LA COMPETENCIA MATEMÁTICA CON LA CALCULADORA GRÁFICA 3. CÁLCULO Sucesiones, Límites, Derivadas e Integrales MAURICIO CONTRERAS ONOFRE MONZÓ La competencia matemática con la calculadora gráfica Febrero 2014 1. COMPLEMENTOS DE FUNCIONES Introducción Con la CP – 400 podemos obtener fácilmente gráficas de funciones definidas a intervalos. La CP – 400 dispone también de la posibilidad de realizar gráficos dinámicos, así como una aplicación específica para estudiar las sucesiones. En esta sesión estudiaremos, en particular, las funciones definidas a trozos, las sucesiones y el cálculo de límites de funciones, la optimización mediante el cálculo de derivadas y el cálculo de integrales y sus aplicaciones. 1. Representación gráfica de funciones FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS Existen situaciones reales en las que no hay una única expresión para todo el problema y la función que las modeliza hay que definirla por intervalos. Veamos algún ejemplo: Cambio de estado La gráfica muestra la cantidad de calor (en calorías), capaz de transmitir un gramo de hielo o agua a diferentes temperaturas (en ºC). Calorías 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 ºC a) ¿Cuántas calorías puede transmitir 1 g. de hielo a -10ºC? ¿Y a -5ºC? b) ¿Y 1g. de agua a 20ºC? ¿Y a 10ºC? ¿y a 7ºC? c) Expresa mediante una fórmula la función anterior. Las preguntas a) y b) llevan a la conclusión de que la función que modeliza el problema está compuesta por dos rectas, una hasta el 0 y otra a partir de él. La primera recta pasa por los puntos (10, 1) y (0, 2) con lo que, utilizando la ecuación de la recta en forma punto-pendiente (y = y0 +m(xx0)), tendremos que: y 2 Y x (2 1) ( x 0) , es decir, y 2 10 (0 (10)) la segunda recta, que pasa por los puntos (0, 8) y (20, 9) será: y 8 y 8 (9 8) ( x 0) , es decir, (20 0) 2 X / 10, ______si _ x 0 x . Con lo que la función buscada es: Y 20 8 ( x 8) / 10, __ si _ x 0 SEMCV AL-KHWARIZMI / CASIO Pág. 1 La competencia matemática con la calculadora gráfica Febrero 2014 Para dibujarla en la CP – 400 tenemos que definirla como dos funciones, una por cada trozo, y, además, hemos de hacer uso del comando que está situado en el teclado virtual math3. Este comando permite restringir el rango de valores de la variable que aparece en la fórmula de la función. La sintaxis es sencilla: se escribe la fórmula de la función a la izquierda de la barra y la condición de restricción a la derecha. Ajustamos la ventana en a los datos del problema y visualizamos la gráfica pulsando Si quisiéramos representar una función en la que una de sus partes estuviera definida como: f(x)=x+1 5 ≤ x ≤ 5 debemos definir la función como antes se ha señalado, pero esta vez, utilizaremos dos veces el comando , una para cada extremo del intervalo, ya que dicho comando solamente admite una condición de restricción: 1, si 0 x 1 2x, En las siguientes figuras se muestran las gráficas de y e y x, 2 x, si 1 x 2 1, SEMCV AL-KHWARIZMI / CASIO si x 1 si 1 x 1 si x 1 Pág. 2 La competencia matemática con la calculadora gráfica Febrero 2014 2. Actividades 1) Dibuja en los mismos ejes de coordenadas las gráficas de las funciones y=x1, y= x 2 1 , y= x 3 1 , y= x 4 1. Dibuja también las gráficas de las funciones recíprocas: y 1 1 , y , ... Comenta 2 x 1 x 1 los resultados obtenidos. 2) Comprueba con la CP – 400 que las funciones y e x , y ln(x) son funciones inversas. SEMCV AL-KHWARIZMI / CASIO Pág. 3 La competencia matemática con la calculadora gráfica Febrero 2014 3) La cantidad de carbono decrece exponencialmente. Empezando con una cierta cantidad q de carbono C14, la vida media es de 5730 años. Después de un número x de años, la cantidad de carbono que 1 queda es: y q 2 x 5730 . Si se sabe la cantidad de carbono actual y, para saber la edad de ese carbono, hay que calcular x, es decir, hay que resolver una ecuación exponencial. Representa gráficamente la función anterior tomando q=500. Establece los siguientes valores para la ventana de visualización: xmin=0 xmax=50000 xscale=10000 xdot=0.1 ymax=100 yscale=10 ymin=30 Utiliza la función de Trazo para analizar como cambia la cantidad de carbono a lo largo del tiempo. 2. SUCESIONES 1. Análisis de sucesiones con la CP – 400 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE SUCESIONES CON LA CALCULADORA GRÁFICA CP-400 (1) Ventana editor de secuencias (2) Ventana de tablas a) Título b) Nombres de columna Al abrir el menú de secuencias en la calculadora CP-400 obtenemos una pantalla como la de la figura, en la que podemos apreciar dos ventanas, la del editor de secuencias y la de tablas. En el menú Edit dispones de los comandos habituales (Cortar, Copiar, Pegar, Seleccionar todo, Borrar todo). Los comandos Cortar, Copiar y Seleccionar sólo están disponibles cuando las ventanas de gráficos y de tablas están activas. Para introducir una expresión en la ventana del editor de secuencias, sitúa el cursor en la posición (a), (b) o (c), toca el menú [n, an] y luego toca el término deseado. En la hoja Explicita también puedes usar la [n] de la lista. SEMCV AL-KHWARIZMI / CASIO Pág. 4 La competencia matemática con la calculadora gráfica a) Crea una tabla de secuencia para la Febrero 2014 sucesión recursiva de Fibonacci dada por an2 an1 an, a1 1, a2 1 . Si la aplicación Secuencias está funcionando, selecciona el comando / Ventana / Editor secuencias. Toca la lengüeta [Recursiva] e indica el tipo de recursión, seleccionado Tipo / Tipo a n2 a1 , a 2 . Toca el cuadro de entrada a la derecha de a n 2 y escribe la expresión recursiva: [ n, a n ] [ a n 1 ] [+] [ n, a n ] [ a n ] [EXE]. Introduce el valor inicial: [1] [EXE] [1] [EXE]. Toca el botón . Aparece el cuadro de diálogo de entrada de tablas de secuencia. Introduce el rango de valores para n como se muestra a continuación: Inicio=1, Fin=5. Toca el botón [Acep.] para confirmar. Toca el botón [] junto a y selecciona para crear la tabla. Selecciona el comando / Formato gráfico y en la ficha [Especial ] selecciona “4 Celdas” de la lista desplegable Celdas ancho de fila. SEMCV AL-KHWARIZMI / CASIO Pág. 5 La competencia matemática con la calculadora gráfica Febrero 2014 b) Construye una tabla para cada una de las siguientes sucesiones: a n= n 2 2 , an+1=an+3 con primer término 1, an+1=3.an con primer término 2, an+1=2.an+2 con primer término 3. En el primer caso, una vez introducida la fórmula explícita, hay que pulsar el botón de tabla que aparece en la solapa [Recursiva]. En la segunda sucesión hay que introducir su expresión en la solapa [Recursiva], usando el botón y pulsar el botón de tabla. Para visualizar en la tabla las diferencias entre cada dos términos, hay que pulsar el botón . Vemos que dichas diferencias son constantes, es decir, se trata de una sucesión aritmética de diferencia d=3. Para ver los cocientes entre dos términos consecutivos de la tercera sucesión, hay que pulsar el botón , una vez introducida su expresión recursiva. Al visualizar la tabla, vemos que es una sucesión geométrica de razón r=3. En la cuarta sucesión, una vez introducida la expresiuón recursiva, hemos de pulsar el botón para obtener dos columnas: una con las diferencias entre cada dos términos consecutivos y otra con los cocientes entre las diferencias anteriores. De esta manera vemos que esos cocientes son constantes, iguales a 2. Una sucesión de este tipo se dice que es aritmético-geométrica. Las siguientes pantallas muestran los resultados finales en cada sucesión. SEMCV AL-KHWARIZMI / CASIO Pág. 6 La competencia matemática con la calculadora gráfica Febrero 2014 Representa gráficamente la sucesión recurrente: an1 2an 1. Si la aplicación Secuencias está activa, selecciona el comando / Ventana / Editor Secuencias. Toca la pestaña [Recursiva] e indica el tipo de recursión seleccionando Tipo / Tipo a n1 a1 . Escribe la expresión recursiva. Toca el cuadro situado a la derecha de a n 1 . Utiliza los procedimientos estudiados anteriormente para introducir: [2] [ n, a n ][ a n ] [+] [1] [EXE]. Introduce el valor inicial: [1] [EXE]. Selecciona el comando / Ventana Vis. Aparece el cuadro de diálogo de la ventana de visualización. Configura las opciones de la ventana de visualización con los valores: xmin=0 ymin=15 xmax=6 ymax=65 xscale=1 yscale=5 Toca el botón [Acep.] para confirmar. Toca el botón [] junto a tabla. Selecciona el comando y selecciona para crear la / Formato gráfico / Especial y selecciona “4 Celdas” de la lista desplegable Celdas ancho de fila. Para representar un gráfico continuo, toca el botón . Para representar un gráfico de marcadores, toca el botón SEMCV AL-KHWARIZMI / CASIO Pág. 7 La competencia matemática con la calculadora gráfica Febrero 2014 GRÁFICOS VINCULADOS Sitúa el cursor en la celda de la primera fila en la columna [ a n ] de la tabla. Con la ventana de tablas activa, selecciona el comando / Vínculo. Observa que el puntero de la ventana de gráficos salta automáticamente al punto indicado por las coordenadas en la celda seleccionada de la tabla. Selecciona la celda de la cuarta fila en la columna [ a n ] de la tabla y observa que el cursor de la ventana de gráficos se mueve hasta la posición indicada. GRÁFICOS DE TELA DE ARAÑA Otro modo de visualizar las gráficas de las sucesiones recursivas es el llamado diagrama de tela de araña. Veámoslo para el caso de la denominada “ecuación logística” y k x 1 x , que corresponde a una parábola. Normalmente el crecimiento o decrecimiento de una población en un determinado período de tiempo está condicionado por la situación anterior: una superpoblación puede significar escasez de alimentos lo que llevará a disminuir su número por ejemplo, mientras que disponer de un amplio territorio sin competencia favorecerá un aumento de la población. La función logística proporciona un modelo más adecuado de crecimiento que el exponencial. Se trata de una función recursiva que tiene como fórmula: Xt+1=K.Xt.(1 - Xt) , donde: K [0, 4] es una constante que dependerá de distintos factores en cada población y que será un valor decisivo en su evolución. T representa el tiempo que irá tomando los valores 0, 1, 2,… X [0, 1] es la variable población. Cuando X llega a tomar el valor 0 significará la extinción de la población y el valor 1 el máximo desarrollo. Xt representa la situación en el instante t y este valor determinará la situación de la población en el siguiente período. Los dos factores variables que intervienen en el cálculo de X t+1 están relacionados y si uno de ellos aumenta el otro se aproxima más a cero. Este modelo lo introdujo el biólogo Robert May, en 1976, al estudiar una población de insectos en un ecosistema cerrado. Por ejemplo, las siguientes pantallas se han obtenido representando la función recursiva a n+1=k.an.(1-an), para distintos valores de K y distintos valores de a n. SEMCV AL-KHWARIZMI / CASIO Pág. 8 La competencia matemática con la calculadora gráfica Febrero 2014 K=0.9; X0=0.9 Converge a 0; la población se estingue K=2.1; X0=0.9 Converge a un atractor; la población se estabiliza K=2.5; X0=0.7 Converge a un atractor; la población se estabiliza K=3.2; X0=0.1 Ciclo doble; la población fluctúa entre dos valores K=3.9; X0=0.4 Ciclos de diversos períodos; caos K=4; X0=0.4 Ciclos de diversos períodos; caos Para hacer las gráficas con la CP – 400 hay que introducir la fórmula recursiva correspondiente y pulsar el botón . Se muestra en pantalla la gráfica de la parábola logística correspondiente, junto con la recta de ecuación y=x (bisectriz del primer y tercer cuadrante). Es posible que tengas que modificar las dimensiones de la ventana de visualización, botón , para ver el vértice de la parábola. Para visualizar la órbita correspondiente a un valor inicial X0 hay que pulsar la tecla [EXE] repetidas veces. Para 0 K 1 la población está condenada a la extinción. Para 1 K 3 la población se estabiliza. Cuando K supera el valor 3 aparecen situaciones muy diferentes (varios atractores, caos), como puedes comprobar en los ejemplos anteriores. SEMCV AL-KHWARIZMI / CASIO Pág. 9 La competencia matemática con la calculadora gráfica Febrero 2014 TÉRMINO GENERAL DE UNA SUCESIÓN RECURRENTE Calcula el término general de la sucesión recurrente an1 a n 2 , a1 1. Si la aplicación Secuencias está activa, selecciona el comando / Ventana / Editor Secuencias. Selecciona el comando / Ventana/ Ejecutar Secuencia. En la siguiente ventana, elige el comando Calc / rSolve. Escribe la expresión: [ n, a n ] [ a n 1 ] [=] [ n, a n ] [ a n ] [+] [2] [ , ] [ a0 , a1 ][ a1 ] [=] [1] [)] . Toca el botón [EXE] para confirmar. Aparece en pantalla el término general de la sucesión. SUMA DE UNA SUCESIÓN Calcula la suma de la sucesión de término general a nE n 2 2n 1 en el rango 2 n 10. Si la aplicación Secuencias está activa, selecciona el comando / Ventana / Editor Secuencias. Selecciona el comando / Ventana / Ejecutar Secuencia. En la siguiente ventana, elige el comando Calc / . Escribe la expresión: [ n, a n ] [n] [] [2] [+] [2] [ n, a n ] [n] [] [1] [ , ] y en la plantilla de subíndices teclea [ n, a n ][n] [2] (límite inferior) y [1] [0] (límite superior) . Toca el botón [EXE] para confirmar. Se muestra el resultado en la pantalla. 2. Actividades 1) Utiliza la calculadora gráfica CP-400 para hallar en forma explícita el término general de las siguientes sucesiones recurrentes: a) an+1=2.an+3, a1=1 d) an=2.an-1, a1=3 SEMCV AL-KHWARIZMI / CASIO b) an+2=an+1+an, a1=0, a2=1 e) an=an-1+n, a1=10 c) an=an-1+3, a1=5 f) an=2.an-1-1, a1=4 Pág. 10 La competencia matemática con la calculadora gráfica Febrero 2014 2) Utiliza la calculadora gráfica CP-400 para hallar los 15 primeros términos de cada una de las sucesiones anteriores y represéntalas gráficamente. 3) Escribe una definición recursiva de cada una de las siguientes sucesiones y comprueba la validez de tu definición con la calculadora gráfica CP-400: a) 9, 13, 17, 21, … c) 1, 3, 7, 15, 31, 63, … e) 1, 3, 6, 10, 15, 21, … b) 81, 27, 9, 3, … d) 1, 3, 7, 13, 21, 31, … f) 1, 2, 6, 24, 120, 720, … 4) Intenta hallar de forma explícita el término general de cada una de las sucesiones anteriores. Ayúdate de la calculadora gráfica CP-400. 5) Utiliza la aplicación Secuencias de la CP-400 para hallar las sumas de las siguientes sucesiones: a) 1+2+4+8+16+…+1024 b) 1+2+3+4+…+998+999+1000 c) 3+7+11+15+ … +99 d) 1 e) 1 1 1 1 2 3 ... 25 3 3 3 3 1 1 1 ... 3 9 27 1 1 1 1 f) 2 3 ... 25 2 2 2 2 6) Dibuja un triángulo equilátero. Repite sucesivas veces: divide cada uno de los lados del polígono en tres segmentos iguales y en el tercio central añade un triángulo equilátero que tenga como lado dicho segmento. Adosa un triángulo en cada uno de los lados del polígono y repite el mismo proceso en cada uno de los lados. a) Si la longitud del lado de la figura de partida es 1 unidad, ¿cuál es la longitud del lado l n de la figura 2, 3, …, n? ¿Qué ocurrirá con ln cuando n sea muy grande? b) ¿Cuál es el perímetro de la figura 1, 2, 3, …, n? ¿Qué ocurrirá con el perímetro P n cuando n vaya aumentando? c) ¿Podrías decir a qué se va aproximando el área de la figura cuando sea cada vez más grande? d) Si tienes en cuenta la tendencia de la longitud del lado, el perímetro y el área, ¿no consideras que se produce una situación “extraña”? SEMCV AL-KHWARIZMI / CASIO Pág. 11 La competencia matemática con la calculadora gráfica Febrero 2014 3. CÁLCULO DE LÍMITES, DERIVADAS E INTEGRALES Introducción El sistema CAS de la calculadora CP – 400 permite obtener algebraicamente límites, derivadas e integrales de funciones (además de sumatorios, productos, series de Taylor, etc). De esta forma es posible practicar técnicas algebraicas de cálculo de límites, derivadas e integrales y se facilita el estudio de las aplicaciones del cálculo diferencial e integral a otras materias. En particular a la Física y la Economía, ya que dispone de una opción que permite resolver ecuaciones diferenciales. En esta sesión estudiaremos algunas posibilidades de la CP – 400 para tratar los contenidos habituales de Cálculo diferencial e integral que aparecen en Bachillerato, como por ejemplo, el cálculo de áreas y la resolución de problemas por integración. 1. Cálculo de límites, derivadas e integrales ANALIZANDO FUNCIONES CON LA APLICACIÓN PRINCIPAL En el menú de aplicaciones, toca el botón Selecciona el menú Acción / Cálculo. Observa que este menú contiene comandos que permiten realizar operaciones propias del Cálculo Diferencial e Integral. Cálculo de límites para iniciar la aplicación Principal. El comando Acción / Cálculo / lim determina límites de funciones. Su sintaxis es: Lim(Exp/List, variable, punto [, dirección] [)]. La dirección puede ser: 1 si es límite por la derecha y 1 si es límite por la izquierda. Calcula lim e x . Calcula lim x x 0 1 (límite por la derecha). x SEMCV AL-KHWARIZMI / CASIO Pág. 12 La competencia matemática con la calculadora gráfica Calcula lim x 0 Febrero 2014 1 (límite por la izquierda). x También puedes calcular límites utilizando el teclado virtual. Para ello debes tocar con el lápiz táctil los distintos elementos que componen la expresión del límite, seleccionándolos de alguno de los teclados [Math1], [Math2], [Math3], etc. Calcula lim x 1 Utilizando el botón x2 1 x3 2 . del teclado [Math2] obtenemos: Cálculo de derivadas El comando Acción / Cálculo / diff halla la derivada de una función con respecto a la variable. Su sintaxis es: diff(Exp/List [, variable] [)] diff(Exp/List, variable, orden [, a] [)] a es el punto en el que se desea hallar la derivada. En el primer caso, orden = 1. La variable por defecto es x, cuando se omite la variable. 6 Calcula la derivada de y=x con respecto a x. Halla la derivada segunda de y=x con respecto a x. Halla la derivada segunda de y=x con respecto a x en el punto x=3. 6 SEMCV AL-KHWARIZMI / CASIO 6 Pág. 13 La competencia matemática con la calculadora gráfica Febrero 2014 También puedes utilizar el teclado virtual [Math2] para calcular derivadas. Para ello debes utilizar el botón de dicho teclado. 3 Calcula la derivada de la función y=sen xx . Cálculo de máximos y mínimos El comando Acción / Cálculo / fMin/fMax / fMin devuelve el mínimo de una función en un intervalo. La sintaxis es: fMin(Exp [, variable] [)] fMin(Exp, variable, valor inicial, valor final [, n] [)] x es el valor por defecto cuando se omite la variable. En el primer caso, el intervalo por defecto es ], +[. n es la precisión de cálculo, que está comprendida entre 1 y 9. Si se indica un valor de n, el comando devuelve un valor aproximado del mínimo. Halla el punto mínimo absoluto de la función y=x 1. Halla el punto mínimo de la función y= x 1 en el intervalo [2, 3]. Halla el punto mínimo de la función y=x 6x en el intervalo [2, 2] con una precisión n=1. 2 2 3 El comando Acción / Cálculo / fMin/fMax / fMax devuelve el máximo de una función en un intervalo. La sintaxis es: fMin(Exp [, variable] [)] fMin(Exp, variable, valor inicial, valor final [, n] [)] x es el valor por defecto cuando se omite la variable. En el primer caso, el intervalo por defecto es ], +[. n es la precisión de cálculo, que está comprendida entre 1 y 9. Si se indica un valor de n, el comando devuelve un valor aproximado del mínimo. SEMCV AL-KHWARIZMI / CASIO Pág. 14 La competencia matemática con la calculadora gráfica Febrero 2014 2 Halla el punto máximo absoluto de la función y=x 1. Halla el punto máximo de la función y= x 1 en el intervalo [2, 5]. Halla el punto máximo de la función y=x 6x en el intervalo [2, 2] con una precisión n=1. Recta tangente 2 3 El comando Acción / Cálculo / line / tanLine devuelve el lado derecho de la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto indicado. La sintaxis es la siguiente: tanLini(Exp/List, variable, valor de la variable en el punto de tangencia [)] Halla la ecuación de la recta tangente a la función y x 3 en x=2. Recta normal El comando Acción / Cálculo / line / normal devuelve el lado derecho de la ecuación de la recta normal a la curva en el punto indicado. La sintaxis es la siguiente: Normal(Exp/List, variable, valor de la variable en el punto de la normal [)] Halla la ecuación de la recta normal a la función y x 3 en x=2. Fórmula de Taylor El comando Acción / Advanced / taylor calcula un polinomio de Taylor de una función con respecto a una variable. La sintaxis es: taylor(Exp/List, variable, orden, [, punto central] [)] El valor por defecto de punto central es 0. Halla un polinomio de Taylor de 5º orden de sin(x) en el punto x=0, en el modo de radianes. SEMCV AL-KHWARIZMI / CASIO Pág. 15 La competencia matemática con la calculadora gráfica Febrero 2014 Cálculo de integrales El comando Acción / Cálculo / halla la integral de una función respecto de una variable. La sintaxis es: (Exp/List, [variable] [)] (Exp/List, variable, límite inferior, límite superior [, tol] [)] x es la variable por defecto. tol representa el intervalo de error permitido. Si se indica un valor para tol, el comando devuelve un valor aproximado. Calcula x dx . Calcula 1 Calcula 1 2 1 dx . x ln(x) 5 (2x 2 3x 4) dx con un error admisible de 1E4. También puedes utilizar el teclado virtual [Math2] para calcular integrales. Para ello debes utilizar el botón de dicho teclado. Calcula la integral definida 1 2 x 0 1 x e dx . a) Con la pantalla Principal activa, pulsa [KEYBOARD] para ver el teclado virtual. Toca la etiqueta [Math2] y luego toca el botón integral. . El cursor aparece en el cuadro a la derecha del símbolo de b) Introduce la expresión que va a la derecha del signo integral, ayudándote de los símbolos matemáticos del teclado virtual. c) Toca con el lápiz táctil para mover el cursor a los otros cuadros de entrada para introducir los límites de integración. En el cuadro inferior introduce [0]. En el cuadro superior, introduce [1]. d) Toca el botón [Ejec.] para obtener el resultado. Longitud de arco de una curva El comando Acción / Cálculo / line/ arcLen devuelve la longitud de arco de una función desde un valor inicial hasta un valor final con respecto a una variable. La sintaxis es: arcLen(Exp/List, variable, valor inicial, valor final [)] SEMCV AL-KHWARIZMI / CASIO Pág. 16 La competencia matemática con la calculadora gráfica Febrero 2014 Calcula la longitud de arco de la curva y x 3 2 desde x=0 hasta x=4. Cálculo de sumatorios El comando Acción / Cálculo / evalúa una expresión para un intervalo de valores discretos y luego calcula la suma. La sintaxis es: (Exp/List, variable, valor inferior, valor superior [)] 2 Calcula la suma de x cuando x varía entre x=1 y x=10. También podemos calcular sumatorios utilizando el teclado virtual [Math2]. Para ello hemos de usar el botón de dicho teclado. n Calcula la suma k2 . k 1 a) Con la ventana Principal activa, pulsa [KEYBOARD] para que se muestre el teclado virtual. Toca la etiqueta [Math2] y luego toca el botón . b) En el cuadro de entrada debajo de , introduce k=1: [VAR] [k] [] [1]. c) Toca con el lápiz táctil para mover el cursor al cuadros superior, e introduce la información requerida, tocando [n]. d) Introduce la expresión a la derecha de : [k] [ ] [x] [2]. e) Pulsa [EXE] para obtener el resultado. ANALIZANDO FUNCIONES CON LA APLICACIÓN GRÁFICOS Y TABLAS Visualización de la función y su derivada mediante tablas y gráficos Genera una tabla numérica para la función y 3x 2 2 y para su derivada, y’, tomando valores de x en el intervalo [3, 1], con un incremento igual a 1. a) Si es necesario, en el menú de aplicaciones, toca el botón . b) En la línea y1 del editor de gráficos introduce la función y 3x 2 2 y selecciona su cuadro de marcación. c) Toca el botón . Aparece el cuadro de diálogo de entrada de tablas. Introduce los siguientes valores de x: Inicio=3, Fin=3, Paso=1 y toca el botón [Acep.]. d) Selecciona el comando / Formato de gráfico. En el cuadro de diálogo selecciona el cuadro de marcación Derivada / Pendiente. SEMCV AL-KHWARIZMI / CASIO Pág. 17 La competencia matemática con la calculadora gráfica Febrero 2014 e) Toca el botón . Se genera la tabla numérica de la función y de su derivada y se muestra el resultado en la ventana de tablas. f) Toca el botón para dibujar la gráfica de la función. La gráfica de la derivada no es posible obtenerla, pero puedes hacer lo siguiente: g) Con la ventana del gráfico activa, selecciona el comando Análisis / Trazo. Observa que aparece un cursor sobre la gráfica y se muestra en pantalla el valor de la derivada. h) Pulsa las teclas de cursor [] [] o toca las flechas [] [] del controlador del gráfico y verás como el cursor recorre la gráfica, mientras en pantalla se muestran las coordenadas del cursor y el valor de la derivada. i) Para finalizar la operación de trazo, toca el botón junto a la pantalla. Si quieres visualizar simultáneamente las gráficas de la función y de su derivada, en la línea y2 del editor de gráficos introduce la fórmula de la derivada, de la siguiente forma: j) Sitúa el cursor en la línea y2 y pulsa [KEYBOARD] para visualizar el teclado virtual. Toca el botón [Math2].Toca el botón . k) A continuación, selecciona con el lápiz táctil la expresión a la derecha de la línea y1 y arrastra dicha expresión a la línea y2, a continuación del paréntesis. En y2 selecciona el cuadro de marcación de la expresión l) d 3x 2 2 . dx Con la ventana del editor de gráficos activa, toca el botón simultáneamente las gráficas de la función y su derivada. SEMCV AL-KHWARIZMI / CASIO y verás cómo se dibujan Pág. 18 La competencia matemática con la calculadora gráfica Febrero 2014 Estudio de una función mediante una tabla resumen. Genera una tabla resumen de la función y x 3 3x donde se muestre el signo de la primera y la segunda derivada. Utiliza dicha tabla para describir el comportamiento de la función. a) Selecciona el comando selecciona 4 celdas. / Formato gráfico / Especial. En la lista desplegable Celdas ancho de fila, b) Introduce la fórmula de la función y x 3 3x en la ventana del editor de gráficos. Selecciona solamente el cuadro de marcación de esta función y pulsa [EXE]. c) Con la ventana del editor de gráficos activa, toca el botón para abrir el cuadro de diálogo de la ventana de visualización. Selecciona el comando Memoria / Auto. Así, todos los valores del cuadro de visualización pasan a “Auto”. d) Toca el botón [Acep.]. Toca el botón . Observa que se genera la tabla resumen. Puedes desplazar dicha tabla con ayuda de la barra de desplazamiento, para ver su contenido. e) Toca el botón para representar gráficamente la función. Compara la gráfica con los resultados de la tabla resumen y extrae conclusiones respecto del crecimiento, decrecimiento, extremos, curvatura, etc. f) Cierra la ventana de gráficos, seleccionando g) Toca el botón / Cerrar. Activa la ventana del editor de gráficos. e indica los valores de x para la tabla resumen, indicando xmin=0,5 y xmax=2. SEMCV AL-KHWARIZMI / CASIO Pág. 19 La competencia matemática con la calculadora gráfica h) Toca el botón [Acep.] y toca el botón indicado anteriormente. Febrero 2014 . Se genera otra tabla resumen, de acuerdo con el rango i) Toca el botón para dibujar la gráfica y compárala con la obtenida en el apartado (e). j) Cierra la ventana de gráficos, seleccionando / Cerrar. Activa la ventana del editor de gráficos. k) Selecciona el comando / Formato gráfico / Especial. En la lista desplegable Tabla resumen selecciona list1. En la lista desplegable Celdas ancho de fila, selecciona “4 celdas”. l) Selecciona el comando x=2, 1, 0, 1, 2. / Ventana / Editor de listas. Introduce en la list1 los siguientes valores de m) Toca la ventana del editor de gráficos para que sea la ventana activa. Con el botón los valores de la lista: Principio= -1, Fin=2, Paso=1. Genera una tabla con el botón introduce . n) Toca el botón anteriormente. . Se genera otra tabla resumen, de acuerdo con la lista de valores de x indicados o) Toca el botón para dibujar la gráfica y compárala con las anteriores. SEMCV AL-KHWARIZMI / CASIO Pág. 20 La competencia matemática con la calculadora gráfica Febrero 2014 El menú Resolución G. Con la ventana de gráficos activa, selecciona el comando Análisis / Resolución G. Con este menú podemos analizar funciones. Los comandos más importantes son: Comando Raíz Máx. Mín. Corte y Intersección Cal y Cal X dx Inflexión Distancia 2 f(x) dx Acción Calcula la raíz (intersección con OX) de una función Halla el valor máximo de la función Halla el valor mínimo de la función Halla la intersección con OY Calcula el punto de corte entre dos gráficas Halla la ordenada y para una x dada Halla la abcisa x para una y dada Calcula la integral definida en un determinado intervalo Obtiene los punto de inflexión de la función Calcula la distancia entre dos puntos Calcula el volumen de un sólido de revolución Representa gráficamente la función y xx 2x 2 y halla su raíz (corte con OX). a) Abre el cuadro de diálogo de la ventana de visualización y configúralo con siguientes valores: xmin=7.7 ymin=3.8 xmax=7.7 ymax=3.8 xscale=1 yscale=1 b) En la línea y1 del editor de gráficos, introduce la función y xx 2x 2 y selecciona solamente el cuadro de marcación. Toca el botón para representarla gráficamente. c) Toca el botón o selecciona el comando Análisis / Resolución G. / Raíz. Aparece “Raíz” en la ventana de gráficos y el cursor se sitúa en la primera solución. Las coordenadas del punto de corte con OX se muestran en la ventana. d) Para obtener más raíces, pulsa las teclas [] [] o toca las flechas [] [] del controlador gráfico. El cursor se desplaza al siguiente punto de corte con OX. Para la misma función y xx 2x 2 , determina la coordenada y cuando x=0.5 y la coordenada x cuando y=2.2. a) Selecciona el comando Análisis / Resolución G. / x-Cal/y-Cal / y-Cal. Aparece un cuadro de diálogo para indicar el valor de x. b) Introduce x=0.5 y toca el botón [Acep.]. El cursor se desplaza a la posición en la que x=0,5 y se muestran las coordenadas de dicha posición. c) Selecciona el comando Análisis / Resolución G. / x-Cal/y-Cal / x-Cal. Aparece un cuadro de diálogo para indicar el valor de y. d) Introduce y=2.2 y toca el botón [Acep.]. El cursor se desplaza a la posición en que y=2,2 y se muestran las coordenadas en pantalla. e) Para obtener el siguiente punto en el que y=2.2, pulsa la tecla []. Si pulsas [] el cursor vuelve al punto anterior. SEMCV AL-KHWARIZMI / CASIO Pág. 21 La competencia matemática con la calculadora gráfica Febrero 2014 Determina la integral definida de la función y xx 2x 2 en el intervalo 1x2. a) Abre el cuadro de diálogo de la ventana de visualización y configúralo con los valores: xmin=7.7 ymin=4 xmax=7.7 ymax=4 xscale=1 yscale=1 b) En el editor de gráficos selecciona solamente el cuadro de marcación de la función y xx 2x 2 y toca el botón para dibujar la gráfica. c) Selecciona el comando Análisis / Resolución G. / Integral / dx. Aparece “Inferior” en la ventana de gráficos. d) Pulsa [1]. Aparece un cuadro de diálogo para introducir un intervalo para valores de x. Comprueba que el límite inferior del eje OX es 1. e) Toca el cuadro de entrada Superior e introduce 2 como límite superior de integración. f) Toca el botón [Acep.]. Se sombrea el área en la ventana de gráficos y aparece el valor de la integral en el cuadro de mensajes. Representa gráficamente la función y 1 2 x x 2 x 2 y halla sus valores mínimos y máximos. 2 a) Comprueba que las dimensiones de la ventana de visualización son: xmin=7.7, xmax=7.7, xscale=1, ymin=3.8, ymax=3.8, yscale=1. b) En la línea y1 del editor de gráficos, introduce la función y solamente su cuadro de marcación. Toca el botón 1 2 x x 2 x 2 y selecciona 2 para dibujar la gráfica. c) Toca el botón o selecciona el comando Análisis / Resolución G. / Min. Aparece “Min” en la ventana de gráficos y el cursor se sitúa en el primer mínimo. Las coordenadas de dicho punto se muestran en pantalla. d) Para hallar otros mínimos, pulsa las teclas [] [] o toca las flechas [] [] del controlador gráfico. El cursor se desplaza al siguiente mínimo. SEMCV AL-KHWARIZMI / CASIO Pág. 22 La competencia matemática con la calculadora gráfica Febrero 2014 e) Con la ventana de gráficos activa, toca el botón o selecciona el comando Análisis / Resolución G. / Máx. Aparece “Max” en la ventana de gráficos y el cursor se sitúa en el máximo. Las coordenadas de dicho punto se muestran en pantalla. f) Para hallar otros máximos, pulsa las teclas [] [] o toca las flechas [] [] del controlador gráfico. El cursor se desplaza al siguiente máximo, si existe. 2 Representa gráficamente las funciones y=x+1 e y=x y halla su punto de intersección. a) Abre el cuadro de diálogo de la ventana de visualización y configúralo con los siguientes valores: xmin=5 ymin=5 xmax=5 ymax=5 xscale=1 yscale=2 b) En las líneas y1 e y2 del editor de gráficos, introduce las funciones y x 1, y x 2 y selecciona únicamente sus cuadros de marcación. Toca el botón para dibujar las gráficas. c) Selecciona el comando Análisis / Resolución G. / Intersección. Aparece “Intersección” en pantalla y el cursor se sitúa en el primer punto de corte. Las coordenadas del cursor se muestran en la ventana. d) Para obtener otros puntos de corte, pulsa las teclas [] [] o toca las flechas [] [] del controlador gráfico. El cursor se desplaza al siguiente punto de corte. Determina la distancia entre dos puntos. a) Toca la ventana de gráficos para que sea la ventana activa. b) Selecciona el comando Análisis / Resolución G. / Distancia. Aparece “Distancia” en la ventana de gráficos. c) Toca el primer punto en la ventana de gráficos. Aparece un cursor de posición en dicho punto. d) Toca el segundo punto en la ventana de gráficos. Aparece un cursor en el segundo punto y la distancia entre dichos puntos se muestra en el cuadro de mensajes. e) Selecciona de nuevo el comando Análisis / Resolución G. / Distancia. Aparece “Distancia” en la ventana de gráficos. f) Pulsa [2]. Aparece un cuadro de diálogo en el que debes introducir las coordenadas de los dos puntos. Escribe x1=2, y1=3, x2=3, y2=4. g) Toca el botón [Acep.] y observa el resultado en el cuadro de mensajes. SEMCV AL-KHWARIZMI / CASIO Pág. 23 La competencia matemática con la calculadora gráfica Febrero 2014 Representa gráficamente la función y x 3 1 y determina su punto de inflexión. a) Abre el cuadro de diálogo de la ventana de visualización y configúralo con los siguientes valores: xmin=4.9 ymin=3.3 xmax=4.9 ymax=1.8 xscale=1 yscale=1 b) En la línea y1 del editor de gráficos, introduce la función y x 3 1 y selecciona únicamente su cuadro de marcación. Toca el botón para representarla gráficamente. c) Selecciona el comando Análisis / Resolución G. / Inflexión. Aparece “Inflexión” en la ventana de gráficos, con el cursor situado en el punto de inflexión y se muestran las coordenadas de dicho punto. d) Si la función tuviera más puntos de inflexión, utiliza las teclas [] [] o toca las flechas [] [] del controlador gráfico. El cursor se desplaza al siguiente punto de inflexión. Representa gráficamente la función y x 2 x 2 y calcula el volumen del sólido de revolución generado al girar el segmento de dicha función comprendido entre x=1 y x=2 alrededor del eje OX. Calcula también el volumen al considerar el intervalo entre x=1 y x=3. a) Abre el cuadro de diálogo de la ventana de visualización y configúralo con los siguientes valores: xmin=7.7 ymin=3.8 xmax=7.7 ymax=3.8 xscale=1 yscale=1 b) En la línea y1 del editor de gráficos introduce la función y x 2 x 2 y selecciona solamente su cuadro de marcación. Toca el botón para dibujar su gráfica. 2 c) Selecciona el comando Análisis / Resolución G. / f(x) dx. Aparece un cursor en cruz sobre el gráfico y la palabra “Inferior” en la esquina inferior derecha de la ventana de gráficos. d) Pulsa [1]. Aparece un cuadro de diálogo para introducir el intervalo de integración. En él aparece el extremo inferior = 1. e) Toca el cuadro de entrada Superior e introduce 2 como límite superior. f) Toca el botón [Acep.]. aparece la silueta del sólido de revolución en la ventana de gráficos y su volumen aparece en el cuadro de mensajes. SEMCV AL-KHWARIZMI / CASIO Pág. 24 La competencia matemática con la calculadora gráfica Febrero 2014 2 g) Selecciona de nuevo el comando Análisis / Resolución G. / f(x) dx. Aparece en pantalla la palabra “Inferior” y el cursor en forma de cruz. h) Utiliza las teclas de cursor [] [] o toca las flechas [] [] del controlador gráfico para mover el cursor hasta la posición x=1 y pulsa [EXE]. Aparece en pantalla la palabra “Superior”. i) Usa las teclas de cursor [] [] o toca las flechas [] [] del controlador gráfico para mover el cursor hasta la posición x=3 y pulsa [EXE]. Observa cómo se calcula el volumen entre x=1 y x=3. 2. Actividades 1) Representa gráficamente la función f(x) 5x 2 2x 3 1 x x La gráfica sugiere que lim f(x)= lim f(x)=0. En efecto, compruébalo con el teclado [Math2]. x x 2) Representa gráficamente la función f(x) y calcula lim f(x) y lim f(x) . La gráfica sugiere que lim x0 SEMCV AL-KHWARIZMI / CASIO sin x sin x y calcula lim . x x0 x sin x =1. Compruébalo utilizando las opciones del teclado virtual. x Pág. 25 La competencia matemática con la calculadora gráfica Febrero 2014 3) Investiga con la CP – 400 cuáles son los valores de los siguientes límites: a) n 2 constante); b) lim n n n ; c) lim 1 n n sin k x (k x0 x lim n 1 x ; d) lim 1 . n n n 4) Utiliza la CP – 400 para calcular las siguientes sumas: a) 1 + 2 + 3 + ... + 100; b) 1 1 1 1 1 ... n ... 2 4 8 2 5) Utilizando límites, comprueba que la derivada de la función seno es la función coseno. 6) ¿Tiene la curva y x 4 2x 2 2 tangentes horizontales?. Para averiguarlo, utiliza la CP – 400 para resolver la ecuación dy 0 . Después comprueba el resultado dibujando la gráfica de la función. dx SEMCV AL-KHWARIZMI / CASIO Pág. 26 La competencia matemática con la calculadora gráfica Febrero 2014 7) Busca dos números cuya suma sea 30 y cuyo producto sea lo mayor posible. Si un número es x, el otro es 30x. El producto de los dos es: y=x(30x)=30x x 2 . La gráfica de esta función sugiere que hay un máximo para x=15. Resuelve la ecuación dy 0 y halla la dx segunda derivada para confirmar este resultado. 8) En un semicírculo de radio 2 podemos inscribir rectángulos de diferentes lados. Halla las dimensiones del rectángulo inscrito de máxima área. Comprueba el resultado gráficamente. Tomando un sistema de coordenadas como indica la figura, y llamando x a la semibase del rectángulo, se cumple que: base=2x, altura= 4 x 2 , área= 2 x 4 x 2 . Por tanto, hay que hallar el máximo de la función A(x) 2 x 4 x 2 en el intervalo 0x2. En las siguientes pantallas se muestra el proceso de resolución seguido con la CP – 400: SEMCV AL-KHWARIZMI / CASIO Pág. 27 La competencia matemática con la calculadora gráfica Febrero 2014 9) Comprueba con la CP – 400 que la derivación y la integración son operaciones inversas. A continuación calcula las primitivas de las siguientes funciones: a) y= x 2 , b) y= 4 x 2 , c) y=ax. 10) Calcula el área bajo la curva f(x)= 4 x 2 en el intervalo [2, 2]. 11) La ecuación general de una elipse es de la forma área de la elipse x2 a2 y2 b2 1 . Usa la CP – 400 para demostrar que el x2 y2 1 es igual 6. Explora otras elipses. ¿Qué ocurre si a=b? 4 9 12) Según Arquímedes, el área de un segmento parabólico de base b y altura h es igual a A 2 b h . Por 3 ejemplo, para el segmento de la parábola y x 2 x 6 x 2 x 2 comprendido en el intervalo [3, A 2], se cumple que b=5 y h=6,25. Por tanto, según Arquímedes, su área es 2 2 125 b h 5 6,25 20.83 . Utiliza la CP – 400 para representar gráficamente este 3 3 6 segmento parabólico y para comprobar si se cumple la fórmula de Arquímedes. SEMCV AL-KHWARIZMI / CASIO Pág. 28 La competencia matemática con la calculadora gráfica Febrero 2014 2 13) (Máximo beneficio). La venta de x artículos produce unos ingresos de I(x)= 200x 0.01x euros. Fabricar x artículos supone unos costes de C(x)=50x+20000 euros. ¿Cuál es el número de artículos que se deben producir y vender para obtener el máximo beneficio?. ¿Cuál es este beneficio máximo?. El beneficio se obtiene restando los costes a los ingresos. Por tanto, en nuestro caso, el beneficio 2 es: B(x)= 0.01x 150x 20000 . Se trata de obtener el valor máximo de esta función con la CP – 400 . 14) La región entre la curva y x , 0x4, y el eje OX gira alrededor del eje OX generando un sólido de revolución. Halla el volumen de este sólido. SEMCV AL-KHWARIZMI / CASIO Pág. 29 La competencia matemática con la calculadora gráfica Febrero 2014 15) La región limitada por el semicírculo y r 2 x 2 y el eje OX genera una esfera. Halla el volumen de esta esfera. 16) La región limitada por la curva y x 2 1 y la recta y=x+3 gira alrededor del eje OX generando un sólido. Halla el volumen de este sólido. 17) En un sistema de referencia ortonormal se consideran las gráficas de las funciones f(x)=ln(x+2) y x g(x)=e e , ambas de dominio [ 0, 3 ]. Determina el área del triángulo OAB, siendo O=origen de coordenadas, A=intersección de las gráficas de las dos funciones, B=intersección del gráfico de g(x) con el eje OX. Utiliza la calculadora gráfica para visualizar las gráficas y hallar los puntos A y B. (SELECTIVIDAD DE PORTUGAL) 18) Cierto día, un grupo de amigos decide formar una asociación deportiva. Suponemos que t días después de constituida la asociación, el número de socios viene dado aproximadamente por la función: N(t ) 2000 1 199 e 0,01t , t 0 . Utilizando la calculadora gráfica, calcula N(0) y lim N(t) . ¿Al cabo de t cuántos días se conmemora la inscripción del socio número 1000? (SELECTIVIDAD DE PORTUGAL) 4. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Un problema de optimización consiste en maximizar o minimizar una función y=f(x) que está relacionada con una determinada situación que previamente hay que matematizar. Generalmente la función f(x) es desconocida y hay que obtenerla a partir de la situación concreta. Lo habitual es que la función a optimizar contenga las dos variables x e y. Entonces, para poder obtener y en función de x, es necesario disponer de una ecuación de condición, que relaciona las dos variables x e y. CAJAS En una tintorería necesitan depósitos para colocar el tinte, y para construirlos quieren aprovechar unas chapas rectangulares de 10 dm x 16 dm. Se construyen con estas chapas los depósitos por el procedimiento de cortar las esquinas de las planchas en la forma indicada en la figura, luego doblar y finalmente soldar. SEMCV AL-KHWARIZMI / CASIO Pág. 30 La competencia matemática con la calculadora gráfica Febrero 2014 a) Llamando x a uno de los lados de cada uno de los cuadrados que se recortan, escribe la función V=f(x) que da el volumen del depósito conociendo x. b) ¿Para qué valor de x se obtiene un depósito de volumen máximo? c) En el caso de que el volumen del depósito sea máximo, ¿cuántos kilos de tinte podrá contener cada uno 3 de los depósitos, si la densidad del tinte es 1,20 kg/dm . NÚMERO Descomponer 18 como suma de dos números positivos, de manera que el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro sea máximo. COSTE MÍNIMO El coste de fabricación de un determinado producto depende del número q de unidades fabricadas, según la 2 función: C(q)=1000000+100q+0,001q a) ¿Cuál es el coste medio por unidad? b) ¿Qué cantidad hay que fabricar para minimizar el coste medio por unidad? BENEFICIO MÁXIMO Las funciones de ingresos y costes anuales por la fabricación y venta de q unidades de un determinado producto vienen dadas por: I(q)=2000q0,04q 2 C(q)=1000000+100q+0,001q 2 a) Halla la función que da el beneficio anual. b) ¿Cuántas unidades hay que producir y vender para que el beneficio sea máximo? ¿Cuál es ese beneficio? CAJA SIN TAPA Se desea construir una caja abierta (sin tapa) recortando cuadrados iguales de cada una de las esquinas de una hoja de cartón rectangular de dimensiones 3 y 8 dm. Calcula la longitud del lado del cuadrado que se ha de cortar para obtener una caja de volumen máximo. SEMCV AL-KHWARIZMI / CASIO Pág. 31 La competencia matemática con la calculadora gráfica Febrero 2014 CAJAS DE EMBALAJE Se desea construir cajas de embalaje en forma de prisma cuadrangular recto de modo que la suma de las tres dimensiones sea 72. ¿Cuáles han de ser las dimensiones para que la capacidad de las cajas sea máxima? LUMINOSIDAD Halla las dimensiones de una ventana de 6 metros de perímetro para que tenga la máxima superficie posible y, así, produzca la máxima luminosidad. CAJA CON TAPA Partiendo de una hoja de papel de medidas 20 cm 25 cm, recortamos cuadrados de lado X en dos de las esquinas y recortamos rectángulos de X12,5 cm en las otras dos esquinas, como se muestra en la siguiente figura: A continuación doblamos el papel para formar una caja con tapadera. ¿Con qué valor de X se obtiene el máximo volumen V de la caja? CÍTRICOS Un cultivador de frutas cítricas estima que si plantan 60 naranjos en un huerto, la producción media por árbol será de 400 naranjas y ésta disminuirá en un promedio de 5 naranjas por árbol por cada árbol adicional plantado en el huerto. a) Determina la función de producción total de naranjas. b) ¿Cuántos árboles se deben plantar en el huerto para maximizar la producción total de naranjas? ¿Cuál es dicha producción máxima? Razona la respuesta. UNA VENTANA Una ventana tiene la forma de semicírculo montada sobre un rectángulo. El rectángulo es de cristal transparente, mientras que el semicírculo es de cristal de color que transmite la mitad de luz por unidad de área transparente. El perímetro total (exterior) de la ventana es fijo y vale 160 cm. Halla las dimensiones de la ventana que proporcionan la mayor cantidad de luz. TERRENO Un granjero dispone de 3000 euros para cercar una porción rectangular de terreno adyacente a un río, usando éste como un lado del área cercada; es decir, construirá tres cercas. El coste de la cerca paralela al río es de 5 euros por metro instalado, y el de la cerca para cada uno de los dos lados restantes es de 3 euros por metro instalado. Calcula las dimensiones del área máxima que puede ser cercada. SEMCV AL-KHWARIZMI / CASIO Pág. 32 La competencia matemática con la calculadora gráfica Febrero 2014 5. ECUACIONES DIFERENCIALES La CP-400 incorpora una aplicación que permite obtener el campo de curvas de nivel asociado a una ecuación diferencial y también sirve para obtener soluciones particulares de ecuaciones diferenciales. A continuación se muestran algunos ejemplos y una pequeña colección de problemas que se resuelven mediante ecuaciones diferenciales. Dibuja el campo de curvas de nivel de la ecuación diferencial y' y 2 x , obteniendo las soluciones particulares que pasan por los puntos (0, 0), (0, 1/2) y (0, 1). a) En la ventana del editor de ecuaciones diferenciales, elige la opción 1st (Slope Field) del menú Type y escribe la ecuación diferencial. b) Toca en el botón para visualizar el campo de curvas de nivel. c) Modifica las dimensiones de la ventana de visualización, pulsando el botón valores: xmin=-1,5, xmax=1,5, ymin=-1,5, ymax=1.5, Field=arrows, Steps=12. , con los siguientes d) En el editor de ecuación diferencial, toca la solapa IC e introduce las condiciones iniciales: (0, 0), (0, 1/2) y (0, 1). e) Pulsa de nuevo en el botón para visualizar el campo de curvas de nivel. Dibuja el campo de curvas de nivel de la ecuación diferencial x' x , solución particular que pasa por el punto (1, 1). y' y , obteniendo la a) En la ventana del editor de ecuaciones diferenciales, elige la opción 2nd (Phase Plane) del menú Type y escribe la ecuación diferencial. b) Toca en el botón para visualizar el campo de curvas de nivel. c) En el editor de ecuación diferencial, toca la solapa IC e introduce la condición inicial: X i=1, Yi=1. d) Pulsa de nuevo en el botón SEMCV AL-KHWARIZMI / CASIO para visualizar el campo de curvas de nivel. Pág. 33 La competencia matemática con la calculadora gráfica Febrero 2014 Dibuja el campo de curvas de nivel de la ecuación diferencial y'3 x x 2 , obteniendo la solución particular que cumple las condiciones iniciales x=0, y=3. La gráfica muestra que la solución es lineal, pues su representación es una recta. Una forma alternativa para resolver la ecuación diferencial es utilizar el comando dsolve en el menú Acción / Ecuación / Inecuación, cuya sintaxis es la siguiente: En nuestro caso, usamos dSolve(y' 3 x x 2 , x, y, x 0, y 3) SEMCV AL-KHWARIZMI / CASIO Pág. 34 La competencia matemática con la calculadora gráfica Febrero 2014 Resuelve la ecuación diferencial dy x e x , con las condiciones iniciales x=0, y=0. dx Resuelve la ecuación diferencial dy e x , con las condiciones iniciales x=1, y=0. dx x Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales: a) dy 5 y 1 dx b) dy 1 y 2 dx c) dy 10 0,05 y dx d) dy 9.8 0.2 y 2 dx 1. Problemas que se resuelven con ecuaciones diferenciales ROTURA DE EMBRAGUE Un coche de fórmula 1 se queda sin propulsión debido a una rotura de embrague. Se estima que a partir de ese momento (t=0) su velocidad en metros por segundo vendrá dada por v 80 0,05 t 2 . ¿Qué distancia habrá recorrido a los 20 segundos? ¿Y a los 30? ¿Qué distancia recorrerá hasta pararse? COCHE ELÉCTRICO En un modelo de vehículo propulsado por baterías se ha comprobado que, a partir de las cuarenta horas de funcionamiento, la velocidad que puede desarrollar depende del tiempo que llevan usándose las baterías, contando a partir de las cuarenta horas, en la forma: v 400 , v en km/h, t en horas. ¿Qué distancia t 10 máxima puede recorrer a partir de las cuarenta horas de funcionamiento si cuando la velocidad que puede desarrollar baja hasta los 10 km/h hay que recargar las baterías? AYUDA: ¿Para qué valor de t es v=10? Toma como condiciones iniciales t=0, e=0 empezando a contar tiempos y espacios a partir de las cuarenta horas. CRECIMIENTO DE UNA POBLACIÓN La tasa de crecimiento de la población es proporcional, en primera aproximación, al tamaño de la población, esto es: dy k y , siendo y el tamaño de la población y t el tiempo en años. En el período 1990-2010 dx puede estimarse que k=0,0095; si en 1990 (t=0) la población era de 28 millones de habitantes, ¿qué población cabe estimar para 2030 si se mantiene la misma tasa de crecimiento? ¿Y para el año 2050? SEMCV AL-KHWARIZMI / CASIO Pág. 35 La competencia matemática con la calculadora gráfica Febrero 2014 LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON Según la ley de enfriamiento de Newton, la tasa de variación de la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del medio ambiente, es decir, dT k T Ta , donde dt T es la temperatura del cuerpo en el instante t, Ta es la temperatura del medio ambiente y k la constante de proporcionalidad. a) Si el café sale de una cafetera a 90 grados (t=0, T=90) en una habitación cuya temperatura es de 20 grados (Ta=20) y a los 5 minutos su temperatura es de 80 grados, ¿cuánto tiempo tardará en llegar a los 60 grados? ¿Qué temperatura tendrá a los diez minutos de haber salido de la cafetera? b) Si el café se hace en un refugio de montaña en el que la temperatura ambiente es de 5 grados y tarda dos minutos en bajar de 90 a 80 grados, ¿cuánto tiempo tardará en estar a 60 grados? ¿Qué temperatura tendrá a los 5 minutos de haber salido de la cafetera? TERMÓMETRO Un termómetro de exterior se encuentra en una habitación cuya temperatura es de 20 grados. A los 5 minutos de haberlo sacado a la intemperie marca 12 grados y a los 10 minutos maraca 8 grados. ¿Qué temperatura hace fuera? LANZAMIENTO EN PARACAÍDAS La ecuación diferencial que describe el movimiento de caída de un paracaidista que se lanza desde un avión es: dv 9,8 , si se hace abstracción de la resistencia del aire y del movimiento de rotación de la dt Tierra. Pero la resistencia del aire produce una fuerza que se opone a su caída, fuerza que aumenta con la velocidad. Un paracaidista se lanza desde un avión que vuela a gran altura. Hasta los 8 segundos, momento en el que abre el paracaídas, la ecuación que describe su movimiento es: 8 segundos viene dada por: dv 9.8 0.2 v 2 . dt dv 9.8 0.1 v ( t=0, v=0 ) y a partir de los dt a) ¿Qué velocidad llevará a los 8 segundos de haberse lanzado? b) ¿Y a los 10 segundos de haber abierto el paracaídas? c) ¿Qué velocidad llevaría en estos dos instantes si se utiliza el modelo que no tiene en cuenta la resistencia del aire? SEMCV AL-KHWARIZMI / CASIO Pág. 36