Polígonos Regulares

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Polígonos Regulares:
Definición de polígono:
Un polígono es una figura plana cerrada, limitada por segmentos de recta llamados lados
del polígono. Los puntos donde se unen dos lados consecutivos se llaman vértices del
polígono.
D
A
E
B
 AB

 BC
Lados: 
 CD
 DE

 EA
A
B

Vértices: C

D

E
C
Los polígonos se clasifican en:
1) Regulares: Son los polígonos que tienen todos sus lados iguales y sus ángulos
congruentes.
2) Irregulares: Son los polígonos cuyos lados y ángulos no son todos iguales.
Dependiendo de la cantidad de lados, los polígonos se clasifican en:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Triángulo: 3 lados
Cuadrilátero: 4 lados
Pentágono: 5 lados
Hexágono: 6 lados
Heptágono: 7 lados
Octágono: 8 lados
Nonágono: 9 lados
Decágono: 10 lados
i) Endecágono: 11 lados
j) Dodecágono: 12 lados
k) Pentadecágono: 15 lados
l) Hexadecágono: 16 lados
m) Heptadecágono: 17 lados
n) Octadecágono: 18 lados
o) Nonadecágono: 19 lados
p) Icoságono: 20 lados
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DIAGONAL DE UN POLÍGONO: Es el segmento de recta que une dos vértices no consecutivos
de un polígono.
1) Diagonales desde un vértice:
Dv  n  3
“n” es el número delados
2) Total de diagonales:
TD 
n  n  3
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Ejemplos y ejercicios:
1) ¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde un vértice en un pentadecágono?
2) ¿Cuántas diagonales se pueden trazar en total en un nonágono regular?
3) ¿Cómo se llama el polígono en el que se pueden trazar 90 diagonales?
4) ¿Cómo se llama el polígono en el que se pueden trazar desde un vértice 17 diagonales?
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ÁNGULOS INTERNOS DE UN POLÍGONO:
Son los ángulos formados por dos lados consecutivos y pertenecen al interior del polígono:
1) Suma de los ángulos internos:
 i  180º  n  2
2) Si el polígono es regular, medida un
ángulo interno:
m i
180º  n  2 
n
Ejemplos y ejercicios:
1) Calcular la suma de los ángulos internos de un pentágono.
2) Calcule cuánto mide un ángulo interno de un octágono regular.
3) Hallar el número de lados de un polígono regular, sabiendo que la suma de sus ángulos
internos es 7200°.
4) ¿Cómo se llama el polígono regular, en el que cada ángulo interno mide 120°?
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ÁNGULOS EXTERNOS DE UN POLÍGONO:
Son los ángulos adyacentes a los ángulos internos obtenidos al prolongar los lados en un
mismo sentido.
1) Suma de los ángulos externos:
D
C
E
A
B
 e  306º
2) Si el polígono es regular, medida de
un ángulo externo:
m e
360º
n
Ejemplos y práctica:
1) Sabiendo que un ángulo externo de un polígono regular mide 60°, indique el número de
lados del polígono.
2) Calcule la medida de un ángulo externo de un icoságono regular.
ÁNGULO CENTRAL DE UN POLÍGONO:
Es el ángulo formado por los radios que pasan por dos vértices consecutivos.
El ángulo central de un polígono regular
es igual al ángulo externo.
Se calcula entonces con la fórmula:
m c
360º
n
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Ejemplos:
1) ¿Cuál es la medida de un ángulo central de un Octadecágono regular?
2) Determine cuántos lados tiene un polígono regular cuyo ángulo central mide 72°.
PERÍMETRO DE UN POLÍGONO REGULAR:
El perímetro de un polígono regular es igual al producto del número de lados del polígono
por la medida de cada lado.
P  n
donde “ ” es la longitud de cada lado.
Ejemplos:
1) Hallar el perímetro de un polígono regular de 25 lados, si cada lado mide 8 cm.
2) En un polígono regular la medida de cada ángulo interno es 140º, si el perímetro es 45,
entonces ¿cuál es la medida de cada lado del polígono?
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ELEMENTOS DE UN POLÍGONO REGULAR: Para un polígono regular se definen los siguientes
elementos:
1) Centro del polígono: Es el punto
equidistante de los vértices del polígono.
2) Radio de un polígono: Es el segmento
de recta que une el centro del polígono con
uno de sus vértices.
3) Apotema del polígono: Es el segmento
de recta trazado desde el centro del
polígono hasta el punto medio de unos de sus
lados, en forma perpendicular.
ÁREA DE UN POLÍGONO REGULAR: Se calcula con la siguiente fórmula:
A
P a
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P : Perímetro
a : Apotema
Ejemplos:
1) Si el lado de un pentágono regular mide 4 cm y la apotema es de 2,7 cm; calcule su perímetro y
su área.
2) Calcule el área aproximada de un decágono regular, donde uno de sus lados mide 7 cm .
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3) De acuerdo con los datos de la siguiente figura, calcule en forma aproximada el perímetro de la
misma.
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RELACIONES ENTRE LOS ELEMENTOS DE ALGUNOS POLÍGONOS REGULARES
(1) Triángulo Equilátero
Altura: h 
3
2
Radio: r  2a
Apotema: a 
Área: A 
(2) Cuadrado
h
3
2
4
Diagonal: d 
Radio: r 
2
Apotema: a 
Área: A 
(3) Hexágono Regular
3
2
2
2
2
ó
A 
Radio: r 
Apotema: a 
Área: A 
r
3
2
3 3

2
2
d2
2
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Ejemplos y ejercicios:
1) Hallar el radio, la apotema y el lado de un triángulo equilátero si se sabe que la altura mide 9 cm.
2) Determinar el lado, la apotema, la altura y el área de un triángulo equiángulo si se sabe que el
radio es igual a 12 cm.
3) Hallar el radio y la apotema de un cuadrado cuyo lado mide 18 cm.
4) Hallar la apotema y el lado de un hexágono regular cuyo radio mide 18 cm.
5) Calcular el área de un hexágono regular cuyo lado mide 10 cm.
6) Calcular el área de un cuadrado cuya apotema mide 2 cm.
7) Determine la medida del radio de un triángulo equilátero cuya área es de 144 3 cm2.
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Relaciones entre Polígonos y la Circunferencia
Polígono Inscrito:
Un polígono está inscrito en una
circunferencia si sus vértices están en la
circunferencia y sus lados son cuerdas de la
misma. En este caso se dice que la
circunferencia está circunscrita al polígono.
Polígono Circunscrito:
Es aquel polígono en el cual todos los lados
son tangentes a al circunferecnia. En este
caso, se dice que la circunferencia está
inscrita en el polígono.
Notas:
El
radio
de
la
circunferencia circunscrita
es el mismo que el radio del
polígono.
El
radio
de
la
circunferencia inscrita es
igual a la apotema del
polígono.
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Ejemplos y prácticas:
1) ¿Cuánto mide la apotema de un hexágono regular circunscrito a una circunferencia de 5 cm de
radio.
2) ¿Cuánto mide la apotema de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 8 cm de radio.
3) Calcule la longitud de la circunferencia inscrita a un triángulo equilátero de área
3
.
8
4) Hallar el área de la circunferencia circunscrita a un triángulo equilátero cuya altura mide
9 3
cm.