MECÁNICA Y ONDAS I. Curso 2014

MECÁNICA Y ONDAS I. Curso 2014-5. Grupo 521
Hoja 10 (Publicada en la Web el 28/11/14)
Problema 1: Una barra delgada homogénea de masa m y longitud L, situada en un
campo gravitatorio constante, gira con velocidad angular constante  alrededor de un
eje vertical que pasa por el centro de masas de la barra y que forma un ángulo  con la
barra. El extremo superior de la barra desliza sin rozamiento a lo largo de un raíl. El
centro de masas de la barra está sujeto por un pivote que permite a la barra girar.
Calcular:
(a) La energía cinética de la barra.
(b) El momento angular de la barra.
(c) El ángulo formado entre los vectores momento angular y velocidad angular.
(d) El momento de las fuerzas que actúan sobre la barra.
(e) La fuerza que ejerce el pivote sobre la barra y el valor de para el cual dicha
fuerza se anula (considerad que la fuerza ejercida por el raíl sobre la barra es
paralela al eje de rotación).
Problema 2: Una esfera maciza de masa M y radio R gira libremente en el espacio en
torno a un eje fijo que pasa por su centro. No existe rozamiento entre la esfera y el eje y
la velocidad angular inicial es  Una partícula de masa m, inicialmente en uno de los
polos, se mueve a velocidad constante v respecto a la esfera a lo largo de uno de los
meridianos. Hallar el ángulo girado por la esfera desde que la partícula parte del polo
norte hasta que llega al polo sur.
Problema 3: Un sólido rígido plano de masa M y con forma de rombo de lado  (y
ángulo agudo 60º) se hace girar con velocidad angular constante de módulo  alrededor
de un eje fijo que pasa por su centro de masas y es paralelo a un lado del rombo. Se
pretende equilibrar el sistema situando dos partículas puntuales de masa m en los
ángulos obtusos del rombo. Determinar la relación m/M necesaria para que el momento
angular del sistema sea paralelo al eje de giro (equilibrado de ejes).
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Problema 4: Un disco circular homogéneo de masa M, radio R y espesor despreciable
se mueve en el vacío libre de fuerzas. Inicialmente, el vector velocidad angular 𝜔
⃗ forma
un ángulo de /4 con el eje del disco. Determinar:
(a) La frecuencia angular de precesión del vector 𝜔
⃗ alrededor del eje de simetría del
disco.
(b) El vector momento angular y su módulo.
(c) La energía cinética del disco.
(d) El ángulo formado entre los vectores velocidad angular y momento angular.
(e) La frecuencia angular de precesión del vector 𝜔
⃗ alrededor de la dirección del
vector momento angular.
(f) El ángulo formado entre el vector momento angular y el eje de simetría del
disco.
Problema 5: Consideremos un trompo de Lagrange (trompo simétrico con un punto fijo
bajo la acción de un campo gravitatorio constante) en el caso en el que el eje de rotación
sea vertical (esto es, cuando los ejes x3’ y x3 coinciden). Demostrar que el movimiento
será estable o inestable según que cierta magnitud sea inferior o superior a la unidad
(obtener dicha magnitud). Representar gráficamente el potencial efectivo V() en ambos
casos y señalar las características de estas curvas que determinan si el movimiento es o
no estable. Cuando el trompo se pone a girar en condiciones de estabilidad, ¿qué
ocurrirá si el efecto del rozamiento reduce gradualmente el valor de 3? [Éste es el caso
del “trompo dormido” (“sleeping top”)]
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