Números Complejos ● Números naturales: útiles para contar cosas N={ 0, 1, 2, … } Pero con ellos no podemos resolver la ecuación: X+5=2 Números Complejos ● Entonces inventamos los números enteros: Z = {…-2, -1, 0, 1, 2, … } Sin embargo, con ellos no podemos resolver la ecuación: 5x = 2 Números Complejos ● Entonces inventamos los números racionales Q, como la fracción: p/q con p y q números enteros (q distinto de cero) Sin embargo, hay números que no son racionales, como Números Complejos ● Entonces inventamos los números reales, R Sin embargo, no podemos resolver la ecuación: ? No hay un número real cuyo cuadrado sea -4 ! Números Complejos ● Entonces inventamos los números complejos Por supuesto, los números complejos no sólo sirven para resolver ecuaciones como la del ejemplo anterior. Los números (funciones) complejos tienen muchas aplicaciones, en particular, en física Un sólo ejemplo: Números Complejos ● A esta nuevo conjunto de números complejos nos gustaría imponer, tantas como sean posibles, propiedades de los números que ya conocemos. Por ejemplo: Números Complejos ● ● Por lo tanto, postulamos que i se comporta como un número real en operaciones tales como la adición y la multiplicación. Con la única nueva característica que: Números Complejos ● Definición formal: definimos los números complejos como un par ordenado (x,y) de números reales: Álgebra de números complejos ● Dos números complejos: y son iguales si y sólo si e Álgebra de números complejos ● Adición y multiplicación Sean y dos números complejos. Definimos la adición como y el producto Álgebra de números complejos O bien, Y para el producto: Álgebra de números complejos ● Como mencionamos, varias propiedades algebraicas de los números complejos son las mismas de los números reales. Ejemplos: ● Propiedad conmutativa Álgebra de números complejos ● Propiedad asociativa ● Identidad aditiva donde Álgebra de números complejos ● Identidad multiplicativa donde 1=(1,0) ● Inverso aditivo: para cada aditivo z hay un inverso Álgebra de números complejos ● Para cada número complejo z (no nulo) existe un inverso multiplicativo tal que con tenemos que Álgebra de números complejos ● Si entonces o ambos son cero. o , Álgebra de números complejos ● La división de dos números complejos se define como Álgebra de números complejos ● Complejo Conjugado Definimos el complejo conjugado de un número complejo como: Álgebra de números complejos ● Ecuación de Euler ● Teorema de “de Moivre” Definimos la función valor principal de Ln(z), ln(z), restringiendo el argumento de z en el intervalo: Ejemplo: evaluar Ln(-i) es decir Mientras que el valor principal es: Ejemplo: simplifique la expresión Usando que tenemos Por lo tanto: z es real! Funciones hiperbólicas ● ● ● ● Algunas identidades ● Funciones hiperbólicas inversas Sea entonces Similarmente