problemas boole 1 - IES Pintor Antonio Lopez

PROBLEMAS RESUELTOS ALGEBRA BOOLEANA
PROBLEMA: Demostrar los siguientes nueve teoremas básicos del álgebra Boleana. Considerar los dos valores
posibles de A, 0 y 1::
TEOREMA
VALORES
CONCLUSIÓN
A+1=1
A+1=0+1=1
A+1=1+1=1
A+1=1
A•1=A
A•1=0•1=0=A
A•1=1•1=1=A
A•1=A
A+0=0
A+0=0+0=0=A A+1=1+0=1=A
A+0=A
A•0=0
A•0=0•0=0
A•0=1•0=0
A•0=0
A+A=A A+A=0+0=0=A A+A=1+1=1=A
A+A=A
A•A=A
A•A=0•0=0=A
A•A=1•1=1=A
A•A=A
A = A
A=0
A+ A =1
A• A =0
A=1 A=0
A=1
A=0 A=1
A = A
A+ A =0+1=1
A+ A =1+0=1
A+ A =1
A• A =0•1=0
A• A =1•0=0
A• A =0
PROBLEMA: Simplificar las siguientes expresiones:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
A + AB= A(1 + B) = A•1 = A
AB + A B = A(B + B ) = A•1 = A
A(A + B) = AA + AB = A + AB = A(1 + B) = A•1 = A
(A+B) B = A B + B B = A B + 0 = A B
(A+B)(A+C) = AA + AC + BA + BC = A + AC + AB + BC= A(1 + B+C) + BC =A + BC
(A+B)(A+ B ) = AA + A B + BA + B B = A + A B + AB = A(1 + B ) + A B = A + A B = A(1 + B ) = A
ABC + A·B· C + A·B·C + A· B ·C = AB(C + C ) + A·C(B + B )= AB+ A·C
ABC + AC + C= ABC + (A + 1)C = ABC + C = (AB + 1)C = C
PROBLEMA: Demostrar que: A(B + C) = ABC + A B C + AB C
A(B + C) = AB + AC = AB•1 + AC•1 = AB(C + C ) + AC(B + B ) = ABC + AB C + ABC + A B C = (ABC + ABC) + A B
C + AB C = ABC + A B C + AB C
PROBLEMA: Demostrar que: AB + A B + A B = A + B
AB + A B + A B = AB + AB + A B + A B = AB + A B + AB + A B = B(A + A ) + A(B + B ) = B + A = A + B
PROBLEMA: Demostrar que: AB + BC + CA = ABC + A ·B·C + A B C + A·B· C
AB + BC + CA = AB•1 + BC•1 + CA•1 = AB•(C + C ) + BC•(A + A ) + CA•(B + B ) = ABC + AB· C + ABC + A BC +
ABC + A· B ·C = ABC + A ·B·C + A B C + A·B· C
PROBLEMA: Demostrar que AB + BC + CA = AB + BC + CA
PROBLEMA: Demostrar que: ( A + B + C) • A.B.C = AB + BC + CA
PROBLEMA: ¿Cuál es la salida de los siguientes componentes y circuitos en términos del álgebra Boleana?
La salida será ABCD.
La salida será A+B+C+D.
La salida será AB+CD.
La salida será: A • B + C • D .
PROBLEMA: ¿Cuál es la salida Boleana del siguiente circuito?
1
Rep: AB + CD
PROBLEMA: ¿Cuál es la salida del siguiente circuito? Escribir además una Tabla de Verdad para el mismo.
Trazando las señales a través de las funciones lógicas, obtenemos lo siguiente:
Rep 1: [A • (A + B)] • [A • B + A + B]
Rep 2: La Tabla de Verdad
A B Salida
0 0
1
0 1
1
1 0
0
1 1
0
PROBLEMA: ¿Cuál es la salida del siguiente circuito? Escribir además una Tabla de Verdad para el mismo.
Trazando las señales a través de las funciones, se tiene lo siguiente:
Rep. 1: La salida es: A • B + B + B + B • (B + C)
Rep. 2: La Tabla de Verdad
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
Salida
1
1
1
1
1
1
0
0
2
PROBLEMA: ¿Cuál es la salida Booleana del siguiente circuito lógico?
Rep: F = B • C • D + A • D + B • C • D + A • B • C
PROBLEMA: Un circuito de dos entradas tiene una salida A • B + A • B . ¿Cuál es el diagrama de tal circuito?
El diagrama del circuito completo es:
PROBLEMA: Dado un circuito cuya salida es A • B + C • D ¿Cuál es el diagrama de tal circuito?
Usando el mismo razonamiento que en el problema anterior
(
)
PROBLEMA: La salida dada por un circuito es ( A + B) • A • B • A + B . ¿Cuál es su diagrama equivalente?
Rep:
PROBLEMA: Dadas las secuencias A=011001 y B=110100, calcular:
(1) (A + B)’ y A’ . B’
(2) (A . B)’ y A’ + B’
¿Qué se puede deducir de los resultados?
(1) Si A=011001, entonces A’=100110. Y si B=110100, entonces B’=001011.
En base a esto, la suma Boleana será: A + B = 111101 de lo cual se deduce que: (A + B)’ = 00010
Por otro lado, el producto Boleano de los complementos es: A’ . B’ = 00010
Comparando los resultados obtenidos, se concluye que: (A+B)' = A' . B'
(2) De las palabras dadas obtenemos el siguiente producto Boleano de las mismas: A·B = 010000 de lo cual se
deduce que: (A . B)’ = 101111
Por otro lado, la suma de los complementos es: A’ + B’ = 101111
3
Comparando los resultados obtenidos, se concluye que: (A . B)’ = A’ + B’
Las relaciones obtenidas son mejor conocidas como las leyes de DeMorgan.
PROBLEMA: ¿Cuál es la salida del siguiente circuito?
PROBLEMA: Un principio aparentemente obvio es el siguiente: "Si las entradas a un elemento lógico se invierten
(inversión lógica con bloques NOT) y la salida del elemento también se invierte, se obtiene entonces la misma
acción que la que se obtendría del elemento sin la presencia de los inversores". Comprobar la veracidad de este
enunciando usando un bloque AND como punto de partida.
Un bloque AND de dos entradas con inversores puestos tanto a las entradas como a la salida presentará el
siguiente aspecto:
La salida de este circuito lógico estará dada por: Salida
A • B = A + B = A + B
PROBLEMA: Obtener usando la función NOR como punto de partida, las tres funciones lógicas básicas NOT, OR
y AND.
Salida
Conectando todas las terminales de entrada de un NOR entre sí se
a
puede obtener la función NOT. A = A + A = A
Invirtiendo la salida de un NOR con un NOT así obtenido se puede
lograr fácilmente la función OR:
A + B = A + B
A • B = A • B = A + B
a+b
a.b
PROBLEMA: Obtener usando la función NAND como punto de partida las tres funciones lógicas básicas NOT, OR
y AND.
Salida
Conectando todas las terminales de entrada de un NAND entre sí se
a
puede obtener la función NOT: A = A • A = A
A + B = A + B = A • B
Invirtiendo la salida de un NAND con un NOT así obtenido se puede
lograr fácilmente la función AND
A • B = A • B
a+b
a.b
4