Benemérita Universidad Autónoma de Puebla FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICO MATEMÁTICAS LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS EN LA GEOMETRÍA NEUTRAL Y SUS INTERPRETACIONES EN MODELOS EUCLIDIANOS E HIPERBÓLICOS TESIS QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE LICENCIADO EN MATEMÁTICAS PRESENTA Elizabeth de Gante Coronel DIRECTOR DE TESIS Dr. Agustín Contreras Carreto PUEBLA, PUE. JUNIO 2016 Agradecimientos Gracias a Dios que me ha puesto en este camino con sus alegrías, sorpresas y dificultades, pero sobre todo por nunca dejarme sola. A mis padres Silvia Coronel Nájera y Abel de Gante Sánchez por ser mi fuerza para seguir adelante, por su apoyo y sus consejos, siempre preocupándose porque sea una persona de bien. Mis hermanos Arturo, Abel y Emmanuel gracias por su cariño y más aún por la vida que he compartido con ustedes. Y los nuevos de la familia Raque, Turis y Lito le han agregado más alegrías a mi vida. A mi “tío Padre” (†) siempre estarás en mi corazón. Al Dr. Agustín Contreras Carreto, mi más sincero agradecimiento por la orientación, el seguimiento y la supervisión, pero sobre todo por la motivación y apoyo recibido en este tiempo. Mi jurado, Dr. David Herrera Carrasco, Dra. Patricia Domínguez Soto y Lic. María del Rocío Macías Prado por su tiempo, comentarios, correcciones y sugerencias, que hicieron mejorar este trabajo. A todos mis amigos, gracias por comprenderme y no comprenderme. A todos muchas gracias. i Introducción Uno de los teoremas de Euclides más controvertido es el Teorema 4 del libro primero de los Elementos, denotado por EI.4 entre los historiadores. Este teorema se conoce actualmente como el “criterio Lado -Ángulo - Lado” (LAL) de congruencia de triángulos. El teorema señala que, si en los triángulos 4ABC y 4A0 B 0 C 0 , las longitudes de los lados AB y AC del 4ABC son iguales, respectivamente, a las longitudes de los lados A0 B 0 y A0 C 0 de 4A0 B 0 C 0 , y que ^BAC = ^B 0 A0 C 0 , entonces también el lado BC del 4ABC es igual al lado B 0 C 0 de 4A0 B 0 C 0 y ^ABC = ^A0 B 0 C 0 y ^ACB = ^A0 C 0 B 0 son congruentes. La demostración que dio Euclides consiste en mover uno de los triángulos hasta lograr superponerlo en el otro y ver que todos los lados y ángulos de uno coinciden con los respectivos del otro triángulo. En otras palabras, usando un leguaje moderno, a un triángulo se le aplica una traslación seguida de una rotación y en algunos casos, seguida de una reflexión, hasta obtener el otro. A pesar de que la demostración de Euclides es muy bella, la controversia surgió porque ninguna de estas transformaciones geométricas fueron definidas por Euclides, ni establecío su uso dentro de los axiomas de los Elementos. Para no caer en el mismo “error” de Euclides, David Hilbert, usó una nueva colección de axiomas para la geometría euclidiana, más de acuerdo con la idea moderna de sistema axiomático, en el cual puso dicho resultado como un axioma (el axioma C6 en este texto), en vez de demostrarlo. Un contempóraneo y amigo de Hilbert llamado Félix Klein, propuso una nueva forma de estudiar todas la geometrías a través de grupos de transformaciones geométricas. Él mostró que el uso de transformaciones geométricas es una herramienta muy poderosa para el estudio de la geometría en general. En este trabajo, en su Capítulo 1, expondremos los axiomas de Hilbert para la Geometría Neutral Plana (GNP). Éste, es el sistema axiómatico que consta de todos los axiomas de la Geometría Euclidiana Plana (GEP), excepto el quinto postulado. En GNP no se tiene el quinto postulado ni su negación. Así cualquier resultado que se obtenga de GNP es válido tanto en GEP como en GHP. Estableceremos definiciones y resultados de GNP que se utilizarán en los capítulos siguientes. ii En el Capítulo 2 trabajaremos modelos de GNP y en particular definiremos y estudiaremos propiedades de las principales transformaciones geométricas: dilataciones y simetrías como rotaciones, reflexiones, traslaciones. En este capítulo se aplicarán los resultados a los modelos de GEP como el usual o el de la geometría analítica. Para el Capítulo 3 estudiaremos un transformación geométrica euclidiana muy bella: la inversión. Nos será de gran ayuda en un modelo hiperbólico. Finalmente el Capítulo 4 construiremos dos modelos, modelo de Poincaré (MP1 ) y el modelo de Klein (MK ) que satisfacen los axiomas de GHP. Culminamos con el estudio de las reflexiones en MK . iv Índice general Introducción i 1. Geometría neutral 1.1. Sistema axiomático de la geometría neutral plana . . . . . . . . . . . 1.2. Otros teoremas de la geometría neutral . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 12 2. Transformaciones geométricas 2.1. Automorfismos de planos neutrales . . . 2.2. Isometrías y similitudes . . . . . . . . . . 2.3. Reflexiones . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Rotaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Translaciones . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Puntos ideales en el plano hiperbólico . . 2.7. Desplazamiento paralelo . . . . . . . . . 2.8. Media vuelta . . . . . . . . . . . . . . . 2.9. Deslizamientos . . . . . . . . . . . . . . 2.10. Clasificación de isometrías . . . . . . . . 2.11. Automorfismo de los modelos cartesianos 2.12. Rotaciones alrededor de un punto fijo . . 17 18 20 26 31 35 39 43 45 47 48 53 54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Inversión 59 3.0.1. Construcciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.1. Inversión en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4. Modelos de la geometría hiperbólica 4.1. Modelo de Klein MK . . . . . . . . . 4.2. Modelo de Poincaré MP1 . . . . . . . 4.3. Isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Definición de ángulo en MP1 . . . . . v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 81 85 90 99 ÍNDICE GENERAL vi 4.5. Definición de ángulo en MK . . . . . 4.6. Distancia en MP1 . . . . . . . . . . . 4.7. Reflexiones en MP1 . . . . . . . . . . 4.8. Rotación en MP1 . . . . . . . . . . . 4.9. Distancia en MK . . . . . . . . . . . 4.10. Refleciones en MK . . . . . . . . . . 4.11. Homología armónica de cierto punto 4.12. Construcción del conjugado armónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 104 115 119 123 128 130 132 TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS EN LA GEOMETRÍA NEUTRAL Y SUS INTERPRETACIONES EN MODELOS EUCLIDIANOS E HIPERBÓLICOS Elizabeth de Gante Coronel Junio 2016 Capítulo 1 Geometría neutral Un sistema axiomático consta de un conjunto de términos indefinidos, un conjunto de relaciones indefinidas y un conjunto de axiomas que establecen las propiedades básicas que deben cumplir dichos términos y relaciones. Para este capítulo se puede consular [3] y [4]. 1.1. Sistema axiomático de la geometría neutral plana (a) Terminos indefinidos: 1. Puntos. Al conjunto de los puntos de GNP los denotaremos por Π(GN P ). 2. Rectas. Al conjunto de los rectas de GNP los denotaremos por Λ(GN P ) (b) Relaciones indefinidas: 1. Relación de incidencia entre puntos y rectas. Si P ∈ Π(GN P ) y l ∈ Λ(GN P ), a la proposición “P incide con l” (también se puede leer “l incide con P ”), se le notará con P Il o lIP . 2. Relación de orden entre ternas de puntos. Si A, B, C ∈ Λ(GN P ), la proposición “B está entre A y C” se denotará 1 2 Geometría neutral por A ∗ B ∗ C. 3. Relaciones de congruencia de segmentos y congruencia de ángulos. Dados los segmentos AB y CD, la proposición “AB es congruente con CD” se denotará por AB ∼ = CD y dados los ángulos ^ABC y ^DEF , la proposición “^ABC es congruente con ^DEF ” se denotará con ^ABC ∼ = ^DEF . (c) Axiomas: Axiomas de Incidencia Axioma I1. Para cada punto P y cada punto Q, con P 6= Q, existe una única ←→ recta que incide con P y Q. A esta recta la denotaremos P Q. Axioma I2. Para cada recta, existen al menos dos puntos diferentes que inciden con ella. Axioma I3. Existen tres puntos distintos con la propiedad de que ninguna recta incide con los tres. Definición 1.1. (a) Diremos que tres o más puntos distintos son colineales, si existe un recta que incide con todos ellos al mismo tiempo. (b) Dos o más rectas son concurrentes si existe un punto que incide con todas ellas al mismo tiempo. (c) Diremos que dos rectas l y m son paralelas si l = m o l 6= m y l y m no son concurrentes y lo denotaremos por l k m. Axiomas de Orden Axioma O1. Si A ∗ B ∗ C, entonces A, B y C son tres puntos distintos y colineales, además C ∗ B ∗ A. Axioma O2. Dados cualesquiera dos puntos distintos B y D, existen puntos ←→ A, C y E que inciden con BD tal que A ∗ B ∗ D, B ∗ C ∗ D y B ∗ D ∗ E. 1.1 Sistema axiomático de la geometría neutral plana 3 Axioma O3. Si A, B y C son puntos distintos y colineales, entonces una y sólo una de las proposiciones siguientes se cumple: A∗B ∗C, B ∗A∗C o A∗C ∗B. ←→ ←→ Denotaremos por {AB} al conjunto de puntos que inciden con AB. Definición 1.2. Dados dos puntos A y B distintos, el segmento AB se define ←→ como el conjunto de todos los puntos de la recta AB que están entre A y B −→ junto con los puntos finales A y B. El rayo AB se define como el conjunto de todos los puntos en AB junto con los puntos C tal que A ∗ B ∗ C. Definición 1.3. Sean l una recta cualquiera, A y B puntos que no inciden con l. Si A = B o si el segmento AB no contiene puntos que incidan con l, decimos que A y B estan en el mismo lado de l, mientras si A 6= B y el segmento AB tienen puntos que inciden con l, decimos que A y B estan en lados opuestos de l, véase Figura 1.1. Figura 1.1 Axioma O4. Para cada recta l y para cualesquiera tres puntos A, B y C que no incidan con l se tiene: (a) Si A y B están en el mismo lado de l y si B y C están en el mismo lado de l, entonces A y C están en el mismo lado de l, véase Figura 1.2. Figura 1.2 4 Geometría neutral (b) Si A y C están en lados opuestos de l y si C y B están en lados opuestos de l, entonces A y B están del mismo lado de l, véase Figura 1.3. Figura 1.3 (c) Si A y B están en lados opuestos de l y si B y C están del mismo lado de l, entonces A y C están en lados opuestos de l, véase Figura 1.4. Figura 1.4 Definición 1.4. Una relación ∼ en un conjunto S se llama relación de equivalencia si satisface: (a) a ∼ a (reflexiva). (b) Si a ∼ b entonces b ∼ a (simétrica). (c) Si a ∼ b y b ∼ c entonces a ∼ c (transitiva). para todo a, b y c que están en S. Definición 1.5. Sean l una recta cualquiera y S el conjunto de puntos que no inciden con l, para A y B elementos de S, decimos que A está relacionado con B si y sólo si A y B estan del mismo lado de l. Lo denotaremos A ∼ B. Observación 1.1. Por la Definición 1.3 y el Axioma O4 esta relación ∼ es de equivalencia. 1.1 Sistema axiomático de la geometría neutral plana 5 Definición 1.6. Sean l una recta y A un punto que no incide con l. A la clase de equivalencia de A respecto a la relación ∼, es decir, al conjunto de puntos que están del mismo lado de A con respecto a l, se le llama el lado o semi-plano de la recta l determinado por A y se denota como S(A, l). Definición 1.7. Si l es una recta, A, B, C son puntos que inciden con l y −→ −→ −→ B ∗ A ∗ C, se dice que AB es el rayo opuesto AC y que AC es el rayo opuesto −→ a AB. −→ −→ Definición 1.8. Si AB y AC dos rayos que no son iguales ni opuestos entre sí, entonces: −→ −→ (a) El ángulo ^BAC es el conjunto AB ∪ AC. También es denotado ^CAB. −→ −→ (b) Dado el ángulo ^BAC, A es el vértice del ángulo, y AB y AC son los lados del ángulo. ←→ ←→ (c) El interior del ángulo ^BAC es el conjunto S(C, AB) ∩ S(B, AC), véase Figura 1.5. Figura 1.5 −−→ −→ −→ −→ −→ Definición 1.9. El rayo AD está entre los rayos AC y AB, si AB y AC no son rayos opuestos ni iguales (es decir se forma ^CAB) y D está en el interior a ^CAB. Axiomas de Congruencia Axioma C1. Si A y B son puntos distintos y si A0 es cualquier punto, entonces para cada rayo r que emana de A0 , existe un único punto B 0 sobre r tal que B 0 6= A0 y AB ∼ = A0 B 0 . 6 Geometría neutral Axioma C2. La relación de congruencia de segmentos es una relación de equivalencia. Axioma C3.Si A ∗ B ∗ C, A0 ∗ B 0 ∗ C 0 , AB ∼ = A0 B 0 y BC ∼ = B 0 C 0 , entonces AC ∼ = A0 C 0 . −−→ Axioma C4. Dado cualquier ángulo ^BAC y dado cualquier rayo A0 B 0 que ←−→ emana del punto A0 , entonces en cada lado de la recta A0 B 0 , existe un único −−→ rayo A0 C 0 tal que ^B 0 A0 C 0 ∼ = ^BAC. Axioma C5. La relación de congruencia de ángulos es una relación de equivalencia. Definición 1.10. (a) Un triángulo es un conjunto de tres puntos no colineales. (b) Si {A, B, C} es un triángulo, denotaremos a dicho conjunto con 4ABC. (c) El interior 4ABC es la intersección de los interiores de los ángulos ^ABC, ^ACB y ^BAC. (d) En 4ABC los vértices son los puntos A, B y C, y los lados son AB, BC y AC. (e) Los ángulos interiores o internos de un 4ABC son los ángulos ^ABC, ^ACB y ^BAC. (f ) Un punto exterior de 4ABC es un punto que no está en el interior de 4ABC ni en alguno de los lados del 4ABC. Definición 1.11. Sean 4ABC y 4DEF dos triángulos. (a) Una congruencia o correspondencia entre 4ABC y 4DEF es una función biyectiva: ϕ : {A, B, C} −→ {D, E, F } tal que BC ∼ = ^BAC si A0 = ϕ(A), B 0 = ϕ(B) y C 0 = ϕ(C), entonces AB ∼ = A0 B 0 , B 0 C 0 , AC ∼ = A0 C 0 , ^ABC ∼ = ^A0 B 0 C 0 y ^ACB ∼ = ^A0 C 0 B 0 y 0 0 0 ∼ = ^B A C . 1.1 Sistema axiomático de la geometría neutral plana 7 (b) Si ϕ es una congruencia entre dos triángulos 4ABC y 4DEF , y si A0 = ϕ(A), B 0 = ϕ(B), C 0 = ϕ(C), diremos que, respecto a la correspondencia ϕ, A0 es el vértice correspondiente a A, B 0 es el correspondiente a B, C 0 es el correspondiente a C, ^A0 B 0 C 0 es el ángulo correspondiente a ^ABC, ^A0 C 0 B 0 es el ángulo correspondiente a ^ACB y ^B 0 A0 C 0 es el ángulo correspondiente a ^BAC. (c) Diremos que 4ABC es congruente con 4DEF si existe una congruencia: ϕ : {A, B, C} −→ {D, E, F } (d) Escribiremos 4ABC ∼ = 4DEF para indicar que existe una congruencia ρ de 4ABC a 4DEF tal que D = ϕ(A), E = ϕ(B) y F = ϕ(C), donde D, E y F son los vértices correspondientes (respecto a ρ) a los vértices A, B y C, respectivamente. Axioma C6. (Criterio Lado Ángulo Lado - LAL) Si 4ABC y 4DEF dos triángulos tales que ^ABC ∼ = ^DEF , AB ∼ = DE y BC ∼ = DF , entonces 4ABC ∼ 4DEF . = Axioma de Continuidad El siguiente axioma es el último de los axiomas de la geometrá neutral plana (GNP) y está inspirado en la construcción que hizo Dedekind de los números reales usando las cortaduras de números racionales que llevan su nombre. Definición 1.12. Una recta l con cortadura de Dedekind es una pareja (Σ1 , Σ2 ) tal que: (a) Σ1 y Σ2 son subconjuntos no vacíos de {l}. (b) Σ1 ∪ Σ2 = {l}. (c) Σ1 ∩ Σ2 = ∅. (d) Ningún punto de Σ1 está entre dos puntos de Σ2 y ningún punto de Σ2 está entre dos puntos de Σ1 . Axioma de Dedekind (Continuidad) Si l es una recta y (Σ1 , Σ2 ) es una cortadura de l, entonces existe un único punto O que incide con l tal que uno de los subconjuntos es igual a un rayo de l que emana de O y el otro subconjunto es igual al complemento. 8 Geometría neutral A continuación presentamos algunas consecuencias de estos terminos, relaciones y axiomas, que no demostraremos, pero cuya demostración puede consultar el lector en la referencia [3]. Teorema 1.1. Para cualesquiera dos puntos A y B distintos se tiene: −→ −→ (a) AB ∩ BA = AB. −→ −→ ←→ (b) AB ∪ BA = {AB}. −→ −→ −−→ (c) Si B 0 ∈ AB − {A}, entonces AB = AB 0 . Teorema 1.2 (Propiedad de Separación de Planos por Rectas). Si l es una recta existen puntos A y B que no inciden con l y están en lados opuestos de ella y además todo punto que no incide con l está en S(A, l) o en S(B, l) y S(A, l) ∩ S(B, l) = ∅. Es decir, Cada recta determina exactamente dos semi-planos, los cuales no tienen ningún punto en común. Teorema 1.3. Si A ∗ B ∗ C y A ∗ C ∗ D, entonces B ∗ C ∗ D y A ∗ B ∗ D. Corolario 1.1. Si A ∗ B ∗ C y B ∗ C ∗ D, entonces A ∗ B ∗ D y A ∗ C ∗ D. Teorema 1.4 (Propiedad de separación de rectas por puntos). Si C ∗ A ∗ B y l es la recta que incide con A, B y C (Axioma O1), entonces para cada punto P ∈ {l}, −→ −→ P ∈ AB o P ∈ AC. Teorema 1.5 (Propiedad de Pasch). Si A, B y C son puntos no colineales y l es cualquier recta que intersecta a AB sin los extremos, entonces l también intersecta a AC o bien a BC, véase Figura 1.6. Si C no está sobre l, entonces l no intersecta a AC y a BC al mismo tiempo. Figura 1.6 Teorema 1.6. Si A ∗ B ∗ C, entonces AC = AB ∪ BC y B es el único punto en común a los segmentos AB y BC. 1.1 Sistema axiomático de la geometría neutral plana 9 −→ Teorema 1.7. Si A ∗ B ∗ C, entonces B es el único punto en común a los rayos BA −−→ −→ −→ y BC, y AB = AC. Teorema 1.8. Si el ángulo ^CAB, entonces ^CAB = ^BAC y si C 0 es un punto −→ −→ en AC y B 0 es un punto en AB, entonces ^CAB = ^C 0 AB 0 . ←→ Teorema 1.9. Si un ángulo ^CAB y un punto D que incide con la recta CB, entonces D está en el interior de ^CAB si y sólo si B ∗ D ∗ C. Teorema 1.10. Si un punto D que está en el interior de ^CAB, entonces −−→ (a) También lo es cualquier otro punto del rayo AD, excepto A. −−→ (b) Ningún punto en el rayo opuesto a AD está en el interior de ^CAB. (c) Si C ∗ A ∗ E, entonces el punto B está en el interior de ^DAE, véase Figura 1.7. Figura 1.7 −−→ −→ −→ Teorema 1.11 (Teorema de Cruce de "Barras"). Si AD está entre AC y AB, −−→ entonces AD intersecta al segmento CB. Teorema 1.12. (a) Si un rayo r que emana de un punto exterior del 4ABC intersecta al lado AB, entonces r también intersecta al lado AC o al lado BC. (b) Si un rayo emana de un punto interior de 4ABC, entonces éste intersecta a sólo uno sus de los lados del triángulo, y si no, pasa a través de un vértice. Corolario 1.2 (Corolario de C6). Dado 4ABC y los segmentos DE ∼ = AB, hay un ←→ único punto F sobre un lado de la recta DE tal que 4ABC ∼ = 4DEF . Convenio 1. Dado un triángulo 4ABC usaremos la notación ^A para referirnos al ángulo ^BAC, ^B para referirnos al ángulo ^ABC y ^C para referirnos al ángulo ^ACB. 10 Geometría neutral Teorema 1.13 (EI.5). Si en 4ABC se tiene AB ∼ = AC, entonces ^B ∼ = ^C. Teorema 1.14. Si A∗B∗C, D∗E∗F , AB ∼ = DE, y AC ∼ = DF , entonces BC ∼ = EF . Teorema 1.15. Si AC ∼ = DF , entonces para cualquier punto B entre A y C existe un único punto E entre D y F tal que AB ∼ = DE. Definición 1.13. AB < CD, significa que existe un punto E entre C y D tal que AB ∼ = CE. Definición 1.14. (a) Dos ángulos ^BAC y ^DAE son opuestos por el vértice, si −→ −−→ −→ −→ el rayo AB es opuesto al rayo AD y el rayo AC es opuesto al rayo AE. (b) Dos ángulos ^BAC y ^CAD son suplementarios si tienen un lado en común −→ −→ −−→ AC y lo lados AB y AD son rayos opuestos. También se dide que cada uno de estos ángulos es un suplemento del otro. Teorema 1.16. Dados cualesquiera segmentos, AB , CD y EF , (a) Exactamente una de las siguientes tres condiciones se cumple: AB < CD, AB > CD ó AB ∼ = CD. (b) Si AB < CD y CD ∼ = EF , entonces AB < EF . (c) Si AB > CD y CD ∼ = EF , entonces AB > EF . (d) Si AB < CD y CD < EF , entonces AB < EF . Teorema 1.17. Suplementos de ángulos congruentes son congruentes. Teorema 1.18. Ángulos opuestos por el vértice son congruentes. Observemos que dos suplementos de un ángulo dado, son opuestos por el vértice y por lo tanto son congruentes. Definición 1.15. plementos. (a) Un ángulo es recto si es congruente a cualquiera de sus su- (b) Una recta l es perpendicular a la recta m si inciden en un punto A y los cuatro ángulos que se forman son rectos. Se denotará como l ⊥ m y al punto A se le conoce como el pie de la perpendicular. Teorema 1.19. Un ángulo congruente a un ángulo recto es un ángulo recto. 1.1 Sistema axiomático de la geometría neutral plana 11 Teorema 1.20. Para cada recta l y cada punto P existe una recta diferente de l, que pasa por P y es perpendicular a l. Teorema 1.21 (Criterio Ángulo Lado Ángulo - ALA). Si 4ABC y 4DEF con ^A ∼ = ^D, ^C ∼ = ^F y AC ∼ = DF , entonces 4ABC ∼ = 4DEF . Teorema 1.22 (EI.6). Si en el 4ABC tenemos ^B ∼ = ^C, entonces AB ∼ = AC y 4ABC es isosceles. −−→ −→ −−→ −−→ −−→ −→ Teorema 1.23. Si BG entre AB y BC, EH entre ED y EF , ^CBG ∼ = ^F EH y ∼ ∼ ^GBA = ^HED, entonces ^ABC = ^DEF . −−→ −→ −−→ −−→ −−→ −→ Teorema 1.24. Si BG entre BA y BC, EH entre ED y EF , ^CBG ∼ = ^EF H y ∼ ∼ ^ABC = ^DEF , entonces ^GBA = ^HED. Definición 1.16. Diremos ^ABC es menor que ^DEF (o que ^DEF es mayor ^ABC ) y escribiremos ^ABC < ^DEF (o que ^DEF > ^ABC), si hay un rayo −−→ −−→ −→ EG entre ED y EF tal que ^ABC ∼ = ^GEF . Teorema 1.25. Dados cualesquiera ángulos, ^LM N , ^P QR y ^ST U , (a) Se cumple exactamente una de las siguientes tres condiciones: ^LM N < ^P QR, ^LM N ∼ = ^P QR ó ^LM N > ^P QR. (b) Si ^LM N < ^P QR y ^P QR ∼ = ^ST U , entonces ^LM N < ^ST U . (c) Si ^LM N > ^P QR y ^P QR ∼ = ^ST U , entonces ^LM N > ^ST U . (d) Si ^LM N < ^P QR y ^P QR < ^ST U , entonces ^LM N < ^ST U . Teorema 1.26 (Criterio Lado Lado Lado (LLL)). Si AB ∼ = DE, BC ∼ = EF y ∼ ∼ AC = DF , entonces 4ABC = 4DEF . Teorema 1.27 (IV Postulado de Euclides). Cualesquiera dos ángulos rectos son congruentes. Definición 1.17. Un ángulo es agudo es menor que un recto, y un ángulo es obtuso es mayor que uno recto. Observación 1.2. De la propiedad de separación de rectas por puntos (Teorema 1.4) se concluye que si l es una recta y A, B, C ∈ {l} y B ∗ A ∗ C, entonces el rayo −→ −→ −→ −→ (AB, AC − {A}) y (AB − {A}, AC) son cortaduras de l. De manera coloquial está propiedad señala que todo punto en un recta determina por lo menos un cortadura de Dedekind. El Axioma de continuidad es una especie de recíproco (toda cortadura de una recta l determina exactamente un punto en ella). 12 Geometría neutral Definición 1.18. Dados un segmento AB y un punto O tenemos: (a) El cículo (o circunfernencia) con centro en O y radio AB es el conjunto de puntos P tales que OP ∼ = AB. (b) Si γ es el círculo con centro en O y radio AB, el interior de γ es todos los puntos R tales que OR < AB. (c) Si γ es el círculo con centro en O y radio AB, los puntos fuera de γ son todos los puntos Q tales que OQ > AB. Teorema 1.28 (Principio de Continuidad Círculo-Círculo). Si un círculo γ tiene un punto R en el interior otro círculo γ 0 y un punto Q fuera de γ 0 , entonces los dos circulos se intersectan en dos puntos. Teorema 1.29 (Principio de Continuidad Recta-círculo). Si una recta pasa por un punto dentro de un círculo, la recta intersecta a la circunferencia en dos puntos. −→ Teorema 1.30 (Principio de Arquímides). Si CD un segmento y AB un rayo, en−→ tonces para cualquier punto E 6= A que incide con AB exite un número n natural tal que nCD = AE y B = E ó A ∗ B ∗ E. Teorema 1.31 (Principio de Aristóteles). Dados un ángulo agudo ^ABC y cualquier −→ segmento DE, existe un punto Y en BA tal que si X es el pie de la perpendicular −−→ de BC bajada desde Y , XY > DE. 1.2. Otros teoremas de la geometría neutral Definición 1.19. Si l, l0 y t son rectas distintas, entonces (a) A la terna (l, l0 , t) se le llama una configuración, si t concurre con l y con l0 . (b) Si (l, l0 , t) es una configuración, t concurre con l en B y concurre con l0 en B 0 , y si A y C son puntos en {l} y A0 y C 0 son puntos en {l0 } tales que A ∗ B ∗ C y A0 ∗B 0 ∗C 0 , entonces ^A0 B 0 B, ^ABB 0 , ^C 0 B 0 B, ^CBB 0 son llamados ángulos interiores, y los dos pares de ángulos (^ABB 0 , ^C 0 B 0 B) y (^A0 B 0 B, ^CBB 0 ) son llamados pares de ángulos interiores alternos, véase Figura 1.8. 1.2 Otros teoremas de la geometría neutral 13 Figura 1.8 Teorema 1.32 (Ángulo Alterno Interno (EI.28)). Si dos rectas cortadas por una transversal tiene un par de ángulos interiores congruentes con respecto a esa transversal, entonces las dos rectas son paralelas. Corolario 1.3. Dos rectas perpendiculares a la misma recta son paralelas. Así que, la perpendicular trazada desde un punto P a una recta l a es única, P no está en l. Corolario 1.4. Si l es cualquier recta y P es cualquier punto que no esta en l, existe al menos una recta m que pasa por P paralela a l. Definición 1.20. Un ángulo suplementario a un ángulo de un triángulo es llamado ángulo exterior de ese triángulo. Los otros dos ángulos del triángulo son llamados ángulos interiores remotos a ese ángulo exterior. Teorema 1.33 (Ángulo exterior). Un ángulo exterior de un triángulo es mayor que cualquiera de sus ángulos interiores remotos. Corolario 1.5. Si un triángulo tiene ángulo recto u obtuso, los otros dos ángulos son agudos. Teorema 1.34. Si AC ∼ = DF , ^A ∼ = ^D y ^B ∼ = ^E, entonces 4ABC ∼ = 4DEF . Definición 1.21. (a) AD es bisectriz del ángulo ^BAC, si D es un punto en el interior del ángulo y ^BAD ∼ = ^DAC. (b) BD es mediatriz a AC, si BD ⊥ AC y AB ∼ = BC. Definición 1.22. Si un ángulo ^A de un triángulo 4ABC es recto, entonces el triángulo es un triángulo rectángulo. A los lados AB y AC de 4ABC son llamados catetos y el lado CB es la hipotenusa. 14 Geometría neutral Teorema 1.35. Dos triángulos rectángulos son congruentes si la hipotenusa y un cateto son congruentes. Teorema 1.36. Cada segmento tiene un único punto medio. Teorema 1.37. (a) Cada ángulo tiene una única bisectriz. (b) Cada segmento tiene una única mediatriz. Teorema 1.38. En un triángulo 4ABC, el ángulo mayor se encuentra frente al lado mayor y el lado mayor frente al ángulo mayor, es decir, AB > BC si y sólo si ^ACB > ^BAC. Teorema 1.39. Dado 4ABC y 4A0 B 0 C 0 si tenemos AB ∼ = A0 B 0 y BC ∼ = B0C 0 entonces ^ABC < ^A0 B 0 C 0 si y sólo si AC < A0 C 0 . Teorema 1.40 (Medidas de Ángulos y Segmentos). Hay una única manera de asignar la medida en grados (^A)◦ a cada ángulo tal que las siguientes propiedades se cumplen: (a) (^A)◦ es un número real tal que 0 < (^A)◦ < 180◦ . (b) (^A)◦ = 90◦ si y sólo si ^A es un ángulo recto. (c) (^A)◦ = (^B)◦ si y sólo si ^A ∼ = ^B. −→ (d) Si AC es interior a ^DAB, entonces (^DAB)◦ = (^DAC)◦ + (^CAB)◦ . (e) Para cada número real x, que está entre 0 y 180 existe un ángulo ^A tal que (^A)◦ = x◦ . (f ) Si ^B es suplementario de ^A, entonces (^A)◦ + (^B)◦ = 180◦ . (g) (^A)◦ > (^B)◦ si y sólo si ^A > ^B. Hay una única manera de asignar una longitud AB para cada segmento AB tal que las siguientes propiedades se cumplen: (h) AB es un número real positivo y OI = 1, donde OI es llamado segmento unitario. (i) AB = CD si AB ∼ = CD. (j) A ∗ B ∗ C si y sólo si AC = AB + BC. 1.2 Otros teoremas de la geometría neutral 15 (k) AB < CD si y sólo si AB < CD. (m) Para cada número real positivo x, existe un segmento AB tal que AB = x. Definición 1.23. Si (^B)◦ + (^C)◦ = 90◦ , entonces ^B y ^C son llamados complementarios el uno del otro y se dicen ángulos complementarios. Corolario 1.6 (Consecuencia del Teorema del Ángulo Exterior). La suma de la medida de grados de cualesquiera dos ángulos de un triángulo es menor de 180◦ . Desigualdad triangular Si AB, BC y AC son longitudes de los lados de un triángulo 4ABC entonces AC < AB + BC. Corolario 1.7. El recíproco a la desigualdad del triángulo es equivalente al Principio de Continuidad Círculo-Círculo. Por lo tanto, lo opuesto a la desigualdad del triángulo se cumple en planos euclidianos. 16 Geometría neutral Capítulo 2 Transformaciones geométricas Como dijimos en el Capítulo 1, un sistema axiomático cuenta con un conjunto de términos indefinidos, un conjunto de relaciones indefinidas y un conjunto de axiomas que establecen las propiedades básicas que deben cumplir dichos términos y relaciones. En el caso de la geometría neutral plana (GNP) los términos indefinidos son punto y recta, y las relaciones indefinidas son: incidencia, orden, congruencia de segmentos y congruencia de ángulos. De manera general, si tenemos cualquier sistema de axiomas, podemos interpretar los términos indefinidos y las relaciones indefinidas de alguna manera, es decir, dar a los términos indefinidos y a las relaciones indefinidas un significado particular. Llamamos a esto una interpretación del sistema. Entonces podemos preguntarnos si los axiomas, así interpretados, son afirmaciones correctas; si lo son, llamaremos a esta interpretación un modelo [2]. Ejemplo: le llamaremos sistema axiomático de Geometría de Incidencia Plana (GIP) a aquél cuyo términos indefinidos son punto y recta y cuya única relación indefinida es la relación de incidencia entre puntos y rectas. Si P es un punto de GIP y l es una recta de GIP, la proposición “P incide con l” y se escribe P Il; se considera como una relación simétrica, es decir, para nosotros será lo mismo decir “P incide con l” que “l incide con P ”. Los axiomas de este sistema axiomático son los tres axiomas de incidencia de la geometría neutral GN P . Una interpretación de GIP es un terna M = (Π, Λ, I) cuyos elemntos de Π son los puntos de nuestra interpretación M, Λ son las rectas de M e I es una relación entre los elementos de M y de Λ. Por ejemplo podriamos escoger: Π1 = {A, B, C}, 17 18 Transformaciones geométricas Λ1 = {{A, B}, {B, C}, {A, C}} y definir: P ∈ Π1 y l ∈ Λ1 , P Il si y sólo si P ∈ l. La terna M = (Π1 , Λ1 , I1 ) es una interpretación los puntos de GIP como los elementos de Λ, que son conjuntos de puntos; la relación de incidencia como la relación de pertenencia, es decir, P Il si y sólo si P ∈ l. Lo más interesante de una interpretación M de un sistema axiomático S es que los términos indefinidos de S y las relaciones indefinidas de S en M, satisfagan los axiomas de S interpretados en M. Sólo en este caso se podrá decir que M es un modelo de S. Análogamente, la interpretación M∈ = (Π2 , Λ2 , I2 ) en donde Λ2 = {a, b, c}, Π2 = {{a, b}, {b, c}, {a, c}}, y si p ∈ Π2 y l ∈ Λ1 , entonces P Il si y sólo si P ∈ l(o sea un punto incide con una recta si ¡la recta pertenece al punto!) es un modelo de GIP. También, la interpretación geométrica en donde los puntos son marcas de lápiz sobre el papel, las rectas son las trazadas con la regla y la incidencia de un punto con una recta se da si la recta pasa por el punto, es modelo de GIP. Otro modelo de GIP es el usado en geometía analítica. En él los puntos son parejas ordenadas de números reales, las rectas son conjunto de estilo: {(x, y) | ax + by + c = 0}, donde a, b y c ∈ R y a2 + b2 > 0, un punto (x0 , y0 ) incide con una recta {(x, y) ∈ R2 | ax + by + c = 0} si y sólo si ax0 + by0 + c = 0. Se puede consultar [2], [3] y [4] para este capítulo. 2.1. Automorfismos de planos neutrales Definición 2.1. Un modelo de la geometría neutral plana GNP es una quinteta M = (Π, Λ, I, ∗, ∼ =) en donde Π es un conjunto cuyos elementos son puntos de M, Λ es un conjunto cuyos elementos son las rectas de M, I es una relación entre puntos y rectas, ∗ es una relación entre ternas de puntos y ∼ = es una relación entre segmentos y también una relación entre ángulos y todos ellos cumplen con los axiomas de GNP. Los últimos dos ejemplos de GIP, son también modelos de GNP si definimos de la manera usual, en cada uno de ellos, las relaciones de orden (∗) y congruencia (∼ =). Definición 2.2. Supongamos que M1 = (Π1 , Λ1 , I1 , ∗1 , ∼ =1 ) y M2 = (Π2 , Λ2 , I2 , ∗2 , ∼ =2 ) son dos modelos de GNP. Entonces: (a) Un isomorfismo entre M1 y M2 es una función biyectiva ϕ : Π1 −→ Π2 que conservan la incidencia, el orden y la congruencia, es decir: 2.1 Automorfismos de planos neutrales 19 1. Para cualesquiera dos puntos distintos A y B en Π1 , se tiene: ←−−−−−→ ←→ P I1 AB si y sólo si ϕ(P )I2 ϕ(A)ϕ(B). 2. Si A, B y C en Π1 , entonces A ∗1 B ∗1 C si y sólo si ϕ(A) ∗2 ϕ(B) ∗2 ϕ(C). 3. Si A, B, C, D en Π1 con A 6= B y C 6= D, entonces AB ∼ =1 CD si y sólo ∼ si ϕ(A)ϕ(B) =2 ϕ(C)ϕ(D). 4. Dados los ángulos en M1 ^ABC y ^DEF , tenemos: ^ABC ∼ =1 ^DEF si y sólo si ^ϕ(A)ϕ(B)ϕ(C) ∼ =2 ^ϕ(D)ϕ(E)ϕ(F ). (b) Si M1 = M2 y ϕ : M1 −→ M2 es un isomorfismo, entonces se dice que ϕ es un automorfismo de M1 . Definición 2.3. (a) El sistema axiomático de la Geometría Euclidiana Plana (GEP) consta de los mismos términos y relaciones indefinidas, los axiomas de incidencia, orden, congruencia y continuidad que GNP, con un axioma más: La Propiedad Euclidiana de las Paralelas (PEP), dados una recta l y un punto P que no incide con l, existe una única recta m que incide con P y es paralela a l. (b) El sistema axiomático de la Geometría Hiperbólica Plana (GHP) consta de los mismos términos y relaciones indefinidas y los axiomas de incidencia, orden, congruencia y continuidad que GNP, pero con un axioma más: La Propiedad Hiperbólica de las Paralelas (PHP), dados una recta l y un punto P que no incide con l, existen por lo menos dos rectas n y m que inciden con P y que son paralelas a l. Definición 2.4. (a) A un modelo de GNP se le llama plano neutral. (b) A un modelo de GEP se le llama plano euclidiano. (c) A un modelo de GHP se le llama plano hiperbólico. Se sabe que PHP es equivalente, en GNP, a la negación de PEP. Su demostración no es sencilla (veáse [3], Página 187-188 ó [4], Página 250-251). Una consecuencia de esta observación es la siguiente proposición: Proposición 2.1. Cualquier plano neutral es euclidiano o es hiperbólico. Si tenemos dos automorfismos R y T de un plano neutral M = (Π, Λ, I, ∗, ∼ =), a la composición de R y T como funciones de Π a Π, se le denotará R ◦ T . 20 Transformaciones geométricas Proposición 2.2. El conjunto Θ de todos los automorfismos de un plano neutral M = (Π, Λ, I, ∗, ∼ =), con la composición de funciones de Π a Π, forman un grupo, es decir, cumplen con las siguientes propiedades: (a) R y T ∈ Θ, entonces R ◦ T ∈ Θ. (b) Existe un elemento neutro en Θ, es decir, existe I ∈ Θ tal que I ◦ T = T = T ◦ I, para todo T ∈ Θ (de hecho I es la identidad de Π). (c) T ∈ Θ, entonces T −1 ∈ Θ, donde T −1 es la inversa de T. (d) R ◦ (T ◦ U ) = (R ◦ T ) ◦ U para toda R, T, U ∈ Θ (ley asociativa). El grupo Θ de automorfismo de M es abeliano si para cualesquiera R y T en Θ se tiene la propiedad R ◦ T = T ◦ R. 2.2. Isometrías y similitudes Convenio 2. Apartir de ahora y en el resto del capítulo M = (Π, Λ, I, ∗, ∼ =) será un plano neutral y Θ su grupo de automorfismos. Convenio 3. Como regla general, si T : Π −→ Π es una función biyectiva, le llamaremos transformación de M y, para cualquier P ∈ Π denoratemos por P 0 a T (P ). Definición 2.5. Sea T : Π −→ Π una función biyectiva. T es llamada isometría o movimiento de M si la longitud es invariante bajo T. En otras palabras, para cada segmento AB, AB = A0 B 0 (o equivalentemente AB ∼ = A0 B 0 ). Convenio 4. Si P ∈ Π y l ∈ Λ, en vez de decir P incide con l, usaremos expresiones más usuales (aunque no necesariamente correctas desde el punto de vista formal) como: P está en l, l pasa por P , P es un punto de l, etc. Proposición 2.3. (a) Toda isometría de M es un automorfismo de M. (b) El Conjunto de isometrías de M es un subgrupo del Θ. Demostración. 2.2 Isometrías y similitudes 21 (a) Sea T una isometría de M . Si AB ∼ = C 0 D0 . = CD, entonces A0 B 0 = AB = CD = C 0 D0 , así que A0 B 0 ∼ También T conserva el orden de puntos. Por Teorema 1.40 (j) A ∗ B ∗ C si y sólo si AC = AB + BC = A0 B 0 + B 0 C 0 = A0 C 0 , por lo tanto A0 ∗ B 0 ∗ C 0 . Ahora bien, si A, B son elementos de Π y A 6= B, se tiene: ←→ P I AB ⇔ P ∈ {A, B} ∨ P ∗ A ∗ B ∨ A ∗ B ∗ P ∨ A ∗ P ∗ B ⇔ P 0 ∈ {A0 , B 0 } ∨ P 0 ∗ A0 ∗ B 0 ∨ P 0 ∗ B 0 ∗ A0 ∨ A0 ∗ P 0 ∗ B 0 ←→ ⇔ P 0 I AB. Entonces T conserva la incidencia. Por último demostraremos que T conserva la congruencia de ángulos. Por el Teorema 1.40 basta demostrar que T conserva las medidas angulares. Primero que nada, como T conserva incidencia y orden, T conserva ángulos, es decir, T (^ABC) = ^A0 B 0 C 0 ; además T (4ABC) = 4A0 B 0 C 0 y como 4ABC ∼ = 4A0 B 0 C 0 (por Teorema 1.26), en◦ 0 0 0 ◦ tonces (^ABC) = (^A B C ) . Por todo esto T es un automorfismo de M. (b) 1. La composición de isometrías es una isometría: Sean h1 , h2 isometrías de M y A, B ∈ Π tales que h1 (A) = A1 , h2 (A1 ) = A2 , h1 (B) = B1 y h2 (B1 ) = B2 , entonces h2 ◦h1 (A) = A2 y h2 ◦h1 (B) = B2 . Falta ver que A2 B2 = AB, pero A1 B1 = AB y A2 B2 = A1 B1 , ya que h1 y h2 son isometrías, por lo tanto AB = A2 B2 . 2. La identidad es una isometría. Definimos I : Π −→ Π tal que, para cada A elemento de Π I(A) := A. Sean A y B elementos de Π entonces I(A) = A, I(B) = B, pero sabemos que AB ∼ = AB lo cual implica AB = AB. 3. Por último h−1 1 es inversa de h1 . −1 Definimos h−1 1 : Π −→ Π tal que para todo A y B que están en Π h1 (A) = 0 0 0 0 A y h−1 1 (B) = B . Veamos que A B = AB. −1 −1 A0 B 0 = h−1 (A)h−1 1 (B) = h1 ◦ h1 (A)h1 ◦ h1 (B) = AB. Por lo tanto las isometrías son un subgrupo del grupo de automorfismos. Como acabamos de ver, toda isometría de M es un automorfismo de M. Pero hay automorfismos de M que no son isometrías de M. 22 Transformaciones geométricas Por ejemplo si M es un plano euclidiano, O está en Π y k > 0 entonces la dilatación con centro O y radio k es la función T : Π −→ Π tal que si P está en Π, −→ entonces T (P ) = P 0 es el único punto sobre el rayo OP y tal que −−→0 −→ OP = k OP . Se puede demostrar que T es un automorfismo de M pero, si k 6= 1 T no es isometría. Sabemos ya, por la demostración de la proposición anterior que toda isometría conserva medidas angulares. Vamos a demostrar que no sólo las isometrías conservan medidas angulares, si no cualquier automorfismo de M, también lo hace: Proposición 2.4. Si T es un automorfismo de un plano neutral, entonces T conserva medida de ángulos. Demostración. Dado T un automorfismo de M, si A es el conjunto de ángulos de M, definimos la función m : A −→ R tal que para todo ángulo ^A ∈ M tenemos m(^A) = [^T (A)]◦ . Dado ^BAC, se −−→ −−→ tiene que ^BAC ∼ = ^B 0 A0 C 0 . En efecto, veamos primero que A0 B y A0 C 0 no son los mismos ni son opuestos: −−→ −−→ Si A0 B 0 = A0 C 0 ⇒ A0 ∗ B 0 ∗ C 0 ∨ A0 ∗ C 0 ∗ B 0 ⇒A∗B∗C ∨ A∗C ∗B −→ ⇒ C ∈ AB −→ −→ ⇒ AB = AC lo cual es una contradicción. −−→ −−→ Si A0 B 0 y A0 C 0 son opuestos ⇒ C 0 ∗ A0 ∗ B 0 ⇒C ∗A∗B −→ ⇒ C ∈ AB −→ −→ ⇒ AC y AB son opuestos, que es una contradicción. −−→ −−→ Por lo tanto A0 B 0 y A0 C 0 si forman un ángulo. Ahora probaremos que las propiedades, respecto a las medidas en grados, del Teorema 1.40, las satisface la función m: 2.2 Isometrías y similitudes 23 (a) m(^A) = [^T (A)]◦ ∈ (0◦ , 180◦ ). (b) m(^A) = 90◦ ⇔ [^A0 ]◦ = 90◦ ⇔ ^A0 es recto ⇔ ^A0 es congruente a uno de su suplemento, C 0 A0 D0 ⇔ ^A es congruente con su suplemento ^CAD ⇔ ^A es recto. (c) ^A ∼ = ^B ⇔ ^A0 ∼ = ^B 0 ⇔ [^A0 ]◦ = [^B 0 ]◦ ⇔ m(^A) = m(^B). por ser T automorfismo −−→ (d) Si AD está en el interior de ^BAC ⇒ B∗D∗C sin pérdida de generalidad sobre D 0 ⇒B ∗ D0 ∗ C 0 −− → −−→ −−→ 0 0 ⇒ A D está entre A0 B 0 y A0 C 0 ⇒ [^B 0 A0 C 0 ]◦ = [^B 0 A0 D0 ]◦ + [^D0 A0 C 0 ]◦ Teorema 1.40 ⇒ m(^B 0 A0 C 0 ) = m(^B 0 A0 D0 )+m(^D0 A0 C 0 ). (e) Si θ ∈ (0, 180), existe ^A tal que [^A]◦ = θ◦ . Si ^A0 = T −1 (^A), entonces T (^A0 ) = ^A y por lo tanto m(^A0 ) = [T (^A0 )]◦ = [^A]◦ = θ◦ . (f) Si ^A es suplemento de ^B, entonces ^A0 es suplemento de ^B 0 , por lo que [^A0 ]◦ + [^B 0 ]◦ = 180◦ , pero [^A0 ]◦ = m(^A) y [^B 0 ]◦ = m(^B). −−→ −−→ −−→ (g) Si ^BAC < ^Y XZ, por definición existe un rayo XG entre XY y XZ tal que ^BAC ∼ = ^Y XG. Pero como T es automorfismo (preserva incidencia, orden y −−−→ −−→ −−→ congruencia), entonces también existe un rayo X 0 G0 entre X 0 Y y X 0 Z 0 tal que ^B 0 A0 C 0 ∼ = ^Y 0 X 0 G0 . Y por lo tanto ^B 0 A0 C 0 < ^Y 0 X 0 Z 0 . Hemos demostrado que si ^BAC < Y XZ, entonces ^B 0 A0 C 0 < ^Y 0 X 0 Z 0 , para demostrar la implicación recíproca basta aplicar a los ángulos de la derecha el automorfismo T −1 , luego: ^BAC < ^Y XZ ⇔ ^B 0 A0 C 0 < ^Y 0 X 0 Z 0 ⇔ [^B 0 A0 C 0 ]◦ < [^Y 0 X 0 Z 0 ]◦ aplicando T −1 ⇔ m(^BAC) < m(^Y XZ). Por lo tanto m es la función que satisface las propiedades (a)-(g) del Teorema 1.40. Pero dicho Teorema asegura que la medida en grados es la única función con 24 Transformaciones geométricas estas propiedades. Entonces m es esa medida en grados, es decir, para cada ángulo ^A, m(^A) = [^A]◦ . Por lo tanto para cada ángulo ^A, m(^A) = [^T (A)]◦ [^A0 ]◦ . Definición 2.6. Decimos que el triángulo 4ABC es semejante al triángulo 4A0 B 0 C 0 si sus ángulos correspondientes son congruentes y sus lados correspondientes son proAC BC 0 0 0 porcionales, es decir, AAB 0 B 0 = A0 C 0 = B 0 C 0 . Lo denotaremos como 4ABC ∼ 4A B C . Solo cuando hablamos de ∼ en triángulo nos referimos a la semejanza, no confundir con la relación. Corolario 2.1. Si M es un plano euclidiano y T : Π → Π es biyectiva, entonces son equivalentes: (a) T es un automorfismo de M. (b) Para cada triángulo 4ABC de M, entonces 4ABC ∼ 4A0 B 0 C 0 . (c) Existe k ∈ R, tal que para cada segmento ED de M, se tiene que kE 0 D0 = ED. Demostración. (a) ⇒ (b) Si 4A0 B 0 C 0 es la imagen de 4ABC bajo T , entonces T conserva medidas de ángulos; por lo tanto los ángulos correspondientes en ambos triángulos son congruentes. (b) ⇒ (c) Sean 4ABC un triángulo fijo cualquiera y 4A0 B 0 C 0 su imagen bajo T . Entonces como 4ABC ∼ 4A0 B 0 C 0 , entonces AB AC BC = = . A0 B 0 A0 C 0 B0C 0 Sea k = AAB 0 B 0 . Entonces k es un real positivo. Ahora demostraremos que, para cualquier otro segmento ED, ED = kE 0 D0 , véase Figura 2.1. Como 4ABD ∼ 4A0 B 0 D0 se tiene que AD AB = 0 0 = k. 0 0 AD AB 0 0 0 Además 4ADE ∼ 4A D E , entonces (1) ED AD = . E 0 D0 A0 D0 Por (1), tenemos ED E 0 D0 = k, por lo tanto kE 0 D0 = ED. 2.2 Isometrías y similitudes 25 Figura 2.1 (c) ⇒ (a) Supongamos que existe k ∈ R tal que, para cualquier segmento CD en M , se tiene CD = kC 0 D0 . Demostraremos que T conserva orden, congruencia e incidencia. Si A ∗ B ∗ C ⇔ AC = AB + BC ⇔ kA0 C 0 = kA0 B 0 + kB 0 C 0 ⇔ A0 C 0 = A0 B 0 + B 0 C 0 ⇔ A0 ∗ B 0 ∗ C 0 . Por lo tanto se conserva el orden. Para la incidencia. Sean P y l una recta, entonces existen dos puntos distintos ←→ A y B que inciden con l y AB = l. Supongamos que P Il, tenemos dos casos: ←−→ ←−→ 1. Si P ∈ {A, B}, así que P 0 ∈ {A0 , B 0 } ⊆ A0 B 0 . Entonces P I A0 B 0 . ←→ 2. Si P ∈ / {A, B}. Como P ∈ l = AB, entonces A, B y P son colineales y distintos, por lo que A ∗ B ∗ P o A ∗ P ∗ B o B ∗ A ∗ P . Y Como T conserva el orden A0 ∗ B 0 ∗ P 0 o A0 ∗ P 0 ∗ B 0 o B 0 ∗ A0 ∗ P 0 . ←→ En cualquier caso A0 , B 0 y P 0 son colineales y distintos. Por lo tanto P 0 I AB. Congruencia se tiene dos casos: Para segmentos: supongamos AB ∼ = CD, entonces AB = CD, lo cual implica 26 Transformaciones geométricas = k1 CD y por (c) A0 B 0 = C 0 D0 . Por lo tanto A0 B 0 ∼ = C 0 D0 . Para ángulos: sea ^ABC un ángulo, entonces por (c): 1 AB k A0 B 0 = 1 AB, k A0 C 0 = 1 AC k y B0C 0 = 1 BC. k Por lo tanto: A0 B 0 AB = , A0 C 0 AC A0 B 0 AB B0C 0 BC = y = , B0C 0 BC A0 C 0 AC así 4ABC ∼ 4A0 B 0 C 0 y con ello ^ABC ∼ = ^A0 B 0 C 0 . Por lo tanto T es un automorfismo. Por el Corolario 2.1, a los automorfismos de M se les llaman también similitudes. En el caso de los planos hiperbólicos, se tiene el siguiente resultado. Proposición 2.5. Cada automorfismo de un plano hiperbólico es una isometría. En realidad también es un corolario de la Proposición 2.4 y del hecho de que la semejanza y la congruencia son las mismas que en la geometría hiperbólica (para su demostración véase el Teorema 6.2 en [3]). 2.3. Reflexiones Definición 2.7. Dada una recta m en el plano neutral M, la reflexión a través de la recta m es la función Rm : Π −→ Π que deja fijos a los puntos que incidan con m y transforma a un punto A que no incida con m de la siguiente manera: Sea M el pie de la perpendicular de A a m. Entonces por definición Rm (A) es el único punto A0 tal que A0 ∗ M ∗ A y AM ∼ = A0 M . Suele denotarse Am . Observación 2.1. Rm ◦ Rm = I, es decir, Rm = (Rm )−1 . Definición 2.8. Una transformación de M, distinta de la igualdad y que es igual a su propia inversa se llama involución. Definición 2.9. Un punto fijo de una transformación T es un punto A tal que A0 = A. 2.3 Reflexiones 27 Así, los puntos fijos de una reflexión Rm son los puntos que estan en m. Proposición 2.6. Toda reflexión es una isometría. Demostración. Sean m una recta y Rm la reflexión. Sean A y B dos puntos distintos cualesquiera. Probaremos que si Rm (A) = A0 y Rm (B) = B 0 , entonces AB = A0 B 0 . Un primer caso no trivial es cuando uno de los dos puntos, dijamos A está en m y el otro no. En este caso A0 = A. (a) (b) Figura 2.2 Entonces como m es la mediatriz del segmento BB 0 , si el punto M es el punto medio del segmento BB 0 se tiene que 4ABM ∼ = 4AB 0 M (Axioma C6). Por lo tanto 0 0 AB ∼ = A B . Ahora supongamos que ni A ni B están en m. Sea C el punto medio del segmento AA0 . Si A y B están del mismo lado de m, véase Figura 2.2 (a). Entonces CB 0 ∼ = 4CAB, por lo que = ^ACB, luego 4CA0 B 0 ∼ = CA y ^A0 CB 0 ∼ = CB, CA0 ∼ 0 0 ∼ A B = AB. Si A y B están de lados opuestos de m, véase Figura 2.2 (b), lo que implica CB 0 ∼ = ^A0 CB. Así 4ACB 0 ∼ = 4A0 CB con = CA y ^ACB 0 ∼ = CB, CA0 ∼ 0 ∼ 0 0 ∼ 0 0 0 ∼ 0 ^CAB = CA B y AB = A C, entonces 4B AA = 4BA A, donde B 0 A0 ∼ = BA. Lema 2.1. Si un automorfismo T fija dos puntos A y B, entonces es una isometría ←→ y fija cada punto de la recta AB. Demostración. Por el inciso (c) del Corolario 2.1 existe una constante k > 0 tal que, para todo segmento CD, CD = kC 0 D0 , como AB = kA0 B 0 la constante es igual a 1. Por lo ←→ tanto T es una isometría. Sea C un tercer punto que incide con AB, consideremos 28 Transformaciones geométricas el caso que A ∗ B ∗ C; entonces A ∗ B ∗ C 0 y AC = AC 0 . Por Axioma C1, se tiene C = C 0 . Los demás casos son análogos. Lema 2.2. Si un automorfismo fija tres puntos no colineales, entonces es la identidad. Demostración. Si A, B, C son fijos, entonces por Lema 2.1 también los son los puntos en las rectas que unen a esos tres puntos. Vamos a demostrar que si D no está en esas tres rectas, entonces D es fijo también. Elegimos cualquier E entre A y B. Figura 2.3 ←→ Por el Teorema de Pasch, la recta DE intersecta con el otro lado del 4ABC en un punto F , véase Figura 2.3. Luego E y F son fijos por el Lema 2.1. Por lo tanto ←→ todos los punto de la recta EF son fijos, en particular D lo es. Proposición 2.7. Si un automorfismo fija dos puntos A, B y no es la identidad, ←→ entonces es la reflexión a través de la recta AB. Figura 2.4 2.3 Reflexiones 29 Demostración. ←→ Por Lema 2.1 aseguramos que cada punto de AB es fijo. Sea C cualquier punto ←→ ←→ fuera de AB y sea F el pie de la perpendicular desde C a AB. Un automorfismo ←→ conserva perpendicularidad, entonces C 0 debe estar en CF , véase Figura 2.4. El Lema 2.2 asegura que C 6= C 0 , y ya que CF = C 0 F 0 (Lema 2.1), por lo tanto C 0 es ←→ la reflexión de C respecto de AB. Proposición 2.8. Si dos triángulos 4ABC y 4A0 B 0 C 0 son congreuentes (4ABC ∼ = 4A0 B 0 C 0 ) si, y sólo si existe una única isometría T tal que T (A) = A0 , T (B) = B 0 y T (C) = C 0 . Además esta isometría se puede escribir como una composición de a lo más tres reflexiones (consideramos a la identidad como una composición de cero reflexiones y a cada reflexión como una composición de una reflexión). Demostración. Si existe una isometría T de M tal que T (A) = A0 , T (B) = B 0 y T (C) = C 0 , entones T manda el 4ABC sobre un triángulo congruente 4A0 B 0 C 0 (LLL). Para demostrar la suficiencia, supongamos que 4ABC ∼ = 4A0 B 0 C 0 . Queremos demostrar que hay una única isometría T tal que T (A) = A0 , T (B) = B 0 y T (C) = C 0 . La unicidad es fácil de demostrar, porque si T 0 fuera otra isometría tal que T 0 (A) = A0 , T 0 (B) = B 0 y T 0 (C) = C 0 , entonces T −1 ◦ T 0 fija esos tres puntos (T −1 ◦ T 0 (A) = A , T −1 ◦ T 0 (B) = B y T −1 ◦ T 0 (C) = C). Por lo tanto por Lema 2.2, T −1 ◦ T 0 = I y con ello T = T 0 . Ahora construiremos la isometría. Si A = A0 , B = B 0 y C = C 0 , entonces la identidad I es la isometría que buscamos. Figura 2.5 Podemos suponer que A 6= A0 y sea t la mediatriz de AA0 , véase Figura 2.5. Luego la reflexión a través de t manda A a A0 y B, C a los puntos B t , C t . Si B t = B 0 y 30 Transformaciones geométricas C t = C 0 , hemos terminado: Rt es la isometría que buscamos. Supongamos que si B 0 6= B t . Tenemos A0 B 0 ∼ = AB ∼ = A0 B t . Sea u la mediatriz de B 0 B t , así que Ru manda B t a B 0 . Esta reflexión fija A0 porque, si A0 , B t , B 0 son colineales, A0 es el punto medio de B 0 B t y está sobre u, véase Figura 2.6. Figura 2.6 Si A0 , B t , B 0 no son colineales, u es la mediatriz de la base del triángulo isósceles 4A0 B t B 0 y u pasa a través del vértice A0 , véase Figura 2.7 (a). Por lo tanto Rt (A) = A0 , Ru (A0 ) = A0 , Rt (B) = B t , Ru (B t ) = B 0 y Rt (C) = C t . Entonces Ru ◦Rt (A) = A0 y Ru ◦Rt (B) = B 0 . Si también a Ru (C t ) = C 0 , hemos terminado: Ru ◦Rt es la isometría buscada. Si, Por el contrario Ru ◦ Rt (C) = C 0 6= C 00 , entonces A0 C 0 ∼ = AC ∼ = A0 C 00 y B0C 0 ∼ = 4A0 B 0 C 00 . Un = BC ∼ = B 0 C 00 , véase Figura 2.7 (b). Así que 4A0 B 0 C 0 ∼ argumento con triángulos congruentes muestra que C 0 es la reflexión de C 00 a través ←−→ de v = A0 B 0 . Entonces Rv ◦ Ru ◦ Rt es la isometría que buscamos. (a) (b) Figura 2.7 2.4 Rotaciones 31 Corolario 2.2. Cada isometría es una composición de a lo más de tres reflexiones. Demostración. Supongamos que F es isometría. Entonces, existen tres puntos no colineales A, B y C. Si F (A) = A0 , F (B) = B 0 y F (C) = C 0 , se tiene que 4A0 B 0 C 0 ∼ = 4ABC y 0 por la Proposición 2.8, existe una única isometría T tal que T (A) = A , T (B) = B 0 y T (C) = C 0 . Por consiguiente F = T . Además T , y por tanto F , se puede escribir como una composición de a lo más tres reflexiones. 2.4. Rotaciones En toda esta sección seguiremos usando los convenios establecidos anteriomente. Definición 2.10. Si l y m dos rectas que inciden en un punto A. Entonces se dice que la transformación T = Rl Rm es una rotación alrededor de A. ←→ Definición 2.11. Una recta AB ∈ Λ es invariante bajo una transformación T de ←→ ←−→ ←→ M, si AB = A0 B 0 (aunque no todos los puntos de AB son fijos bajos T ). Proposición 2.9. Si l perpendicular a m, A el punto de intersección de l y m y T = Rl ◦ Rm , entonces para cualquier punto B = 6 A, A es el punto medio de BB 0 . Demostración. Si B incide con m, entonces T (B) = Rl ◦ Rm (B) = Rl (B) = B 0 , como m es invariante bajo l, B 0 está en m, véase Figura 2.8. Así, B, A y B 0 son colineales. Figura 2.8 Y como AB = AB 0 , por ser T una isometría, A es el punto medio de BB 0 . Análogamente si B ∈ l. 32 Transformaciones geométricas Ahora suponemos que B no incide con m ni con l. Sea C el pie de la perpendicular de B a m, entonces B 0 está del lado opuesto de l y m con repesto de B (ya que B y B m están del mismo lado de l y B m y B 0 están de lados opuestos de l, también B y B m están en lados opuestos de m y B m y B 0 están del mismo lado de m), y C 0 está en el lado opuesto de l respecto de C, véase Figura 2.9. Figura 2.9 Como T es una composición de dos reflexiones, T conserva congruencia de ángulos, lo que implica ^BAC ∼ = ^B 0 AC 0 y deducimos que deben ser ángulos opuestos por el vértice, por lo tanto A, B y B 0 son colineales. Así AB ∼ = AB 0 , entonces A es el punto medio de BB 0 . Definición 2.12. La isometría T de la Proposición 2.9 describe la rotación de 180◦ sobre A, también llamada la media vuelta alrededor de A, se denota HA . La imagen de un punto P bajo HA se denotará P A . Corolario 2.3. HA es una involución y sus rectas invarientes son la rectas que pasan por A. Demostración. b por la Sean HA (B) = B 0 , por demostrar que HA (B 0 ) = B. Sea HA (B 0 ) = B, ←→ ← → b y de BB 0 , así que AB 0 = AB, b por lo Proposición 2.9 A es el punto medio de B B ← → ← → 0 0 b incide con AB = AB , es decir, A, B, B y B b son colineales. Por Axioma tanto B −−→0 C1, en el rayo opuesto a AB , existe un único punto X tal que AX ∼ = AB 0 , pero − − → b estan en el rayo opuesto a AB 0 , entonces AB ∼ b ∼ B yB = AB 0 y AB = AB 0 , por lo b También por Proposición 2.9 las rectas que pasan por A son rectas tanto B = B. invariantes. 2.4 Rotaciones 33 Proposición 2.10. Una isometría T 6= I es una rotación si y sólo si T tiene exactamente un punto fijo. Demostración. Supongamos que T tiene solo un punto fijo A y elegimos B 6= A. Sea l la mediatriz de BB 0 . Como AB ∼ = AB 0 , A está sobre l y Rl ◦ T es la isometría que fija a los puntos A y B. Si Rl ◦ T = I, entonces T = Rl , lo cual contradice la hipótesis de que ←→ T tiene un punto fijo. Por lo tanto Rl ◦ T 6= I y m = AB, la Proposición 2.7 implica que Rl ◦ T = Rm , así que T = Rl ◦ Rm y T es una rotación alrededor de A, véase Figura 2.10. Figura 2.10 Sea T = Rl ◦ Rm una rotación alrededor de A. Supongamos que B 6= A es otro punto fijo. Entonces Rl (B m ) = Rl ◦ (Rm (B)) = B. Así que l es medíatriz de BB m . Pero m también es medíatriz de BB m , luego m = l, lo cual es una contradicción. Por lo tanto T tiene un punto fijo. Proposición 2.11. Si T es una rotación alrededor de A y m es cualquier recta a través de A, entonces existe una única recta l que pasa por A tal que T = Rl ◦ Rm . Si l no es perpendicular a m, entonces para cualquier punto B 6= A, [^BAB 0 ]◦ = 2d, donde d es el número de grados del ángulo agudo hecho por la intersección de las rectas l y m. Demostración. ←→ A es el único punto fijo de T . Sean B 6= A, l la medíatriz de BB 0 y m = AB. Como en la demostración de la Proposición 2.10, se puede probar que T = Rl Rm es una rotación alrededor de A. En Figura 2.10, se puede ver que [^BAB 0 ]◦ = 2d. 34 Transformaciones geométricas Por la Proposición 2.11, si T es la rotación Rl ◦ Rm y d es la medida en grados del ángulo agudo formado por las rectas l y m, suele decirce que T es la rotación alrededor de A en un ángulo de 2d grados. Observación 2.2. No es lo mismo Rl ◦Rm y Rm ◦Rl , una es la rotación a la derecha y la otra es rotación a la izquierda. Para un argumento más riguroso, notar que: 2 (Rm ◦ Rl ) ◦ (Rl ◦ Rm ) = Rm ◦ (Rl2 ) ◦ Rm = Rm ◦ I ◦ Rm = Rm = I. Por lo que la inversa de Rm ◦ Rl es Rl ◦ Rm . Proposición 2.12. Dado un punto A, el conjunto de rotaciones alrededor de A es un grupo conmutativo. Demostración. La identidad es una rotación alrededor de A por definición y, por la Observación 2.2 se demuestra que la inversa es una rotación alrededor de A. Demostraremos que la composición de dos rotaciones T ◦T 0 alrededor de A es una rotación. Sea T 0 = Rl ◦ Rm , por Proposicón 2.11, existe una única recta k a través de A tal que T = Rk ◦ Rl , entonces T ◦ T 0 = (Rk ◦ Rl ) ◦ (Rl ◦ Rm ) = Rk ◦ (Rl2 ) ◦ Rm = Rk ◦ I ◦ Rm = Rk ◦ Rm , la cual es una rotación alrededor de A. Para la conmutatividad aplicamos la Proposición 2.11 nuevamente para obtener una única recta n tal que T −1 = Rn ◦ Rm . Entonces T = Rm ◦ Rn y 2 T 0 ◦ T = (Rl ◦ Rm ) ◦ (Rm ◦ Rn ) = Rl ◦ (Rm ) ◦ Rn = Rl ◦ Rn . Como T ◦ T 0 = Rk ◦ Rm , 2 Rk ◦ (T ◦ T 0 ) ◦ Rm = Rk ◦ (Rk ◦ Rm ) ◦ Rm = Rk2 ◦ Rm =I◦I=I y también Rk ◦ (T 0 ◦ T ) ◦ Rm = Rk ◦ (Rl ◦ Rn ) ◦ Rm = (Rk ◦ Rl ) ◦ (Rn ◦ Rm ) = T ◦ T −1 = I. Por lo tanto, cancelando por la derecha Rm y por la izquieda Rk , T ◦ T 0 = T 0 ◦ T . 2.5 Translaciones 2.5. 35 Translaciones Definición 2.13. Si l y m dos rectas paralelas con una perpendicular en común t. Entonces se dice que la transformación T = Rl Rm es una translación a lo largo de t. Proposición 2.13. Sean l ⊥ t en A, m ⊥ t en B, y T = Rl ◦ Rm , Sean P , Q puntos cualesquiera tales que: (a) Si Q está sobre t, entonces QQ0 = 2(AB). (b) Si P no está sobre t, entonces P 0 ∈ S(P, l). En el plano euclidiano P P 0 = 2(AB) y en el hiperbólico P P 0 > 2(AB). Demostración. Supongamos que Q está sobre t y A ∗ B ∗ Q, véase Figura 2.11. Si BQ < AB, entonces A ∗ Qm ∗ B. Y QQ0 = Q0 A + AB + BQ = AQm + AB + BQm = (AQm + BQm ) + AB = AB + AB = 2(AB). Figura 2.11 Si BQ = AB, entonces Q0 = A y QQ0 = 2(AB). Si BQ > AB tenemos que Qm ∗ A ∗ B y Qm A = Qm B − AB = BQ − AB, véase Figura 2.12. Así también se tiene que Qm ∗ A ∗ Q0 ∗ Q, lo cual resulta en: 36 Transformaciones geométricas 2(BQ) = QQm = QQ0 + 2Qm A = QQ0 + 2(BQ − AB) 2(BQ) = QQ0 + 2BQ − 2AB QQ0 = 2AB. Figura 2.12 Supongamos que P ∈ / t; entonces P y P m están en una recta perpendicular a m y por lo tanto paralela a t, así que están del mismo lado de t. Similarmente, P m y P 0 están en el mismo lado de t y, por Axioma O4, P y P 0 están del mismo lado de t. Figura 2.13 Sea Q el pie de la perpendicular de P a t, véase Figura 2.13. Puesto que T preserva perpendicularidad, Q0 es el pie de la perpendicular de P 0 a t y, como T es una isometría, P QQ0 P 0 es cuadrilatero de Saccheri (ver [3], Páginas 154-155). En la geometría euclidiana este es un rectángulo y sus lados opuestos son congruentes, así que P P 0 = QQ0 = 2AB. En la geometría hiperbolica, la cima es más grande que 2.5 Translaciones 37 la base por lo que P P 0 > QQ0 = 2AB (ver [3], Lema 6.2). Por la Proposición anterior, a la traslación Rl ◦Rm se le suele llamar la translación −→ en la dirección del vector BA, en el plano euclidiano. Corolario 2.4. Si una translación tiene un punto fijo, entonces es la identidad. Demostración. Sea T = Rl ◦ Rm una translación, donde l y m son rectas con una perpendicular común t. Sean A y B los puntos en donde t corta a l y a m, respectivamente. Entonces para cualquier punto P , P P 0 ≥ 2AB. Si P es fijo, entonces P = P’ y P 0 P = 0, luego AB = 0, es decir A = B. Lo que implica l = m, por lo tanto Rl ◦ Rm = I. Proposición 2.14. Si T es una translación a lo largo de t y m es cualquier recta perpendicular a t, entonces existe una única recta l ⊥ t tal que Rl ◦ Rm = T Demostración. Supongamos que m corta a t en Q y sea l la mediatriz de QQ0 , entonces Rl T fija Q. Figura 2.14 Sea P cualquier otro punto en m. P QQ0 P 0 es un cuadrilatero de Saccheri; luego l mediatriz de QQ0 y l también es mediatriz a la cima P P 0 , véase Figura 2.14. P es la reflexión de P 0 a través de l (ver Lema 6.2 de [3]). Entonces Rl ◦ T fija cada punto en m, así que Rl ◦ T = Rm y T = (Rl )2 ◦ T = Rl ◦ (Rl ◦ T ) = Rl ◦ Rm . La unicidad, si T = Rk ◦ Rm , entonces Rl = T ◦ Rm = Rk y por lo tanto l = k. 38 Transformaciones geométricas Proposición 2.15. Dada una recta t, el conjunto de las translaciones a lo largo de t es un grupo conmutativo. Demostración. Sean m y l rectas con una perpendicular común t. La identidad está demostrada con el Corolario 2.4. La inversa es la misma que en la Observación 2.2: si T = Rl ◦Rm , entonces T −1 = Rm ◦ Rl . Falta demostrar que la composición T T 0 de translaciones a lo largo de t es otra translación a lo largo de t. Sea T 0 = Rl ◦ Rm , por Proposición 2.14, existe una única recta k ⊥ t tal que T = Rk ◦ Rl . Entonces T ◦ T 0 = (Rk ◦ Rl ) ◦ (Rl ◦ Rm ) = Rk ◦ (Rl2 ) ◦ Rm = Rk ◦ I ◦ Rm = Rk ◦ Rm es una translación a lo largo de t. Para la conmutatividad aplicamos la Proposición 2.14 de nuevo para obtener una única recta n tal que T −1 = Rn ◦ Rm . Entonces T = Rm ◦ Rn y 2 T 0 ◦ T = (Rl ◦ Rm ) ◦ (Rm ◦ Rn ) = Rl ◦ (Rm ) ◦ Rn = Rl ◦ Rn . Luego T ◦ T 0 = Rk ◦ Rm y 2 Rl ◦ (T ◦ T 0 ) ◦ Rm = Rk ◦ (Rk ◦ Rm ) ◦ Rm = Rl2 ◦ Rm = I ◦ I = I, también Rk ◦ (T 0 ◦ T ) ◦ Rm = Rk ◦ (Rl ◦ Rn ) ◦ Rm = (Rk ◦ Rl ) ◦ (Rn ◦ Rm ) = T ◦ T −1 = I. Por lo tanto T ◦ T 0 = T ◦0 T . Proposición 2.16. Sea T = Rl ◦ Rm 6= I una translación a lo largo de t. En el plano euclidiano, las rectas invariantes de T son t y todas las líneas paralelas a t. En el plano hiperbólico, t es la única recta invariante. Demostración. ←−−→ ←−→ Sea P un punto en t, entonces P P m ⊥ m, de igual manera P m P 0 ⊥ l. Pero, por definición de translación, t es una perpendicular común a l y m y P está en t, así ←→ que P P 0 = t, es decir, P 0 ∈ t. Por lo tanto t es invariante. En el caso euclidiano, si u k t, entonces T también es una translación a lo largo de u; porque u es perpendicular común a l y a m. Así u es invariante. Para ambos casos (euclidiano e hiperbólico), si u y t concurren en A, entonces A0 está sobre t y 2.6 Puntos ideales en el plano hiperbólico 39 Figura 2.15 A 6= A0 , asi A0 ∈ / u y u no es invariante. Caso hiperbólico. Supongamos que u es invariante y paralela a t, pero distinta ←→ de t. Elegimos cualquier punto P en u, entonces u = P P 0 , pero sabemos que P y P 0 son equidistantes desde t, por lo cual u y t tienen una perpendicular común m (ver Teorema 6.4 de [3]). Ya que m no es invariante y T preserva perpendicularidad, m0 también es perpendicular a t = t0 y u = u0 , véase Figura 2.15. Esto contradice la unicidad de la perpendicularidad común en la geometría hiperbólica (ver Teorema 6.5 de [3]). Proposición 2.17. Sean una isometría T , una recta t y un punto B en t. T es una translación a lo largo de t si y sólo si existe un único punto A en t tal que T es la composición de medias vueltas HA ◦ HB . Demostración. Supongamos que T es una translación a lo largo de t. Sea m la perpendicular de t que pasa por B. Si T es una translación a lo largo de t, entonces por la Proposición 2.14, existe una única recta l perpendicular a t tal que T = Rl ◦ Rm . Si l corta a t en A, entonces HA ◦HB = (Rl ◦Rt )◦(Rt ◦Rm ) = Rl ◦Rt2 ◦Rm = Rl ◦I ◦Rm = Rl ◦Rm = T . Ahora supongamos que existe un único punto A en t tal que T = HA ◦ HB . Demostraremos que T es una translación a lo largo de t. Sean n y k las rectas perpendiculares a t en B y A respectivamente. Entonces T = HA ◦ HB = (Rk ◦ Rt ) ◦ (Rt ◦ Rn ) = Rk ◦ I ◦ Rn = Rk ◦ Rn . 2.6. Puntos ideales en el plano hiperbólico En está sección supondremos que M es un plano hiperbólico 40 Transformaciones geométricas −→ −→ Definición 2.14. Los rayos no opuestos AB y AC son paralelos límites a una recta −→ l que no incide con A, si dichos rayos son paralelos a l y cualquier rayo AR, en el interior del ángulo ^BAC, corta a l, véase Figura 2.16. Observación 2.3. Se puede demostrar que dados una recta l y un punto A que no incide con l, hay exactamente dos rayos que emanan de A y que son paralelos límite a l (por el Modelo de Klein, Página 127, inciso (d)) ) . A estos dos rayos se les llama rayos paralelos límite respecto de A y l. También se puede probar que estos dos rayos son simétricos (veáse Teorema 6.6 de [3], Páginas 196-197) con respecto a la perpendicular t bajada de A sobre l y con pie en Q, en el sentido de que ^BAC es −→ bisectada por el rayo AQ, véase Figura 2.16. Figura 2.16 −→ Definición 2.15. (a) Un rayo AB es paralelo límite a una recta l, que no incide −→ con A, si AB es uno de los rayos paralelos límite respecto a A y l. −→ −−→ −→ (b) Dos rayos, AB y CD son rayos paralelos límite, si AB es el rayo paralelo limite ←→ ←→ respecto a A y CD que está en el semiplano S(AA0 , D), donde A0 es el pie de ←→ la perpendicular bajada de A en CD, véase Figura 2.17. Figura 2.17 −→ −−→ Observación 2.4. La relación AB ∼ CD es de equivalencia en el conjunto de rayos −→ −−→ −−→ −→ −→ −−→ de M si y sólo si AB ⊆ CD o CD ⊆ AB o AB y CD son rayos límite. 2.6 Puntos ideales en el plano hiperbólico 41 Definición 2.16. Un punto ideal Ω de M es una clase de equivalencia de rayos, bajo la relación anterior, es decir, Ω := [r], donde [r] es la clase de equivalencia del rayo r, véase Figura 2.18. Figura 2.18 Definición 2.17. Sea T una isometría de M, Ω := [r], un punto ideal de M. Si T (r) = r0 , se define T [r] := [r0 ], o sea, T (Ω) = Ω0 . Se dice que Ω es un punto ideal fijo de T , si T (Ω) = Ω. Observación 2.5. Esta última definición no depende del representante. En efecto supongamos que [s] = [r], entonces T ([s]) = [s0 ], donde T (s) = s0 , pero [s] = [r], así s y r son rayos parelelos límite y como T es isimetría [s0 ] = [r0 ], por lo que T [s] = T [r]. Definición 2.18. Dados una recta t, un rayo r en t y su rayo opuesto r0 . Entonces los puntos ideales Ω := [r] y Σ := [r0 ] se llaman los puntos finales de t, véase Figura ← → 2.19. Y t se puede denotar por ΩΣ. Figura 2.19 h−→i h−−→i Observación 2.6. Dado ^BAC en M, si Ω = BA y Σ = BC , entonces existe −→ −−→ una única recta l en M tal que BA y BC son los rayos paralelos límite respecto a A y l. A esta recta se le llama la recta de cerradura de ^BAC. De hecho es la recta ← → ΩΣ. 42 Transformaciones geométricas Definición 2.19. Decimos que Ω y Σ están en el mismo lado de la recta t, si ninguno ← → de ellos es un punto final de t y si la recta ΩΣ es paralela a t. Proposición 2.18. (a) Los puntos finales Ω y Σ de una recta m son los únicos puntos ideales fijos de la reflexión Rm y de cualquier translación (diferente de I) a lo largo de m. (b) Si una rotación tiene un punto ideal fijo, entonces es la identidad. (c) Si (Ω, Σ, ∆) y (Ω0 , Σ0 , ∆0 ) son dos ternas de puntos ideales, entonces existe una única isometría T de M mandando una terna en otra (T (Ω) = Ω0 , T (Σ) = Σ0 y T (∆) = ∆0 ). Demostración. (a) Existen rayos opuestos r y s de m, tales que Ω := [r] y Σ := [s]. Como r ⊆ m y r0 ⊆ m, si T es una translación a lo largo de m o T = Rm , y T (r) = r0 y T (s) = s0 , entonces [r] = [r0 ] y [s] = [s0 ], es decir T (Ω) = Ω y T (Σ) = Σ. ←→ Supongamos que cualquier otro punto ideal ∆ es fijo; entonces la recta Σ∆ = α sería invariante, pero si T es una translación a lo largo de m, T no tiene rectas invariantes aparte de m (Proposición 2.16) y las únicas rectas invariantes bajo Rm son m y las perpendiculares a m, pero m y α no son perpendiculares. Por lo tanto α = m, es decir, ∆ = Ω. (b) Supongamos que una rotación T alrededor de un punto A, tiene un punto ideal fijo Ω. Entonces existe un rayo r ∈ Ω tal que r emana de A. Si r0 = T (r), implica que r0 también emana de A y [r0 ] = [r]. Por lo tanto r0 = r. Pero por las Proposiciones 2.9 y 2.11, r 6= T (r) = r0 , a menos que T se la identidad. ← → (c) Hay un único punto B en ΣΩ tal que ^∆BΩ es un ángulo recto. Sea B 0 el punto ←−→ en Σ0 Ω0 tal que ^∆0 B 0 Ω0 es un ángulo recto. Sea A cualquier punto diferente de −−→ −→ B sobre B∆ y sea C cualquier punto diferente de B sobre BΩ. Por Axioma C1, existe un único punto A0 sobre B 0 ∆0 y C 0 sobre B 0 Ω0 tales que AB ∼ = A0 B 0 y CB ∼ = C 0 B 0 . Entonces 4ABC ∼ = 4A0 B 0 C 0 y por la Proposoción 2.8, existe una única isometría T que manda (Ω, Σ, ∆) a (Ω0 , Σ0 , ∆0 ). Inversamente, cualquier isometría T debe mandar (Ω, Σ, ∆) a (Ω0 , Σ0 , ∆0 ) y por la Proposición 2.8, T es única. 2.7 Desplazamiento paralelo 2.7. 43 Desplazamiento paralelo Definición 2.20. m y l son asintóticamente paralelas si no tienen perpendicular −→ −−→ común y existen dos rayos AB ∈ m y CD ∈ l que son rayos paralelos límite (ver [3], Página 198 o Modelo de Poincare, Página 126, inciso (c)). Definición 2.21. Si l y m son asintóticamente paralelas en dirección de un punto ideal Ω, una transformación T = Rl ◦ Rm de M es un desplazamiento paralelo alrededor de un punto ideal Σ. Proposición 2.19. Dado un desplazamiento paralelo T = Rl ◦ Rm alrededor del punto ideal Σ, entonces (a) T no tiene punto fijos. (b) Sea k cualquier recta a través de Σ y A cualquier punto en k, entonces Σ se encuentra en la mediatriz h de AA0 y T = Rh ◦ Rk . (c) T no tiene rectas invariantes. (d) El único punto ideal fijo de T es Σ. (e) El conjunto de desplazmientos paralelos sobre Σ es un grupo conmutativo. (f ) Una isometría con exactamente un punto ideal fijo es un desplazamiento paralelo. Demostración. ←−→ (a) Supongamos que A es fijo. Entonces Am = Al y la recta AAm es perpendicular a l y a m, contradiciendo la hipótesis. (b) Sea k cualquier recta a través de Σ y A cualquier punto en k. Notar que Σ se encuentra sobre las dos mediatrices l y m del 4AAm A0 . Entonces se puede demostrar que también Σ está sobre la tercera mediatriz h (veáse [3], Páginas 198-200). Como k pasa por Σ, el rayo de k que emana de A en la dirección de Σ, véase Figura 2.20. Entonces Rh ◦ T fija A y Σ. Por la Proposición 2.18 (b), Rh ◦ T no puede ser una rotación alrededor de A; si lo fuera Rh ◦ T = I y T = Rh , lo cual es una contradicción al inciso (a). Como Rh ◦ T deja a Σ = [r] fijo, si rb es el rayo que emana de A y asintóticamente paralelo a r, entonces Rh ◦ T (b r) también es asintóticamente paralelo a r pero, como A es un rayo fijo de Rh ◦ T y esta transformación manda rayos en rayos, Rh ◦ T (b r) = rb. Por la ← → Proposición 2.7, Rh ◦ T = Rk , con k = AΣ, por lo tanto T = Rh ◦ Rk . 44 Transformaciones geométricas Figura 2.20 (c) Supongamos que la recta t es invariante bajo T . Eligimos cualquier punto A ←→ sobre t y sea h y k como en (b). Entonces h ⊥ t = AA0 , así t también es invariante bajo Rh . Luego t es invariante bajo Rk = Rh ◦ T , lo cual significa que t ⊥ k o t = k. Pero las líneas paralelas asintóticamente h y k no pueden tener una perpendicular común o ser perpendiculares entre si. Por lo tanto t no es invariante bajo T . ← → (d) Si T tiene otro punto ideal fijo Ω, entonces la recta ΣΩ es invariante, loh cuali ← → −→ es una contradicción por (c). Más explícitamente, sea l = ΣΩ (si Ω = AB h−→i y Σ = AC , entonces l es la recta de cerradura de ^BAC). Sean P ∈ l y −→ −−→ −−→ −→ P E y P Den l tales que P D ∈ Ω y P E ∈ Σ. Como Ω y Σ son invariantes −−−−−−−→ −−→ −→ −−−−−−−→ bajo T , T P D = T (P )T (D) ∈ Ω y T P E = T (P )T (E) ∈ Σ. Además T −−−−−−−→ respeta orden, así D ∗ P ∗ E, luego T (D) ∗ T (P ) ∗ T (E), pero T (P )T (D) ⊆ Ω −−−−−−−→ ←−−−−−→ y T (P )T (E) ⊆ Σ. Entonces Σ y Ω son los puntos finales de T (P )T (D), lo que ←−−−−−→ ← → implica T (P )T (D) = ΣΩ = l y por lo tanto T (P ) ∈ l. (e) Es claro que si T = Rl ◦ Rm , es un desplazamiento tal que T −1 = Rm ◦ Rl , también es un desplazamiento alrededor de Σ. Vamos a demostrar que la composición T ◦ T 0 , dos desplazamientos paralelos alrededor de Σ es desplazamiento paralelo. Sea T 0 = Rk ◦ Rm , por (b) T = Rh ◦ Rk , por ser k una recta a través de Σ y si A está en k, h es la bisectriz de AA0 . Entonces T ◦ T 0 = (Rh ◦ Rk ) ◦ (Rk ◦ Rm ) = Rh ◦ (Rk2 ) ◦ Rm = Rh IRm = Rh Rm , es un despalzamiento paralelo alrededor de Σ. Observemos: Rh ◦ (T ◦ T 0 ) ◦ Rm = Rh ◦ (Rh ◦ Rm ) ◦ Rm = I. (1) 2.8 Media vuelta 45 Pero también, aplicando (b), existe una recta n tal que T −1 = Rn ◦ Rm , por lo que T = Rm ◦ Rn y T 0 ◦ T = (Rk ◦ Rm ) ◦ (Rm ◦ Rn ) = Rk ◦ Rn . Entonces: Rh ◦ (T 0 ◦ T ) ◦ Rm = Rh ◦ (Rk ◦ Rn ) ◦ Rm = T ◦ T −1 = I. (2) Por (1) y (2), T ◦ T 0 = T 0 ◦ T y la conmutatividad se cumple. (f) La prueba es de la Proposión 2.23, que se verá más adelante. 2.8. Media vuelta Proposición 2.20. En el plano euclidiano, la composición HA ◦ HB ◦ HC de tres medias vueltas es una media vuelta. En el plano hiperbólico, la composición de tres medias vueltas es media vuelta solo cuando A, B y C son colineales. Si no lo son, la composición puede ser una rotación, una translación o un desplazamiento paralelo. Demostración. Para ambos planos, suponemos que A, B y C son colineales y están en t. Sean l, m y n las respectivas perpendiculares a t a través de esos puntos. Entonces: HA ◦ HB ◦ HC = (Rl ◦ Rt ) ◦ (Rt ◦ Rm ) ◦ (Rn ◦ Rt ) = Rl ◦ (Rt2 ) ◦ Rm ◦ (Rn ◦ Rt ) = (Rl ◦ Rm ◦ Rn ) ◦ Rt = (Rl ◦ Rm ) ◦ (Rn ◦ Rt ). Pero Rl ◦Rm es una translación a lo largo de t. Por la Proposición 2.14, existe una recta k, perpendicular a t, tal que Rl ◦ Rm = Rk ◦ Rn . Por lo tanto, HA ◦ HB ◦ HC = (Rk ◦ Rn ) ◦ (Rn ◦ Rt ) = Rk ◦ Rt . Si k corta a t en D, tenemos que HA ◦ HB ◦ HC = HD . ←→ Ahora supongamos que A, B y C no son colineales, t = AB, l ⊥ t en A y m ⊥ t en B, véase Figura 2.21. Asumimos que C ∈ m (de lo contrario reemplazamos B por el pie de la perpendicular desde C a t y reemplazamos A por el punto que se obtiene usando la Proposición 2.17). Sea u la perpendicular a m en C, entonces HA ◦ HB ◦ HC = (Rl ◦ Rt ) ◦ (Rt ◦ Ru ) = Rl ◦ Ru . En el caso euclidiano , l corta a u en un punto D y l ⊥ u, así HA ◦ HB ◦ HC = HD . Caso hiperbólico, l y u pueden cortarse, ser paralelas divergentemente, o ser paralelas 46 Transformaciones geométricas Figura 2.21 asíntoticamente (veáse [3], Páginas 198-200). Si ellas se cortan en el punto D, entonces HA ◦ HB ◦ HC es la rotación alrededor de D, pero no es una media vuelta porque ^D es el cuarto ángulo de un cuadrilatero de Lambert (veáse [3], Páginas 160, 194) y no es ángulo recto. Figura 2.22 Si u y l son paralelas con una perpendicular en común (divergentes), entonces HA ◦ HB ◦ HC es una translación, véase Figura 2.22. Si u y l son paralelas asintóticamente, entonces HA ◦ HB ◦ HC es un desplazamiento paralelo. Corolario 2.5. En un plano euclidiano, la composición de dos translaciones a lo largo de diferentes rectas es otra vez una translación, y el conjunto de todas las translaciones a lo largo de todas las rectas es un grupo conmutativo. Es un subgrupo del grupo de isometrías de M. Demostración. Sean T = Rl ◦ Rm una translación a lo largo de t y T 0 = Rn ◦ Rk una translación a lo largo de s. Como l y m son perpendiculares a t, entonces Rl = HA y Rm = HB , donde A es el punto de intersección de l y t y B el punto de intersección de m y t. Análogo para Rn = HC y Rk = HD . Por lo que 2.9 Deslizamientos 47 T 0 ◦ T = (Rl ◦ Rm ) ◦ (Rn ◦ Rk ) = (HA ◦ HB ) ◦ (HC ◦ RD ) = (HA ◦ HB ◦ HC ) ◦ RD Pero por Proposición 2.20, HA ◦ HB ◦ HC = HE tal que E incide con s, así que T 0 ◦ T = HE ◦ HD y por Proposición 2.17 HE ◦ HD es una translacion a lo largo de s. 2.9. Deslizamientos Definición 2.22. Un deslizamiento-reflexión con eje t, o a lo largo de la recta t es una composición T 0 = Rt ◦ T de una translación T (diferente de la identidad) a lo largo de t, seguida de una reflexión a través de t. Proposición 2.21. Si l ⊥ t en A, m ⊥ t en B, T = Rl ◦ Rm , T 0 = Rt ◦ T , véase Figura 2.23. Entonces: (a) T ◦ Rt = T 0 . (b) HA ◦ Rm = T 0 = Rl ◦ HB . (c) T 0 manda cada lado de t sobre el lado opuesto. (d) T 0 no tiene puntos fijos. (e) La única recta invariante de T 0 es t. (f ) Inversamente, dado un punto B y la recta l, sea t la perpendicular a l a través de B. Entonces Rl ◦ HB es un deslizamiento-reflexión a lo largo de t, si B no está sobre l, y coincide con Rt si B está sobre l. Figura 2.23 48 Transformaciones geométricas Demostración. Sea HA = Rl ◦ Rt = Rt ◦ Rl , por ser l ⊥ t en A y HB = Rm ◦ Rt = Rt ◦ Rm , por ser m ⊥ t en B. (a) T ◦ Rt = (Rl ◦ Rm ) ◦ Rt = Rl ◦ (Rm ◦ Rt ) = Rl ◦ (Rt ◦ Rm ) = (Rl ◦ Rt ) ◦ Rm = (Rt ◦ Rl ) ◦ Rm = Rt ◦ (Rl ◦ Rm ) = Rt ◦ T = T 0 . (b) HA ◦ Rm = (Rl ◦ Rt ) ◦ Rm = (Rt ◦ Rl ) ◦ Rm = Rt ◦ (Rl ◦ Rm ) = Rt ◦ T = T 0 = T ◦ Rt = (Rl ◦ Rm ) ◦ Rt = Rl ◦ (Rm ◦ Rt ) = Rl ◦ (Rt ◦ Rm ) = Rl ◦ HB . (c) Sea un punto D que no está en t. La imagen T (D) = D00 está en S(t, D) pero Rt (D00 ) está del lado opuesto de S(t, D). (d) Supongamos que W es un punto fijo, es decir, T 0 (W ) = W . Entonces T 0 (W ) y W están en el mismo lado de t. Esto contradice al inciso c). (e) Sea C un punto que está sobre t, entonces T (C) esta sobre t y Rt (C) lo deja fijo, por lo tanto t es invariante. (f) Si B ∈ l y t ⊥ l en B, entonces HB = Rl ◦ Rt , así Rl ◦ HB = Rl ◦ (Rl ◦ Rt ) = / l, m 6= l y m ⊥ t en B, así tenemos T = Rl ◦Rm 6= I, Rl2 ◦Rt = I◦Rt = Rt . Si B ∈ y Rl ◦ HB = Rl ◦ (Rm ◦ Rt ) = (Rl ◦ Rm ) ◦ Rt = T ◦ Rt . 2.10. Clasificación de isometrías Definición 2.23. Le llamamos haz de rectas a: (a) Todas las rectas que pasan a través de un punto P . (b) Todas las rectas perpendiculares a una recta t. (c) Todas las rectas a través de un punto ideal Ω dado (sólo para el caso hiperbólico). Observación 2.7. Dos rectas l y m determinan un único haz si convergen en un punto P , l y m son paralelas con una perpendicular en común t o l y m son paralelas asintóticas, entonces existen rayos r ⊆ t, r0 ⊆ m paralelas asitóticamente tales que [r] = [r0 ] = Ω punto ideal. Entonces l y m determinan el haz de rectas a través de Ω. Si A es cualquier punto y se tiene un haz de rectas, existe una recta n en ese haz a través de A tales que para los tres tipos de haz, n es: 2.10 Clasificación de isometrías 49 ←→ (1) La recta AP si A 6= P . (2) Perpendicular a t a través de A. ← → (3) La recta que contiene a AΣ. Proposición 2.22. Sea T = Rl ◦ Rm ◦ Rn . (a) Teorema de las tres reflexiones. Si l, m y n pertenecen a un haz, entonces T es una reflexión en una única recta de ese haz. (b) Si l, m y n no pertenecen a un haz, entonces T es un deslizamiento-reflexión. Demostración. (a) Primer caso. Si l, m y n pertenecen a un haz de rectas que emergen en un punto A, véase Figura 2.24. Entonces por Proposición 2.11 existe una única recta ñ tal que RA = Rl ◦ Rñ , donde RA es la rotación Rm ◦ Rn . Por lo tanto, (Rl ◦ Rm Rn ) = Rl ◦ RA = Rl ◦ Rl ◦ Rñ = Rñ . Figura 2.24 Segundo caso. Si l, m y n pertenecen al segundo tipo de haz. Sea Rm ◦ Rn = Tv es una translación a lo largo de una recta t. Por la Proposicón 2.14, existe una recta ñ perpendicular a t tal que Tv = Rl ◦ Rñ , véase Figura 2.25. Entonces (Rl ◦ Rm ◦ Rn ) = Rl ◦ Tv = Rl ◦ Rl ◦ Rñ = Rñ . Tercer caso. Si l, m y n pertenecen al tercer tipo de haz. Sea Σ el punto ideal de l, m, n. Como F := Rm ◦ Rn es un desplazamiento paralelo en la dirección de Σ y l es otra recta en el mismo haz, por la Proposición 2.19 (b), existe una recta ñ, también en el haz, tal que F −1 = Rñ ◦ Rl , es decir, F = Rl ◦ Rñ . Por lo tanto (Rl ◦ Rm ◦ Rn ) = Rl ◦ Rl ◦ Rñ = Rñ . 50 Transformaciones geométricas Figura 2.25 (b) Ahora supongamos que las rectas no pertecen a un haz. Sean A cualquier punto de l, m0 la recta que pasa por A y que pertenece al haz determinado por m y n. Entonces por (a), existe una recta n0 de ese haz tal que Rm0 Rm Rn = Rn0 . Sea B el pie de la perpendicular k a n0 que pasa por A. Luego l, m0 y k pasan a través de A, así existe una recta h tal que Rl Rm0 Rk = Rh . B no está en h porque si estuviera, entonces n0 pasaría por A, véase Figura 2.26. Figura 2.26 Como n0 es una recta del haz determinado por m y n, entonces n0 = m0 . Esto implica que Rm0 ◦Rm ◦Rn = Rm0 , es decir, Rm ◦Rn = I, por lo que m = n y esto diría que l, m, n son solo dos rectas pertenecientes a un haz, contradiciendo la hipótesis. Por la Proposición 2.21 (f), Rh ◦ HB es un deslizamiento-reflexión a lo largo de la perpendicular a h a través de B. Pero 2.10 Clasificación de isometrías 51 Rh ◦ HB = Rh ◦ (Rk ◦ Rn0 ) = Rl ◦ Rm0 ◦ Rk ◦ Rk ◦ Rm0 ◦ Rm ◦ Rn = Rl ◦ Rm ◦ Rn = T. Corolario 2.6. l y m determinan una haz de rectas en el punto A. Cada composición Rl ◦ Rm ◦ HA es igual a una composición Rh ◦ Rk . Demostración. Sea n una recta que pasa por A en el haz determinado por l y m. Sean h una recta tal que Rl ◦ Rm ◦ Rn = Rh y k la perpendicular a n que pasa por A. Entonces Rl ◦ Rm HA = Rl ◦ Rm ◦ Rn ◦ Rk = Rh ◦ Rk . Observación 2.8. La Proposición 2.22 junto con el Corolario 2.2, nos ofrecen una clasificación completa de las isometrías de un plano neutral. Definición 2.24. Si T una isometría de M. Entonces T es: (a) Isometría directa (o propia o que conserva orientación) si se trata de una composición de dos reflexiones o bien es la identidad. (b) Isometría opuesta (o impropia o que invierte orientación) si se trata de una reflexión o un deslizamiento-reflexión. Proposición 2.23. (a) Cada isometría es directa o inversa pero no ambas. (b) El conjunto de isometrás directas es un grupo. (c) La composicón de dos isometrías opuestas es directa. (d) La composición de una isometría directa y una opuesta es opuesta. Demostración. 52 Transformaciones geométricas (a) Por Corolario 2.2 cada isometría es una composición de a lo más tres reflexiones y por Proposición 2.22 cada isometría es directa u opuesta. Las isometrías opuestas se caracterizan por tener una recta invariante cuyos lados son intercambiados. (b) Dada una composición (Rk ◦ Rl ) ◦ (Rm ◦ Rn ) de isometrías directas. Si l, m y n pertencen a un haz, entonces por Proposición 2.22 (a), Rl ◦ Rm ◦ Rn = Rh y (Rk ◦ Rl ) ◦ (Rm ◦ Rn ) = Rk ◦ Rh , que es directa. Si l, m y n no pertencen a un haz Rl ◦ Rm ◦ Rn = Rh ◦ HB (Proposiciónes 2.22 y 2.21 b) y el Corolario 2.6 nos dice Rk ◦ (Rh ◦ HB ) es directa. Además la identidad I es directa por definición. Por otra parte (Rl ◦ Rm )−1 = Rm ◦ Rl , entonces la inversa de una isometría directa es directa. Por lo tanto las isometrías directas forman un grupo. (c) La composición de dos reflexiones es una isometría directa. La composición de una reflexión y un deslizamiento-reflexión es una composición de cuatro reflexiones, por (b) se reduce a una composición de dos reflexiones; de igual manera la composición de dos deslizamientos-reflexiones es una composición de seis reflexiones, aplicando dos veces (b) se reduce a dos reflexiones. Por lo tanto la composición de dos isometrías opuestas es una isometriá directa. (d) Sea R una reflexión, D una isometría directa y T 0 un deslizamiento-reflexión. La composición D ◦ R = R si D = I, entonces D ◦ R es opuesta; análogamente para D◦T 0 = T 0 . Si D = Rl ◦Rm , D◦R = Rl ◦Rm R, por Proposición 2.22, D◦R es una reflexión o es deslizamiento-reflexión, así D ◦ R es isometría opuesta. Si D = Rl ◦ Rm , entonces D ◦ T 0 = Rl ◦ Rm ◦ T 0 = Rl ◦ Rm ◦ Rc ◦ Rd ◦ Re = Rl ◦ Rh ◦ Rk por (b) y por Proposición 2.22 es una isometría opuesta. La idea intuitiva detrás de nuestra clasificación de isometrías, es que al plano se le pueden dar dos orientaciones distintas de tal forma que, por ejemplo, los vértices de un 4ABC se puedan ordenar en una dirección “en el sentido de las manecillas del reloj”. Cuando el triángulo se mueve por una rotación, translación o desplazamiento paralelo, la orientación de 4A0 B 0 C 0 sigue siendo en el sentido de las manecillas del reloj, mientras que, bajo una reflexión o un deslizamiento-reflexión, la orientación se torna en el sentido contrario a las manecillas del reloj. 2.11 Automorfismo de los modelos cartesianos 2.11. 53 Automorfismo de los modelos cartesianos Ahora nuestro objetivo es describir rapidamente los grupos de isometrías en modelo cartesiano de la GEP. Las translaciones son las transformaciones más fácilies de describrir. La prueba de la Proposición 2.13 nos muestra que una translación mueve a cada punto a una distancia y dirección fija, la cual representaremos por un vector de longitud 2AB emanando del origen de nuestro sistema de coordenadas apuntando en la dirección dada. Proposición 2.24. En el modelo cartesiano del plano euclidiano, las translaciones forman un grupo conmutativo isomorfo al grupo de los vectores bajo adición. Demostración. Si las coordenadas del punto final del vector de translación son (e, f ), entonces por la suma de vectores, véase Figura 2.27, la translación es: T (x, y) = (x, y) + (e, f ) = (x + e, y + f ) = (x0 , y 0 ). Figura 2.27 Aplicando la segunda translación T 0 respecto al vector con el punto final (e0 , f 0 ), entonces la imagen (x00 , y 00 ) de (x, y) bajo T 0 T es (x00 , y 00 ) = (x0 , y 0 ) + (e0 , f 0 ) = (x + e + e0 , y 0 + f + f 0 ) = (x, y) + (e + e0 , f + f 0 ) = (x, y) + ((e, f ) + (e0 , f 0 )). En pocas palabras, si F es el grupo de translaciones de R2 , por lo que la función ϕ : F −→ R2 T 7→ (e, f ) donde (e, f ) es el vector de la dirección de T , es el isomorfimo de grupos. Entonces T ◦0 T es la translación por la suma de vectores determinado por T y T 0 . 54 Transformaciones geométricas Definición 2.25. Decimos que las traslaciones forman un grupo de dos parámetros si dependen de dos variables reales (e, f ). Proposición 2.25. En el modelo cartesiano del plano euclidiano, las translaciones a lo largo de una recta fija forman un grupo con un paramétro isomorfo al grupo de los números reales bajo la adición. Demostración. Sea (l0 , f0 ) un vector paralelo unitarioa la recta fija l. Entonces el vector correspondiente a la translación T a lo largo de l tiene la forma: Tt (l0 , f0 ) = T (tl0 , tf0 ) = t(l0 , f0 ), donde t ∈ R, | t | es la distancia que se translado el vector unitario y t es positivo o negativo de acuerdo si la dirección de la translación es de la misma que (l0 , f0 ) u opuesta, véase Figura 2.28. Si T 0 correponde al vector t0 (l0 , f0 ), entonces T 0 ◦ T corresponde al vector: t(e0 , f0 ) + t0 (e0 , f0 ) = (t + t0 )(e0 , f0 ). Por lo tanto asignando el parámetro t a T obtenemos el isomorfismo deseado. Figura 2.28 2.12. Rotaciones alrededor de un punto fijo En seguida discutiremos las rotaciones alrededor de un punto fijo A. Nuestro primer paso es reducir al caso en donde A es el origen O del sistema cartesiano. Sea T ←→ la translación a lo largo de AO en la dirección de A a O. Entonces por la Proposición 2.12 Rotaciones alrededor de un punto fijo 55 2.14, T = Rm ◦ Rl = Rl∗ ◦ Rm , donde m es la mediatriz de AO, l es perpendicular a ←→ ←→ AO en A y l∗ es perpendicular a AO en O. Una rotación R alrededor de A, puede escribirse como R = Rl ◦ Rk , donde k pasa a través de A por Proposición 2.11. Sea k ∗ la reflexión de k a través de m. Entonces R∗ = Rk∗ ◦Rl∗ , es una rotación alrededor de O y para cada punto P , si P m = Rm (P ), entonces Rk∗ (P m ) = Rm ◦ (Rk (P )). Por lo tanto, Rm ◦ Rk∗ ◦ Rm = Rk , véase Figura 2.29. Así, T −1 ◦ R∗ ◦ T = (Rl ◦ Rm ) ◦ (Rk∗ ◦ Rl∗ ) ◦ (Rl∗ ◦ Rm ) = Rl ◦ Rm ◦ Rk∗ ◦ (Rl∗ )2 ◦ Rm = Rl ◦ (Rm ◦ Rk∗ ◦ Rm ) = Rl ◦ Rk = R. Figura 2.29 Esto demuestra que la rotación R alrededor de A está determinada únicamente por la rotación R∗ sobre O. Por otra parte R∗ −→ T −1 ◦ R∗ ◦ T es un isomorfismo del grupo de las rotaciones alrededor de O en el grupo de las rotaciones alrededor de A. Por lo tanto, podemos suponer que A = O. α : R(O) −→ R(A) →. R∗ −→ T −1 ◦ R∗ ◦ T− OA Por la Proposición 2.11, la rotación dada alrededor de O puede escribirse como R = Rl ◦ Rm , donde m es el eje X. Si l ⊥ m, entonces R está representada, en coordenadas complejas, como z −→ −z . De otra manera, si el ángulo agudo formado de m y l tiene la medida en radianes de con 0 < 2θ < π2 , entonces R esta representada en coordenadas complejas como: θ , 2 56 Transformaciones geométricas z −→ e iθ z , z −→ e −iθ z, si l tiene pendiente positiva si l tiene pendiente negativa. (Recordar que e iθ = cos θ + i sen θ). Combinando estos dos casos vemos que las rotaciones alrededor de O está unívocamente representadas, por las transformaciones: z −→ e iθ z (−π < θ ≤ π). Como e iϕ (e iθ z ) = (e iϕ e iθ )z la composición de dos rotaciones alrededor de O corresponde a la composición e iϕ e iθ de números complejos de módulo 1, obtenemos la siguiente proposición: Proposición 2.26. En el modelo cartesiano del plano euclidiano, el grupo de rotaciones alrededor de un punto fijo es isomorfo al grupo S 1 multiplicativo con un paramétro de números complejos e iθ de módulo 1 (θ es el parámetro real). Proposición 2.27. El grupo de isometrías directas del modelo cartesiano del plano euclidiano es isomorfo al grupo de tres paramétros dado en coordenadanas complejas por z −→ e iθ z + z0 . Demostración. Si un punto tiene coordenadas compleja z , transladandolo por un vector (e0 , f0 ) es lo mismo que sumar a z el número complejo z0 = e0 + if0 , ya que la suma de números complejos es la misma que la suma de vectores. Si T es cualquier isometría directa y T mueve el origen O al punto O0 con coordenadas complejas z0 , al componer T con la translación en la dirección de −z0 obtenemos una isometría directa que deja fijo al origen, entonces por la Proposición 2.10, es una rotación alrededor de O y tiene la forma: z 7−→ e iθ z . Así la isometría directa T , tiene la forma T (z ) = e iθ z + z0 con parametro (e iθ , z0 ) (son parametros reales porque z0 = e0 + f0 depende de dos parámetros reales). Podemos establecer una función biyectiva ϕ entre el conjunto M de movimientos directos del modelo cartesiano de GEP y el conjunto de parámetros P := {(e iθ ) | θ ∈ R y z0 ∈ C} 2.12 Rotaciones alrededor de un punto fijo 57 de la siguiente manera: si T ∈ M, entonces como acabamos de ver, existen θ ∈ R y z0 ∈ C tales que, para todo z ∈ C, T (z ) = e iθ z + z0 . Sea ϕ(T ) = (e iθ , z0 ). Corolario 2.7. Si T es una isometría opuesta del modelo cartesiano R2 (≈ C) de GEP, entonces existen z0 ∈ C y θ ∈ R tales que, para toda z ∈ C, T (z ) = e iθ z + z0 Demostración. Por la Proposición 2.23, todas la isometrías opuestas se obtienen al componer todas las isometrías directas con una isometría opuesta, que se puede elegir como la reflexión a través del eje X z → z . Debido a que e iθ = e −iθ , el conjugado de e iθ z + z0 es e −iθ z + z0 y, reescribiendo −θ por θ y z0 por z , llegamos al resultado. 58 Transformaciones geométricas Capítulo 3 Inversión Estudiaremos las isometrías en modelos específicos de GHP. Para construirlos, necesitamos estudiar una transformación geométrica muy importante: La inversión geométrica. Se puede consultar [1] y [5]. Definición 3.1. Sea E un plano euclidiano y sea C una circunferencia cualquiera en E con centro en un punto O y radio r > 0. Entonces la inversión en C es la función: I C −→ tal que P 0 ∈ OP y OP 0 = r2 , OP : E − {O} −→ E − {O} P 7−→ P 0 véase Figura 3.1. Figura 3.1 Definición 3.2. Dos circunferencias D y C en un plano euclidiano E son ortogonales si en cada punto de intersección las tangentes son perpendiculares, véase Figura 3.2. 59 60 Inversión Figura 3.2 I Observación 3.1. Si C y C son como en la definición 3.1, P ∈ E − {O} y P 0 = 0 C (P ), entonces P ∈ C ⇔ P = P . I En efecto: P ∈ C ⇒ OP = r −→ ⇒ P 0 ∈ OP r2 = r = OP r −→ ⇒ P 0 es el único punto en el rayo OP tal que OP 0 = OP ⇒ P 0 = P (Axioma de C1 de GN). OP 0 = y Y si P 0 = P ⇒ OP 0 = OP r2 ⇒ OP = OP 2 ⇒ OP = r2 ⇒ OP = r ⇒ P ∈ C. I. = I (P ), entonces I (P ) = P . −−→ Es decir C es un conjunto invariante puntual bajo C I ◦I = I , es decir, si P = I (P ), entonces P es el único punto de OP Observación 3.2. C En efecto, si P 00 −→ OP ) tal que OP 00 = C r2 , OP 0 C 0 E−{O} 0 00 pero OP 0 = r2 , OP OP 00 = C C 0 0 (también igual a así que: r2 r2 OP = OP . −−→ −→ −−→ −−→ Y P ∈ OP = OP 0 = OP 00 , lo que implica que P es el único elemento de OP 0 tal que r2 0 OP = OP C (P ) = P . 0 , esto es Por esta propiedad ( C 2 = IE−{O} ), se dice que C es idempotente. I I I 61 Definición 3.3. Le llamaremos interior de C, int C, y exterior de C, ext C, a los siguientes conjuntos: int C := {Q ∈ E | OQ < r}, y ext C := {R ∈ E | OR > r}. Observación 3.3. Decimos que P ∈ int C si y sólo si P 0 ∈ ext C. En efecto, si P ∈ int C ⇒ OP < r 1 1 ⇒ > r OP r2 r2 ⇒ OP 0 = > =r r OP ⇒ P 0 ∈ ext C. Si P ∈ ext C ⇒ OP > r 1 1 ⇒ < r OP r2 r2 ⇒ OP 0 = =r < r OP ⇒ P 0 ∈ int C. Observación 3.4. Si l es una recta que pasa por O, entonces l es un conjunto invariable global bajo C , es decir: I I (l − {O}) = l − {O} C (*) o bien equivalentemente, para cada punto P ∈ l − {O} I (P ) ∈ l − {O} C Nota: (**) basta para tener (*), pues: (**) ⇒ C (l − {O}) ⊆ l − {O} ⇒ l − {O} = C 2 (l − {O}) ⊆ ⇒ P − {O} = C (l − {O}). I I I (**). I (l − {O}) ⊆ l − {O} C −→ Probaremos (**): Si P ∈ l − {O}, entonces OP ⊆ l, pues l pasa por O, véase Figura −→ 3.3. Por lo tanto, P 0 = C (P ) ∈ OP ⊆ l y P 0 6= O; así P 0 ∈ l − {O}. I 62 Inversión Figura 3.3 I Observación 3.5. C tiene propiedades análogas a las de la reflexión Rl respecto a una recta l. Por ejemplo: (a) Rl deja invariable a l puntualmente e (b) Rl ◦ Rl = IE y I ◦I C C I C deja invariante a C puntualmente. = IE−{O} o sea, ambas son idempotente. (c) l divide a E − {l} es dos semi-planos y Rl los intercambia. C divide a E − {C ∪ {O}} en dos regiones int C y extC; y C las intercambia. I (d) Rl deja invariante globalmente a cualquier recta perpendicular a l. C deja invariante globalmente a cualquier recta perpendicular a C. I (e) Si D es una circunferencia ortogonal a l, entonces l pasa por el centro de D y por lo tanto D es simétrica respecto a l, lo que implica que Rl (D) = D, es decir, también las circunferencias ortogonales a l son invariantes globales a Rl . Análogamente, si D es una circunferencia ortogonal a C, entonces D es invariante global de C . I Figura 3.4 En efecto: como D es ortogonal a C, l la tangente a D en T , uno de los puntos en los −→ que se intersecta con C, pasa por O. Entonces, si P ∈ D, el rayo OP intersecta a D en 2 el punto P 0 y por el Lema 3.1, que probaremos más adelante, OP · OP 0 = OT = r2 . 63 −→ Por lo tanto, P 0 ∈ OP y OP 0 = r2 , OP es decir, I (P ) = P C 0 ∈ D, véase Figura 3.4. A la inversión respecto a una circunferencia C se le puede llamar reflexión respecto a C o bien, a la reflexión respecto a una recta C, se le puede llamar la inversión con respecto a C. I Ahora supongamos que P ∈ E − {O} y P 0 = C (P ). Si A es el punto de in−→ tersección de OP con C, entonces AP = r − OP y AP 0 = OP 0 − r, lo que impica r2 2 ) r AP 0 = AP , véase Figura 3.5. Dejemos fijos a P y − r = r −rOP = r(r−OP = OP OP OP OP A, r −→ ∞, o sea O se aleja de A. De modo que OA −→ ∞. Figura 3.5 Por una parte tenemos: r OP = lı́m r→∞ r r−AP = 1 1− AP r , entonces: r 1 = lı́m = 1. r→∞ OP 1 − AP r En el límite, AP = AP 0 y C tiende a convertirse en la perpendicular en A a la ←→ recta OA y los puntos P y P 0 son simétricos respecto a l, es decir, uno es la imagen del otro bajo Rl . Por lo tanto Rl es el caso límite de C cuando el radio de C tiende a ∞. I En Conclusión, podemos considerar a las rectas en E como circunferencias de radio infinito y entonces Rl = l . I Definición 3.4. Sean C una circunferencia (o una recta) en E y T una transformación de E. Diremos que T es la simetría respecto a C (o en C) si T = C , en el caso en que C sea una circunferencia, o T = RC , en el caso en que C sea una recta. I 64 Inversión 3.0.1. Construcciones Veamos dos métodos para construir la inversión de un punto. Sea C una circunferencia con centro en O y radio r > 0 en un plano euclidiano E y P un punto. −→ (a) Trazamos OP y su perpendicular en P . T la intersección de la perpendicular −→ a OP en P y C. Trazamos la tangente de C en T . Así obtenemos P 0 que es la −→ intersección de la tangente con OP , véase Figura 3.6. Figura 3.6 La justificación de la construcción: Notemos que 4OT P 0 ∼ 4OP T , ya que son OT = OP triángulos rectángulos y tienen en común al ángulo ^O. Entonces OP 0 lo OT 2 que implica que OP · OP 0 = OT = r2 , véase Figura 3.7. Figura 3.7 (b) La segunda construcción la haremos con el uso exclusivo del compás. Trazamos la circunferencia D con centro en P y radio P O. Obtenemos los puntos A y B de la intersección de C con la circunferencia D. Ahora trazaremos las circunferencias con centro A y radio AO; la otra con centro en B y radio BO. De la intersección de estas circunferencias obtenemos P 0 . Justificación: Los triángulos 4OAP y 4OP 0 A son isósceles (P O = P A y AO = OP OA AP 0 ). Como ^AOP es común, 4OAP ∼ 4OP 0 A. Por lo tanto = . OA OP 0 2 Así, OP ·OP 0 = OA = r2 , véase Figura 3.8. Este método tiene una desventaja: 65 Si P está muy cerca de O, la circunferencia D es muy pequeña y no alcanza a intersectar a C en los puntos A y B véase [1], Página 32-33. Figura 3.8 Lema 3.1. Sea F una circunferencia en E y O ∈ ext F. Sean l y m dos rectas que pasan por O tales que l corta a F en T y m corta F en los puntos P y Q. Entonces son equivalentes: (a) l es tangente a F en T . 2 (b) OP · OQ = OT . Demostración. (a) ⇒ (b) En los triángulos 4OP T y 4OT Q, el ángulo ^T OP (= ^T OQ) es común, y (^OT P )◦ = (^OQT )◦ , véase Figura 3.9. Por lo tanto, 4OP T ∼ 4OT Q 2 OT y, con ello, OP = OQ . Así, OP · OQ = OT . OT Figura 3.9 66 Inversión (b) ⇒ (a) Supongamos que l intersecta a F en T y T 0 . Sea n una tangente a F en L, véase Figura 3.10. Por la implicación (a) ⇒ (b), tenemos: 2 OT · OT 0 = OL = OP · OQ, 2 2 pero OP · OQ = OT , entonces OT · OT 0 = OT y con ello, OT 0 = OT . Como T y −→ T 0 ∈ OT , T = T 0 . Así l toca a F sólo en el punto T y por lo tanto es tangente a F en T . Figura 3.10 Proposición 3.1. Si C es una circunferencia cualquiera en E, con centro en O y radio r y si A, B ∈ E, con O, A y B no colineales. Sea A0 = C (A) y B 0 = C (B), entonces O, A0 y B 0 no son colineales y 4OAB ∼ 4OB 0 A0 . I Figura 3.11 Demostración. Como A0 = Por lo tanto: I (A) y B = I (B), entonces OA · OA = r 0 C OA OB 0 0 C = OB OA0 2 = OB · OB 0 . y ^AOB = ^A0 OB 0 . I 67 Por el criterio LAL de semejanza se tiene que 4OAB ∼ 4OB 0 A0 , véase Figura 3.11. Con este resultado podemos calcular la distancia entre las imagenes A0 y B 0 de los puntos A y B bajo C : I r2 1 A0 B 0 OA0 = = · . AB OB OA OB Por lo tanto, A0 B 0 = r2 AB. Establescamos esto como un corolario: OA · OB Corolario 3.1. Si C es una circunferencia cualquiera en E, con centro en O y radio r y si A, B ∈ E, A0 = C (A) y B 0 = C (B) con O, A y B no colineales, entonces I I A0 B 0 r2 = AB. OA · OB Proposición 3.2. Sea C una circunferencia con centro en O y radio r. Sea D una circunferencia que pasa por O y con centro en D. Si A es el punto de intersección −−→ ←→ de OD con D diferente de O, A0 = C (A) y l es la recta perpendicular a OD que pasa por A0 , entonces C (D − {O}) = l. I I Demostración. Sean P ∈ D − {O} y P 0 = (a) Si P = A, entonces I (P ). Tenemos dos casos: C I (P ) = A ∈ l, véase Figura 3.12. C 0 Figura 3.12 (b) Si P 6= A, entonces O, P , A no son colineales y por Proposición 3.1, 4OP A ∼ 4OA0 P 0 y ^OP A es recto, porque OA es diámetro de D, véase Figura 3.13. Como ^OA0 P 0 ∼ = ^OP A, entonces ^OA0 P 0 es recto y P 0 ∈ l, por lo tanto C (D − {O}) ⊆ l. I 68 Inversión Figura 3.13 I I Ahora tomemos Q ∈ l y Q0 = C (Q). Si Q = A0 , entonces Q0 = C (Q) = 0 0 0 C (A ) = A ∈ D − {O}. Si Q 6= A , el 4OA Q es un triángulo rectángulo con ^OA0 Q recto. Pero 4OQ0 A ∼ 4OA0 Q, entonces ^OQ0 A ∼ = ^OA0 Q, luego ^OQ0 A es un ángulo recto y Q0 está en la circunferencia con diámetro OA, véase Figura 3.14. Esto implica que C (l) ⊆ D − {O} y así l = C ◦ ( C (l)) ⊆ C (D − {O}). Por lo tanto C (D − {O}) = l. I I I I I I Figura 3.14 Observar que l es una recta que no pasa por O pero que es paralela a la tangente a D que pasa por O. Corolario 3.2. Si l es una recta que no pasa por O, entonces ferencia tangente a la paralela a l en O. I (l) es una circunC Demostración. Sea l una recta que no pasa por O. Desde O bajamos una perpendicular a l con el pie en A0 ∈ l. Sea A = C (A0 ) y D la circunferencia con diámetro OA, véase Figura 3.15. Ya vimos que C (D − {O}) = l. Por lo tanto C (l) = D − {O}. I I I 69 Figura 3.15 El siguiente es un Teorema muy famoso en la historia de la geometría. Estrictamente hablando, no es necesario para nuestra teoría, pero presentamos una demostración muy elegante de él, como una aplicación de las proposiciones anteriores acerca de la inverción. Recordar: Un cuadrilátero convexo es aquél en que sus diagonales se intersectan y un concíclico es un cuadrilátero cuyos vértices se encuentran en una circunferencia. −→ −→ −−→ Suponemos que AC está entre AB y AD. Teorema 3.1 (Ptolomeo). Si un cuadrilátero convexo ABCD es concíclico, entonces AB · CD + AD · BC = AC · BD. Figura 3.16 Demostración. Sea ABCD un cuadrilátero convexo y cuyos vértices A, B, C, D están en una circunferncia D. Sea C cualquier circunferencia con centro en A. Como C manda a D en una recta, por lo Proposición 3.2, se tiene que B 0 , C 0 y D0 son colineales, véase Figura 3.16. Por la convexidad se tiene B 0 ∗ C 0 ∗ D0 entonces B 0 C 0 + C 0 D0 = B 0 D0 . r2 r2 r2 Lo que implica AB·AC BC + AC·AD CD = AB·AD BD. Si multiplicamos todo por AB·AC·AD , entonces BC · AD + CD · AB = BD · AC. r2 I 70 Inversión Proposición 3.3. Sea C una circunferencia con centro en O y radio r > 0 en un plano euclidiano E y D una circunferencia que no pasa por O, con centro en D 6= O ←→ y radio s. Sean A y B los puntos de intersección de OD en D y A0 = C (A) y B 0 = C (B). Entonces C (D) = F, donde F es la circunferencia con diámetro A0 B 0 . I I I Demostración. Veamos primero C (D) ⊆ F. Demostraremos que para cualquier punto P ∈ D, 0 0 0 C (P ) = P ∈ F. Si P ∈ {A, B} entonces, C (P ) ∈ {A , B } ⊆ F. Supongamos que P es diferente de A y de B, por tanto lo A, B y P forman un triángulo rectángulo con ^AP B recto. Sea P 0 = C (P ), por Proposicón 3.1 4OA0 P 0 ∼ 4OAP , luego ^OA0 P 0 ∼ = ^OAP . De igual forma por Proposicón 3.1 = ^OP A y ^OP 0 A0 ∼ 0 0 4OP B ∼ 4OP B, entonces ^OB 0 P 0 ∼ = ^OBP , véase Figura = ^OP B y ^OP 0 B 0 ∼ 3.17. I I I I Figura 3.17 Por lo tanto (^B 0 P 0 A0 )◦ = (^OP 0 A0 )◦ − (^OP 0 B 0 )◦ = (^OAP )◦ − (^OBP )◦ , pero ^OAP es un ángulo exterior del 4AP B y ^(OAP )◦ = (^AP B)◦ +(^ABP )◦ = 90◦ + (^OBP )◦ así, 90◦ = (^OAP )◦ − (^OBP )◦ . Entonces ^B 0 P 0 A0 es recto y P 0 está en la circunferencia con diámetro A0 B 0 o sea en F. Lo que implica que P 0 ∈ F y por lo tanto C (D) ⊆ F. I I (D). Observemos que F también es una circunferencia I (A ) = A y I (B ) = B, por la primera parte de la Ahora veremos que F ⊆ que no pasa por O y que C C 0 C 0 71 I I I demostración tenemos que C (F ) está contenido en la circunferencia con diámetro AB pero ésta es D, es decir, C (F) ⊆ (D) aplicando a ambos lados C : I I (F)) ⊆ I (D) pero I ◦ (I (F)) = F entonces F ⊆ I (D). Por lo tanto I (D) = F. C C C ◦( C C C C Definición 3.5. Sea O un punto y k ∈ R+ . La dilatación con centro O y radio k es la transformación del plano euclidiano que fija O y mapea a P 6= O al único punto −→ P 0 en OP tal que OP 0 = k(OP ). La denotaremos como D(0; k). Observación 3.6. Sea C una circunferencia con centro en O, radio r y G otra circunferencia con centro en O y radio s, con s > r. Si C (P ) = P 0 y G (P 0 ) = P 00 se cumple: r2 OP 0 = OP y s2 s2 s2 )(P ), OP 00 = OP = D(O; = r2 r2 OP 0 I I 2 2 donde D(O; rs2 ) es la dilatación con centro en O y constante rs2 (ver Página 22). Pero 2 2 la composición G ◦ C = D(O, rs2 ), entonces G = D(O, rs2 ) ◦ C , véase Figura 3.18 (a). I I (a) I I (b) Figura 3.18 I Si D es una circunferencia que no pasa por O, entonces G (D) = D(O, k) ◦ C (D), es también una circunferencia que no pasa por O, véase Figura 3.18 (b). I 72 Inversión Observación 3.7. Si D es una circunferencia que no pasa por O pero que intersecta ←→ a C en los puntos P y Q, entonces C (D) = P Q, véase Figura 3.19. I Figura 3.19 Observación 3.8. Si l es una recta que no pasa por O pero intersecta a C en puntos P y Q, entonces C (l) es una circunferencia que pasa por O, P y Q, véase Figura 3.20. I Figura 3.20 Proposición 3.4. D. (a) Sea D una circunferencia ortogonal a C, entonces I (D) = C I (b) Si A, B ∈ E − {O}, entonces C (A) = B si y sólo si cualquier circunferencia D que pasa por A y B es ortogonal a C. Demostración. (a) Véase la Observación 3.5 (e). I (b) Sean A, B ∈ E − {O} tales que C (A) = B. Sea D cualquier circunferencia que −→ pasa por A y B, así que OA intersecta a D en dichos puntos. A está en int C si y sólo si B está en ext C, entonces D intersecta a C en puntos T1 y T2 . Como 2 OA · OB = r2 = OT1 , el radio OT1 de C es tangente a D en T 1. Por lo tanto, D es ortogonal a C, véase Figura 3.21. 73 Figura 3.21 Inversamente, supongamos que D es ortogonal a C. Entonces si T es uno de ← → los puntos de intersección de D y C, entonces OT es tangente a D en T . Por el 2 Lema 3.1 OA · OB = OT = r2 . Figura 3.22 Por lo tanto OB = r2 OA y con ello B = I (A), véase Figura 3.22. C Observación 3.9. Si l1 y l2 son dos rectas distintas, concurentes en un punto A, −→ −→ pero no perpendiculares, existen rayos AB en l1 y AC en l2 tal que ^BAC es agudo. Denotaremos por ^(l1 , l2 ) a ^BAC. 0 I I Lema 3.2. Si C1 es una curva, P ∈ C1 , C1 = C (C1 ), P 0 = C (P ), t1 es la ←→ tangente a C1 en P , s1 es la tangente a C10 en P 0 , y si θ = [^(OP , t1 )]◦ , entonces θ = [^(OP 0 , s1 )]◦ . Demostración. ←→ Sea Q ∈ C1 − {P }, α = P Q, Q0 = C (Q), entonces t1 es la posición del límite de las rectas α, cuando Q tiende a P y s1 es la posición del límite de la rectas ←− → ←→ ←→ P 0 Q0 , cuando Q0 tiende a P 0 . Luego θ = (^(OP , t1 ))◦ = lı́mQ→P (^(OP , α))◦ = lı́mQ→P (^OP Q)◦ . I 74 Inversión Figura 3.23 ←−→ ←−→ Pero como 4OP Q ∼ 4OP 0 Q0 , entonces (^OP Q)◦ = (^OQ0 P 0 )◦ = (^(P 0 Q0 , OQ0 ))◦ , véase Figura 3.23. Por lo tanto θ = lı́mQ→P (^OP Q)◦ = lı́mQ0 →P 0 (^OQ0 P 0 )◦ = ←−→ ←→ ←−→ lı́mQ0 →P 0 ^(P 0 Q0 , OQ). Y la posición del límite de las rectas OQ0 , cuando Q0 tiende ←→ ←→ a P 0 es igual a OP 0 . Por lo tanto, θ = (^(s1 , OP ))◦ . Corolario 3.3. Sean C1 y C2 dos curvas que se intersectan en un punto P y sean 0 0 0 0 C1 = C (C1 ), C2 = C (C2 ) y P 0 = C (P ). Entonces C1 y C2 se intersectan en P 0 . Supongamos que las tangentes t1 y t2 a C1 y C2 en P forman un ángulo θ y sean las tangentes s1 y s2 a C10 y C20 en P 0 . Se cumple que | ^(s1 , s2 ) |= θ, véase Figura 3.24. I I I Figura 3.24 Demostración. ←→ ←→ ←→ ←→ Por Lema 3.2 tenemos (^(P P 0 , t1 ))◦ = (^(P P 0 , s1 ))◦ y (^(P P 0 , t2 ))◦ = (^(P P 0 , s2 ))◦ , ←→ pero P P 0 es secante común a las curvas en los puntos P y P 0 , además el ángulo entre dos curvas es la suma algebraica de los ángulos que forman con la secante común, por lo tanto (^(t1 , t2 ))◦ = (^(s1 , s2 ))◦ . Observación 3.10. Si l es una recta, Rl también conserva ángulos en magnitud. Corolario 3.4. La simetría respecto a un círculo o a una recta conserva ángulos. 75 Demostración. Por el Corolario 3.3 se conservan los ángulos respecto a un círculo y la Proposición 2.4 muestra que también se conservan ángulos respescto a una recta. En particular manda círculos o rectas ortogonales, en círculos o rectas ortogonales. Observación 3.11. Si C es una circunferencia en el plano euclidiano E, y O es su r2 centro, entonces, para cualquier P ∈ E −{O}, si P 0 = C (P ), entonces OP 0 = OP . Si 0 0 P se acerca más y más a O, entonces OP se aleja de O de modo que lı́m OP = ∞. I P →O Conviene añadir a E un punto especial, el punto al infinito, que denotaremos por ∞ y extender la definición de C en E ∪ {∞}, como: I I C I I : E ∪ {∞} −→ E ∪ {∞} I I es tal que C |E∪{∞} = C , la que definimos; y C (O) = ∞, C (∞) = O. También, las rectas son circunferencias que pasan por ∞. Esta nomenclatura nos permite simplificar el siguiente principio que es muy importante: Principio de Simetría Supongamos que C es una circunferencia con centro en O (o bien una recta). Sean D una circunferencia (o una recta), A y B dos puntos simétricos respecto a D. Si la simetría respecto a C manda D a D0 , A a A0 , B a B 0 , entonces A0 y B 0 son simétricos respecto a D0 . Demostración. Cuando D es circunferencia. Sean α y β circuferencias que pasan por A y por B. Como A y B son simétricos respecto a D, α y β son ortogonales a D. Dado que la simetría respecto a C manda α y β a α0 y β 0 , respectivamente, entonces, por el Corolario anterior, α0 y β 0 son ortogonales a D0 . Como A0 y B 0 estan en α0 y β 0 , entonces A0 y B 0 son simétricos respecto a D0 , véase Figura 3.25. En particular, si D es circunferencia, entonces C (A) = D0 ( C (B)). Si D = D (∞), D es centro de D e C (D) = D0 ( C (∞)) = D0 (O). En otras palabras el centro de D no va a dar, bajo C , en el centro de su imagen D0 , sino que va a dar el inverso de O bajo D0 . I I I I I I I I I I Cuando D es una recta el argumento es similar, puesto que, si A y B son simétricos respecto a D, entonces cualesquiera dos circunferencias que pasen por A y B son ortogonales. Por lo tanto A0 y B 0 son simétricos. 76 Inversión Figura 3.25 3.1 Inversión en R3 3.1. 77 Inversión en R3 Definición 3.6. Sea A una esfera con centro en Q y radio r. La inversión respecto a A es la función: 3 3 Q : R − {Q} −→ R − {Q} P 7→ P 0 −→ r2 es tal que P 0 ∈ QP y OP 0 = QP , (véase Figura 3.26). I Figura 3.26 Para las siguientes observaciones supongamos que si Π es un plano que pasa por Q y C es la circunferencia de intersección de Π y A, entonces Π es un plano euclidiano y C = Q |Π , véase Figura 3.27. C : Π − {Q} −→ Π − {Q}, es tal que I I I Figura 3.27 Observación 3.12. Bajo la inversión en una esfera centrada en Q, un plano Σ tal que no contiene a Q es transfomado en una esfera que contiene a Q y cuyo plano tangente en Q es paralelo a Σ, véase Figura 3.28. Inversamente, una esfera que contiene a Q se transforma en un plano que no pasa por Q y que es paralelo al plano tangente de esa esfera en Q. 78 Inversión Figura 3.28 Observación 3.13. Bajo la inversión de una esfera con centro en Q, la imagen de una esfera que no contiene a Q es otra esfera que no contiene a Q, véase Figura 3.29. Figura 3.29 Observación 3.14. Bajo la inversión en una esfera A con centro en Q, la imagen de un circulo C en R3 que no pasa por Q es otro circulo que no pasa por Q, véase Figura 3.30. Si C pasa por Q y su imagen bajo la inversión en una esfera A con Figura 3.30 centro en Q, es una recta que pasa por Q, paralela a la tangente de C en Q, véase Figura 3.31. 3.1 Inversión en R3 79 Figura 3.31 Observación 3.15. Bajo inversión, una esfera A se transforma en si misma. Observación 3.16. Si A1 y A2 son esferas que se intersectan, C1 y C2 son sus intersecciones con un plano Π que pasa por los centros de las esferas. A1 y A2 son ortogonales si y sólo si C1 y C2 son ortogonales, véase Figura 3.32. Figura 3.32 De las Observaciones 3.15 y 3.16 obtenemos el siguiente corolario. Corolario 3.5. Si A y B son inversos respecto a una esfera A y α es otra esfera que pasa por A y B, entonces α es ortogonal a A. 80 Inversión Capítulo 4 Modelos de la geometría hiperbólica Hemos mencionado anteriormente que la Geometría Hiperbólica Plana (GHP) consta de los mismos términos y relaciones indefinidas y los axiomas de GNP; más la Propiedad Hiperbólica de las Paralelas. En este capítulo estudiaremos dos maneras de interpretar GHP, es decir, el modelo de Klein (MK ) por el matemático Felix Klein (1849-1925) y el modelo de Ponicaré por el matemático Henri Poincaré (1854-1912), véase las referencias [3], [4] y [5]. 4.1. Modelo de Klein MK Sea E un plano euclidiano cualquiera y sea γ un circunferencia cualquiera en E con centro en O y radio r. Los puntos del interior de γ son los puntos de MK , definidos de la siguiente manera: Definición 4.1. ΠK es el conjunto de todos los puntos del interior de γ, es decir: ΠK = {P ∈ E | OP < r}. Observación 4.1. Si A y B son puntos distintos en γ, entonces existe una única recta l en E que pasa por A y B. Consideraremos de la recta l, la cuerda abierta AB que está en el interior de γ y la denotaremos por A)(B. Es decir, A)(B = l ∩ int γ, véase Figura 4.1. Definición 4.2. ΛK es el conjunto de rectas de MK , definido como: ΛK = {A)(B : A y B son puntos distintos en γ}. 81 82 Modelos de la geometría hiperbólica Figura 4.1 Definición 4.3. Si m = A)(B ∈ Λk , a A y B se les llaman puntos ideales de m. Definición 4.4. Sea IK la incidencia en la interpretación de Klein como la eucli←→ diana o sea, si P ∈ ΠK y l ∈ ΛK , entonces P IK l si y sólo si P IE AB E , donde IE es la incidencia en el plano euclididano E Definición 4.5. ∗K es la relación de orden entre ternas de puntos: si A, B, C ∈ ΠK , entonces A ∗K B ∗K C ⇒ A ∗E B ∗E C, donde ∗E es la relación de orden en el plano euclidiano E. Por como está definida IK es fácil corroborar que (ΠK , ΛK , IK ) cumple los axiomas de incidencia de la geometría neutral, o sea: I1) Para todo P, Q ∈ ΠK con P 6= Q, existe una única recta A)(B ∈ ΛK tal que P IK A)(B. Sean P, Q ∈ ΠK tales que P 6= Q. A y B los puntos de intersección ←→ de P QE con int γ (A y B existen pues en E se cumple el axioma de Dedekind). ←→ Sea l = ΠK ∩ P QE = A)(B. Por lo tanto QIK l, P IK l y l ∈ ΛK . Figura 4.2 La unicidad. Si l0 ∈ Λk , QIK l0 y P IK l0 , entonces existiría una recta euclidiana ←→ m tal que m ∩ ΠK = l0 , lo que implica QIE m y P IK m, entonces P QE = m y ←→ por lo tanto l0 = m ∩ ΠK = P Q ∩ ΠK = l, véase Figura 4.2. 4.1 Modelo de Klein MK 83 I2) Para todo A)(B = l ∈ ΛK , existe P, Q ∈ ΠK tal que P 6= Q y P IK l y QIK l. ←→ Sea l = A)(B ∈ ΛK , entonces A 6= B en E y en la recta euclidiana AB E se tienen puntos R, S y T tales que R ∗E A ∗E B, A ∗E S ∗E B y A ∗E B ∗E T , véase ←→ Figura 4.3. Pero como S 6= B en AB E , existen por lo menos un punto U tal ←→ que S ∗E U ∗E B, por lo tanto S, U ∈ ΠK y S, U ∈ AB E ∩ ΠK = A)(B = l. Figura 4.3 I3) Existe 3 puntos en ΠK no colineales. Basta tomar una recta euclidiana m que no pase por O pero que si intersecte al int γ entonces m ∩ ΠK = A)(B. Sean P , Q ∈ A)(B por lo tanto O, P y Q no son colineales, véase Figura 4.4. Figura 4.4 Así (ΠK , ΛK , IK ) es un modelo de la geometría de incidencia plana (G.I.P). Relación de Orden. Vamos a ver que (ΠK , ΛK , IK , ∗K ) es modelo de GIPO (Geometría de Incidencia Plana con el Orden). 84 Modelos de la geometría hiperbólica O1) Para todo A, B, C ∈ ΠK y A ∗K B ∗K C si, y sólo si A, B, C son k-colineales y distintos. En efecto, A ∗K B ∗K C ⇒ A ∗E B ∗E C ⇒ A, B, C son distintos y E-colineales ⇒ A, B, C son distintos y existe una E-recta m tal que AIE m ∧ BIE m ∧ CIE m ⇒ existe una E-recta m tal que A, B, C ∈ m ∩ ΠK ∈ ΛK y son distintos ⇒ A, B, C son K -colineales y distintos. O2) Para todo A, B ∈ ΠK , si A 6= B, entonces existe C, D, E ∈ ΠK tal que C ∗K A ∗K B ∧ A ∗K D ∗K B ∧ A ∗K B ∗K E. Sean A, B ∈ ΠK y supongamos que A 6= B. Entonces sean P y Q los puntos ←→ ideales de AB K , con P más cerca de A que de B y Q más cerca de B que de ←→ ←→ A, o sea AB K = P )(Q. En AB E existen E-puntos C, D y E, tales que C está entre A y P , D entre A y B y E entre B y Q. Pero estos puntos estan en ΠK y cumplen C ∗K A ∗K B ∧ A ∗K D ∗K B ∧ A ∗K B ∗K E. O3) Para cualesquiera A, B, C ∈ ΠK , si A, B, C son K -colineales y distintos, entonces A ∗K B ∗K C ∨ A ∗K C ∗K B ∨ B ∗K A ∗K C. Sean A, B, C ∈ ΠK . Si A, B, C son k -colineales y distintos, entonces A, B, C E-colineales y distintos, así que A ∗E B ∗E C ∨ A ∗E C ∗E B ∨ B ∗E A ∗E C. Por ello: A ∗K B ∗K C ∨ A ∗K C ∗K B ∨ B ∗K A ∗K C. O4) Si l ∈ ΛK , A, B, C ∈ ΠK y A, B, C no K-inciden con l, se tiene: (a) Si A y B están en el mismo lado de l y B y C están en el mismo lado de l, entonces A y C están en el mismo lado de l. 4.2 Modelo de Poincaré MP1 85 (b) Si A y B están de lados opuestos de l y B y C están de lados opuestos de l, entonces A y C están en el mismo lado de l. Notar que el K-semiplano SK (l, A) (determinado por l y A) es la intersección de E-semiplano SE (m, A) con ΠK , donde m es la recta euclidiana tal que l = m ∩ ΠK . Justificación: (a) A y B están del mismo lado de l, entonces B ∈ SK (l, A) ⊆ SE (m, A), así que A y B están del mismo lado de m en E, véase Figura 4.5. Análogamente, si B y C están del mismo lado de l, entonces B y C están del mismo lado de m en E. Como se cumple O4 en E entonces A y C estan del mismo lado de m en E. Figura 4.5 (b) Finalmente C ∈ SE (m, A) ∩ ΠK = SK (l, A), entonces A y C están del mismo lado de l. Ya hemos corroborado que MK = (ΠK , ΛK , IK , ∗K ) es un modelo de GIPO. Para convertirlo en un modelo de GN, debemos crear en MK interpretaciones de las relaciones indefinidas de congruencia de segmentos y de congruencia de ángulos y mostrar que, junto con las relaciones IK y OK , satisfacen todos los axiomas de GN. Para ello será conveniente que construyamos otro modelo de GIPO, el modelo de Poincaré MP1 , que resultará isomorfo, como modelo de GIPO, a MK . En MP1 , será mucho más fácil definir las relaciones de congruencia que luego, con isomorfismos, pasaremos a MK . Finalmente se verificará que ambos son modelos isomorfos de GN. 4.2. Modelo de Poincaré MP1 Sea E un plano euclidiano cualquiera y sea γ una circunferencia cualquiera en E con centro en O y radio r. 86 Modelos de la geometría hiperbólica Definición 4.6. Π1 es el conjunto de todos los puntos del interior de γ, es decir: Π1 = {P ∈ E | OP < r} 0 Definición 4.7. (a) Λ1 es el conjunto de los diámetros abiertos de γ, es decir las intersecciones de E-rectas con Π1 y que pasan por O, véase Figura 4.6. A los 0 elementos de Λ1 , los llamaremos P1 -rectas del primer tipo. Figura 4.6 00 (b) Λ1 es el conjunto de intersecciones de E-circunferencias ortogonales a γ con 00 Π1 , véase Figura 4.7. A los elementos de Λ1 les llamaremos P1 -rectas del segundo tipo. Figura 4.7 0 00 (c) Λ1 := Λ1 ∪ Λ1 . A los elemento de Λ1 les llamaremos P1 -rectas. Definición 4.8. Sean P ∈ Π1 y l ∈ Λ1 . Si l es del primer tipo de Λ1 , entonces existe una E-recta m que pasa por O y tal que l = m ∩ Π1 , véase Figura 4.8 (a). Así que definimos la insidencia I1 como: P I1 l ⇔ P IE m. 00 Si l ∈ Λ1 (segundo tipo), entonces existe una E-circunferencia δ que es ortogonal a γ y l = δ ∩ Π1 , véase Figura 4.8 (b). Así que definimos la incidencia I1 como: P I1 l ⇔ P ∈ δ. 4.2 Modelo de Poincaré MP1 87 (a) (b) Figura 4.8 Lema 4.1. Si δ es una circunferencia en E, ortogonal a γ, entonces O está en el exterior de δ. (Este lema ya se usó en la observación 5 (e), de la Página 62). Ahora veamos que (Π1 , Λ1 , I1 ) es un modelo de GIP. I1) Si A, B ∈ Π1 y con A 6= B, entonces existe una única recta l ∈ Λ1 tal que AI1 l y BI1 l. Caso 1) Si O, A y B son E-colineales y distintos. Sea m la E-recta que pasa por O, A y B, y sea l = m ∩ Π1 . Entonces OI1 l, AI1 l, BI1 l y l ∈ Λ1 , por lo tanto l es del primer tipo, véase Figura 4.9. Para demostar la unicidad, supongamos que l0 ∈ Λ1 y A y B P1 -inciden con l0 . Figura 4.9 Como O, A y B son E-colineales, l0 es del primer tipo. Si l0 fuera del segundo tipo, existiría una E-circunferencia δ ortogonal a γ y tal que δ ∩Π1 = l0 , véase Figura 4.10, pero A ∈ δ y B ∈ δ y O ∈ / δ por el Lema 4.1. Así que existe una E-recta m0 tal que m0 ∩ Π1 = l0 . Entonces m0 es la única E-recta que incide con A y B. Por lo tanto, m0 = m y l0 = m0 ∩ Π1 = m ∩ Π1 = l. 88 Modelos de la geometría hiperbólica Figura 4.10 Caso 2) Si O, A y B son E-colineales y sin perdida de generalidad A = O. Sea m la E-recta que pasa O y B, entonces l = m ∩ Π1 ∈ Λ1 y OI1 l y BI1 l. Si l0 ∈ Λ1 y OI1 l0 y BI1 l0 , por el Lema 4.1, l0 es del primer tipo y existe una E-recta m0 tal que pasa por O y l0 = m0 ∩ Π1 , pero entonces m0 pasa por O, y OIE m0 y BIE m0 . Por lo tanto m = m0 y l0 = m0 ∩ Π1 = m ∩ Π1 = l. Caso 3) O, A y B no son E-colineales; en particular O 6= A y O 6= B. Sea A0 = −→ 0 0 0 γ (A). Como O, A y A son E-colineales (pues A ∈ OA), A 6= B, y A, 0 A y B no son E-colineales, por lo tanto existe una E-circuenferencia δ que pasa por A, A0 y B, véase Figura 4.11 (a). Como δ pasa por A y A0 , son símetricos respecto a γ, δ es ortogonal a γ, por Lema 3.1. Por lo tanto l := δ ∩ Π1 es una P1 -recta del segundo tipo tal que AI1 l y BI1 l. I (a) (b) Figura 4.11 La unicidad, supongamos que l0 ∈ Λ1 , AI1 l y BI1 l0 . Si l0 fuera del primer tipo, existiría una E-recta m0 tal que l0 = m0 ∩ Π1 y m0 pasaría por O, A y B, por lo que éstos serían E-coliniales, lo que cotradiría nuestra hipotésis. Si, l0 es del segundo tipo, existe una circunferencia δ 0 ortogonal a γ tal que δ 0 ∩ Π1 = l0 , 4.2 Modelo de Poincaré MP1 89 por lo tanto δ 0 sería una circunferencia que pasa por A, A0 y B; y δ = δ 0 y por lo tanto l0 = δ 0 ∩ Π1 = δ ∩ Π1 = l, véase Figura 4.11 (b). I2) Si l ∈ Λ1 , entonces existe A, B ∈ Π1 con A 6= B tal que AI1 l y BI1 l. Si l es del primer tipo, existe una E-recta m tal que l = m ∩ Π1 . Sean P y Q los puntos −→ de intersección de m con γ, véase Figura 4.12. Entre P y Q (o sea en P Q ∩ Π1 ) existen por lo menos dos puntos distintos en la E-recta m. Sean A y B dichos puntos (por el Axioma O2 en E). Figura 4.12 Por lo tanto A, B ∈ m∩Π1 = l, AI1 l y BI1 l. Si l es del segundo tipo. Entonces existe una E-circunferencia δ ortogonal a γ y tal que δ ∩ Π = l. Sean P y Q los puntos de intersección de δ y γ. En el E-segmento P Q existen por lo menos dos puntos distintos R y S que no son P y Q (o sea R y S ∈ Π1 ) los E-rayos −→ −→ OR y OS intersectan a δ en puntos A, B ∈ Π1 y son distintos véase Figura 4.13. Figura 4.13 I3) Existen tres P1 -puntos no colineales. Sea A 6= O, A ∈ Π1 y m la E-recta que pasa por O y A; y B ∈ Π1 que no está en m, véase Figura 4.14. Por lo que O, ←→ A y B no son colineales, entonces la P1 -recta AB es del segundo tipo. Así que no pasa por O. Por lo tanto A, B y O no son P1 -colineales. 90 Modelos de la geometría hiperbólica Figura 4.14 Hemos demostrado que MP1 := (Π1 , Λ1 , I1 ) es un modelo de GIP. A este modelo se le llama modelo de Poincaré MP1 o modelo de Poincaré del disco. Usando el modelo de Klein de GIPO, MK := (ΠK , ΛK , IK , ∗K ), trataremos de dar un orden en MP1 , vía un isomorfismo de modelos de GIP. 4.3. Isomorfismo Sean M = (ΠM , ΛM , IM ) y N = (ΠN , ΛN , IN ) dos modelos de GIP. Definición 4.9. Un isomorfismo de modelos de GIP entre M y N es una pareja (f, g) donde: f : ΠM −→ ΠN y g : ΛM −→ ΛN . funciones biyectivas, tales que para todo P ∈ ΠM y para todo l ∈ ΛM , P IM l si, y sólo si f (P )IN g(l). Observación 4.2. Obtenemos un isomosfismo entre M y N si F : ΠM −→ ΠN una función biyectiva tal que F es colineación, es decir, para todo A, B, C ∈ ΠM son M-colineales si, y sólo si F (A), F (B) y F (C) son N -colineales. Demostración. F ya es una función biyectiva entre los puntos. Definimos g : ΛM −→ ΛN como: si l ∈ ΛM , por Axioma I2 existen A, B ∈ ΠM y A 6= B tales que AIM l y ←−−−−−−→ ←→ BIM l, por lo tanto l = AB, g(l) := F (A)F (B). Comprobaremos que (F, g) es un isomorfismo entre M y N . g esta bien defi←−→ nida, ya que si A0 , B 0 ∈ ΠM puntos distintos tales que l = A0 B 0 . Debemos ver 4.3 Isomorfismo 91 ←−−−−−−→ ←−−−−−−→ ←−→ ←→ que F (A0 )F (B 0 ) = F (A)F (B), pero A0 B 0 = l = AB, entonces A0 , A, y B son M←−−−−−−→ colineales y también lo son B 0 , A, y B. Como F es colineación F (A0 ) ∈ F (A)F (B) y ←−−−−−−→ ←−−−−−−→ ←−−−−−−→ F (B 0 ) ∈ F (A)F (B), luego F (A0 )F (B 0 ) = F (A)F (B). Y F −1 : ΠN −→ ΠM también es colineación, porque F es biyectiva y si C 0 = F (C), A0 = F (A) y B 0 = F (B) estan en ΠN , entonces A0 , B 0 y C 0 son N -colineales si, y sólo si A, B y C son Mcolineales si, y sólo si F −1 (A0 ), F −1 (B 0 ) y F −1 (C 0 ) son M-colineales. Así la función ←−−−−−−−−−−→ ←−→ h : ΛN −→ ΛM es tal que si l0 = A0 B 0 ∈ ΛN , entonces h(l0 ) = F −1 (A0 )F −1 (B 0 ), ←−−−−−−→ ←→ esta bien definida. Pero si l = AB ∈ ΛM , implica que g(l) = F (A)F (B), lue←−−−−−−−−−−→ ←→ go h ◦ (g(l)) = F −1 (A0 )F −1 (B 0 ) = AB = l; análogamente para cada l0 ∈ ΛN , g ◦ (h(l0 )) = l0 . Por lo que h es la función inversa de g, entonces g es biyectiva. Además si P ∈ ΠM y l ∈ ΛM , existen A, B ∈ ΠM diferentes tales que AIM l y BIM l. ←→ ←→ Por lo tanto l = AB ⇔ P IM AB ⇔ P, A y B son M-colineales. ⇔ F (P ), F (A) y F (B) son N -colineales. ←−−−−−−→ ⇔ F (P )IN F (A)F (B) ⇔ F (P )IN g(l) ⇔ (F, g) es un isomorfismo de modelos de GIP entre M y N . Ahora estableceremos un isomorfismo del modelo de GIP entre MP1 = (Π1 , Λ1 , I1 ) y MK = (ΠK , ΛK , IK ). Para ello necesitamos hablar de la proyección estereográfica. Llamemos a S 2 := {(X, Y, Z) ∈ R3 : X 2 + Y 2 + Z 2 = 1, −1 ≤ X ≤ 1, −1 ≤ Y ≤ 1}, la esfera con centro en O y radio 1, N = (0, 0, 1) ∈ S 2 el polo norte de S 2 y S = (0, 0, −1) ∈ S 2 el polo sur de S 2 . Daremos una asociación de cada punto en el plano XY ∼ = C con un punto en S 2 . Sean Pb = (X, Y, Z) ∈ S 2 − {N} y ΠN : S 2 − {N} −→ C tales que ΠN (Pb) = P , donde P = (x, y) = x + iy ∈ C. −→ Visto geométricamente, P es la intersección del rayo NPb con el plano complejo, véase figura 4.15. Sea P 0 la proyección perpendicular del punto Pb sobre el plano XY, 92 Modelos de la geometría hiperbólica Figura 4.15 entonces P 0 = (X, Y ) = X + iY . Sea Σ el plano determinado por el eje Z y el punto Pb. En Σ están N , O, P , P 0 y Pb, véase la Figura 4.16. Así se tiene 4NZ Pb ∼ 4NOP y 1 |P | = . (∗) 0 |P | 1−Z Figura 4.16 Por otro lado los vectores unitarios P = P |P | y P0 |P 0 | son iguales, entonces |P | 0 1 P = P0 0 |P | 1−Z por (*) así que P = P0 1−Z (**) sustituyendo Pb y P , tenemos (x, y) = X Y , 1−Z 1−Z (∗ ∗ ∗) 4.3 Isomorfismo 93 por lo tanto ΠN (X, Y, Z) = X Y , 1−Z 1−Z , con Z < 1 ya que (X, Y, Z) 6= N y ΠN (S) = (0, 0). Ahora veamos la inversa. Como P 0 = (X, Y ), entonces |P 0 |2 = X 2 + Y 2 = 1 − Z 2 , porque X 2 + Y 2 + Z 2 = 1. Por (**) tenemos: |P 0 |2 1 − Z2 = |1 − Z|2 (1 − Z)2 (1 − Z)(1 + Z) = (1 − Z)2 1+Z . |P |2 = 1−Z |P |2 = Despejando Z se tiene: (1 − Z)|P |2 = 1 + Z |P |2 − |P |2 Z = 1 + Z |P |2 − 1 = Z(|P |2 + 1) |P |2 − 1 Z= . |P |2 + 1 Luego |P |2 − 1 |P |2 + 1 |P |2 + 1 − |P |2 + 1 = |P |2 + 1 2 = . 2 |P | + 1 1−Z =1− Entonces, por (***) (X, Y ) = (1 − Z)(x, y) = 2x 2y , 2 |P | + 1 |P |2 + 1 . 94 Modelos de la geometría hiperbólica Por lo tanto Π−1 N (x, y) 2x 2y |P |2 − 1 = , , |P |2 + 1 |P |2 + 1 |P |2 + 1 2y x2 + y 2 − 1 2x , , = x2 + y 2 + 1 x2 + y 2 + 1 x2 + y 2 + 1 y Π−1 N (0, 0) = (0, 0, −1) = S. Construyamos el isomorfismo entre MK y MP1 , tenemos: S = {(X, Y, Z) ∈ R3 | X 2 + Y 2 + Z 2 = 1}, S 1 = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 = 1} y ΠK = Π1 es el interior de S 1 , o sea ΠK = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 < 1}. 2 Figura 4.17 c Sea F : Π1 −→ ΠK tal que si W = (x, y) ∈ Π1 , entonces Π−1 N (x, y) = W ∈ c sobre el plano XY y eso nos origina S 2 , luego proyectaremos verticalmente el punto W 1 otro punto, F (W ) en el interior de S , véase Figura 4.17. Explícitamente, como 2y |W |2 − 1 2x −1 , , ΠN (x, y) = 1 + |W |2 1 + |W |2 |W |2 + 1 por lo tanto F (x, y) = 2y 2x , 2 1 + |W | 1 + |W |2 es decir F (W ) = , 2W . 1+ | W |2 −−→ Observar que F (W ), W y O son colineales (es más F (W ) está en el rayo OW ) y además F (O) = O, véase Figura 4.18. De hecho, se cumple lo siguiente: Si l es una P1 -recta que incide con W y con puntos ideales P y Q, entonces F (W ) está 4.3 Isomorfismo 95 Figura 4.18 en la K-recta P )(Q, es decir, F manda la P1 -recta en la K-recta P )(Q. ¡Es una colineación! y, por lo tanto, es un isomorfismo de modelos. Para esto tenemos la siguiente proposición: Proposición 4.1. F es colineación. Demostración. Supongamos que A, B, D ∈ Π1 y son P1 -colineales. Sin pérdidad de generalidad A, B y D son puntos distintos, si dos de ellos coinciden sus imagenes también coincidirán y {F (A), F (B), F (D)} sería un conjunto de a lo más dos puntos que, por Axioma ←→ I2, serían colineales. Sea l = AB y supongamos que DI1 l. (a) Si l es del primer tipo, entonces l pasa por O. Notar que O, A y F (A) son E-colineales, O, B, F (B) son E-colineales y O, D, F (D) son E-colineales. Por hipótesis O, A y B son E1 -colineales, así que O, F (A), F (B) y F (D) son Ecolineales. Por lo tanto F (A), F (B) y F (D) están en l, es decir, F (A), F (B) y F (D) son P1 -colineales. (b) Si l es del segundo tipo, existe una E-circunferencia δ ortogonal a S 1 y tal que δ ∩ int S 1 = l. Sean C el centro de δ y P y Q los puntos de intersección de δ y S 1 . Entonces P y Q están en la intersección de S 1 con la circunferencia que tiene a OC como diámetro, véase Figura 4.19. Si C = (C1 , C2 ), la ecuación de tal circunferencia se escribe como: 2 2 2 2 C1 C2 C1 C2 x− + y− = + 2 2 2 2 Esto es, 2 x − C1 x + C1 2 2 2 + y − C2 y + C2 2 2 = C1 2 2 + C2 2 2 ; 96 Modelos de la geometría hiperbólica reescribiendo obtenemos: x2 − C1 x + y 2 − C2 y = 0. O equivalentemente x2 + y 2 = C1 x + C2 y. Pero la intersección de esta circunferencia con S 1 satisfacen también x2 +y 2 = 1, por lo que tenemos C1 x + C2 y = 1. Esta ecuación es de una recta y P y Q la ←→ satisfacen, por lo tanto es la ecuación de la recta P Q en R2 . Figura 4.19 2 2 2 2 Hallemos la ecuación de δ: su radio es CP , pero CP = CO − OP = CO − 1 2 2 y CO = C12 + C22 . Por lo tanto CP = C12 + C22 − 1 y así la ecuación de δ es: (x − C1 )2 + (y − C2 )2 = C12 + C22 − 1. Simplificando x2 − 2xC1 + C12 + y 2 − 2yC2 + C22 = C12 + C22 − 1 x2 − 2xC1 + y 2 − 2yC2 = −1 (*) Sea A = (a1 , a2 ) ∈ l. Por lo tanto A ∈ δ. Entonces (a1 , a2 ) satisface (*), por lo que a21 + a22 + 1 = 2C1 a1 + 2C2 a2 , luego: 2a2 2a1 , F (A) = F (a1 , a2 ) = 1 + a21 + a22 1 + a21 + a22 2a1 2a2 = , 2C1 a1 + 2C2 a2 2C1 a1 + 2C2 a2 a1 a2 = , . C 1 a1 + C 2 a2 C 1 a1 + C 2 a2 4.3 Isomorfismo 97 Figura 4.20 ←→ Pero la ecuación P Q era C1 x + C2 y = 1, así que C1 a1 C 1 a1 + C 2 a2 + C2 a2 C 1 a1 + C 2 a2 = C 1 a1 + C 2 a2 = 1. C 1 a1 + C 2 a2 ←→ Por lo tanto F (A) satisface la ecuación de P Q, lo cual implica que F (A) ∈ ←→ ←→ ←→ OA ∩ P Q, véase Figura 4.20. En particular F (A) ∈ P Q. Con esto se tiene F (A) ∈ P )(Q y D, A, B son P1 colineales entonces: ←→ DI1 AB ⇒ D ∈ δ ∩ int S 1 ←−−−−−−→ ⇒ F (D) ∈ P )(Q = F (A)F (B). De hecho esto caracteriza la función F . Ahora definamos la relación de orden en MP 1 = (Π1 , Λ1 , I1 ). Definición 4.10. Si A, B y C tres puntos en Π1 , entonces A ∗1 B ∗1 C ⇔ F (A) ∗K F (B) ∗K F (C), donde F : Π1 −→ ΠK es el isomorfismo de modelos de GIP entre MP1 y MK . Veamos que Π1 , Λ1 , I1 , ∗1 es un modelo de GIPO. 98 Modelos de la geometría hiperbólica O1) A ∗1 B ∗1 C ⇔ F (A) ∗K F (B) ∗K F (C) ⇔ F (A), F (B) y F (C) son K-colineales, distintos y F (C) ∗K F (B) ∗K F (A) ⇔ A, B y C P1 -colineales, distintos y C ∗1 B ∗1 A. O2) Supongamos que A 6= B son P1 -puntos, por lo tanto F (A) 6= F (B) ⇒ Existen C, D, E ∈ ΠK : C ∗K F (A) ∗K F (B) ∧F (A) ∗K D ∗K F (B) ∧ F (A) ∗K F (B) ∗K E ⇒ F −1 (C), F −1 (D), F −1 (E) ∈ Π1 ∧ F −1 (C) ∗1 A ∗1 B ∧ A ∗1 F −1 (D) ∗1 F (B) ∧ A ∗1 B ∗1 F −1 (E). O3) Supongamos que A, B y C ∈ Π1 , son P1 -colineales y distintos. ⇒ F (A), F (B) y F (C) ∈ ΠK , son K1 -colineales y distintos ⇒ F (A) ∗K F (B) ∗K F (C) ∨ F (B) ∗K F (A) ∗K F (B) ∨ F (A) ∗K f (C) ∗K F (B) ⇒ A ∗1 B ∗1 C ∨ B ∗1 A ∗1 C ∨ A ∗1 C ∗1 B. Observación 4.3. A la proposición “P no P1 -incide con l” lo denotaremos A 6 I1 l, de igual manera para “Q no K-incide con l” lo denotamos A 6 IK l. O4) Sean l ∈ Λ1 y A, B, C ∈ Π1 tales que A 6 I1 l, B 6 I1 l, C 6 I1 l, entonces F (l) ∈ ΛK y F (A), F (B), F (C) ∈ ΠK son tales que F (A) 6 IK F (l), F (B) 6 IK F (l) y F (C) 6 IK F (l). Por demostrar: (a) A y B están del mismo lado de l, B y C están del mismo lado de l, entonces A y C están del mismo lado de l. (b) A y B están de lados opuestos de l, B y C están de lados opuestos de l, entonces A y C están del mismo lado de l. Para este axioma, necesitamos las siguientes observaciones: Observación 4.4. Sean (AB)1 = {P ∈ Π1 : A ∗1 P ∗1 B} ∪ {A, B} y (CD)K = {Q ∈ ΠK : D∗K Q∗K C}∪{C, D}. Entonces R ∈ (AB)1 si, y sólo si F (R) ∈ ((F (A)F (B))K y F ((AB)1 ) = (F (A)F (B))K . 4.4 Definición de ángulo en MP1 99 Observación 4.5. Dados l ∈ Λ1 , A, B ∈ Π1 − {l}. A y B están del mismo lado de l si, y sólo si no existen P1 -puntos en (AB)1 que P1 -incidan con l si, y sólo si no existen K-puntos en (F (A)F (B))K que K-incidan con F (l) si, y sólo si F (A) y F (B) están del mismo lado de F (l) en MK . Figura 4.21 Regrasando a O4: (a) F (A) y F (B) están del mismo lado de F (l) y F (B), F (C) están del mismo lado de F (l). Así que F (A) y F (C) están del mismo lado de F (l), por lo tanto A y C estan del mismo lado de l, véase Figura 4.21. (b) Si F (A) y F (B) están en lados opuestos de F (l), es decir, hay un punto en (F (A)F (B))K que K-incide con F (l). F (B) y F (C) están de lados opuestos de l, lo que implica F (A) y F (C) están del mismo lado de F (l). Por lo tanto A y C están del mismo lado de l. Hemos visto que MP1 = (Π1 , Λ1 , I1 , ∗1 ) es un modelo de GIPO, por la manera en que definimos ∗1 , es claro que F : Π1 −→ ΠK es ahora un isomorfismo de modelos de GIPO. 4.4. Definición de ángulo en MP1 Definición 4.11. Sea ^ABC un P1 -ángulo. La P1 -medida en grados de ^ABC es la medida en grados del ángulo euclidiano formado por los rayos euclidianos que emanan de B y que son tangentes en B euclidianamente con la misma dirección que −→ −−→ los P1 -rayos BA y BC, véase Figura 4.22. A la medida en grados del P1 -ángulo se le denotará por (^ABC)◦1 . 100 Modelos de la geometría hiperbólica Figura 4.22 Definición 4.12. Si ^ABC y ^DEF son P1 -ángulos, entonces ^ABC ∼ =1 ^DEF ◦ ◦ si, y sólo si (^ABC)1 = (^DEF )1 . Proposición 4.2. La congruencia de P1 -ángulos (∼ =1 ) es una relación de equivalencia. Demostración. (a) ^ABC ∼ =1 ^ABC ⇔ (^ABC)◦1 = (^ABC)◦1 y esta afirmación es, evidentemente, verdadera. (b) ^ABC ∼ =1 ^DEF ⇒ (^ABC)◦1 = (^DEF )◦1 ⇒ (^DEF )◦1 = (^ABC)◦1 ⇒ ^DEF ∼ =1 ^ABC. (c) ^ABC ∼ =1 ^DEF ∧ ^DEF ∼ =1 ^GHI ⇒ (^ABC)◦1 = (^DEF )◦1 ∧(^DEF )◦1 = (^GHI)◦1 ⇒ (^ABC)◦1 = (^GHI)◦1 ⇒ ^ABC ∼ =1 ^GHI. Ahora presentaremos una construcción auxiliar. Dados una circunferencia γ una cuerda euclidiana l de γ. Construir una circunferencia ortogonal a γ y tangente a l en un punto dado P ∈ l. Solución: Sean P 0 el inverso de P respecto a γ y m la mediatriz de P P 0 . Sean t ⊥ l en P y C la intersección de m y t. Entonces si δ es la circunferencia con centro en C y radio 4.4 Definición de ángulo en MP1 101 CP , δ es ortogonal a γ (porque pasa por P y P 0 ) y es tangente a l en P (por tener su centro en t), véase Figura 4.23. Si l es el diámetro de γ, entonces δ es igual a m. Figura 4.23 Estamos listos de para demostrar C4) en MP1 . Recordar el Axioma C4 de GNP: −−→ Dado cualquier ángulo ^BAC y dado cualquier rayo A0 B 0 , entonces hay un único −−→ ←−→ rayo A0 C 0 sobre un lado de la recta A0 B 0 tal que ^B 0 A0 C 0 ∼ = ^BAC. Figura 4.24 Demostración. −−→ −−→ −−→ −−→ Sean ^ABC un P1 -ángulo, DE un P1 -rayo y BA0 , BC 0 y DE 0 los rayos euclidianos −→ −−→ −−→ tangentes a los P1 -rayos BA, BC y DE en la misma dirección que estos P1 -rayos, ←→ respectivamente. Así Σ0 es el P1 -semiplano determinado por la P1 -recta DE y el punto ←→ E 0 y Σ el otro plano determinado por la P1 -recta DE y que no este E 0 . Entonces dados −−→ el E-ángulo ^A0 BC 0 y el E-rayo DE 0 en Σ0 , por C4 aplicado en E existe un único 102 Modelos de la geometría hiperbólica −−→ E-rayo DF 0 tal que ^F 0 DE 0 ∼ =E ^A0 BC 0 . Por la construcción auxiliar, existe δ una ←−→ circunferencia ortogonal a γ y que es tangente a la E-recta DF 0 en D, véase Figura −−→ −−→ 4.24. Escogemos el P1 -rayo DF contenido en δ en la misma dirección que DF 0 (o sea el contenido en Σ), entonces (^EDF )◦1 = (^F 0 DE 0 )◦E = (^A0 BC 0 )◦E = (^ABC)◦1 , por lo tanto ^EDF ∼ =1 ^ABC. 4.5. Definición de ángulo en MK Definición 4.13. (a) La medida en grados de K-ángulo ^ABC es la medida en grados del P1 -ángulo ^F −1 (A)F −1 (B)F −1 (C) donde F : Π1 −→ ΠK es el isomorfismo de GIPO entre MP1 y MK , véase Figura 4.25. Al K-ángulo ^ABC se denotará como (^ABC)◦K . Figura 4.25 (b) Los K-ángulos ^ABC y ^A0 B 0 C 0 son K-congruentes si (^ABC)◦K = (^A0 B 0 C 0 )◦K . Con está definición es claro que MK cumple los axiomas C4 y C5. Recordemos que si C es una circunferencia euclidiana y si P y Q son dos puntos de ellas, entonces el polo de la E-cuerda P Q, respecto a C, es la intersección de las tangentes a C en los puntos P y Q. Lo denotaremos por P (P Q, C). Proposición 4.3. Si γ una E-circunferencia, P, Q ∈ γ y D = P (P Q, γ). Entonces la circunferencia δ, con centro en D y radio DP , es ortogonal a γ, véase Figura 4.26. 4.5 Definición de ángulo en MK 103 Figura 4.26 Regresemos al modelo MK . Proposición 4.4. Sean l = P )(Q y l0 = P 0 )(Q0 dos K-rectas. l y l0 son K←−→ perpendiculares si, y sólo si la E-recta P 0 Q0 pasa por D = P (P Q, γ). Demostración. ←−→ Supongamos que P 0 Q0 pasa por D. Sea B el K-punto de la intersección de l0 y l, δ la E-circunferencia ortogonal a γ y con centro D y la E-circunferencia ortogonal a γ con centro D0 = P (P 0 Q0 , γ) y radio D0 P 0 . Entonces F −1 (l) = δ ∩ int γ y F −1 (l0 ) = ∩ int γ. Demostraremos que: F −1 (l) y F −1 (l0 ) son P1 -perpendiculares, es −−→ decir, que δ y son ortogonales. δ es ortogonal a γ y DQ0 corta a γ en los puntos Q0 y P 0 , por lo tanto δ (Q0 ) = P 0 . Como pasa por estos dos puntos inversos respecto a δ, es ortogonal a δ, véase Figura 4.27. I Ahora, supongamos que l y l0 son K-perpendiculares, entonces F −1 (l) y F −1 (l0 ) son P1 -perpendiculares, en particular δ y son ortogonales. Por lo tanto P Q pasa ←−→ por el polo de P 0 Q0 . Así, y γ son ortogonales a δ y por ende se intersectan en puntos −−→ ←−→ inversos respecto a δ, es decir, δ (P 0 ) = Q0 . Por lo tanto Q0 está DP 0 y con ello P 0 Q0 ←→ pasa por D. Análogamente, P Q, pasa por D0 , véase Figura 4.27. I Lema 4.2. Dados una circunferencia γ en E con centro en O y un punto Q en el interior de γ, distinto de O. Existe una circunferncia σ ortogonal a γ tal que σ (Q) = O. I Demostración. Sea Q0 = γ (Q). Desde Q0 trazamos una tangente a γ que la tocará en un punto T . Sea σ la circunferencia con centro en Q0 y radio Q0 T , véase Figura 4.28. Entonces I 104 Modelos de la geometría hiperbólica Figura 4.27 I σ es ortogonal a γ y σ (Q0 ) = ∞, es decir, Q0 e ∞ son simétricos respecto a σ. Por el principio de simetría, γ (Q0 ) e γ (∞) son simétricos respecto a γ. Es decir, γ (Q) = O. I I I Figura 4.28 4.6. Distancia en MP1 Definición 4.14. Sea γ una circunferencia en el plano euclidiano E. Sean A, B ←→ puntos distintos en el interior de γ y P , Q los puntos ideales de la P1 -recta AB, véase Figura 4.29. Entonces: 4.6 Distancia en MP1 105 (a) La razón cruzada (AB, P Q) esta dada por: (AB, P Q) = AP PB AQ QB = AP QB · , P B AQ donde AP , P B, AQ y QB son las longitudes euclidianas de los E-segmentos AP , P B, AQ y QB, respectivamente. Figura 4.29 (b) La longitud del P1 -segmento AB en el modelo de MP1 es d1 (AB) =| log(AB, P Q) |, donde: log : R+ −→ R x 7→ ex es la función logaritmo natural usual. Observación 4.6. Como AB, P B, AQ y QB son reales positivos, (AB, P Q) > 0 y se puede aplicar el logaritmo natural. Observación 4.7. d1 (AB) no depende del orden en que se tomen P y Q. En efecto: AP PB AQ (AB, QP ) = QB (AB, P Q) = = QB AQ PB · AP 1 · (AB, P Q) . 106 Modelos de la geometría hiperbólica Por lo tanto, 1 (AB, P Q) = log1 − log(AB, P Q) = −log(AB, P Q), log(AB, QP ) = log así que | log(AB, QP ) | = | log(AB, P Q) | . Observación 4.8. d1 (AB) = d1 (BA). En efecto: AP PB BP (BA, P Q) = PA QB AQ QA · BQ 1 = . (AB, P Q) (AB, P Q) = · Por lo tanto, log(BA, P Q) = −log(AB, P Q), así que d1 (BA) =| log(BA, P Q) | = | log(BA, P Q) |= d1 (AB). Observación 4.9. Si A = B, entonces d1 (AB) = 0. A = B ⇒ (AB, P Q) = 1 ⇒ log(AB, P Q) = 0 ⇒ d1 (AB) = 0 Observación 4.10. Recíprocamente, d1 (AB) = 0, entonces A = B. d1 (AB) = 0 ⇒ | log(AB, P Q) |= 0 ⇒ log(AB, P Q) = 0 ⇒ (AB, P Q) = 1. 4.6 Distancia en MP1 107 Falta demostar que A = B. Supongamos que A 6= B y sean P y Q los puntos ←−−→ ideales de (AB)1 ; si está P más cerca de A que de B. Entonces AP <1 (1) PB AQ AQ > BQ ⇒ >1 (2) QB AP QB (1) y (2) ⇒ · < 1, P B AQ lo que implica que (AB, P Q) < 1, que es una contradicción, por lo tanto A = B. AP < P B ⇒ Definición 4.15. Sean AB y CD dos P1 -segmentos. Diremos que AB y CD son P1 -congruentes si d1 (AB) = d1 (CD). La proposición AB y CD son P1 -congruentes se denoratá AB ∼ =1 CD. Lema 4.3. Si A ∗1 C ∗1 B, entonces d1 (AB) = d1 (AC) + d1 (CB). Demostración. Si A ∗1 C ∗1 B, así que A , C y B son P1 -colinelaes y distintos. Sean P y Q los ←−−→ puntos ideales de (AB)1 , donde P está más cerca de B que de A, véase Figura 4.30. Entonces: AP QC · > 1 ⇒ log(AC, P Q) > 0 (AC, P Q) = P C AQ ⇒ d1 (AC) = log(AC, P Q). y (CB, P Q) = CP QB · > 1 ⇒ log(BC, P Q) > 0 P B CQ ⇒ d1 (CB) = log(CB, P Q). Por otra parte: d1 (AC) + d1 (CB) = log(AC, P Q) + log(CB, P Q) = log(AC, P Q)(CB, P Q) AP QC CP QB = log · · · P C AQ P B CQ AP QB = log · P B AQ = d1 (AB). 108 Modelos de la geometría hiperbólica Figura 4.30 Vamos a comprobar que está relación de congruencia de segmento en MP1 cumple C2 y C3. C2) ∼ =1 es relación de equivalencia. (a) Para todo P1 -segmento AB se cumple que AB ∼ =1 AB. En efecto, ya que d1 (AB) = d1 (AB). (b) AB ∼ =1 CD, entonces CD ∼ =1 AB. Tenemos que d1 (AB) = d1 (CD), lo que es igual a d1 (CD) = d1 (AB). (c) AB ∼ =1 CD y CD ∼ =1 EF , entonces AB ∼ =1 EF . Se cumple que d1 (AB) = d1 (CD) y d1 (CD) = d1 (EF ), asi que d1 (AB) = d1 (EF ). C3) Si A∗1 B ∗1 C, A0 ∗1 B 0 ∗1 C 0 , AB ∼ =1 A0 B 0 y BC ∼ =1 B 0 C 0 , entonces AC ∼ = 1 A0 C 0 . Por el Lema 4.3, si A ∗1 B ∗1 C se cumple d1 (AC) = d1 (AB) + d1 (BC) y si A0 ∗1 B 0 ∗1 C 0 , así que d1 (A0 C 0 ) = d( A0 B 0 )+d1 (B 0 C 0 ), donde d1 (AB) = d1 (A0 B 0 ) y d1 (B 0 C 0 ) = d1 (BC). Por lo tanto d1 (AC) = d1 (A0 C 0 ), es decir, AC ∼ =1 A0 C 0 . Seguimos suponiendo que E es un plano euclidiano, γ es una circunferencia en E, con radio r y centro O y Π1 = int γ. ed − 1 r + OB y ed = , Lema 4.4. Si B ∈ Π1 y d = d1 (OB), entonces OB = r d e +1 r − OB donde OB es la longitud euclidiana del E-segmento OB. 4.6 Distancia en MP1 109 Demostración. ←→ Sea l la P1 -recta OB la cual es del primer tipo. Sean P y Q los puntos ideales de l tales que Q ∗E O ∗E B ∗E P , véase Figura 4.31. Entonces d =| log(OB, P Q) |. Pero (OB, P Q) = OP QB OP · , donde >1 P B OQ PB y QB > 1. OQ Por lo que (OB, P Q) > 1, luego log(OB, P Q) > 0, así que log(OB, P Q) = d. Por lo Figura 4.31 tanto ed = (OB, P Q) = OP QB r QB QB r + OB · = · = = . Entonces: r PB OQ P B PB r − OB ed (r − OB) = r + OB ed r − ed OB = r + OB r(ed − 1) = OB(1 + ed ) OB = r ed − 1 . ed + 1 Corolario 4.1. Si l ∈ Λ1 , P 6 I1 l, Q es el pie de la P1 -perpendicular bajada de P a l, α es la medida en radianes del ángulo de paralelismo en MP1 de (P, l) y d = d1 (P Q), entonces e−d = tan( α2 ). Demostración. (a) Suponemos que l es una recta del primer tipo y que Q = O. Sea Σ uno de los puntos ideales de l, entonces el E-triángulo 4P OΣ es un triángulo rectángulo. ←→ El P1 -rayo P A es la intersección con int γ y de la E-cicunferencia δ que pasa por P que es tangente a l en Σ. Sea R el punto de intersección de l con la 110 Modelos de la geometría hiperbólica E-tangente a δ en P , luego el E-triángulo 4RP Σ es isósceles (pues RΣ y RP son las longitudes de los segmentos de las tangentes trazadas de R a δ) y los E-ángulos ^RΣP y ^RP Σ son congruentes, véase Figura 4.32. Sea β la medida en grados de cualquiera de estos dos ángulos. Entonces α + 2β = π2 , porque el E-triángulo 4OP R triángulo rectángulo y ^P RO es un ángulo exterior de 4P RΣ, por lo tanto β = π4 − α2 . Figura 4.32 Aplicando el Lema 4.4: ed = = r + OP r − OP 1 + OP r 1 − OP r 1 + tan β = 1 − tan β 1 + tan( π4 − α2 ) = 1 − tan( π4 − α2 ) (∗) 4.6 Distancia en MP1 111 Como tan( sen( π4 − α2 ) π α − )= )z 4 2 cos( π4 − α2 π α α π sen cos − sen cos 4 2 2 4 = α π α π cos cos + sen sen 4 2 4 2 cos α2 − sen α2 = cos α2 + sen α2 1 − tan α2 = . 1 + tan α2 Por (∗) se tiene que ed = 1+ 1−tan 1+tan 1− 1−tan 1+tan α 2 α 2 α 2 α 2 2 2 tan α2 1 = . tan α2 = Por lo tanto e−d = tan α2 . (b) Ahora supongamos que l es una recta del segundo tipo. Figura 4.33 Como ya vimos en Lema 4.2, existe una circunferencia δ, ortogonal a γ, tal que δ (Q) = O y también δ (l) = l0 , δ (P ) = P 0 que están en la situación I I I 112 Modelos de la geometría hiperbólica del caso (a), véase Figura 4.33. Como la medida en grados (o radianes) de los ángulos es invariante bajo la inversión en circunferencias, si α0 es la medida en radianes del ángulo de paralelismo de (P 0 , l0 ), entonces α = α0 . Así tendriamos: 0 e−d = tan α0 . 2 Para ver que −d0 = −d, bastará con aplicar el siguiente Lema: Lema 4.5. Sean A y B P1 -puntos, l una P1 -recta que pasa por A y B, P y Q los puntos ideales de l. Si A0 , B 0 , P 0 y Q0 los inversos de A, B, P y Q respectivamente, respecto de una circunferencia δ ortogonal a γ. Entonces (AB, P Q) = (A0 B 0 , P 0 Q0 ), véase Figura 4.34. Figura 4.34 Demostración. La razón cruzada (AB, P Q) = AP QB AP QB · = · y la razón cruzada de P B AQ AQ P B A0 P 0 Q0 B 0 · 0 0 .Como 4DAQ ∼ 4DQ0 A0 , véase Figura 4.35, se tie0 0 P B AQ DA AQ DA DA 0 0 0 Q0 . Análogamente AP = ne = , entonces AQ = · A A P , luego: DQ0 A0 Q0 DQ0 DP 0 (A0 B 0 , P 0 Q0 ) = AP = AQ = DA DP 0 DA DQ0 · A0 P 0 · A0 Q0 DQ0 A0 P 0 · . DP 0 A0 Q0 4.6 Distancia en MP1 113 Figura 4.35 Lo mismo para QB DP 0 B 0 Q0 = · . Por lo tanto: PB DQ0 B 0 P 0 (AB, P Q) = AP AQ BP BQ = A0 P 0 A0 Q0 B0P 0 B 0 Q0 = (A0 B 0 , P 0 Q0 ). Corolario 4.2. La P1 -longitud es invariente bajo la inversión respecto a circunferencias ortogonales a γ, es decir, si A y B son cualquiera P1 -puntos, δ es una circunferencia ortogonal a γ, y A0 := δ (A) y B 0 := δ (B), entonces d1 (AB) = d1 (A0 B 0 ). I I Demostración. Por Lema 4.5 (AB, P Q) = (A0 B 0 , P 0 Q0 ), entonces | log(AB, P Q)| = | log(A0 B 0 , P 0 Q0 )|, por lo tanto d1 (AB) = d1 (A0 B 0 ). Lema 4.6. Sea δ una circunferencia ortogonal a γ. Entonces: I (γ) = γ. (b) I (int γ) = int γ. (c) I conserva la P -incidencia, el P -orden y la P -congruencia. (a) δ δ δ 1 1 Demostración. Sea D el centro de δ y s el radio de δ. (a) Se cumple por ser δ ortogonal a γ. 1 114 Modelos de la geometría hiperbólica Figura 4.36 I −−→ (b) Sean A ∈ int γ, A0 = δ (A). Sean P y Q puntos de intersección de DA con γ de tal forma que P ∗E A ∗E Q ∗E D, entonces DA · DA0 = s2 = DP · DQ (esta última por ser δ y γ ortogonales), véase Figura 4.36. 1 1 1 > > DQ DA DP 2 2 s s2 s > > ⇒ DQ DA DP ⇒ DP > DA0 > DQ ⇒ P ∗E A0 ∗E Q ∗E D ⇒ A0 ∈ int γ. Se tiene: DQ < DA < DP ⇒ I Así que δ (int γ) ⊆ int γ. Además int γ = tanto δ (int γ) = γ. I I I I ◦ (I (int γ)) ⊆ I (int γ). Por lo δ δ δ (c) Probaremos primero que δ manda P1 -rectas en P1 -rectas. Sea l una P1 -recta, entonces existe una E-recta m o una E-circunferencia m tal que m ∩ int γ = l y m es ortogonal a γ, así que δ (m) es o bien una E-recta ortogonal a δ (γ) = γ o bien una E-circunferencia ortogonal a δ (γ) = γ. Por lo tanto: I I I (l) = I (m ∩ int γ) = I (m) ∩ I (int γ) = I (m) ∩ int γ que es una P -recta. δ δ δ δ δ I 1 I Esto demuestra que δ concerva la P1 -incidencia. Por el corolario 3.3, δ conserva la congruencia de ángulos. El corolario 4.2 prueba que δ conserva la P1 -congruencia de segmentos y, con ello el Lema 4.3, se demuestra que δ conserva el P1 -orden. I I 4.7 Reflexiones en MP1 115 Observar que los tres incisos del Lema anterior se cumplen si δ es una recta euclidiana que pasa por O y en vez de δ tomamos la E-reflexión en la E-recta δ : Rδ . I Nos falta demostrar que MP1 satisface los axiomas C1 y C6. Para ello, será útil analizar las propiedades de las reflexiones en P1 -rectas. 4.7. Reflexiones en MP1 Observemos que, aunque la definición de reflexión en una recta la hemos hecho en planos neutrales (ver Definición 2.7), en MP1 se tiene relaciones de congruencia de segmentos y de ángulos que nos permitén definir la reflexión en una P1 -recta y trabajar con las propiedades de esta transformación, que nos ayudará a culminar la prueba de que MP1 es de GIPO en un plano neutral. Como veremos a continuación, la P1 -reflexión en una P1 -recta del primer tipo conincide con la reflexión euclidiana en la recta euclidiana ˆl que la contiene, pero restringida a int γ, mientras que la P1 -reflexión en una P1 -recta del segundo tipo es la inversión en la circunferencia euclidiana δ que la contiene, pero restringida a int γ. El Lema 4.6, como es de esperarse, será de un inestimable valor en todo esto. Veamos las reflexiones en P1 -rectas. Sea l una P1 -recta. (a) Supongamos que l es una P1 -recta del primer tipo, entonces l está contenida en una E-recta b l que pasa por O. Sea A un P1 -punto, si A ∈ l, omplica (Rl )1 (A) = A. Supongamos que A no está en l. Sea A0 = (Rbl )E (A). A0 es un P1 -punto (pues int γ es simétrico respecto a Rbl ), comprobaremos que A0 = (Rl )1 (A). Sea M el ←→ punto de intersección de la P1 -recta AA0 con l. 1. Si A y A0 son colineales con O. ←→ La P1 -recta AA0 es del primer tipo, entonces M = O y si d = d1 (AO) y d0 = d1 (A0 O) pero, ed = 0 r + OA0 r + OA d = = e . r − OA r − OA0 Así que d = d0 , por lo tanto tenemos que d1 (AO) = d1 (A0 O), además ←−−0→ ←→ (AA )1 yace sobre la recta euclidiana AA0 , que es E-perpendicular a b l, ←−−0→ 0 porque A = (Rbl )E (A) y (AA )1 es P1 -perpendicular a l, véase Figura 4.37. ←→ Por otro lado A ∗1 O ∗1 A0 , pues en la E-recta AA0 se tiene A ∗E O ∗E A0 . Por lo tanto (Rl )1 (A) = A0 . 116 Modelos de la geometría hiperbólica Figura 4.37 2. Supongamos que A y A0 no son E-colineales con O. Entonces la P1 -recta ←→0 AA es del segundo tipo (y automaticamente A, A0 y O tampoco son P1 colineleales pues ninguna circunferencia ortogonal a γ pasa por O). Sea ←−−→ δ la circunferencia ortogonal a γ que contiene a (AA0 )1 . Como A, A0 ∈ δ y b l es mediatriz del E-segmento AA0 , entonces b l pasa por el centro de ←−−→ δ. En pocas palabras b l y δ son ortogonales en M y por lo tanto (AA0 )1 es P1 -perpendicular a l. Sean η la circunferencia ortogonal a γ tal que ←−−0→ η (M ) = O y η ((AA )1 ) = m, donde m es una P1 -recta del primer tipo y η (ˆl) = ˆl, pues M y O están en ˆl y son simétricos respecto a δ, lo que implica que ˆl pasa por E = γ (M ), veásse Figura 4.38. Por lo tanto, m b = η (A) y A b0 = η (A0 ). En el plano E: es perpendicular a b l. Sean A I I I I I I Figura 4.38 EA = EA0 , porque E está en b l que es mediatriz de AA0 E . Así que 4EAA0 es isósceles y como b l es mediatriz de AA0 (la base), entonces b l es bisectriz 4.7 Reflexiones en MP1 117 b A b0 . Además, si p es el radio de ^AEA0 . Por lo tanto b l es bisectriz de ^AE de η se cumple: 2 2 b = p = p = EA b0 . EA EA EA0 b A b0 es isósceles y por lo tanto l es mediatriz de A bA b0 , así que Entonces 4AE b = OA b0 . Si d = d1 (OA) b y d0 = d1 (OA b0 ), se tiene OA ed = b b0 r + OA r + OA 0 = = ed b0 b0 r − OA r − OA I I b = (AM )1 y η (A b0 O) = (A0 M )1 , entonces de lo cual d = d0 . Como η (OA) 0 O) = d ((A0 M ) ). b = d1 ( A d d1 ((AM )1 ) = d1 (AO) 1 1 Conlusión, la reflexión en P1 -rectas del primer tipo coinciden con la reflexión euclidiana restringida a int γ. Más precisamente: Si l es una P1 -recta del primer tipo que yace en una recta euclidiana b l, entonces (Rl )1 = Rbl restringida al int γ. (b) Supongamos que l es del segundo tipo. Sean λ la circunferencia ortogonal a γ que contiene a l, L el centro de λ y A0 = λ (A). Comprobaremos que A0 = ←−−→ (Rl )1 (A). Sea M la intersección de l con (AA0 )1 y η la circunferencia ortogonal a γ tal que η (M ) = O; A y A0 son simétricos respecto a λ. Por lo tanto 0 b b0 η (A) = A y η (A ) = A son simétricos respecto a η (λ) = m. Sea δ la E- I I I I I Figura 4.39 118 Modelos de la geometría hiperbólica I ←−−→ circunferencia que contiene a (AA0 )1 , y m b = η (δ) véase Figura 4.39. Entonces b0 = (Rm )E (A), b así que OA b = OA b0 y m A b es perpendicular a m en O, por lo tanto 0 b b b b0 ) = (M A0 )1 , entonces d1 (OA) = d1 (OA ). Como η (OA) = (M A)1 y η (OA 0 I I I d1 (M A) = d1 (M A ); y como m b es E-perpendicular a m, implica η (m) b =δ ←−−→ es ortogonal a η (m) = λ. Así (AA)1 y l son P1 -perpendiculares. Por lo tanto A0 = (Rl )1 (A). I Lema 4.7. (a) Si A y B son P1 -puntos, existe una composición de a los más dos P1 -reflexiones en P1 -rectas que manda A en B. (b) Para cualquiera tres puntos no colineales A, B y B 0 , existe una composición de −−−−→ −−−−→ lo más tres P1 -reflexiones que manda el P1 -rayo (AB)1 , en el P1 -rayo (AB 0 )1 . Demostración. (a) 1. Si A = O. Ya vimos que si δ es la circunferencia ortogonal a γ y con centro en B 0 := γ (B), entonces δ (B) = O, por Lema 4.2. I I 2. Si B = O, entonces es análogo a 1. 3. Supongamos que B 6= O 6= A, entonces por Lema 4.2, existen inversiones 1 y 2 en circunferencias ortogonales a γ tales que 1 (A) = O e 2 (B) = O. Implica 2 ◦ 1 (A) = B. Pero 1 |int γ = R1 , 2 |int γ = R2 . Por lo tanto R2 ◦ R1 (A) = B. I I I I I I I I (b) Si A 6= O. Sea R la P1 -reflexión que manda A a O y sean R(B) = C y −−→ −−→ −→ −→ R(B 0 ) = C 0 y por lo tanto R(AB)1 = (OC)1 y R(AB 0 )1 = (OC 0 )1 , véase −→ −→ Figura 4.40. Los rayos del primer tipo, OC y OC 0 forman un ángulo euclidiano Figura 4.40 ^COC 0 , si S es la reflexión euclidiana en la E-bisectriz de ^COC 0 , entonces 4.8 Rotación en MP1 119 −−−−→ −−−−→ −−−−→ −−−−→ −−→ −→ S(OC) = (OC 0 ) y R ◦ S ◦ R((AB)1 ) = R ◦ S((OC)1 ) = R((OC 0 )1 = (AB 0 )1 . Si −−−−→ −−−−→ A = O, los P1 -rayos (AB)1 y (AB 0 )1 son del primer tipo y, si S es la reflexión en la P1 -recta del primer tipo que es la P1 -bisectriz (y también la E-bisectriz) −−−−→ −−−−→ del P1 -ángulo ^BAB 0 (E-ángulo), entonces S((AB)1 ) = (AB 0 )1 . −−→ Veamos que se cumple C1: Dados un segmento AB y un rayo CD, existe un −−→ único E ∈ CD, tal que CE ∼ = AB. Demostración. −−→ Sea AB un P1 -segmento y CD un P1 -rayo. Por (a) del Lema 4.7, existe una composición T de a lo más dos reflexiones en P1 -rectas, tal que T (A) = C. Si B 0 := T (B), es claro que T ((AB)1 ) = (CB 0 )1 . Por (b) del Lema 4.7, existe una composición −−−−→ −−−−→ S de a lo más tres P1 -reflexiones en P1 -rectas, tal que S((CB 0 )1 ) = (CD)1 . Si E = S(B 0 ), entonces S((CB 0 )1 ) = (CE)1 , lo que implica S ◦ T ((AB)1 ) = (CE)1 y, como S ◦ T es la composición de un número finito de P1 -rectas y cada una de ellas conserva la P1 -longitud de segmentos, así que d1 (AB) = d1 (CE) y, por lo tanto, AB ∼ =1 CE, véase Figura 4.41. Figura 4.41 4.8. Rotación en MP1 En el Capítulo 2 definimos la rotación T en un plano neutral, alrededor de un punto A como la composición de dos reflexiones en rectas l y m que inciden en A. Pero en MP1 la P1 -reflexión en una P1 -recta del primer tipo coincide con la reflexión 120 Modelos de la geometría hiperbólica en E, así pues la P1 -rotación será la composición de dos P1 -reflexiones en P1 -rectas del primer tipo que inciden en el centro de O de la circunferencia γ, restringida al int γ y conserva la P1 -congruencia, P1 -incidencia y P1 -orden. Observemos que también es valida la Proposición 2.11, la cual dice que si l y m no son perpendiculares pero inciden en O y d es la medida en grados del ángulo agudo que forman las rectas, entonces T rotará cada punto distinto de O, en un ángulo con medida θ = 2d, alrededor de O, véase Figura 4.42. Si l y m son perpendiculares, Rm ◦ Rl es una media vuelta. Figura 4.42 Ahora probaremos el axioma de congruencia 6 para MP1 . C6: Supongamos que en la circunferencia γ con centro en O, los P1 -triángulos 41 ABC y 41 A0 B 0 C 0 , son tales que AB ∼ =1 A0 B 0 , AC ∼ =1 A0 C 0 y ^BAC ∼ = 1 B 0 A0 C 0 . 0 0 0 Entonces 41 ABC ∼ = 1 41 A B C . Demostración. Por Lema 4.2 podemos llevar un punto cualquiera al punto O mediante una inversión. Sean pues δ y δ 0 circunferencias ortogonales a γ tal que δ (A) = O y δ0 (A) = 0 0 b b c0 c0 O, así mismo δ (B) = B, δ (C) = C, δ 0 (B ) = B , δ 0 (C ) = C . Como la inb y d1 (A0 B 0 ) = versión no cambía la longitud hiperbólica, entonces d1 (AB) = d1 (OB) c0 ), pero d1 (AB) = d1 (A0 B 0 ), así que d1 (OB) b = d1 (OB c0 ). Análogo para d1 (OC) b = d1 (OB c0 ). Por lo tanto OB b∼ c0 y OC b∼ c0 . De igual manera la magnitud de d1 (OC =1 O B =1 O C ◦ b C) b ◦1 y (^B 0 A0 C 0 )◦1 = (^B c0 OC c0 )◦1 , ángulos se conserva, por lo que (^BAC)1 = (^BO b C) b ◦ = (^B c0 OC c0 )◦ . además sabemos (^BAC)◦1 = (^B 0 A0 C 0 )◦1 , lo que implica (^BO 1 1 b C b∼ c0 OC c0 . Así pues obtenemos dos P1 -triángulos con uno de Por lo tanto ^BO = 1 ^B sus vértices en O y dos de sus lados partes de rectas euclidianas, es decir, triángulos bC b casi euclidianos, véase Figura 4.43. Consideremos dos triángulos euclidianos 4OB I I I I I I 4.8 Rotación en MP1 121 c0 C c0 con OB b∼ c0 , OC b∼ c0 y ^BO b C b∼ c0 OC c0 , entonces por C6 en y 4OB =E O B =E O C =E ^B bC b∼ c0 C c0 . Luego existen T una rotación en E con centro en E se tiene que 4OB =E 4OB O y si es necesario seguida de R3 una reflexión en una E-recta que pasa por O, tales b C) b = 4OB c0 C c0 ; pero como dijimos una rotación en E es composición que R3 ◦T (4OB de dos reflexiones en rectas que pasan por O, por lo que: b C) b = R3 ◦ R2 ◦ R1 (4OB b C) b = 4OB c0 C c0 R3 ◦ T (4OB Figura 4.43 O sea se necesitan a lo más tres reflexiones en E en rectas que pasan por O para b C) b al (4OB c0 C c0 ). Ahora bien la P1 -reflexión en P1 -rectas del primer mandar el (4OB tipo coincide con la reflexión en E y la P1 -reflexión en P1 -rectas del segundo tipo coincide con la inversión en circunferencias ortogonales a γ, por lo tanto δ , δ0 , R1 , R2 y R3 son P1 -reflexiones, en otras palabras lo que hemos hecho anteriormente es: I I I δ0 ◦ R3 ◦ R2 ◦ R1 ◦ I (4ABC) = I =I δ b C) b ◦ R3 ◦ R2 ◦ R1 (4OB bb δ 0 (4O B C) δ0 = 4A0 B 0 C 0 . Y para concluir que 41 ABC ∼ =1 41 A0 B 0 C 0 , véamos el siguente Lema: Lema 4.8. Sean 41 ABC y 41 A0 B 0 C 0 triángulos en MP1 . Sea T = Rn , . . . , R2 , R1 la composición de las reflexiones R1 , R2 , . . ., Rn en las P1 -rectas y si T (A) = A0 , T (B) = B 0 y T (C) = C. Entonces 41 ABC ∼ = 1 41 A 0 B 0 C 0 . 122 Modelos de la geometría hiperbólica Demostración. Como cada reflexión R1 , R2 , . . ., Rn conserva la P1 -distancia, entonces T conserva la P1 -distancia y por lo tanto: d1 (AB) = d1 (A0 B 0 ) ⇒ AB ∼ =1 A0 B 0 . d1 (AC) = d1 (A0 C 0 ) ⇒ AC ∼ = 1 A0 C 0 . d1 (BC) = d1 (B 0 C 0 ) ⇒ BC ∼ =1 B 0 C 0 . También cada reflexión R1 , R2 , . . ., Rn conserva la medida angular, entonces: (^ABC)◦ = (^A0 B 0 C 0 )◦ ⇒ ^ABC ∼ =1 ^A0 B 0 C 0 . (^ACB)◦ = (^A0 C 0 B 0 )◦ ⇒ ^ACB ∼ =1 ^A0 C 0 B 0 . (^BAC)◦ = (^B 0 A0 C 0 )◦ ⇒ ^BAC ∼ =1 ^B 0 A0 C 0 . Por lo tanto 4ABC ∼ =1 4A0 B 0 C 0 . Teorema 4.1. Si l es una recta, P es un punto que no incide con l, Q es el pie de −→ −−→ la perpendicular bajado de P a l y P A y P B son los rayos paralelos limite de (P, l), −→ entonces ^AP Q ∼ = ^BP Q. En pocas palabras P Q es bisectriz de ^AP B. Demostración. La demostración la haremos en M P1 . Sea γ una circunferencia en el plano euclidiano E. Tomemos Π1 = int γ. (a) Supongamos que la P1 -recta l es del primer tipo y que Q coincide con el centro O de γ, véase Figura 4.44. Entonces la P1 -perpendicular a l bajada desde P , es también una P1 -recta del primer tipo: es parte del diámetro euclidiano de γ que pasa por P y con respecto al cual las dos E-circunferencias ortogonales −→ −−→ a γ y que contienen a los P1 -rayos P A y P B, son simétricos. Por tal motivo ←→ (^AP Q)◦1 = (^BP Q)◦1 . Entonces la P1 -recta P Q es la P1 -bisectriz del P1 ángulo ^AP B. (b) Cualquier otro caso lo podemos llevar al caso (a) ocupando el Lema 4.2. 4.9 Distancia en MK 123 Figura 4.44 4.9. Distancia en MK Definición 4.16. (a) Sean A y B ∈ ΠK . Si A 6= B, la longitud del K-segmento AB denotada por dK (AB) y se define como dK (AB) = d1 (F −1 (A), F −1 (B)), donde F : MP1 −→ MK es el isomorfismo de modelos de GIPO, véase Figura 4.45. (b) Diremos que los K-segmentos AB y A0 B 0 son K-congruentes si dK (AB) = dK (A0 B 0 ). Figura 4.45 Con esta relación de congruencia se prueban fácilmente todos los axiomas C1-C6, por lo tanto MP1 y MK satisfacen los axiomas de incidencia, orden y congruencia de GNP. Veamos que el axioma de Dedekind se cumple en MK . Recordemos su enuciado: Axioma de Dedekind Sea l una recta. Si {l} := Σ1 ∪ Σ2 , donde 124 Modelos de la geometría hiperbólica (a) Σ1 y Σ2 son subconjuntos no vacios de {l}. (b) Σ1 ∩ Σ2 = ∅. (c) Ningún punto de Σ1 está entre dos puntos de Σ2 y ningún punto de Σ2 está entre dos puntos de Σ1 (o sea (Σ1 , Σ2 ) es una cortadura de Dedekind de l). Entonces existe un único punto O ∈ {l} tal que uno de los subconjuntos Σ1 o Σ2 es igual a un rayo de l que emana de O y el otro subconjunto es el complemento de {l}. Demostración. Sea l = P )(Q una K-recta. Supongamos que l = Σ1 ∪ Σ2 , donde Σ1 y Σ2 cumple c1 es la con (a), (b) y (c) del Axioma de Dedekind. Si b l es la E-recta que contiene a l, Σ −→ c unión de Σ1 con el E-rayo opuesto a QP y Σ2 es la unión de Σ2 con el E-rayo opuesto −→ a P Q, véase Figura 4.46. Por Axioma de Dedekind en E, existe un único O ∈ {b l} tal c1 ó Σ c2 , es igual a un rayo de b que uno de los subconjuntos Σ l que emana de O y el b 2 y B ∈ Σ1 ⊆ Σ b 1, otro subconjunto es el complemento. En particular si A ∈ Σ2 ⊆ Σ entonces A ∗ O ∗ B, así que O esta en el interior de γ. Figura 4.46 Mediante el isomorfismo F −1 podemos probar el Axioma de Dedekind se cumple en MP1 . Así los dos modelos, MP1 y MK son ya de G.N. Más aún, son modelos de GHP pues es fácil probar que se cumple la propiedad hiperbólica de las paralelas en cada uno de los ellos. Una vez que hemos demostrado que MP1 y MK son modelos de la geometría Hiperbólica (GHP), podemos usarlos para demostrar teoremas de dicha geometría, porque este sistema axiomático es categórico, es decir, cualesquiera los modelos de 4.9 Distancia en MK 125 GHP son isomorfos, ver [3]. Esto implica que cualquier proposicón P , verdadera en un modelo M de GHP, es un teorema de GHP. Esto se debe a que si P no fuera un teorema de GHP, existiría un modelo N de dicho sistema axiomático en donde no se cumpliera P . Pero como todos los modelos de GHP son isomorfos, P tampoco se cumpliría en M, contradiciendo nuestra suposición. Así P es teorema de GHP, entonces podemos demostrar con nuestros modelos MP1 y MK , algunos teoremas de GHP que hemos usado en el Capítulo 2 y cuya demostración no mencionamos. (a) Dadas dos rectas cualesquiera l y m, pueden ser paralelas de dos distintas maneras: 1. Paralelas con perpendicular común. En MK serían dos K-rectas que no se intersectan ni en γ ni en el interior de γ y su perpendicular común es ←−−−−−→ P (l)P (m), los polos de m y l respectivamente, véase Figura 4.47 (a). 2. Paralelas sin perpendicular común. En MK serán dos K-rectas que, como cuerdas en E, se intersectan en un punto Ω de γ. Este Ω es un punto ideal de l y de m, véase Figura 4.47 (b). (a) (b) Figura 4.47 (b) Si l y m son paralelas con perpendicular común t, tal perpendicular es única. Si P y Q son los puntos donde t corta a l y m respectivamente, entonces la longitud del segmento P Q es el mínimo de las distancias de un punto de l a m o de un punto de m a l. En el modelo de MP1 , demostremos la afirmación en el caso especial en que Q = O. Entonces m y t son P1 -rectas del primer tipo y l es una P1 -recta del 126 Modelos de la geometría hiperbólica segundo tipo pero ortogonal a t, es decir, si b t fuera la E-recta que contiene a t, b por lo que t pasaría por el centro de la E-circunferencia que contiene a l. Sean P 0 un punto de l diferente de P y Q0 el pie de la P1 -perpendicular bajada de P 0 a m. Sea δ la E-circunferencia ortogonal a γ que contiene a P 0 y Q0 . Sea η la circunferencia ortogonal a γ tal que η (Q0 ) = O. El centro de η es el punto c0 = γ (Q0 ). Entonces η (δ) = t, pero η (P 0 ) = P c0 tal que en la E-recta b Q t se 0 c0 , véase Figura 4.48. Por lo tanto OP > OP , como longitudes tiene O ∗ P ∗ P euclidianas, pero esto significa, como ya sabemos, que d1 (OP 0 ) > d1 (OP ). Por lo tanto, d1 (Q0 P 0 ) = d1 (OP 0 ) > d1 (OP ) = d1 (QP ), por eso a las rectas paralelas con perpendicular común se les llama paralelas divergentes. I I I I Figura 4.48 −→ (c) Si l y m son paralelas sin perpendicular común, entonces existen rayos AB en −−→ −→ −−→ l y CD en m, tales que AB y CD son rayos paralelos límite con punto ideal Ω (uno de los punto finales, tanto de l como de m). Además, en la dirección de Ω, la distancia entre l y m tiende a cero. Por esta razón a las paralelas sin perpendicular común se le suele llamar paralelas convergentes o asintóticas. La demostración de este teorema se puede hacer en el modelo MP1 , en donde, de nuevo, se puede suponer que m es una P1 -recta del primer tipo, contenida en una E-recta m, b l es una P1 -recta del segundo tipo, contenida en una Ecircunferencia δ tangente a m b en un punto Ω de γ. Si P es un punto cualquiera de l, Q es el pie de la perpendicular bajada de P a m, Q0 = γ (Q) y η es la circunferecia ortogonal a γ con centro en Q0 , entonces como sabemos, η (Q) = O ←→ ←→ y la P1 -perpendicular t = (P Q)1 es enviada a la P1 -recta t0 = P 0 O perpendicular a m, así que t0 es del primer tipo, véase Figura 4.49. I I 4.9 Distancia en MK 127 Figura 4.49 I Como η deja invariante la distancia en MP1 , d1 (P Q) = d1 (P 0 O). Si tomamos −−→ el punto P muy cerca de Ω, también lo estarán Q, así que el E-rayo Q0 P , secante a δ, se parecerá mucho a la tangente a δ en Ω, es decir, casi contenida en m, b lo que implica que el punto P 0 donde corta a t0 estará muy cerca de O. Entre más acerquemos P a Ω, P 0 se acercará más a O, de tal forma que podemos asegurar que, cuando P tiende a Ω la E distancia P 0 O tiende a cero y con ello, la d1 (P 0 O) también tiende a cero. Por lo tanto: lı́m d1 (P Q) = 0. P →Ω −→ −−→ (d) Dado un ángulo ^ABC, existe una única recta m tal que BA y BC son los rayos paralelos límite de m respecto de b. Figura 4.50 128 Modelos de la geometría hiperbólica Esto puede demostrarse fácilmente en el modelo de MK , en donde basta con−→ siderar la K-recta Ω)(Σ, donde Ω es el punto ideal del K-rayo (BA)K y Σ es −−→ el punto ideal del K-rayo (BC)K véase Figura 4.50. 4.10. Refleciones en MK Veamos una construcción para la K-reflexiones respecto de una K-recta. ←→ Sean m una K-recta, A un K-punto que no incide con m y P el polo de m. AP ←→ la E-recta y t = AP ∩ int γ, entonces t es la recta K-perpendicular a m por A. Sean M la intersección de t con m, Q el polo de t; Σ y Σ0 las intersecciones de la E-recta ←→ ←→ QA con γ; l = QA ∩ int γ = Σ)(Σ0 ; Ω el punto de intersección de γ con la E-recta ←− → ← → Σ0 M . A0 y Ω0 las intersecciones de la E -recta QΩ con t y con γ, respectivamente, véase Figura 4.51. Entonces A0 es la reflexión en MK de A, respecto a m. También ←−→ ← → las E-rectas Σ0 Ω0 y ΣΩ se cortan en P . Figura 4.51 Ahora daremos una justificación a esta construcción de la K-reflexión. 4.10 Refleciones en MK 129 Lema 4.9 (GHP). Sean l y n rectas paralelas divergentes y AA0 el segmento perpendicular común l y n. Sean Ω y Ω0 los puntos finales de l y Σ y Σ0 los puntos ideales ←→ de n. Si M el punto medio de AA0 y m la perpendicular a AA0 que pasa por M . Entonces: ←→ ←→ (a) ΩΣ0 y ΣΩ0 se intersectan en M . ←−→ ← → (b) m es perpendicular a ΩΣ y a Ω0 Σ0 . Demostración. (a) Sean n = Σ0 )(Σ, l = Ω0 )(Ω paralelas divergentes y t su K-perpendicular común. Sean A = t ∩ n, A0 = t ∩ l y M el K-punto medio del segmento AA0 . Por Proposición 4.4, si t pasa por P (n), entonces n pasa por P (t); de igual manera, si t pasa por P (l), l pasa por P (t) = Q, por lo que n y l inciden en P (t). −−→ Sea m la K-perpendicular a t en M , luego el rayo M Σ0 es paralelo límite a n. Si reflejamos a través de m, n es llevada a la recta que pasa por A0 y que es K-perpendicular a t, es decir, la K-recta l. De manera que: −−→ −−→ (Rm )K (AΣ0 ) = A0 Ω0 , por lo tanto −−→ −−→ (Rm )K (Σ0 ) = (Rm )K ([AΣ0 ]) = [A0 Ω0 ] = Ω0 , −−→ −−→ donde [AΣ0 ] y [A0 Σ0 ] son clases de equivalencia de Σ0 y Ω0 respectivamente. −−→ −−→ En particular, como (Rm )K (M ) = M , entonces (Rm )K (M Σ0 ) = M Ω0 . De igual −−→ −−→ forma, si reflejamos a través de t, tenemos (Rt )K (M Ω0 ) = M Ω. Pero dos reflexiones sucesivas en rectas K-perpendiculares m y t es una rotación de 180◦ −−→ −−→ alrededor de M ; por lo tanto M Ω es el rayo opuesto a M Σ0 , véase Figura 4.52. −−→ −−→ Análogamente, el rayo M Σ es opuesto al rayo M Ω0 , entonces como (Rm )K ←−→ ← → manda Σ0 a Ω0 y Σ a Ω, Σ0 Ω0 y ΣΩ deben ser K-perpendiculares a m (las ← → ←−→ extensiones euclidianas ΣΩ y Σ0 Ω0 pasan por P (m) = P ). (b) Si m es diámetro de γ, P es un punto al infinito. Por lo que t sería la K-recta ←→ AP y es E-perpendicular a m en A. Así que la K-reflexión de A en m conincide con la reflexión de euclidiana. 130 Modelos de la geometría hiperbólica Figura 4.52 Con esto la justificación de la construcción es ya muy sencilla. −→ Definición 4.17. Si P es el punto ideal del rayo AB y T es el movimiento en MK , −−−−−−−→ entonces T (P ) = T (A)T (B). 4.11. Homología armónica de cierto punto Interpretemos la reflexión de la rectas de MK como cierto tipo de transformación euclidiana que se llama homología. Definición 4.18. Sea E un plano euclidiano y sean A, B, C, D 4 puntos en E, distintos y colineales. (a) La razón cruzada de AB respecto de CD es: (AB, CD) = AC CB AD DB = AC DB · . CB AD (b) C y D son conjugados armónicos con respecto a AB si (AB, CD) = 1. 4.11 Homología armónica de cierto punto 131 Observaciones: Si A, B, C y D cuatro puntos E-colineales y dintintos. Entonces (a) (A, B, C, D) = 1 si, y sólo si C y D dividen a AB en la misma razón, es decir, AC AD = DB . CD (b) C y D son conjugados armónicos con respecto a AB si, y sólo si A y B son conjugados armónicos respecto a CD. En pocas palabras (AB, CD) = 1 si, y sólo si (CD, AB) = 1. En efecto CA CB AC AD = si, y sólo si = . AD BD CB DB (c) Como C y D son puntos distintos, si (AB, CD) = 1, entonces uno de los puntos C o D está en el segmento AB y el otro está fuera y suele decirse que C y D dividen interna y externamente a AB en la misma razón. (d) Supongamos (AB, CD) = 1, A ∗ C ∗ B y que AC CB = k. Entonces: 1. Si k < 1, entonces D es el único punto tal que D ∗ A ∗ B y DB = AB . 1−k 2. Si k > 1, entonces D es el único punto tal que A ∗ B ∗ D y DB = AB . k−1 En efecto: AB , como DB = AD + AB, entonces 1. Si D ∗ A ∗ B, k < 1 y DB = 1−k 1 1−1+k k AD = DB −AB = AB − 1 = AB = AB 1−k 1−k 1−k y por lo tanto AB AD = DB AB k 1−k 1 1−k = k. AB 2. Si A ∗ B ∗ D, k > 1 y DB = k−1 , entonces DB = AD − AB, luego 1 k−1+1 k AD = DB + AB = AB + 1 = AB = AB k−1 k−1 k−1 así que AB AD = DB AB k k−1 1 k−1 = k. 132 Modelos de la geometría hiperbólica (e) Si k = 1, D está indeterminado. En efecto, no hay punto D fuera de AB tal que AD = 1. Entonces el punto medio M de AB no tiene conjugado armónico AB respecto a AB. Se podría decir, en este caso, que el conjugado armónico de M ←→ respecto a AB es el punto al infinito de AB. 4.12. Construcción del conjugado armónico ←→ Sean E un plano euclidiano y I, J puntos en E, colineales con C pero no en AB. Figura 4.53 ← → ← → a) Trazamos AJ y IB para obtener K como la intersección de dichas rectas. ← → ← → b) Trazamos AI y BJ para ontener L como la intersección de dichas rectas. ←→ ←→ ←→ c) Por último trazamos LK para obtener D := AB ∩ LK, véase Figura 4.53. Como I y J se pueden escoger arbitrariamente, la contrucción siempre se puede hacer; excepto cuando C es el punto medio de AB. Si C fuera el punto medio de ←→ ← → AB, sea J cualquier punto que no incida con AB y sean l y m rectas paralelas a CJ ← → que pasen por A y por B, respectivamente. Las E-rectas l, m y CJ son paralelas que ← → ← → se cortan en el punto al infinito I. Si K = AJ ∩ m y L = l ∩ BJ, entonces ABKL ←→ ←→ ←→ es un paralelogramo. Es decir, D := LK ∩ AB es el punto al infinito de AB, su congujado armónico, véase Figura 4.54. Definición 4.19. Sean m una recta E-recta y P un punto que no incide con m. La homología armónica con centro P y eje m es la función: H : E −→ E tal que 4.12 Construcción del conjugado armónico 133 Figura 4.54 (a) Para cualquier punto A ∈ m, H(A) = A. (b) H(P ) = P . (c) Si B ∈ / M y B 6= P , entonces H(B) = B 0 , donde B 0 es el conjugado armónico de B respecto al segmento M P , donde M es el punto de intersección de la recta ←→ m con P B = t. Teorema 4.2. Sea m una K-recta que no es diámetro de γ y sea P su polo, entonces la K-reflexión respecto a m es la restricción al interior de γ de la homología armónica con centro en P y con el eje la recta euclidiana que contiene a M . Si m es un diámetro de γ, entonces la K-reflexión respecto a M es la E-reflexión respecto a M pero restringida al interior de γ. Demostración. Notar que la construcción que dimos del reflejado de un punto A respecto a una K-recta m no es sino la construcción del conjugado armónico de A respecto al segmento P M . Renombrando: Σ0 −→ I P −→ A Σ −→ J M −→ B Ω −→ K A −→ C Ω0 −→ L A0 −→ D 134 Modelos de la geometría hiperbólica Definición 4.20. Sean l y n dos rectas y P no incide con ninguna de ellas. Entonces la perspectividad de l a n desde P es la función: P = : l −→ n ∧ ←→ P tal que si A ∈ l, entonces = manda a A al punto A0 que es la intersección de P A ∧ −→ P P con n, lo denotaremos A = A0 . Si P A es la paralela a n entonces, = manda a A al ∧ ∧ punto infinito de n. P es llamado el centro de la prespectividad. Lema 4.10. Toda prespectividad conserva la razón cruzada de cuatro puntos colineales. Más precisamente: si A, B, C y D son los cuatro puntos en una recta l y A0 , B 0 , C 0 y D0 son sus imágenes sobre una recta n, bajo la perspectividad con centro en P , entonces (AB, CD) = (A0 B 0 , C 0 D0 ), véase Figura 4.55. Figura 4.55 Demostración. Por leyes de senos y teniendo en cuenta que ^ACP = ^BCP y ^BDP = ^ADP tenemos: AP AC = BC BP sen ^AP C sen ^ACP sen ^BP C sen ^BCP = AP sen ^AP C . BP sen ^BP C BP BD = AD AP sen ^BP D sen ^BDP sen ^AP D sen ^ADP = AP sen ^BP D . BP sen ^AP D y 4.12 Construcción del conjugado armónico 135 Por lo tanto (AB, CD) = AC BD sen ^AP C sen ^BP D . · = sen ^BP C sen ^AP D BC AD Análogamente sen ^A0 P C 0 sen ^B 0 P D0 . sen ^B 0 P C 0 sen ^A0 P D0 Pero sen ^AP C = sen ^A0 P 0 C 0 , sen ^BP C = sen ^B 0 P 0 C 0 , sen ^BP D = sen ^B 0 P 0 D0 y sen ^AP D = sen ^A0 P 0 D0 . Por lo tanto (AB, CD) = (A0 B 0 , C 0 D0 ). (A0 B 0 , C 0 D0 ) = Con lo anterior daremos una justificación para la construcción del conjugado armonico. ←→ ← → Sea N el punto de intersección de a LK con IJ y aplicamos ←→ ←→ I J =, = : AB −→ LK, ∧ ∧ I J ∧ ∧ es decir ABCD = LKN D y ABCD = KLM D, entonces por Lema 4.10: (AB, CD) = (LK, N D) = LN DK · N K LD (AB, CD) = (KL, N D) = KN DL · , N L KD y por Observación 4.7 tenemos: (KL, N D) = 1 = (AB, CD). LK, N D Así que (AB, CD) = 1 , (AB, CD) entonces (AB, CD)2 = 1. Lo que implica (AB, CD) = 1. Por lo tanto C y D son conjugados armónicos respecto a AB, véase Figura 4.56. 136 Modelos de la geometría hiperbólica Figura 4.56 Por último daremos una expresión para calcular la K-longitud de un K-segmento. Sean A y B dos K-puntos y sea P )(Q la K-recta que contiene al K-segmento AB. Considemos el isomorfismo F : Π1 −→ ΠK (si γ es el circulo x2 + y 2 = 1 ó | z |= 1) y sabemos: f (z) = 2z 1+ | z |2 Sea Z, W ∈ Π1 tales que F (Z) = A y F (W ) = B, véase Figura 4.57. Por defi←−→ nición dK (AB) = d1 (ZW ). Si la P1 -recta ZW es del segundo tipo, podemos llevarla a una del segundo tipo, mediante una P1 -reflexión en una P1 -recta δ (Lema 4.2 y Lema 4.7), la cual preserva la P1 -longitud y por Lema 4.5 la razón cruzada también se preserva. Figura 4.57 4.12 Construcción del conjugado armónico 137 Así que mediante una P1 -rotación adecuada (composición de P1 -reflexiones), po←−→ demos suponer que (ZW )1 esta sobre el eje X, es decir z, w ∈ R, entonces (ZW, P Q) = 1+z 1−w · 1−z 1+w y (AB, P Q) = (F (z)F (w), P Q) = Pero 1 + F (z) 1 − F (w) · . 1 − F (z) 1 + F (w) 2z 1 − 2z+ | z |2 1 − F (z) = 1 − = 1+ | z |2 1+ | z |2 y 1 + F (z) = 1 + 2z+ | z |2 . 1+ | z |2 Así que 1 + F (z) 1 + 2z+ | z |2 = . 1 − F (z) 1 − 2z+ | z |2 Como z es real, z = + | z | (o sea z 2 =| z |2 ), luego − (1 + z)2 1 + F (z) = = 1 − F (z) (1 − z)2 1+z 1−z 2 . Análogamente para w 1 − F (w) = 1 + F (w) 1−w 1+w 2 . Por lo tanto (AB, P Q) = 1+z 1−z 2 1−w 1+w 2 = (zw, P Q)2 = (ZW, P Q)2 . Y por propiedades de logatitmo log(AB, P Q) = 2 log(ZW, P Q), por lo que concluimos: dK (AB) = d1 (ZW ) =| log(zw, P Q) |= 1 | log(AB, P Q) | . 2 138 Modelos de la geometría hiperbólica Bibliografía [1] H. Barry, E. Introducción a las transformaciones geométricas. México. Compañía Editorial Continental. [2] Delong, H. (1971). A Profile of Mathematical Logic. Second Printing. Addison-Wesley Publishing Company. [3] Greenberg, M. J. (1994.) Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History, third edition. New York. W. H. Freeman and Company. [4] Greenberg, M. J. (2008). Euclidean an Non-Euclidean Geometries: Development and History, Fourth Edition. New York: W. H. Freeman and Company. [5] Needham, T, (2000). Visual Complex Analysis, First Edition. Oxford Clarendon Press. 139