Documento 786841

AUPSJB
Laboratorio de Bioestadística, Ciclo 2013-I
Facultad de Ciencias de la Salud
Escuela Profesional de Medicina Humana
Curso: Bioestadística
LABORATORIO Nº 06
Medidas de Dispersión
Capacidad:
Resuelve y crea problemas referidos a las medidas de dispersión y al tipo de distribución
de datos, utilizando los conceptos de asimetría y curtosis
Indicadores de logro:



Aplica la varianza para determinar la dispersión de un conjunto de datos.
Conoce y aplica las propiedades de la desviación estándar.
Aplica los conceptos de asimetría para determinar el tipo de distribución en un
conjunto de datos.
Docentes:
Toledo Méndez Gialina, Huamaní Alhuay Edward,
Mamani Callo Jorge, Mattos Marreros Mirian, Aquino
Dolorier Sara, Vera Nuñes Gladis, Guillen Guillen Elsa,
Alicia Bustamante, Bazan Rodriguez Elsi, Alcantara
Ramirez Roland.
Coordinadora: Gialina Toledo Méndez, Año 2013
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I. DEFINICION
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Una de las características más importantes de un conjunto de datos es que, por lo general, los valores no son
iguales; en realidad, el grado exacto en que no son iguales o en que varían entre sí es muy importante en la
estadística. Las medidas de tendencia central describen un aspecto importante de los conjuntos de datos (su
centro o su promedio) pero no nos dice nada acerca de esta otra característica básica. Por lo tanto se
necesitan métodos para medir el grado en que los datos se dispersan o se diseminan, las medidas estadísticas
que proporcionan esta información se llaman medidas de dispersión o de variación.
La medida de dispersión más utilizada es el desvío standart ( o desviación standart o desviación típica), aunque
también dan bastante información el rango, el recorrido intercuartil, y la desviación cuartílica. Estas medidas son
las que indican la diferencia en la intensidad con que se dispersan o concentran los valores observados con respecto a
una medida de tendencia central.
fi
Las medidas de asimetría son aquellas que tomando como eje de simetría la ordenada correspondiente a un
valor central, clasificaremos las distribuciones en simétricas, asimétrica a la derecha y asimétrica a la izquierda.
1.1. MEDIDAS DE DISPERSION PARA DATOS NO AGRUPADOS
Cuando la cantidad de observaciones (n) es pequeña, entonces disponemos de una serie simple de datos, no es
necesario organizarlos en una tabla de frecuencias.
Supongamos una serie simple de observaciones unidimensionales : x1, x2, ......, xn,
En dicha serie podemos calcular todas las medidas de posición (salvo el modo), y todas las medidas de
dispersión.
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Medidas de dispersión
Entre las más simples se encuentran el rango, el recorrido intercuartil y la desviación cuartílica, simples porque
para su cálculo sólo intervienen dos valores.
 Rango :
Es la diferencia entre los valores extremos : el máximo valor observado menos el mínimo valor observado :
R = xmáx - xmín
 Recorrido Intercuartil :
Es la diferencia entre los cuartiles: cuartil superior menos cuartil inferior, su ventaja frente al Rango es que
elimina el 50% de los valores extremos. El recorrido intercuartil cubre el 50% de las observaciones centrales :
RQ  Qs  Qi
 Variancia :
Se la define y calcula como el promedio de los cuadrados de los desvíos respecto de la media aritmética.
n
V ( x) 

n
( xi  x ) 2
i 1

n
 xi2
i 1
n
 x2
Propiedades de la variancia :
- 1 - V(x) > 0
para X variable
- 2 - V(k) = 0
para k constante
- 3 - V(x ± k) = V(x)
para k constante
- 4 - V(k.x) = k2.V(x)
para k constante
- 5 - V(a.x ± b) = a2.V(x)
para a y b constantes
- 6 - V( x ± y ) = V(x) + V(y)
para x, y variables independientes
- 7 - V( x ± y ) = V(x) + V(y)  2 cov (x,y) para x, y variables no independientes
Observaciones:
Si V(x) = 0 entonces X es una constante (no es variable)
Dadas dos poblaciones existe mayor dispersión en aquella que posee mayor variancia.
 Desvío Standart :
El desvío standart es la medida de dispersión más utilizada. En su cálculo intervienen todas las observaciones. Se
lo define como la raíz cuadrada de la variancia.
n
S ( x) 
(x
i
 x )2
i 1
n
Observe que el desvío standart está expresado en la misma unidad de medida que la variable y su media; en
cambio la variancia lo está en términos de "cuadrados de unidades".
Propiedades del desvío standart :
- 1 - S(x) > 0
para X variable
- 2 - S(k) = 0
para k constante
- 3 - S(x ± k) = S(x)
para k constante
- 4 - S(k.x) = k.S(x)
para k constante
- 5 - S(a.x ± b) = a.S(x)
para a y b constantes
Valen las observaciones hechas para la variancia :
S(x) = 0  X es una constante.
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mayor S(x)  mayor dispersión.
El desvío standart es una medida de dispersión muy útil, sobre todo para comparar dos poblaciones en las
cuales se está estudiando la misma variable y se la expresa en la misma unidad de medida. Si las unidades de
medidas no son las mismas; para poder realizar comparaciones nos valdremos de un coeficiente a dimensional
que se define a continuación.
1.2. MEDIDAS DE DISPERSION PARA DATOS AGRUPADOS
Si los datos (por ser grande la cantidad de observaciones) ya están organizados en una tabla de frecuencias,
existen fórmulas (o métodos) para calcular las medidas de posición y de dispersión, según sea la variable
discreta o continua.
Para variables unidimensionales, según como se originen, tendremos una distribución de frecuencias para datos
sin agrupar (discreta) o una distribución de frecuencias para datos agrupados (continua).
 Varianza :
En su cálculo intervienen todas las observaciones. Al igual que en el cálculo de los promedios, se toman los
distintos valores observados tantas veces como lo indican sus respectivas frecuencias. La variancia es el
promedio de los cuadrados de los desvíos respecto de la media aritmética.
m
(x
i
V ( x) 
 x ) . fi
m
2
i 1
m
f

x
2
i
i 1
n
. fi
 x2
i
i 1
 Desvío Standart
m
(x  x) . f
2
i
S ( x) 
i
i 1
n
 Variancia :
m
( x  x ) . f
m
2
V ( x) 
i 1
i
i
m
f
i 1

x . f
i 1
2
i
n
i
 x2
i
 Desvío Standart :
m
( x  x ) . f
2
S ( x) 
i 1
i
i
n
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Para distribuciones simétricas, se verifica que aproximadamente:
el intervalo ( x  S ( x ) , x  S ( x ))
contiene al 68% de las observaciones.
el intervalo ( x  2 . S ( x ) , x  2 . S ( x )) contiene al 95% de las observaciones.
el intervalo ( x  3. S ( x ) , x  3. S ( x )) contiene al 99% de las observaciones.
 Dispersión Relativa - Coeficiente de Variación
Se lo define como el cociente entre el desvío standart y la media de la variable. De esta manera se elimina la
unidad de medida, resultando un coeficiente adimensional , por lo cual suele estar expresado en porcentajes.
C.V . 
S ( x)
.100
X
Cuándo se lo utiliza ?
- Cuando es necesario comparar dos poblaciones en las cuales se estudia variables diferentes, y por lo tanto
se está utilizando unidades de medida diferentes.
- Cuando es necesario comparar dos poblaciones en las cuales se estudia la misma variable pero con medias
diferentes, ya que una misma dispersión no significa tanto si la media de la variable es mayor.
MEDIDAS DE FORMA (ASIMETRÍA Y CURTOSIS)
A través de las medidas de posición y de dispersión, podemos hacernos una idea de por donde se sitúan los
valores de la variable y cuánto se dispersan en términos globales .Pero si queremos conocer algo más de la
forma en que se distribuye los valores necesitamos otros indicadores.
Los indicadores de SIMETRÍA/ ASIMETRÍA deberán informarnos de si los valores de la distribución se
disponen simétricamente alrededor de la media, o bien si se decantan en mayor medida hacia la derecha
(asimetría a derechas, o positiva) o hacia la izquierda (asimetría a izquierdas, o negativa), sin necesidad de
representar gráficamente la distribución de frecuencias.
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Como se trata de determinar si la disposición se decanta hacia un lado u otro de la media será necesario
trabajar con un indicador que nos considere las diferencias de los de valores y de la media (con su signo).Por
tanto habrá que considerar un momento central de orden impar. El de orden uno no es útil porque siempre se
anula.
Pero si estamos interesados en encontrar un indicador la simetría/ asimetría, que no dependa de las unidades
(del cubo de las unidades) y que nos permita hacer comparaciones de carácter universal, m3 no nos es útil. Por
esta razón se define el coeficiente de asimetría como:
AS 

3 X  Me
S

 As  0 asimetría positiva

As   As  0 distribucion simetrica
 A  0 asimetría negativa
 s
MEDIDAS DE CURTOSIS.( COEFICIENTE DE CURTOSIS)
Dependiendo del número de observaciones que haya en la zona central de la distribución y del que haya en las
zonas alejadas dos distribuciones con la misma varianza pueden tener dos perfiles distintos, con mayor o
menor forma " de punta ".Al mayor o menor "apuntamiento" que puede tener una distribución con
independencia del valor que tome su varianza se le llama CURTOSIS (o APUNTAMIENTO). [ver gráfico]
Pero si queremos disponer de una medida valida para la comparación universal, deberemos considerar como
indicador de la curtosis:
P75  P25
K
2  P90  P10 
 K  0.263 curva leptocurtica

K   K  0.263 curva mesocurtica
 K  0.263 curva platicurtica

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TAREA ACADEMICA DE SESION 6
1. En un hospital en la ciudad de Arequipa se registra el siguiente número de
intervenciones quirúrgicas mensuales durante los años 2007-2012.
151
143
156
160
152
156
160
149
151
160
158
156
154
152
159
157
155
153
153
151
142
152
161
142
155
152
143
144
162
148
149
144
150
148
152
149
162
158
154
150
146
147
160
159
158
155
154
153
152
149
147
145
148
152
147
146
148
150
147
146
150
148
147
152
162
153
152
156
160
152
149
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a) Calcula la media, Varianza, Desviación Estándar e interprete
b) Determine el coeficiente de variación e interprete
2. Una empresa comercializadora de productos farmacéuticos del distrito de Lince,
realiza un pequeño sondeo de opinión sobre el gasto semanal promedio en
medicamentos por familia en soles, obteniendo los siguientes resultados:
27
25
20
44
42
25
45
25
25
10
25
30
10
10
18
35
18
31
15
28
20
28
26
30
23
22
15
20
29
16
28
23
28
16
26
26
42
33
21
21
38
42
21
42
12
39
39
12
21
14
37
24
39
10
39
20
40
43
10
19
17
45
14
34
12
34
Construya una tabla de Frecuencias con intervalos y Calcule:
a) Calcula la media, Varianza, Desviación Estándar e interprete
b) Calcule el Coeficiente de Asimetría y la Curtosis, grafique e interprete
c) Determine el coeficiente de variación e interprete. Luego compare con el CV de la pregunta
1(intervenciones quirúrgicas) e indique cual distribución es más homogénea.
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3. Las ganancias diarias de los médicos de un centro hospitalario se presentan en una
tabla de frecuencias con 6 intervalos de clase constante. Se sabe que la mínima
ganancia es $ 6 el rango es 36, el 50% de los médicos ganan más de 25,58 Dólares
americanos diarios. Además se conocen los siguientes datos.
f4=304;
h3=0,25;
F2=120;
H2=0,15;
H5= 0,93;
f2=2f1
a) Determine el coeficiente de variación e interprete
b) El tipo de asimetría mediante cuartiles
c) ¿El grado de apuntamiento de esta distribución es de una PLATICURTICA? (comente sus
resultados).
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