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CONSTRUYAMOS LA ESCALA MUSICAL
CONSTRUYAMOS LA ESCALA MUSICAL
RESUMEN:
Formaci ón de la escala musical desde el punto de vista de la Teor ía Física de la
Música.
Lo primero que necesitamos tener en cuenta es que el o ído humano lo que aprecia no son
diferencias “absolutas”, sino ”cocientes” entre las frecuencias (o longitudes de onda) de los
sonidos. As í, cada vez que duplicamos la frecuencia, el o ído percibe un salto equivalente,
al que llamamos “una octava” (porque hay siete notas). Por ejemplo, entre el LA de 440
Hz, y el correspondiente a una octava superior, de 880 Hz, hay una diferencia de 440 Hz,
mientras que entre este segundo LA y el de la siguiente, de 1760 Hz, la diferencia es de
880 Hz, y sin embargo nos parece una diferencia equivalente, puesto que en ambos casos
una es el doble de la anterior.
Así pues, lo que llamamos intervalo entre notas no es realmente un intervalo, sino una
relaci ón. Aún así lo llamaremos intervalo, por no cambiar la nomenclatura al uso. [Para los
más versados en matem áticas diremos que, propiamente dicho, son intervalos
logarítmicos en base dos .]
El oído aprecia como “diferencias de tono” equivalentes las que hay entre el primer LA y el
segundo y entre el segundo LA y el tercero.
Lo siguiente a tener en cuenta es qu é queremos hacer al construir una escala musical: se
trata de definir una serie de tonos en base a los cuales se puedan construir todas las
piezas musicales. Para ello, los tonos han de tener entre ellos un espaciado uniforme, y la
unidad más pequeña ha de ser aquella por debajo de la cual no pueda ya distinguirse
diferencias apreciables. A ambas cuestiones responderemos aqu í.
¿Y cómo empezamos a definir una escala? Aqu í lo haremos desde el punto de vista “f ísico”,
y descubriremos que lo que obtenemos es equivalente a lo que intuitivamente hab ían
establecido anteriormente los m úsicos. Ah í está la fascinaci ón de esta historia.
Desde un punto de vista f ísico, por tanto, podr íamos empezar con una nota cualquiera, por
ejemplo un DO muy bajo, de 264 Hz, y doblar su frecuencia, luego triplicarla, luego
multiplicarla por cuatro etc.. Esto ser ía equivalente a tocar una cuerda de guitarra que da
un DO, luego tocarla apretando en la mitad, luego a un tercio de su longitud, a un cuarto
etc… (haciendo vibrar siempre el segmento “peque ño” de los dos en que se divide la
cuerda con el dedo). Dibujando sobre una recta representativa de las frecuencias, nos
quedarían así las notas obtenidas:
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Claro que nuestro o ído, con lo dicho antes, no las va apreciar como notas espaciadas
regularmente, sino que los ‘intervalos’ entre dos notas corresponden al cociente entre una
y otra. Dibujemos ahora en una l ínea la sucesi ón de estos concientes, es decir los
‘intervalos’ resultantes, partiendo del primer DO:
Evidentemente, esta escala no es muy útil. Principalmente porque las notas resultantes no
están espaciadas uniformemente. Por otro lado, algo nos empuja a querer aprovechar de
algún modo esa sucesi ón de intervalos, puesto que surgen de un modo “natural”. No en
vano, lo que hemos hecho es la escala de los arm ónicos de la primera nota: DO, DO, SOL,
DO, MI, SOL, DO…
¿Y si intentamos “rellenar” el espacio entre la primera y la segunda con esos intervalos
naturales, midi éndolos todos desde la primera? Eso es lo que pens ó Aristógenes. Veamos
qué ocurre si insertamos los tres primeros intervalos:
Evidentemente, las diferencias entre notas salen cada vez m ás pequeñas [los matem áticos
dirán que la sucesi ón (n+1)/n converge hacia 1 ]. De este modo el intervalo entre el MI y el
FA resulta ser claramente menor que el que media entre el FA y el SOL. Concretamente,
entre el MI y el FA hay un intervalo de 4/3 : 5/4 = 16/15, y entre el FA y el SOL hay uno
de 3/2 : 4/3 = 9/8. Sucede adem ás que el o ído humano empieza a tener dificultades para
distinguir notas separadas por intervalos m ás pequeños que 16/15. Por tanto, evitaremos
intervalos menores en la escala y para seguir rellenando habr á que saltarse algunos de los
intervalos que “tocar ía” introducir a continuaci ón siguiendo el sistema seguido hasta ahora.
Lo ideal ser á encontrar una nota a medio camino entre el DO y el MI: nos quedar ía así una
distribuci ón bastante regular entre las notas. Veamos:
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El siguiente intervalo a introducir ser ía el 6/5, pero, por lo que acabamos de mencionar,
nos lo saltamos puesto que ni lo distinguir íamos del MI (queda a 25/24 del MI, lo cual es
más pequeño que 16/15). El 7/6 ya est á a más de 16/15 del MI, pero tampoco est á a
medio camino entre el DO y éste.
Resulta que el 8/7 est á ya tan alejado del MI que podr ía dar la segunda nota. Pero antes de
precipitarnos comprobemos d ónde quedaría el 9/8: vemos que tambi én ocupa un lugar
apropiado para una segunda nota de nuestra escala. De hecho, puesto que 9/8 equivale al
intervalo que hay entre el FA y el SOL, parece apropiado elegirlo para separar tambi én la
primera y la segunda nota y as í conseguir intervalos parecidos a lo largo de toda la escala.
Al intervalo 9/8 le llamamos “Segunda Grande” (algunos m úsicos lo llaman Segunda
Mayor), ya que los siguientes nos dar án “segundas” cada vez m ás pequeñas. De hecho,
10/9 es la “Segunda Peque ña”, y, sucesivamente, se llega a 16/15, la “Segunda Menor”.
Para que 8/7 no se quede sin nombre, lo llamaremos “Segunda M áxima”, y a los intervalos
mayores los agrupamos ya con el de la tercera nota: el intervalo que dio lugar al MI, 5/4,
lo llamamos “Tercera Mayor”, al 6/5 “Tercera Menor” y al 7/6 “Tercera M ínima”. Como
para la cuarta y quinta notas no hab ía más que un posible intervalo, el intervalo 4/3 es la
“Cuarta justa” y el 3/2 la “Quinta justa”.
Recapitulemos en nuestra representaci ón gráfica:
Una consecuencia importante de lo que hemos visto es que la unidad “9/8”, la “Segunda
Grande”, se ha definido autom áticamente como “un tono”, ya que aparece entre dos pares
de notas de las que hasta ahora hemos establecido. Ya vimos que el intervalo entre el Mi y
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el FA es bastante m ás pequeño, concretamente de 16/15, as í que lo utilizaremos para
definir un “semitono”. ¿Y entre el RE y el MI? Veamos: 5/4 : 9/8 = 10/9. Es un valor muy
parecido a 9/8, es decir, a lo que hemos decidido llamar “un tono”, y, de hecho, antes lo
habíamos llamado “Segunda Peque ña”. Así que tendremos que distinguir entre “un tono
grande” (9/8) y “un tono peque ño” (10/9), sabiendo que se identifican con la “Segunda
Grande” y la “Segunda Peque ña”, respectivamente.
Queda ahora el hueco entre el SOL y el DO superior. Es evidente que no vamos a poder
cubrirlo con intervalos de la escala arm ónica (aquellos que se miden con fracciones en las
que el numerador es mayor en uno que el denominador). Pero hay otras fracciones que
pueden servir, y las elegiremos de modo que los intervalos resultantes sean de una de las
tres clases ya definidas: tono grande, tono peque ño y semitono. As í, tomamos 5/3 para el
LA y 15/8 para el SI, quedando un tono peque ño entre el SOL y el LA, un tono grande entre
el LA y el SI y un semitono entre el SI y el DO superior.
Ya tenemos una escala completa, que se puede repetir de nuevo a partir del siguiente DO,
una y otra vez, hasta cubrir todo el espectro de sonido audible por el o ído humano
Hemos comenzado por este modo de construirla por ser el que a primera vista parece m ás
“lógico”, al partir de algo tan natural como los arm ónicos de un sonido cualquiera. De
hecho no sólo se llama escala de Aristógenes, sino que tambi én recibe el nombre de escala
natural, escala de los f ísicos, o escala de la justa entonaci ón.
Sin embargo, Pit ágoras construy ó una escala similar de un modo mucho m ás simple, y por
ello, elegante. Adem ás tiene la ventaja de conseguir eliminar la existencia simult ánea de
los dos tipos de tono de la escala de Aristógenes. Probablemente m ás de un lector de los
párrafos anteriores ha pensado en que no es demasiado “limpio” eso de elegir entre varias
opciones de Terceras y Segundas, para encima acabar con una escala en la que hay dos
tipos de tono desiguales. Pues bien, quien as í piense se apuntar á sin dudarlo a la escala
pitagórica. Lo m ás fascinante de la escala de Pit ágoras es que la construy ó antes de que se
conociera la noci ón de “frecuencia”. Veamos c ómo lo hizo.
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Pitágoras decidi ó utilizar s ólo dos de los intervalos “justos”, aquellos que son únicos en
cuanto a proporcionar una de las notas de la escala. Utilizando s ólo la “Quinta Justa” y la
“Octava Justa”, hizo lo siguiente: partiendo de nuevo de una nota cualquiera –volvemos a
escoger el DO—, a ñadió dos Quintas Justas, y rest ó una Octava Justa. Veamos:
Repitiendo el proceso, obtenemos adem ás:
Añadiendo otra Quinta Justa al MI reci én obtenido, se llega al SI.
Para conseguir la nota que falta (el FA), basta con restar una Quinta Justa del DO inicial, y
añadir la Octava Justa:
Ya tenemos toda la escala. Ahora comprobemos los intervalos que median entre las notas
así obtenidas. Recordemos que en este tipo de “intervalos”, las diferencias son cocientes, y
que, por lo tanto, a ñadir un intervalo, significa multiplicar. Tenemos as í:
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Para calcular el FA, operamos igualmente:
Tenemos as í una sucesión de notas (aquellas que han ido siendo se ñaladas en negrita),
con la sorprendente propiedad de que los intervalos entre las notas son todos de 9/8 (tono)
o 256/243 (“nuevo” semitono). Es decir:
¡Compruébalo!
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