técnico Un enfoque estratégico de cómo usar la información para dar significado, crear conocimiento y tomar decisiones. Control optimizante para regulación del consumo floculante en espesadores de relaves Por: Reynaldo Mayorca Castillo y Giancarlo Sotelo Cabrera ABB SA., División Process Automation Perú. E n el presente trabajo se desarrolla una estrategia de control optimal para la regulación de la densidad de descarga y turbidez del agua clarificada en una espesador de relave a través de la dosificación eficiente de floculante. La estructura de control presentada toma en cuenta los criterios de desempeño que es una medida de la calidad del comportamiento o evolución de las variables. Uno de los criterios de desempeño utilizado es el de tiempo mínimo, es decir, se busca la acción de control que produzca la trayectoria tal que el tiempo en alcanzar la referencia de densidad y turbidez sea el mínimo posible conllevando a un menor consumo de floculante. Asimismo se atribuye una penalidad a las transiciones de estado que se alejan demasiado de los valores de referencia o setpoint, con lo cual se trata de satisfacer un error aceptable en alcanzar las referencias. Para el desarrollo de la estrategia de control se han obtenido modelos del sistema basado en la respuesta transitoria a los cambios de flujo de floculante. Los modelos han sido tratados para determinar las ganancias del controlador óptimo y se realizan simulaciones para verificar su funcionalidad e implementación. La optimización y control de sistemas de espesamiento continuo sigue siendo un problema vigente ya que la recuperación de agua en plantas de procesamiento mineras, el costo de los reactivos floculantes y de los insumos son problemas actuales que se agudizarán en el futuro. Es bien conocido el efecto de los floculantes en la velocidad de sedimentación del sólido a diversas concentraciones de sólido y cantidades de floculante. La experiencia ha demostrado que hay numerosos espesadores en muchas empresas mineras nacionales que no operan en forma eficiente y que requieren, para mejorar su eficiencia, de un estudio de optimización. Este trabajo requiere el estudio de los parámetros de espesamiento de la pulpa, de la cuantificación de reactivos floculantes y su adición, de la forma de alimentación y dispersión del floculante, de la autodilución, de la forma de la descarga, de la reología del sedimento y del funcionamiento de las rastras, así como de la medición de variables como concentración de descarga, de presión del fondo, de nivel del sedimento y de turbidez de agua. Las estrategias de control tradicionales se basan en considerar la mayor cantidad de variables que sea posible: densidad de la pulpa de descarga, densidad y flujo másico de la pulpa que ingresa, nivel de sedimento, torque de la rastra, presión en las paredes, turbidez del agua clarificada, etc. Se configuran y se prueban controladores basados en las estrategias de lazo cerrado PID y sus variantes, lógica difusa y funciones de per tenencia, etc. El presente trabajo presenta una estrategia basada en un controlador optimal. la cual se obtiene mediante el uso de modelos de respuesta dinámica dentro de los parámetros de operación normal de un espesador de prueba. La estrategia LQR (Linear Quadratic Regulator) El controlador LQR es un control por realimentación del vector de estado de forma: 84 85 técnico técnico Donde K es el controlador, que se obtiene resolviendo un problema de optimización, concretamente minimizando el siguiente funcional de coste: Donde la matriz Q penaliza el estado y R, la que pondera el esfuerzo de control. La solución para el caso de horizonte infinito puede calcularse a partir de la resolución de la ecuación de Ricatti. LQR se utiliza para calcular la realimentación de estados llevando el sistema al punto de equilibrio. LQI (Linear-Quadratic-Integral) LQI calcula la matriz ganancia óptima dado un modelo espacio estado y dado las matrices de peso Q, R y N. Al emplear LQI, se realiza un control óptimo basado en realimentación de estados a fin de llevar el sistema a una referencia establecida Gráfico N0 1: Diagrama de Bloques de la estructura de realimentación con LQI x + r e - -k Integrador u SYS y Xi La ley de control establecida para este lazo de control es de la forma: mineros. El tiempo necesario para que la suspensión sedimente en su totalidad o en su defecto en un alto porcentaje, es un factor determinante a fin de extraer del relave, un alto porcentaje de agua en el menor tiempo posible. En síntesis, la cantidad de agua recuperada de relave representa la cantidad de agua que podrá ser reutilizada en procesos posteriores. El proceso de sedimentación puede realizarse de forma natural (sedimentación natural); sin embargo, requiere un tiempo considerable para sedimentar y, debido a ello, es necesario el uso de químicos a fin de acelerar la reacción en la suspensión. La dosificación de floculante al interior del espesador tiene la finalidad de acelerar la reacción de sedimentación al interior del espesador; sin embargo, el uso del mismo, representa un alto costo que no genera ganancias al sector minero; por lo tanto, es necesario optimizar la dosificación del floculante en base a un modelo de control óptimo, con la finalidad de obtener un alto porcentaje de agua recuperada en el menor tiempo posible y un menor costo de dosificación de floculante. En este punto es necesario especificar las variables que afectan la dinámica del sistema a fin de optimizar la cantidad de floculante a utilizar. En el Gráfico N°2 se muestra una vista general del proceso operativo de espesamiento de relave. La operación de espesamiento consiste en alimentar relave al espesador, midiendo densidad y flujo para calcular el flujomasa y tonelaje de relave sólido. Las variables de salida son la densidad de descarga en el underflow y la turbidez del agua recuperada; otras variables importantes son el torque de la rastra y el bedmass. (ver gráfico 2) PUBLICIDAD Gráfico N0 2: Variables de proceso en la operación de espesamiento de relaves. Donde: K es un vector que contiene la ganancia óptima y un integrador para cada estado. Este control asegura que la salida realice un proceso de seguimiento a la señal de referencia “r”. La señal de control “u” minimiza la función de coste: Las matrices de peso S, N y R pueden seleccionarse para penalizar ciertos estados/entradas más que otros. Como veremos, las matrices S y N deben ser semi-definidas positivas, y la R definida positiva. Modelo de la dinámica de espesamiento Hoy en día la dinámica de sedimentación al interior de un espesador es de vital importancia para procesos 86 87 técnico técnico Desarrollo de los modelos DensidadTurbidez-Floculante. Las consideraciones para la obtención del modelo se basan en la continuidad de la operación del espesador y son: • El proceso de espesamiento es continuo y la estrategia de control óptima se desenvuelve a partir de condiciones operativas normales. • Se cumple la fenomenología del proceso y las condiciones de mezcla entre el floculante y la alimentación son perturbaciones que no están incluidas en el modelo. • Para la densidad, el modelo es del tipo entrada-salida por lo se considera la densidad de descarga del espesador y no el perfil de densidades. • Para la turbidez, el modelo también es de entradasalida por lo que se considera la turbidez en el punto de acopio de agua clarificada. La dinámica descrita por cada variable en específico representa una respuesta al escalón, donde la amplitud de inicio y la amplitud final del escalón, cuantifican la variación de dosificación de flujo de floculante (m3/hr) a fin de llevar los estados a un punto de referencia deseado. Considérese el siguiente modelo de primer orden descrito por Eq. 3. Gráfico N0 5: Modelo Integral de una solución BI + – 1500 Set Point Densidad Modelo discreto del sistema K Ts z-1 X + + Inregrador discreto Calculando los parámetros K, L, T de la Eq. 3. para las variables densidad y turbidez respectivamente, se obtiene: scope -C- • Modelo Densidad de descarga-Floculante: -dki -C- underflow density 1580 1560 1540 1520 0 100 200 300 400 500 600 700 dosage flocculant 8 7 6 4 0 100 200 300 400 500 600 700 Gráfico N0 4: Respuesta transitoria en lazo abierto de la turbidez del agua clarificada al cambio de flujo de floculante, turbidez (%), dosificación de floculante (l/min) turbidity 40 10 dosage flocculant 88 • Modelo Turbidez-Floculante: Estrategia de control La estrategia de control a utilizar comienza con el cálculo de ganancias óptimas con la finalidad de obtener la trayectoria óptima de la señal de control a fin de minimizar la dosificación de floculante. R: matriz que penaliza la señal de control. X1: Densidad de relave (g/l). X2: Turbidez de agua clarificada (%). K: Ganancia de realimentación de estado óptima. Ki: Integrador. Tabla Nº 1 R([X1,X2]) 0 100 200 300 400 500 600 700 [5000;120000] X1 X2 7 R([X1,X2]) [2000;90000] 6 0 100 200 300 400 500 600 700 X La estrategia de control óptima se aplicará al sistema discretizado, por lo cual es necesario discretizar el sistema antes de aplicar la estrategia de control. La discretización del sistema se realizará por intermedio de la herramienta de programación MATLAB. X1 X2 8 4 Turbidez Modelo discreto del sistema R([X1,X2]) 20 X Ganancia de realimentación óptima del sistema Densidad [5000;90000] 30 2.2 -dk Los modelos a desarrollar tienen la dinámica mostrada en los Gráficos N°3 y N°4. Gráfico N0 3: Respuesta transitoria en lazo abierto de la densidad de descarga al cambio de flujo de floculante, densidad (g/l), dosificación de floculante (l/min) y(n) = Cx(n) + Du(n) x(n+1) = Ax(n)+Bu(n) X1 X2 K Ki 1.9679 1.9832 -0.0283 -0.0067 K Ki 1.9679 1.9831 -0.0283 -0.0058 K Ki 1.9753 1.9832 -0.0447 -0.0067 88 -C- + + y(n) = Cx(n) + Du(n) x(n+1) = Ax(n)+Bu(n) -tki -C- 21.46 X -tk Ganancia de realimentación óptima del sistema Turbidez Al obtener los valores de K y Ki se simula el sistema empleando el modelo SIMULINK del Gráfico N°5. Resultados Cada grupo de valores de K y Ki se simula para obtener un resultado del valor de los estados dando la referencia a uno de ellos. • Con R[X1,X2] :[5000;90000] el error de X1 (densidad de relave) se minimiza hasta llegar al valor de referencia, el estado X2 (turbidez) alcanzar valores no aceptables (ver Gráfico N°6). • El consumo totalizado de floculante en esta simulación es aproximadamente 44 l durante el transitorio, luego el consumo es constante. • Con R[X1,X2] :[5000;120000] el error de X1 (densidad de relave) se minimiza hasta llegar al valor de referencia, el estado X2 (turbidez) alcanzar valores aceptables (ver Gráfico N°7). • El consumo totalizado de floculante en esta simulación es aproximadamente 134 l durante el transitorio, luego el consumo es constante. • Con R[X1,X2] :[2000;90000] el error de X1 (densidad de relave) se minimiza hasta llegar al valor de referencia, el estado X2 (turbidez) alcanzar valores no aceptables (ver Gráfico N°8). Gráfico N°6 Curva de simulación de la respuesta de X1: Densidad (gráfica superior) y X2: Turbidez (Gráfica inferior), considerando R[X1,X2] :[5000;90000]. 1500 1450 1400 40 35 30 25 0 100 200 300 400 89 técnico Gráfico N°7 Curva de simulación de la respuesta de X1: Densidad (gráfica superior) y X2: Turbidez (Gráfica inferior), considerando R[X1,X2] :[5000;120000]. 1500 1450 1400 1350 1300 40 35 30 25 20 0 100 200 300 400 Gráfico N°8 Curva de simulación de la respuesta de X1: Densidad (gráfica superior) y X2: Turbidez (Gráfica inferior), considerando R[X1,X2] : 2000;90000]. 1500 1400 1300 1200 250 200 150 100 50 0 100 200 300 400 0 100 200 300 400 1500 1400 1300 1200 250 200 150 100 50 90 Conclusiones • La construcción del modelo de control optimal basado en el empleo de una función costo, permite analizar el compor tamiento del sistema de espesamiento de relaves en función a la prioridad del proceso; es decir, si la prioridad fuera el control de la turbidez se penalizaría mÁs el error entre la referencia de turbidez y su estado. • Las conclusiones se basan en el cambio de la matriz de pesos R, se obtienen diferentes comportamientos cuando se regulaN las matrices Q y N, encontrando diferentes esquemas de penalización de la señal de control. • La función costo permite al sistema equilibrar los objetivos, dado que asigna pesos relativos a cada una de las variables del sistema. • El empleo de la estrategia de control optimal presenta una clara ventaja respecto a estrategias de control basadas en acciones derivativas e integrativas, ya que no tienen la posibilidad de asignar un costo o penalidad a los errores o a la señal de control. • En el proceso de espesamiento de relaves donde no se requiere un ajuste exacto en los parámetros de proceso (densidad y turbidez), el control optimal resulta ser una alternativa con la que se puede equilibrar estas dos variables, racionalizando el consumo de floculante para mantener ambas en niveles aceptables. • El consumo de floculante depende de cómo se calculen las ganancias óptimas, y esto depende de los valores de las matrices de peso y de penalidades. Referencias 1. M. C. BUSTOS, F. PAIVA, AND W. WENDLAND, Control of continuous sedimentation as an initial and boundary value problem. 2. Bürger, R., Concha, F., 1998. Mathematical model and numerical simulation of the settling of flocculated. suspensions. Int. J. Multiph. Flow 24, 1005–1023.’ 3. Bürger, R., Ariel Narváez, 2007. Steadystate, control, and capacity calculations for flocculated suspensions in clarifier–thickeners. 4. Daniel Lovera, Amelia Coronado, Pedro López, 2005. Modelling and simulation of metallurgical processes: flotation, filtration, leaching and thickening. 5. P. Garrido, R. Burgos, F. Concha, R. Burger, 2002. Software for the design and simulation of gravity thickeners. Institute of Applied Analysis and Numerical. Simulation, University of Stuttgart, Pfaffenwaldring 57, D-70569 Stuttgart, Germany.