1.2 Soluciones de las Ecuaciones Diferenciales 10 1.2 Soluciones de las Ecuaciones Diferenciales Si tenemos una igualdad que relaciona una variable independiente con la n-ésima derivada de una variable dependiente, es una ecuación diferencial ordinaria t2 d2 d y + t y + y = t3 2 dt dt (1) La ecuación (1) es de segundo orden, donde t es la variable independiente, y y la variable dependiente). d3 x = xt dt 3 (2) La ecuación (2) es de tercer orden, donde t es la variable independiente, y x la variable dependiente). Definición 1.2.1 Se dice que una función f cualquiera definida para toda x en algún intervalo I , (donde I puede ir de a < x < b , a ≤ x ≤ b , 0 < x < ∞ , −∞ < x < ∞ , etc.) es solución de una ecuación diferencial en el intervalo si sustituyendo en dicha ecuación la reduce a un identidad. En otras palabras una función y = f ( x) que tiene por lo menos n derivadas y satisface la ecuación, es una solución de una ecuación diferencial. [14] F x, f ( x), f ´( x)... f n ( x) = 0 ∀ x ∈ I (para toda x que pertenece a I ) (3) Una relación g ( x, y ) = 0 se llama una solución implícita de (3) si esta relación define por lo menos una función real f de la variable x en un intervalo I tal que esta función sea una solución explícita de (3) en ese intervalo. Las dos soluciones, explícita e implícita, generalmente se llaman soluciones simples. Ejemplo 1.2.1 Teniendo y = e − ax comprobar que es solución de la ecuación diferencial, y´+ ay = 0 Instituto Tecnológico de Chihuahua / C. Básicas Amalia C. Aguirre Parres 1.2 Soluciones de las Ecuaciones Diferenciales 11 Dado que derivando y = e − ax obtenemos y´= − ae − ax o y sustituyéndola en la ecuación tenemos que − ae − ax + ae − ax = 0 , lo cual satisface la ecuación diferencial. 10 c := 3 5 −x e c := 2 −x 2e c := 1 −x 3e 1 0.5 0 0.5 1 −x −e c := −1 −x − 2e c := −2 5 10 x Figura 1.2.1 Gráfica de la función y = ce − x para valores de c = 1, 2,3, −1, −2 Ejemplo 1.2.2 Siendo y = x4 comprobar que es una solución de la ecuación no lineal 64 dy 1 1 2 − xy = 0 en el intervalo de (−∞, ∞) dx 2 Ya que derivando y tenemos dy 4 3 dy 1 3 = x , O bien = x dx 64 dx 16 (4) 1/ 2 x4 1 3 x − x De tal manera que sustituyendo en la ecuación diferencial (4), 16 64 Instituto Tecnológico de Chihuahua / C. Básicas =0 Amalia C. Aguirre Parres 1.2 Soluciones de las Ecuaciones Diferenciales Simplificando 12 1 3 1 x2 x − x( ) 16 2 8 Ejemplo 1.2.3 Tenemos y = en el intervalo de (−∞, ∞) . Ya que derivando y tenemos = 0 , o bien 0 = 0 , para toda región R dy x4 , es una solución de la ecuación no lineal − xy1 2 = 0 dx 16 dy 4 3 dy 1 3 = x , o bien = x dx 16 dx 4 De tal manera que sustituyendo (5) en la ecuación diferencial O bien (5) 1 3 x4 x − x( )1/ 2 = 0 4 16 1 3 x2 x − x( ) = 0 , 0 = 0 Para toda región R 4 4 Ejemplo 1.2.4 La función y = xe x es una solución de la ecuación lineal y´´−2 y´´+ y = 0 en el intervalo −∞ < x < ∞ . Evaluando, obtenemos la primera y segunda derivada de la función, y´= xe x + e x , y´´= xe x + e x + e x , o bien y´´= xe x + 2e x para todos los reales (∀ \) Sustituyendo en la ecuación diferencial y´´−2 y´´+ y = 0 Obtenemos ( xe x + 2e x ) − 2 ( xe x + e x ) + xe x =0 Simplificando, observamos que se reduce a la identidad 0 = 0 . Lo cual implica que sí sea una solución. Habrá que denotar que no toda ecuación diferencial tiene solución. Soluciones Implícitas y Explícitas Instituto Tecnológico de Chihuahua / C. Básicas Amalia C. Aguirre Parres 1.2 Soluciones de las Ecuaciones Diferenciales 13 Definición 1.2.2 Una función f ( x) tal que al sustituirla en lugar de y en la ecuación diferencial satisface la ecuación para toda x en el intervalo I , es una solución explícita de la ecuación en I . 2 Ejemplo 1.2.5 Demostrar que y = e x es una solución explícita de dy = 2 xy dx (6) De tal manera que derivando y tenemos 2 dy = 2 xe x dx dy = 2 xy observamos que en la derivada está contenido dx el valor de y, por lo cual es explícita. O sea la ecuación diferencial (6), El ejemplo anterior lo es también. Ejemplo 1.2.6 La relación diferencial x 2 + y 2 − 4 = 0 es una solución implícita de la ecuación dy x =− dx y (7) Derivando implícitamente (7) tenemos que O sea 2 x + 2 y d ( x 2 ) d ( y 2 ) d (4) + − =0 dx dx dx dy dy 2x dy x = 0 , despejando =− =− , o bien dx dx 2y dx y Ejemplo 1.2.7 Demostrar que f ( x) = x 2 − x −1 es una solución explícita de la ecuación lineal dada por d2 y 2 − y=0 dx 2 x 2 Instituto Tecnológico de Chihuahua / C. Básicas (8) Amalia C. Aguirre Parres 1.2 Soluciones de las Ecuaciones Diferenciales 14 Si obtenemos las primera y segunda derivada de la función f ( x) = x 2 − x −1 Tenemos que f ´( x) = 2 x + x −2 , f ´´( x) = 2 − 2 x −3 Las cuales están definidas ∀x ≠ 0 , y al ser sustituida en la ecuación diferencial (8) 2 2 x − x −1 ) = 2 − 2 x −3 − 2 + 2 x −3 , simplificando la reducimos 2 ( x a 0 = 0 , una identidad, por lo que concluimos que sí es una solución de la ecuación diferencial en el intervalo (−∞, 0) y (0, ∞) Observamos que 2 − 2 x −3 − Ejemplo 1.2.8 Siendo f ( x) = e − x + e 2 x determinar que es una solución explícita de la ecuación lineal , dada por d 2 y dy − − 2y = 0 (9) dx 2 dx Si obtenemos las primera y segunda derivada de la función f ( x) = e − x + e 2 x Tenemos que f ´( x) = −e − x + 2e 2 x , f ´´( x) = e − x + 4e 2 x , derivadas definidas ∀ x Al ser sustituida en la ecuación diferencial (9), observamos que e − x + 4e 2 x − (−e − x + 2e 2 x ) − 2(e − x + e2 x ) = e− x + 4e2 x + e − x − 2e 2 x − 2e− x − 2e 2 x = 0 Simplificando tenemos que 2e − x + 4e 2 x − 2e 2 x − 4e− x = 0 , reducida a una identidad 0 = 0 Como la solución está definida para todo valor de x concluimos que sí es una solución de la ecuación diferencial en el intervalo ( −∞, ∞) Solución Implícita Se dice que una relación f ( x, y ) = 0 es una solución implícita de una ecuación diferencial en un intervalo I si define una o más soluciones explícitas en I . También se dice que una función es una solución implícita de una ecuación diferencial si en algún intervalo se satisface por alguna solución y = f ( x) . Instituto Tecnológico de Chihuahua / C. Básicas Amalia C. Aguirre Parres 1.2 Soluciones de las Ecuaciones Diferenciales 15 Ejemplo 1.2.9 Demostrar que x + y + e xy = 0 es una solución implícita de la ecuación dy diferencial no lineal (1 + xe xy ) + 1 + ye xy = 0 dx Como podemos observar no es tan fácil el despejar y con respecto a x , pero para que se cumpla la ecuación como solución, cualquier cambio de x implica un cambio de y , por lo cual resulta difícil verificarlo, pero existe un teorema de la solución implícita el cual garantiza la existencia de un función y ( x) y que además es diferenciable, o sea, derivando con respecto a x y aplicando la regla del producto y la regla de la cadena Tenemos que d dy dy ( x + y + e xy ) = 1 + + e xy ( y + x ) dx dx dx Factorizando d dy ( x + y + e xy ) = (1 + xe xy ) + 1 + xe xy dx dx La cual es idéntica a la ecuación diferencial por lo que la relación es una solución implícita en algún intervalo. Ejemplo 1.2.10 La función f ( x) = 2 sen ( x ) + 3cos ( x ) , está definida ∀ x ∈ \ , es una solución explícita de la ecuación diferencial y´´+ y = 0 (10) Derivando f ´( x) = 2 cos ( x ) − 3sen ( x ) , y f ´´( x) = −2 sen ( x ) − 3cos x Al sustituir en la ecuación (10) Resulta −2sen ( x ) − 3cos x + 2 sen ( x ) + 3cos ( x ) = 0 esta se reduce a una identidad que se cumple para todo valor de x . Instituto Tecnológico de Chihuahua / C. Básicas Amalia C. Aguirre Parres