Repartido 5 - Mecánica Estadística

INSTITUTO DE FÍSICA
MECÁNICA ESTADÍSTICA
Curso 2012
Práctico V – Fermi-Dirac, Bose-Einstein y Maxwell-Boltzmann.
Fecha de Entrega: 26 de Noviembre de 2012. 1
Parte A: Ejercicios Teórico:
Ejercicio No 1 (*) – Distribuciones de Fermi-Dirac y Bose-Einstein.
I) Distribución de Fermi-Dirac:
a) Grafique la distribución de Fermi-Dirac:
f (ε ) =
1
 ε−µ
 + 1
exp
 k BT 
en función de la relación ε , siendo ε la energía del nivel en consideración, y µ el
µ
potencial químico, en el caso que µ > k BT > 0 . En particular:
i. Calcule su valor en ε = µ y en ε = 0. ¿Qué sucede si µ >> k BT ?
ii. Estudie el límite ε >> µ.
iii. ¿Cuál es la región de valores de ε en que f(ε) toma valores entre 90 % y
10 % de su valor máximo?
iv. ¿Cómo cambia la gráfica anterior si µ < 0?
b) (Kittel 9.2) Simetría de los niveles ocupados y vacíos: Sea ε = µ + δ, demostrar
que f(δ) = 1 – f( – δ). Interprete este resultado como que la probabilidad de que un
nivel δ por encima del “nivel de Fermi” esté ocupado es igual a la probabilidad de
que un nivel δ por debajo del “nivel de Fermi” esté vacío.
c) (Kittel 9.1) Derivada de la función de Fermi-Dirac: Calcule la función
∂f
g (ε ) = −
y demuestre que:
∂ε
i. Tiene un valor máximo en el “nivel de Fermi” ε = µ que es (4kBT)-1.
Interprete este resultado como que cuanto menor sea la temperatura más
inclinada es la pendiente de la función de Fermi-Dirac.
1
- La entrega mínima debe contener los ejercicios marcados con asterisco, que en este repartido son:
Ejercicios No 1, 8, 10 y 11.
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ii. Calcule los valores de energía ε+, ε− en que la función g(ε) cae a la mitad
de su valor máximo. Con estos valores estime el ancho completo a media
altura ∆εFWHM = ε+ – ε− y demuestre que es proporcional a kBT.
iii. Demuestre entonces que en el límite en que la temperatura T tiende a 0
K, la función g(ε) tiende a la función δ(ε − µ) (delta de Dirac centrada en
el “nivel de Fermi”).
II) Distribución de Bose-Einstein:
Grafique la distribución de Bose-Einstein:
n(ε ) =
1
 ε−µ
 − 1
exp
 k BT 
en función de la energía ε del nivel en consideración. En particular:
i. Demuestre que su derivada es estrictamente negativa.
ii. Estudie el límite ε >> µ y compárelo con el mismo límite de la
distribución de Fermi-Dirac.
iii. ¿Qué sucede si ε → µ?
iv. ¿Para qué rangos de energía ε la función toma valores mayores que 1?
Ejercicio No 2 – Dispersión de Ocupación (Reif 9.28, Kittel 11.6 y 11.7).
a) Demuestre que, tanto en el ensemble canónico como en el ensemble gran canónico,
la fluctuación en el número de ocupación ns de un estado s de una partícula, con
energía εs, puede escribirse como:
(∆ns )2
=−
1 ∂ns
β ∂ε s
NOTA: La diferencia entre un ensemble y otro es qué cantidades se consideran
constantes al hacer la derivada parcial.
b) Aplique el resultado de la parte anterior en el ensemble gran canónico (es decir,
sistema en contacto térmico y difusivo a temperatura T y potencial químico µ) a las
diferentes estadísticas para obtener los siguientes resultados para la dispersión
relativa del número de ocupación, que se interpretarán:
(∆ns )2
i. Maxwell-Boltzmann:
ns
ii. Bose-Einstein:
(∆ns )2
ns
2
=
2
=
1
.
ns
1
+1 .
ns
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Práctico V – Fermi-Dirac, Bose-Einstein y Maxwell-Boltzmann.
iii. Fermi-Dirac:
(∆ns )2
2
ns
1
−1 .
ns
=
c) Considere ahora el sistema en el ensemble canónico (sistema en contacto térmico
con una fuente de temperatura T pero con número de partículas totales N constante).
i. Demuestre que la dispersión relativa del número de ocupación calculadas
anteriormente deben ser corregidas por el factor multiplicativo
 1 ∂α 
µ
1 +
 , siendo α = −µβ = −
.
β
∂
ε
k
T
s 
B

ii. Demuestre que en el caso de la estadística de Maxwell-Boltzmann:
n
1 ∂α
= − s que es mucho menor que 1 en el límite clásico.
N
β ∂ε s
iii. Demuestre que en el caso de las estadísticas de Bose-Einstein y Fermins (1 ± ns )
1 ∂α
Dirac:
=m
, que en ambos casos es despreciable a
β ∂ε s
∑ nr (1 ± nr )
r
menos que el sistema esté cerca de T = 0K.
d) ¿Cómo es la dispersión en el número de partículas para la estadística de Planck?
Ejercicio No 3 – Entropía de Estadísticas (Reif 9.2):
a) Demuestre que la entropía S de un gas ideal de Fermi (gas de fermiones no
interactuantes) puede escribirse en función de n r , el número medio de partículas
en el estado de una partícula r, como:
S = − k B ∑ [ n r ln n r + (1 − n r )ln (1 − n r
)]
r
NOTA: Este resultado puede obtenerse a partir de la expresión de la entropía en el
∂G
ensemble grand canónico: S = −
siendo G el gran potencial que se
∂T
obtiene a partir de la gran suma ζ por G = −k BT ln ζ ; o también a partir de la
entropía de Jaynes (Ejercicio No 6 del Práctico III).
b) Demuestre que el resultado similar para un gas ideal de Bose (gas de bosones no
interactuantes) es:
S = −k B ∑ [ nr ln nr − (1 + nr )ln(1 + nr
)]
r
e) Halle el límite de ambas expresiones en el caso clásico (<nr> << 1).
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Parte B: Ejercicios Prácticos:
Ejercicio No 4 – Dos partículas con tres niveles (Reif 9.1):
Considere un sistema formado por dos partículas cada una de las cuales puede
estar en cualquiera de tres estados cuánticos de energías respectivas 0, ε y 3ε. El sistema
está en contacto con un foco térmico a temperatura T.
a) Escriba la función de partición Z si las partículas obedecen la estadística
clásica de Maxwell-Boltzmann y son consideradas distinguibles.
b) Repita la parte a) para partículas clásicas indistinguibles.
c) ¿Cuál es la expresión de Z si las partículas son bosones (obedecen la
estadística de Bose-Einstein)?
d) ¿Cuál es la expresión de Z si las partículas son fermiones (obedecen la
estadística de Fermi-Dirac)?
Ejercicio No 5 – Presión de Gases Ideales (Reif 9.5 y 9.6):
Considere un gas ideal de N partículas no relativistas débilmente interactivas en
equilibrio a temperatura absoluta T en un recipiente cúbico de arista L (volumen V = L3).
a) Cada uno de los estados cuánticos r de esta partícula tiene una energía
cinética εr(V) que depende de V. ¿Cómo es la dependencia εr(V)?
b) Determine la contribución a la presión P del gas de una partícula en ese
estado en función de εr y V.
SUGERENCIA: Recuerde que la presión es la fuerza generalizada del
volumen por lo que en general puede escribirse:
P= −
∂ε r
∂V
c) Utilice el resultado anterior para demostrar que la presión P de cualquier gas
ideal de partículas débilmente interactivas está siempre relacionado con la
energía cinética total media E por la expresión:
P=
2E
3V
independientemente de que el gas obedezca la estadística de Fermi-Dirac,
Bose-Einstein o Maxwell-Boltzmann.
d) ¿Por qué es diferente este resultado de la relación
P=
válida para un gas de fotones?
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E
3V
Práctico V – Fermi-Dirac, Bose-Einstein y Maxwell-Boltzmann.
SUGERENCIA: Considere lo que sucede en el caso de un gas ultrarelativista
con espectro de energía ε = chk .
e) Utilice argumentos de teoría cinética semiclásica para calcular P a partir
de la transferencia de la cantidad de movimiento resultante de los impactos
moleculares con una pared. Demuestre que el resultado así obtenido es
compatible con el deducido en la parte c) en todos los casos (independiente
de la estadística).
f) Continuando el
anteriormente:
razonamiento
i. Calcule la dispersión
según
(∆P )2
líneas
similares
utilizadas
de la presión del gas y demuestre
que, con toda generalidad está relacionado directamente con la
2
dispersión (∆E ) de la energía total del gas.
ii. Utilizando las expresiones de E y
función de partición Z, exprese P y
(∆E )2
en términos de la
(∆P )2
en función de Z.
Demuestre que:
(∆P )2
=
2k B T 2 ∂ P
3V ∂T
iii. En el caso de este gas en el límite clásico, calcule explícitamente
que la dispersión relativa de la presión es:
(∆P )2
P
2
=
2
3N
Ejercicio No 6 – Ecuación TdS del gas de fotones (Reif 9.10):
Aplique la ecuación TdS = d E + P dV a un gas de fotones, escribiendo
E = V u , siendo u (T ) la densidad media de energía del campo de radiación, que es
independiente del volumen V, y P =
u
3
es la presión de radiación.
a) Considerando a S como función de T y V, determine las derivadas parciales
de S respecto a una y otra variable.
b) Igualando las derivadas segundas cruzadas obtenga una ecuación diferencial
para u (T ) .
c) Integre dicha ecuación para obtener la ecuación de Stefan-Boltzmann.
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Ejercicio No 7 – Gas ideal de Fermi a T = 0 K.
a) (Reif 9.16) Un gas ideal de Fermi está en reposo en el cero absoluto y tiene una
→
energía de Fermi µ = εF. La masa de cada partícula es m. Si v representa la
velocidad de una molécula, determine v x y v x
2
.
b) (Reif 9.17) Considere un gas de N electrones en un volumen V en el cero absoluto.
i. Calcule la energía media total E de este gas.
ii. Exprese E en función de la energía de Fermi µ = εF.
iii. Demuestre que E es propiamente una magnitud extensiva, pero que
para un volumen fijo V,
E
no es proporcional al número N de
partículas del recipiente. ¿Cómo se explica este último resultado a pesar
del hecho que no hay interacción potencial entre las partículas?
c) (Reif 9.18 y Kittel 14.4) Determine la relación entre la presión media P y el
volumen de un gas ideal de Fermi para T = 0 K:
∂ E
i. Calcularla por la relación general P = −
 ∂V
la parte anterior.

 con E obtenido en

T
ii. Calcularla a partir de los resultados del Ejercicio No 5.
iii. Utilice el resultado para calcular en forma aproximada la presión en
atmósferas que ejercen los electrones de conducción en el cobre sobre la
red sólida que los confina dentro del volumen del metal.
iv. Calcule el coeficiente de compresibilidad isotermo: αT = −
1  ∂V 

 .
V  ∂P  T
Ejercicio No 8 (*) – Reducción de la Dimensionalidad.
a) (Kittel 14.2) Considere un gas de electrones libres que posee N electrones ubicados
en un volumen V a una temperatura T = 0 K. Demuestre que la densidad de estados
de una partícula a la energía de Fermi µ = εF puede escribirse como:
D3 (ε F ) =
3N
.
2ε F
b) (Kittel 14.3a) Demuestre que la densidad energética de estados de una partícula para
una partícula libre de masa m moviéndose en una línea recta de largo L (caja
unidimensional) es:
D1 (ε ) =
γL
m
π 2 εh 2
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Práctico V – Fermi-Dirac, Bose-Einstein y Maxwell-Boltzmann.
siendo γ la degeneración de spin.
c) (Kittel 14.3b) Demuestre que la densidad energética de estados de una partícula
para una partícula libre de masa m moviéndose en una superficie de área L2 (caja
bidimensional) es:
D2 (ε ) =
γmL2
2 πh 2
independiente de la energía ε.
d) (Kittel 14.5) Calcule la dependencia del potencial químico con la temperatura para
los siguiente gases de Fermi, en el límite k B T << ε F :
i. N partículas moviéndose en un volumen V (sistema tridimensional de la
parte a).
k BT
. Observe
εF
que el potencial químico disminuye con la temperatura. Justifique
cualitativamente.
NOTA: Calcule aproximadamente hasta segundo orden en
APLICACIÓN NUMÉRICA: La energía de Fermi para el Aluminio a 0 K
es 11.7 eV. ¿Hasta qué temperatura el potencial químico difiere de
este valor en menos de 0.1%?
ii. N partículas moviéndose en una recta de largo L (sistema unidimensional
de la parte b).
k BT
. Observe
εF
que el potencial químico aumenta con la temperatura. Justifique
cualitativamente.
NOTA: Calcule aproximadamente hasta segundo orden en
iii. N partículas moviéndose en una superficie de área L2 (sistema
bidimensional de la parte c).
NOTA: En este caso el cálculo se puede hacer en forma exacta. ¿Aumenta
o disminuye el potencial químico con la temperatura?
e) Compare la dependencia con la temperatura T del calor específico a volumen
constante en el caso bidimensional para dos gases ideales de N partículas: un gas de
Fermi y un gas de Bose.
Ejercicio No 9 – Equilibrio de Electrones y Emisión Termiónica.
a) (Reif 9.23) La energía más baja posible de un electrón de conducción de un metal
está a – V0 por debajo de la energía de un electrón libre en el infinito. Los electrones
de conducción tienen una energía de Fermi (o potencial químico µ = εF). La energía
mínima necesaria para extraer un electrón del metal es entonces Ф = V0 – µ y se le
llama función trabajo del metal. La figura muestra estas relaciones en un diagrama
de energías frente a la posición espacial del electrón.
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Considere
un
gas
de
electrones afuera del metal en
equilibrio termodinámico con
los electrones del metal a la
temperatura
T.
Por
la
distribución de Fermi-Dirac, la
densidad de los electrones en el
exterior del metal es muy pequeña a todas las temperaturas en que kBT << Ф.
Igualando los potenciales químicos para los electrones fuera y dentro del metal
determine el número medio de electrones por unidad de volumen exterior al metal.
→
→
b) (Reif 9.25) Escriba una expresión para f  k d k , número medio de electrones de
 
conducción por unidad de volumen que están dentro del metal y que tienen una
→
dirección particular de orientación de spin, y un vector de onda k (o cantidad de
→
→
→
→
→
movimiento p = h k ), situado en el intervalo entre k y k + d k . Utilice este
resultado y razonamientos cinéticos detallados para calcular cuántos electrones
dentro del metal chocan por unidad de área de su superficie y por unidad de tiempo
con la energía suficiente para emerger del metal. Suponga que una fracción r de los
electrones se reflejan y retroceden sin salir del metal.
Ejercicio No 10 (*) – Estadística de Portadores en Semiconductores Intrínsecos.
Un semiconductor es un material en que
los niveles disponibles de energía para los
electrones moviéndose en el interior del mismo se
separan en dos “bandas de energía”. La “banda de
conducción” tiene valores de energía E (de una
partícula) mayores que un valor mínimo Ec y
cerca del mismo obedecen la relación de
E
Ec
EG
→2
p
, mientras que en la
2mc*
“banda de valencia” los valores de E son menores
que un valor máximo Ev (< Ec) y cerca del mismo
dispersión E = Ec +
Ev
→
→
p = hk
→2
p
obedecen la relación de dispersión E = Ev −
.
2mv*
→
→
En estas relaciones de dispersión p = h k se puede considerar la cantidad de
→
movimiento de los electrones, siendo k el vector de onda sujeto a las mismas
condiciones de borde de ondas planas moviéndose en una caja de volumen V (que puede
suponerse cúbica). Las constantes mc* y mv* se denominan “masas efectivas”. Si la
energía E es tal que Ev < E < Ec no existen estados permitidos, y se dice que el
semiconductor tiene una región de energías prohibidas EG = Ec – Ev.
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Práctico V – Fermi-Dirac, Bose-Einstein y Maxwell-Boltzmann.
a) Demuestre que las densidades de estados (por unidad de volumen) en una y
otra banda pueden escribirse como:
1
g c (E ) = 2
2π
 2m*c
 2
 h



1
g v (E ) = 2
2π
 2m*v
 2
 h



3
3
2
2
E − Ec
Ev − E
b) Suponiendo que el potencial químico tiene un valor de energía que se
encuentra en el interior de la región de energías prohibidas (y que dista de los
bordes de las bandas de conducción y de valencia más de 3 kBT), demuestre
que la densidad (por unidad de volumen) n0 de electrones en la banda de
conducción puede escribirse como:
 m*

n0 (T ) = 2 c 2 kBT 
 2πh

3
2
 E − EF
exp − c
k BT




c) Para la banda de valencia, en que la ocupación de estados electrónicos es
grande, se define el concepto de hueco. Un hueco es la ausencia de un
electrón, por lo tanto la probabilidad de que en un determinado nivel
energético haya un hueco es 1 – f, siendo f la probabilidad de que ese nivel
esté ocupado por un electrón. Encuentre la densidad (por unidad de volumen)
p0 de huecos en la banda de valencia.
d) En un semiconductor intrínseco las densidades de electrones en la banda de
conducción y huecos en la banda de valencia son iguales. Encuentre el valor
del potencial químico para un semiconductor intrínseco discutiendo su
dependencia con la temperatura T, y la relación entre mv* y mc*.
Ejercicio No 11 (*) – Termodinámica del Sólido de Debye (Reif 10.2 y 10.3):
a) Utilice la aproximación de Debye para obtener las siguientes funciones
termodinámicas en función de la temperatura absoluta T expresándolas en
términos de la función:
y
3
x3
D( y ) = 3 ∫ x dx
y 0 e −1
y de la temperatura de Debye θ D =
hωmax
.
kB
i. F = – kBT ln Z, donde Z es la función de partición.
ii. Energía media <E>.
iii. Entropía S.
b) Calcule la función D(y) en los límites y >> 1 e y << 1.
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c) Emplee los resultados de la parte b) para expresar las funciones
termodinámicas calculadas en la parte a) en los casos límite cuando T << θD
y cuando T >> θD.
Parte C: Ejercicios Adicionales:
Ejercicio No 12 – Estadística de Distribución de doble ocupación (Kittel 9.4):
Imagine una nueva mecánica estadística en las que las posibilidades de ocupar
un estado cuántico de partícula simple sean 0, 1 y 2. Los valores de la energía asociada
con estas ocupaciones serán 0, ε y 2ε, respectivamente.
a) Deduzca una expresión para el valor esperado del número de ocupación n ,
cuando el sistema correspondiente a este estado está en contacto térmico y
difusivo con una fuente a temperatura T y potencial químico µ.
b) Volviendo a la mecánica cuántica ordinaria: deduzca una expresión para el
valor esperado del número de ocupación n de un nivel energético que está
doblemente degenerado; es decir, dos estados tienen la misma energía ε. Si
ambos estados están ocupados la energía total es 2ε.
c) Compare los resultados de las partes anteriores entre sí y con el resultado
correspondiente del Ejercicio No 15 del Práctico III.
Ejercicio No 13 – Gases Ideales Diatómicos:
Una molécula diatómica tiene, además de los grados de libertad de traslación (de
su centro de masas), grados internos de rotación (ver Ejercicio No 9 del Práctico IV) y
grados internos de vibración (que se pueden modelar por un oscilador armónico
unidimensional).
a) (Reif 9.7) Si a temperatura ambiente T0, prácticamente para todas las
moléculas diatómicas la separación entre los niveles energéticos de rotación
es pequeña comparada con kBT0, mientras que entre los niveles energéticos
de vibración es grande comparada con kBT0, ¿cuál es el calor específico al
número de partículas a volumen constante de un gas diatómico a la
temperatura?
b) (Reif 9.8) Suponga N moléculas del gas raro HD (H por átomo de hidrógeno
de masa m y D por átomo de deuterio de masa M) se introducen en una
botella y se mantienen a una temperatura T hasta que se establece un
completo equilibrio. La botella contendrá entonces moléculas de H2 y D2
además de cierto número n de moléculas de HD. Calcule la relación n/N en
función de T, m, M y ω0, que es la frecuencia angular de vibración de la
molécula de HD, suponiendo que T es aproximadamente la temperatura
ambiente de forma que los grados de libertad de rotación de las moléculas
pueden considerarse como clásicos, mientras que hω0 >> k BT , de forma que
todas las moléculas están esencialmente en su estado de vibración más bajo.
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Práctico V – Fermi-Dirac, Bose-Einstein y Maxwell-Boltzmann.
SUGERENCIA: El equilibrio difusivo en la reacción química:
2 HD ↔ H 2 + D2
se establece igualando los potenciales químicos ponderados por los
coeficientes estequiométricos respectivos: 2µ HD = µ H 2 + µ D2 (ver
Ejercicio No 10 del Práctico IV).
Ejercicio No 14 – Capacidad Térmica de un Cuerpo Negro (Reif 9.11):
Un sólido dieléctrico tiene un índice de refracción n0, que puede suponerse
constante hasta las frecuencias infrarrojas. Compare la contribución a su capacidad
térmica a volumen constante, de la radiación de cuerpo negro, a temperatura ambiente,
con la contribución correspondiente de los átomos de la red (suponiendo esta satisface la
ley de Dulong y Petit).
Ejercicio No 15 – Paramagnetismo de Metales de Conducción (Reif 9.22):
Un metal tiene n electrones de conducción por unidad de volumen, con cada
electrón con un spin ½ y un momento magnético asociado µm. El metal está a 0 K y se
coloca en un campo magnético H. La energía total de los electrones de conducción en
presencia del campo H tiene que ser tan pequeña como sea posible. Utilizando este
hecho determine una expresión explícita para la susceptibilidad paramagnética debida a
los momentos magnéticos de spin de los electrones de conducción.
Ejercicio No 16 – Constante de Grüneisen (Reif 10.4 y 10.5):
La energía asociada a los modos de vibración de un sólido de N átomos es:
3N
E n1 ,n2 ,... = − Nη + ∑ n r hωr
r =1
donde η es la energía de ligación por átomo en el sólido a T = 0 K, y ωr son las
frecuencias de modo normal. Estos parámetros η y ωr dependen en general del volumen
V del sólido. La dependencia de estas últimas en el volumen se puede expresar
globalmente a través del parámetro de Grüneisen γ definido como:
γ≡−
V dθ D
.
θ D dV
a) Utilice la aproximación de Debye para hallar la ecuación de estado del
sólido; esto es, halle la presión <P> en función de V y T.
b) ¿Cuáles son los casos límite válidos cuando T << θD y cuando T >> θD?
c) Suponiendo γ es constante (independiente de la temperatura), demuestre que
el coeficiente de dilatación térmica α está relacionado γ por la relación:
α = κγ
CV
V
en que CV es la capacidad calorífica del sólido y κ su compresibilidad.
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Examen Febrero de 2010
23 de Febrero de 2010
Ejercicio No 1 – Gas en un Pozo de Potencial Armónico.
Un sistema clásico de N partículas distinguibles no-interactuantes de masa m está
ubicado en un pozo de potencial armónico tridimensional:
→
(
x2 + y2 + z2 )


Ur  = C
2
 
donde C es una constante elástica con dimensiones de energía por longitud al cuadrado
(o equivalentemente energía por unidad de volumen a la 2/3).
a) Encuentre la función de partición y la energía libre de Helmhotlz de este
sistema.
b) Considerando C como un parámetro externo, encuentre la fuerza
termodinámica conjugada XC de este parámetro. Encuentre la ecuación de
estado de este sistema.
c) Encuentre la entropía, la energía interna y la capacidad térmica a parámetro
C constante.
d) Escribiendo la constante elástica como C =
ε
encuentre la fuerza
2
V 3
generalizada XV y comparando con la ecuación de estado de un gas ideal en
un recipiente de paredes rígidas interprete V como un volumen efectivo para
este sistema.
e) Escribiendo la entropía en función de este volumen efectivo discuta si la
misma es extensiva o no.
Ejercicio No 2 – Gas de Fotones Unidimensional.
Considere una línea de transmisión de longitud L, en que las ondas
electromagnéticas satisfacen la ecuación de onda unidimensional:
c2
∂2E ∂2E
= 2
∂x 2
∂t
donde E es una componente del campo eléctrico. Este sistema puede considerarse que
estadísticamente corresponde a un gas de fotones unidimensional, ubicado en la longitud
L, a una temperatura T. Tenga en cuenta que existen dos polarizaciones diferentes
(ondas transversales) y dos direcciones de propagación (solamente).
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Práctico V – Fermi-Dirac, Bose-Einstein y Maxwell-Boltzmann.
a) Encuentre la densidad de estados de una partícula (incluyendo todas las
degeneraciones). ¿Cuál es su dependencia con la energía?
b) Calcule y bosqueje la distribución espectral de uT (ν ) energía para la
densidad lineal de energía ( u = U
∞
L
= ∫ dνuT (ν ) , siendo U la energía total
0
almacenada en el campo electromagnético y ν la frecuencia).
c) Encuentre la dependencia de la capacidad térmica de este gas de fotones con
la temperatura T.
d) ¿Cómo se relaciona la fuerza generalizada asociada al largo de la cavidad
con la densidad lineal de energía u?
Algunas relaciones que pueden ser de utilidad:
exp (x ) ≅ 1 + x +
(1 + x )
m
N
∑ xi =
i =0
x2
2
m (m − 1)x 2
≅ 1 + mx +
2
1 − x N +1
1− x
∞
1
∫ dx exp (− αx ) = 2
2
0
π
α
1
d
= − ln[1 + exp (− x )]
exp (x ) + 1
dx
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