Realizaciones Tema 4: Solución del Espacio de Estado y Realizaciones Parte III Virginia Mazzone Contenidos Realizaciones Virginia Mazzone: Tema 4: Solución del Espacio de Estado y Realizaciones Parte III Realizaciones Realizaciones Como vimos, todo sistema lineal estacionario (invariante en el tiempo) puede describirse por una representación entrada-salida con matriz transferencia ŷ (s) = Ĝ(s)û(s), y si el sistema es de dimensión finita, también por una representación en interna en EE ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) y (t) = Cx(t) + Du(t). Cuando tenemos las EE, {A, B, C, D}, la matriz transferencia puede calcularse en forma única como Ĝ(s) = C(sI − A)−1 B + D. Virginia Mazzone: Tema 4: Solución del Espacio de Estado y Realizaciones Parte III Realizaciones El problema inverso, de obtener las EE {A, B, C, D} de Ĝ(s), se llama problema de realización. Diremos que una matriz transferencia Ĝ(s) es realizable si existe una EE con {A, B, C, D} tales que Ĝ(s) = C(sI − A)−1 B + D, y el cuádruplo {A, B, C, D} se dice una realización de Ĝ(s). Como sabemos, si existe una realización, existen infinitas, no necesariamente de la misma dimensión. I Una función transferencia racional es propia si el grado del polinomio numerador no supera al grado del polinomio denominador, estrictamente propia si el grado del numerador es menor que el del denominador. I Una matriz transferencia es (estrictamente) propia si todos sus elementos son funciones racionales (estrictamente) propias. Virginia Mazzone: Tema 4: Solución del Espacio de Estado y Realizaciones Parte III Realizaciones Teorema (Realizabilidad) Una matriz transferencia Ĝ(s) es realizable ⇔ Ĝ(s) es una matriz racional y propia. Demostración: (⇒) Si Ĝ(s) es realizable, entonces existen matrices {A, B, C, D} tales que Ĝ(s) = C(sI − A)−1 B + D 1 = C adj(sI − A)B + D det(sI − A) Si A es n × n, det(sI − A) es un polinomio de orden n. Como cada elemento de adj(sI − A) es el determinante de una submatriz (n − 1) × (n − 1), C adj(sI − A)B es una matriz de polinomios de a lo sumo grado n − 1. Así C(sI − A)−1 B es racional y estrictamente propia, y si D 6= 0, Ĝ(s) racional y propia. Virginia Mazzone: Tema 4: Solución del Espacio de Estado y Realizaciones Parte III Realizaciones (⇐) Si que Ĝ(s) es una matriz racional propia q × p descomponemos Ĝ(s) = Ĝ(∞) + Ĝep (s), donde Ĝep (s) es la parte estrictamente propia de Ĝ(s). Definimos d(s) = s r + αr −1 s r −1 + · · · + α1 s + α0 como el polinomio mónico mínimo común denominador de los elementos de Ĝep (s). Entonces podemos expresar Ĝep (s) = 1 Nr −1 s r −1 + Nr −2 s r −2 + · · · + N1 s + N0 , d(s) donde las Ni son matrices constantes q × p. Entonces no es difícil probar que el conjunto de EE en forma canónica del controlador Virginia Mazzone: Tema 4: Solución del Espacio de Estado y Realizaciones Parte III Realizaciones 0 0 .. . Ip 0 .. . 0 Ip .. . 0 0 . x(t) + .. u(t) 0 ... Ip Ip . . . −αr −1 Ip ... ... .. . 0 0 .. . ẋ(t) = 0 0 0 −α0 Ip −α1 Ip −α2 Ip y = N0 N1 N2 . . . Nr −1 x(t) + Ĝ(∞)u(t) es una realización de Ĝ(s), finalizando la demostración. Ejemplo: Consideremos la matriz transferencia " # " 4s−10 3 −12 2 0 2s+1 s+2 2s+1 Ĝ(s) = + = 1 s+1 1 0 0 (2s+1)(s+2) (s+2)2 | {z } | (2s+1)(s+2) {z Ĝ(∞) Virginia Mazzone: Tema 4: Solución del Espacio de Estado y Realizaciones Parte III Ĝep (s) 3 s+2 s+1 (s+2)2 # } Realizaciones 0 0 .. . Ip 0 .. . 0 Ip .. . 0 0 . x(t) + .. u(t) 0 ... Ip Ip . . . −αr −1 Ip ... ... .. . 0 0 .. . ẋ(t) = 0 0 0 −α0 Ip −α1 Ip −α2 Ip y = N0 N1 N2 . . . Nr −1 x(t) + Ĝ(∞)u(t) es una realización de Ĝ(s), finalizando la demostración. Ejemplo: Consideremos la matriz transferencia " # " 4s−10 3 −12 2 0 2s+1 s+2 2s+1 Ĝ(s) = = + 1 s+1 1 0 0 (2s+1)(s+2) (s+2)2 | {z } | (2s+1)(s+2) {z Ĝ(∞) Virginia Mazzone: Tema 4: Solución del Espacio de Estado y Realizaciones Parte III Ĝep (s) 3 s+2 s+1 (s+2)2 # } Realizaciones 0 0 .. . Ip 0 .. . 0 Ip .. . 0 0 . x(t) + .. u(t) 0 ... Ip Ip . . . −αr −1 Ip ... ... .. . 0 0 .. . ẋ(t) = 0 0 0 −α0 Ip −α1 Ip −α2 Ip y = N0 N1 N2 . . . Nr −1 x(t) + Ĝ(∞)u(t) es una realización de Ĝ(s), finalizando la demostración. Ejemplo: Consideremos la matriz transferencia " # " 4s−10 3 −12 2 0 2s+1 s+2 2s+1 Ĝ(s) = = + 1 s+1 1 0 0 (2s+1)(s+2) (s+2)2 | {z } | (2s+1)(s+2) {z Ĝ(∞) Virginia Mazzone: Tema 4: Solución del Espacio de Estado y Realizaciones Parte III Ĝep (s) 3 s+2 s+1 (s+2)2 # } Realizaciones El polinomio mónico común denominador de Ĝep (s) es d(s) = (s + 0,5)(s + 2)2 = s 3 + 4,5s 2 + 6s + 2. Así podemos escribir 1 −6(s + 2)2 3(s + 2)(s + 0,5) Ĝep (s) = 3 s + 4,5s 2 + 6s + 2 0,5(s + 2) (s + 1)(s + 0,5) 1 −6 3 2 −24 7,5 −24 3 = s + s+ 0 1 0,5 1,5 1 0,5 d(s) y entonces una realización de la matriz de trasnferencia es Virginia Mazzone: Tema 4: Solución del Espacio de Estado y Realizaciones Parte III Realizaciones 0 0 · · · 0 x˙= 0 · · · −2 0 −24 y= 1 0 .. . .. . 1 0 .. . .. . 0 0 0 0 0 0 0 ··· · · · · · · 0 0 u x + 0 0 0 1 · · · · · · ··· 1 0 0 0 1 0 0 1 0 ··· ··· ··· ··· ··· ··· .. .. 0 . 0 0 . 1 .. .. 0 . 0 0 . 0 ··· ··· ··· ··· ··· ··· .. .. 0 . −6 0 . −4,5 .. . −2 . 0 −6 .. 0 −4,5 . . 3 .. −24 7,5 .. −6 3 2 0 x+ u . . 0 0 0,5 .. 0,5 1,5 .. 0 1 Virginia Mazzone: Tema 4: Solución del Espacio de Estado y Realizaciones Parte III Realizaciones Analicemos el caso particular de un sistema de una entrada (SIMO). Por simplicidad supongamos que r = 4 y q = 2, pero los resultado se aplican para cualquier r y q. Consideremos la matriz racional y propia de 2 × 1 1 d1 β31 s 3 + β21 s 2 + β11 s + β01 Ĝ(s) = + d2 s 4 + α3 s 3 + α2 s 2 + α1 s + α0 β32 s 3 + β22 s 2 + β12 s + β02 Luego una realización será 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 x + u ẋ = 0 0 0 0 1 −α0 −α1 −α2 −α3 1 β β11 β21 β31 d y = 01 x+ 1 u β02 β12 β22 β32 d2 Virginia Mazzone: Tema 4: Solución del Espacio de Estado y Realizaciones Parte III Realizaciones Existen varias formas de obtener una realización de una matriz transferenica propia. Consideremos Ĝci (s) la columna i -ésima de Ĝ(s) y sea ui la i -ésima componente de la entrada u. Luego ŷ(s) = Ĝ(s)u(s) puede ser expresado por u1 ŷ(s) = Ĝc1 (s)û1 (s) + Ĝc2 (s)û2 (s) + · · · u2 := ŷc1 + ŷc2 + · · · Ĝc1 (s) Ĝc2 (s) y(s) . . . De esta forma, podemos obtener una realización de cada columna de Ĝ(s) y luego combinándolas podemos obtener una realización de Ĝ(s) Virginia Mazzone: Tema 4: Solución del Espacio de Estado y Realizaciones Parte III Realizaciones Si Ai , Bi , Ci , Di es una realización de la columna Ĝci (s), para i = 1, 2, · · · entonces una realización de la superposición es A1 0 · · · B1 0 · · · u1 0 A2 · · · 0 B2 · · · u2 ẋ = x + .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . u1 y = C1 C2 · · · x + D1 D2 · · · u2 .. . De la misma forma puede resolverse considerando las filas de Ĝ(s) Virginia Mazzone: Tema 4: Solución del Espacio de Estado y Realizaciones Parte III Realizaciones Si Ai , Bi , Ci , Di es una realización de la columna Ĝci (s), para i = 1, 2, · · · entonces una realización de la superposición es A1 0 · · · B1 0 · · · u1 0 A2 · · · 0 B2 · · · u2 ẋ = x + .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . u1 y = C1 C2 · · · x + D1 D2 · · · u2 .. . De la misma forma puede resolverse considerando las filas de Ĝ(s) Virginia Mazzone: Tema 4: Solución del Espacio de Estado y Realizaciones Parte III Realizaciones Ejemplo: Consideremos nuevamente la matriz transferencia del ejemplo anterior, analizando ahora por columna # " 4s−10 1 2 −6 −12 2s+1 = + 2 5 s+ Ĝc1 (s) = 1 0 0 0,5 s + 2s + 1 (2s+1)(s+2) " # 3 1 3 6 s+2 s+ Ĝc2 (s) = s+1 = 2 1 1 s + 4s + 4 (s+2)2 De donde obtenemos las siguientes realizaciones 0 1 0 0 1 0 ẋ1 = u1 ẋ2 = x2 + u 5 x1 + 1 −4 −4 1 2 −1 − 2 −12 −6 2 6 3 yc1 = x1 + u yc2 = x 1 0 1 1 1 2 0 2 Virginia Mazzone: Tema 4: Solución del Espacio de Estado y Realizaciones Parte III Realizaciones Finalemte superponemos las realizaciones de las columnas de Ĝ(s) para obtener una realización completa .. .. 1 . 0 0 . 0 0 0 . . .. −1 − 52 .. 1 0 0 0 u1 ẋ1 x1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · = u2 x2 + ẋ2 .. .. 0 0 . 0 0 . 0 1 .. .. 0 . 1 0 0 . −4 −4 . . −12 −6 .. 6 3 x1 2 .. 0 u1 y= + . .. x2 u2 1 0 . 1 1 0 .. 0 2 que es equivalente a estado cero con la realización obtenida antriormente Virginia Mazzone: Tema 4: Solución del Espacio de Estado y Realizaciones Parte III