1- introducción - Laboratorio de física II

BQ202-Laboratorio de Física II para Bioquímica
Facultad de Ciencias - Instituto de Física
Repartido Nº 1
MEDICIONES, ERRORES Y AJUSTE POR MÍNIMOS CUADRADOS
1- INTRODUCCIÓN
Realizaremos una revisión de lo visto en el primer semestre referente a la teoría del proceso
de medición, los diferentes tipos de errores o incertidumbres, la propagación de los mismos y
el ajuste por mínimos cuadrados, conceptos que vamos utilizar en el desarrollo del curso.
2 - PROCESO DE MEDICIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS
Una magnitud física es un atributo de un cuerpo, fenómeno o sustancia, susceptible de ser
medido. Ejemplos de magnitudes son la longitud, la masa, la carga eléctrica, etc.
La mayoría de los fenómenos analizados por la ciencia y que darán origen a la formulación de
hipótesis o leyes deben ser observados y medidos.
Medir significa comparar el objeto a medir con otro tomado como patrón universal
que se define como unidad.
La medición es un proceso en el que intervienen: la magnitud específica del objeto que
queremos medir o mesurando, un método de medición o sistema de comparación, un
instrumento de medición –que incluye al observador- y definir además unidades de
medición.
En todo proceso de medición existen limitaciones dadas por los instrumentos usados, el
método de medición, el observador y el entorno en que se realiza la medición. Asimismo, el
mismo proceso de medición introduce errores o incertezas.
Tanto los instrumentos que usamos para medir como las magnitudes mismas son fuente de
incertezas o errores al momento de medir.
Todas estas limitaciones llevan a que no podemos obtener con certeza “el” valor del
mesurando, sino que solo podemos establecer un rango posible de valores donde pueda estar
razonablemente contenido el mejor valor del mesurando.
El error de una medición está asociado a la incertidumbre en la determinación del resultado de
la misma. Lo que procuramos en toda medición es conocer las cotas o límites probabilísticos de
x  x  x  x  x
estas incertidumbres, se busca establecer un intervalo:
donde con cierta probabilidad podemos decir que se encuentra el mejor estimador o valor
más probable de la magnitud x. Este mejor valor x es el valor más representativo de
nuestra medición, y al semiancho Δx es la incertidumbre absoluta o error absoluto de la
medición
Por tanto el resultado final de un proceso de medición lo vamos a expresar entonces como un
número real, valor de una magnitud física, su unidad correspondiente y un intervalo de
incertidumbre:
x  x
(1)
Cuando se realizan N mediciones x corresponde al valor medio o promedio:
x
x es la incertidumbre absoluta o error absoluto.
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1
N
N
x
i 1
i
(2)
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3- ERRORES O INCERTIDUMBRES
Cuando se realiza una medición, en general o no conocemos el valor exacto o verdadero de la
magnitud a medir, o no existe dicho valor. Esto puede parecer extraño si pensamos en
términos de la física clásica (mecánica newtoniana o electromagnetismo), pero en cambio esta
situación es habitual en la física moderna (mecánica cuántica) donde las magnitudes como
posición, carga, etc. no tienen un valor determinado, y lo que se mide es algo probabilístico.
Como resultado de una medición esperamos entonces, obtener dos cosas, el valor que mejor
representa la magnitud y una estimación de la incertidumbre en la medida.
Existen varias formas de clasificar y expresar los errores de medición, a continuación
describiremos la que adoptaremos para este curso.
Error de apreciación σap – Es el asociado a la mínima división de su escala o a la mínima
división que podemos resolver con algún método de medición. Este error no es precisamente la
mínima división del instrumento, sino la mínima división que es discernible por el observador.
El error de apreciación puede ser mayor o menor que la apreciación nominal, dependiendo de
la habilidad (o falta de ella) del observador.
Error de exactitud σexac - Es el error absoluto con el que el instrumento ha sido calibrado. En
general este error se suministra como información del instrumento y habitualmente se expresa
como un error porcentual del valor medido.
Error de interacción σint: Proviene de la interacción del método de medición con el objeto a
medir. Su determinación depende de la medición que se realiza y su valor se estima de un
análisis cuidadoso del método usado.
Error por falta de definición en el objeto sujeto a medición σdef : Es la incertidumbre
asociada con la falta de definición del objeto a medir y representa su incertidumbre intrínseca.
Por ejemplo la medición de la actividad de un material radiactivo o una longitud con una
apreciación menor al tamaño atómico, en donde los límites del objeto dejan de estar bien
definidos.
Error nominal de una medición σnom: En general, en un experimento, todas estas fuentes
de incertidumbres pueden estar presentes, las cuales son independiente entre sí, por lo resulta
útil definir el error nominal de una medición σnom, como:
2
2
2
 nom   ap2   def
  int
  exac
(3)
Errores estadísticos σest: son los que se producen al azar. En general son debidos a causas
múltiples y fortuitas. Estos errores pueden cometerse con igual probabilidad por defecto como
por exceso. Por tanto, midiendo varias veces y promediando el resultado, es posible reducirlos
considerablemente. Son este tipo de errores a los que comúnmente hace referencia la teoría
estadística de errores de medición.
Para determinar el error estadístico, procederemos de la siguiente forma.
 x
N
Calculamos primeramente la desviación estándar
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Sx : S x 
j 1
j
x
N 1

N
2

 x
j 1
2
j
N 1
(4)
2
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 x
N
Finalmente determinamos el error estadístico:
 est 
j 1
j
x

2
N .N  1

Sx
(5)
N
El error absoluto o efectivo Δx resulta de combinar el error nominal con el estadístico de la
siguiente forma:
2
2
2
2
2
2
2
x   est
  nom
  est
  ap
  def
  int
  exac
(6)
Número óptimo de mediciones – La desviación estándar Sx es la dispersión de cada
medición y no depende del número de medidas N sino de la calidad de las mediciones,
mientras que σest sí depende de N, y es menor cuanto más grande es N.
Si, por ejemplo, estamos midiendo una longitud con una regla graduada en milímetros, resulta
claro que si aumentamos el número de mediciones podremos disminuir el error estadístico,
pero nunca con este instrumento podremos dar con certeza cifras del orden de los micrones,
por más que realicemos muchas mediciones.
Al aumentar N, σest ciertamente disminuye, pero, desde un punto de vista físico, el error en x
solo puede disminuir hasta hacerse igual o del orden de σnom.
La ec. (6) indica que no es razonable esforzarse en disminuir σest mucho más que σnom. El
balance óptimo se logra cuando σest  σnom. Esto nos da un criterio para decidir cuál es el
número óptimo de mediciones a realizar de un mesurando.
Como suponemos que Sx es constante con N, la idea es hacer un número pequeño de
mediciones Nprel, digamos unas 5 a 10, luego calcular Sx, de donde se obtiene:
N OPTIMO
 S
  X
  nom



2
(7)
que resulta de imponer la condición: σest  σnom.
Si NOPTIMO > Nprel, se completan las mediciones para lograr NOPTIMO valores.
Si NOPTIMO < Nprel, no se realizan más mediciones que las preliminares y se usan todas ellas.
Cuando se realiza una sola medida (en lugar de N medidas) asumiremos que:
x es el resultado de la única medida realizada, σest =0 y Δx = σnom
Los errores pueden asimismo expresarse de distintas formas:
Error relativo: Es el cociente entre el error absoluto y el mejor valor de la magnitud
x 
x
x
(8)
Error relativo porcentual es la incertidumbre relativa multiplicada por 100.
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4- CIFRAS SIGNIFICATIVAS
Cuando realizamos una medición con una regla graduada en milímetros, está claro que, si
somos cuidadosos, podremos asegurar nuestro resultado hasta la cifra de los milímetros o, en
el mejor de los casos, con una fracción del milímetro, pero no más.
De este modo nuestro resultado podría ser:
L = (95,2 ± 0,5) mm,
o bien
L = (95 ± 1) mm.
En el primer caso decimos que nuestra medición tiene tres cifras significativas y en el
segundo caso sólo dos.
El número de cifras significativas es igual al número de dígitos contenidos en el resultado de la
medición que están a la izquierda del primer dígito afectado por el error, incluyendo este
dígito. El primer dígito, o sea el que está más a la izquierda, es el más significativo (9 en este
caso) y el último (más a la derecha) el menos significativo, ya que es en el que tenemos
“menos seguridad”. Nótese que carece de sentido incluir en nuestro resultado de L más cifras
que aquellas en donde tenemos incertidumbres.
No es correcto expresar el resultado como L = (95,321 1) mm, ya que si tenemos
incertidumbre del orden de 1 mm, mal podemos asegurar el valor de las décimas, centésimas
y milésimas del milímetro.
También es usual considerar que la incertidumbre en un resultado de medición afecta a la
última cifra si es que no se la indica explícitamente.
Por ejemplo, si sólo disponemos de la información que una longitud es L = 95 mm, podemos
suponer que la incertidumbre es del orden del milímetro y, como dijimos antes, el resultado de
L tiene dos cifras significativas. Una posible fuente de ambigüedad se presenta con el número
de cifras significativas cuando se hace un cambio de unidades.
La notación científica es una forma muy conveniente para poder expresar los resultados de
una medición con la cantidad de cifras significativas correspondientes sin caer en
ambigüedades.
Por ejemplo podemos escribir la siguiente igualdad: 9,5 x10 1 mm = 9,5 x 104 µm. Notemos
que los números en ambos miembros de la igualdad tienen igual número de cifras
significativas, siendo la única diferencia las unidades usadas.
Regla 1: Las cifras significativas se cuentan de izquierda a derecha, a partir del primer dígito
diferente de cero y hasta el dígito dudoso.
Regla 2: Al sumar o restar dos números decimales, el número de cifras decimales del
resultado es igual al de la cantidad con el menor número de ellas.
Atención: Un caso de especial interés es el de la resta.
Citemos el siguiente ejemplo: 30,3475 – 30,3472 = 0,0003
Observemos que cada una de las cantidades tiene seis cifras significativas y el resultado posee
tan solo una. Al restar se han perdido cifras significativas. Esto es importante tenerlo en
cuenta cuando se trabaja con calculadoras o computadores en donde haya cifras que se sumen
y se resten. Es conveniente realizar primero las sumas y luego las restas para perder el menor
número de cifras significativas posible.
Regla 3: Al multiplicar o dividir dos números, el número de cifras significativas del resultado
es igual al del factor con menos cifras.
5- PROPAGACIÓN DE ERRORES
Hay magnitudes que no se miden directamente, sino que se derivan de otras que sí son
medidas en forma directa.
Por ejemplo, para conocer el área de un rectángulo se miden las longitudes de sus lados, o
para determinar el volumen de una esfera se tiene que medir el diámetro.
La pregunta que queremos responder aquí es cómo los errores en las magnitudes que se
miden directamente se propagarán para obtener el error en la magnitud derivada. Sólo
daremos los resultados, para mayor detalle se recomienda consultar la bibliografía citada.
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Supongamos, para fijar ideas, que la magnitud V, es una función de los parámetros, x, y, z,
etc., o sea: V =V( x, y, z,...)
y que x, y, z, etc., sí se midieron directamente y que conocemos sus errores, a los que
designamos en el modo usual como Δx, Δy, Δz, etc. Entonces se puede demostrar que el error
en V, ΔV vendrá dado por:
2
 V 
 V 
 V 
2
2
 .y 2  
V  
 .x  
 .z  ...

x

y

z






2
2
(9)
Este resultado es válido para aquellos casos en que los parámetros x, y, z.... son
independientes, es decir que no están correlacionados
Una forma más cómoda, pero menos aproximada es
V 
V
V
V
.x 
.y 
..z  ...
x
y
z
(10)
Esta última expresión se conoce con el nombre de aproximación de primer orden para la
propagación de errores, y es la que se utilizará en el curso a menos que se diga lo
contrario, mientras que la expresión (ec. 24) se la denomina usualmente aproximación de
segundo orden para la propagación de errores.
Un caso particular de interés es el de la suma y la resta: Z  x  y
Usando la ec.10 obtenemos:
Z 2  x 2  y 2
6- AJUSTE POR MÍNIMOS CUADRADOS Vamos a ver un caso particular del
ajuste por mínimos cuadrados, la
regresión
lineal
o
linealización.
Supongamos
que
modelamos
la
relación entre dos magnitudes x e y
por:
REGRESIÓN LINEAL O LINEALIZACIÓN
y = ax + b
En general no existirán un a y un b,
que logren que la recta por ellos
definida pase por todos los puntos
medidos, debido a los diferentes tipos
de errores cometidos al medir.
El problema es entonces, dado el
conjunto de medidas (xi,yi) (con
i=1,2,...,n) hallar los parámetros a y b, de modo de obtener la recta que mejor se aproxime a
todos los puntos.
Sea entonces una recta de coeficientes a y b como se observa en la figura. Llamemos yi teo a la
ordenada del punto de la recta que tiene abscisa xi: yi teo = a xi + b. La distancia que hay de
este punto al valor medido, será
E i  y i  y i teo . Tomaremos entonces como una buena
estimación de la desviación de las observaciones con respecto a esta recta, al valor:
 E  y ax
i
b  .
2
2
i
i
Observe que es función de a y b solamente porque los xi e yi son conocidos.
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Aceptaremos que los mejores valores de a y b serán aquellos que hagan mínima esta
expresión:
   i2
a
0
y
   i2
0
b
de donde, sustituyendo y resolviendo estas ecuaciones obtenemos:
a
n X i Yi  X i . Yi
n. X   X i 
2
2
i
b
(11)
 X . Y   X . X Y
n. X   X 
2
i
i
i
i i
2
2
i
(12)
i
Coeficiente de correlación: Existe un parámetro que nos dice que tan acertada fue la recta
como curva de ajuste. Se denomina coeficiente de correlación r y varía entre 0 y 1. Cuanto
mejor sea la aproximación por una recta más cercano a 1 será el valor absoluto del coeficiente
de correlación. Su expresión viene dada por
r
n. xi . yi   xi . yi
(13)
n. x    x  . n. y    y 
2
2
i
i
2
2
i
i
r  1 implica correlación lineal fuerte (r = -1 implica una relación lineal con pendiente
negativa)
r  0 implica correlación nula, esto es, que las magnitudes x e y no están relacionadas.
0  r  1 implica correlación estadística.
Funciones no lineales que se pueden linealizar
El método de mínimos cuadrados o de regresión es también aplicable a relaciones no lineales
pero que pueden ser linealizadas con una adecuada elección de nuevas variables.
1. Función potencial
y=cx

(14)
Tomando logaritmos en ambos miembros de igualdad, y haciendo los siguientes cambios de
variables: Y = log y ;
resulta:
b = log c ; y
X = log x
Y = aX + b
Por tanto se hace la regresión entre los valores experimentales X e Y, y deshaciendo el cambio
de variables se tiene:
Por lo que resulta:
c  10b
y a = 
y  10b x a
(14’)
(14’)
2. Función exponencial:
y = c eαx
(15)
Tomando logaritmos naturales en ambos miembros y haciendo los cambios de variables:
Y = ln y ; b = ln c; X = x y a =α resulta:
Y = aX + b
Trabajando análogamente al caso anterior y deshaciendo el cambio de variables se tiene:
c  eb
Por lo que resulta:
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y  eb e ax
y a =α
(15’)
(15’’)
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y
3. Función racional:
Que haciendo los cambios de variables: Y =
xC
(16)
1
C
1
; b=
; a=
y X=x


y
Resulta:
Y = aX + b
Por lo que debemos graficar X = x e Y =
resultando:


por lo que resulta:
1
a
y
y
C
1
a
b
x
a
b
a
1
, linealizar y deshacer el cambio de variables,
y
(16’)
(16’)
6- BIBLIOGRAFÍA.
 Gil S.; Rodríguez E.; (2001) Física Re-Creativa-Experimentos de Física Usando Nuevas
Tecnologías; 1era. Edición; Prentice Hall, Buenos Aires
 Roederer, J.G (1963) Mecánica elemental, 8va. Edición; EUDEBA; Buenos Aires
 Cernuschi F. y Greco F. (1974), Teoría de Errores de Mediciones; 2da. Edición;
EUDEBA, Buenos Aires.
 Serway, R. Física (Tomo II) (1996); 4ta. Edición; McGraw-Hill, México.
Internet: http://www.fisicarecreativa.com
Página WEB "Física Recreativa" de las Universidades Nacional de San Martín y Universidad de
Buenos Aires - Buenos Aires – Argentina. Dicho material es público.
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