TallerTrigonometra

TALLER TRIGONOMETRÍA
En un triángulo recto, uno de sus ángulos mide 90⁰ y se indica con un pequeño cuadrado en el ángulo
La hipotenusa es el lado más largo del triángulo
En todos los triángulos, la suma de los tres ángulos es igual a 180⁰
Si el ángulo recto mide 90⁰, la suma de los otros dos ángulos sumará también 90⁰. Por tanto, cada uno de estos ángulos
medirá menos de 90⁰ y son llamados ángulos agudos.
En la figura de arriba, uno de los ángulos agudos es tomado como ángulo de referencia y se indica con la letra Θ (Theta)
El ángulo de referencia, se usa para dar nombre a los otros lados del triángulo rectángulo. El lado que queda al frente del
ángulo Θ es llamado lado opuesto, el otro lado será el adyacente, es decir, está al lado del ángulo de referencia.
La hipotenusa nunca cambia, siempre es el lado más largo, sin embargo, los nombres opuesto y adyacente cambiarán con
respecto a la elección del ángulo agudo de referencia que ha sido tomado.
El teorema de Pitágoras hace referencia a la longitud de los tres lados del ángulo recto. La ecuación del teorema de
Pitágoras es la siguiente:
O² + A² = H² → O como se encuentra normalmente: a² + b² = c²
Cuando se conoce la longitud de dos lados del ángulo recto, se puede conocer la longitud del lado restante. Por ejemplo, si
el lado opuesto mide 30 m y el lado adyacente 40 m, se puede calcular la longitud de la hipotenusa:
Hipotenusa = ?
Opuesto = 30
Adyacente = 40
Otro ejemplo: Si la hipotenusa es 100 m y el lado adyacente es 25 m, calcule la longitud del lado opuesto
Hipotenusa = 100
Opuesto = ?
Adyacente = 25
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS:
Las funciones trigonométricas permiten calcular la longitud de los lados de un triángulo recto, si la longitud de uno de los
lados y la medida de uno de los ángulos agudos son conocidas
Las funciones trigonométricas especifican los cocientes entre dos lados de un triángulo recto. Un cociente es una relación
entre dos medidas cuantitativas
Las tres funciones de interés son seno, coseno y tangente:
Cada función trigonométrica define el cociente entre dos lados de un triángulo recto como una función de ángulo Θ
Si tomáramos la función seno, se leería: “La función seno especifica el cociente entre el lado opuesto y la hipotenusa como
una función de la medida del ángulo Θ”. El cociente entre la longitud del ángulo opuesto y la hipotenusa es siempre el
mismo para un dado ángulo Θ, sin importar la longitud de los dos lados. Esta misma afirmación se cumple para las demás
funciones.
Las tres funciones se pueden recordar fácilmente: SOH – CAH – TOA
USO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA CALCULAR LONGITUDES:
Supongamos que tenemos un triángulo recto del que sólo conocemos la longitud de su hipotenusa que es de 15 m y un
ángulo agudo de 74⁰. Lo primero que debemos hacer es definir el lado opuesto y adyacente: El lado opuesto siempre queda
enfrente del ángulo agudo elegido como Θ, y el ángulo adyacente es el que queda al lado del ángulo agudo Θ.
Se debe empezar luego por averiguar la longitud de cada uno de esos lados: opuesto y adyacente:
Debemos identificar los valores conocidos y crear la tabla de variables:
Θ = 74 grados
Hipotenusa = 15 m
Adyacente = ?
Seguidamente utilizamos las siglas SOH – CAH – TOA para elegir y definir la función que nos permita resolver el problema:
Como conozco el ángulo Θ, también conozco la hipotenusa, pero desconozco el lado adyacente al cual quiero averiguarle la
longitud, entonces la función coseno es la que debo usar:
Como quiero averiguar el lado adyacente, debo pasar la hipotenusa que está dividiendo, al otro lado de la ecuación y me
quedará multiplicando así:
Debo entonces multiplicar 15 m por el coseno de 74⁰, el cual lo puedo sacar fácilmente en la calculadora. Recuerda poner tu
calculadora en grados: Deg Mode; y que no esté en radianes: Rad Mode.
El coseno de 74⁰ es 0.2756, el cual se puede redondear a 0.28 para los cálculos, entonces:
Por tanto, la longitud del lado adyacente es de 4.2 m
Posteriormente, lo que quiero averiguar es la longitud del lado opuesto, listo entonces las variables:
Θ = 74 grados
Hipotenusa = 15 m
Opuesto = ?
Elijo la función que me puede resolver el problema, como conozco Θ y la hipotenusa, pero desconozco el lado opuesto:
(SOH - CAH – TOA) Uso entonces la función seno.
Paso la hipotenusa a multiplicar para despejar la fórmula:
La longitud del lado opuesto es entonces de 14.4 m
Podemos chequear si las longitudes son correctas, poniendo los valores dentro del teorema de Pitágoras:
En biomecánica, la función tangente es frecuentemente menos usada que seno y coseno
USO DE LA FUNCIÓN ARCTANGENTE PARA ENCONTRAR EL VALOR DEL ÁNGULO Θ:
En algunas ocasiones, conocemos el valor del lado adyacente y del lado opuesto pero desconocemos el valor de la
hipotenusa o del ángulo Θ. Esta circunstancia se muestra en la figura de abajo, donde se conoce el valor del lado adyacente
= 270 m y el valor del lado opuesto = 180 m:
En este ejemplo, se puede calcular la longitud de la hipotenusa con el teorema de Pitágoras:
Ahora bien, cuando conocemos el valor del lado adyacente y del lado opuesto pero desconocemos el valor del ángulo Θ, se
usa la función trigonométrica conocida como arctangente que es conocida como la tangente inversa. La ecuación para esta
función es:
Piense en esta ecuación como: “Qué ángulo tiene la función tangente igual al lado opuesto dividida por el lado adyacente?”.
Note que el cociente Opuesto/Adyacente, es el mismo que para la función tangente.
Para calcular el ángulo Θ, liste las variables conocidas y desconocidas:
Θ=?
Lado adyacente = 270 m
Lado opuesto = 180 m
Elija la función para arctangente y substituya los valores dados:
Para usar la calculadora, ingrese 0.67 y presione la tecla ATAN o presiones ATAN y después 0.67. En algunas calculadoras la
tecla ATAN no figura y se cambia por TAN⁻¹ y en otras, se debe presionar primero la tecla INV y luego TAN
La arctan de 0.67 es 33.8 (con ligeras variaciones). Si aparece el valor de 0.59, está en el Radian Mode (Modo Radianes)
33.8⁰, es el ángulo entre la hipotenusa y el lado adyacente del triángulo recto
DESVELANDO CANTIDADES VECTORIALES:
Una cantidad es algo que puede ser medido. En biomecánica, dos tipos de cantidades son importantes:


Escalares:
o Un escalar es cualquier cantidad que puede ser descrita por su magnitud, tamaño o cantidad. Las
cantidades escalares incluyen el tiempo, la masa, la distancia y la velocidad. La magnitud especifica el
número de unidades usadas para su medida, ej: tiempo: 8 segundos (s), masa: 75 kg, distancia: 2 m,
velocidad: 20 m/s
Vectores:
o Una cantidad vectorial es descrita no solamente por su magnitud sino también con una dirección asociada a
esa cantidad. Las cantidades vectoriales incluyen: fuerza, desplazamiento, velocidad y aceleración. Un
cantidad vectorial está bien descrita, únicamente si la magnitud y la dirección se especifican, ej: fuerza: 20
Newtons (N) a la derecha, desplazamiento: 5 m a un ángulo de 40⁰ sobre la horizontal, velocidad: 5 m/s a
un ángulo de 20⁰ sobre la horizontal, aceleración: 10 m/s/s hacia abajo.
Una cantidad vectorial se representa gráficamente por una flecha llamada simplemente vector. La longitud de la flecha
representa la magnitud de su cantidad y la dirección de la cantidad es representada por la cabeza de la flecha.
Los vectores se grafican arbitrariamente en un sistema de coordenadas con un eje x y un eje y. En la figura de abajo se
representa el desplazamiento de un vector de 5 m con una dirección a 40⁰ sobre la horizontal en un sistema de
coordenadas x-y.
En algunas ocasiones, sólo parte de este sistema de coordenadas es dibujado y el sistema de coordenadas completo
simplemente se infiere:
El sistema de coordenadas puede ser dibujado con cualquier orientación que dé sentido a la situación descrita. Por ejemplo,
cuando se trata con el cuerpo humano, el sistema de coordenadas es puesto en una articulación de interés, con el eje y
alineado a lo largo del eje de un hueso y el eje x alineado atravesando el hueso. En cualquier caso, las direcciones de los ejes
X y Y deben ser especificados cuando se implementa el sistema de coordenadas.
Cuando se dibujan vectores en un sistema de coordenadas, se puede considerar que ellos consisten de dos componentes o
partes que actúan en un ángulo recto (90⁰) uno a otro.
Los componentes del desplazamiento del vector de 5 m se muestran en la figura de abajo. El vector original (5 m a 40⁰) es
llamado el vector resultante. Los dos componentes son llamados: componente horizontal y componente vertical.
RESOLVIENDO UN VECTOR EN SUS COMPONENTES:
Una herramienta importante en biomecánica es el ser capaz de calcular la magnitud de los dos componentes de un vector,
es decir, la resolución de un vector
Un vector resultante y sus dos componentes actuando en un ángulo recto crean un triángulo recto. Dado que se crea un
triángulo recto, se pueden usar las funciones trigonométricas para resolver el vector en sus componentes.
En la figura de abajo se muestra el vector resultante de un desplazamiento de 5 m a un ángulo de 40⁰ y sus dos
componentes como un triángulo recto. El vector resultante, por tanto, será la hipotenusa, el componente horizontal es el
lado adyacente y el componente vertical es el lado opuesto.
Para resolver los componentes de este triángulo recto, iniciamos por averiguar el componente horizontal (lado adyacente).
Para esto, ordenamos las variables conocidas y desconocidas:
Θ = 40⁰
Hipotenusa = Vector resultante = 5 m
Lado adyacente = Componente horizontal = ?
Elija la función que le sirve: SOH, CAH, TOA (Evidentemente sirve CAH, porque conozco el ángulo Θ, la hipotenusa y
desconozco el lado adyacente)
Así, el lado adyacente o componente horizontal es de 3.8 m
Ahora se debe calcular el componente vertical o lado opuesto, para esto, ordenamos las variables conocidas y
desconocidas:
Θ = 40⁰
Hipotenusa o vector resultante = 5 m
Lado opuesto o componente vertical = ?
Se elije la función que sirve: SOH, CAH, TOA (Evidentemente sirve SOH, porque conozco el ángulo Θ, conozco la hipotenusa
y desconozco el lado opuesto)
Así, el lado opuesto o componente vertical es de 3.2 m
Así se resuelven los componentes de cualquier triángulo recto. Los pasos claves son la visualización del vector resultante
como la hipotenusa de un triángulo recto y etiquetar correctamente el lado opuesto y el lado adyacente con referencia al
ángulo Θ
COMPONIENDO UN VECTOR DESDE SUS COMPONENTES:
Otra herramienta importante en biomecánica es calcular la magnitud y dirección de un vector resultante conociendo la
magnitud de los dos componentes. A esto se le denomina composición de un vector
Dado que los dos componentes de un vector siempre actúan a 90⁰ uno del otro, el vector resultante y los dos componentes,
pueden ser considerados como un triángulo recto.
En la figura de abajo, se muestran dos componentes:
En la siguiente figura, se trazan líneas paralelas e iguales en longitud a las fuerzas horizontal y vertical para crear un
rectángulo.
Posteriormente, en la siguiente figura se traza una línea diagonal cruzando el rectángulo para crear dos triángulos rectos
iguales.
Seguidamente, en la figura de abajo, se aísla uno de los triángulos y se etiquetan los lados.
La diagonal del rectángulo es la hipotenusa, es decir, la fuerza resultante de los dos componentes. El ángulo de la
resultante, es etiquetada con Θ y los dos componentes son etiquetados como opuesto y adyacente con relación a Θ.
Dado que se crea un triángulo recto, el teorema de Pitágoras y la función trigonométrica arctangente, son usados para
calcular la magnitud y dirección del vector resultante.
Para calcular la magnitud de la fuerza resultante (la hipotenusa), se usa el teorema de Pitágoras. Primeramente se listan las
variables conocidas y las desconocidas:
Hipotenusa = ?
Lado opuesto = 100 N
Lado adyacente = 20 N
Seleccione la ecuación, aísle el valor desconocido y sustituya los valores conocidos:
La magnitud de la fuerza resultante es de 102 N, es decir, el valor de la hipotenusa.
Posteriormente, se debe calcular el ángulo Θ, para poder resolver la dirección del vector resultante, usando la función
arctangente.
Primero se listan las variables conocidas y desconocidas:
Θ=?
Lado adyacente = Componente horizontal = 20 N
Lado opuesto = Componente vertical = 100 N
Se debe entonces seleccionar la función arctangente y resolver:
La dirección del vector resultante es entonces de 78.7⁰ sobre la horizontal; es decir, la fuerza resultante es de 102 N con una
dirección a un ángulo de 78.7⁰