Ecuaciones en N (30270) - Marchena

Ecuaciones en N
Ecuaciones en el Conjunto de los Naturales
Para comenzar el tema; siempre es bueno conversar sobre algunos puntos; como por
ejemplo:
A) Igualdades Numéricas.
B) Igualdades Algebraicas o Literales.
A) Igualdades Numéricas:
Es la relación que cuando se efectúa la o las operaciones indicadas en el lado izquierdo del
signo de la igualdad, resulta el número que está a la derecha de dicho signo:
Ejemplo:


7 + 8 = 15
9-3=6
B) Igualdades Algebraicas o Literales:
Estas igualdades tienen una sub-clasificación:
B.1) Identidades.
B.2) Ecuaciones.
B.1) Identidades:
Son aquellas que para cualquier valor que se le asigne a la variable la igualdad numérica se
cumple:
Ejemplo:

2X + X = 3X
2.5 + 5 = 3.5
10 + 5 = 3.5
15= 15
,X=5
B.2) Ecuaciones:
Es aquella igualdad que se cumple para ciertos valores de la incógnita o variable.
Ejemplo:


X+2=8
Que solo se cumple la igualdad numérica; cuando X = 6.
Ejemplos de Ecuaciones:
A) X - 2 = 5
;
B) 7 + Z = 10
;
C) 2Y = 18
Como puedes observar; el signo Igual ( = ) divide a las ecuaciones dadas en dos partes: lado
izquierdo del signo, denominado primer miembro y lado derecho denominado segundo
miembro, las letras (X, Y, Z) son las variables o incógnita y corresponden a los valores
que hay que determinar para que la ecuación se convierta en una igualdad numérica.
A cada una de las cantidades que están conectadas con los signos mas ( + ) o menos
( - ) se le denomina términos.
Ejemplo:
Ejercicio # 1: Señale los miembros, los términos y la incógnita en las ecuaciones dadas.
A) X + 5 = 8
B) 3Y = 18
C) 14 = 20 - 3X
Reglas para Resolver Ecuaciones en N
En esta sección estudiaremos un método más general para resolver las ecuaciones en el
conjunto N. Aplicaremos las siguientes regles para facilitar la solución.

Si a los dos miembros de una ecuación se sumara o se restan cantidades iguales, la
solución de la ecuación no se altera.


Si los miembros de una ecuación se multiplican o se dividen por una misma
cantidad, la solución no se altera.
Si los signos de todos los términos de una ecuación se cambian, la solución no se
altera.
Ejemplo: Comprobar la Regla #1 en la siguiente ecuación:
X + 7 = 15
, Sabemos que la igualdad se cumple para X = 8
Ahora sumemos 5 a los miembros.
X + 7 + 5 = 15 + 5
X + 12 = 20
La solución de la ecuación resultante sigue siendo X = 8
Metodo para Resolver Ecuaciones en N
El metodo que ultilizaremos para hallar la solución de una ecuación, se basa en las reglas
dadas anteriormente. Las ideas consisten en aislar la incógnita y aplicar las reglas
anteriores.
Ejemplo # 1: Resolver la siguiente ecuación:
2X + 1 = 7
2X + 1-1 = 7 -1 Restemos 1 en ambos miembros
 2X = 6

2𝑥
2
=
 X=3
6
2
Dividimos entre 2 en ambos miembros de la Ecuación.
valor de la incógnita que buscamos, x es igual 3 unidades.
verificamos e la ecuación si x es igual a 3?
2X + 1 = 7
 2.3 + 1 = 7 en la ecuación cambiamos la X por el valor encontrado X= 3
 6 + 1 = 7 Realizamos la suma 6 + 1
 7=7
Ejercicio #2: Resolver la siguiente Ecuación:
5Z - 11 = 14
5Z - 11 + 11 = 14 + 11
5Z = 25
5
5
=> Z = 5
Sumamos 11 ambos miembros
Dividimos ambos miembros por 5.
Valor de la incógnita Z
Ejercicio #3: Resolver la siguiente Ecuación:
9 = 16 - Y
Sumamos Y a ambos miembros
9 + Y = 16 - Y + Y
9 + Y = 16
Restamos 9 ambos miembros
9 - 9 + Y = 16 - 9
Y=7
Método General para Resolver una Ecuación en N
Este método consiste en la transposición de los términos, y lo vamos a resumir en tres
reglas fundamentales:
Regla #1: Cualquier término de una ecuación puede ser trasladado (transpuesto) de un
miembro a otro si se le cambia el signo.
Regla #2: Si la cantidad que acompaña la incógnita esta multiplicando, puede pasarse al
otro miembro dividiendo.
Regla #3: Si la cantidad que acompaña a la incógnita la esta dividiendo, puede pasarse al
otro miembro multiplicando.
Ejemplo #1: Resolver la siguiente Ecuación
5X + 15 = 25
5X = 25 - 15
=> 5X = 10
=> X = 10
5
=> X = 2
Ejemplo #2: Resolver la siguiente Ecuación
X-6=8
4
X=8+6
4
=> X = 14 según la regla, lo que estas dividiendo pasa para el otro miembro
4
multiplicando.
=> X = 4 . 14
=> X = 56
Ejercicio#2: Resolver las siguientes Ecuaciones:
A) 3U + 1 = 25
B) 11 = 2X - 39
C) 108 + 2Y = 168
D) W + 5 = 6
5
E) 19 = 6Z + 1