Guia3 - Pontificia Universidad Católica de Chile

Pontificia Universidad Católica de Chile - Facultad de Fı́sica
QM I - FIZ0322
Guı́a 3 de Ejercicios
Profesor: Max Bañados
Ayudante : Nicolás Pérez (nrperez@uc.cl)
Facultad de Fı́sica UC
Notación de Dirac
1. Formalismo de Dirac con un problema de dos estados. Consideren dos autoestados normalizados
b correpondientes a diferentes autovalores E1 y E2 (uno puede elegir
|ψ1 i y |ψ2 i de un hamiltoniano H
E1 − E2 = ~ω).
(a) Muestre que |ψ1 i y |ψ2 i son ortogonales.
√
(b) Considere el estado |ψ2 i = {|ψ1 i − |ψ2 i}/ 2, calcule el valor de expectación hEi de la energı́a y la
dispersión ∆E en este estado.
(c) Asuma que en t = 0 el sistema está en el estado |ψ(t = 0)i = |ψ− i. ¿Cuál es el estado del sistema
|ψ(t)i en un tiempo t?
b definido como A|ψ
b 1 i = |ψ2 i, y A|ψ
b 2 i = |ψ1 i. ¿Cuáles son los autovalores
(d) Considere un observable A
b en el subespacio generado por |ψ1 i y |ψ2 i?
a de A
b
(e) Construya las combinaciones correspondientes de |ψ1 i y ψ2 , que son autovectores de A.
(f) Asuma que en t = 0 el sistema está en el estado |ψ− i correspondiente al autovalor a = −1. ¿Cuál es
la probabilidad de encontrar a = −1 en una medición de A un tiempo t más tarde?
2. Pruebe que para un operador hermı́tico A,
Z
∞
dxφ∗ (x)Aψ(x) =
−∞
Z
∞
dx(Aφ(x))∗ ψ(x)
−∞
Hint: Utilice Φ = φ + λψ en la siguiente ecuación y use el hecho que λ es un número arbitrario complejo.
Z
∞
dxψ ∗ (x)Aψ(x) =
−∞
hZ
∞
i∗ Z
dxψ ∗ (x)Aψ(x) =
−∞
∞
−∞
3. Pruebe que si H es un operador hermı́tico, entonces:
e
iH
∞
X
(iH)n
=
n!
n=0
es hermı́tico conjugado de e−iH .
1
dx(Aψ(x))∗ ψ(x)
4. Considerando que |pi es una base, sabemos que existen coeficientes C(p, p0 ) tal que:
Z
dpdp0 C(p, p0 )|pihp|
x̂ =
Demuestre que:
(a) Los coeficientes pueden ser escritos como:
C(p, p0 ) = −i~
∂
δ(p0 − p)
∂p0
(b) El operador x̂ puede ser escrito como:
Z
x̂ = i~
dp|pi
∂
hp|
∂p
5. Demuestre la siguiente igualdad:
hp0 |x̂|p00 i = −i~
∂
δ(p00 − p0 )
∂p00
6. Demuestre lo siguiente
eiap̂/~ x̂e−iap̂/~ = x̂ + aI
donde I es la identidad.
7. |ϕn i son los autoestados de un operador hermı́tico H (H es, por ejemplo, el hamiltoniano de un sistema
fı́sico arbitrario). Asuma que los estados |ϕn i forman una base ortonormal discreta. El operador U (m, n) =
|ϕm ihϕn |
(a) Calcule el adjunto U † (m, n) de U (m, n)
(b) Calcule el conmutador [H, U (m, n)]
(c) Pruebe la relación:
U (m, n)U † (p, q) = δnq U (m, p)
(d) Calcule T r{U (m, n)}, la traza del operador U (m, n)
(e) Sea A un operador, con elementos de matriz Amn = hϕm |A|ϕn i. Pruebe la relación:
X
A=
Amn U (m, n)
m,n
(f) Muestre que Apq = T r{AU † (p, q)}
8. El espacio de estados un cierto sistema fı́sico es 3 dimensional. Sea {|u1 i, |u2 i, |u3 i} una base ortonormal
de este espacio. Los kets |ψ0 i y ψ1 están definidos por:
|ψ0 i =
|ψ1 i =
1
√ |u1 i +
2
1
√ |u1 i +
3
2
i
1
|u2 i + |u3 i
2
2
i
√ |u3 i
3
(a) ¿Están normalizados estos kets?
(b) Calcule las matrices ρ0 y ρ1 representando en la base {|u1 i, |u2 i, |u3 i}, los operadores de proyección
en el estado |ψ0 i y en el estado |ψ1 i. Verifique que estas matrices sean hermı́ticas.
9. Sea K el operador definido por: K = |ϕihψ|, donde |ϕi y |ψi son dos vectores del espacio de estado.
(a) ¿Bajo qué condiciones K es hermı́tico?
(b) Calcule K 2 . ¿Bajo qué condición es K un proyector?
(c) Muestre que K siempre puede ser escrito en la forma K = λP1 P2 donde λ es una constante a ser
calculada y P1 y P2 son proyectores.
10. Considere el Hamiltoniano H de una partı́cula en un problema unidimensional definido por:
H=
1 2
P + V (X)
2m
donde X y P son los operadores definidos tipicamente y que satisfacen la relación [X, P ] = i~. Los
autovectores de H son denotados por |ϕn i: H|ϕn i = En |ϕn i, donde n es un ı́ndice discreto.
(a) Muestre que:
hϕn |P |ϕn0 i = αhϕn |X|ϕn0 i
donde α es un coeficiente que depende de la diferencia entre En y En0 . Calcule α. (Hint: Considere
el conmutador [X, H]),
(b) Estos, deduzca, usando la relación de clausura, la ecuación:
X
(En − En0 )2 |hϕn |X|ϕn0 i|2 =
n0
~2
hϕn |P 2 |ϕn i
m2
11. Sea H el operador Hamiltoniano de un sistema fı́sico. Denotemos por |ϕi los autovectores de H, con
autovalores En :
H|ϕn i = En |ϕn i
(a) Para un operador arbitrario A, pruebe la relación:
hϕn |[A, H]|ϕn i = 0
(b) Considere un problema unidimensional, donde el sistema fı́sico es una partı́cula de masa m y una
energı́a potencial V (X). En este caso, H es escrito:
1 2
P + V (X)
2m
• En términos de P, X y V (X), encuentre los conmutadores: [H, P ], [H, X] y [H, XP ].
• Muestre que el elemento de matriz hϕn |P |ϕn i (el que interpretaremos como el valor medio del
momentum en el estado |ϕn i) es cero.
H=
3
2
P
• Establezca una relación entre Ek = hϕn | 2m
|ϕn i (el valor medio de la energı́a cinética en el
dV
estado |ϕn i) y hϕn |X dX |ϕn i. Dado que el valor medio de la energı́a potencial en el estado |ϕn i
es hϕn |V (X)|ϕn i, como se relaciona al valor medio de la energı́a cinética cuando:
V (X) = V0 X λ
(λ = 2, 4, 6, ...; V0 > 0?)
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