19/02/2008 Capítulo 5: FEM-OF: EDP Elíptica de 2° Orden Indice: 5.1.- Operador Diferencial Elíptico 5.2.- Problema Básico 5.3.- Funciones Óptimas 5.4.- FEM-OF Steklov-Poincaré 5.5.- FEM-OF Trefftz-Herrera 5.6.- FEM-OF Petrov-Galerkin 5.7.- FEM-OF para el Caso Simétrico 99 Capítulo 5 5.1.- Operador Diferencial Elíptico 5.1.1.- Operador Diferencial El operador diferencial elíptico general para n variables independientes se define como: L u ( x ) ≡ −∇ • ( a • ∇u ) + ∇ • ( bu ) + cu donde el operador (5.1.1) ∂ ∇ ≡ es un vector columna de tamaño n ; y los coeficientes ∂xi n a ≡ aij ( x ) n×n , b ≡ bi ( x ) n y c ( x ) son una matriz simétrica positiva-definida de tamaño n × n , un vector columna de tamaño n y c ( x ) ≥ 0 , respectivamente. Nótese que los coeficientes son funciones totalmente continuas excepto posiblemente a través de También, nótese que: n ∂ ∂u aij ∂x j j =1 ∂xi (5.1.2) ∂ ( biu ) ∂xi (5.1.3) n −∇ • ( a • ∇u ) = −∑∑ i =1 n ∇ • ( bu ) = ∑ i =1 5.1.2.- Operador Diferencial Adjunto El operador diferencial adjunto formal para el caso elíptico es: L ∗ w = −∇ • ( a • ∇w ) − b • ∇w + cw Nótese que: 100 (5.1.4) Σ. Capítulo 5 n −b • ∇w = −∑ bi i =1 También nótese que si 5.1.3.- Funcional Bilineal subdominio u= L ∗ u = −∇ • ( a • ∇u ) + cu (5.1.6) P ( u, w ) (Ω) × D ( Ω ) → ℝ se define de manera puntual en cada P ( u, w ) : D 1 2 Ωi , esto es, ∀ x ∈ Ωi se tiene que: ( P ( u, w ) ≡ w L u ≡ w −∇ • ( a • ∇u ) + ∇ • ( bu ) + cu 5.1.4.- Funcional Bilineal La funcional bilineal subdominio (5.1.5) b = 0 , entonces el operador diferencial es autoadjunto, es decir: L La funcional bilineal ∂w ∂xi ) (5.1.7) Q ∗ ( u, w ) (Ω) × D ( Ω ) → ℝ se define de manera puntual en cada Q ∗ ( u, w ) : D 1 2 Ωi , esto es, ∀ x ∈ Ωi se tiene que: Q ∗ ( u, w ) ≡ u 5.1.5.- Funcional Bilineal L ∗ ( w = u −∇ • ( a • ∇w ) − b • ∇w + cw ) (5.1.8) D ( u, w ) La funcional bilineal vectorial (Ω) × D ( Ω ) → ℝ n se define de manera puntual en D ( u, w ) : D 1 2 Ω , esto es, ∀ x ∈ Ω se tiene que: D ( u, w ) ≡ a • ( u∇w − w∇u ) + ubw Se sigue que la funcional bilineal real (5.1.9) (Ω) × D ( Ω ) → ℝ es: D ( u, w ) • n : D 1 2 D ( u , w ) • n = ( a • ( u∇w − w∇u ) + ubw ) • n 101 (5.1.10) Capítulo 5 n es un vector normal a la frontera de la región considerada, ya sea ∂Ω o ∑ . De donde forma equivalente se tiene que: D ( u, w ) • n = a n • ( u∇w − w∇u ) + ubn w (5.1.11) an = an • n (5.1.12) bn = b n • n (5.1.13) donde: 5.1.6.- Funcionales Bilineales Las funcionales bilineales C ∗ ( u, w) y B ( u, w ) (Ω) × D ( Ω ) → ℝ y B ( u, w ) : D (Ω) × D (Ω) → ℝ C ∗ ( u, w ) : D 1 2 1 2 se definen de manera puntual en ∂Ω , esto es, ∀ x ∈ ∂Ω se tiene que: B ( u, w ) − C ∗ ( u, w ) ≡ D ( u, w ) • n ≡ u ( a n • ∇w ) − ( a n • ∇u ) w + ubn w donde la funcional bilineal (5.1.14) B ( u, w ) contiene la información prescrita en ∂Ω (condiciones de frontera ), mientras que la funcional bilineal C ∗ ( u, w) contiene la información no prescrita en ∂Ω . Particularmente para un BVPJ con condiciones de frontera tipo Dirichlet, el valor de la función u = u∂ en ∂Ω es conocido, mientras que el valor de la derivada normal a n • ∇u es desconocido. Entonces: 5.1.7.- Funcional Bilineal La funcional bilineal es, B ( u , w ) ≡ u ( a n • ∇w ) (5.1.15) C ∗ ( u, w ) ≡ ( a n • ∇u − bnu ) w (5.1.16) J ( u, w ) (Ω)× D ( Ω ) → ℝ se define de manera puntual en Σ , esto J ( u, w ) : D 1 2 ∀ x ∈ Σ se tiene que: 102 Capítulo 5 • S J ( u, w ) + R J ( u, w ) ≡ J ( u, w ) ≡ −D [u ] , w • n ≡ • • • ≡ [ a n • ∇u ] w− [u ] ( a n • ∇w )− [u ] ( bn w ) donde la funcional bilineal (5.1.17) S J ( u, w ) contiene las condiciones de continuidad de Poincaré- Steklov en Σ , mientras que la funcional bilineal R J ( u , w ) contiene otras condiciones de continuidad en Σ . Entonces: • S J ( u , w ) ≡ [ a n • ∇u ] w (5.1.18) • R J ( u, w ) ≡ − [u ] ( a n • ∇w + bn w ) K 5.1.8.- Funcional Bilineal La funcional bilineal es, K ∗ ∗ (5.1.19) ( u, w) (Ω) × D (Ω) → ℝ ( u, w ) : D 1 2 se define de manera puntual en ∀ x ∈ Σ se tiene que: S K∗ ( u, w ) + R K∗ ( u, w ) ≡ K • ∗ ( u, w ) ≡ D u, [ w] • n ≡ • donde la funcional bilineal (5.1.20) • • ≡ u [ a n • ∇w] + u [bn w] − ( a n • ∇u ) [ w] (5.1.21) S K∗ ( u, w ) contiene la información buscada de la solución en Σ , mientras que la funcional bilineal en Σ , esto R K∗ ( u , w ) contiene la información redundante de la solución Σ. Particularmente para un BVPJ donde la información buscada en Σ es el promedio de la • solución u , y la información redundante en Σ es el promedio de la derivada normal, se tiene que: • S K∗ ( u, w ) ≡ u [ a n • ∇w + bn w] (5.1.22) • R K∗ ( u, w ) ≡ − ( a n • ∇u ) [ w] 103 (5.1.23) Capítulo 5 5.1.9.- Identidad P − B − J = Q∗ − C ∗ − K ∗ Finalmente, se enuncia la siguiente identidad que resultará de utilidad para transformar Σ a integrales en cada Ωi : integrales en ( P − B − J ) u, w ≡ • • ud x − ∫ u ( a n • ∇w ) d x − − ∫ [u ] ( a n • ∇w + bn w ) d x + ∫ [ a n • ∇u ] w d x = ∂Ω Σ Σ E ≡∑∫wL i =1 Ωi • • E • = ∑ ∫ {∇u • a • ∇w − ub • ∇w + cuw} d x + ∫ [u ] a n • ∇w+ [ w] a n • ∇u − u [ bn w] d x i =1 Ωi Σ − ∫ {ua n • ∇w + wa n • ∇u} d x = ∂Ω E =∑∫u L ∗ wd x − i =1 Ωi ∂Ω Σ ≡ ( Q∗ − C ∗ − K ∗ ) u, w la cual se cumple • • ∫ ( a n • ∇u − bnu ) wd x − ∫ u [ a n • ∇w + bn w] d x − ∫ ( a n • ∇u ) [ w] d x ≡ Σ (5.1.24) (Ω) × D ( Ω ) y se obtiene a través de integración por partes. ∀ ( u, w ) ∈ D 1 2 104 Capítulo 5 E Pu, w ≡ ∑ ∫ w L ud x (5.1.25) ∫ u (a (5.1.26) i =1 Ωi Bu, w ≡ n • ∇w ) d x ∂Ω • S J u , w ≡ ∫ [ a n • ∇u ] w d x (5.1.27) Σ • RJ u, w ≡ − ∫ [u ] ( a n • ∇w + bn w ) d x (5.1.28) Σ E Q u, w ≡ ∑ ∫ u ∗ L ∗ wd x (5.1.29) i =1 Ωi ∫ (a • ∇u − bn u ) wd x (5.1.30) S K∗ u, w ≡ ∫ u [ a n • ∇w + bn w] d x (5.1.31) C ∗u , w ≡ n ∂Ω • Σ • RK∗ u, w ≡ − ∫ ( a n • ∇u ) [ w] d x Σ Tabla 5.1.- Funcionales bilineales para un BVPJ elíptico de 2º orden, con condiciones de frontera tipo Dirichlet y donde la información buscada es el promedio de la solución. 105 (5.1.32) Capítulo 5 5.2.- Problema Básico El problema general se trasformará a uno equivalente que se llamará problema básico. El problema general elíptico de 2º orden es el siguiente. Sea la ecuación diferencial parcial lineal elíptica de segundo orden: L u ≡ −∇ • ( a • ∇u ) + ∇ • ( bu ) + cu = f Ω en cada Ωi (5.2.1) sujeta a condiciones de frontera homogéneas tipo Dirichlet y a condiciones de saltos prescritos: u=0 [u ] = en ∂Ω (5.2.2) Σ (5.2.3) jΣ0 [ a n • ∇u ] = en jΣ1 en Σ (5.2.4) También se debe especificar que la información buscada en la frontera interior • promedio de la solución Σ es el • u , esto es, uɵ ≡ u . La solución del problema general se puede escribir como: u = uC + uΣ donde la función (5.2.5) ( Ω ) se construye convenientemente –ad hoc- de tal modo que se uΣ ∈ D 1 anula en la frontera exterior ∂Ω , satisface las condiciones de salto en la frontera interior Σ , 106 Capítulo 5 Σ (o sea, que no contiene la información y su promedio es cero en la frontera interior buscada), es decir: uΣ = 0 [ uΣ ] = en jΣ0 [ a n • ∇u Σ ] = ∂Ω (5.2.6) Σ (5.2.7) en jΣ1 en Σ (5.2.8) • uΣ = 0 Σ en (5.2.9) Nótese que (5.2.7) y (5.2.9) significan: [ uΣ ] = jΣ0 • & uΣ = 0 ⇒ uΣ( +) = 1 2 jΣ0 & uΣ( −) = − 12 jΣ0 , en Σ (5.2.10) Entonces, el problema básico asociado al problema general elíptico de 2º orden es el siguiente. Sea la ecuación diferencial parcial lineal elíptica de segundo orden: L uC ≡ −∇ • ( a • ∇uC ) + ∇ • ( buC ) + cuC = f Ω − L uΣ en cada Ωi (5.2.11) sujeta a condiciones de frontera homogéneas tipo Dirichlet y a condiciones de saltos prescritos nulos: uC = 0 en ∂Ω (5.2.12) Σ (5.2.13) [uC ] = 0 en [ a n • ∇uC ] = 0 Lo anterior implica que la función en Σ (5.2.14) uC es totalmente continua, tanto en su valor como en su derivada normal a través de la frontera interior Σ. 107 Capítulo 5 El BVPJ básico asociado al BVPJ general elíptico de 2º orden es: L uC ≡ −∇ • ( a • ∇uC ) + ∇ • ( buC ) + cuC = f Ω − L uΣ en cada Ωi sujeto a las condiciones de frontera y a las condiciones de saltos prescritos: uC = 0 en ∂Ω [uC ] = 0 Σ en [ a n • ∇uC ] = 0 donde la función en Σ uΣ , construida convenientemente -ad hoc-, satisface las condiciones de frontera y las condiciones de saltos prescritos del BVPJ general, además de otras condiciones: uΣ = 0 [ uΣ ] = en ∂Ω jΣ0 [ a n • ∇u Σ ] = en jΣ1 Σ en Σ • uΣ = 0 en Σ finalmente, la solución del BVPJ general es: u = uC + uΣ Tabla 5.2.- BVPJ básico asociado al BVPJ general elíptico de 2º orden. 108 Capítulo 5 5.3- Funciones Óptimas 5.3.1.- Funciones Óptimas de Base El espacio de funciones óptimas de base de dimensión N se define como: OB ≡ N P ∩ N B ∩ N RJ (5.3.1) –aunque también para el BVPJ general Para el BVPJ básico elíptico de 2º orden- con condiciones de frontera homogéneas tipo Dirichlet en ∂Ω e información buscada el promedio de la solución en Σ , los espacios nulos N P , N B y N RJ se conforman de la siguiente manera: E (Ω) ⇔ Pv = 0 ⇔ ∑ ∫ w L vd x = 0, ∀w ∈ D 2 L v = 0, en cada Ωi i =1 Ωi (5.3.2) Bv = 0 ⇔ ∫ v (a n ( Ω ) ⇔ v = 0, en ∂Ω • ∇w )d x = 0, ∀w ∈ D 2 ∂Ω (5.3.3) • ( Ω ) ⇔ [ v ] = 0, en Σ RJ v = 0 ⇔ ∫ [ v ] ( a n • ∇w + bn w )d x = 0, ∀w ∈ D 2 Σ (5.3.4) En consecuencia, éstos se definen como: { (Ω) NP ≡ v ∈ D 1 L v = 0 en cada Ωi { } ( Ω ) v = 0 en ∂Ω NB ≡ v ∈ D 1 109 } (5.3.5) (5.3.6) Capítulo 5 { } ( Ω ) [ v] = 0 en Σ N RJ ≡ v ∈ D 1 (5.3.7) v ∈ OB ≡ N P ∩ N B ∩ N RJ satisfacen la ecuación De esta forma, las funciones óptimas de base diferencial homogénea localmente en cada subdominio Ωi de la partición Π , se anulan en la frontera exterior ∂Ω y son continuas a través de la frontera interior Las funciones óptimas de base Σ. v ∈ OB satisfacen las condiciones: L v=0 en cada v=0 en [ v] = 0 Ωi ∂Ω en Σ Tabla 5.3.- Espacio de funciones óptimas de base. 5.3.2- Funciones Óptimas de Peso El espacio de funciones óptimas de peso de dimensión N se define como: OT ≡ N Q ∩ N C ∩ N RK Para el BVPJ básico (5.3.8) –aunque también para el BVPJ general elíptico de 2º orden- con condiciones de frontera tipo Dirichlet en ∂Ω e información buscada el promedio de la solución en Σ , los espacios nulos N Q , N C y N RK se conforman de la siguiente manera: E Qw = 0 ⇔ ∑ ∫ u i =1 Ωi L wd x = 0, ∀u ∈ D ( Ω ) ⇔ L w = 0, en cada Ω ∗ ∗ 1 i (5.3.9) 110 Capítulo 5 Cw = 0 ⇔ ∫ (a n ( Ω ) ⇔ w = 0, en ∂Ω • ∇u − bn u ) wd x = 0, ∀u ∈ D 1 ∂Ω (5.3.10) • ( Ω ) ⇔ [ w ] = 0, en Σ RK w = 0 ⇔ ∫ ( a n • ∇u ) [ w]d x = 0, ∀v ∈ D 1 Σ (5.3.11) En consecuencia, éstos se definen como: { (Ω) NQ ≡ w ∈ D 2 L w = 0 en cada Ω } ∗ i { } ( Ω ) [ w ] = 0 en Σ ≡ {w ∈ D } (5.3.12) ( Ω ) w = 0 en ∂Ω NC ≡ w ∈ D 2 (5.3.13) N RK (5.3.14) 2 De esta forma, las funciones óptimas de prueba w ∈ OT ≡ N Q ∩ N C ∩ N RK satisfacen la ecuación diferencial adjunta homogénea localmente en cada subdominio Ωi de la partición Π , se anula en la frontera exterior ∂Ω y son continuas a través de la frontera interior Las funciones óptimas de peso w ∈ OT satisfacen las condiciones: L ∗ w=0 en cada w=0 en [ w] = 0 Ωi ∂Ω en Σ Tabla 5.4.- Espacio de funciones óptimas de peso. 111 Σ. Capítulo 5 5.3.3.- Función auxiliar La función auxiliar uP ( Ω ) se define como: uP ∈ D 1 ( P − B − RJ ) uP = f − jR (5.3.15) S K∗ uP = 0 Para el BVPJ general (5.3.16) elíptico de 2º orden con condiciones de frontera homogéneas tipo Dirichlet en ∂Ω e información buscada el promedio de la solución en Σ , lo anterior significa que: E E (Ω) ⇔ PuP = f ⇔ ∑ ∫ w L uP d x = ∑ ∫ wf Ω d x, ∀w ∈ D 2 i =1 Ωi L uP = f Ω , en cada Ωi i =1 Ωi (5.3.17) ∫ u (a BuP = 0 ⇔ P n ( Ω ) ⇔ u = 0, en ∂Ω • ∇w )d x = 0, ∀w ∈ D 2 P ∂Ω (5.3.18) • • ( Ω ) ⇔ [u ] = j 0 , en Σ RJ uP = jR ⇔ ∫ [u P ] ( a n • ∇w + bn w )d x = ∫ jΣ0 ( a n • ∇w + bn w )d x, ∀w ∈ D Σ 2 P Σ Σ (5.3.19) • • ( Ω ) ⇔ u = 0, en Σ S K∗ uP = 0 ⇔ ∫ uP [ a n • ∇w + bn w]d x = 0, ∀w ∈ D 2 P Ω (5.3.20) Nótese que (5.3.19) y (5.3.20) significan: [u P ] = jΣ0 • & uP = 0 ⇒ uP( +) = 1 2 jΣ0 & uP( −) = − 12 jΣ0 , en Σ Particularmente, para el BVPJ básico los problemas locales L uP = fΩ − L uΣ , en cada Ωi uP = 0, en ∂Ω 112 (5.3.21) uP cumplen con: (5.3.22) (5.3.23) Capítulo 5 [uP ] = 0, en Σ (5.3.24) • uP = 0, en ∂Ω (5.3.25) Pero (5.3.24) y (5.3.25) significan: [uP ] = 0 • & uP = 0 ⇒ uP = 0, en Σ ( Ω ) para el BVPJ básico satisface las condiciones: uP ∈ D 1 La función auxiliar L uP = f Ω − L uΣ uP = 0 Tabla 5.5.- Función auxiliar Ωi en uP Σ para el BVPJ básico. P − B − J = Q∗ − C ∗ − K ∗ para Funciones Óptimas Si se considera que las funciones L en cada en ∂Ω uP = 0 5.3.4.- Identidad (5.3.26) v ∈ OB y w ∈ OT son funciones óptimas, esto es que tanto v = 0 en cada Ωi , v = 0 en ∂Ω y [ v] = 0 en Σ , como L ∗ w = 0 en cada Ωi , w = 0 en ∂Ω , [ w] = 0 en Σ , entonces la identidad (5.1.24) toma la siguiente forma: ( P − B − J ) v, w • = − S J v, w = − ∫ [ a n • ∇v ] w dx = Σ E = ∑ ∫ {∇v • a • ∇w − vb • ∇w + cvw} dx = i =1 Ωi • = − ∫ v [ a n • ∇w + bn w] dx = − S K∗ v, w = ( Q∗ − C ∗ − K ∗ ) v, w Σ 113 (5.3.27) Capítulo 5 la cual se cumple ∀ ( v, w ) ∈ OB × OT . Nótese que la expresión anterior relaciona integrales en Σ con integrales en cada Ωi . 114 Capítulo 5 5.4.- FEM-OF Steklov-Poincaré Sea el BVPJ básico elíptico descrito en la tabla 5.2. Sea el espacio de funciones óptimas de base descrito en la tabla 5.3. Sea la función auxiliar Sea una base sea la función uP descrita en la tabla 5.5. {v , v ,..., v } del espacio de funciones óptimas de base O 1 2 N B de dimensión N . Y en Σ , en términos v ∈ OB una representación de la información buscada vɵ ∈ O B de una combinación lineal de la base {v , v ,..., v } de O 1 2 N B , esto es: N vɵ ≈ v = ∑ Cβ v β (5.4.1) β =1 Entonces, los coeficientes {C1 , C2 ,..., CN } de la combinación lineal satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones: E β α β α β α C d x = ∑ β ∑ ∫ ∇v • a • ∇v − v b • ∇v + cv v i =1 Ω β =1 i N E ( = ∑ ∫ fΩ − i =1 Ωi { L ) } E { } uΣ vα d x − ∑ ∫ ∇uP • a • ∇ vα − uP b • ∇ vα + cuP vα d x i =1 Ωi para α = 1, 2,..., N (5.4.2) El cual en su forma matricial es: AC=B 115 (5.4.3) Capítulo 5 donde los elementos del vector de incógnitas C = Cβ de tamaño N son los coeficientes Cβ que ponderan la combinación lineal, los elementos de la matriz de coeficientes tamaño A = Aαβ de N × N son: E { } Aαβ = ∑ ∫ ∇ v β • a • ∇ vα − v β b • ∇ vα + c v β vα d x i =1 Ωi y los elementos del vector de términos independientes E ( Bα = ∑ ∫ f Ω − i =1 Ωi L E ) (5.4.4) B = Bα de tamaño N son: { } uΣ vα d x − ∑ ∫ ∇uP • a • ∇ vα − uP b • ∇ vα + cuP vα d x i =1 Ωi Recuérdese que la solución del BVPJ general es (5.4.5) u ≈ v + u P + uΣ en cada subdominio Ωi . Finalmente, para las aplicaciones numéricas se reemplaza el espacio de funciones óptimas ≡N ∩N ∩N . exactas OB por el espacio de funciones óptimas aproximadas O B P B RJ El sistema de N ecuaciones con N incógnitas es A C = B , donde: E { } Aαβ = ∑ ∫ ∇ v β • a • ∇ vα − v β b • ∇ vα + c v β vα d x i =1 Ωi E ( Bα = ∑ ∫ f Ω − i =1 Ωi L ) E { } uΣ vα d x − ∑ ∫ ∇uP • a • ∇ vα − uP b • ∇ vα + cuP vα d x i =1 Ωi N finalmente la información buscada es v = ∑ Cβ v β , y la solución del BVPJ general β =1 en cada Ωi es u ≈ v + u P + uΣ . Tabla 5.6.- Sistema de ecuaciones para el método FEM-OF Steklov-Poincaré. 116 Capítulo 5 5.5.- FEM-OF Trefftz-Herrera Sea el BVPJ básico elíptico descrito en la tabla 5.2. Sea el espacio de funciones óptimas de peso descrito en la tabla 5.4. Sea la función auxiliar Sea una base uP descrita en la tabla 5.5. {w , w ,..., w } del espacio de funciones óptimas de peso O 1 2 N de dimensión N . T Y sea la función , en términos de v ∈ OT una representación de la información buscada vɵ ∈ O T una combinación lineal de la base {w , w ,..., w } de O , esto es: 1 2 N T N vɵ ≈ v = ∑ Cβ wβ (5.5.1) β =1 Entonces, los coeficientes {C1 , C2 ,..., CN } de la combinación lineal satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones: E β α β α β α C d x = ∑ β ∑ ∫ ∇ w • a • ∇ w − w b • ∇ w + cw w i =1 Ω β =1 i N E ( = ∑ ∫ fΩ − i =1 Ωi { L ) } E { } uΣ wα d x − ∑ ∫ ∇uP • a • ∇ wα − uP b • ∇ wα + cuP wα d x i =1 Ωi para α = 1, 2,..., N (5.5.2) El cual en su forma matricial es: AC=B 117 (5.5.3) Capítulo 5 donde los elementos del vector de incógnitas C = Cβ de tamaño N son los coeficientes Cβ que ponderan la combinación lineal, los elementos de la matriz de coeficientes tamaño A = Aαβ de N × N son: E { } Aαβ = ∑ ∫ ∇ wβ • a • ∇ wα − wβ b • ∇ wα + cwβ wα d x i =1 Ωi y los elementos del vector de términos independientes E ( Bα = ∑ ∫ f Ω − i =1 Ωi L E ) (5.5.4) B = Bα de tamaño N son: { } uΣ wα d x − ∑ ∫ ∇uP • a • ∇ wα − uP b • ∇ wα + cuP wα d x (5.5.5) i =1 Ωi Recuérdese que la solución del BVPJ general en cada subdominio Ωi requiere del procedimiento de interpolación óptima. Finalmente, para las aplicaciones numéricas se reemplaza el espacio de funciones óptimas ≡N ∩N ∩N . exactas OT por el espacio de funciones óptimas aproximadas O T Q C RK El sistema de N ecuaciones con N incógnitas es A C = B , donde: E { } Aαβ = ∑ ∫ ∇ wβ • a • ∇ wα − wβ b • ∇ wα + cwβ wα d x i =1 Ωi E ( Bα = ∑ ∫ f Ω − i =1 Ωi L ) E { } uΣ wα d x − ∑ ∫ ∇uP • a • ∇ wα − uP b • ∇ wα + cuP wα d x i =1 Ωi N finalmente la información buscada es v = ∑ Cβ wβ , y la solución del BVPJ general β =1 en cada Ωi requiere del procedimiento de interpolación óptima. Tabla 5.7.- Sistema de ecuaciones para el método FEM-OF Trefftz-Herrera. 118 Capítulo 5 5.6.- FEM-OF Petrov-Galerkin Sea el BVPJ básico elíptico descrito en la tabla 5.2. Sea el espacio de funciones óptimas de base descrito en la tabla 5.3. Sea el espacio de funciones óptimas de peso descrito en la tabla 5.4. Sea la función auxiliar Sea una base uP descrita en la tabla 5.5. {v , v ,..., v } del espacio de funciones óptimas de base O 1 2 N B Sea la función de dimensión N . , en términos de v ∈ OB una representación de la información buscada vɵ ∈ O B una combinación lineal de la base {v , v ,..., v } de O 1 2 N B , esto es: N vɵ ≈ v = ∑ Cβ v β (5.6.1) β =1 Y sea una base {w , w ,..., w } del espacio de funciones óptimas de peso O 1 2 N T Entonces, los coeficientes {C1 , C2 ,..., CN } de dimensión N . de la combinación lineal satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones: E β α β α β α C ∇ v • a • ∇ w − v b • ∇ w + c v w d x = ∑ β ∑ ∫ i =1 Ω β =1 i N E ( = ∑ ∫ fΩ − i =1 Ωi { L ) } E { } uΣ wα d x − ∑ ∫ ∇uP • a • ∇ wα − uP b • ∇ wα + cuP wα d x i =1 Ωi para El cual en su forma matricial es: 119 α = 1, 2,..., N (5.6.2) Capítulo 5 AC=B donde los elementos del vector de incógnitas (5.6.3) C = Cβ de tamaño N son los coeficientes Cβ que ponderan la combinación lineal, los elementos de la matriz de coeficientes tamaño A = Aαβ de N × N son: E { } Aαβ = ∑ ∫ ∇ v β • a • ∇ wα − v β b • ∇ wα + c v β wα d x i =1 Ωi y los elementos del vector de términos independientes E ( Bα = ∑ ∫ f Ω − i =1 Ωi L E ) (5.6.4) B = Bα de tamaño N son: { } uΣ wα d x − ∑ ∫ ∇uP • a • ∇ wα − uP b • ∇ wα + cuP wα d x (5.6.5) i =1 Ωi Recuérdese que la solución del BVPJ general es u ≈ v + u P + uΣ en cada subdominio Ωi . Finalmente, para las aplicaciones numéricas se reemplaza los espacios de funciones óptimas ≡N ∩N ∩N exactas OB y OT por los espacios de funciones óptimas aproximadas O B P B RJ y ≡N ∩N ∩N . O T Q C RK El sistema de N ecuaciones con N incógnitas es A C = B , donde: E { } Aαβ = ∑ ∫ ∇ v β • a • ∇ wα − v β b • ∇ wα + c v β wα d x i =1 Ωi E ( Bα = ∑ ∫ f Ω − i =1 Ωi L ) E { } uΣ wα d x − ∑ ∫ ∇uP • a • ∇ wα − uP b • ∇ wα + cuP wα d x i =1 Ωi N finalmente la información buscada es v = ∑ Cβ v β , y la solución del BVPJ general β =1 en cada Ωi es u ≈ v + u P + uΣ . Tabla 5.8.- Sistema de ecuaciones para el método FEM-OF Petrov-Galerkin. 120 Capítulo 5 5.7.- FEM-OF para el Caso Simétrico Para el caso simétrico se tiene el operador diferencial es autoadjunto, esto es: L u ≡ −∇ • ( a • ∇u ) + cu ≡ ∗ L u (5.7.1) y, en consecuencia, las funcionales bilineales asociadas cumplen con las siguientes igualdades: E Pu, w = Qu, w = ∑ ∫ w L ud x (5.7.2) i =1 Ωi Bu, w = Cu, w = ∫ u (a n • ∇w ) d x (5.7.3) ∂Ω • RJ u, w = RK u, w = − ∫ [u ] ( a n • ∇w ) d x (5.7.4) Σ • S J u , w = S K u , w = ∫ [ a n • ∇u ] w d x (5.7.5) Σ Por lo tanto, el espacio de funciones óptimas de base óptimas de peso OB es igual al espacio de funciones OT : OB ≡ N P ∩ N B ∩ N RJ = N Q ∩ N C ∩ N RK ≡ OT (5.7.6) y una propiedad importante para el caso simétrico es que las tres versiones de FEM-OF resultan ser las mismas. Además se tiene que la siguiente funcional es simétrica: ( P − B − J ) v, w E = ∑ ∫ {∇v • a • ∇w + cvw} d x = i =1 Ωi 121 ( P − B − J ) w, v (5.7.7) Capítulo 5 y también es positiva definida: E ( P − B − J ) w, w = ∑ ∫ {∇w • a • ∇w + cww} d x ≥ 0 (5.7.8) i =1 Ωi ya que a es una matriz simétrica, positiva definida y c ( x ) ≥ 0 . De esta forma, la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones que se deriva aplicando el método FEM-OF es simétrica y positiva definida. Estas propiedades son de mucha relevancia, ya que se puede aplicar el Método de Gradiente Conjugado (CGM1) para resolver el sistema de ecuaciones. 1 Conjugate Gradient Method 122