fútbol
15 %
28 %
43 %
TOTAL
24 %
76 %
100 %
11
Antonio Roldán
Selectividad
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
(Apartado a) La probabilidad de que practique fútbol es:
57
100
= 57 %.
(Apartado b) Observamos que solamente 28 de cada 100 alumnos no practican ni fútbol
ni baloncesto, por lo que la probabilidad de que practique alguno de los deportes es:
1−
28
=
100
18
25
= 72 %.
(Apartado c) De cada 100 alumnos, 24 practican baloncesto. Entre éstos, sólo 15 de ellos
no juegan al fútbol. Ası́, la probabilidad de que un alumno que juega al baloncesto no juegue al
fútbol es:
5
15
=
= 620 5 %.
24
8
Ejercicio 11 (2007-6-A-3) Se lanza una moneda tres veces y se consideran los sucesos:
A: “Obtener al menos dos veces cara” y B: “Obtener cara en el segundo lanzamiento”.
(a) [1] Describa el espacio muestral asociado al experimento. Calcule p (A) y p (A ∪ B).
(b) [1] Los sucesos A y B, ¿son independientes?, ¿son incompatibles?
Solución :
El experimento que consiste en lanzar una moneda tres veces puede interpretarse
como un experimento compuesto de tres experimentos sencillos, que consisten en lanzar una
sola moneda. Lanzar una sola moneda sólo puede producir dos resultados: cara y cruz, que
denotamos por c y ×, respectivamente. Ası́, el espacio muestral del lanzamiento de una sola
moneda es E1 = {c, ×}. Como el resultado de un lanzamiento no influye en el resultado previo
o en el posterior, los tres experimentos simples son independientes. Por tanto, el principio de
multiplicación nos dice que el espacio muestral del experimento que consiste en lanzar una
moneda tres veces es el producto:
E = E1 × E1 × E1 = {c, ×} × {c, ×} × {c, ×} =
(
)
(c, c, c) , (c, c, ×) , (c, ×, c) , (c, ×, ×) ,
.
=
(×, c, c) , (×, c, ×) , (×, ×, c) , (×, ×, ×)
El suceso elemental (c, ×, c) significa que en el primer lanzamiento ha salido cara, en el segundo,
cruz, y en el tercero, cara. Como las monedas no están trucadas, estos casos son equiprobables,
por lo que todos poseen probabilidad 1/8.
Andalucı́a
12
Antonio Roldán
Selectividad
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
Los sucesos A y B están formados por los casos:
n
o
A = “obtener al menos dos veces cara” = (c, c, c) , (c, c, ×) , (c, ×, c) , (×, c, c) ;
n
o
B = “obtener cara en el segundo lanzamiento” = (c, c, c) , (c, c, ×) , (×, c, c) , (×, c, ×) .
Por tanto, p (A) = p (B) = 4/8 = 1/2. Igualmente,
n
o
A ∪ B = (c, c, c) , (c, c, ×) , (c, ×, c) , (×, c, c) , (×, c, c) , (×, c, ×) ,
por lo que p (A ∪ B) = 6/8 = 3/4.
p (A) =
1
2
p (A ∪ B) =
y
3
.
4
(Apartado b) Como
A∩B =
n
(c, c, c) , (c, c, ×)
o
6= ∅,
los sucesos A y B no son incompatibles. Además, p (A ∩ B) = 2/8 = 1/4, y p (A) · p (B) =
(1/2)2 = 1/4. De esta forma, p (A ∩ B) = p (A) · p (B), lo que significa que los sucesos A y B
son independientes.
A y B son independientes, pero no son incompatibles.
Ejercicio 12 (2007-6-B-3) En un tribunal se han examinado 140 alumnos de un Instituto
A y 150 de otro Instituto B. Aprobaron el 80 % de los alumnos del A y el 72 % del B.
(a) [1] Determine el tanto por ciento de alumnos aprobados por ese tribunal.
(b) [1] Un alumno, elegido al azar, no ha aprobado. ¿Cuál es la probabilidad de que pertenezca al Instituto B?
Solución :
Como hay 140 alumnos de A y 150 alumnos de B, en total hay 290 alumnos. El 80 %
de los alumnos de A han aprobado, lo que significa que, en total,
han aprobado: 80 % de 140 = 00 8 · 140 = 112 alumnos de A,
e igualmente,
han aprobado: 72 % de 150 = 00 7 · 150 = 108 alumnos de B.
Andalucı́a
13
Antonio Roldán
Selectividad
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
Con estos datos, construimos la siguiente tabla de contingencia con el número de alumnos de
cada clase.
Aprobados Suspensos TOTAL
Instituto A
112
140
Instituto B
108
150
TOTAL
Completamos esta tabla de manera muy sencilla.
Aprobados
Suspensos
TOTAL
Instituto A
112
28
140
Instituto B
108
42
150
TOTAL
220
70
290
(Apartado a) En total hay 220 alumnos aprobados de un total de 290, por lo que el
porcentaje de alumnos aprobados es:
220
22
=
≈ 00 75862 =
290
29
750 862 %.
(Apartado b) Globalmente, hay 70 alumnos que no han aprobado, de los cuales 42 proceden
del instituto B. Por tanto, si un alumno está suspenso, la probabilidad de que provenga de B es:
42
=
70
Andalucı́a
3
5
14
= 00 6.
Antonio Roldán