proposito de la unidad ii

PROPOSITO DE LA UNIDAD II
Con los contenidos temáticos que
forman parte de la Unidad II
denominada movimiento se tiene el firme propósito
de que
estudiante primero antes que nada entienda de que se esta hablando,
cuales son los elementos fundamentales que contribuyen a que se
desarrolle un movimiento de distinto tipo como pude ser: rectilíneo
uniforme, rectilíneo uniformemente variado, vertical, parabólico,
circular uniforme y circular uniformemente variado; así mismo se
busca que el estudiante entienda y comprenda la relación que existe
entre los diferentes tipos de movimientos, todo lo anterior con la
finalidad especifica de hacerle notar la relación vertical y horizontal
que existe con otros temas de la física en general y con otras ciencias
de diferentes campos de conocimiento.
Se pretende también que el estudiante interrelacione la teoría y
problemas resueltos asimilados con situaciones prácticas del medio
en que este se desenvuelve o se valla a ver inmerso dentro del
desarrollo de su vida cotidiana.
Es necesario que se comprenda que ningún cuerpo por grande o
pequeño que este sea, no se puede modificar su estado de reposo o
de movimiento a menos de que agentes externos actúen sobre el;
por tal razón se puede decir que nada puede permanecer en completo
estado de reposo o de movimiento, pues como elemento que
formamos
parte
de
un
universo
mayor,
estamos
sujetos
al
comportamiento de leyes universales y naturales que rigen el
comportamiento de los diferentes cuerpos que sobre el planeta tierra
existen.
MÓDULO II
UNIDAD II. Movimiento
CINEMATICA
INTRODUCCION
La Cinemática es el estudio del movimiento de los cuerpos, sin
considerar las causas que los ocasionan. Los movimientos de mayor
interés son el rectilíneo, la caída libre, el movimiento circunferencial,
el elíptico, y el parabólico.
Tipos de movimiento
Los tipos de movimiento dependen de cómo sea su aceleración, es
decir, de si varía o no la velocidad, y de la trayectoria que siga el
móvil. Así, podemos distinguir:
Movimiento Uniforme, si la
velocidad es constante o, lo que
es lo mismo, la aceleración es
nula. Este movimiento es tan
sencillo que es difícil de observar
en la naturaleza.
Movimiento
uniformemente
acelerado, si la velocidad cambia
de manera uniforme, es decir,
aumenta o disminuye lo mismo
cada
segundo.
En
este
movimiento,
por
tanto,
la
aceleración es constante. La
aceleración puede ser positiva, si
la velocidad va aumentando, o
negativa,
si
disminuye.
El
movimiento de un objeto que cae
es de este tipo.
Movimiento
acelerado,
cuando la velocidad varía pero
no lo hace de manera uniforme
porque la aceleración también
es variable. Un vehículo que
frena y acelera constantemente
está sometido a este tipo de
movimiento.
También podemos clasificar los movimientos en función de su
trayectoria. Así tendremos:
Movimientos rectilíneos, si el
camino seguido por el móvil o
trayectoria, es una línea recta.
Un objeto que cae libremente
tiene esta trayectoria.
Movimientos curvilíneos, si la
trayectoria es curva. Dentro de
estos estarían el circular, cuando
el móvil describe trayectorias con
forma de circunferencia, como las
agujas
de
un
reloj;
o
el
parabólico,
si
describe
una
parábola, como el
proyectil
disparado por un arma o un balón
de baloncesto lanzado a canasta.
TRAYECTORIA Y DESPLAZAMIENTO
Al estudiar el movimiento de un cuerpo, es necesario distinguir entre
su trayectoria o recorrido y su desplazamiento. La medida de la
trayectoria nos indica la distancia recorrida por el móvil, la
cual es una magnitud escalar. En cambio, el desplazamiento es
una magnitud vectorial, por lo tanto se representa por un vector
que indica el punto de partida y el punto de llegada del movimiento
de ese cuerpo.
POSICIÓN DE UNA PARTÍCULA
La posición de una partícula M sobre una recta que tiene un origen O,
la da su abscisa x. Se dirá entonces que el vector que une el origen
con
la
partícula
es
el
vector
posición
.
Matemáticamente se dirá que el vector posición es función del
tiempo, es decir:
DISTANCIA Y DESPLAZAMIENTO DE UNA PARTÍCULA
Es necesario distinguir entre distancia y desplazamiento y para
comprenderlo mejor es necesario poner un ejemplo. Supóngase que
una persona camina 80 m hacia el este y luego retorna hacia el oeste
30 m. La distancia total recorrida por la persona es de 80 m sin
embargo el desplazamiento es de 50 m hacia el este. El
desplazamiento es un vector que indica el cambio de posición
de una partícula, es decir.
RAPIDEZ Y VELOCIDAD DE UNA PARTÍCULA
También hay que distinguir entre rapidez y velocidad aunque los
términos parecerían ser los mismos. El término rapidez indica cuan
lejos puede moverse una partícula en un determinado tiempo
(90 Km./h) indicando únicamente el valor y su unidad (escalar), en
cambio la velocidad es un vector que representa también una
dirección.
Con esta aclaración de conceptos, se puede definir a la rapidez
promedio como la relación entre la distancia total recorrida y el
tiempo empleado en ese recorrido.
Se definirá el vector velocidad media (V) como la relación entre el
vector desplazamiento y el intervalo de tiempo correspondiente.
Una velocidad positiva indicará que la partícula se desplaza en la
dirección positiva de la trayectoria. Una velocidad negativa indicará lo
contrario. Las unidades de la velocidad son m/s, Km/h, cm/s,
millas/h, pie/s, etc.
VELOCIDAD INSTANTÁNEA
La velocidad media no describe el movimiento en cada instante y por
tanto no sirve para una descripción precisa del mismo. La única
manera de conocer el movimiento de un cuerpo cada instante es
determinando su velocidad media para desplazamientos muy
pequeños, durante intervalos de tiempo también muy pequeños.
Se definirá entonces la velocidad instantánea a la relación entre el
vector desplazamiento y el intervalo de tiempo correspondiente,
cuando este último tienda a ser cero, es decir
ACELERACIÓN DE UNA PARTÍCULA
Si la velocidad de una partícula varía de a un tiempo hasta un valor a
un tiempo, se define al vector aceleración media (a) la razón de
la variación de el vector velocidad en el intervalo de tiempo
correspondiente.
Una aceleración positiva indicará un incremento de la velocidad y una
negativa un decremento. Las unidades de la aceleración son m/s2,
Km/h2, pie/s2, etc.
Por concepto la aceleración instantánea será la variación de la
velocidad en un intervalo de tiempo cuando este último tiende a cero
Las ecuaciones vectoriales del movimiento se transforman
inmediatamente en ecuaciones escalares para el movimiento
rectilíneo en vista de que todos los vectores posición, velocidad y
aceleración están en la dirección de la trayectoria y los signos + ó –
que puedan tener indicarán si estos vectores están en la dirección
positiva o negativa de la trayectoria, por tanto estos vectores podrán
ser representados como cantidades escalares y las ecuaciones
vectoriales del movimientos se transformarán en:
MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME
Se dirá que un móvil tiene un movimiento rectilíneo uniforme cuando
tiene velocidad constante, es decir, recorre espacios iguales en
tiempos iguales.
Las ecuaciones cinemáticas que describen este movimiento son:
1. Velocidad.Siendo
la velocidad
instantánea constante,
necesariamente la velocidad media también será constante e igual
a V.
2. Aceleración.- Según la definición de aceleración media se tiene
que:
por tanto la aceleración es cero.
3. Posición.- Según la definición de velocidad media, se tiene que:
Si se toma como condición inicial que para t0=0, la posición inicial
es x0, se obtiene la ecuación:
En resumen, las ecuaciones cinemáticas que definen el movimiento
rectilíneo uniforme son:
GRAFICOS DEL MRU
MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE VARIADO
Se dirá que un móvil tiene un movimiento uniformemente variado
cuando tenga una aceleración constante, es decir, recorra espacios
diferentes en tiempos iguales.
Las ecuaciones cinemáticas que describen este movimiento son:
1. Aceleración.- Siendo la aceleración instantánea constante,
necesariamente la aceleración media también será constante e
igual a "a".
2. Velocidad.- Según la definición de aceleración media se tiene
que
:
Si se toma como condición inicial que para t0=0 , la velocidad
inicial
es
v0
,
se
obtiene
la
ecuación:
Cuando se trata de un solo movimiento con aceleración, la
velocidad media también puede ser calculada como la
semisuma
de
las
velocidades,
es
decir:
3. Posición.- Por definición la velocidad media es:
Si se toma como condición inicial que para t0=0, la posición
inicial es x0, operando con las ecuaciones 1 y 2 se obtiene la
ecuación:
NOTA 1.- Se deja la demostración anterior para ser
realizada por el estudiante.
En resumen, las ecuaciones cinemáticas que definen el movimiento
rectilíneo uniformemente variado son:
NOTA 2.- Normalmente, tanto para el movimiento uniforme como
para el movimiento acelerado x0=0, por tanto este término en las
ecuaciones de la posición desaparece.
GRAFICOS DEL MRUV
MOVIMIENTO HORIZONTAL
Se utilizarán las mismas
nomenclatura
ecuaciones
anteriores
con
igual
MOVIMIENTO VERTICAL
Se utilizarán las mismas ecuaciones anteriores pero cambiando la
nomenclatura "y por x".
En este movimiento, la aceleración es siempre un valor conocido por
tratarse de la aceleración de la gravedad e igual a 9.8 m/s2 para el
S.I. y de 32 ft/s2 para el sistema Inglés.
MOVIMIENTO DE PROYECTILES (TIRO PARABÓLICO)
(Movimiento de una partícula en el plano)
Si se desprecia la resistencia ofrecida por el aire, la experiencia
muestra que todos los cuerpos en caída libre están sometidos a la
fuerza de atracción que ejerce la tierra sobre una masa cualquiera. El
efecto de esta atracción produce en los cuerpos una aceleración
dirigida hacia abajo conocida como la aceleración de la gravedad. De
acuerdo a esto, un cuerpo que es lanzado horizontalmente avanzará
en esa dirección a velocidad constante (aceleración igual a cero) y
caerá en la dirección vertical con movimiento uniformemente variado
debido a la aceleración de la gravedad. Es conveniente por eso
cuando se trata de movimiento de proyectiles, considerar que es
el resultado de dos movimientos y analizar cada uno de ellos por
separado.
LANZAMIENTO DE PROYECTILES AIRE – TIERRA
Si se supone que se dispara una bala de cañón desde la izquierda
(fig.) y al mismo tiempo se deja caer otra bala desde la derecha, se
observa lo siguiente:
•
•
•
•
El proyectil disparado avanzará horizontalmente con una
velocidad constante igual a la velocidad inicial con que fue
disparada. (Igual longitud en las flechas horizontales)
El proyectil disparado y el dejado caer, tendrán una velocidad
inicial de cero en el eje vertical.
El proyectil disparado y el dejado caer, incrementarán
uniformemente su velocidad vertical debido a la aceleración de
la gravedad. (Diferente longitud de las flechas verticales
conforme cambia el tiempo)
El proyectil disparado y el dejado caer, llegarán al final del
movimiento en el mismo instante y con la misma velocidad
vertical.
Es por tanto conveniente para el estudio de este tipo de lanzamiento,
separarlo en dos:
1. Un movimiento horizontal uniforme (velocidad constante)
2. Un movimiento vertical uniformemente variado (aceleración
constante igual a la aceleración de la gravedad)
(CASO GENERAL DE MOVIMIENTO O TIRO PARABÓLICO)
El caso general de lanzamiento de proyectiles se tiene cuando se lo
lanza con un ángulo de inclinación respecto a la horizontal. Como en
el caso anterior es conveniente separar este movimiento en dos, uno
horizontal uniforme (velocidad en el eje horizontal constante) y otro
uniformemente variado (la velocidad vertical varía porque existe la
aceleración de la gravedad dirigida hacia abajo).
Como se observa en la figura, la velocidad inicial forma un ángulo
"teta" respecto a la horizontal y por tanto podrá ser descompuesta en
sus componentes rectangulares V0x y V0y. La velocidad en x será
siempre constante e igual a la velocidad inicial en x (V0x) y será la
que hace avanzar horizontalmente al proyectil. La velocidad en y será
variable debido a la aceleración de la gravedad y permitirá que el
proyectil suba y luego baje. La velocidad en y variará desde la
velocidad inicial en y (V0y) hasta hacerse cero en su altura máxima,
para luego aumentar cuando el cuerpo desciende hasta llegar otra
vez a alcanzar la velocidad en y con la que partió.
GLOSARIO DE TERMINOS
Y FORMULAS UTLIZADAS PARA
CALCULAR DICHOS ELEMENTOS
ALTURA MAXIMA: máxima altura alcanzada por el proyectil
(velocidad final en y igual a cero).
v20y
hmax = −
2g
TIEMPO DE SUBIDA: tiempo en el que el proyectil alcanza su
máxima altura.
v0 y
t subir = −
g
TIEMPO DE BAJADA: tiempo que tarda el proyectil en descender
desde su altura máxima hasta la posición desde la cual partió.
2h
t caer =
g
TIEMPO DE VUELO: tiempo total en el que el proyectil ha estado en
el aire.
t aire = −
2v0 y
g
ALCANCE (R): distancia horizontal máxima que alcanza el proyectil.
V 2 0 sen 2θ
R=−
g
NOTA: Los problemas de lanzamiento de proyectiles deberán siempre
ser analizados como si se trataran de dos movimientos, uno
horizontal rectilíneo uniforme y uno vertical uniformemente variado.
Movimiento circular uniforme
Un movimiento circular uniforme es aquél cuya
velocidad angular θ es constante, por tanto, la
aceleración angular es cero. La posición angular
θ del móvil en el instante t lo podemos calcular
integrando
θ - θ 0= θ (t-t0)
o gráficamente, en la representación de θ en
función de t.
Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero. Las
ecuaciones del movimiento circular uniforme son análogas a las del
movimiento rectilíneo uniforme
Movimiento circular uniformemente acelerado
Un
movimiento
circular
uniformemente
acelerado es aquél cuya aceleración θ es
constante.
Dada la aceleración angular podemos obtener el
cambio de velocidad angular θ - θ 0 entre los
instantes t0 y t, mediante integración, o
gráficamente.
Dada la velocidad angular θ en función del
tiempo, obtenemos el desplazamiento θ - θ 0
del móvil entre los instantes t0 y t, gráficamente
(área de un rectángulo + área de un triángulo),
o integrando
Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero. Las fórmulas
del movimiento circular uniformemente acelerado son análogas a las
del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.
Despejando el tiempo t en la segunda ecuación y sustituyéndola en
la tercera, relacionamos la velocidad angular ω con el desplazamiento
θ - θ0
RESUMEN DE FORMULAS BÁSICAS CINEMATICA
Movimiento rectilíneo y uniformemente variado:
V = V0 + at
at 2
2
2
2
V f = V0 + 2ad = V02 + 2as
S = d = v0 t +
Caída libre:
V f = gt
gt 2
2
2
V = 2 gs = 2 gd
S =d =
Lanzamiento vertical:
Movimiento en un plano (movimiento de proyectiles):
Movimiento circular:
Velocidad angular:
Aceleración angular:
Ángulo girado:
EJERCICIOS RESUELTOS MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS
1. Un globo está ascendiendo a razón de 12 m/s hasta una altura de
80 m, momento en el que suelta un paquete. ¿Cuánto tardará el
paquete en llegar al suelo?
Tomando como origen de espacios el origen de coordenadas, la
ecuación del movimiento:
se obtiene:
ecuación que resuelta da para el tiempo el valor:
ya que la solución negativa no tiene sentido físico.
2. Dos proyectiles se lanzan verticalmente hacia arriba con dos
segundos de diferencia, el primero con una velocidad inicial de 50
m/s y el segundo con la de 80 m/s. a) ¿Qué tiempo transcurrirá hasta
que los dos se encuentren a la misma altura?. b) ¿Qué velocidad
tendrá cada uno en ese momento?
Cuando los proyectiles se encuentran a la misma altura se verifica
que:
de donde el tiempo que transcurre desde el primer lanzamiento es:
t=
179.6
= 3.6 s
49.6
y la velocidad de cada proyectil en ese instante:
V1 = 50 − 9.8 × 3.6 = 14.72
m
s
V2 = = 80 − 9.8(3.6 − 2) = 64.3
m
s
3. En una carretera cuya velocidad máxima tolerada es de 70 km/h
se ha instalado una cámara de cine que toma 32 imágenes por
segundo para determinar la velocidad de los vehículos. Si un
automóvil cuya longitud es 2.50 m ocupa en su movimiento total ante
la cámara 5 imágenes, ¿está infringiendo la ley?
En primer lugar: 70 km/h= 19,44 m/s
El automóvil tarda en pasar delante de la cámara 5/32 s, luego su
velocidad es de:
2.50
v=
= 16m / s p 19.44m / s
5 / 32
Luego, no infringe la ley.
4. Un móvil parte del reposo y de un punto A, con movimiento
rectilíneo y uniformemente acelerado (a = 10 cm/s2); tarda 3 s en
recorrer una distancia BC =105 cm y finalmente llega al punto D
siendo CD =55 cm. Calcular: a) Velocidad del móvil en los puntos B,
C y D. b) Distancia AB. c) Tiempo invertido en los recorridos AB y CD.
d) El tiempo total en el recorrido AD.
En el recorrido BC:
En el recorrido CD:
De la ecuación:
:
despejando VD:
El tiempo invertido en el recorrido CD se puede calcular a partir de la
ecuación:
El tiempo total invertido en el recorrido AD es:
de donde el correspondiente a la primera parte de dicho recorrido es:
Finalmente, la distancia AB se obtiene sustituyendo en la ecuación:
5. Un móvil parte de un punto con una velocidad de 110 m/s y
recorre una trayectoria rectilínea con una aceleración de – 10 m/s2.
Calcular el tiempo que tardará en pasar por un punto que dista 105 m
del punto de partida. Interpretar físicamente los dos resultados que
se obtienen.
De la ecuación s=v0t+1/2at2, sustituyendo, obtenemos: 105 = 110t 5 t2, de donde:
Para interpretar los dos valores del tiempo que se obtienen como
solución, escribimos la ecuación general de la velocidad del móvil: v
=110 - 10t, según la cual encontramos que para t =11 s, v =0. Es
decir, que el móvil, cuando ha transcurrido 1 s de su movimiento,
está a 105 m del origen; transcurridos otros 10 s se para y, a
continuación, vuelve por el mismo camino estando nuevamente a 105
m del origen en t =21 s.
6. Un cuerpo se mueve en el plano XY y sus coordenadas están
expresadas por las ecuaciones:
donde t es el tiempo y y R constantes. a) Hallar la ecuación de la
trayectoria. ¿Qué representa? b) Hallar la velocidad y aceleración del
movimiento. c) Encontrar el significado de las constantes R y .
a) Para hallar la ecuación de la trayectoria eliminamos la variable t
entre las dos ecuaciones de x e y. Para ello elevamos al cuadrado y
sumamos miembro a miembro:
Esta ecuación representa una circunferencia de radio R.
b) Velocidad:
con lo que:
Aceleración:
con lo que:
c) Como hemos dicho, R es el radio de la trayectoria. En cuanto a w,
al ser x e y funciones sinusoidales:
siendo T el periodo de la
función; es decir, el mínimo valor del tiempo para el cual los valores
de x e y se repiten.
7. Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad
de 51 ms-1. a) ¿Cuántos metros recorrerá en el tercer segundo de su
movimiento ascendente? b) ¿A qué altura estará al final del quinto y
sexto segundo?
Tomando como origen de coordenadas el punto de lanzamiento, la
ecuación del movimiento de la piedra es: s = 51t – 4,9t2
a) En el tercer segundo de su movimiento el espacio recorrido será:
= 51 – 24,5 = 26,5 m
b) Para t = 5 s, estará a una altura igual a:
s = 515 – (4.9) (5)2 = 132,5 m
Para t = 6 s:
s = 516 - 4,9·62 = 306 - 176,4 = 129,6 m
8. Una pelota resbala por un tejado que forma un ángulo de 30º con
la horizontal y, al llegar a su extremo, queda en libertad con una
velocidad de 10 m/s. La altura del edificio es 60 m y la anchura de la
calle a la que vierte el tejado de 30 m. Calcular: a) Las ecuaciones
del movimiento de la pelota al quedar en libertad. b) ¿Llegará
directamente al suelo o chocará con la pared opuesta, antes? c)
Calcular el tiempo que tarda en llegar al suelo y la velocidad en ese
momento. d) La posición en que se encuentra cuando la velocidad
forma un ángulo de 45º con la horizontal.
a) Ecuaciones del movimiento:
Tiempo que tarda en caer al suelo:
y = 60 m; 60 = 5t + 4,9t2 ; 4,9t2 + 5t – 60 = 0
donde t es igual a:
la solución negativa no tiene sentido.
b) Distancia que recorre en horizontal:
luego llegará al suelo sin chocar antes contra la pared opuesta.
c) t = 3 s.
Ecuaciones de la velocidad de la pelota:
d) Cuando la velocidad forma un ángulo do 45º con la horizontal vx=
vy, luego:
9. Un auto está esperando que cambie la luz roja. Cuando la luz
cambia a verde, el auto acelera uniformemente durante 6 s a razón
de 2 ms-2, después de lo cual se mueve con velocidad constante. En
el instante en que el auto comienza a moverse, un camión que se
mueve en la misma dirección con movimiento uniforme de 10 m/s, se
le adelanta. ¿A qué distancia y en qué momento se encontrarán
nuevamente el auto y el camión?
Al final de los 6 s el auto tiene una velocidad de: v = at =12 ms-1
Cuando se encuentran de nuevo el auto y el camión, ambos han
recorrido una distancia x en un tiempo t. Será: Para el auto: x = 12(t
– 6)+1/2262 + 12(t-6). Para el camión: x = 10t
Igualando ambas expresiones de x:
36 + 12t - 72 = 10t; t = 18 s
de donde:
x = 10t = 180 m.
10. Un coche va por una carretera recta y horizontal a una velocidad
de 72 km/h. El conductor ve de pronto delante de él otro coche que
va a 18 km/h en su misma dirección y sentido. Si este otro coche se
encuentra a 35 m cuando el conductor lo ve, tarda 0,3 s en
reaccionar y en apretar el freno, ¿qué aceleración constante se
necesita para evitar el choque?
72 km/h = 20 ms-1; 18 km/h = 5 m/s
En los 0,3 s que tarda el conductor en reaccionar, se aproxima al
coche que va delante en 0,320 = 6 m.
En este mismo tiempo dicho coche avanza 0,35=1,5 m.
La distancia entre los dos vehículos cuando el primer coche frena es:
35 – 6 + 1,5 = 30,5 m.
Luego, considerando que, para no chocar, el coche que frena debe
reducir su velocidad a 5 ms-1 en una distancia de 30,5 m, se tendrá
que cumplir:
de donde:
11. Un avión vuela en la dirección S-N con la velocidad de 720 km/h
hacia el Norte. Sopla viento de 60 km/h en la dirección Nordeste. a)
Determinar la velocidad resultante. b) Determinar la dirección y
velocidad del avión para ir en la dirección SN con la velocidad
resultante de 720 km/h.
a) La velocidad resultante tiene como componentes:
siendo su módulo:
y:
b) Se verifica que:
de donde:
El módulo de la velocidad del avión es entonces:
y
12. Una bola rueda sobre un tablero horizontal de 2 m de altura y cae
al suelo a una distancia de 5 m, contada desde el borde del tablero.
¿Con qué velocidad rodaba?
El tiempo que tarda la bola en llegar al suelo es el mismo que
tardaría si cayera libremente desde una altura de 2 m.
Es decir: 2 = 1/29,8t2; t = 0,64 s
y, en ese tiempo, la bola recorrería:
con la velocidad constante v. Luego:
13. Un avión de la Cruz Roja vuela a 1200 m de altura con una
velocidad de 180 km/h. ¿Cuánto tiempo antes de estar en la misma
vertical de un poblado debe soltar un paquete? ¿A qué distancia del
blanco deberá estar? ¿Con qué velocidad llegará el paquete al suelo?
El tiempo que tarda el paquete en caer se obtiene de la ecuación: y =
1/2 gt2
y la distancia x a que debe estar el avión del blanco:
x = 50·15,65 = 782,5 m.
La velocidad del paquete al llegar al suelo tendrá como componentes:
Vx= 50 m/s; Vy= 9,8·15,65 = 153,4 m/s
de donde:
y
14. El alcance de una piedra, lanzada desde un cierto punto, es de
82,6 m y la altura máxima a que se ha elevado es de 11,9 m. Hallar
en magnitud y dirección la velocidad con que se ha lanzado.
El alcance máximo viene dado por la expresión:
y la altura máxima por la:
tomaremos : ϕ = θ
Sustituyendo valores obtenemos que:
82.6 =
V02 sen2θ
→ Ecucación 1
g
11.9. =
V02 sen2θ
→ Ecuación 2
2g
Despejando V02 de las ecuaciones 1 y 2 se que : V02 =
23.8 g
g (82.6 )
→ ecuación 3 ; V02 =
→ ecuación 4
sen2θ
sen 2θ
Igualando las ecuaciones 3 y 4 se tendra que :
g (82.6 ) g (23.8)
=
; si se sabe de trigonometria que : sen2θ = 2 senθ cos θ ∴ sustituyendo en la igualdad anterior
sen2θ
sen 2θ
g (82.6 )
g (23.8)
=
; multiplicando ter min o a ter min o en la proporción obtenida :
se tendra que :
2 senθ cos θ
sen 2θ
g (82.6 )sen 2θ = g (47.6 )senθ cos θ ; dividiendo la igualdad obtenida entre g (senθ ) se obtendra :
(82.6)senθ = (47.6) cos θ ; dividiendo la igualdad obtenida entre : cos θ tendremos que :
(82.6) tan θ = 47.6 ; despejandoθ tendremos que : θ = arc tan 47.6 = 0.5762 = 29.953 0
82.6
= 29 0 57 ι
siendo el valor de v0 igual a:
V0 =
(g )( X MAX )
sen 2θ
=
(9.8)(82.6)
=
sen 2(29.953)
809.48
809.48
m
=
= 935.6 = 30.58
0.86515
s
sen 59.9 0
15. Un proyectil es lanzado horizontalmente con una velocidad de
305 ms-1 desde encima de un acantilado de 80 m. ¿Cuánto tardará en
chocar contra el plano horizontal que pasa por el pie del acantilado?
¿Cuánto dista del pie de éste del punto de impacto?
El tiempo que tarda en chocar será:
y la distancia x desde el punto de impacto al pie del acantilado:
x = vt = 3054,04 = 1232,3 m.
16. Una bala de rifle tiene en la boca del cañón una velocidad de 400
ms-1 y sale con una inclinación de 30º respecto al horizonte.
Calcular: a) Altura máxima. b) Alcance de la bala.
La altura máxima viene dada por:
y el alcance:
17. La velocidad de un volante disminuye uniformemente desde 900
a 800 r.p.m. en 5 s. Encontrar, para un punto de la periferia del
volante: a) Su aceleración angular. b) El número de revoluciones en 5
s. c) ¿Cuántos segundos más serian necesarios para que el volante se
parara? d) ¿Qué resultados se obtendrían en los apartados a) y b)
para otro punto en el interior del volante?
a) La aceleración angular a es igual a:
b) El ángulo girado en 5 s es:
c) El tiempo t necesario para que el volante se pare es tal que:
d) Se obtendrían los mismos resultados.
18. Desde un mismo punto de una circunferencia parten dos móviles
en sentidos opuestos. El primero recorre la circunferencia en 2 h 40
min., y el segundo recorre un arco de 6º 30’ por minuto. Determinar
en qué punto se encontrarán y el tiempo invertido.
2 h 40 min. = 7.200 + 2.400 = 9.600 s
Las velocidades angulares de cada uno de los móviles son,
respectivamente:
Cuando se encuentran, el primer móvil ha recorrido un ángulo ϕ y el
segundo un ángulo 2π − ϕ. Se verifica que:
En cuanto al tiempo t que tardan en encontrarse:
19. Un volante gira en torno a su eje a razón de 300 r.p.m. Un freno
lo para en 20 s. Calcular la aceleración angular, supuesta constante,
y el número de vueltas que ha dado hasta que el volante se detiene.
Si el volante tiene 10 cm de radio, hallar las componentes tangencial
y normal de la aceleración de un punto de la periferia en el instante
en que la rueda ha dado 40 vueltas. Hallar también la aceleración
resultante en ese momento.
Aceleración angular:
Número de vueltas:
Cuando la rueda ha dado 40 vueltas, el ángulo descrito es: 2p40 rad
y se verifica que:
de donde t es igual a:
La solución de 28,94 s se desecha porque la rueda se para en 20 s.
La velocidad angular al cabo de 11,05 s es:
La aceleración centrípeta del punto considerado:
La aceleración tangencial:
La aceleración total:
20. Un automotor parte del reposo y se mueve en una vía circular de
400 m de radio con movimiento uniformemente acelerado. A los 50 s
de iniciada la marcha alcanza la velocidad de 72 km/h, desde cuyo
momento conserva esa velocidad. Hallar: a) La aceleración tangencial
en la primera etapa del movimiento. b) La aceleración normal, la
aceleración total y la longitud de vía recorrida en dicha primera
etapa. c) La velocidad angular media en la primera etapa y la
velocidad angular al cabo de los 50 s. d) El tiempo que tardará el
automotor en dar 100 vueltas al circuito.
a) La aceleración tangencial en la primera etapa del movimiento es:
b) La aceleración normal:
El espacio recorrido sobre la trayectoria:
c) Velocidad angular media:
d) Tiempo que tarda el automotor en dar 100 vueltas al circuito:
21. Un satélite terrestre está en una órbita circular por encima de la
superficie de la Tierra dando una vuelta a la Tierra en 145 min. Si el
radio de la órbita es 2.735 km, ¿cuál es la aceleración de la gravedad
a esa altura?
Si el satélite está en órbita, se ha de verificar la igualdad:
22. Calcular la velocidad angular de la Tierra, sabiendo que da una
vuelta completa en 24 horas. Calcular también la velocidad y
aceleración centrípeta de un punto del ecuador. (Tómese como radio
terrestre 637108 m)
Velocidad angular de la Tierra:
Para un punto del ecuador es:
23.-Un carrusel tarda 22 segundos en acelerar del reposo a su
velocidad de operación 3.75rev. /min. Calcule:
a) Su aceleración en rev. /s2
b) El numero de revoluciones que da en este tiempo
Datos:
t = 22 Seg.
a).- α = ?
Wo = 0 Rev./s
b).- θ = ?
Wf = 3.75 Rev./min. = 0.0625 rev/s
Solución a)
Wf = Wo + α t (Formula)
Wo + α t = W f
α t = W f - Wo
α = (Wf – Wo/t)
α = (0.0625 rev/s – 0 rev/s)/22 s
α = 0.00284 Rev./Seg2
α = (0.0625 rev/s)/22s
Solución b)
θ = Wo t + ( t2/2)
θ = (0 rev./s) (22 s) + ((0.00284 rev./s2) (22s)/2)
θ = ((0.00284 rev /s2) (484 s2))/2
θ = 1.37456 rev./2
θ = 0.68728 rev.
24.-A rueda de una ruleta gira a 3 rev/s, y desacelera de manera
uniforme hasta detenerse en 18 Seg. Determinar:
a) su desaceleración
b) el número de revoluciones que da antes de detenerse
Datos:
Wo = 3 rev./s
a). - α =?
Wf = 0 rev/s
b).- θ =?
t = 18 seg.
Solución a)
α = Wf – Wo/t
(Formula)
α = (0 Rev./seg. – 3 Rev./seg.)/18 seg.
α = -3 Rev./seg./18 seg.
α = -0.1666 Rev./Seg2
Solución b)
θ = Wo t + (α t2/2)
θ = (3 rev/s) (18 s) + ((-0.1666 rev/s2) (18s)2/2)
θ = (54 rev/s) + (-0.1666 rev/s) (3245 s)
θ = 54 rev/s – (53.9754 rev)/2
θ = 54 rev/s – 26.9892 rev
θ = 27.0108 rev.
25.-Una rueda de 40 Cm. de radio gira sobre su eje que esta fijo. Su
rapidez se incrementa uniformemente desde el reposo hasta una
rapidez de 900 Rev./min. En un tiempo de 20 Seg. Determinar:
a) La aceleración angular de la rueda
b) La aceleración tangencial de un punto que se encuentra en el
borde
Datos:
r = 40 cm. =0.4 m
a).- α = ?
Wo = 0 rev/min
b).- at = ?
Wf =900 rev/min. = 15 rev./s
t = 20 s
Solución a)
α = Wf – Wo/t
(Formula)
α = (15 rev/s – 0 rev/s)/20s
α = (15 rev/s)/20s
α = 0.75 rev/ s2
Solución b)
at = α r
(Formula)
0.75 rev/s2 = (0.75 rev/s2) (2 π Radianes/1rev) = 4.7124 Rad./s2
at = (4.7124 Rad./s2) (0.4 m)
at = 1.884 m/ s2
26.- Un móvil viaja en línea recta con una velocidad media de 1.200
cm/s durante 9 s, y luego con velocidad media de 480 cm/s durante
7 s, siendo ambas velocidades del mismo sentido:
a) ¿cuál es el desplazamiento total en el viaje de 16 s?
b) ¿cuál es la velocidad media del viaje completo?
Datos:
v1 = 1.200 cm/s
t1 = 9 s
v2 = 480 cm/s
t2 = 7 s
a) El desplazamiento es:
x = v.t
Para cada lapso de tiempo:
El desplazamiento total es:
b) Como el tiempo total es:
tt = t1 + t2 = 9 s + 7 s = 16 s
Con el desplazamiento total recién calculado aplicamos:
Dv = xt/tt Þ Dv = 141,6 m/16 s Þ Dv = 8,85 m/s
27.- Se deja caer una piedra en un pozo y al cabo de 10 s se oye el
choque contra el fondo, si la velocidad del sonido es de 330 m/s,
¿cuál es la profundidad del pozo?
Solución
Para caída libre usamos las siguientes ecuaciones:
El tiempo es el tiempo total, es decir el que tarda la piedra en caer
más el que tarda el sonido en llegar hasta el punto de partida de la
piedra:
t = tp + ts = 10 s Þ ts = 10 s - tp (3)
La distancia que recorre el sonido es igual a la distancia que recorre
la piedra:
DhT = Dhs = Dhp (4)
Para el sonido:
Para la piedra
Igualando (5) y (6):
Reemplazando (3) en (7):
Reemplazando por los datos:
Resolvemos la ecuación cuadrática:
tp2 lo descartamos porque el tiempo negativo no existe. En la
ecuación (6) reemplazamos con tp1 y resolvemos: