Movimiento vibratorio armónico

Instituto de Educación Secundaria
“Ramiro de Maeztu”
C/ Serrano 127
Madrid 28006
Movimiento vibratorio armónico
1.- Explica razonadamente cómo varía la energía mecánica de un oscilador lineal si:
a) se duplica la amplitud
b) se duplica la frecuencia
c) se duplica la amplitud y se reduce la frecuencia a la mitad.
PAU.94
2.- Si se duplica la energía mecánica de un oscilador armónico, explique qué efecto
tiene en la amplitud; en la frecuencia y periodo de las oscilaciones y en la velocidad PAU.98
3.- Un punto material está animado por un movimiento armónico simple a lo largo del
eje X, alrededor de su posición de equilibrio en x = 0 . En el instante t = 0, el punto material
está situado en x = 0 y se desplaza en el sentido negativo del eje X con una velocidad de 40
-1
cm.s . La frecuencia del movimiento es 5 Hz. Determine la posición en función del tiempo y
calcule la posición y velocidad en el instante t = 5 s
PAU.98
Sol: 1,27.sen(10π.t + π) (cm); 0; 40 cm/s
4.- Una partícula realiza un movimiento armónico simple con una amplitud de 8 cm y
un periodo de 4 s. Sabiendo que en el instante inicial la partícula se encuentra en la posición
de elongación máxima, determine la posición de la partícula en función del tiempo y los valores
de la velocidad y la aceleración 5 s después de que la partícula pase por un extremo de la
trayectoria
PAU.98
Sol: 8.sen (½π.t + ½π); - 4π cm/s; 0
5.- Una masa m oscila en el extremo de un resorte vertical con una frecuencia de 1 Hz
y una amplitud de 5 cm. Cuando se añade otra masa de 300 g, la frecuencia de oscilación es
0,5 Hz. Determine el valor de la masa m y de la constante recuperadora del resorte y el valor
de la amplitud de oscilación en el segundo caso si la energía mecánica del sistema es la misma
en ambos casos
PAU.99
Sol: 0,1 kg; 3,95 N/m; 5 cm
6.- Un oscilador armónico constituido por un muelle de masa despreciable y una
masa en el extremo de valor 40 g tiene un periodo de oscilación de 2 s. ¿Cuál debe ser la
masa del segundo oscilador, construido con un muelle idéntico al primero, para que la
frecuencia de oscilación se duplique. Si la amplitud de las oscilaciones en ambos osciladores
es 10 cm, ¿cuánto vale, en cada caso, la máxima energía potencial del oscilador y la máxima
velocidad alcanzada por su masa?
PAU.00
Sol: 10 g; 1,97 mJ; 4,4 m/s
7.- Un muelle cuya constante de elasticidad es k está unido a una masa puntual de
valor m. Separando la masa de la posición de equilibrio el sistema comienza a oscilar.
Determine el periodo de las oscilaciones T y su frecuencia angular ω y las expresiones de
la
energía cinética, potencial y total en función de la amplitud y de la elongación del movimiento
del sistema oscilante
PAU.01
8.- Una partícula efectúa un movimiento armónico simple cuyo periodo es igual a 1 s.
Sabiendo que en el instante t = 0 su elongación es 0,7 cm y su velocidad 4,39 cm/s, calcule la
amplitud y la fase inicial y la aceleración máxima de la partícula
PAU.01
2
Sol: 1 cm; π/4; 39,5 cm/s
9.- Una masa de 2 kg está unida a un muelle horizontal cuya constante recuperadora
es 10 N/m. El muelle se comprime 5 cm desde la posición de equilibrio y se deja en libertad.
Determine la expresión de la posición de la masa en función del tiempo; los módulos de la
velocidad y de la aceleración de la masa en un punto situado a 2 cm de la posición de
equilibrio; la fuerza recuperadora cuando la masa se encuentre en los extremos de la
trayectoria; y la energía mecánica del sistema oscilante
2
2
PAU.02
Sol: 0,1 m/s ; 0,1 m/s ; 0,5 N; 12,5 mJ
10.- Un bloque de 50 g, conectado a un muelle de constante elástica 35 N/m, oscila en
una superficie horizontal sin rozamiento con una amplitud de 4 cm. Cuando el bloque se
encuentra a 1 cm de su posición de equilibrio, calcule la fuerza ejercida sobre el bloque; la
aceleración del bloque; la energía potencial elástica del sistema; y la velocidad del bloque
2
PAU.03
Sol: 0,35 N; 7 m/s ; 1,75 mJ; 1,02 m/s
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Movimiento vibratorio armónico
11.- Al colgar una masa en el extremo de un muelle en posición vertical, éste se
desplaza 5 cm. ¿De qué magnitudes del sistema depende la relación entre dicho
desplazamiento y la aceleración de la gravedad?. Calcule el periodo de oscilación del sistema
masa-muelle anterior si se deja oscilar en la posición horizontal (sin rozamiento).
PAU.04
12.- Se tienen dos muelles de constantes elásticas k1 y k2 en cuyos
extremos se disponen dos masas m1 y m2 respectivamente y tal que m1< m2.
Al oscilar, las fuerzas que actúan sobre cada una de estas masas en función
de la elongación aparecen representadas en la figura. ¿Cuál es el muelle de
mayor constante?. ¿Cuál de estas masas tendrá mayor periodo de oscilación?
PAU.05
13.- Dada la expresión de una onda armónica transversal que se propaga en una
cuerda tensa de gran longitud y = 0,03.sen (2π.t – π.x) donde x, y se expresan en metros y t
en segundos. ¿Cuál es la velocidad de propagación de la onda?; ¿cuál es la expresión de la
velocidad de oscilación de las partículas de la cuerda?;¿ cuál es la velocidad máxima de
oscilación?. Para t = 0, ¿cuál es el valor del desplazamiento de los puntos de la cuerda x = 0,5
x = 1 m?. Para x = 1 m , ¿cuál es el valor del desplazamiento para t = 0,5 s?
PAU.05
Sol: 2 m/s; - 0,03 m; 0
14.- Una masa puntual de valor 150 g unida a un muelle horizontal de constante
-1
elástica 65 N.m constituye un oscilador armónico simple. Si la amplitud del movimiento es de
5 cm, determine: la expresión de la velocidad de oscilación de la masa en función de la
elongación; la energía potencial elástica del sistema cuando la velocidad de oscilación es nula;
la energía cinética del sistema cuando la velocidad de oscilación es máxima; la energía cinética
2
y potencial elástica del sistema cuando el módulo de la aceleración de la masa es 13 m/s
PAU.06
Sol: 0,081 J; 0,052 J; 0,029 J
15.- Una partícula que describe un movimiento armónico simple recorre una distancia
2
de 16 cm en cada ciclo de su movimiento y su aceleración máxima es 48 m/s . Calcule la
frecuencia y periodo del movimiento y la velocidad máxima de la partícula
PAU.06
Sol: 5,51 Hz; 0,18 s; 1,39 m/s
16.- Un objeto de 2,5 kg está unido a un muelle horizontal y realiza un movimiento
armónico simple sobre una superficie horizontal sin rozamiento con una amplitud de 5 cm y una
frecuencia de 3,3 Hz. Determina el periodo del movimiento y la constante elástica del muelle.
Calcula la velocidad máxima y la aceleración máxima del objeto
PAU.07
Sol: 0,3 s; 1096 N/m; 1,05 m/s
17.- Un cuerpo de masa m está suspendido de un muelle de constante elástica k. Se
tira verticalmente del cuerpo desplazando éste una distancia X respecto de su posición de
equilibrio, y se le deja oscilar libremente. Si en las mismas condiciones del caso anterior el
desplazamiento hubiese sido 2X, deduzca la relación que existe, en ambos casos, entre: a) las
velocidades máximas del cuerpo b) las energías mecánicas del sistema oscilante. PAU.08
18.- Una partícula realiza un movimiento armónico simple de 10 cm de amplitud y tarda
2 s en efectuar una oscilación completa. Si en el instante t=0 su velocidad era nula y la
elongación positiva, determine la expresión matemática que representa la elongación en
función del tiempo y la velocidad y la aceleración de oscilación en el instante t = 0,25 s.
PAU.08.09
Sol: - 0,2 m/s; 0,7 m/s
19.- Una partícula de 0,1 kg de masa se mueve en el eje X describiendo un movimiento
armónico simple. La partícula tiene velocidad cero en los puntos de coordenadas x = -10 cm y x
= 10 cm, y en el instante inicial se encuentra en el punto x = 10 cm. Si el periodo de las
oscilaciones es 1,5 s, determina la fuerza que actúa sobre la partícula en el instante inicial; la
energía mecánica de la partícula; la velocidad máxima; y la expresión matemática de la
posición con respecto al tiempo
PAU.09
Sol: 0,175 N; 8,77 mJ; 0,42 m/s
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20.- Un sistema masa-muelle está formado por un bloque de 0,75 kg de masa que se
apoya sobre una superficie horizontal sin rozamiento, unido a un muelle de constante
recuperadora K. Si el bloque se separa 20 cm de su posición de equilibrio y se le deja libre
desde el reposo. Éste empieza a oscilar de tal modo que se producen 10 oscilaciones en 60
segundos. Determine la constante recuperadora K del muelle; la expresión matemática que
representa el movimiento del bloque en función del tiempo; la velocidad y la posición del bloque
a los 30 s de empezar a oscilar; y los valores máximos de la energía potencial y energía
cinética alcanzados en este sistema oscilante PAU.10
Sol: 0,82 N/m; 0; 0,2 m; 16 mJ
21.- Una partícula realiza un movimiento armónico simple. Si la frecuencia de
oscilación se reduce a la mitad manteniendo constante la amplitud, explique qué ocurre con: el
periodo; la velocidad máxima; la aceleración máxima; y la energía mecánica de la partícula
PAU.10
Sol: doble; mitad; cuarto; cuarto
22.- Una partícula que realiza un movimiento armónico simple de 10 cm de amplitud
tarda 2 s en efectuar una oscilación completa. Si en el instante t = 0 su velocidad es nula y la
elongación positiva, determine la expresión matemática que representa la elongación en
función del tiempo; y la velocidad y la aceleración en el instante t = 0,25 s
2
PAU.10
Sol: - 0,22 m/s; - 0,7 m/s
23.- Una partícula se mueve en el eje X, alrededor del punto x = 0, describiendo un
movimiento armónico simple de periodo 2 s, e inicialmente se encuentra en la posición de
elongación máxima positiva. Sabiendo que la fuerza máxima que actúa sobre la partícula es
0,05 N y la energía total es 0,02 J, determine la amplitud del movimiento que describe la
partícula; la masa de la partícula; la expresión matemática del movimiento; y el valor absoluto
de la velocidad cuando se encuentre a 20 cm de la posición de equilibrio
PAU.10
Sol: 0,8 m; 6,33 g; 0,8.sen(π.t + π/2); 2,43 m/s
24.- Un objeto describe un movimiento armónico simple con una amplitud de 0,15 m y
un periodo de 0,9 s. Si en el instante inicial el objeto se encuentra a 0,15 m de su posición de
equilibrio, determine las expresiones matemáticas de su elongación en función del tiempo ; y su
velocidad y aceleración en función del tiempo PAU.10
Sol: 0,15.cos(2π.t/0,9)
25.- Se tiene una masa de un kilogramo situada en un plano horizontal sin rozamiento
unida a un muelle de masa despreciable, fijo por su otro extremo a la pared. Para mantener
estirado el muelle 3 cm, respecto de su posición de equilibrio, se requiere una fuerza de 6 N. Si
se deja el sistema masa-muelle en libertad, ¿cuál es el periodo de oscilación de la masa?.
Determine el trabajo realizado por el muelle desde la posición inicial 3 cm hasta su posición de
equilibrio, x = 0. ¿Cuál será el módulo de la velocidad de la masa cuando se encuentre a 1 cm
de su posición de equilibrio?. Si el muelle se hubiera estirado inicialmente 5 cm, ¿cuál habría
sido su frecuencia de oscilación?
PAU.11
Sol: 0,44 s; 0,09 J; 0,4 m/s; 2,25 Hz
26.- Se dispone de un oscilador armónico formado por una masa m sujeta a un muelle
de constante elástica k. Si en ausencia de rozamientos se duplica la energía mecánica del
oscilador, explique qué ocurre con: a) la amplitud y frecuencia de las oscilaciones
b) la velocidad máxima y el periodo de oscilación
PAU.11
27.- Un objeto de 100 g de masa, unido al extremo libre de un resorte de constante
elástica k, se encuentra sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Se estira,
suministrándole una energía elástica de 2 J, comenzando a oscilar desde el reposo con un
periodo de 0,25 s. Determine la constante elástica y escriba la función matemática que
representa la oscilación. Calcule la energía cinética cuando han transcurrido 0,1 s.
-1
PAU.12
Sol: 63,2 N.m ; 0,69 J
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28.- La ecuación del movimiento de una partícula es X = 0,5.cos (2π.t + π/3), donde x
se mide en metros y t en segundos. Calcula la amplitud, la frecuencia angular o pulsación, la
frecuencia, el periodo y la fase inicial. Determina la velocidad y aceleración máximas y la
2
2
posición y velocidad en t = 0
Sol: π m/s; 2π m/s ; 0,25 m; - 0,43.π m/s
29.- Un oscilador armónico de 2 g de masa recorre un segmento de 4 cm con periodo
de un segundo. Sabiendo que en el instante inicial se encontraba en el punto X 0 1 cm,
determina las ecuaciones de la posición y velocidad de la partícula y sus energías cinética y
-5
potencial cuando x = - 2 cm
Sol: 2.sen (2π.t + π/6) (cm); 0; 1,6.10 J
30.- Al pasar por un bache, un coche experimenta oscilaciones de 1 Hz de frecuencia.
Si los cuatro amortiguadores fueran considerados como muelles y la masa total del coche y
sus ocupantes es 1400 kg, ¿cuál es la constante de cada amortiguador? Sol: 13800 N/m
31.- Una masa de 1 kg se deposita en un muelle vertical comprimido 5 cm. Cuando se
libera el muelle, el cuerpo sale lanzado hacia arriba, alcanzando una altura de 0,75 m sobre el
nivel inicial. ¿Cuál era la energía almacenada?. ¿Cuál es la constante del resorte?
Sol: 7,4 J; 5900 N/m
32.- Un cuerpo de 50 g está sujeto a un muelle cuya constante elástica es 197 N/m. Se
estira 10 cm y comienza a oscilar. Determina el periodo y la fase inicial del movimiento. Escribe
la ecuación de la elongación y velocidad del oscilador armónico. ¿Cuál es su velocidad y
aceleración máxima?. Calcula la energía cinética y potencial de la partícula cuando hayan
transcurrido 15 ms.
33.- Si se cuelga un cuerpo de 60 g de un resorte, éste se deforma 3 cm. ¿Cuál es el
periodo de las oscilaciones del sistema?
Sol: 0,35 s
34.- ¿Cómo podrías pesar un cuerpo utilizando un muelle y un cronómetro?
35.- Cierto muelle, que se deforma 20 cm cuando se le cuelga una masa de 1 kg, se
coloca sobre una superficie sin rozamiento y se estira 2 cm con esta masa sujeta a su extremo.
Determina la ecuación de la posición del oscilador armónico y la energía cinética, potencial y
total al cabo de 9 segundos