Taller de Polígonos y Círculos

322
TALLER DE POLÍGONOS Y CÍRCULOS (Areas y Perímetros)
Ejemplo 1:
Un rectángulo tiene 60 m 2 de área y 32m de perimetro. Hallar sus
dimensiones.
Ejemplo 2: La base de un rectángulo es el triple de su altura y su área es 27m 2. .
Hallar sus dimensiones.
2
Ejemplo 3: El área de un cuadrado es 81 cm . Hallar su perímetro.
Ejemplo 4: Dado el trapecio ABCD; BC // AD ; B̂ = 45º, BC = 3a; AB = AD = a.
Hallar: área de ABCD
Ejemplo 5: A la base b de un rectángulo se le añaden 5m. ¿Cuánto debe añadirse
a la altura para que el rectángulo resultante tenga un área doble del primero?
Ejemplo 6: Calcular las dimensiones de un trapecio de área 864 m 2 , sabiendo
que la base es
3
de la mayor y que la altura es igual al tercio de la suma de las
5
bases.
Ejemplo 7: Hallar el área de un triángulo isósceles sabiendo que su base mide 12
cms y que la altura es igual a la mitad de uno de los lados congruentes.
Ejemplo 8 : Halle el área de un Decàgono regular de 10 cm. de radio
Ejemplo 9: Halle el área de un Pentàgono regular de 15 cm. de apotema
Ejemplo 10: Halle el área de un Octàgono regular de 12 cm. de lado
Ejemplo 11: Hallar el área entre un octágono regular y una circunferencia de
radio 10 cm. circunscrita a dicho octágono.
Ejemplo 12: Hallar la suma de los ángulos interiores de un cuadrado.
323
Ejemplo 13: Cuál es el polígono cuya suma de ángulos interiores vale 1260º
Ejemplo 14: Hallar el valor de un ángulo interior de un hexágono regular.
Ejemplo 15: Determinar cuál es el polígono regular cuyo ángulo interior vale 60º.
Ejemplo 16: Hallar la suma de los ángulos exteriores de un eptágono.
Ejemplo 17: Hallar el valor de un ángulo exterior de un octágono regular.
Ejemplo 18:
Cuál es el polígono regular cuyo ángulo exterior vale 120º.
Ejemplo 19: Calcular el número de diagonales que se pueden trazar desde un
vértice de un pentágono.
Ejemplo 20: Cuál es el polígono en el que se pueden trazar tres diagonales desde
un vértice.
Ejemplo 21: Calcular el número total de diagonales que se pueden trazar en un
octágono.
Ejemplo 22: Cuál es el polígono en el cual se pueden trazar 14 diagonales en
total.
SOLUCIONES:
Ejemplo 1:
A=bxh=60 (1)
P  2b  2h  32  2  b  h  16
b
b=16 - h (2)
(2) en (1)  (16  h)h  60  16h  h 2  60
h
0  h 2  16h  60  0  (h  10)(h  6)  h1  10 y h2  6
h1=10 en (2)→b1=6
 dim ensiones:10m y 6m
h2=6 en (1)→b2=10
Ejemplo 2:
b=3h (1)
h
A=bxh=27 (2)
(1) en (2)  3h 2  27  h  3m
h=3m (1)→b=9m; b=3h
324
Ejemplo 3:.
A= L 2 = 81  L= 9 cm P= 4L = 4 x 9 = 36 cm = P
Ejemplo 4:
h
sen 45   h  a.sen 45  0.707 a
a
Área =
b  B h
2
=
a  3a .0.707 a  1.41.a 2
2
= Área.
Ejemplo 5:
A 2 = 2A 1
(b + 5) (h + x) = 2bh
bh + bx + 5h + 5x = 2bh  bx + 5x = bh – 5h  x (b + 5) = h (b – 5)
x= h (b – 5)/ (b + 5) m.
Ejemplo 6:
325
h=
1
3  8x
 x  x 
3
5  15
3
8
 x  x x
b  B h  864   5
 15
A=
2
2
3
8x
x= 27 m  base menor;
= 24 m  altura
5
15
 x = 45 m  base mayor;
Ejemplo 7: Si es isósceles  BH = 6 cm
h= x 2
2
x
Pitágoras: x =   + 6 2 ;
2
2
Área =
3
b  h 12  4

2
2
Ejemplo 8 : θ=
𝟑𝟔𝟎
𝒏
=
𝜽
𝟐
2  12 3 cm2 = Área.
𝟑𝟔𝟎
𝟏𝟎
= 𝟏𝟖
𝜽
= 𝟑𝟔 → 𝟐 = 𝟏𝟖
𝒔𝒆𝒏𝟏𝟖° =
R=10
a
𝑨=
𝟑𝟔𝟎
𝒏
𝟐
R
L/2
𝑳
= 𝟐𝟎 → 𝑳 = 𝟐𝟎 × 𝒔𝒆𝒏𝟏𝟖° = 𝟔. 𝟏𝟖
𝒂
𝜽
a
=
=15
𝑳⁄
𝟐
𝟏𝟎
𝑪𝒐𝒔𝟏𝟖° = 𝟏𝟎 → 𝒂 = 𝟏𝟎 × 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟖° = 𝟗. 𝟓𝟏
L/2
Ejemplo 9: θ=
x2
 36  x  4 3
4
x2 
=
𝟑𝟔𝟎
𝟓
= 𝟑𝟔
𝒏.𝑳.𝒂
𝟐
=
𝟏𝟎×𝟔.𝟏𝟖×𝟗.𝟓𝟏
𝟐
= 𝟐𝟗𝟑. 𝟖𝟔 𝒄𝒎𝟐
𝜽
= 𝟕𝟐 → 𝟐 = 𝟑𝟔
𝒕𝒂𝒏𝟑𝟔° =
𝑳⁄
𝟐
𝟏𝟓
𝑳
= 𝟑𝟎 → 𝑳 = 𝟑𝟎 × 𝒕𝒂𝒏𝟑𝟔 = 𝟐𝟏. 𝟖
326
𝑨=
Ejemplo 10: θ=
𝟑𝟔𝟎
𝒏
𝜽
𝟐
=
𝟑𝟔𝟎
𝟖
𝒏.𝑳.𝒂
𝟐
=
𝟓×𝟐𝟏.𝟖×𝟏𝟓
𝟐
= 𝟏. 𝟔𝟒 𝒄𝒎𝟐
𝜽
= 𝟒𝟓 → 𝟐 = 𝟐𝟐. 𝟓
= 𝟐𝟐.5
R
𝟔
𝟔
𝒕𝒂𝒏𝟐𝟐. 𝟓° = 𝒂 → 𝒂 = 𝒕𝒂𝒏𝟐𝟐.𝟓 = 𝟏𝟒. 𝟒𝟗
a
𝑨=
L/2 = 6
𝒏.𝑳.𝒂
𝟐
=
𝟖×𝟏𝟐×𝟏𝟒.𝟒𝟗
𝟐
= 𝟔𝟗𝟓. 𝟓𝟐 𝒄𝒎𝟐
Ejemplo 11:
𝟑𝟔𝟎
𝟑𝟔𝟎
𝜽
θ= 𝒏 = 𝟖 = 𝟒𝟓 → 𝟐 = 𝟐𝟐. 𝟓
𝜽
𝟐
= 𝟐𝟐.5
R=10
a
L/2
𝒔𝒆𝒏𝟐𝟐. 𝟓° =
𝑳⁄
𝟐
𝟏𝟎
𝑳
= 𝟐𝟎 → 𝑳 = 𝟐𝟎 × 𝒔𝒆𝒏𝟐𝟐. 𝟓° = 𝟕. 𝟔𝟓
𝒂
𝒏. 𝑳. 𝒂
→ 𝒂 = 𝟏𝟎. 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟐. 𝟓 = 𝟗. 𝟐𝟒 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔: 𝑨 𝒐𝒄𝒕𝒂𝒈𝒐𝒏𝒐 =
𝟏𝟎
𝟐
𝟖 × 𝟕. 𝟔𝟓 × 𝟗. 𝟐𝟒
𝟐
=
= 𝟐𝟖𝟐. 𝟕𝟒 𝒄𝒎
𝟐
𝑨 𝒄𝒊𝒓𝒄𝒖𝒍𝒐 = 𝜋𝑟 2 = 𝜋102 = 𝟑𝟏𝟒. 𝟏𝟔 𝒄𝒎𝟐
Entonces: Area entre circulo y octágono= 314.16 – 282.74 = 31.42 𝒄𝒎𝟐
𝒄𝒐𝒔𝟐𝟐. 𝟓° =
Ejemplo 12: sî = ( n-2)180º = (4 - 2)180º = 360º
327
Ejemplo 13: sî = ( n – 2 )180º
↓
1260 º
+ 2 = n  n = 9  n = eneágono
180 º
( n  2)180 º
(6  2)180 º
si
Ejemplo 14: î =
=
=
= 120º = î
n
6
n
1260º = (n – 2)180º 
Ejemplo 15: î =
( n  2)180 º
n
60º =
( n  2)180 º
 60n = 180n – 360 
n
360 = 120n
triángulo equilátero  3 = n
Ejemplo 16: sê =360º  360º
Ejemplo 17: ê =
se
360 º
360 º
=
=
= 45º
n
n
8
Ejemplo 18: ê =
360 º
n
120 =
360
360
 n=
= 3  triángulo equilátero
n
120
Ejemplo 19: d = n – 3 = 5 – 3 = 2
Ejemplo 20: d = n – 3
Ejemplo 21: D =
Ejemplo 22: D =
3 = n – 3  6 = n  hexágono
n( n  3)
8(8  3)
=
= 20
2
2
n( n  3)
2
0 = n2 – 3n –28;
14 =
0 = (n – 7)(n + 4);
n( n  3)
 28 = n2 – 3n 
2
n = 7  eptágono
328
EJEMPLO 23
En la figura se tiene que el arco BC es igual al arco
DE. Demuestre que el  BAD =  CAE
Solución: Arco BC es igual al arco DE (Dado); por
lo tanto  α1 =  α2 (Son ángulos centrales;  α1
+  θ =  α2 +  θ (Adición);  BAD =  CAE
EJEMPLO 24
En la figura siguiente hallar los valores
de los ángulos X y Y y del arco Z.
Solución:


88  Z
 Anguloexterior  Z  32
28 
2
88
X 
 44  X  Angulo inscrito 
2

88  Z 88  32
Y 

 60 (Angulo
2
2
Interior)
EJEMPLO 25
Hallemos los valores de los ángulos X y Y
Solución:

AD 180
X 

 90 Anguloinscrito
2
2


AB  AD
 Anguloinscrito
125 
2


BC  CD
 Anguloinscrito
Y 
2




AB  AD  BC  CD 360
125  Y 

 180
2
2
(Suma de arcos en una circunferencia)
329
Y  180   25  55  Y
EJEMPLO 26
Hallemos los valores del ángulo X y
del arco Z
̂ + 2Z
̂ + Ẑ + 2Ẑ
Solución: 3Z
+ 16 = 360∘
(Circunferencia completa) ⇒ 𝑍̂ = 43∘
∠𝑿 =
̂
̂ −𝑬𝑪
𝑨𝑫
(ángulo Exterior)
̂ −𝒁
̂
̂ 𝟐𝒁
𝟑𝒁
̂ = 𝟒𝟑°
∠𝑿 =
=
=𝒁
𝟐
𝟐
𝟐
EJEMPLO 27:
Hallemos el valor del ángulo X
̂
𝐵𝐷
Solución: ∠𝐴 = 2 (ángulo inscrito)
̂
𝐵𝐷
̂ = 140°
⇒ 70° =
⇒ 𝐵𝐷
2
̂ − BD
̂ 220° − 140°
BAD
∠X =
=
2
2
⇒ ∠X = 40° (ángulo exterior)
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. En un trapecio rectángulo la medida de uno de sus ángulos interiores es 58º.
¿Cuánto miden los otros ángulos interiores?
2. En un romboide la medida de uno de sus ángulos exteriores es 137º.
Determina la medida de todos los ángulos interiores de ese romboide.
3. ¿Cuál es la medida del lado del cuadrado cuya diagonal mide 12 cm?
330
4. Determina la diagonal del rectángulo cuyos lados miden 5 cm. y 12 cm.
5. Determina la suma de las diagonales del cuadrado cuyo lado mide 8 cm.
6. Señala el tipo de triángulo que se determina al trazar las diagonales de un
cuadrado.
7. Completa la siguiente tabla:
PROPIEDAD
CUADRILÁTERO(S) QUE
CUMPLE(N) DICHA PROPIEDAD
Diagonales iguales
Todos sus lados iguales
Lados opuestos iguales
Sus diagonales se dimidian
Diagonales perpendiculares
Ángulos opuestos iguales
Sus diagonales son bisectrices
Una diagonal dimidia a la otra y
viceversa
Todos sus lados desiguales
Sólo
dos
ángulos
interiores
congruentes
La suma de sus ángulos exteriores
es 360º
Sin ángulos interiores congruentes
8. Señala las diferencias entre rombo y romboides.
9. En un rombo, una diagonal es el doble de la otra. Determina el perímetro del
rombo sabiendo que la diagonal menor mide 6 cm.
331
10. Dos cuadrados de 80 cm. de perímetro se unen de manera que forman un
rectángulo. Determina la medida de la diagonal del rectángulo formado.
11.
Se mide un terreno
personas con una
estacas. Cuál es el
terreno
si
las
encontradas fueron:
entre dos
lienza y
área del
longitudes
12. Cuáles son las dimensiones de un campo rectangular, sabiendo que la
diagonal mide 200 m. y que vendido a $210 el m2., ha producido $3.760.050?
13. Si se prolonga el radio de un círculo en 4 cm. , el área queda aumentada en
80 cm2. Calcular el lado del cuadrado inscrito en el círculo primitivo.
14. Hallar el perímetro del rectángulo
mostrado en la figura sabiendo que
su área son 9600 m. cuadrados.
15. Hallar el área del rectángulo
mostrado en la figura sabiendo que
su perímetro son 160 m.
16. Determina el área de un pentágono regular con 5cm. de radio.
17. Halla el área de un octágono regular con 15cm. de apotema.
18. Encuentra el área de un decágono regular con 13 cm. de lado.
19. Halar la diagonal de un rectángulo si sus lados están en una razón de 2:3 y su
área es 2400𝑚2 .
332
20. Cuanto miden los ángulos interiores de un trapecio isósceles si sus bases
miden 20 cm. Y 14 cm. Y su altura 4 cm..¿Cuánto miden sus lados iguales?
21. El área de cada rueda de una bicicleta son 7500 𝑐𝑚2 . Para llegar a la ciudad
que está a 2 Km; cuantas vueltas giran sus ruedas?
22. Hallar el área entre un circulo y un pentágono regular inscrito en dicha
circunferencia, si su apotema mide 7 cm.
23. Un joyero tiene un pedazo de oro de forma cilíndrica de 5m. de longitud y 1cm.
De diámetro. ¿Cuántos aros con radio interior de 2cm. Puede fabricar?
24. Encuentre el área de una cancha de futbol en 𝑐𝑚2 si sus dimensiones son de
80 m. por 1100 dm. ¿Cuántas cuadras mide la cancha si una cuadra mide
80m.x80m.. Si una Hectárea mide 100m.x100m., ¿Cuántas canchas de futbol
se necesitaría para cubrir 15 hectáreas?
25. Con un galón de cierta pintura se pueden pintar 100 𝑚2 . El galón cuesta
$50.000. ¿Cuánto cuesta pintar un salón; las paredes y techo; si las
dimensiones son 10mx15m., y la altura son 4m.; y el salón tiene 2 puertas de
3m.x2m. que no se pintan?.
26. Una página de un libro mide 30cm.x40cm.. Si la margen superior e inferior son
5cm. Y 4 cm.; y las márgenes derecha e izquierda son 3cm. Y 2 cm. ¿cuál es
el área de la porción impresa en la página?
27. Una ventana Normanda se forma por una región
semicircular colocada arriba de una región rectangular,
como se muestra en la figura. Si la porción rectangular
mide 300 cm. de ancho y el area de toda la ventana es
(6+9π/4)𝑚2 . ¿Cuánto es la altura de toda la ventana?
28. Si una pizza circular de 20 cm. De diámetro es una ración para una persona,
¿Cuántas pizzas circulares de 15 cm. de radio son necesarias para 15
persona?. Supón que el grosor de todas las pizzas es el mismo.
333
29. Un patrón para hacer una colcha
requiere las piezas A y B como se
muestra en la figura. El rectángulo
mide 3m. de largo y 2m. de ancho. El
radio del cuarto de circulo mide 25
cm.. El patrón requiere 14 piezas de la
parte A en una tela de color claro y 28
piezas de B en tela oscura. Encuentre
el área de la tela de color claro
necesaria y el área de la tela oscura
necesaria para elaborar la colcha.
30.
Una manguera para jardín está enrollada en círculos que miden 40 cm.de
diámetro. Si hay 12 vueltas completas, ¿cuánto mide de largo la manguera?.
31. Halla los valores justificando
todos los pasos
32. Halla los valores justificando todos
los pasos.