Física Moderna y Cosmología Rubén M. Cabezón Jordi Òrrit Dept. Física e Ingeniería Nuclear UPC 1 FÍSICA MODERNA Y COSMOLOGÍA Tipo de asignatura: Créditos: Departamento responsable: Coordinación: Semestre: Libre elección 4.5 (Teóricos: 3, Prácticos: 1.5) Física e Ingeniería Nuclear. Rubén Cabezón, Jordi Òrrit 2º OBJETIVOS DOCENTES El objetivo de esta asignatura es presentar de forma sencilla los conceptos pilares en los que se sustenta el conocimiento científico actual de nuestro universo. Se proporcionarán los conocimientos esenciales en las materias de física cuántica, física nuclear, astrofísica y cosmología; siempre en un marco cualitativo evitando, en lo posible, las complejidades inherentes a la materia. La finalidad última es que el alumno adquiera una capacidad de análisis crítico frente a las noticias y desarrollos científicos que se encuentre en el día a día. CONTENIDOS BLOQUE I: Física Moderna 1. INTRODUCCIÓN HISTÓRICA 2. FÍSICA CUÁNTICA Radiación de cuerpo negro. Ley de Planck. Cuantización. Aplicaciones: microscopio de efecto túnel. Parejas EPR y teleportación cuántica. 3. FÍSICA NUCLEAR Y DE PARTÍCULAS Partículas elementales. Leyes de conservación. Reacciones nucleares. Aceleradores de partículas. 4. FÍSICA MODERNA Teorías de unificación. Supercuerdas y Física Multidimensional. BLOQUE II: Astrofísica y Cosmología 1. INTRODUCCIÓN HISTÓRICA 2. FÍSICA ESTELAR Las estrellas. Diagrama H-R. Nacimiento y evolución. Objetos compactos y variables cataclísmicas. 3. ASTRONOMÍA GALÁCTICA Y EXTRAGALÁCTICA Catálogos históricos. Cúmulos estelares, nebulosas y galaxias. Indicadores de distancia. 4. COSMOLOGÍA Teoría Newtoniana de la Gravitación. La Relatividad General. El Principio Cosmológico. La Ley de Hubble. La Radiación de Fondo. Modelo inflacionario. Historia de la evolución del universo. 5. ASTROFÍSICA Y COSMOLOGÍA DEL S. XXI Materia y energía oscura. Ondas gravitatorias. GRB. ¿“Antes” del Big Bang?. Astrobiología. El viaje interestelar. EVALUACIÓN 50% - Exposición oral de un trabajo bibliográfico. 50% - Examen escrito tipo test. 2 Propuestas para posibles trabajos • • • • • • • • • • • • • • • • GRAN T-CAN. El nuevo telescopio en canarias. Instrumentación en Astrofísica y repercusión en el avance científico. El Large Hadron Collider (LHC). Estado actual y perspectivas de futuro. La partícula de Higgs. Agujeros negros supermasivos. Supernova Cosmology Project y el futuro del universo. La evolución de los aceleradores de partículas y perspectivas de futuro. Detectores de ondas gravitatorias. Interferometría óptica. Métodos de propulsión. Presente y futuro. Próximas misiones espaciales y proyectos de investigación astrofísica y/o cosmológica. Reacciones nucleares como fuente de energía. Fusión Nuclear: ¿La energía del futuro? El Ordenador Cuántico De Hiroshima a la Bomba de Hidrógeno: El peligro de una guerra nuclear. M-Theory: ¿La teoría última? 3 Índice • Bloque I: Física Moderna y de Partículas ............................. 5 • • • • • • • • El Modelo Estándar. Historia acelerada Radiación de Cuerpo Negro Ley de Planck Cuantización El modelo Estándar Números Cuánticos Reacciones Nucleares 6 7 10 11 20 23 24 Bloque II: Astrofísica y Cosmología .................................. 29 • • • • • • • • Física Estelar Ecuación de equilibrio hidrostático Ecuaciones de Friedmann Derivación clásica de las Ecuaciones de Friedmann Definiciones de parámetros cosmológicos y relaciones Modelo de Friedmann-Robertson-Walker Cronología del Universo Breve historia de la Cosmología clásica 30 34 36 38 40 41 42 43 • Cuestiones y Problemas ....................................................... 48 • Glosario ................................................................................ 57 • Biografías ............................................................................. 67 • Anexos.................................................................................. 81 • • • • • Anexo I: Factores de conversión Anexo II: Constantes físicas Anexo III: Ecuaciones de Einstein del campo gravitatorio Anexo IV: Modelos particulares e históricos del Universo 82 83 84 86 Bibliografía .......................................................................... 88 4 Bloque I: Física Moderna y de Partículas 5 El Modelo Estándar: historia acelerada. Arquitectos Fecha Partículas Fuerzas Tales (milesio) 600 a.C. Agua No se mencionan Empédocles (de Agrigento) 460 a.C. Tierra, aire, fuego y agua Amor y discordia Demócrito (de Abdera) 430 a.C. El átomos invisible El movimiento violento e indivisible, o áconstante tomo. Comentario Fue el primero en explicar el mundo mediante causas naturales, no mediante los dioses. En el lugar de la mitología puso la lógica. Aportó la idea de que hay múltiples partículas que se combinan para formar todos los tipos de materia. Su modelo requería demasiadas partículas, cada una con una forma diferente, pero su idea básica de que hay un á-tomo que no puede ser partido sigue siendo la definición básica de partícula elemental. Le gustaban los átomos, pero no hizo que su causa avanzase. Su gravedad es un dolor de cabeza para los peces gordos en la década de 1990. Su teoría era incompleta, limitada, pero la idea de que hay partículas de radio “nulo”, puntuales, que crean “campos de fuerza”, es esencial en la física moderna. Se precipitó al resucitar la palabra de Demócrito –el átomo de Demócrito-, pero dio una pista al decir que los átomos diferían en peso, no en su forma, como pensaba Demócrito. Aplicó el atomismo a la electricidad al conjeturar que las corrientes estaban formadas por “corpúsculos de electricidad”, los electrones. Tomó la idea de Dalton y organizó todos los elementos químicos conocidos. En su tabla periódica apuntaba con claridad una estructura más profunda y significativa. Al descubrir el núcleo, reveló una nueva simplicidad dentro de todos los átomos de Dalton. Isaac Newton (inglés) 1687 Átomos duros, con masa, impenetrables. Roger J. Boscovich (dálmata) 1760 “Puntos de fuerza”, Fuerzas atractivas y indivisibles y sin repulsivas que actúan forma o dimensión. entre puntos John Dalton (inglés) 1808 Los átomos, las unidades básicas de los elementos químicos: el carbono, el oxígeno, etc... La fuerza de atracción entre los átomos Michael Faraday (inglés) 1820 Cargas eléctricas Electromagnetismo (más la gravedad) Dmitri Mendeleev 1870 Más de cincuenta átomos, dispuestos en la tabla periódica de los elementos. No hace cábalas sobre las fuerzas Ernest Rutherford (neozelandés) 1911 Dos partículas: núcleo y electrón Bjorken, Fermi, Friedman, GellMann, Glashow, Kendall, Lederman, Perl, Ritcher, Schwartz, Steinberg, Taylor, Ting, más un reparto de miles 1992 Seis quarks y seis leptones, más sus antipartículas. Hay tres colores de quarks. La fuerza nuclear (fuerte), más el electromagnetismo y la gravedad. El electromagnetismo, la Incompleto. interacción fuerte, la débil: doce partículas que llevan las fuerzas, más la gravedad. La gravedad (para el cosmos). Fuerzas desconocidas (para los átomos) “La partícula divina” – Leon Lederman. 6 Física Cuántica 1.- Radiación del cuerpo negro. Al calentar un cuerpo éste desprende radiación electromagnética. Consideremos un cuerpo; por el Principio de Conservación de la Energía podemos escribir: Ei (energía recibida) = Er (energía reflejada) + Ea (energía absorbida) + Et (energía transmitida) Las energías en S.I. se miden en Joules (J). Los casos relevantes son los estados de equilibrio, Ea = Erad (energía radiada), ya que solo entonces se puede medir la temperatura (T). Para estudiar las características de los cuerpos se pueden definir los siguientes coeficientes r= Er Ei Poder Reflector a= Ea Ei Poder Absorbente t= Et Ei Poder Transmisor Casos particulares r = 1 ; a ≈ t ≈ 0 ; buen reflector t = 1 ; a ≈ r ≈ 0 ; buen transmisor a = 1; r ≈ t ≈ 0 ; buen absorbente → Cuerpo Negro Dichos coeficientes cumplen: r + a + t =1 Por lo tanto, toda la luz que llega a un cuerpo negro es absorbida por éste. Si, además el cuerpo se encuentra en equilibrio térmico, la energía absorbida por el cuerpo es liberada posteriormente en forma de radiación térmica (Erad). La Ea calienta el cuerpo y ello hace que el cuerpo emita radiación. Para que la radiación emitida se encuentre en el rango del visible la temperatura a la que llegue el cuerpo debe ser suficientemente elevada (∼600 K). Para un análisis más real, los poderes deberían medirse para cada frecuencia diferente. Por lo tanto, el método más correcto es tomar como variables la frecuencia (ν), y la temperatura (T). Definimos la radiación térmica E rad = e ⋅ S ⋅ t 7 donde e es el Poder Emisor (W/m2), S la superficie (m2) y t (s) el tiempo. Aunque cada cuerpo tiene diferentes e para cada ν y cada T, se puede hacer una aproximación en que e tenga el mismo valor para cualquier ν y T. e se relaciona con a de la siguiente forma e = RT a (E. R. Kirchoff (1824-1887)) donde RT es la Radiancia Total (W/m2) para una cierta temperatura T. Esta relación es universal (es la misma para todos los cuerpos). Esta ley implica que los buenos absorbentes son también los buenos emisores. El cuerpo negro es el absorbente/emisor perfecto: e0 = R (a0 = 1) Ejemplos: e Cobre: e0 e Hierro: e0 e Madera: e0 = 0,04 = 0,70 = 0,90 donde e0 es el poder emisor del cuerpo negro. RT puede ser calculada integrando la Radiancia Espectral o Densidad de Radiancia RT(ν) para todo el espectro de frecuencias. RT = z ∞ 0 bg RT ν dν Ley de Stefan-Boltzmann RT = σ ⋅ T 4 σ (constante de Stefan-Boltzmann) = 5,670·10-8 W/m2K4 el estudio práctico (debido a Stefan) se realiza a través de la radiancia y el teórico (realizado por Boltzmann) a través de la densidad de energía almacenada en el cuerpo. Densidad de Energía, ρT: Energía por unidad de volumen a una cierta temperatura T. Unidades: J/m3. 8 R T = ρT c 4 donde c es la velocidad de la luz, c = λν (λ: longitud de onda). Análogamente al caso de la radiancia podemos escribir: ∞ ρ T = ∫ ρ T (ν )dν (ρT(ν ): Densidad de Energía Espectral) 0 Llegados a este punto, la cuestión fundamental es determinar la función que relaciona ρT(ν) con ν y T. Esta cuestión fue tratada ampliamente a finales del siglo XIXprincipios del siglo XX. Primera ley de Wien o Ley del desplazamiento W.Wien dedujo que la función debía ser de la forma ρT(ν) = ν3·f(ν/T) (1893), aunque no determinó f(ν/T). Sin embargo, de este modo conseguía reducir el problema a una función de una variable (ν/T). Además, dedujo que la función tenía un máximo y que la posición de éste se desplazaba con la temperatura (Ley del desplazamiento de Wien) λ 0 ⋅ T = 0,29cm ⋅ k donde λ0 es la longitud de onda que hace máxima la densidad espectral de energía. Si tenemos en cuenta que ν0 = c/λ0 podemos ver que la posición del máximo de densidad en un diagrama ρT - ν/T se desplaza a la derecha a medida que aumentamos la temperatura del cuerpo. Segunda ley de Wien En 1896, W.Wien, en función del comportamiento observado, propuso la siguiente función ρ T (ν ) = α ⋅ν ⋅ l 3 −β ν T donde α y β son dos constantes. Comparando con las medidas obtenidas experimentalmente, se puede observar que los puntos experimentales se ajustan bastante bien a lo que predice la teoría en la parte alta del espectro (Zona de Wien), para frecuencias tales que ν > ν0, sin embargo existe bastante discrepancia para frecuencias por debajo de la frecuencia que hace máxima la densidad de energía(ν0). Ley de Rayleigh-Jeans J.H. Jeans y J.W.S. Rayleigh propusieron lo siguiente 8πν 2 R ρ T (ν ) = 3 T c N donde NA es el número de Avogadro (=6,022·1023 mol-1 ) y R la Constante de los Gases 9 Ideales (= 8,314 J/K·mol). Por otro lado, R/NA = K (Constante de Boltzmann = 1,381·10-23 J/K). Esta ecuación se dedujo mediante la física clásica. Sin embargo no tiene máximo y para altas frecuencias diverge, con lo que al integrar se obtiene una densidad de energía infinita. A este problema se la llamó catástrofe del ultravioleta. Por otro lado, para bajas frecuencias, ν < ν0, la función se ajusta bastante a lo observado por lo que a esta zona del espectro se la conoce como Zona de Rayleigh-Jeans. Espectro electromagnético 2.- Ley de Planck. En octubre de 1900 M.K.E.L.Planck propuso la siguiente fórmula ρ T (υ ) = 8πν 3 c3 1 l hυ KT −1 donde h era una constante universal nueva, la Constante de Planck (h = 6,626·10-34 J·s = 4’1357·10-15 eV·s) Ésta se ajusta a los valores obtenidos experimentalmente para todo el espectro. Además, las leyes de Wien y Rayleigh-Jeans se pueden obtener de ésta mediante aproximaciones para bajas o altas frecuencias. En diciembre del mismo año, Max Planck presentó una demostración teórica de esta ley en la cual hacía una polémica suposición que él llamó “acto de desesperación”. Esta suposición consistió en la Hipótesis Cuántica, por la cual establecía que E em = h ⋅ν ⋅ n abs donde el producto hν (Constante de Planck por frecuencia) es conocido como cuantum (o cuanta) de energía, la energía mínima necesaria para que se produzca emisión o 10 absorción de radiación. Por otro lado, n determina el grado de la energía o el número de cuantums que son absorbidos o emitidos por el cuerpo, es decir, la energía radiativa intercambiada entre un cuerpo negro y su entorno es siempre un múltiplo de hν. El modelo que Planck propuso para basar dicha demostración describía el comportamiento de un conjunto de partículas cargadas o resonadores que oscilaban entorno a un punto de equilibrio (así es como se describía la materia por aquel entonces). Sin embargo, la novedad que Planck introdujo fue el hecho de que aquellos resonadores o péndulos diminutos variaban su energía a saltos (cuantums) en lugar de hacerlo de forma continua como establecía la física clásica ( Resonadores de Planck). El hecho de que la energía pudiera ser discreta en lugar de continua representaba una profunda ruptura con la concepción clásica de la física. 3.- Cuantización. Interacción Radiación-Materia Efecto fotoeléctrico: Ocurre para radiación del tipo visible o ultravioleta (hν ∼ 1eV) En 1887, E.Hertz observó que las descargas eléctricas entre dos electrodos eran más vistosas y se producían más fácilmente si incidía luz ultravioleta en el cátodo. P.E.A.Lenard demostró que esto sucede debido a que la radiación ultravioleta libera electrones del metal. A este fenómeno se le llamó efecto fotoeléctrico. En 1905, A.Einstein propuso una teoría en la que iba más allá de lo que había postulado Planck en 1900 al afirmar que la radiación no sólo era emitida de forma cuantizada por electrones oscilantes en un cuerpo negro, sino que, además, la radiación en si misma estaba discretizada en paquetes o cuantums de energía E = hν ν (que más tarde recibieron el nombre de fotones). De este modo la luz, además de tener propiedades ondulatorias (como ya se había demostrado anteriormente), presentaba propiedades corpusculares. Para apoyar esta teoría y basándose en el trabajo anterior de Lenard, Einstein citó el efecto fotoeléctrico. Según Einstein, en el efecto fotoeléctrico un fotón es completamente absorbido por un electrón del fotocátodo, el cual, al escapar del metal, tiene una energía cinética que viene dada por E cin = hν − w donde w es la Función Trabajo o energía necesaria para liberar un electrón y depende de cada material. De esto se desprende que la energía cinética de los portadores de carga liberados depende de la frecuencia de los fotones y, por lo tanto, del color de la radiación incidente. Esto contradecía la teoría ondulatoria por la cual la Ecin dependía de la intensidad. Además, existe una frecuencia mínima ν = w/h por debajo de la cual un fotón no tiene la energía necesaria para arrancar un electrón del cátodo. Las magnitudes que definen un fotón son las siguientes: Masa en reposo: m=0 Velocidad: c (en el vacío) 11 Energía: ε = hν = hω ; h = Cantidad de movimiento: p= hν c h 2π Efecto Compton: Ocurre para radiación del tipo rayos X (hν ∼ 1KeV) A.H.Compton descubrió en 1923 que al hacer incidir rayos X de longitud de onda λ0 conocida sobre grafito aparecían dos picos de dispersión, uno de fotones de longitud de onda λ0 y otro de fotones de longitud de onda λ1, en lugar de uno sólo de λ0 que es lo que la teoría clásica predecía. Para explicar este resultado es necesario considerar dos procesos. En un proceso un fotón choca elásticamente con un electrón cediéndole una pequeña cantidad de su energía. Como consecuencia el fotón dispersado tendrá menor energía que antes de colisionar y, por lo tanto, una longitud de onda más grande λ1. La relación entre λ0 y λ1 viene dada por ∆λ = λ1 − λ 0 = λC (1 − cos (ϑ )) donde ∆λ es el corrimiento Compton, λ1 es la longitud de onda del fotón dispersado, λ0 es la longitud de onda del fotón incidente, λC = h/mec = 0,02426 Α es la Longitud de Onda de Compton y me la masa del electrón . En este proceso hemos considerado que el fotón incidente choca con un electrón libre o con un electrón cuya energía de enlace es mucho menor que la energía cinética del fotón y por lo tanto queda libre después del choque. Sin embargo, si el electrón está muy fuertemente ligado al átomo el fotón no consigue arrancarlo y, debido a la atracción núcleo-electrón, es el átomo entero el que retrocede al colisionar con el fotón. Así pues, se debe considerar que el fotón choca contra todo el átomo, por lo cual debemos substituir me por la masa atómica M, M >> me. En este caso el corrimiento Compton es muy pequeño, ∆λ ∼ 0, y los fotones dispersados dan lugar a un pico de dispersión con longitud de onda prácticamente igual al de los fotones del haz incidente. Este proceso se conoce con el nombre de dispersión Thomson. La mayor o menor intensidad de un pico respecto otro dependerá de la energía (y por lo tanto de la frecuencia y de la longitud de onda) de los fotones incidentes. En toda la descripción anterior del efecto Compton hemos considerado la radiación electromagnética como un haz de partículas o fotones, lo que en su tiempo vino a confirmar el comportamiento corpuscular de la luz. En este experimento se combinaban relatividad y física cuántica por primera vez lo cual confirmaba de algún modo las dos teorías. Creación y de Pares: Ocurre para radiación del tipo rayos γ (hν ∼ 1MeV) Se ha observado que cuando un fotón con una energía suficientemente elevada incide sobre un núcleo, desaparece dando lugar a la creación de un electrón y un positrón (antipartícula que tiene las mismas propiedades que un electrón pero su carga tiene signo opuesto). El proceso inverso es la aniquilación de pares. En este caso un electrón y un positrón 12 inicialmente en reposo se combinan hasta que terminan colapsando el uno contra el otro. Durante esta proceso forman lo que se conoce como positronio, que se comporta de forma parecida al átomo de hidrógeno, y que tiene una vida media de 10-10 segundos. En la aniquilación se deben formar al menos dos fotones (en algunos casos se forman tres) para no violar la conservación del momento cinético. Modelos Atómicos J.J.Thomson (1903) En el modelo atómico que propuso los electrones se encontraban dentro de una distribución continua de carga positiva. Por su analogía éste modelo fue conocido como “pastel de pasas” o “sandía”. En átomos excitados los electrones vibrarían alrededor de sus posiciones de equilibrio, lo que explicaría, por ejemplo, la radiación emitida por un material el ser calentado. E.Rutherford (1911) Observó que cuando un haz de partículas α (núcleos de He) incidía en una lámina de oro, algunas partículas se desviaban y otras no. Del análisis de la dispersión observada dedujo que toda la carga positiva del átomo y prácticamente toda su masa se debían concentrar en un núcleo situado en el centro del átomo y mucho más pequeño que éste (Modelo Planetario). Las magnitudes atómicas que él predijo se acercan bastante a lo observado (Rátomo ∼ 10-10, Rnúcleo ∼ 10-14). Modelos espectrales J.Balmer, en 1885, encontró una fórmula empírica que predecía el comportamiento de las líneas espectrales de emisión observadas hasta entonces en el Hidrógeno: λ = 3645,6 n2 n2 − 4 Con esta fórmula obtenemos la longitud de onda en Amstrongs de las líneas espectrales que se observan para una parte determinada del espectro (serie de Balmer), las cuales vienen determinadas por n (n=3 (Hα), 4 (Hβ), 5 (Hγ), 6 (Hδ)… y así hasta las nueve primeras líneas de la serie, que eran las que se conocían hasta entonces.). En 1890, J.R.Rydberg propuso una fórmula más general que la de Balmer RH RH 1 = − λ ( m + a ) ( n + b) donde RH = 10967757,6 ± 1,2 m es la Constante de Rydberg para el hidrógeno, a y b dependen del material, y m y n nos definen la línea del espectro que se quiera obtener. 13 En el caso del hidrógeno obtenemos la fórmula de Balmer substituyendo a = b = 0, RH = 4 y m = 2. K Así pues, mediante esta fórmula y haciendo a = b = 0, podemos deducir las series de líneas espectrales del hidrógeno: Nombres Intervalos de λ (m,n) Lyman Ultravioleta m = 1; n = 2,3,4,… Balmer UV cercano y visible m = 2; n = 3,4,5,… Pashen Infrarrojo m = 3; n = 4,5,6,… Brackett Infrarrojo m = 4; n = 5,6,7,… Pfund Infrarrojo m = 5; n = 6,7,8,… N.Bohr (1913) Bohr introdujo un modelo fundamentándose en la estabilidad atómica y de forma que estuviera de acuerdo con ciertos resultados espectroscópicos. Al desarrollar este modelo, Bohr se basó en las nuevas teorías de interacción radiación-materia y introdujo propiedades cuánticas de manera que su modelo mezcla la física clásica con la física no clásica. Los postulados sobre los cuales se sustenta el modelo de Bohr son los siguientes: 1. Un electrón se mueve en una órbita circular alrededor del núcleo bajo la influencia de la atracción de Coulomb entre el electrón y el núcleo, sujetándose a las leyes de la mecánica clásica. 2. En lugar de una infinidad de órbitas que serían posibles en la mecánica clásica, para un electrón sólo es posible moverse en una órbita para la cual su impulso angular orbital L es un múltiplo entero de h , la constante de Planck dividida entre 2π. ( L = nh ; n = 1, 2, 3,…) 3. A pesar de que el electrón se acelera constantemente cuando se mueve en una de estas órbitas permitidas, no radía energía electromagnética. Entonces, su energía total E permanece constante. 4. Se emite radiación electromagnética si un electrón, que inicialmente se mueve en una órbita de energía total Ei , cambia su movimiento de manera discontinua para moverse en una órbita de energía total Ef . La frecuencia de la radiación emitida ν es igual a la cantidad (Ei - Ef) dividida entre la constante h de Planck. Ei − E f ) (ν = h Bohr presentó un modelo para el átomo de hidrógeno con la intención de que pudiera aplicarse a átomos más pesados. Aunque para átomos mayores el modelo es demasiado sencillo y se hace necesaria la introducción de correcciones o la aplicación de métodos 14 aproximados, para el átomo de hidrógeno e iones o isótopos monoelectrónicos funciona correctamente. Algunos resultados para el átomo de hidrógeno que se obtienen mediante este modelo son los siguientes: Radio mínimo: rmin ≈ 0,5 Þ Velocidad máxima: vmax ≈ 2·106 m/s Energía del 1er nivel: E1 ≈ -13,6 eV (energía de ionización) Reglas de cuantización de Sommerfield En 1916, Wilson y Sommerfield enunciaron un conjunto de reglas para sistemas periódicos que generalizaban los diferentes conceptos de cuantización de la energía y el momento angular de sistemas físicos introducidos hasta entonces. Para cualquier sistema físico en el cual las coordenadas sean funciones periódicas del tiempo existe una condición cuántica para cada coordenada. Estas condiciones cuánticas son ∫ p dq = n h q q donde q es una de las coordenadas, pq es el impulso asociado con esa coordenada, nq es un número cuántico que toma valores enteros y ∫ significa que la integración se toma sobre un período de la coordenada q. Dualidad Universal Onda-Corpúsculo Postulado de de Broglie En 1924, L. de Broglie postuló el comportamiento dual onda-partícula de la materia, análogo al comportamiento ya demostrado de la radiación. De Broglie se basaba en la simetría existente en la naturaleza. Por lo tanto, si la luz presentaba dualidad ondacorpúsculo, era de esperar que ocurriera lo mismo para la materia. De esta forma, podemos considerar una partícula material en movimiento como una onda de materia que se propaga. Las relaciones entre las magnitudes típicas que describen el movimiento corpuscular (E, p) y las que describen el ondulatorio (ν, λ) son las siguientes E = hν p = hλ donde λ = h/p es conocida como longitud de onda de de Broglie de una onda de materia con momento lineal p. 15 Principio de Complementariedad En 1927, Bohr introdujo el Principio de Complementariedad que apoyaba la dualidad onda-corpúsculo como un comportamiento inherente a la naturaleza: 1. Los aspectos ondulatorio y corpuscular forman parte de la física en sí. 2. No son excluyentes. 3. Son complementarios en el sentido que en algunos casos para explicar la realidad sirve un modelo y en otros sirve el otro. Principio de Incertidumbre El Principio de Incertidumbre de Heisenberg nos da una cota máxima de la precisión con la que podemos medir dos variables canónicas conjugadas en física cuántica. Según este principio en un experimento no se puede conocer simultáneamente el valor exacto de una componente del momento lineal y, a la vez, el valor exacto de la coordenada de posición correspondiente. El límite de precisión que el principio establece es el siguiente ∆pφ ∆φ ≥ h / 2 φ = x, y, z donde ∆pφ es la incertidumbre en la medida de la componente φ del momento lineal y ∆φ es la incertidumbre en la coordenada φ. El principio también se puede aplicar para E yt ∆E∆t ≥ h / 2 donde ∆E es la incertidumbre en la energía de un sistema y ∆t es el tiempo característico de un estado del sistema o su vida media. El Principio de Incertidumbre no tiene en cuenta la precisión instrumental o la indeterminación propia del experimento con el que se pretenden medir las propiedades de un sistema (las cuales, en un caso ideal podemos tomar tan pequeñas como queramos) sino que se fundamenta en el hecho de que al observar un sistema lo estamos perturbando. Por ejemplo, suponiendo que se tuviera un equipo tan preciso que se pudiera medir la coordenada x de un cuerpo de forma totalmente exacta, ∆x = 0, entonces no se podría conocer de forma simultánea la componente x del momento lineal, px, ya que su indeterminación sería infinita, ∆px = ∞, independientemente de la precisión instrumental que se tuviera para medir las componentes de p. Por otra parte, el Principio de Incertidumbre de Heisenberg se desprende de forma natural de los conceptos sobre el comportamiento ondulatorio de la materia y la radiación introducidos por Einstein y de Broglie. 16 Mecánica Cuántica Erwing Schrödinger, en 1925, elaboró su teoría de la mecánica cuántica, la cual generalizaba lo establecido por de Broglie anteriormente y le daba consistencia. Todo lo relativo a la física cuántica realizado hasta entonces recibe el nombre de teoría cuántica antigua y, aunque había dado muy buenos resultados y todavía hoy en día se usa como una aproximación bastante precisa, lo cierto es que padecía algunos puntos débiles y limitaciones que con la nueva teoría desaparecieron. La ecuación de Schrödinger para una partícula o sistema sometido a una fuerza con un potencial V(x,t) es: − ∂Ψ ( x, t ) h 2 ∂ 2 Ψ ( x, t ) + V ( x , t ) Ψ ( x , t ) = ih 2 2m ∂x ∂t donde ψ(x,t) es la función de onda de la partícula o del sistema físico. Las funciones de onda que son solución de la ecuación reciben el nombre de funciones propias. Se trata de una ecuación diferencial parcial de segundo orden. En este caso está escrita para el caso unidimensional pero se puede generalizar para más dimensiones. Análogamente a ∂2 ∂ la física clásica tenemos que − h 2 2 = (−ih ) 2 = P 2 , donde P es el operador ∂x ∂x ∂ momento lineal, y ih = E donde E es el operador energía. ∂t Si el potencial no depende del tiempo, por separación de variables, Ψ ( x, t ) = φ ( x)ϕ (t ) , podemos escribir la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo h 2 d 2φ ( x) − + V ( x)φ ( x) = Eφ ( x) 2m dx 2 donde E son los valores propios de la energía. En el caso de que para una partícula concreta se cumpla que E < | V | tendremos que la partícula ocupa estados ligados y solo algunos valores de E están permitidos por lo que la energía está cuantizada (Espectro Discreto). Cuando ocurre lo contrario E puede tomar cualquier valor por encima de | V | (Espectro Continuo). Por otro lado, a diferencia de la mecánica clásica o del electromagnetismo, en mecánica cuántica las funciones de onda son complejas. Esto podría suponer un problema ya que la parte imaginaria de la función de onda no tiene significado físico. Sin embargo, aunque las funciones de onda contienen toda la información de un sistema que el Principio de Incertidumbre nos permite conocer, no representan magnitudes físicas que se puedan medir. La información física medible del sistema nos la da la densidad de probabilidad, P(x,t)=ψ*(x,t) ψ(x,t) (donde ψ*(x,t) es el complejo conjugado de ψ(x,t). M.Born, en 1926, postuló esta relación de la siguiente manera Si en el instante t se realiza una medición para localizar a la partícula asociada con la función de onda ψ*(x,t) entonces la probabilidad P(x,t)dx de encontrar a la partícula en una coordenada entre x y x+dx es igual a ψ*(x,t) ψ(x,t)dx. 17 Por lo tanto, en mecánica cuántica, dada la imposibilidad de poder predecir de forma determinista el resultado de un experimento, es necesario recurrir a la estadística para calcular probabilidades y valores promedio. Por ejemplo, dada una magnitud física F que relacionamos con el operador F(x,p,t), su valor promedio <F(x,p,t)> se calcularía de la siguiente forma < F ( x, p, t ) >= +∞ ∂ ∫ Ψ * ( x, t ) F ( x,−ih ∂x , t )Ψ( x, t )dx −∞ +∞ ∫ Ψ * ( x, t )Ψ ( x, t )dx = 1 (densidad de probabilidad normalizada) −∞ La desviación típica se calcularía de la siguiente forma ∆F ( x, p, t ) = (< F 2 > − < F > 2 Degeneración En mecánica cuántica degeneración es el fenómeno que ocurre cuando dos o más funciones propias (o estados propios) de un operador (momento lineal, energía, posición,…) comparten el mismo valor propio. En el caso de la ecuación de Schrödinger, por ejemplo, tendríamos degeneración si dos o más funciones de onda que fuesen solución de la ecuación tuvieran el mismo valor de la energía E. A las funciones propias que presentan esta peculiaridad se las conoce como funciones propias degeneradas. Momento Angular Intrínseco o de Spin En 1922, Otto Stern y Walter Gerlach observaron como un haz de átomos de plata se desdoblaba en dos componentes discretas al cruzar un campo magnético no uniforme. Una componente se desviaba en la dirección y el sentido del campo magnético aplicado mientras que la otra componente hacía lo propio en sentido opuesto. Como los átomos son neutros, la única componente de la fuerza que debía actuar sobre ellos era la paralela al campo aplicado (en este caso escogemos la dirección z de forma arbitraria), fruto de la interacción entre la intensidad magnética y el momento dipolar r magnético µ , Fz = ∂B z µz ∂z (donde µz es la componente del momento dipolar magnético paralela al campo). Según la mecánica clásica se debería obtener una distribución continua en función del momento dipolar. Sin embargo se obtenían resultados discretos con lo cual se confirmaba la cuantización. Por otro lado, el momento dipolar magnético depende del momento angular orbital al considerar la órbita electrónica de los átomos como una espira por donde 18 circula una cierta intensidad. En el caso del experimento Stern-Gerlach la única contribución era la de la componente del momento angular en la dirección de la coordenada z, que para los electrones atómicos está relacionada con el número cuántico ml = -l,-l+1,…,0,…,l-1,l (el número cuántico l está relacionado con el cuadrado del momento angular), el cual puede tomar un número de valores que siempre debe ser impar. Además, el número atómico de la plata es 47 con lo que su último orbital es s (l = 0) por lo que ml solo puede valer 0. Si se hace la aproximación que, debido al apantallamiento de las capas de electrones inferiores con el núcleo, el único electrón que contribuye a la interacción con el campo magnético es el del último orbital, se esperaría que los electrones no se desviaran. Sin embargo como ya hemos dicho, el haz deflectado se desdobla en dos componentes. Este hecho fue confirmado por Philipps y Taylor (1927) quienes repitieron el experimento con átomos de hidrógeno, los cuales tienen un único electrón que en su estado fundamental (esto se consigue con temperaturas relativamente bajas) se encuentra en un orbital s (l = 0, ml = 0). Estas inconsistencias con los resultados esperados fueron superadas en 1925, cuando Samuel A. Goudsmit y George E. Uhlenbeck postularon la existencia de un momento angular intrínseco que llamaron spin. El spin se suele presentar como un momento angular asociado al giro constante del electrón sobre su propio eje, sin embargo está visión es inconsistente con la física por lo que el spin debe entenderse como una propiedad puramente cuántica, característica de las partículas microscópicas, que no tiene análogo en la física clásica. Su relación con la componente z del momento magnético dipolar es la siguiente µ sz = − g s µ B m s donde gs es el factor g de spin (que para el electrón se ha comprobado eh experimentalmente que vale 2), µ B = = 0,927 ⋅ 10 − 23 A ⋅ m 2 recibe el nombre de 2m magnetón de Bohr y ms es el valor propio de la componente z del momento angular de spin y toma los valores -s,-s+1,…,0…,s-1,s, donde s es el spin asociado a una partícula (para el electrón s = 1/2 ; ms = ±1/2). De esto se desprende que el incremento de energía potencial de orientación dipolar que reciben las componentes desdobladas de un haz en un experimento Stern-Gerlach, viene dado por g µ B r r ∆E = − µ s ⋅ B = − µ sz B z = ± s B z 2 El spin es un propiedad que poseen las partículas a escala microscópica y que afecta a las propiedades de éstas, pero no tiene equivalente clásico por lo que hay que entenderlo como un fenómeno exclusivo de la física cuántica. 19 Física Nuclear y de Partículas 1.- El modelo estándar. Proporciona una teoría coherente de las interacciones fundamentales, válida para las interacciones electromagnética, débil y fuerte. Ordena, además, la profusión existente de hadrones (partículas elementales que experimentan la interacción fuerte) Modelo Estándar de la Física de Partículas Primera generación Segunda generación Tercera generación QUARKS u (Up) d (Down) c (Charm) s (Strange) t (Top/True) b (Bottom/Beauty) LEPTONES νe (Neutrino electrónico) e (Electrón) νµ (Neutrino Muónico) µ (Muón) ντ (Neutrino Tauónico) τ (Tauón) FUERZAS BOSONES GAUGE γ (Fotón) W- W+ Z0 Ocho Gluones Gravitón ? Electromagnetismo Interacción Débil Interacción Fuerte Gravedad Interacciones Fundamentales de la Naturaleza Según el modelo estándar a cada interacción fundamental le corresponden una o varias partículas bosónicas o bosones (partículas con spin entero). Estas partículas son los quantums de energía que constituyen los campos causantes de dichas interacciones. Las cuatro fuerzas de la naturaleza son las siguientes: Electromagnética: De alcance infinito. Su bosón gauge es el fotón, γ (spin = 1). Es la responsable de la electricidad y el magnetismo. Nuclear Débil: De alcance finito ∆x ≈ 2·10-3 fm. Sus bosones gauge son las partículas W+, W-, Z0 (spin = 1). Es la responsable de las desintegraciones nucleares del tipo β. (Su unificación con la electromagnética da lugar a la interacción electrodébil) Nuclear Fuerte: De alcance infinito. Su bosón gauge es al gluón (spin =1). Es la 20 responsable de que los nucleones permanezcan unidos. Gravitatoria: De alcance infinito. Su bosón gauge es el gravitón pero aún no se ha encontrado y es objeto de controversia. Es la responsable de las órbitas celestes. Las leyes de conservación para el electromagnetismo, la interacción débil y la interacción fuerte son: Cantidad conservada Fuerte Electromagnética Sí Sí Sí Sí Sí Sí Sí Sí No Débil Energía Momento Lineal Momento Angular Carga Número Leptónico Electrónico Número Leptónico Muónico Número Leptónico Tauónico Número Bariónico Isospín Sí Sí Sí Sí Sí Sí Sí Sí Sí Sí Sí Sí Sí Sí Sí Sí Sí 1 No Componente z del Isospín Sí Sí No Paridad C-Paridad o Conjugación de Carga Sí Sí Sí Sí No* * No Color No Sí Sí Sabor Sí Sí No Inversión temporal Sí Sí Sí 2 * 1 (∆I = ½ Para no leptónicos) 2 (∆Iz = ½ Para no leptónicos) * (Excepto por la violación poco frecuente en el decaimiento lento del sistema K0, Κ 0 ) Partículas Elementales Según el modelo estándar, la materia ordinaria está formada por fermiones elementales (spin semientero). Hay dos tipos de fermiones elementales, los leptones y los quarks. Estos últimos, en la naturaleza, se encuentran formando partículas más complejas llamadas hadrones. Los hadrones, a su vez, se clasifican en mesones (un quark y un antiquark) y bariones (tres quarks). A éstas, les hemos de sumar sus correspondientes antipartículas (partículas idénticas con igual masa y spin pero con la carga eléctrica de signo opuesto). En la siguiente tabla aparecen descritas algunas de las propiedades del fotón, de los leptones y algunos hadrones: 21 Nombre Fotón Leptones Mesones Bariones Símbolo γ νe νµ ντ eµτΠ+ Π0 ΠΚ+ Κ0 Κ0 Κη0 η| p n Λ0 Σ+ Σ0 ΣΞ0 ΞΩ- Número Número Número Número Comp. Z Paridad leptónico leptónico Leptónic bariónico del P Le Lu B isospín Iz o Lτ Masa en Tiempo reposo de vida Carga Q (MeV/c2) media(s) Spin s 0 ∞ 0 1 0 0 0 0 - 0 ¿0? ∞ 0 ½ +1 0 0 0 - 0 ¿0? ¿∞? 0 ½ 0 +1 0 0 - 0 ¿0? ¿∞? 0 ½ 0 0 0 0 - 0 0,511 ∞ 105,7 1777 139,6 135 -1 ½ +1 0 0 0 - 0 -6 -1 ½ 0 +1 0 0 - 0 -15 -1 ½ 0 0 +1 0 - 0 -8 +1 0 0 0 0 0 Impar +1 -16 0 0 0 0 0 0 Impar 0 2,2·10 291·10 2,6·10 0,9·10 -8 -1 0 0 0 0 0 Impar -1 -8 +1 0 0 0 0 0 Impar +½ -11 0 0 0 0 0 0 Impar -½ -8 0 0 0 0 0 0 Impar +½ -8 -1 0 0 0 0 0 Impar -½ -19 0 0 0 0 0 0 Impar 0 0 0 0 0 0 0 Impar 0 +1 ½ 0 0 0 1 Par +½ 139,6 2,6·10 493,8 1,2·10 497,8 8,6·10 497,8 5,2·10 493,8 1,2·10 549 2,5·10 958 >10 -21 938,3 ∞ 939,6 930 1116 1189 1192 1197 1315 1321 1672 0 ½ 0 0 0 +1 Par -½ -10 0 ½ 0 0 0 +1 Par 0 -11 +1 ½ 0 0 0 +1 Par 1 2,5·10 8,0·10 >10 -14 0 ½ 0 0 0 +1 Par 0 -10 -1 ½ 0 0 0 +1 Par -1 -10 0 ½ 0 0 0 +1 Par +½ -10 -1 ½ 0 0 0 +1 Par -½ -10 -1 ½ 0 0 0 +1 Par 0 1,5·10 3,0·10 1,7·10 1,3·10 Según el Modelo Estándar, toda la materia que observamos está hecha de seis quarks y seis leptones. Estos quarks y leptones se agrupan en tres familias o generaciones de cuatro miembros cada una. Los quarks más ligeros, denominados "arriba" (up) y "abajo" (down) junto con el conocido electrón y su neutrino forman la primera generación. El quark "extraño" (strange) y el quark "encanto" (charm), que son un poco más pesados que los anteriores, forman junto con el muón y su neutrino la segunda familia; finalmente el quark "belleza" (beauty) junto con el recientemente observado quark "verdad" (truth) y el leptón tau y su neutrino constituyen la tercera y aún incompleta familia, pues de la existencia del neutrino del leptón tau sólo se tienen pruebas indirectas. Al nombre que recibe cada tipo de quark se le conoce como sabor. 22 Quark D U S C B T Q B ~ B T Número Bariónico S C Carga ‘Strangeness’ ‘Charm’ ‘Beauty’ ‘Truth’ -1/3 2/3 -1/3 2/3 -1/3 2/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 1 2.- Números Cuánticos. Por un lado, a los leptones se les asocia un número leptónico ligado a cada generación. Los leptones de una generación tienen un valor del número leptónico de su generación igual a 1, mientras que para sus antipartículas este número vale –1, y tienen valores nulos para los números leptónicos de las otras dos generaciones. Para los hadrones se define la extrañeza como S = [N(s)-N(s)], donde N(s) es el número de quarks extraños presentes en un hadrón o en una reacción y N(s) es el número de quarks no extraños. Análogamente podemos definir encanto, C, verdad, T, o belleza, ~ B . Se define número bariónico como B = [N(q)-N(q)]/3 donde N(q) es el número de quarks y N(q) es el número de antiquarks. Usando estos números podemos definir también la carga, Q = 2[Nu+C+T]/3 – [Nd+S+B]/3 donde Nu y Nd son el número de quarks “arriba” y “abajo”, respectivamente, y se pueden calcular de forma análoga a S. Para las partículas elementales se establece, además, una nueva simetría (que no es exacta): el isospín. El isospín es una magnitud que se comporta igual que el spin. Las ~ partículas con la misma paridad, S, B, C, B , T y diferente carga reciben el nombre de multipletes de isospín (tienen igual isospín I pero difieren en la tercera componente de éste Iz). Se define la hipercarga como ~ Y=B+S+ C+ B +T Y con ella se puede definir la 3ª componente del isospín Iz = Q – Y/2 También podemos definir el isospín para núcleos atómicos de masa A, número atómico Z y N = A – Z de la siguiente manera Iz = (Z – N)/2 La interacción débil viola la simetría del isospín. Lo mismo pasa con la paridad (paridad de las funciones de onda de las partículas) o con la c-paridad (paridad respecto la substitución de una partícula por su antipartícula. La interacción fuerte, en cambio, no conserva la carga de color o color de los quarks. 23 Todos los quarks pueden estar en uno de los tres estados de color: azul (b), verde (g) o rojo (r). Los gluones de la interacción fuerte mantienen confinadas las cargas de color de manera que nunca aparecen cargas del mismo color juntas. En un barión, por ejemplo, los tres quarks tendrán colores diferentes de manera que la carga de color resultante será nula (los tres colores juntos, así como el color de una partícula y su antipartícula, se anulan). 3.- Reacciones Nucleares. Procesos Nucleares Los núcleos están compuestos por protones y neutrones, que se mantienen unidos por la denominada fuerza fuerte. Algunos núcleos tienen una combinación de protones y neutrones que no conducen a una configuración estable. Estos núcleos son inestables o radiactivos. Los núcleos inestables tienden a aproximarse a la configuración estable emitiendo ciertas partículas. Se ha observado que todos los procesos radiactivos simples siguen una ley exponencial decreciente. Si N0 es el número de núcleos radiactivos en el instante inicial, después de un cierto tiempo t, el número de núcleos radiactivos presentes N se ha reducido a N = N 0 e (-λt) donde λ es una característica de la sustancia radiactiva denominada constante de desintegración. T Para cada sustancia radiactiva hay un intervalo de tiempo fijo Τ1/2, denominado semivida o periodo de semidesintegración, durante el cual el número de núcleos que había al comienzo se reduce a la mitad. Poniendo en la ecuación N=N0/2 se obtiene T1 = 2 ln 2 = τ ⋅ ln 2 λ donde definimos τ como vida media. La ley de desintegración puede deducirse del siguiente modo: si λ es la probabilidad de 24 desintegración por unidad de tiempo, la probabilidad de que un núcleo se desintegre en un tiempo dt es λ·dt. Si hay N núcleos presentes, en el tiempo dt podemos esperar que se desintegren (λdt)N núcleos. Por tanto, podemos escribir El signo menos aparece por que N disminuye con el tiempo a consecuencia de la desintegración. Integrando esta ecuación obtenemos la ley exponencial decreciente. N0 es el número inicial de núcleos radioactivos presentes en el instante t = 0. Los tipos de desintegración radiactiva se clasifican de acuerdo a la clase de partículas emitidas. Desintegración α El elemento radiactivo de número atómico Z, emite un núcleo de Helio (dos protones y dos neutrones), el número atómico disminuye en dos unidades y el número másico A en cuatro unidades, produciéndose un nuevo elemento situado en el lugar Z-2 de la Tabla Periódica. ( A, Z ) → ( A − 4, Z − 2) + (4,2) Desintegración β Esta desintegración tiene dos tipos de variantes. Desintegración β-: El núcleo del elemento radiactivo emite un electrón, en consecuencia, su número atómico aumenta en una unidad, pero el número másico no se altera. El nuevo elemento producido se encuentra el lugar Z+1 de la Tabla Periódica. n → p + e− +ν e ( A, Z ) → ( A, Z + 1) + e − + ν e Desintegración β+: El núcleo del elemento radiactivo emite un positrón, en consecuencia, su número atómico disminuye en una unidad, pero el número másico no se altera. El nuevo elemento producido se encuentra el lugar Z-1 de la Tabla Periódica. p → n + e+ +ν e ( A, Z ) → ( A, Z − 1) + e + + ν e 25 Desintegración γ El núcleo del elemento radiactivo emite un fotón de alta energía (∼MeV), la masa y el número atómico no cambian, solamente ocurre un reajuste de los niveles de energía ocupados por los nucleones. ( A, Z ) → ( A, Z ) + γ Captura electrónica El núcleo del átomo captura un electrón y emite, a continuación, un neutrino electrónico. Es un proceso alternativo a una desintegración β+. Si en un átomo es posible una desintegración β+ también será posible un proceso de CA, pero no al revés. p + e− → n +ν e ( A, Z ) + e − → ( A, Z − 1) + ν e Fusión y Fisión El principio físico de las reacciones de fisión y fusión se explica a partir de la energía de enlace por nucleón en función del número másico A del núcleo. Los núcleos con una energía de enlace mayor, 50 < A < 90, son los más estables. Si un núcleo muy pesado se rompe en dos (fisión), el estado inicial tiene más masa que el estado final, este exceso de masa se desprende en forma de energía según la fórmula E=mc2. Lo mismo ocurre cuando dos núcleos ligeros se unen (fusión) Figura 1 Energía de enlace por nucleón en función del número másico. Fuente: 26 CIEMAT Fisión Cuando un núcleo de Uranio 235 es bombardeado con neutrones, aún de baja energía, se produce una violenta inestabilidad que hace que el núcleo se divida en dos fragmentos aproximadamente iguales. Una reacción nuclear en cadena es posible porque, aparte de los dos fragmentos liberados, se emiten neutrones y en este caso particular del Uranio 235 los neutrones son suficientes como para causar una nueva fisión. Con otros núcleos es frecuente utilizar gran cantidad de energía para producir la fisión. Por ejemplo elementos tal como el radio o el bismuto necesitan ser bombardeados con partículas alfa de gran energía (40 Mev). En el otro extremo el Californio 252 (elemento fabricado por le hombre) produce fisión espontáneamente y no se necesita del bombardeo de neutrones. El Californio 252 también emite neutrones durante la fisión. Fusión Para que los núcleos cargados positivamente superen la repulsión electrostática que existe entre ellos y se acerquen lo suficiente como para producir reacciones de fusión a un ritmo adecuado se necesitan temperaturas del orden de los 100 millones de grados. A esta temperatura los electrones se separan del núcleo y como resultado se tiene un plasma con los electrones e iones moviéndose independientemente a gran velocidad. Desde el punto de vista de operación de un primer reactor de fusión, la reacción más interesante es la del deuterio 2D y tritio 3T (D-T) El deuterio y el tritio son dos isótopos del hidrógeno. El deuterio es estable y muy abundante en el agua. El tritio es radioactivo y no existe en la naturaleza pero puede producirse a gran escala mediante la irradiación de litio con neutrones. El principal producto de esta reacción de fusión es el helio que no es radioactivo, aunque el neutrón producido a elevadas energías puede activar los materiales que envuelven el reactor. Las condiciones para obtener un importante ritmo de fusión D-T son las más fáciles de conseguir, los reactantes deben tener una energía cinética de unos 10 keV (correspondiente a una temperatura ligeramente superior a 100 millones de K). Existen otras reacciones posibles, pero las condiciones necesarias para que se produzcan son más exigentes que la reacción D-T, por eso se contemplan como las reacciones de los reactores de segunda generación. La reacción deuterio-deuterio (D-D) tiene la ventaja de no utilizar tritio y de no producir neutrones de alta energía, pero la temperatura necesaria para que la sección eficaz sea significativa es 10 veces mayor que la necesaria para la reacción D-T. La reacción deuterio-helio 3 (D-3He) 27 es muy interesante porque no produce ni tritio ni neutrones. La elevada energía del protón puede recuperarse por conversión directa a energía eléctrica, con eficiencias del 80%. Los principales inconvenientes son la elevada temperatura necesaria, sobre los 50 keV, y la escasez de 3He en la Tierra, aunque es posible obtenerlo en la luna. 28 Bloque II: Astrofísica y Cosmología 29 Física Estelar 1.- Protoestrellas. El proceso de formación estelar fundamentalmente a dos razones: • • aún no está bien comprendido debido Las estrellas en los primeros estadios de formación son poco luminosas y difíciles de observar. Emiten luz que se concentra en intervalos de radio e infrarrojo, con lo que no se han podido observar hasta hace 20 años (que es cuando aparecieron nuevos telescopios y satélites artificiales especializados para esas frecuencias). También existen hechos como los brotes masivos de formación estelar, que se dan en algunas galaxias y que aún no se han podido explicar. En nuestra galaxia, cada año, aproximadamente una masa solar de gas y polvo se convierte en nuevas estrellas. Una estrella, a grandes rasgos, se forma a partir de una nube de gas y polvo que comienza un proceso de contracción a causa de: • • Inestabilidades gravitatorias internas. Explosión de alguna supernova cercana. El gas, o disco protoestelar, es en su composición un 80% H y un 20% He, aproximadamente. Eso sí, existen trazas de otros muchos elementos y/o compuestos más complejos (denominados de forma genérica metales) que en su totalidad representan bastante menos de un 1%. Esta composición es en realidad muy similar a la composición general del propio universo. Cuando el gas comienza a contraerse se forma un núcleo en el que la temperatura comienza a aumentar. Este proceso continua hasta que la temperatura en el núcleo es suficiente como para iniciar y sostener la reacción de fusión del H que da lugar He. Esto ocurre a una temperatura del orden de 106 K. En ese momento las reacciones de fusión son capaces de sostener el peso del gas que se contrae. Así una estrella es, en realidad, un delicado equilibrio entre la presión de radiación de las fusiones nucleares (que tienden a deshacerla) y la fuerza gravitatoria (que tiene a contraerla). La masa mínima para formar una estrella es de 0.05 – 0.08·Msol. Júpiter tiene 0.001·Msol, así si tan sólo hubiera sido aproximadamente un orden de magnitud más masivo habríamos tenido un sistema estelar doble y, probablemente, la vida no se hubiera podido desarrollar en la Tierra. 30 2.- Estructura interna. Una estrella se basa principalmente en el equilibrio hidrostático, es decir, no pueden existir aceleraciones notables en la masa estelar. Esto significa que en un elemento de masa dado todas las fuerzas que actúan sobre él se compensan. Una estrella tiene una estructura interna que varía en función del estadio evolutivo en el que se encuentre. En el caso del Sol se puede dividir en cinco partes principales: • Núcleo Depende de la estrella, pero suele rondar los 107 K de temperatura. Es donde se producen las reacciones de fusión que aguantan la estrella e impiden que colapse. H + H → He + γ • Zona Radiativa Zona en la que los fotones generados en el núcleo interaccionan con la materia estelar, perdiendo energía (hasta hacerse visible, sea absorbido o dispersado). Recorrido libre medio de los fotones es de 1-2 cm. Pueden tardar hasta 2 millones de años en lograr salir del Sol. • Zona Convectiva Zona en la que el material caliente asciende y transmite energía al entorno, calentándolo. Una vez se ha enfriado, se hunde. (Granulación solar, Supergránulos y celdas de convección). • Fotosfera Es lo que vemos al mirar el Sol (u otra estrella). Es donde los fotones se liberan y donde se forma el espectro de la estrella, que nos proporciona información sobre: 1. Temperatura superficial (Sol: 5800 K) 2. Composición química. 3. Gravedad superficial. 4. Campos magnéticos. 5. Velocidad de rotación. 6. Turbulencias. • Cromosfera Centenares de veces menos luminosa que la fotosfera, la cromosfera es una capa de la atmósfera estelar en la que hay material ionizado y la temperatura (virtual) asciende a 104 K. • Corona Es un millón de veces menos luminosa que la fotosfera, no tiene forma regular y es un indicador de la actividad estelar. Aunque aún no se conoce bien la conexión. Entre la cromosfera y la corona se producen intercambios de materia a través de las protuberancias. 31 3.- Clasificación. Existen diferentes métodos de clasificación en función de las diversas características físicas de las estrellas, pero las dos más comunes son: • Clasificación espectral (de Harvard). Basada en las líneas de Balmer de H, He neutro, Fe neutro, doblete H y K del Ca, bandas de TiO. Oh, Be A Fine Girl, Kiss Me OBAFGKM Tempranas Calientes Tardías Frías TIPO TEMPERATURA COLOR ABUNDACIA OTROS O 30.000 Azul < 1 º/oo Elementos muy ionizados. B 11.000 – 20.000 Blanco – Azulado 1 º/oo Rigel, Spiga A 7.500 – 11.000 Blanco 6 º/oo Sirio, Vega F 6.000 – 7.500 Cremoso 1% Líneas metálicas G 5.000 – 6.000 Amarillo 10 % Sol. Metales neutros. Bandas moleculares. K 3.500 – 5.000 Naranja 40 % Arturo, Aldebarán. At. neutros M 2.200 – 3.500 Rojo 50 % Antares, Betelgeuse. Esto responde al 99.5 % de todas las estrellas de la galaxia. • Clasificación MK. También se clasifican según su luminosidad. Es la clasificación en clases de luminosidad o, también llamada, de Morgan-Kinan. CLASE I II III IV V VI VII DESCRIPCIÓN Supergigantes Gigantes brillantes Gigantes Subgigantes Secuencia principal Subenanas brillantes Enanas blancas 32 La vida de una estrella depende drásticamente de su masa inicial. La siguiente tabla muestra la vida media de una estrella y su posible final, en función de su masa. MASA ETAPA FINAL M < 0.08 Enana Marrón 0.08 ≤ M ≤ 0.26 Enana Blanca 0.26 < M < 1.5 Nebulosa planetaria con Enana Blanca 3 ≤ M < 15 Supernova M ≥ 15 Supernova con Agujero Negro o Estrella de Neutrones COMENTARIOS No llega a combustionar H. Convectivas. Permanecen homogéneas. Evolución muy lenta. Convierten todo el H en He. Pasa por Fase gigante gaseosa. Produce el Flash del Helio. Núcleo de carbono degenerado. Produce el Flash del Carbono. Núcleo de hierro rodeado de capas de combustión. 33 Ecuación de Equilibrio Hidrostático Muchas estrellas permanecen de forma evidente en fases de muy larga duración a lo largo de su evolución. La materia estelar no sufre grandes aceleraciones, lo que significa que para un elemento de masa dado, todas las fuerzas que actúan sobre éste se compensan las unas a las otras. Este tipo de equilibrio mecánico se denomina “Equilibrio Hidrostático”, ya que este mismo principio es el que gobierna la presión estratificación en, por ejemplo, una balsa de agua. Como aproximaciones consideramos estrellas gaseosas, sin rotación, sin campos magnéticos y sin ningún tipo de compañeros cercanos. De esta forma las únicas fuerzas a considerar son la de la gravedad y la debida al gradiente de presión. Como hablamos de presiones, usaremos la 2ª ley de Newton por unidad de superficie. Fi m d 2 r ∑i S = S ⋅ dt 2 (1) Trabajando para un elemento de masa dm y una cáscara esférica de grosor dr, obtenemos: dP frad = − ⋅ dr (2) dr El signo viene para compensar el que si r aumenta la presión disminuye, por lo que la derivada es negativa, mientras que la f resultante ha de ser positiva. − G ⋅ m ⋅ dm r2 fgra = 4πr 2 (3) Substituyendo (2) y (3) en (1), obtenemos: − Gm ⋅ dm dP dm d 2 r − dr = ⋅ dr 4πr 4 4πr 2 dt 2 Como lo que queremos es el equilibrio hidrostático, no pueden haber aceleraciones, así las derivada de segundo orden de r respecto el tiempo ha de ser 0. Con lo que queda: dP − Gm dm = ⋅ dr 4πr 4 dr 34 (4) Solo nos queda saber como varía m con r. Pero es sencillo ya que basta con evaluar la masa que hay en nuestra cáscara de material. m = ρ·V dm = ρ · dV dm = ρ · 4πr2dr dm = 4πr 2 ρ dr (5) Substituyendo (5) en (4) llegamos al resultado final: dP − Gm = 2 ⋅ρ dr r (6) Donde se ve claramente el equilibrio entre las dos fuerzas. Esta es la forma Euleriana de describir el equilibrio hidrostático (i.e. con r como variable independiente). Si tomamos m como variable independiente, en lugar de r obtenemos la condición de equilibrio hidrostático en la formulación c Lagrangiana multiplicando (6) por ∂r ∂m = 4π ⋅ r 2 ρ Gm ∂P =− 4πr 4 ∂m 35 h −1 : Ecuaciones de Friedmann Los modelos FRW consideran la distribución de energía como un fluido perfecto. Esencialmente todos los fluidos perfectos de relevancia en cosmología obedecen una ecuación de estado del tipo, p = wρ donde w es una constante independiente del tiempo. Resolviendo las ecuaciones de Einstein para un fluido perfecto obtenemos, 3 2 (a& + ε ) a2 −2a&& a& 2 + ε χp = − a a2 χρ = (1) (2) A partir de (1) y sumándole tres veces (2) obtenemos, b g χ ρ + 3p = −6a&& a (3) Que recibe el nombre de ecuación de Raychaudhuri, para los modelos FRW. Sumando (1) y (2) obtenemos, χ ( ρ + p) = 2 2 2a&& (a& + ε ) − 2 a a (4) Y derivando (1) respecto al tiempo: χρ& = 6a& −6 a&(a& 2 + ε ) + 2 a&& 3 a a (5) Así, a partir de (4) y (5) obtenemos, b ρ& = −3 ρ + p g aa& (6) La ecuación (6) también se obtiene directamente de imponer la conservación de la energía ( ∇ µ T0µ = 0 ). Toda la información está en las ecuaciones (1) y (2), y también en (1) y (6). Se puede probar que (2) es deducible a partir de (1) y (6): (1) • (5) (4) (6) 36 (2) (1) Así, a las ecuaciones (1), (3) y (6) se les llama Leyes de Friedmann, a pesar de que sólo dos son linealmente independientes: b ρ& = −3 ρ + p b g aa& −6a&& a 2 3 a& + ε g χ ρ + 3p = χρ = c h a 2 Donde ε es el llamado índice de curvatura, que puede tomar los valores –1, 0 y 1 según se trate del caso abierto, plano o cerrado respectivamente. 37 Derivación clásica de las Ecuaciones de Friedmann La ecuación de Friedmann describe la expansión del universo, por lo que se trata de una ecuación muy importante en Cosmología. Una tarea rutinaria para cualquier cosmólogo es la de resolver esta ecuación haciendo uso de diferentes parámetros y condiciones referentes al material que contiene el Universo. Para deducirla consideraremos un observador que está en un medio, con una densidad de masa ρ, en expansión uniforme. Como el Universo aparece igual en cualquier parte podemos considerar que el centro de éste es un punto cualquiera. Ahora imaginemos una partícula de masa m a distancia r de este centro. Esta partícula, sólo notará la fuerza gravitatoria debida al material que se encuentra a un radio menor. Así ese material tendrá una masa total M = 4πρr 3 3 , con lo que contribuirá con una fuerza de: GMm 4πGρrm = r2 3 F= Con lo que nuestra partícula tendrá una energía potencial, V =− GMm 4πGρr 2 m =− r 3 Mientras que su energía cinética será, T= 1 2 mr& 2 Ahora bien, podemos aplicar la conservación de energía y decir que la suma de energía potencial y cinética de la partícula es una constante U (que no tiene porque ser la misma para todas las partículas). Así, U = T +V = 1 2 4π mr& − Gρr 2 m 2 3 (1) Esta ecuación nos da la evolución de la separación r entre dos partículas cualquiera. Ahora viene el punto crucial de este argumento. La clave está en recordar que el Universo es homogéneo, lo cual quiere decir que todo lo derivado hasta ahora es válido para cualquiera de los dos puntos, el central o el que está a distancia r. Esto nos permite cambiar a un sistema de coordenadas diferente, denominado sistema de coordenadas comóviles. Estas coordenadas, simplemente, están ligadas a la propia expansión del r medio. Como la expansión es uniforme, la relación entre la distancia real r y la r distancia comóvil, que llamaremos x , se puede escribir de la siguiente manera: r r r = a (t ) x 38 (2) Donde la propiedad de homogeneidad nos asegura que a es una función que tan sólo depende de t. Una forma de visualizar esto es pensar en unas coordenadas asociadas a una rejilla que se expande con el tiempo. r Al sistema original de coordenadas r se le llama sistema de coordenadas físicas. La cantidad a(t) es crucial y recibe el nombre de factor de escala del universo y mide la tasa universal de expansión. Así, si substituimos la ecuación (2) en la (1), podemos reescribir la conservación de la energía en función del parámetro de expansión: U= 1 2 2 4π ma& x − Gρa 2 x 2 m 2 3 Cabe recordar que x& = 0 , por la definición de coordenadas comóviles. Multiplicando cada término de la ecuación por 2 ma 2 x 2 y reagrupando términos obtenemos: FG a& IJ H aK 2 = 8πG kc 2 ρ− 2 3 a Donde kc 2 = − 2U mc 2 x 2 . Esta es la forma estándar de la ecuación de Friedmann. En esta expresión k debería ser independiente de x, tal y como lo son los otros términos de la ecuación, ya que si no la homogeneidad no se nos aseguraría. La única forma de conseguir esto es que U ∝ x2. Notar que es la propia condición de homogeneidad la que nos exige que la cantidad U, a pesar de ser constante para una partícula dada, cambie si la miramos a diferentes separaciones x. Finalmente, podemos observar que k es también independiente del tiempo, con lo cual es una constante que no varía ni en el tiempo ni en el espacio, y tiene unidades de [longitud]-2. Un universo en expansión tiene una única k, que no cambia en toda la evolución. Esta constante nos dirá, en realidad, cuál es la geometría del universo, por lo que se la llama curvatura. 39 Definiciones de Parámetros Cosmológicos y Relaciones ρ < ρc ρ = ρc ρ > ρc a&0 a0 Constante de Hubble actual: H0 = Función de Hubble: H= a& a Densidad Crítica: ρc = 3H0 χ Parámetro de Densidad: Ω= ρ ρc Función de Deceleración: q= − aa&& a& 2 Ω0 < 1 Ω0 = 1 Ω0 > 1 ε = -1 ε=0 ε = +1 q0 < ½ q0 = ½ q0 > ½ Abierto Plano Cerrado Si p0 ≈ 0 (universo pulverulento) tenemos a partir de la segunda ley de Friedmann: − a&&0 χ = ρ0 a0 6 − a0 a&&0 χρ 0 Ω 0 = = = q0 a&02 6 H02 2 Es decir, en los modelos FRW de universo pulverulento q0 y Ω0 no son independientes: Ω0 = q0 2 40 Modelo de Friedmann-Robertson-Walker Consideraremos nuestro espacio-tiempo del estilo RxΣ, donde R representa la dirección temporal y Σ es una variedad diferencial tridimensional homogénea e isótropa. Partiendo del Principio Cosmológico, entendemos que la isotropía da lugar a invarianza bajo rotaciones, y la homogeneidad da invarianza bajo traslaciones. Así homogeneidad e isotropía implican un espacio que tiene el máximo número posible de vectores de Killing (i.e. un espacio máximamente simétrico). Así nuestra métrica puede ser: ds2 = − dt 2 + a 2 (t )γ ij (u)dui du j Aquí, t es una coordenada de tiempo, (u1, u2, u3) son las coordenadas en Σ y γ ij es la métrica máximamente simétrica en Σ. La función a(t) se conoce como el factor de escala y nos da una idea de como “de grande” es la hipersuperficie Σ en el tiempo t. Las coordenadas usadas aquí se conocen como coordenadas comóviles, ya que la métrica no posee términos cruzados del tipo dt·dui y las componentes de tipo espacio son proporcionales a una única función de t. Así, un observador que permanezca a ui constante se denomina observador comóvil. Sólo un observador comóvil verá el universo realmente isótropo; de hecho, en la Tierra no somos “muy comóviles” y como resultado observamos una anisotropía dipolar clara en el fondo cósmico de microondas como resultado del efecto Doppler debido al movimiento propio de la Tierra. Si el espacio es máximamente simétrico, será con total seguridad esféricamente simétrico. Con lo que podemos reescribir nuestra métrica en coordenadas esféricas: ds2 = − dt 2 + a 2 (t ) e 2 β ( r ) dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θ ⋅ dφ 2 ) (1) Solucionando para un espaciotiempo esféricamente simétrico obtenemos un β(r): 1 β(r ) = − ln(1 − kr 2 ) 2 Lo cual, substituyendo en (1) nos da lugar a la métrica de Robertson-Walker: ds2 = − dt 2 + a 2 (t ) LM dr N1 − kr 2 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θ ⋅ dφ 2 ) OP Q Cabe observar que el parámetro k es de gran relevancia. Tan sólo hay tres casos de interés. k = -1, k = 0 y k = +1. El primero corresponde al caso de curvatura negativa constante en Σ y se llama abierto; el segundo caso corresponde a curvatura nula y es el denominado plano; y el tercero y último corresponde al caso de curvatura positiva constante, que se llama cerrado. 41 Chronology of the Universe The following diagram illustrates the main events occurring in the history of our Universe. The vertical time axis is not linear in order to show early events on a reasonable scale. The temperature rises as we go backwards in time towards the Big Bang and physical processes happen more rapidly. 42 ~ Breve Historia de la Cosmología Clásica ~ Comienzos Con las invasiones bárbaras y la caída del Imperio Romano puede decirse que el pensamiento de la civilización y la cultura antigua - los restos del Imperio - es más lenta en la zona oriental. La sabiduría clásica no muere ahí, sino que se va al exilio. Las obras griegas son traducidas al sirio primero y árabe después, en Bagdad. Así, es como la ciencia árabe tiene un gran surgimiento a partir del siglo IX y, algunas centurias después, maravillará al mundo cristiano. La cultura islámica, y junto a ella el idioma árabe, se propaga, vía el norte de Africa, hasta la península ibérica en occidente y hasta China por el oriente. La propagación de los números hindúes hecha por los árabes en el siglo IX a través de la obra del persa Mohamed ibn Musa alkhawariznai es un ejemplo. La lista de los grandes sabios islámicos es enorme. Uno de los grandes es al-Biruni (973-1048) que, entre otras cosas discute la rotación de la tierra en torno a su propio eje, la explicación de las fase de la luna y también formula la hipótesis del movimiento de nuestro planeta en torno al sol. Otro ejemplo es al-Hazen (965-1038) quien hace importantes contribuciones a la óptica demostrando poseer una habilidad experimental superior a los griegos. Su obra es más tarde enriquecida por al Farisi (c.1300) y traducida al latín, se estima que influirá en los estudios de óptica hechos por Kepler tres siglos después. Los árabes también ampliaron la geometría de los griegos. En astronomía la contribución principal que se conoce se produce en el Califato de Córdoba (en esa época la España musulmana es el país más poblado y próspero de Europa) y en particular en la ciudad de Toledo. En esta ciudad al-Zargali construye las famosas “tablas toledanas” (1080) que dan la posición de las estrellas. Además traducen, estudian y propagan el ALMAGEST de Tolomeo (siglo II) que da una visión geocéntrica del Universo. Sicilia, Provenza y Siria) provoca la irrupción de la cultura griega y en particular del mundo ideológico de Aristóteles. Esto último plantea la necesidad de lograr compatibilizar en una síntesis armónica el pensamiento aristotélico y el cristiano, obra cuyo principal ejecutor es el dominico Santo Tomás de Aquino (1225-1274). Mucho más tarde se harían traducciones directas del griego al latín que parcialmente modificaron la imagen del mundo griego y el pensamiento de Aristóteles, al punto que suele hablarse del “Aristóteles medieval” (la versión árabe) para distinguirla del Aristóteles que surgió directamente de fuentes griegas obtenidas en pleno Renacimiento. Nuevos vientos Érase una vez, hace mucho tiempo, un grupo de hombres atrevidos que comenzó a recuperar, y a crear a partir de los recuperado, parte de lo que había existido en aquel remoto pasado que los bárbaros habían destruido y que el tiempo había enterrado para la mayoría. Habían subsistido ciertamente, pequeños y recónditos centros de cultura durante la Edad Oscura. Y como ocurre normalmente durante esos períodos de cambio, había un poco de libertad, con flujos y reflujos, dentro de un marco restrictivo dominante. Fue en aquel período que nació Nicolás Copérnico. Nicolás Copérnico (1473-1543) Copérnico estudió por varios años en su propio país, Polonia, especialmente en la Universidad de Cracovia, que es donde se cree que concibió las ideas que le harían pasar a la historia. Más tarde, su tío y protector lo envió a estudiar a Italia al mejor centro de derecho (Ley Canónica) de la época, Bolonia. Después de Bolonia estudió en Padua y Roma para finalmente graduarse en Ferrara. Copérnico ingresó en Bolonia un año antes del primer viaje de Colón. Una idea del ambiente universitario en la Universidad de Bolonia en esa época lo da la organización que ella tenía. Al contrario que en la importante Universidad de París, donde el gobierno residía en la asociación de profesores, en Bolonia el rector era elegido por los estudiantes y, aunque debía actuar según las recomendaciones de un consejo, en última instancia su autoridad provenía de la asamblea de estudiantes. La atmósfera pública la daban personajes como el papa Borgia (Alejandro VI) a quien se le atribuye la paternidad de Lucrecia y César Borgia. La figura de este último, y sus Tal vez la reconquista de Toledo (1085) por los cristianos pueda considerarse como un punto de partida para la recuperación de la cultura abandonada. Allí mismo en Toledo se forma una escuela de traductores - venidos de lugares tan lejanos como Austria, Inglaterra, Bélgica e Italia - los que se dedican especialmente a traducir del árabe al latín escritos sirios, hebreos, árabes y caldeos. La avalancha cultural que comienza a infiltrar occidente (principalmente por España, pero también por 43 y corregida por su autor durante los últimos treinta años de su vida sin decidirse a lanzarla a la luz. El temor a la represión lo inhibía. Cuando sintió que ya se le acercaba su fin tomó la precaución de dedicárselo al papa, Pablo III, invirtiendo gran esfuerzo en esa dedicatoria. Se dio incluso el trabajo de desenterrar nombres de algunos griegos clásicos que ya habían especulado que el sol sería el centro del universo. El libro recién impreso, llegó a manos del papa al tiempo que Copérnico fallecía. En Roma recién se había instituido la Inquisición y en otro continente se había fundado la ciudad de Santiago de Extremadura. Copérnico usó crudas y, a veces, erradas observaciones hechas por otros, como parte de la fundamentación de su teoría y por eso se le ha acusado de astrónomo mediocre. También se ha dicho que Colón fue un mediocre navegante. Lo esencial en ambos casos es el espíritu de innovación llevado exitosamente a la práctica. Este espíritu de renovación, de búsqueda de formas nuevas, esa creatividad, dominante en los siglos XV y XVI es lo que caracteriza ese complejo movimiento revolucionario llamado El Renacimiento. actuaciones, fue la fuente de inspiración de “El Príncipe” de Nicolás Maquiavelo. También en esa época el fogoso orador Savonarola intentaba en Florencia establecer una rara mezcla de teocracia con visos democráticos. Su destino fue la hoguera. Copérnico tuvo entre sus profesores a uno de los grandes eruditos en la cultura helénica y juntos, profesor y discípulo, observaron el cielo tratando de perfeccionar el complicado sistema de deferentes y epiciclos de Tolomeo (referente al movimiento de los planetas, la luna y el sol en torno a un mismo centro: la tierra). Después de varias tormentas y amotinamientos que casi le resultaron fatales, Colón se encontraba abandonado en una pequeña cueva en Jamaica, cercano a su triste fin, el año en que Nicolás Copérnico se graduaba con el diploma de Doctor en Ley Canónica en Ferrara. Terminados sus estudios se instaló en el fortificado castillo de Heilsberg. Fue ahí donde trabajó en detalle sus ideas originales de los tiempos de Cracovia que le permitirían reformular totalmente la astronomía describiendo el universo con el sol al centro. Al poner por escrito sus ideas (1512) en breve tratado titulado “Pequeño comentario”' sabía que su obra subvertía las ideas de la época. Tuvo la precaución de publicar solo unas pocas copias, las que repartió entre sus amigos de más confianza. Nicolás aún no tenía 40 años. Una nueva estrella para revoluciones. Tenía 26 años el inquieto danés cuando vio aparecer un punto extremadamente brillante en el cielo. Llegó a brillar tanto la estrella nova de 1572 que podía verse de día. En ese momento Johannes Kepler era un niño debilucho de solo un año, que había nacido prematuramente de una modesta familia alemana. Shakespeare como Galileo Galilei eran niños de 8 años mientras Miguel de Cervantes, de 25, recién se había recuperado de las heridas de la batalla de Lepanto que le imposibilitaron definitivamente su mano izquierda. En Nápoles, el dominico Giordano Bruno comenzaba a tener sus primeras dudas teológicas. Con su juventud y amplios estudios, el danés Tycho Brahe pudo demostrar que esa estrella estaba más allá de la luna, contrario a la explicación generalizada. Con esta observación sólida y precisa Brahe echó por tierra la hipótesis aristotélica de que “la esfera de las estrellas fijas” era permanente e inmutable. El interés que despertó el razonamiento de Brahe ayudó bastante a establecer la teoría de Copérnico planteada en Revoluciones. Aun así faltaba bastante para que su aceptación fuese general. Pocos años después el mundo religioso de Europa se remecía hasta sus bases al iniciarse el quiebre de la unidad de la Iglesia (lo que se conoce como la Reforma) cuando en 1517 Lutero lanza sus 95 tesis contra las indulgencias. Tal vez una generación antes las ideas de Copérnico habrían pasado sin causar un escándalo teológico, pero en ese período no estaban los ánimos para aceptar cambios a las creencias tan largamente establecidas. Aun así por décadas el Vaticano no tomó una posición clara y decididamente en contra, al punto que el papa Clemente VII le pidió a Copérnico (1530) que describiese con más detalle su teoría. Lutero, en cambio, lo atacó desde el comienzo. Es una ironía de la historia que, con el tiempo, fue en las regiones protestantes donde primero se propagaría y aceptaría la teoría heliocéntrica de Copérnico. Copérnico revisaba y revisaba su gran manuscrito y se resistía a publicarlo sabiendo la ola de críticas que iba a levantar en filósofos y clérigos, y el peligro que eso implicaba. Su obra, conocida como “Revoluciones”' (De Revolutionibus Orbium Coelestium) fue escrita La fama de Brahe indujo al rey de Dinamarca a cederle una isla cerca de Copenhage para que instalara un observatorio propio. El observatorio fue provisto de excelente instrumental y muchos 44 asistentes, lo que le permitió llevar a cabo una empresa de increíble paciencia y empuje durante 20 años observando la posición de los objetos celestes - en particular de los planetas con una precisión desconocida hasta entonces. Brahe se vio forzado a emigrar a Praga (con su observatorio) en el preciso momento en que Kepler buscaba trabajo, ya que en Graz, donde trabajaba Kepler, las autoridades comenzaban a exigir ser católico. Kepler fue el primer gran científico protestante. Temeroso de ser expulsado, o algo peor, Kepler llegó a trabajar a Praga como asistente principal de Brahe. Pero Tycho vivió solo unos pocos meses más, quedando el joven Kepler a cargo del magnífico instrumental y de las cuidadosas observaciones estelares que por 20 años había acumulado el danés. Kepler tuvo la osadía de aceptar lo que los datos numéricos de Brahe indicaban y romper así con una tradición de más de dos mil años: estableció que los planetas giran en torno al sol en órbitas elípticas obedeciendo leyes bien precisas que han pasado a la historia. Su obra “Nueva Astronomía”' se publicó en Praga (1607) cuando tenía 36 años. Ella fue un golpe mortal a la visión pitagórica-platónica que planteaba la necesidad de la “perfección” de los movimientos celestiales (circunferencias), que aún el gran Copérnico había aceptado a priori. Fructífero resultó el forzado exilio de Kepler. Estando Revoluciones en el Indice, a Galileo se le prohibió expresamente defender esas ideas. Pero Galileo, que no se distinguía por su docilidad, utilizó el resquicio legal de escribir un libro en forma de diálogo entre tres personajes “Diálogos sobre los dos sistemas del mundo”, el sistema oficialista de Tolomeo y el copernicano. Los diálogos pueden considerarse como el primer manifiesto de la nueva ciencia. Estudiando en la universidad de Pisa, Galileo se distinguió antes que nada por su inclinación y talento para las matemáticas y los experimentos físicos, pero también por su hábito de discutir con sus profesores y poner en tela de juicio lo que se esperaba que fuese aceptado de acuerdo al principio de autoridad tan en boga en la Italia del siglo XVI. Abandonó la universidad sin título alguno en 1585. Después de varios años se instaló como profesor en la Universidad de Padua, República de Venecia, por casi dos décadas. Kepler poseía una florida imaginación. Aprovechando los conocimientos que clandestinamente le enseño su profesor en Tübingen sobre las ideas de Copérnico, escribió un libro donde relaciona el tamaño de las órbitas de los planetas en base a ingeniosas proporciones geométricas. Su libro lo hizo famoso a los 25 años de edad (1596) y eso le permitió establecer contacto apistolar con Galileo y Brahe. En una carta de Galileo a Kepler el primero le confiesa haber “aceptado las ideas de Copérnico desde hace muchos años”, pero agrega que nunca se ha atrevido a decir tanto como eso en letra de molde. En efecto, desde la muerte de Copérnico se había ido haciendo cada vez más peligroso avanzar o defender ideas que estuviesen en desacuerdo con la doctrina oficial. Esta intolerancia poco a poco pasó a invadir asuntos científicos llegándose a incluir Revoluciones en el Indice de libros prohibidos. Aparte de ser una valiosa obra científica, los diálogos fueron escritos en italiano de modo que pudieron alcanzar una audiencia mucho mayor en el país. No dejando explícito quién tenía la razón logró pasar la censura, aunque era claro para dónde se inclinaba la balanza. Pero tan pronto salió el libro a la publicidad (1632) Galileo fue acusado de desobediencia y de haber obtenido permiso de impresión por medios ilícitos. Tenía ya cerca de 70 años este viejo luchador cuando tuvo que vérselas con la Inquisición: fue recluido e interrogado intermitentemente durante meses, aunque aparentemente no fue víctima de otro tipo de tortura física (común es esos años). Fue sentenciado a cadena perpetua el 22 de Junio de 1633 pero, dada su avanzada edad, se le concedió una especie de arresto domiciliario. La cultura contra las prohibiciones. Un gran difusor del sistema de Copérnico fue el dominico Giordano Bruno. Bruno recorrió toda Europa propagando sus ideas y escapando a la persecución que en su contra provocaba con sus libros, panfletos y disputas. Bruno defendía la idea de que el mundo era infinito, el sol era tan solo una estrella más, y todas las estrellas poseían planetas a su alrededor. Además predicaba una suerte de ideas antiaristotélicas y antimetafísicas. Su vida fue una huida permanente. Apresado por la Inquisición en 1592, fue condenado a la hoguera ocho años más tarde, sellando el agitado siglo de Copérnico. Bruno, más que un mártir de la ciencia, lo fue de la libertad de expresión. Con la muerte del rey de Dinamarca Tycho 45 De Galileo a Kepler Patricio Cordero Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Universidad de Chile Padua, Agosto 4, 1597. Me felicito por la suerte excepcional de tenerlo como camarada en la búsqueda de la verdad. Porque es lamentable que haya tan pocos que busquen la verdad (...) Este no es el lugar, sin embargo, para lamentarse de las miserias de nuestro siglo, sino para regocijarnos con estas hermosas ideas para demostrar la verdad. (...) he aceptado las ideas de Copérnico desde hace muchos años (...) pero no me he atrevido a publicarlas hasta ahora, alarmado por el destino de Copérnico, nuestro maestro. El se ha ganado una fama imperecedera a los ojos de unos pocos, pero una multitud infinita le ha gritado y se ha burlado de él. (...) Me atrevería a aparecer públicamente con mis ideas si hubiese más personas que pensaran como usted. Como no es así me abstendré. De Kepler a Galileo Graz, Octubre 13, 1597. Usted nos recomienda, con su ejemplo personal (...) apartarse ante la ignorancia general y no arriesgarnos o imprudentemente oponernos a los ataques violentos de la chusma letrada. (...) Pero después que una inmensa tarea ha sido iniciada en nuestra época (...) ¿no sería mucho mejor empujar hasta la meta en un esfuerzo mancomunado, ahora que está encaminada, y gradualmente, con poderosas voces acallar a esa chusma, que realmente no sopesa muy cuidadosamente los argumentos? (...) Con sus argumentos hechos públicos ayudaría a la vez a sus camaradas que sufren tantos juicios injustos, porque ellos obtendrían consuelo por su consentimiento o protección dada la posición influyente suya. (...) Arriba el ánimo Galileo y preséntese públicamente. En este breve recuento nos hemos detenido en apenas unos pocos personajes para ilustrar la lucha entre la fuerza del poder y la fuerza de la razón. La lucha entre la intolerancia dogmática y la cultura que siempre se renueva y cambia. Una gran cultura estuvo a punto de desaparecer definitivamente, pero si algún espacio, algún rincón de luz logra sobrevivir a persecuciones, intolerancia y hogueras, ésta se recupera y reanuda su camino. Porque aún fuerzas oscuras tratan de detenerla, sin embargo se mueve. 46 Cuestiones y Problemas 47 Bloque 1 1. Para una temperatura dada, la longitud de onda a la que un cuerpo negro radía más por unidad de longitud de onda es λ0= 4000Α. ¿Cuál será la longitud de onda para la cual la radiación emitida será máxima si la temperatura del cuerpo negro aumenta de tal forma que la razón de emisión de radiación se triplica? 2. Demostrar que la Ley de Planck de la radiación del cuerpo se puede aproximar por la 2ª Ley de Wien para altas frecuencias (Zona de Wien). ¿Cuánto deben valer las constantes α y β? 3. Demostrar que la Ley de Planck de la radiación del cuerpo negro se puede aproximar por la Ley de Rayleigh-Jeans para bajas frecuencias (Zona de Rayleigh-Jeans del espectro). 4. En un experimento fotoeléctrico, hacemos incidir radiación electromagnética sobre una lámina de sodio (w= 2,3 eV) que actúa como cátodo. A medida que la lámina va emitiendo electrones se va cargando positivamente. Cuando el potencial es lo bastante grande como para impedir que los fotoelectrones escapen del cátodo, éste recibe el nombre de potencial de frenado (con la energía potencial asociada Uf = eVf). ¿Cuanto valdrá el potencial de frenado si hacemos incidir sobre le sodio radiación monocromática de λ = 6000Α? 5. Al estudiar el efecto fotoeléctrico sobre cierto material se observa que el potencial de frenado de los fotoelectrones vale 1’54 cuando la radiación incidente tiene una longitud de onda de λ = 3500 Α, y vale 2’05 cuando la longitud de onda es de λ = 4000 Α. ¿Cuál es la longitud de onda umbral a partir de la cual no se va producir el efecto fotoeléctrico? 6. La energía de ionización de los electrones de valencia de un conjunto de átomos vale 6 eV y para los de la capa más cercana al núcleo vale 2’2 KeV. Si se les hace incidir radiación electromagnética de frecuencia ν = 1010 MHz, razonar si se producirá efecto fotoeléctrico y/o efecto Compton. 7. Deducir la ecuación de Compton considerando una colisión elástica entre un fotón y un electrón en reposo.(Ayuda: considerar la expresión de de Broglie para el momento lineal, p=h/λ, y la expresión relativista, E = mec2, para la energía del electrón en reposo) 8. Si el 5% de la luz visible de una bombilla incandescente se encuentra en el rango visible del espectro electromagnético, ¿cuántos fotones son emitidos por segundo por una bombilla de 60 Watts suponiendo que la luz visible tiene una longitud de onda media de 5600Α? 48 9. Deducir a partir de la expresión de la energía para el electrón de un átomo hidrogenoide según el modelo de Bohr*, la fórmula de Balmer para el espectro del hidrógeno. mZ 2 e 4 1 , donde Z es el número atómico que para el hidrógeno 2 2 (4πε 0 ) 2h n 2 vale 1, e es la carga del electrón, ε0 es la permitividad eléctrica en el vacío, h vale h/2π siendo h la constante de Planck, m es la masa del electrón y n es el número cuántico que hace referencia al nivel energético del electrón ligado. *E = − 10. Dada la fórmula de la energía de los niveles electrónicos del átomo de Bohr del problema anterior calcular: a) la constante de Rydberg para el hidrógeno substituyendo m por la masa del electrón. b) La constante de Rydberg para el hidrógeno substituyendo m por la masa reducida de un átomo hidrogenoide, µ = mM/m+M, donde m es la masa del electrón y M es la masa del núcleo (en el caso del hidrógeno es la masa del protón). Sabiendo que los dos casos anteriores hacen referencia a, por un lado, la aproximación de considerar la masa del núcleo infinita (al ser muy grande al lado de la del electrón) y, por el otro, tenerla en cuenta (corrección por masa nuclear finita), comparar el error que se comete en un caso y en el otro si el valor experimental de la constante vale RH = 10967757,6 ± 1,2 m. 11. Calcular mediante el modelo de Bohr la energía necesaria para arrancar un electrón (energía de ionización) de un átomo de He+ (helio simplemente ionizado, es decir que ha perdido uno de sus dos electrones). 12. Calcular el momento lineal que recibe un átomo de deuterio (átomo de hidrógeno con un neutrón en el núcleo) al emitir un fotón creado por una transición electrónica del átomo entre los niveles n = 10 y n=1. 13. ¿Qué longitud de onda se puede asociar a una bala de 15,2g que viaja a una velocidad de 265,8 m/s? ¿Deberían observarse en balas de estas características comportamientos propios de un movimiento ondulatorio tales como la difracción o la interferencia? ¿Por qué? 14. En el tubo de rayos catódicos de un osciloscopio de un laboratorio de física se hace pasar un haz de electrones de 20eV de energía cinética por una abertura redonda de 1’5mm de diámetro. ¿Se deben tener en cuenta los efectos de la difracción? 15. Ningún instrumento óptico puede resolver los detalles de un objeto que es más pequeño que la longitud de onda con la que se observa. Lo mismo pasa con un microscopio electrónico, considerando su longitud de onda como la 49 longitud de onda de de Broglie. ¿Qué voltaje debe de aplicarse a los electrones de un microscopio para lograr una resolución de 5000 Α? 16. ¿Qué interpretación se le da a la relación de incertidumbre energía-tiempo en relación con la medición de la energía de estados atómicos excitados? 17. Dada una colección de n funciones de onda, Ψ1(x,t), Ψ2(x,t), Ψ3(x,t),…, Ψn(x,t), que son solución de la ecuación de Schrödinger para un cierto potencial V(x,t), demostrar que una combinación lineal cualquiera, Ψ(x,t) = n C1Ψ1(x,t) + C2Ψ2(x,t) + C3Ψ3(x,t) + … + CnΨn(x,t) = ∑ C i Ψi ( x, t ) , es i =1 también una solución (linealidad de la ecuación de Schrödinger) 18. La función de onda para el estado de mínima energía de un oscilador armónico simple unidimensional puede escribirse como Ψ ( x, t ) = Al −( Κm 2 i Κ x + t) 2h 2 m donde A es una constante real, m es la masa de la partícula y Κ es la constante de la fuerza restauradora (F = -Κx). a) Comprobar que la función de onda anterior es solución de la ecuación de Schrödinger para el potencial de un oscilador armónico simple. b) Encontrar el valor de A para que la probabilidad de encontrar la partícula sometida al potencial armónico en cualquier posición (normalizar la función de onda) +∞ ∫ Ρdx = 1 −∞ donde P = Ψ*(x,t) Ψ(x,t) es la densidad de probabilidad de que una partícula en el instante t se encuentre en la posición x. 19. Un conjunto de funciones de onda soluciones de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para una partícula sometida a un potencial de pozo cuadrado infinito V= ∞ |x|>L 0 -L < x < +L viene dado por Ψn ( x) = An cos(k n x) kn = (n+1)π/2L 50 n = 1, 2, 3,… donde n determina el nivel o estado energético permitido para la partícula ligada. Demostrar que efectivamente son soluciones de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo y que cumplen las condiciones impuestas por el tipo de potencial al que está sometida la partícula. Encontrar la expresión de la energía de la partícula en función del nivel de energía discreto en el que se encuentra, n. 20. Para el sistema descrito en el problema anterior normalizar la función de onda de la partícula en el estado de mínima energía, n=1. Calcular también ∂ el valor esperado de la posición X y el momento lineal P = −ih utilizando ∂x +∞ la función de onda para n=1.(Ayuda: <O>= ∫ Ψ * ( x, t )OΨ ( x, t )dx −∞ 21. Una partícula libre de masa m está descrita a t = 0 por la función de onda: Ψ(x,0) = C exp(-x2/4) a) Calcular la indeterminación en la posición. b) Calcular la indeterminación en el momento. c) Verificar que se trata de un paquete mínimo, es decir, que se cumple ∆x·∆p = h/4π. 22. Analizar cuáles de las siguientes reacciones están permitidas, y, en el caso de que lo estén, razonar por medio de qué interacción o interacciones se pueden producir: a) µ − → e − + ν e b) p + p → γ + γ c) p + n → Σ + + Λ0 d) p + e − → π + + e − 23. Discutir la conservación de carga, la conservación del número leptónico y del número bariónico en las siguientes reacciones y clasificarlas como electromagnéticas, fuertes o débiles: a) π 0 → γ + γ b) µ + → e + + ν e + ν µ c) Σ + → Λ0 + e + + ν e 24. Deducir, partiendo de las leyes de conservación, la partícula que falta en las siguientes reacciones: a) π + → π 0 + ... + ν e b) n → ... + e + + ν e c) ν µ + ... → n + µ + 51 25. Discutir cuáles de las siguientes reacciones están permitidas por las leyes de conservación. ¿Qué tipo de interacción (electromagnética, débil o fuerte) puede originar la reacción en caso de que ésta no esté prohibida? a) Λ0 → p + e − b) Κ + + n → Σ + + π 0 c) n → p + e − + ν e d) p → µ + + γ 26. Distinguir e identificar el tipo de los neutrinos de las siguientes reacciones de acuerdo con las leyes de conservación: a) π + → µ + + ν b) Κ + → π 0 + e + + ν c) µ − → e − + ν + ν d) Λ0 → p + e − + ν 27. Indicar qué interacción es la responsable de las siguientes reacciones. Hacer un diagrama de quarks, indicando qué tipo de bosón se intercambia y si hay algún quark que cambia de sabor: a) Λ → p + e − + ν e b) Κ 0 → π − + e + + ν e (Λ = (sud), p = (uud), Κ0 = ( s d), π- = (ud)) 28. Teniendo en cuenta el contenido en quarks, hacer un diagrama esquemático a nivel de quarks de la desintegración Λ→ p π0 indicando qué tipo de bosón se intercambia y si alguno de los quarks sufre algún cambio de sabor.(Λ = (uds), p= (uud), π- = (d u )) 29. El mesón Σ+ decae a pπ0 mediante la interacción débil. Dibujar un diagrama esquemático de quarks de esta desintegración indicando qué tipo de bosón se intercambia y si alguno de los quarks sufre algún cambio de sabor.(Σ+ = (uus), p = (uud), π0 = (u u -d d ))/ 2 ) 30. Utilizar los valores Q de las tres reacciones siguientes para calcular la energía disponible para el decaimiento β del 14Si31 H 2 + 15P 31 →14 Si 29 + 2He 4 1 H 2 + 14 Si 29 →14 Si 30 + 1H 1 1 H 2 + 14 Si 30 →14 Si 31 + 1H 1 1 Q = 8,158 MeV Q = 8,388 MeV Q = 4,364 MeV 52 31. Calcular las energías de ligadura, B, de los núcleos de 4Be9, 8O16, 13Al27, 29 Cu63, 50Sn120, 74W184 y 92U238 utilizando la formula semiempírica de masas*. (N − Z )2 Z2 − bc 1 / 3 − δ , donde δ = + bδA-3/4 si Z A A y N = A – Z son impares, 0 si Z o N son impares, y - bδA-3/4 si Z y N son pareslos dos; bv = 15’7 MeV, bs = 18’6 MeV, bsym = 28’1 MeV, bc = 0’72 MeV y bδ =34 MeV. * B( A, Z ) = bv A − bs A 2 / 3 − bsym 32. Considerar una cadena de procesos radiactivos en la que intervienen tres tipos de núcleos, 1, 2, 3, tal que 1 → 2 → 3. Las constantes de desintegración de los dos procesos son λ1 y λ2. El núcleo tipo 3 es estable. Encontrar el número de núcleos de cada tipo en función del tiempo. Condiciones iniciales: N1(0) = N0, N2(0) = N3 = 0. Bloque 2 1. Propón algún objeto de la vida cotidiana que tenga el mismo tamaño que tendría un agujero negro con la masa de la Tierra. ¿Y una estrella de neutrones? 2. Realiza una estimación de la presión en el interior del Sol a radio r=R/22/3 y a r=0. Ayuda: Utilizar las ecuaciones del equilibrio hidrostático y de la conservación de masa. 3. ¿Qué área recolectora para radiación solar hace falta para encender una bombilla de 100 W, si la energía solar se pudiera convertir en energía eléctrica con un 100% de eficiencia?. 4. Haz una estimación del radio máximo del horizonte de sucesos de un agujero negro (radio de Schwarzschild) con la masa de la Tierra. ¿Y si tuviera la masa del Sol? 5. Reescribe la fórmula del radio de Schwarzschild para una masa esféricamente simétrica, en función, tan sólo, de masas solares. 6. Calcula la distancia máxima que se puede obtener mediante el método de la paralaje, si se quiere observar objetos con una resolución de 1 arcsegundo. 7. Supongamos que cogemos una cucharadita del material de una estrella de neutrones y lo traemos a la Tierra. ¿Cuánto pesaría? Describe qué sucedería si lo dejásemos caer de una altura de aproximadamente un par de metros. ¿Qué tipo de movimiento surge?. 8. En un sistema S’ un suceso tiene lugar en el punto x’=10, y’=0, z’=0, donde las coordenadas vienen dadas en metros y t’=1 s. Si un sistema S se mueve 53 respecto a S’ con una velocidad 3c/5 en la dirección negativa del eje de las x y los orígenes de los dos sistemas coinciden para t=0, t’=0, ¿cuáles sin las coordenadas del suceso visto desde S? 9. Dos sucesos P y Q separados espacialmente 3·108 m son simultáneos en cierto sistema de referencia inercial S. Hallar las velocidades en la dirección PQ de otros sistemas de referencia para que los sucesos estén separados por intervalos de tiempo de 0’1 s, 1 s y 10 s respectivamente. 10. Una regla AB de longitud propia L se mueve con velocidad v relativamente a S (AB y v son paralelos al eje OX de S). Un plano paralelo al plano XZ se mueve con una velocidad u paralela a OY relativamente a S. Este plano tiene un agujero de diámetro L’ (L’<L). Si en un cierto instante el centro de la regla y el centro del agujero coinciden con el origen de coordenadas de S, ¿pasará la regla por el agujero?. 11. Las coordenadas de espacio-tiempo de dos pares de sucesos son: Suceso X(m) A1 0,3 A2 0,4 B1 0,7 B2 0,4 Y(m) 0,5 0,7 0,5 0,6 Z(m) 0 0 0 0 t(s) 2·10-9 3·10-9 5·10-9 4·10-9 • ¿Puede haber una conexión causal entre A1 y A2? ¿Y entre B1 y B2? • ¿Hay algún sistema de referencia que vea simultáneos A1 y A2? ¿Y a B1 y B2? En caso afirmativo hallar el sistema de referencia. 12. Da un ejemplo de homogeneidad con anisotropía. 13. Da un ejemplo de isotropía con inhomogeneidad. 14. Da un ejemplo de homogeneidad e isotropía. 15. Si H0 se hace pequeña, ¿qué pasa con la edad del Universo? ¿Y con el Radio de Hubble? Razona tu respuesta. 16. ¿Es posible hallar una roca con una edad de 4.900 millones de años en un Universo cuya H0 es 200 Km/Mpc·s? 17. Da ejemplos de fenómenos de diferentes longitudes de onda que es posible encontrar en la naturaleza. 18. Si el Sol explotase ahora mismo, ¿cuánto tiempo tendríamos para escapar del sistema solar?. 19. Si todos los sistemas de referencia inerciales son equivalentes ¿por qué sucede la paradoja de los gemelos?. ¿Es realmente una paradoja?. 54 20. ¿Cómo cambiaría nuestra percepción del mundo si la velocidad de la luz fuera de 50 Km/h? 21. Calcula tu radio de Schwartzschild. Calcula también el de la Tierra y el del sol. Compáralos con algo conocido de un tamaño similar. 22. Completa la siguiente tabla: Objeto Masa (Ms) Radio (Km) Vesc (Km/s) Tierra 0,00000304 6.370 Júpiter 0,001 71.500 Sol 1 696.000 Enana Blanca 0,8 10.000 Estrella de Neutrones 2 8 RSch (Km) 23. Supongamos que un objeto está 5 metros delante nuestro y 12 metros por encima. ¿Cuál es la distancia total en el espacio-tiempo entre nosotros y el objeto? ¿Coincidirá con nuestra afirmación cualquier otro observador? ¿Existe una noción de distancia entre dos objetos tal que todos los observadores no acelerados están de acuerdo? 24. A partir de las tres constantes fundamentales (G, h y c) hallar las fórmulas de la masa, la longitud y el tiempo de Planck, y calcular sus valores. 25. Un astronauta está en su nave espacial orbitando alrededor de un objeto. La longitud aproximada de la órbita es de 106 Km, y el período orbital es de 5 minutos y 46 segundos. Calcular la masa del objeto alrededor del cual órbita. 26. Una nave espacial viaja hacia una estrella situada a 95 ly de la Tierra. Si la velocidad de la nave es de 2.2 ·108 m/s, ¿cuánto tiempo tarda la nave en llegar a su destino visto desde, (a) la Tierra?, (b) un pasajero de la nave? 27. La longitud de onda correspondiente al Silicio doblemente ionizado (SiII) es λ0 = 6406 Å. En una explosión de supernova se observa la misma línea espectral desplazada por efecto Doppler a λ = 6150 Å. Deduce la velocidad de expansión del material eyectado por la supernova. El material, ¿se acerca o se aleja de nosotros?. 28. La longitud de onda más larga emitida en la serie de Balmer del Hidrógeno es λ0 = 656 nm. En la luz de una galaxia distante, la longitud de onda correspondiente resulta ser λ’ = 1458 nm. Encuentra la velocidad con la que la galaxia se aleja de la Tierra. Compara el resultado del efecto Doppler clásico con el relativista. 55 29. Para un radiador ideal (denominado cuerpo negro) la frecuencia donde la emisión es máxima es proporcional a la temperatura absoluta T, según la ley: k ν max = 2.8 × B × T h a) Hallar la fecuencia y la longitud de onda dominante en la radiación solar, suponiendo que la emisión es la de un cuerpo negro perfecto a T=5800 K. ¿En qué banda del espectro se encuentra la emisión? b) Hacer lo mismo para el fondo de radiación cósmico (T=2.728 K) 30. Un candidato para la materia oscura es el neutrino (en este caso se habla de HDM, “Hot Dark Matter”). Suponiendo que el número total de neutrinos sea el mismo que el de fotones presentes en la radiación (nγ = 3.7·108 fotones/m3), calcula la masa que tendría que tener un neutrino para que la contribución de estas partículas a la densidad del Universo sea el 50% de la densidad crítica. 56 Glosario 57 • Agujero Blanco. Surtidor de materia que no permite que nada caiga en él. Inversión matemática de un agujero negro. • Agujero de Gusano. Conexión topológica entre dos lugares muy separados en nuestro Universo. • Agujero Negro. Objeto, creado por la implosión de una estrella, que es capaz de generar un campo gravitatorio tan intenso que ni la luz puede escapar de él. • Agujero Negro Primordial. Agujero negro característicamente mucho menos masivo que el Sol, que fue creado en el Big Bang. Se han barajado hipótesis que los tratan como defectos topológicos puntuales que podrían haber actuado como disparadores de procesos de acreción en el universo temprano que dieron lugar a las inhomogeneidades que se observan actualmente. • Antimateria. Forma de materia idéntica a la materia ordinaria a excepción de que posee los números cuánticos de carga cambiados de signo. Cuando materia y antimateria colisionan se convierten ambas en pura energía, siguiendo la ecuación E=m·c2, aniquilándose mútuamente. • Astrofísica. Rama de la Física que trata el estudio de los objetos cósmicos y las leyes que los gobiernan. • Astronomía. Rama de la Física especializada en la observación de objetos cósmicos mediante telescopios y/o satélites. • Banda. Intérvalo de frecuencias. • Barión. Partícula que es un estado ligado de tres quarks. Todos los bariones tienen spin semientero y son blancos. Su número bariónico es 1. Son las partículas del las que está formada la materia “corriente”. • Big Bang. Modelo matemático que propone que el origen del Universo se debe a la creación explosiva del espacio y el tiempo. • Big Crunch. Fase final del recolapso gravitatorio del Universo. Es uno de los posibles finales de éste. Sucederá si la densidad del Universo es mayor que cierta densidad crítica. • Bosón. Partícula de espín entero que no obedece el principio de exclusión de Pauli. • Campos cuánticos en el espacio-tiempo. Matrimonio parcial entre la Relatividad General y la Mecánica Cuántica, en el que las ondas 58 gravitatorias y los campos no gravitatorios se consideran cuánticos, mientras que el espacio-tiempo curvo en el que residen se considera clásico. • Casimir (efecto). El efecto Casimir es una pequeña fuerza atractiva entre dos placas conductoras neutras colocadas paralelamente a una pequeña distancia. Esta fuerza aparece como consecuencia de las fluctuaciones cuánticas de vacío del campo electromagnético. El efecto fue predicho por el físico germano Hendrick Casimir en 1948. De acuerdo con la teoría cuántica, el vacío contiene pares virtuales partícula-antipartícula que se crean y aniquilan continuamente. Casimir se dio cuenta que sólo los fotones virtuales cuya longitud de onda encaja entre las dos placas contribuyen a la densidad de energía de vacío. Por tanto, esta densidad de energía de vacío será menor entre las placas que en el exterior, produciéndose una diferencia de presión que tiende a acercar las placas La fuerza F entre dos placas de área A separadas por una distancia a puede ser calculada como : F = p h c A/(480 a4) siendo h la constante de planck y c la velocidad de la luz. Esta fuerza minúscula fue medida en 1996 por Steven Lamoreaux dentro de un margen de error del 5% con respecto a la predicción teórica. • Color. El color de una estrella depende de la temperatura de su superficie; longitudes de onda corta correspondes a altas temperaturas y viceversa. Sin embargo, los astrónomos habitualmente no miden el color en una única longitud de onda, sino que lo hacen al menos en dos de ellas y comparan las medidas para determinar la temperatura. En los años 50 se estableció el sistema de medida del color con tres bandas UBV: ultravioleta (U) a 360 nm, azul (B) a 420 nm y visual (V) a 540 nm. Se llama índice de color a la comparación entre dos de estas bandas. Por ejemplo el índice UB es la comparación entre el ultravioleta y el azul y el BV la comparación entre azul y visible. Comparando estos índices de color se puede saber por ejemplo cuánta luz ha sido absorbida por polvo interestelar (enrojecimiento interestelar). • Combustión Nuclear. Reacciones de fusión nuclear que proporcionan la energía de presión que sustentan las estrellas contra el colapso gravitatorio. • Compton (longitud de onda). La longitud de onda Compton es una estimación del tamaño que una partícula presenta al interaccionar con la radiación. Como depende sólo de la masa de la partícula m y de dos constantes de la naturaleza, la constante de Planck h y la velocidad de la luz c, es una buena estimación del "tamaño efectivo" de una partícula; la 59 longitud de onda Compton se calcula como h/mc. • Conjetura de la Ausencia de Pelo. Conjetura de los años sesenta y setenta (que se demostró verdadera en los años setenta y ochenta) de que todas las propiedades de un agujero negro están determinadas unívocamente por su masa, carga eléctrica y momento angular. • Conjetura de la Censura Cósmica. Conjetura de que las leyes de la Física impiden la formación de una singularidad desnuda, es decir, sin un horizonte de sucesos que la oculte. • Coordenadas Comóviles. Existe un sistema de referencia donde la descripción del universo en expansión resulta más sencilla. En este sistema de referencia podemos pensar en las galaxias como ocupando posiciones fijas en la superficie de un globo hinchándose, como analogía bidimensional del universo en expansión. A medida que el globo se hincha, la distancia entre los puntos aumenta, pero aún así podemos seguir describiendo una galaxia por la longitud y latitud que ocupan en ese globo, que no cambia con el tiempo. En cosmología es posible elegir un sistema de coordenadas similar desde un sistema de referencia donde el fondo cósmico de microondas resulta completamente isótropo y la ley de Hubble se cumple con exactitud. La coordenada de distancia r de una galaxia elegida es tal que r(t) representa la distancia a esa galaxia como suma de todas las subdistancias entre un observador y otro que medirían un grupo de observadores colocados en la línea de visión entre la galaxia y el observador situado en el origen simultáneamente en el instante t de expansión. El instante simultáneo t puede ser elegido por el hecho de que todos los observadores pueden realizar su medida de distancia justo en la época cuando la temperatura del fondo de cósmico de microondas es idéntica para todos. A la coordenada t se le denomina tiempo cósmico. Por supuesto, la medida práctica de r es imposible, por lo que tenemos que usar las relaciones entre esta coordenada y las distancias aparentes observables. • Corpúsculo. Nombre utilizado para un fotón en los siglos XVII y XVIII. • Cuásar. Objeto compacto altamente luminoso del Universo distante, que se cree está alimentado por un agujero negro gigante. • Cuerpo negro. Un objeto que absorbiera toda la radiación electromagnética que incidiera sobre él sería un cuerpo negro perfecto. Después de calentarse, dicho cuerpo emitiría un espectro característico según la temperatura alcanzada. El ejemplo más cercano a un cuerpo negro que podemos construir en la Tierra sería un gran contenedor con un pequeño agujero por el que introdujéramos radiación electromagnética brillante. Después de calentarse, la radiación que surgiera del agujero 60 dependería sólo de la temperatura alcanzada. Aunque el concepto de cuerpo negro parezca una idealización (y de hecho lo es), la radiación procedente de muchos objetos astronómicos puede ser aproximadamente descrita en términos de la temperatura de un cuerpo negro. Así por ejemplo, el sol radia como un cuerpo negro a una temperatura de 6000 K. El ejemplo natural más perfecto de cuerpo negro que se conoce es el de la radiación de fondo cósmico a 2.7 K. • Cyg A. Cygnus A. La primera radiogalaxia en ser firmemente identificada. • Cyg X-1. Cygnus X-1. Objeto masivo en el núcleo de nuestra galaxia que probablemente sea un agujero negro. • Degeneración electrónica. Estado de la materia en el que los electrones han ocupado todos y cada uno de los niveles cuánticos permitidos. El confinamiento les obliga a moverse a gran velocidad lo cual genera una presión efectiva a causa del Pincipio de Exclusión de Pauli. • Densidad crítica. Es la densidad necesaria para que la curvatura del universo sea cero. En el presente del universo, la densidad crítica es r0 = 3H02/8pG = 1.879 h2 10-29 g/cm3, que corresponde a una densidad tan baja como la de la masa de 2 ó 3 átomos de hidrógeno por metro cúbico. • Desplazamiento Doppler. Desplazamiento de una onda hacia frecuencias más elevadas cuando su fuente emisora se acerca al receptor, y hacia frecuencias más bajas cuando se aleja. • Deuterio. Isótopo del Hidrógeno formado por un protón y un neutrón. También se le llama Hidrógeno Pesado, ya que tiene propiedades químicas muy similares a las del Hidrógeno. • Diagrama de inserción. Diagrama que sirve para visualizar las deformaciones del espacio-tiempo a través de la curvatura de una superficie bidimensional insertada en un espacio tridimensional. • Disco de acreción. Disco de gas que rodea a un cuerpo compacto. La fricción hace que el gas se mueva en espirales que se cierran poco a poco, hasta que el gas acreta en el cuerpo. • Ecuación de estado. Forma en la que la presión depende de la densidad. • Electrónvoltio. (eV) En física de partículas se acostumbra a dar las masas de las partículas en unidades de energía, puesto que existe una relación sencilla entre estas dos magnitudes dada por la más famosa de las ecuaciones de la física, E=mc2. 1 eV es la energía que adquiere un 61 electrón sometido a una diferencia de potencial de un voltio. Por ejemplo la masa del electrón expresada en estas unidades es de 0,51 MeV y la del protón 938.27 MeV. • Enana Blanca. Objeto compacto resultado de una estrella que ha agotado todo su combustible nuclear y se enfría gradualmente. Se mantiene contra el colapso gravitatorio gracias a la presión de electrones degenerados. • Espectro. Descomposición de la luz en sus diferentes longitudes de onda. Los astrónomos en general no miran por sus telescopios, sino que la luz recogida pasa por un espectrógrafo, que descompone la luz en sus diferentes longitudes de onda, frecuencias o "colores". Cada tipo de átomo o ion puede emitir o absorber determinada longitudes de onda. Por ejemplo, los átomos en las capas "frías" exteriores de una estrella absorben la luz que proviene de regiones interiores de ésta, produciendo líneas oscuras de absorción a través del espectro. Dichas líneas pueden usarse para identificar los átomos que forman la estrella. Por ejemplo, en el espectro inmediatamente a la derecha, las líneas oscuras dobles provienen del calcio ionizado emitiendo a una longitud de onda de 390 nm; las líneas a 410, 434, 486 y 656 nm corresponden al hidrógeno; la línea de 518 nm corresponde al magnesio ionizado y la línea a 590 nm corresponde al sodio. En la parte inferior podemos ver una representación muy habitual de un espectro, con la longitud de onda en el eje horizontal y la intensidad de la línea (más concretamente el flujo) en el eje vertical. • Estrella de neutrones. Objeto muy compacto que se sustenta contra el colapso gravitatorio gracias a la presión de neutrones degenerados. • Éter. Medio hipotético que, según el pensamiento del siglo XIX, oscila cuando pasan las ondas electromagnéticas y, mediante sus oscilaciones, hace posible las ondas. Se creía que el éter estaba en reposo en el espacio absoluto. • Fermión. Partícula de espín semientero que obedece el principio de exclusión de Pauli. • Fisión Nuclear. Proceso de alta energía en el que un núcleo pesado se divide en dos de masa intermedia, liberando una cantidad de energía del orden del 1% de la masa del núcleo original. • Fluctuaciones del vacío. Oscilaciones aleatorias impredecibles e 62 ineliminables de un campo, que son debidas a que pequeñas regiones del espacio toman prestadas una cierta cantidad de energía durante un tiempo inversamente proporcional, según el principio de incertidumbre de Heisenberg. • Flujo. Potencia por unidad de área. Por ejemplo, el flujo de energía procedente del Sol que incide sobre la Tierra es de 1367 watts (W) por metro cuadrado de superficie. La potencia total es dividida habitualmente en bandas de frecuencia o bandas de longitud de onda que se mide en W m-2 Hz. • Fotón. Partícula de radiación electromagnética. Partícula cuántica asociada a las ondas electromagnéticas. • Fusión Nuclear. Proceso de muy alta energía en el que dos núcleos ligeros se fusionan para formar uno más pesado. Un 10% de las masas iniciales se convierte en energía, siendo, por tanto, diez veces más eficiente que la físión nuclear. Este es el proceso mediante el cual las estrellas obtienen su energía. • Geodésica. Camino más corto entre dos puntos. Línea recta en un espacio curvo. • Ion. Átomo que ha perdido o ganado algunos electrones de sus órbitales, con lo cual la carga de su núcleo ha quedado descompensado y ahora el átomo, en conjunto, tiene una carga neta. • Homogeneidad e isotropía. Entendemos por homogeneidad la imposibilidad de distinguir características especiales entre dos volúmenes de espacio diferentes y por isotropía la invarianza de las características del universo con la dirección en qué miremos. • Línea de universo. Camino o evolución de un cuerpo a través del espacio-tiempo o a través de un diagrama espacio-temporal. • Luminosidad. Potencia total emitida por una fuente de luz en un determinado rango de frecuencias. • Magnitud. Escala usada por los astrónomos para medir el flujo. Cada 5 unidades de magnitud corresponden a una caída del flujo de 100 veces. Por ejemplo, el Sol tiene una magnitud de -26.5, mientras que Sirio, la estrella más brillante de la noche, tiene magnitud -1.6. Las estrellas más débiles a simple vista tienen una magnitud de 6. • Masa de Planck. 10-5 g. Masa resultante de la combinación apropiada de las tres constantes fundamentales h (constante de Planck), c (velocidad de 63 la luz) y G (constante de gravitación universal). Esta cantidad de masa colocada dentro de una longitud de Planck (10-33 cm) crearía una densidad del orden de ¡1093 g/cm3! que sería la densidad del universo cuando tenía unos 10-43 segundos: el tiempo de Planck. • Materia exótica. Materia que viola la condición de energía débil promediada. Es decir, su masa es negativa visto desde algunos sistemas de referencia. Necesario para mantener estables agujeros de gusano y para crear cualquier tipo de distorsión del espacio-tiempo de un tipo similar. • Materia oscura caliente. (del inglés Hot Dark Matter, abreviada HDM) es cualquier tipo de partículas poco masivas que se mueven a velocidades cercanas a la de la luz. • Materia oscura fría. (del inglés Cold Dark Matter, abreviada CDM) es cualquier tipo de partículas relativamente masivas que se mueven a velocidades mucho menores que la velocidad de la luz. • Megaparsec. (Mpc) Unidad de distancia equivale a unos 3,26 millones de años luz. • Mesón. Estado ligado de un quark y un antiquark. Todos los mesones tienen spin entero. Su número bariónico es 0. • MOND (MOdified Newtonian Dynamics). Teoría alternativa a la dinámica Newtoniana propuesta por Mordehai Milgrom y que consiste básicamente en modificar la segunda ley de Newton de la forma F = m a2/a0, es decir que la fuerza sería proporcional al cuadrado de la aceleración y se introduciría una constante a0 con unidades de aceleración para salvar la coherencia de la ley. La motivación de esta modificación es la de explicar la elevada velocidad de rotación que se mantiene casi constante en la parte externa del disco de las galaxias. Sin embargo, el gran problema de esta teoría es que no tiene una extensión relativista. • Nanómetro. (nm) Unidad de longitud equivalente a una mil millonésima de metro (10-9 m). • Parámetro de densidad W. Es la relación entre la densidad del universo en unidades de la densidad crítica. • Partículas virtuales. Cuasi-partículas que se crean a partir de las fluctuaciones del vacío cuántico y tras un tiempo inversamente proporcional a su masa se desintegran. • Plasma. Gas caliente, ionizado y eléctricamente conducto. 64 • Sistema de referencia inercial. Sistema de referencia que no gira y sobre el que no actúan fuerzas externas o sobre el que todas las fuerzas externas que actúan se anulan. El movimiento de este sistema está gobernado tan sólo por su propia inercia; es decir, está en reposo o se mueve a velocidad constante. • Suceso. Un punto en el espacio-tiempo; es decir, una posición en el espacio y un instante en el tiempo. • Quarks. Postulados por Gell-Mann y Zweig. Se les considera actualmente los ladrillos básicos de la materia. Nunca se encuentran aislados, sino en estados ligados de dos o tres quarks. Responden a la interacción nuclear fuerte mediante intercambio de gluones. Símbolo Spin Carga Número Bariónico S C B T Masa Up u 1/2 2/3 1/3 0 0 0 0 2-8 MeV Down d 1/2 -1/3 1/3 0 0 0 0 5-15 MeV Charm c 1/2 2/3 1/3 0 -1 0 0 1’0-1,6 GeV Strange s 1/2 -1/3 1/3 -1 0 0 0 100-300 MeV Top t 1/2 1/3 1/3 0 0 0 -1 180 (12)GeV Bottom b 1/2 -1/3 1/3 0 0 0 -1 4’1-4’5 GeV Quark • Quintaesencia. Quintaesencia es una generalización del concepto de constante cosmológica. Una constante cosmológica pura se relaciona habitualmente con la densidad de energía de vacío que surge de manera natural en las teorías cuánticas de campos. La densidad de energía de vacío por su propia naturaleza no cambia con el tiempo y está uniformemente distribuida en el espacio. La ecuación de estado que relaciona la presión P con la densidad ρ (recordemos por ejemplo que la ecuación de estado para un gas ideal a temperatura constante sería la ecuación de Clapeyron P=Kρ ρ) para la constante cosmológica es P = - ρ , lo que significa que la expansión aumenta la cantidad de energía de vacío y ésta tiene que ejercer una presión negativa. Esto puede generalizarse suponiendo que existe un campo que produce una densidad de energía que varía con el tiempo y que no tiene por que estar uniformemente distribuida, de tal manera que podemos poner su ecuación de estado como P / ρ = w con -1 < w < 0 con objeto de que no contradiga las observaciones, y w siendo una función del parámetro de expansión. • Teorías de Gran Unificación. (Abreviadas en inglés GUTs). Teorías que 65 tratan de unificar las todas las interacciones conocidas a excepción de la gravitación: electromagnética, nuclear débil y nuclear fuerte. Suponiendo que sea posible una Gran Unificación de todas las interacciones, entonces todas las fuerzas que observamos no son más que diferentes aspectos de la misma teoría unificada. Sin embargo, ¿cómo puede éste ser el caso, cuando las interacciones fuerte, débil y electromagnética son tan diferentes en intensidad y efecto? Aunque parezca extraño, los datos y la teoría actuales sugieren que estas variadas fuerzas confluyen hacia una única fuerza, cuando las partículas afectadas están a energías suficientemente altas. De hecho, desde los años 60 existe una teoría unificada de las interacciones electromagnética y débil (conocida obviamente como electrodébil) y actualmente existen diferentes propuestas de GUT, de tal forma que algunas propiedades del comportamiento de las partículas a energía del orden de 1016 GeV son conocidas y se pueden aplicar al estudio del universo cuando este tenía unos meros 10-35 segundos. • Tiempo de Planck. 10-43s. Intervalo de tiempo resultante de la combinación apropiada de las tres constantes fundamentales h (constante de Planck), c (velocidad de la luz) y G (constante de gravitación universal), por lo que se considera la unidad natural de tiempo. 66 Biografías 67 Kepler, Johannes (1571-1630) Nacido el 27 de diciembre de 1571, en Weil der Stadt, en Württemberg. Fue un niño enfermizo que padeció de furúnculos, dolores de cabeza, miopía, infecciones de la piel, fiebres y afecciones al estómago y a la vesícula. Con cuatro años, casi sucumbió con los estragos de la viruela. Cursó estudios de teología y clásicas en la Universidad de Tübingen. Tuvo como profesor de matemáticas a Michael Maestlin, partidario de la teoría heliocéntrica del movimiento planetario desarrollada en principio por Nicolás Copérnico. Kepler aceptó la teoría copernicana pensando que la simplicidad de su ordenamiento planetario tenía que haber sido el plan de Dios. En el año 1594, viaja a Graz (Austria), donde elaboró una hipótesis geométrica compleja para explicar las distancias entre las órbitas planetarias. Posteriormente, dedujo que las órbitas de los planetas son elípticas. Sostenía que el Sol ejerce una fuerza que disminuye de forma inversamente proporcional a la distancia e impulsa a los planetas alrededor de sus órbitas. Publicó un tratado titulado Mysterium Cosmographicum en 1596. Fue profesor de astronomía y matemáticas en la Universidad de Graz de 1594 hasta 1600. Fue ayudante del astrónomo danés Tycho Brahe en su observatorio de Praga. A la muerte de éste en 1601, fue nombrado matemático imperial y astrónomo de la corte del emperador Rodolfo II. Una de sus obras más importantes durante este “La vista debe aprender de la razón” periodo fue Astronomía nova (1609), la gran Johannes Kepler culminación de sus cuidadosos esfuerzos para calcular la órbita de Marte. El tratado contiene la exposición de dos de las llamadas leyes de Kepler sobre el movimiento planetario. Según la primera ley, los planetas giran en órbitas elípticas con el Sol en un foco. La segunda, o regla del área, afirma que una línea imaginaria desde el Sol a un planeta recorre áreas iguales de una elipse durante intervalos iguales de tiempo. En el año 1612 se hizo matemático de los estados de la Alta Austria. Publicó Harmonices mundi, Libri (1619), cuya sección final contiene otro descubrimiento sobre el movimiento planetario (tercera ley): la relación del cubo de la distancia media (o promedio) de un planeta al Sol y el cuadrado del periodo de revolución del planeta es una constante y es la misma para todos los planetas. Le siguió Epitome astronomiae copernicanae (1618-1621), que reúne todos sus descubrimientos en un solo tomo. Su última obra importante aparecida en vida fueron las Tablas rudolfinas (1625). Basándose en los datos de Brahe, las nuevas tablas del movimiento planetario reducen los errores medios de la posición real de un planeta de 5° a 10'. Isaac Newton se basó en las teorías de Kepler para formular su ley de la gravitación universal. Kepler también realizó aportaciones en el campo de la óptica y desarrolló un sistema infinitesimal en matemáticas, que fue un antecesor del cálculo. Falleció el 15 de noviembre de 1630 en Regensburg. Compuso este epitafio para su lápida : "Medí los cielos, y ahora las sombras mido. En el cielo brilló el espíritu. En la tierra descansa el cuerpo." 68 Copérnico, Nicolás (1473-1543) Nació el 19 de febrero de 1473 en la ciudad de Thorn (en la actualidad Toru), en una familia de comerciantes y funcionarios. Su tío fue el obispo Ukasz Watzenrode, que se preocupó por que su sobrino entrara en las mejores universidades. Cursó estudios en la Universidad de Cracovia, posteriormente viajó a Italia para estudiar derecho y medicina. En enero de 1497 comienza sus estudios en derecho canónico en la Universidad de Bolonia, se doctoró en astronomía en Roma. También estudió medicina en Padua. Sin haber finalizado medicina, se licenció en derecho canónico en la Universidad de Ferrara en 1503 y volvió a Polonia. Residió en el palacio episcopal de su tío en Lidzbark Warminski de 1503 a 1510, trabajando en la administración de la diócesis. Publicó su primer libro, una traducción del latín de cartas de ética de un autor bizantino del siglo VII, Teofilatos de Simocata. De 1507 a 1515 escribió un tratado de astronomía, De hypothesibus motuum coelestium a se constitutis commentariolus (conocido como el Commentariolus), la obra sentó las bases de su concepción heliocéntrica. Viaja a Frauenburg, en 1512, y “Las matemáticas se escriben para los matemáticos” toma parte en la comisión del “El movimiento de la Tierra sola basta, pues, para explicar quinto Concilio Luterano para la tantas desigualdades aparentes en los cielos” reforma del calendario (1515); Nicolás Copérnico escribió un tratado sobre el dinero (1517) y escribe De revolutionibus orbium caelestium (Sobre las revoluciones de los cuerpos celestes), que culminó en 1530 y fue publicado el 24 de mayo de 1543. La teoría de Copérnico establecía que la Tierra giraba sobre sí misma una vez al día, y que una vez al año daba una vuelta completa alrededor del Sol. Además afirmaba que la Tierra, en su movimiento rotatorio, se inclinaba sobre su eje. Una de sus aportaciones fue el nuevo orden de alineación de los planetas según sus periodos de rotación. Notó que cuanto mayor era el radio de la órbita de un planeta, más tiempo tardaba en dar una vuelta completa alrededor del Sol. Fue objeto de numerosas críticas, en especial de la Iglesia, por negar que la Tierra fuera el centro del Universo. Galileo y el astrónomo alemán Johannes Kepler fueron sus seguidores. Falleció el 24 de Mayo de 1543 en Frombork, Polonia. 69 Galilei, Galileo (1564-1642) Galileo Galilei nació en Pisa el 15 de febrero de 1564. Pertenecía a una antigua familia de Florencia y su padre, Vincenzio, se dedicaba al comercio, que escasamente le daba para mantener a sus siete hijos de los cuales Galileo era el mayor. Vincenzio Galilei no era un simple comerciante, se interesaba por la música y publicó numerosos libros. La educación que dio sus hijos es prueba de su amplio espíritu, que se expresa en el prefacio de una de sus obras (“Diálogos de la música antigua y moderna”, Florencia, 1581). Inscrito en 1581 en la Universidad de Pisa, como estudiante de medicina, Galileo descubrió la ley fundamental del movimiento pendular viendo oscilar, según cuenta una pequeña historia, la gran araña de la catedral de Pisa, y aplicó esta ley a un instrumento que permite tomar el pulso a los enfermos. Excluido de la Universidad de Pisa, a causa de su espíritu libre e independiente, cuando cursaba su tercer año de medicina, Galileo regresó a Florencia donde fue discípulo del matemático Ricci y se distinguió muy pronto con un ensayo sobre el centro de gravedad de los sólidos. En 1589, después de años de dificultades materiales, fue nombrado profesor de matemáticas de la Universidad de Pisa donde emprende sus experimentos sobre la caída de los cuerpos y el movimiento de los proyectiles. En 1590 publicó sus “Nunca me he encontrado con alguien tan ignorante de quien no resultados en De motu pudiese aprender algo” gravium, recibidos con “La matemática es el alfabeto con el que Dios escribió el mundo” hostilidad por el público “Digamos que existen dos tipos de mentes poéticas: una apta para científico de la época a inventar fábulas y otra dispuesta a creerlas” causa de sus ataques “El gran libro de la naturaleza siempre está abierto ante nuestros ojos y la verdadera filosofía está escrita en él... Pero no lo podemos leer a contra la ciencia clásica. menos que hayamos aprendido primero el lenguaje y los caracteres Abandonó entonces la con los cuales está escrito... Está escrito en lenguaje matemático y los Universidad de Pisa para caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas” ocupar una cátedra de “Sin embargo, se mueve” matemáticas en la Padua, (Frase apócrifa pronunciada mientras abjuraba del heliocentrismo). en la cual, durante De acuerdo con una tradición que no merece excesivo crédito, Galileo dieciocho años, gozó de dirigió esta frase a su perro mientras recitaba, el 22 de junio de 1633, una gloria sin sombras. la anterior fórmula de abjuración. En Padua es donde Galileo Galilei realizó sus trabajos fundamentales sobre la estática y sobre las temperaturas y la noción de calor. Siguió enseñando a sus discípulos el sistema de Tolomeo, pero se sabe que en aquella época ya estaba convencido del valor del sistema de Copérnico y de los trabajos de Kepler (Carta a Kepler de 1597). En 1609, por medio de una combinación de lentes, construyó un anteojo, llamado anteojo de Galileo que presentó a los gobernantes de Venecia el 21 de agosto de 1609. Donó este anteojo a los dogos de Venecia y el gran sabio se convirtió en una verdadera gloria nacional (con ayuda de este anteojo podían verse los barcos en el Adriático, dos horas antes que a simple vista, desde lo alto del campanile de San Marcos de Venecia). Galileo construyó un centenar de anteojos, uno de los cuales, con un aumento de treinta veces, fue el instrumento de sus primeros descubrimientos astronómicos descritos en una obra publicada en 1610: Sidereus nuntius (El mensajero de los astros). Con este anteojo, Galileo pudo observar, el primero de entre los hombres, que la Luna no era una esfera plana, sino que poseía relieves, montañas, valles, etc.; que el Sol presentaba sobre su disco ciertas manchas que, por su desplazamiento, indicaban que giraba sobre sí mismo; que el planeta Venus presentaba 70 fases como la Luna, cosa que demostraba que estaba animado de un movimiento de rotación entorno al Sol tal y como creía Copérnico. Descubrió también, en el mes de enero de 1610, cuatro satélites de Júpiter y se dio cuenta de que las estrellas no poseían diámetro aparente, cosa que era un signo de su enorme lejanía. Abandonó entonces sus enseñanzas en la Universidad de Padua y regresó a Florencia, donde se convirtió en el adalid de las tesis de Copérnico, a pesar de que las teorías de éste fueran puestas en el Indice, en 1616. En 1623, publicó el Diálogo sobre los dos principales sistemas del mundo y, a pesar de ciertas precauciones tomadas en su presentación, y del apoyo del papa Urbano VIII, el libro fue prohibido en 1632 y Galileo citado ante el tribunal de la Inquisición. La abjuración de Galileo tuvo lugar el miércoles 22 de junio de 1633, no en una plaza pública como se dice algunas veces, sino en la sala de honor del convento de Santa María Sopra Minerva. Después de este penoso proceso, el ilustre sabio fue sometido a residencia vigilada primero en Siena y después en las afueras de Florencia, en Arcetri, donde reanudó sus trabajos de mecánica que expuso en los Diálogos de las Nuevas Ciencias, obra que se imprimió clandestinamente en Amsterdam, en 1638. Los últimos cuatro años de su vida, Galileo los pasó en una oscuridad total: a fines de 1637 quedó completamente ciego. Murió el día 8 de enero de 1642, cuando trabajaba con su hijo en la puesta punto de un reloj con péndulo regulador. Galileo dejó tres hijos: dos hijas (que tomaron estado religioso) y un hijo, que murió poco tiempo después que su padre. 71 Isaac Newton(1642-1727) La mayoría de las personas están familiarizadas en cierto grado con el nombre de Isaac Newton, debido a que su fama universal como descubridor de la ley de la gravedad ha seguido intacta durante los dos siglos y medio que han transcurrido desde su muerte. Sin embargo, no es tan conocido el hecho de que, entre sus colosales realizaciones, creó virtualmente las ciencias físicas modernas y, en consecuencia, ha tenido una influencia más profunda en la dirección de la vida civilizada que el auge y la decadencia de los imperios. Quienes tienen autoridad para emitir juicios a este respecto, le consideran, unánimemente, uno de los pocos intelectuales supremos que ha producido la raza humana. Newton nació en el seno de una familia campesina, en la aldea de Woolsthorpe, en Inglaterra. Se sabe muy poco sobre sus primeros años y al parecer su vida como estudiante en Cambridge fue poco distinguida. En 1665, una epidemia de peste hizo que las universidades cerraran sus puertas y Newton regresó a su casa, en el campo, donde permaneció hasta 1667. Allí, en dos años de soledad rústica- de los 22 a los 24 años de edad- su ingenio creativo explotó en un torrente de descubrimientos no superados en toda la historia del pensamiento humano: • las series binomiales para exponentes negativos y fraccionarios; • el cálculo diferencial e integral; • la gravitación universal como clave para explicar el mecanismo del sistema solar y • la resolución de la luz solar en el espectro visual, por medio de un prisma, con sus implicaciones para la comprensión de los colores del arco iris y la naturaleza de la luz en general. En sus últimos años, escribió las siguientes reminiscencias, sobre el periodo milagroso de su juventud: “En esos días, estaba en la mejor edad para los descubrimientos, y las matemáticas y la filosofía (o sea, las ciencias) me interesaron más que nada, desde entonces”. Newton fue siempre un hombre discreto y retraído y, en su mayor parte, se guardó para sí sus descubrimientos monumentales. No tenía interés en publicarlos y la mayor parte de sus grandes obras fueron arrancadas por los ruegos y la persistencia de sus amigos. De todos modos, su capacidad única era tan evidente para su maestro Isaac Barrow quien, en 1669, dimitió su profesorado en favor de su alumno (¡un caso sin precedentes en la vida académica!) y Newton se estableció en Cambridge durante los 27 años siguientes. Sus descubrimientos matemáticos nunca se publicaron realmente en forma conexa y llegaron a conocerse, en forma limitada, casi por accidente, por medio de conversaciones y de las respuestas a preguntas que le hicieron por carta. Consideró sus descubrimientos en matemáticas primordialmente como un instrumento fructífero para el estudio de problemas científicos y como algo que, en sí mismo, tenía relativamente poco interés. Mientras tanto, en Alemania, Leibniz había inventado también el cálculo, de manera independiente; y debido a su constante correspondencia con los Bernoulli y a los trabajos posteriores de Euler, el nuevo análisis se extendió en todo el continente, donde permaneció a la cabeza durante 200 años. No se sabe gran cosa sobre la vida de Newton en Cambridge, en los primeros años de su profesorado; pero es seguro que entre sus principales intereses se contaron la óptica y la construcción de telescopios. Experimentó muchas técnicas para esmerilar vidrios (con herramientas diseñadas por él mismo) y hacia 1670 construyó el primer telescopio de reflexión, el antepasado de los grandes 72 instrumentos que se utilizan actualmente en monte Palomar y en todo el mundo. La pertinencia y la simplicidad de su análisis prismático de la luz solar, marcó ese trabajo inicial como uno de los clásicos sin “Si he logrado ver más allá que otros hombres es porque he limitaciones de tiempo de las estado a hombros de gigantes.” ciencias experimentales. “No sé cómo puedo ser visto por el mundo, pero en mi No obstante, eso era sólo el opinión, me he comportado como un niño que juega al borde comienzo, puesto que fue del mar, y que se divierte buscando de vez en cuando una penetrando cada vez más en los piedra más pulida y una concha más bonita de lo normal, mientras que el gran océano de la verdad se exponía ante mí misterios de la luz y todos sus completamente desconocido.” esfuerzos en ese sentido “Físicos, guardaos de los metafísicos.” siguieron dando muestras de un “Lo que sabemos es una gota de agua; lo que ignoramos es el ingenio experimental del más océano” alto orden. Sir Isaac Newton Publicó algunos de sus descubrimientos; pero los científicos más destacados de su tiempo los recibieron con tanta estupidez contenciosa, que Newton se retrajo nuevamente en su concha, con una mayor resolución de trabajar, a partir de entonces, para su exclusiva satisfacción. Veinte años después, confió a Leibniz las palabras siguientes: “En cuanto a los fenómenos de los colores... Estoy convencido de haber descubierto la explicación más segura; pero no quiero publicarla en libros, por temor de que los ignorantes inicien disputas y controversias contra mi”. A fines de la década de 1670, Newton tuvo uno de sus lapsos periódicos de desagrado por las ciencias y dirigió sus energías hacia otros cauces. Todavía no había publicado nada sobre dinámica o la gravedad y sus numerosos descubrimientos en esos campos permanecías olvidados sobre su escritorio. Sin embargo, al fin, estimulado y enojado por las pretensiones y las críticas de Robert Hooke y calmado por la intervención diplomática de Edmund Halley, dedicó su atención nuevamente a esos problemas y comenzó a escribir su obra principal, “Los principios matemáticos de la filosofía natural”, conocido como “Los Principia”. Cuando Newton se dedicaba al trabajo científico se parecía a un volcán activo, con largos periodos de inactividad, contrastados, de vez en cuando, por grandes erupciones de una actividad casi sobrehumana. El libro Principia lo escribió en 18 meses de increíble concentración, y cuando se publicó, en 1687, se reconoció inmediatamente que era una de las realizaciones supremas de la mente humana. En esa obra, estableció los principios básicos de la mecánica teórica y la dinámica de los fluidos, aplicó el primer tratamiento matemático al movimiento ondulado, dedujo las leyes de Kepler a partir de la ley de cuadrados inversos de la gravitación y explicó las órbitas de los cometas; calculó las masas de la Tierra, el Sol y los planetas con sus satélites, explicó la forma aplastada de la Tierra y utilizó esta idea para explicar la precesión de los equinoccios, además de que estableció la teoría de las mareas. Estas son tan sólo unas cuantas de las numerosas maravillas de su obra prodigiosa. Los Principia es un libro de lectura difícil, porque tiene un estilo de inhumana lejanía que quizá sea el más apropiado para la grandeza del tema. Asimismo contiene densas ecuaciones matemáticas de geometría clásica, poco cultivada en su época y todavía menos en la actualidad. En cuanto a la dinámica y mecánica celeste, logró concluir magníficamente la obra que habían iniciado Copérnico, Kepler y Galileo. Ese triunfo fue tan completo que los trabajos de los principales científicos en esos campos, durante los dos siglos siguientes, fueron poco más que notas calcadas de esta síntesis colosal. También vale la pena recordar que la espectroscopia ha contribuido, más que ninguna otra ciencia, al progreso de los conocimientos astronómicos del universo en general; tuvo su origen en el análisis prismático de la luz del Sol, que realizó Newton. Después de la poderosa erupción de su ingenio que lo llevó a la creación de los Principia, Newton volvió a alejarse de las ciencias. En 1696, abandonó Cambridge para ir a Londres, con el fin de convertirse en Warden of the Mint (y posteriormente en Master), y durante el resto de su larga vida, se introdujo un poco en la sociedad e inclusive comenzó a gozar un poco de su 73 posición única, en el pináculo de la fama como científico. Fue nombrado inspector y más tarde director de la Casa de la Moneda en Londres, donde vivió hasta 1696. En 1703 fue elegido presidente de la Sociedad Real, un cargo que ocupó hasta el final de su vida y en 1705 fue hecho caballero por la reina Ana, como recompensa a los servicios prestados a Inglaterra. Esos cambios de intereses y de “La naturaleza y sus leyes permanecían escondidas en ambiente no se reflejaron en una la noche. Dijo Dios "Hágase Newton" y todo fue luz.” disminución de su capacidad intelectual Alexander Pope inigualable. Por ejemplo, un atardecer, al final de un día de trabajo agotador en la Moneda, se enteró del problema de la braquistócrona de Johann Bernoulli- presentado como un desafío "para los matemáticos más brillantes del mundo"- y lo resolvió esa misma noche, antes de acostarse. La publicación de su obra Opticks, en 1704, fue mucho más importante para la ciencia. En ese libro, reunió y amplió sus trabajos anteriores sobre la luz y los colores. Además de su interés por la ciencia, Newton también se sintió atraído por el estudio de la alquimia, el misticismo y la teología. Falleció el 20 de marzo de 1727 en Londres tras un brusco empeoramiento de su afección renal. Reposa en la abadía de Westminster. Newton dejó una cuantiosa colección de manuscritos personales. Con sorpresa los investigadores descubrieron miles de folios conteniendo estudios de alquimia, comentarios de textos bíblicos, así como cálculos herméticos oscuros e ininteligibles. 74 Einstein, Albert (1879-1955) Nace el 14 de marzo de 1879 en Ulm (Baden-Württemberg), Alemania. Muere el 18 de abril de 1955 en Princeton (New Jersey), E.E.U.U. Físico y matemático, fundador de la Teoría de la Relatividad, a la cual va unida la gran fama que rodea su nombre. Hijo de un pequeño industrial, sigue estudios regulares en su ciudad natal hasta los 15 años. En 1894, debido a las dificultades económicas, se traslada a Italia con su familia y poco después viaja a Suiza, donde, en 1895 suspende el examen que le habría permitido estudiar ingeniería eléctrica en Zurich. Tras un año de preparación en la escuela de Arau, entra en el Politécnico de Zurich; obtiene el diploma en 1900 y adopta la ciudadanía suiza al año siguiente. En 1902 consigue un empleo en la Oficina Federal de Patentes de Berna; este período es probablemente el más fecundo para su actividad científica, logrando, hacia el año 1905, los frutos de sus largas investigaciones: los Annalender Physik publican dos escritos fundamentales del joven científico; el primero contiene la enunciación de la Teoría Cuántica del Efecto Fotoeléctrico (por el que le dan el Nobel en 1921), y el segundo, bajo el título de Electrodinámica de los cuerpos en movimiento, es la primera enunciación de los principios de la Teoría de la Relatividad Especial. En este mismo año, 1909, Einstein es nombrado profesor de la universidad y más tarde del Politécnico de Zurich, cargo que ejerce hasta 1914, año en que por consejo de Max Plank, se traslada a Berlín, permaneciendo casi veinte años en la Academia Prusiana de Ciencias y sucediendo a Van't Hoff en la dirección del Kaiser Wilhelm Institut. En todos estos años que siguen a 1905, aunque sus estudios se encaminan con preferencia al desarrollo de la Teoría de la Relatividad, Einstein aporta ideas fundamentales en otros campos de la física teórica: en 1906 formula la teoría de los movimientos Brownianos, y en 1907 da a conocer la teoría cuántica de los calores específicos, estudios que continúa en los años siguientes. A la generalización de la teoría de la relatividad y a la conexión entre los fenómenos gravitacionales y movimientos acelerados Einstein dedica en Zurich, Praga y Berlín gran parte de su actividad, sacando deducciones cuantitativas de las hipótesis fundamentales que puedan ser verificadas experimentalmente: afirma que los rayos luminosos de las estrellas se curvan al pasar por las proximidades del Sol (1911) ; da una interpretación de algunas irregularidades del movimiento de Mercurio, que no encontraban explicación en el ámbito de la mecánica newtoniana (1915), y explica teóricamente el desplazamiento hacia el rojo de las líneas espectrales. En 1916 publica la Teoría general de la Relatividad, obra que el mismo juzga como su mayor contribución al pensamiento científico; en varias ocasiones llega a decir que la Teoría de la Relatividad restringida habría sido enunciada incluso sin necesidad de su intervención, ya que su enunciación estaba en el ambiente, mientras que con bastante mayor dificultad se habría pensado, en ausencia de hechos experimentales, en tocar la teoría de la gravitación que parecía definitivamente afirmada por Newton. Einstein elabora una teoría que une los fenómenos de la gravitación y del electromagnetismo en una sola fórmula , que simplifica en 1953 en la ecuación E=mc2. Debido a la persecución racial nazi deja Alemania, estableciéndose en Bélgica y después en Estados Unidos, trabajando en el Instituto de Estudios Superiores de Princeton y adoptando en 1940 la ciudadanía americana. Hombre sencillo descuida toda exterioridad y formalismo, y estas cualidades humanas contribuyen en alto grado a granjearle la simpatía del gran público. 75 El alcance filosófico de su obra ha sido y sigue siendo muy grande, puesto que la radical modificación de los conceptos de espacio y tiempo introducida por la Teoría de la Relatividad lleva consigo implicaciones filosóficas de gran importancia. La eliminación en el dominio de la Física de los conceptos de un espacio y de un tiempo absoluto ha constituido una verdadera revolución del pensamiento científico. Según Newton, los hechos se desarrollaban en un cuadro inmutable, constituido por un espacio y un tiempo absolutos; Einstein da la vuelta literalmente a ese punto de vista, pues según la Teoría de la Relatividad no tiene sentido hablar de espacio y de tiempo, sino en relación a los fenómenos que allí se desarrollan. Para llegar a este punto de vista tan revolucionario hace falta una extraordinaria libertad de pensamiento que permita derribar conceptos que durante dos siglos habían sido los pilares de la Física. Einstein demuestra poseer esta libertad y el coraje intelectual para atacar por los cimientos un edificio científico cuyo prestigio derivaba de grandiosos éxitos. Pero aunque sus ideas han “Dios no juega a los dados” producido profundos cambios “La mecánica cuántica es muy imponente. Pero una voz interior en las bases del pensamiento me dice que todavía no es la última verdad. La teoría aporta físico y fuese todo lo mucho; sin embargo, casi no nos acerca al secreto de El Viejo. En contrario a un conservador, cualquier caso, estoy convencido de que Él no juega a los dados” persigue hasta los últimos “¿Cómo explicar que las matemáticas, un producto de la mente años el ideal propio de la humana, independiente de la experiencia, se adapte tan admirablemente bien a los objetos de la realidad?” Física clásica: en cada “No entiendes realmente algo a menos que seas capaz de fenómeno de la realidad explicárselo a tu abuela” objetiva puede establecerse “Si crees que tienes problemas con las matemáticas, no te una clara relación entre causa preocupes, te aseguro que los míos son peores” y efecto. Tal planteamiento no es compartido por la Albert Einstein mayor parte de los físicos contemporáneos, los cuales, fundándose en los principios de la Teoría Cuántica, sostienen que los acontecimientos que se desarrollan a escala atómica no son singularmente concebibles de modo completo (Principio de Indeterminación). Esta profunda divergencia de ideales científicos lleva a Einstein a rechazar generalizaciones que consideraba arbitrarias de la Teoría Cuántica, de la cual es sin embargo uno de los fundadores. Son también notables sus ideas en otros terrenos. Por ejemplo, en 1914 se niega a firmar el manifiesto de los intelectuales alemanes que trata de justificar la agresión alemana contra Bélgica; se dedica a proteger a los judíos y darles una patria en Palestina; protesta contra la violencia nazi, y no ahorró esfuerzos para ayudar a los perseguidos por la política hitleriana. En 1939, Fermi, Szilard y Eugene Xigner se dirigen a él para pedirle que, con su autoridad, solicite el apoyo del presidente Roosvelt para el proyecto de preparación de la bomba atómica. La elección para Einstein es dramática: seguir negando todo apoyo a cualquier iniciativa bélica, corriendo el riesgo de que los alemanes lleguen a ser los primeros en poseer la terrible arma, o renunciar a ideas afirmadas durante decenios. La necesidad de oponerse a la amenaza del dominio nazi sobre el mundo le induce a abandonar sus dudas y a escribir la histórica carta que da la señal de partida a los proyectos para la producción de la bomba atómica norteamericana. Pero durante diez años, desde 1945, fecha de la destrucción atómica de Hiroshima y Nagasaki, hasta su muerte, Einstein pone todo su prestigio al servicio de la causa del empleo pacífico de la energía atómica. Cuando a Einstein le preguntaron, qué armas se emplearían en la tercera guerra mundial contesto: “No lo sé, pero en la cuarta se usarán palos y piedras”. 76 En 1948 se creó el estado de Israel. Cuando Chain Weizmann, el primer presidente de Israel y un viejo amigo de Einstein, murió en 1952, a Einstein le ofrecieron la presidencia. Rechazó el ofrecimiento diciendo “Estoy profundamente conmovido por el ofrecimiento del Estado de Israel y a la vez tan entristecido que me es imposible aceptarlo”. El propio Einstein nunca entendió la fascinación pública que provocaba con cada cosa que hacía, afirmando en una ocasión “¿Por qué nadie me entiende y gusto a todo el mundo?”. Cada 14 de Marzo, Einstein recibía numerosas tarjetas de felicitación de personas de todo el mundo. Murió el 19 de Abril de 1955 en el hospital de Princeton. Fue incinerado y sus cenizas enterradas en un lugar desconocido. Después de la muerte de Einstein, sus hijas Margot y Helen Dukas permanecieron en la casa hasta sus muertes en 1986 y 1982 respectivamente. Tal y como fue su deseo la casa en la que vivió sus últimos años nunca se convirtió en un museo. 77 Niels Bohr (1885-1962) Físico danés, galardonado con el premio Nobel, que hizo aportaciones fundamentales en el campo de la física nuclear y en el de la estructura atómica. Bohr nació en Copenhague el 7 de octubre de 1885; era hijo de un profesor de fisiología y estudió en la universidad de su ciudad natal, donde alcanzó el doctorado en 1911. Ese mismo año fue a la Universidad de Cambridge (Inglaterra) para estudiar física nuclear con J.J. Thomson, pero pronto se trasladó a la Universidad de Manchester para trabajar con Ernest Rutherford. La teoría de la estructura atómica de Bohr, que le valió el Premio Nobel de Física en 1922, se publicó en una memoria entre 1913 y 1915. Su trabajo giró sobre el modelo nuclear del átomo de Rutherford, en el que el átomo se ve como un núcleo compacto rodeado por un enjambre de electrones más ligeros. El modelo de átomo de Bohr utilizó la teoría cuántica y la constante de Planck. El modelo de Bohr establece que un átomo emite radiación electromagnética sólo cuando un electrón del átomo salta de un nivel cuántico a otro. Este modelo contribuyó enormemente al desarrollo de la física atómica teórica. En 1916, Bohr regresó a la Universidad de Copenhague como profesor de física, y en 1920 fue nombrado director del Instituto de Física Teórica de esa universidad, recién constituido. Allí, Bohr elaboró una teoría que relaciona los números cuánticos de los átomos con los grandes sistemas que siguen las leyes clásicas, y realizó otras importantes aportaciones a la física teórica. Su trabajo ayudó a impulsar el concepto de que los electrones se encuentran en capas y que los de la última capa determinan las propiedades químicas de un átomo. En 1939, reconociendo el significado de los experimentos de la fisión de los científicos alemanes Otto Hahn y Fritz Strassmann, Bohr convenció a los físicos en una conferencia en Estados Unidos de la importancia de estos experimentos. Más tarde, demostró que el uranio 235 es el isótopo del uranio que experimenta la fisión nuclear. Bohr regresó posteriormente a Dinamarca, donde fue obligado a permanecer después de la ocupación alemana del país en 1940. Sin embargo, consiguió llegar a Suecia con gran peligro de su vida y de la de su familia. Desde Suecia, la familia Bohr viajó a Inglaterra y por último a los Estados Unidos, donde Bohr se incorporó al equipo que trabajaba en la construcción de la primera bomba atómica en Los Álamos (Nuevo México), hasta su explosión en 1945. Bohr se opuso, sin embargo, a que el proyecto se llevara a cabo en total secreto, y temía las consecuencias de este siniestro nuevo invento. Deseaba un control internacional. En 1945, Bohr regresó a la Universidad de Copenhague donde, inmediatamente, comenzó a desarrollar usos pacifistas para la energía atómica. Organizó la primera conferencia 'Átomos para la paz' en Ginebra, celebrada en 1955, y dos años más tarde recibió el primer premio 'Átomos para la paz'. Bohr murió el 18 de diciembre de 1962 en Copenhague. 78 Max Planck ( 1858 - 1947 ) Nació en Kiel, Alemania. Después de estudiar en Munich y Berlin, Planck obtuvo su grado de doctor en 1879. Después de ocupar un cargo en la Universidad de Kiel, Planck fue nombrado profesor de Física Teórica de la Universidad de Berlin en 1899 sustituyendo a Kirchhoff, permaneció aquí hasta 1926. Planck fue premiado en 1918 con el premio Nobel por su descubrimiento de la naturaleza cuantizada de la energía. Al comenzar su carrera, Planck se dedicó al estudio de la Termodinámica, tema éste por el que se interesó a lo largo de toda su vida. Se propuso deducir la ley teórica de la radiación de cuerpo negro. El éxito que coronó su esfuerzo marca el comienzo de la física cuántica, y lo que ahora se conoce como constante de Planck apareció por primera vez en un artículo suyo de 1900. La vida de Planck estuvo llena de tragedias personales. Uno de sus hijos fue muerto en acción en la Primera Guerra Mundial, y dos hijas suyas murieron durante el parto en el mismo periodo. Su casa fue destruida por bombas en la Segunda Guerra Mundial, y su hijo Erwin fue ejecutado por los nazis en 1944 después de habérsele acusado de planear el asesinato de Hitler. Se convirtió en presidente del Kaiser Wilhem Institute de Berlin en 1930. En su honor dicho centro cambió su nombre por el de Insituto Max Planck después de la Segunda Guerra Mundial. Pasó los dos últimos años de su vida en Göttingen como un honrado y respetado científico y humanista. 79 Werner Karl Heisenberg (1901-1976) Físico y Premio Nobel alemán, que desarrolló un sistema de mecánica cuántica y cuya indeterminación o principio de incertidumbre ha ejercido una profunda influencia en la física y en la filosofía del siglo XX. Heisenberg nació el 5 de diciembre de 1901 en Wurzburgo y estudió en la Universidad de Munich. En 1923 fue ayudante del físico alemán Max Born en la Universidad de Gotinga, y desde 1924 a 1927 obtuvo una beca de la Fundación Rockefeller para trabajar con el físico danés Niels Bohr en la Universidad de Copenhague. En 1927 fue nombrado profesor de física teórica en la Universidad de Leipzig. Después fue profesor en las universidades de Berlín (1941-1945), Gotinga (1946-1958) y Munich (19581976). En 1941 ocupó el cargo de director del Instituto Kaiser Wilhelm de Química Física (que en 1946 pasó a llamarse Instituto Max Planck de Física). Estuvo a cargo de la investigación científica del proyecto de la bomba atómica alemana durante la II Guerra Mundial. Bajo su dirección se intentó construir un reactor nuclear en el que la reacción en cadena se llevara a cabo con tanta rapidez que produjera una explosión, pero estos intentos no alcanzaron éxito. Estuvo preso en Inglaterra después de la guerra. Heisenberg, uno de los primeros físicos teóricos del mundo, realizó sus aportaciones más importantes en la teoría de la estructura atómica. En 1925 comenzó a desarrollar un sistema de mecánica cuántica, denominado mecánica matricial, en el que la formulación matemática se basaba en las frecuencias y amplitudes de las radiaciones absorbidas y emitidas por el átomo y en los niveles de energía del sistema atómico. El principio de incertidumbre desempeñó un importante papel en el desarrollo de la mecánica cuántica y en el progreso del pensamiento filosófico moderno. En 1932, Heisenberg fue galardonado con el Premio Nobel de Física. Entre sus numerosos escritos se encuentran Die physikalischen Prinzipien del Quantentheori (Los principios físicos de la teoría cuántica, 1930), Cosmic Radiation (Radiación cósmica, 1946), Physics and Philosophy (Física y filosofía, 1958) e Introduction to the Unified Theory of Elementary Particles (Introducción a la teoría unificada de las partículas elementales, 1967). 80 Anexos 81 ANEXO I Factores de Conversión Longitud 1 año luz (ly) = 9’460 · 1012 Km 1 parsec (pc) = 3’086 · 1013 Km = 3’26 ly 1 micra (µm) = 10-6 m 1 angstrom (Å) = 10-10 m 1 fermi (fm) = 10-15 m Masa 1 MeV/c2 = 1’78266270(54)·10-30 Kg 1 unidad de masa atómica (uam) = 1’6605·10-27 Kg = 931’49432(28) MeV/c2 Volumen 1 litro (l) = 1000 cm3 = 1 dm3 Densidad 1 g/cm3 = 1000 Kg/m3 Fuerza 1 newton (N) = 105 dinas (dyn) 1 kilopondio (Kp) = 9’807 N Energía 1 joule (J) = 1 N·m = 107 ergios (erg) = 0’2389 cal 1 caloría (cal) = 4’186 J 1 kilowatt hora (KWh) = 3’60·106 J = 860’0 Kcal 1 electrón-voltio (eV) = 1’602·10-19 J 1 MeV = 103 KeV = 106 eV Potencia 1 watt (W) = 1 J/s Presión 1 N/m2 = 10 dyn/cm2 = 9’869·10-6 atm 1 atmósfera (atm) = 1’013·105 N/m2 82 ANEXO II Constantes Físicas Aceleración de la gravedad g = 9’806 m/s2 Constante de gravitación G = 6’673·10-11 N·m2/Kg2 Radio medio de la Tierra 6371 Km Masa de la Tierra 5’977·1024 Kg Radio medio del Sol 696000 Km Masa del Sol 1’989·1030 Kg Distancia media Tierra-Sol (1 U.A.) 1’496·108 Km Masa de la Luna 7’35·1022 Kg Distancia media Tierra-Luna 384400 Km Masa del protón (en reposo) mp = 1’672·10-24 g = 938’27231(28) MeV/c2 Masa del neutrón (en reposo) mn = 1’675·10-24 g = 939’56563(28) MeV/c2 Masa del electrón (en reposo) me = 9’109·10-28 g = 0’51099906(15) MeV/c2 Carga elemental e = 1’602·10-19 C Radio clásico del electrón re = 2’818·10-13 cm Radio de Bohr a0 = 5’292·10-19 cm Constante de Boltzmann KB = 1’381·10-23 J/K = 8’62·10-5 eV/K Constante de Planck h = 6’626·10-34 J·s = 4’1357·10-15 eV·s Constante de Planck reducida h = h/2π Constante de los gases R = 8’314 J/K·mol = 1’987 cal/K·mol = 0’082 l·atm/K·mol Constante de Stephan-Boltzmann σ = 5’670·10-8 W/m2·K4 Constante de estructura fina α = 7’297·10-3 = 1/137’0359895(61) Número de Avogadro NA = 6’022·1023 mol-1 Velocidad de la luz en el vacío c = 299792’458 m/s 83 ANEXO III Ecuaciones de Einstein del Campo Gravitatorio La física newtoniana nos da lugar a la ecuación de Poisson: ∆φ = 4πGρ Donde φ es el potencial del campo gravitatorio y ρ es la densidad de materia que lo genera. (Notar que si no hay fuente aparece la ecuación de Laplace). Lo cual, expresado en lenguaje coloquial se puede traducir por: (∂ 2 )( potencial ) = ct ⋅ ( fuente) En Relatividad General ha de tener una estructura similar, ya que la ecuación de Poisson ha de aparecer de forma natural como caso límite de la RG. ¿Qué va a generar el campo gravitatorio? Lo más lógico es que sea la distribución de energía (masa), la cual queda determinada por el tensor de Energía-Momento Tλµ. Así, proponemos: Sλµ = χ ⋅ Tλµ Donde χ es una constante y Sλµ recibe el nombre de Tensor de Einstein. De Sλµ sabemos que: 1) Es un tensor simétrico y dos veces covariante. 2) Al incluir todas las energías tenemos que ∇ λ T λµ = 0 , lo cual impone que ∇ λ S λµ = 0 también. 3) Sλµ depende linealmente de las ∂ 2 gαβ . 4) En el límite newtoniano debe aparecer la ecuación de Poisson. El tensor más general que cumple 1) y 3) es: Sλµ = aRλµ + bgλµ R + Λgλµ Con a, b y Λ constantes. Ahora aplicando 2): ∇ λ Sλµ = a∇ λ Rµλ + b∇ µ R + 0 = FG a + bIJ ∇ R = 0 H2 K µ Donde se ha usado la segunda identidad de Bianchi contraida dos veces 1 ( ∇ λ Rµλ = ∇ µ R ). Con lo que: 2 a + 2b = 0 Así, dividiendo por a y redefiniendo Λ y χ obtenemos: Rλµ − 1 gλµ R + Λgλµ = χ ⋅ Tλµ 2 84 Λ recibe el nombre de constante cosmológica y tiene unidades de longitud-2. Por consideraciones dimensionales y aplicando 4) podemos obtener que χ = Λ = 0, o bien, muy pequeña. 8πG y que c2 Resumiendo, Rλµ − 1 8πG gλµ R = 2 Tλµ 2 c Que son las denominadas Ecuaciones de Einstein del Campo Gravitatorio. Es un sistema de 10 ecuaciones diferenciales de 2º orden acopladas y no lineales. Al no ser lineales no es válido el principio de superposición, i.e. la suma de soluciones no es solución. Esto se debe, entre otras cosas, a que el campo gravitatorio es fuente de sí mismo, se autoalimenta. 85 ANEXO IV Modelos Particulares A partir de ρ y p reales obtenemos a(t). Es decir, se impone una ecuación barotrópica del tipo p = p(ρ) conocida. Los casos esenciales son: • • Materia pulverulenta (“dust”) p=0 Materia comprimida o de tipo radiativo. 1 p= ρ 3 (El 1/3 viene de que es el factor necesario para hacer que el tensor energía-momento tenga traza nula). Modelos Históricos • Universo Estático de Einstein a = constante ≡ aE Esto implica que, ρ + 3 p = 0 . Por otra parte ρ& = 0 → ρ = constante ≡ ρ E . Así, de la tercera ecuación de Friedmann, tenemos que: R| S| T ε = 0 → No. Minkowsky. 3ε χρ E = 2 ε = −1 → No. Densidad negativa. aE ε =1 El tercer caso era el único válido, sin embargo da lugar a que p sea <0. Por esta razón Einstein modificó su teoría añadiendo un término que, de forma efectiva, actuaba como una presión negativa. Es la constante cosmológica. Rλµ − 1 gλµ R = χTλµ − Λgλµ 2 Con lo que la presión y la densidad quedan modificadas de la siguiente manera. Λ ~ p = p+ χ Λ ~ ρ = ρ− χ Este cambio deja invariante las ecuaciones de Einstein, ya que elimina el término de la ~ es positiva. constante cosmológica y la suma de ~ ρ + 3p 86 p → 0 (universo pulverulento) obtenemos, Haciendo ~ 1 aE Λ= ~= 2 χρ a E2 Es una relación entre materia y radio de curvatura. Estamos en un universo cerrado. Es un universo finito e ilimitado; una esfera 3D. Al tiempo que Hubble demostró que el universo no es estático y está en expansión Einstein desechó el término de la constante cosmológica diciendo que fue el mayor error de su vida. Einstein fue el primero en tratar el Universo como un todo y en cambiar la topología de R3xR a RxS(3). • Modelos de de-Sitter Son los modelos de curvatura constante, y por lo tanto máximamente simétricos. Exigió que el espacio-tiempo fuera homogéneo e isótropo, y no tan sólo el espacio. Como soluciones de vacío obtuvo: Λ 2 (1) a 3 Lo cual nos da lugar a tres casos posibles en función de ε: a& 2 + ε = Parámetros ε=1 Λ>0 de Sitter Factor de Escala a (t ) = α cosh α= ε=0 Λ>0 “Steady State” Einstein-de Sitter ε = -1 Λ<0 Anti de Sitter ε = -1 Λ=0 Estado Asintótico de Milne FG t IJ Hα K Elemento de línea ds 2 = − dt 2 + α 2 cosh 2 3 Λ −3 Λ a (t ) = t 2 + r 2 ( dθ 2 + sin 2 θ ⋅ d φ 2 ) c a (t ) = α cos α= 2 ds2 = − dt 2 + e 2 t α dx 2 + dy 2 + dz 2 a (t ) = e t α FG t IJ HαK FG t IJ LM dr H α K N1 − r ds2 = −dt 2 + α 2 cos2 ds = − dt 2 FG t IJ LM dr H α K N1 + r 2 L dr +t M N1 + r 2 2 2 2 2 87 h + r 2 (dθ 2 + sin2 θ ⋅ dφ 2 ) + r 2 (dθ 2 + sin 2 θ ⋅ dφ 2 ) El cuarto modelo es una parte de Minkowski en coordenadas diferentes. OP Q OP Q OP Q Bibliografía 88 Física Cuántica Física Cuántica R. Eisberg, R. Resnick, Ed. Limusa, 1994 Física Multidimensional El Universo Elegante Brian Greene, Ed. Crítica, 2001 Relatividad General Sobre la Teoría de la Relatividad Especial y General. Albert Einstein, Ed. Alianza, 1916 Agujeros Negros y Tiempo Curvo. Kip S. Thorne, Ed. Crítica., 1994 La Relatividad General de la A a la B. Robert Geroch, Ed. Alianza – DL1985, 1978 General Relativity. Ian R. Kenyon, Oxford University Press, 1991 Introducing Einstein’s Relativity. Ray d’Inverno, Oxford University Press, 1992 Relatividad Especial ¿Qué es la Teoría de la Relatividad? Levi Landau, Ed. Ricardo Aguilera, 1968 ¿El Legado de Einstein? Julian Schwinger, Ed. Prensa Científica, 1987 Física (vol.2) Paul A. Tipler, Ed. Reverté, 1993 89 Cosmología Los Tres Primeros Minutos del Universo. Steven Weinberg, Ed. Salvat, 1977 Arrugas en el Tiempo. George Smoot, Ed. Plaza &Janés, 1993 Historia del Tiempo. Del Big Bang a los Agujeros Negros. Stephen Hawking, Ed. Alianza, 1988 La Creación del Universo. George Gamow, Ed. RBA, 1952 An Introduction to Modern Cosmology Andrew Liddle, Ed. Wiley, 1999 L’Univers en una Closca de Nou Stephen Hawking, Ed. Crítica, 2002 90