Actividad 3, pág. 1 de 1 Transformada de Mellin y de Fourier Objetivos: Kernel de Mellin Que el alumno utilice software matemático para obtener transformadas integrales directas e inversas. f : IR → IR es Mellin transformable si R∞ tk−1 |f (t)|dt converge para algún k 0 Reportes entregables: real y la integral M {f (t)} = Z∞ Fecha de entrega: Domingo 06 de septiembre de 2015. ts−1 f (t)dt 1. Apoyándose en el software, calcule la transformada Mellin M {u(t − a)tb } para la funciones 0 es la transformada Mellin de f (t), en donde s es un número complejo. Además, la transformada Mellin inversa se obtiene resolviendo la integral σ+i∞ Z 2. Apoyándose en el software, calcule F (ω) = F {f (t)} o f (t) = F −1 {F (s)}, según se solicite, obteniendo en todos los casos el gráfico del dominio de frecuencia y del dominio espacial. t−s M {f (t)}ds f (t) = a) f (t) = e−at (1 − e−t )−1 , Re(a) > 0. b) (et − 1)2 c) f (t) = e−pt , p > 0 2 d) f (t) = e−t e) f (t) = (1 + t)−a , a > 0 σ−i∞ 2 a) f (t) = e−at , a > 0. b) f (t) = Kernel de Fourier Finalmente, la transformada de Fourier F {f (t)} es el mapeo dado por la integral F {f (t)} = Z∞ Z∞ e−iωt f (t)dt F −1 {F (ω)} = 1 2π eiωt F (ω)dω 1− |x| a u 1− |x| a , en donde u(·) es función escalón unitario. c) f (t) = u (a − |x|) d) f (t) = e−a|x| , a > 0. e) f (t) = e−at u(t) − eat u(−t), a > 0 f) F (ω) = 21 [δ(4 + ω) − δ(4 − ω)] 3 + iω 15 h) F (ω) = δ(ω − 10) i) F (ω) = g) F (ω) = 25 + (3 + iω)2 5 + ω2 1 j) F (ω) = (2 + iω)2 ∞ −∞ y es un isomorfismo entre el espacio original y el dominio de la imagen si R∞ |f (t)|dt es convergente, en cuyo caso se dice que la función original f (t) es −∞ Fourier transformable si F {f (t)} existe. Usando la fórmula de Euler (eiθ = cos(θ) + i sin(θ)), la transformada de Fourier de una hoja (IR+ ) satisface F {f (t)} = R∞ 0 e−iωt f (t)dt = R∞ f (t) cos(ωt)dt − i 0 = Fc {f (t)} − iFs {f (t)} R∞ f (t) sin(ωt)dt 0 Transf. Coseno - Transf. Seno I7021 – Seminario de Solución de Problemas de Métodos Matemáticos III Software libre en análisis aplicado Ing. en Comunicaciones y Electrónica / Ing. en Computación / Ing. Biomédica Rubén Sánchez G., Depto. de Fı́sica Depto. de Electrónica, DIVEC, CUCEI, UdeG. Laura E. Cortés N., Depto. de Matemáticas