UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AERONÁUTICOS Tesis Doctoral Diseño de un Sistema Avanzado de Guiado y Control para Misiles con Doble Mando Aerodinámico INVESTIGACIÓN AEROESPACIAL UNIVERSITARIA PREMIOS EJÉRCITO DEL AIRE 2016 Este trabajo es una versión redactada de la tesis doctoral: Optimization of the Integrated Guidance and Control for a Dual Aerodynamic Control Missile, defendida ante tribunal académico en la ETS Ingenieros Aeronáuticos de la Universidad Politécnica de Madrid en el año 2015. El original de la tesis se presentó en inglés obteniendo la calificación Sobresaliente Cum Laude. La presente versión es una traducción al castellano de dicho trabajo, adaptada ligeramente en su formato y extensión, para poder presentarla al premio del Ejército del Aire 2016 en su modalidad de Investigación Aeroespacial Universitaria. Es, en todo lo demás, una reproducción fiel del original. Se entrega junto a este documento una versión impresa del original de la tesis doctoral tal y como fue presentada en inglés, como referencia. i Resumen La presente investigación pertenece al campo de la aeronáutica y mas concretamente al guiado y control aerodinámico de los misiles aire-aire con aplicación militar. La Tesis desarrolla un nuevo sistema de interacción del guiado y control tal que proporcione a un misil con doble mando aerodinámico (con aletas delanteras y en cola) de una extraordinaria maniobrabilidad, que le permita la defensa o ataque contra blancos aéreos situados en todo el volumen esférico alrededor del avión lanzador, incluido el hemisferio posterior. Los misiles aire-aire, dadas las altas caracterı́sticas dinámicas del lanzador y del blanco (dos vehı́culos aéreos de combate), requieren poseer una elevada maniobrabilidad para efectuar su misión. Dado el medio en que se desplazan, la atmósfera, la forma mas lógica para efectuar las maniobras es el generar y utilizar fuerzas y momentos de control aerodinámicos. Ası́ se ha realizado desde la década de los 50 hasta la del 2000, utilizando un único conjunto de aletas móviles situadas bien en la parte delantera (canards) o en la central o en la cola. El movimiento de estas aletas producı́a los pares aerodinámicos que hacı́an girar el vehı́culo para dotarle de un ángulo de ataque que, a su vez, generaba la fuerza normal y la consiguiente aceleración normal (maniobra) del misil. Pero ya en los años 2000 las exigencias dinámicas del combate aéreo aumentaron en grado extremo al aumentar la maniobrabilidad de los aviones y, sobre todo, al aparecer los UAV (Unmaned Air Vehicles) que, al no estar pilotados, podı́an realizar maniobras muy altas no limitadas por la supervivencia del hombre. La respuesta en el diseño del misil para esas nuevas demandas ha sido de dos tipos. Uno de ellos, al que se refiere esta Tesis, es dotar al misil de un doble mando aerodinámico, canards y cola. Otro es dotar al misil, además de un mando convencional aerodinámico de aletas en cola, de un importante momento de control adicional conseguido a partir del chorro de gases del motor cohete, bien por movimientos de la tobera, bien introduciendo aletas móviles en el chorro, o por otros métodos. El primer tipo de misil, el de doble mando aerodinámico, está aún en estado experimental y no ha sido introducido en ningún misil aire-aire operativo. El estudio de su guiado y control no es fácil dado el complejo comportamiento de esa configuración. Empleando los método clásicos para ese estudio, como es el utilizar un lazo dinámico para el guiado y otro ii para el control , que se superarán drásticamente con esta invención, la maniobrabilidad que se alcanza con este misil, aunque es superior a la de sus predecesores con mando aerodinámico simple (canard o aletas centrales o aletas de cola), no llega a satisfacer las necesidades mencionadas para el moderno combate aire-aire, lo que si consiguen los misiles con control hı́brido aerodinámico y chorro de gases. Ahora bien, estos misiles hı́bridos tienen dos desventajas principales frente al de doble mando aerodinámico. La primera es su inherente complicación de diseño y manufactura pues los mecanismos y materiales a utilizar para el control por chorro son de complicada producción, ya que deben trabajar con precisión en un ambiente de muy altas temperaturas y extremadamente erosivo, como es el chorro de un motor cohete. La segunda, y operativamente muy importante, es que si en su trayectoria hacia el blanco se termina la combustión del motor cohete, como no es anormal que ocurra, el misil pierde toda la capacidad de control proveniente del chorro de gases, quedando únicamente con el mando aerodinámico simple en cola que puede resultar insuficiente para mantener el control con éxito durante el resto de la trayectoria. En esta Tesis se desarrolla un sistema de interacción entre los subsistemas de guiado y control de un misil con doble mando aerodinámico, que le permita alcanzar la maniobrabilidad exigida en el combate aéreo moderno, tal como lo consiguen los hı́bridos pero sin las desventajas descritas para estos. iii Índice general 1. Introducción 1.1. Motivos para esta Tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Misiles actuales con control aerodinámico . . . . . 1.1.2. Caracterı́sticas de la respuesta dinámica del misil 1.1.3. Propuesta de doble mando aerodinámico . . . . . 1.2. El bucle de guiado y control . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Objetivos de la Tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Revisión de la Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. Aerodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2. Autopiloto y Guiado con control doble . . . . . . 1.4.3. Integración del Autopiloto y Guiado . . . . . . . 1.5. Esquema de la Tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Aerodinámica del Misil con Doble Control y su Maniobrabilidad 2.1. Configuración y fenómenos aerodinámicos . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Acoplamiento Aerodinámico Canard-Cola . . . . . . . . . . . 2.1.3. Incidencia de los Controles y Saturación Supersónica . . . . . 2.2. Modelo Aerodinámico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Fuerza Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Fuerza en Guiñada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3. Momento de Cabeceo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4. Momento de Guiñada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.5. Momento de Balanceo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.6. Fuerza Axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.7. Variaciones con el número de Mach . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Maniobrabilidad Estática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Diagrama de maniobra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Eficiencia Aerodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv . . . . . . . . . . . 1 1 1 3 4 8 11 13 13 16 18 19 . . . . . . . . . . . . . . . . 21 21 22 26 30 32 33 35 35 36 39 42 46 46 46 47 48 ÍNDICE GENERAL 3. Guiado y Control en Doble-Lazo 3.1. Guiado Óptimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Dinámica de Corto Periodo . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Formulación en el Espacio de los Estados . . . . . . . . . . 3.4. Solución Óptima del Autopiloto . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Condiciones de Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . 3.4.3. Solución Sub-óptima . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Ejemplos Guiado-Autopiloto en Doble-Lazo . . . . . . . . 3.5.1. Lanzamiento con error de apuntamiento moderado 3.5.2. Cálculos de dominio de tiro en curso de colisión . . 3.6. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Guiado y Control Integrados 4.1. Planteamiento matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Resolución del problema IGA-DAC . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Ecuación diferencial y condiciones de contorno . . . . . 4.2.2. Resolución mediante la ecuación de Lyapunov . . . . . 4.2.3. Controlador de pre-alimentación . . . . . . . . . . . . . 4.2.4. Procedimiento Práctico de Resolución . . . . . . . . . . 4.3. Ejemplos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1. Errores de apuntamiento moderados . . . . . . . . . . 4.3.2. Trayectorias alejadas del curso de colisión . . . . . . . 4.4. Efectos de Ruido, Estimación y Radomo . . . . . . . . . . . . 4.4.1. Errores de Radomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2. Efecto de los ruidos radar y su frecuencia de muestreo . 4.4.3. Filtro Variable tipo Kalman . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.4. Evaluación de la distancia de paso con ruidos radar . . 4.4.5. Experimentos con la frecuencia de muestreo de datos . 4.5. Defensa contra ataque por la cola . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1. Soluciones previas y retos tecnológicos . . . . . . . . . 4.5.2. Blanco de oportunidad en el hemisferio trasero . . . . . 4.6. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Conclusiones 5.1. Resumen de resultados obtenidos . . . . . . . . . . . . 5.1.1. Soluciones a las Preguntas de Investigación . . . 5.1.2. Implicaciones en el diseño del misil . . . . . . . 5.1.3. Implicaciones teóricas . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Limitaciones al Estudio y Áreas de Desarrollo Futuras . v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 52 55 57 59 59 60 62 63 64 68 68 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 75 78 79 80 80 81 83 84 86 89 92 94 95 97 98 101 101 102 108 . . . . . 112 112 112 115 119 119 ÍNDICE GENERAL 5.2.1. Aerodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.2.2. Guiado y control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 A. Derivación de Matrices y Producto de Kronecker A.1. Estructuras de Derivación . . . . . . . . . . . . . . A.2. Producto de Kronecker y sus Propiedades . . . . . A.3. Álgebra del Cálculo de Matrices . . . . . . . . . . . A.3.1. Derivada de Matrices Compuestas . . . . . . A.3.2. Derivada de la Forma Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A1 A1 A3 A4 A5 A5 B. Teorı́a de Control Óptimo B1 B.1. Principio del Mı́nimo de Pontryagin para Misiles . . . . . . . . . . . . . B1 B.2. Ecuación de Riccati Dependiente de los Estados . . . . . . . . . . . . . B3 C. Misil NASA NTCM Geometrı́a y Modelo Aerodinámico C1 C.1. Geometrı́a del misil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C1 C.2. Parámetros básicos y definición de la misión . . . . . . . . . . . . . . . C3 D. Datos Aerodinámicos D1 D.1. Tablas de Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D2 E. Coeficientes Aerodinámicos E1 F. Dinámica del Misil y Cinemática Terminal F1 F.1. Velocidad en ejes cuerpo y viento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F1 F.2. Ángulos de Euler y Cuaterniones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F1 F.3. Ecuaciones cinemáticas y dinámicas con cuaterniones . . . . . . . . . . F2 G. Elementos de Matrices en el Espacio-Estado G.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G.2. Elementos de la Matriz de Estado Aerodinámica G.3. Elementos de la Matriz de Entrada del Control G.4. Elementos de la Matriz de Control Cruzado . . G.5. Elementos de la Matriz de Aceleraciones . . . . G.6. Elementos de la Matriz de Actuaciones . . . . . G.7. Elementos de la Matriz del Guiado-Autopiloto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H. Tratamiento Analı́tico del Error de Radomo y Ruidos Radar. H.1. Buscador radar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H.2. Modelos Ruido Radar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H.2.1. Destello (Glint) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H.2.2. Ruidos Independientes del Alcance . . . . . . . . . . . . . vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G1 G1 G1 G4 G6 G8 G9 G12 . . . . H1 H1 H3 H3 H4 ÍNDICE GENERAL H.2.3. Ruidos en Distancia y Velocidad de Colisión . . . . . . . . . . . Bibliograf´ıa vii H5 Índice de figuras 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8. INTA Misil Banderilla . . . . . . . . . . . . . . . . Cohete Guiado Superficie-Aire Stunner , con control Diagrama de guiado y control del misil . . . . . . . Evolución de los dominios de tiro del misil. . . . . . Lı́neas principales de investigación . . . . . . . . . . Interacción entre control delantero y trasero . . . . Resultados experimentales para el misil NASA . . . Modos de operación del misil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . doble aerodinámico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7 9 13 14 15 15 17 Ejes y definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Contornos de presión total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modelo de interferencia entre controles . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sustentación del control aislado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Coeficiente de interferencia Kt−vc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pérdida de fuerza normal en la cola debido a la interferencia aerodinámica entre canard y cola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Saturación supersónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8. Coeficiente de fuerza normal, dos controles. . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9. Momento de cabeceo, un control. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10. Momento de cabeceo, dos controles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11. Balanceo inducido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12. Balanceo inducido debido a α y δrc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.13. Momento de Control en Balanceo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.14. Contornos a Mach constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.15. Fuerza Axial, un control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.16. Fuerza Axial, dos controles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.17. Respuesta dinámica en lazo abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.18. Eficiencia aerodinámica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.19. Diagrama de maniobra a 6,000m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.20. Diagrama de maniobra a 12,000m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 27 28 28 29 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. viii 31 32 34 37 38 40 41 41 42 44 45 48 49 50 51 ÍNDICE DE FIGURAS 3.1. Esquema del guiado y control en dos bucles . . . . . . 3.2. Encuentro aire-aire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Constante de navegación óptima . . . . . . . . . . . . 3.4. Diagrama de fuerzas en el misil de doble mando . . . . 3.5. Guiado y Control en doble bucle . . . . . . . . . . . . . 3.6. Condiciones de lanzamiento . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. Trayectoria del misil DAC, canard, cola y del blanco . . 3.8. Acceleración del misil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9. Ángulos de los controles . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10. Mach Misil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.11. Ángulo de preservación del guiado θg . . . . . . . . . . 3.12. Dominio tiro misil cola con navegación proporcional . . 3.13. Dominio tiro misil canard con navegación proporcional 3.14. Dominio tiro misil cola con guiado óptimo . . . . . . . 3.15. Dominio tiro misil canard con guiado óptimo . . . . . . 3.16. Dominio tiro misil control doble con guiado óptimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 54 55 64 65 66 69 70 70 70 71 71 72 72 73 73 4.1. Esquema del auto piloto y guiado integrados . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.2. Escenario para el Guiado y control Integrado . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.3. Algoritmo de cálculo del sistema integrado . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.4. Trayectoria, error de apuntamiento moderado . . . . . . . . . . . . . . 85 4.5. Ratio de Aceleración del misil vs Blanco , error de apuntamiento moderado 86 4.6. Parámetros , error de apuntamiento moderado . . . . . . . . . . . . . . 87 4.7. Trayectorias alejadas del curso de colisión. . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.8. Ratio de aceleraciones misil a blanco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.9. Parámetros, trayectorias alejadas del curso de colisión . . . . . . . . . . 90 4.10. Esquema del guiado y control integrado con efectos reales . . . . . . . . 91 4.11. Definición de los ángulos del buscador radar . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.12. Sensibilidad a pendiente de radomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.13. Trayectoria del blanco medida por el radar. . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.14. Aceleración del misil en presencia de ruido radar. . . . . . . . . . . . . 99 4.15. Error con esquema integrado y ruido radar. . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.16. Error con esquema no-integrado y ruido radar. . . . . . . . . . . . . . . 100 4.17. Variación de la distancia de paso con la frecuencia de muestreo . . . . . 100 4.18. Trayectoria contra un blanco el hemisferio trasero. . . . . . . . . . . . . 104 4.19. Maniobra del misil, blanco en el hemisferio trasero. . . . . . . . . . . . 105 4.20. Ángulo de cabeceo, blanco en el hemisferio trasero. . . . . . . . . . . . 105 4.21. Parámetros, blanco en el hemisferio trasero . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.22. Defensa contra un ataque por la cola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 ix ÍNDICE DE FIGURAS 4.23. Defensa contra un ataque por la cola, maniobra del misil. . . . . . . . . 110 4.24. Defensa contra un ataque por la cola, ángulo de cabeceo. . . . . . . . . 110 4.25. Defensa contra un ataque por la cola, otros parámetros . . . . . . . . . 111 5.1. Subsistemas en un misil de control doble . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 C.1. Geometrı́a del misil base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.2. Experimentos en Túnel Aerodinámico en NASA y Onera. . . . . . . . . C1 C2 F.1. Definición de ángulos de Euler para misiles . . . . . . . . . . . . . . . . F2 H.1. Dinámica del Buscador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H4 x Índice de cuadros 1.1. Comparación de control canard y cola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Referencias JCR para autopilotos de doble control . . . . . . . . . . . . 1.3. Referencias JCR para el guiado de misil DAC . . . . . . . . . . . . . . 5 16 17 2.1. Variables de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Limites para la envolvente de vuelo del misil . . . . . . . . . . . . . . . 25 47 3.1. Lı́mites mecánicos y aerodinámicos del misil . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Parámetros: Simulaciones de Guiado y Control Doble Bucle . . . . . . 3.3. Doble-Bucle G & C Resultados Simulación . . . . . . . . . . . . . . . . 61 66 67 4.1. Resultados de la simulación, G & C Integrado vs Doble Bucle para misil doble mando aerodinámico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.2. Parámetros de ruido seleccionados para el radar activo . . . . . . . . . 97 4.3. Parámetros de la simulación. Blanco o de oportunidad en el hemisferio trasero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.4. Parámetros de la simulación defensa contra ataque desde cola . . . . . 107 C.1. Model Geometry Specifications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.2. Guidance and Control Model Mission Specifications . . . . . . . . . . . C2 C4 D.1. CN Wind Tunnel Results . . . . . . . . . . . . . . . . . D.2. DATCOM Semiexperimental Method Results for CN . D.3. Numerical CFD experiments results for CN . . . . . . . D.4. Cm Wind Tunnel Results . . . . . . . . . . . . . . . . D.5. Numerical CFD experiments results for Cm . . . . . . . D.6. CA Wind Tunnel Results . . . . . . . . . . . . . . . . D.7. Numerical CFD experiments results for CA . . . . . . D.8. Numerical CFD experiments results for δrc = 5 deg . . . D.9. Numerical CFD experiments results for δrc = 10 deg . . D.10.CFD Numerical Experiments, Induced Rolling Moment D.11.CFD Numerical Experiments, Sideslip . . . . . . . . . D2 D2 D3 D3 D4 D4 D4 D5 D5 D6 D7 xi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ÍNDICE DE CUADROS D.12.CFD Numerical Experiments, Roll Driving Moment . . . . . . . . . . . D8 E.1. E.2. E.3. E.4. E.5. E.6. E1 E1 E2 E4 E6 E7 Fin Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Normal and Side Force Aero Coefficients . . . . . . . . . NASA Missile Pitch and Yaw Moment Aero Coefficients NASA Missile Aero Roll Moment Coefficients . . . . . . NASA Missile Axial Force Coefficients . . . . . . . . . . Mach Dependence Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . xii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nomenclatura En esta sección se da una lista de la notación empleada a lo largo del cuerpo principal de la tesis ası́ como su definición. Para otras definiciones por favor consultese la sección del apéndice. El resumen se divide en nomenclatura matemática general, su ı́ndices y superı́ndice es, letras griegas y latinas, coeficientes aerodinámicos y sus derivadas, y abreviaciones y acrónimos. A lo largo de la tesis las unidades están en el sistema internacional a no ser que especı́ficamente se indique lo contrario. NOTACIÓN MATEMÁTICA GENERAL A⊗B a∧b A AT kAkp a aL a ā ȧ â a∗ aij E c In s sinc t vect [0] Kronecker product Vector cross product Matriz Matriz transpuesta Norma-P de una matriz Vector columna Los componentes del vector se expresan en ejes L Escalar Variable adimensional Derivada en el tiempo Variable estimada Variable medida, con ruido Elemento de A, Fila i, Columna j Operador valor medio Coseno Madrid identidad de orden n Seno Función sinc Tangente Vectorización de una matriz Matriz cero de dimensión apropiada xiii NOMENCLATURA SUBINDICE Y SUPERINDICE a B c d g L M OG p q r s T t trim W (Subı́ndice) (Sub/Super) (Superı́ndice) (Subı́ndice) (Subı́ndice) (Superı́ndice) (Subı́ndice) (Superı́ndice) (Subı́ndice) (Subı́ndice) (Subı́ndice) (Subı́ndice) (Subı́ndice) (Superı́ndice) (Subı́ndice) (Superı́ndice) Referido a auto piloto misil Referido a cuerpo misil axes Referido a control delantero, canard Variable demandada Referido a guiado Ejes Inerciales Misil Ley de guiado óptimo Eje de balanceo del misil, (M X B ) Plano de cabeceo del misil, (M X B Z B ) Plano de guiñada del misil, (M X B Y B ) Servos Blanco Control trasero, cola Condición de equilibrio, trimado Referido a ejes viento LETRAS LATINAS Sı́mbolo AR A B be cˆq cˆr d dcm Ef f e ∆eδ ∆en ∆ek FA FN Definición Alargamiento Matriz de los estados dinámicos Matriz de entradas de control Envergadura expuesta Relación de trimado en cabeceo Relación de trimado en guiñada Diámetro misil Posición del centro de masas desde la ojiva Eficiencia aerodinámica Vector de error Esfuerzo de control Esfuerzo de maniobra Pérdida de energı́a por unidad de masa Fuerza axial aerodinámica Fuerza normal aerodinámica xiv NOMENCLATURA FS fs G H H h I i icq icr itq itr J K kg L M Ma M M∞ N Nt−vc N0 m n p p Ph Q qM q q∞ R R r rT M r S Se Fuerza lateral aerodinámica Frecuencia de muestreo radar Matriz de entrada Kalman Hamiltoniano Matriz de actuaciones Altitud de vuelo del misil Momento de inercia Ángulo de incidencia local Ángulo de incidencia en canard-cabeceo Ángulo de incidencia en canard-guiñada Ángulo de incidencia en cola-cabeceo Ángulo de incidencia en cola-guiñada Índice de control óptimo Matriz de ganancias de control óptimo Vector de ganancias Momento aerodinámico de balanceo Riccati, matriz solución de la ecuación de Matriz de acoplamiento cruzado aerodinámico Momento aerodinámico de cabeceo Número de Mach Momento aerodinámico de guiñada Fuerza normal en la cola debido a los vórtices del cuerpo misil Constante de navegación proporcional Masa del misil Aceleración Vector de parámetros Velocidad angular de balanceo, ejes cuerpo Perı́odo del radomo Matriz de peso de los estados Vector de quaterniones Velocidad angular de cabeceo, ejes cuerpo Presión dinámica Pendiente máxima de radomo Matriz de peso de los controles Vector de distancias Distancia misil-blanco Velocidad angular de guiñada, ejes cuerpo Matriz de transformación Superficie alar expuesta xv NOMENCLATURA Sref s T Ts Ts tb tf tgo u u v w x xa xm xs dcm VM Vc Vp Vq Vr V W y z za Superficie de referencia aerodinámica Distancia del centro de masas al de referencia Empuje del motor cohete Intervalo de muestreo de datos Matriz de servo frecuencias Tiempo de combustión motor cohete Tiempo de vuelo total, s Tiempo hasta impacto, s Vector de entradas de control Velocidad de misil en eje OXb Velocidad de misil en eje OYb Velocidad de misil en eje OZb Vector de estado Vector de estados del auto piloto Estados extendidos del auto piloto Vector de posiciones de los servos Posición de centro de masas, desde ojiva Velocidad del misil Velocidad de colisión Matriz de balanceo Matriz de cabeceo Matriz de guiñada Matriz de ruidos de medida Matriz de ruidos de proceso Distancia perpendicular a la lı́nea de mira Vector de salida Vector de salida del auto piloto LETRAS GRIEGAS Sı́mbolo α αT β δ δ1c δ2c δ3c Definición Ángulo de ataque en cabeceo Ángulo de ataque total Ángulo de guiñada Ángulo del control aerodinámico Canard Fin 1 Canard Fin 2 Canard Fin 3 xvi NOMENCLATURA δ4c δ1t δ2t δ3t δ4t δd δp δqc δqt δrc δrt εq εr εk εq Γb Γc λ Λg λ φa φh Ψ Ψ Σ σ θ θg θh θr τc τt τu τg Υ, Υ $T ωLOS Canard Fin 4 Cola Fin 1 Cola Fin 2 Cola Fin 3 Cola Fin 4 Demanda de posición a los controles Posición del control en balanceo Canard Posición del control en cabeceo Tail Posición del control en cabeceo Canard Posición del control en guiñada Tail Posición del control en guiñada Ángulo de estela en la cola, cabeceo Ángulo de estela en la cola, guiñada Parámetro auxiliar Parámetro auxiliar Intensidad del vórtice del fuselaje Intensidad del vórtice del canard Vector de coestados Constante de navegación efectiva Parámetro de retardo Ángulo de balanceo aerodinámico Fase de radomo Matriz de transición Coste terminal Desviación estándar Ángulo de lı́nea de mira Ángulo de cabeceó Ángulo de guiado Angulo del cardan Ángulo de refracción Retardo del servo-canard Retardo del servo-cola Retardo del servo-altas frecuencias Retardo sistema guiado Parámetros de reparto Frecuencia del blanco en cabeceo, rad/s Velocidad angular de la lı́nea de mira xvii NOMENCLATURA COEFICIENTES DE INTERFERENCIA AERODINÁMICA Sı́mbolo CA Cm Cmα Cmα̇ Cmα|α| Cmα3 Cmβ2 α Definición Axial Force, entire missile Pitch Moment at moment reference center, entire missile Pitch moment first derivative Pitching-moment with rate of change in angle of attack Pitch moment second derivative Pitch moment third derivative Incremental pitch moment due to sideslip Cmβ2 δc Variation of canard pitch effectiveness with sideslip Cmβ2 δt Variation of tail pitch effectiveness with sideslip Cmδc δt Incremental pitch moment,canard and tail combined action Cmq Cnδrt Cnδrc Cmδqt Cmδqc CN CNα CNα̇ CNα|α| CNαδqc Rotary derivative Tail effectiveness in yaw Canard effectiveness in yaw Tail effectiveness in pitch Canard effectiveness in pitch Normal Force coefficient, entire missile Normal-force first derivative Change of normal force with rate of change in angle of attack Normal-force second derivative Variation of canard lift effectiveness with angle of attack CNαδt Variation of tail lift effectiveness with angle of attack CNα3 CNβ2 α Normal-force third derivative Incremental normal force due to sideslip CNβ2 δc Variation of canard lift effectiveness with sideslip CNβ2 δt Variation of tail lift effectiveness with sideslip CNB CNBc CNBt CNcB ∆CNc−vB ∆CNt−vB ∆CNt−vc CNδqc Normal Force due to Missile Body only, Ojive and Afterbody sections Incremental normal force at missile body due to presence of canard fins Incremental normal force at missile body due to presence of tail fins Incremental normal force at the canard fins due to missile body Incremental normal force at the canard fins to body shed vortices Incremental normal force at the tail fins to body shed vortices Incremental normal force at the tail fins to canard shed vortices Canard lift effectiveness in pitch at constant angle of attack CNδc δt Loss of normal force due to canard and tail combined control action CNδt Tail lift effectiveness in pitch at constant angle of attack q q q q q q q q q q xviii NOMENCLATURA cN cNi CNq CNs CNtB Cn Cl CS CSα2 β Normal force at control fin alone Change of control alone normal force with incidence angle Normal force pitching derivative Incremental normal force due to the sideslip angle Incremental normal force at tail fins due to missile body Yaw Moment at moment reference center, entire missile Roll Moment, entire missile Side Force, entire missile Incremental side force due to angle of attack CSβ CSβ|β| CSβ3 Side force first derivative Side force second derivative Side force third derivative CSδrc CT KBc KBt KcB KtB Kc−vB Kt−vB Kt−vc Kφa Canard effectiveness in side force Thrust coefficient Ratio of body lift with canard to canard lift alone Ratio of body lift with tail to tail lift alone Ratio of canard lift with body to canard lift alone Ratio of tail lift with body to tail lift alone Interference factor for effect of body vortex on canard Interference factor for effect of body vortex on tail Interference factor for effect of canard vortex on tail Interference factor for sideslip DERIVADAS PARCIALES Symbol ∂εq ∂α ∂εr ∂β ∂εq ∂δqc ∂εr ∂δrc ∂ ε̄q ∂δqc ∂ ε̄r ∂δrc Definition Gradiente de estela por ángulo de ataque actuando en la cola Gradiente de estela por ángulo de guiñada actuando en la cola Gradiente de estela por control de canard-cabeceo actuando en la cola Gradiente de estela por control de canard-guiñada actuando en la cola Valor medio del gradiente de estela por grado de control canard-cabeceo en la sección de cola Valor medio del gradiente de estela por grado de control canard-guiñada en la sección de cola xix NOMENCLATURA ABREVIATURAS Y ACRÓNIMOS Symbol APN cm CAS CDLE CDM CFD DAC DCM G&C GS HJB IGA IGC IMU INTA IR ISA JCR JNDA LOS LPV LTI LQD LQR LQT MIMO MFSC mrc ND NTCM OGL PID PSD PD PN RCS Definition Augmented Proportional Navigation center of mass Control Actuation System Continuous-time Differential Lyapunov Equation Coefficient Diagram Method Computer Fluid Dynamics Dual Aerodynamic Control Direction Cosine Matrix Guidance and Control Gain Schedulling Hamilton-Jacobi-Bellman Integrated Guidance and Autopilot Integrated Guidance and Control Inertial Measurement Unit Instituto Nacional de Tecnica Aeroespacial Infrared International Standard Atmosphere Journal of Citation Reports Japan National Defense Academy Line of Sight Linear Parameter Variation Linear Time Invariant Linear Quadratic Differential (game theory) Linear Quadratic Regulator Linear Quadratic Tracking Multi Input Multi Output Model Following Servo Controller Moment Reference Center Non-dimensional NASA Tandem Control Missile Optimal Guidance Law Proportional-Integral-Derivative Power Spectral Density Pulse Doppler Proportional Navigation Radar Cross Section xx NOMENCLATURA SBT SDC SDDRE SDRE SMC SNR ST STT TPBVP TVC UCAV VCL Slender Body Theory State Dependent Coefficient State Dependent Differential Riccati Equation State Dependent Riccati Equation Sliding Mode Control Signal to Noise Ratio Side Thruster Skit To Turn Two Point Boundary Value Problem Trust Vector Control Unmanned Combat Air Vehicle Vector Control Law xxi Capı́tulo 1 Introducción Tradicionalmente, el diseño del misil táctico se ha basado en una superior velocidad y maniobrabilidad sobre el blanco para conseguir la intercepción. Las nuevas misiones para misiles aire-aire que operen dentro de la atmósfera incluyen la intercepción de blancos de combate no tripulados supersónicos y la defensa del avión lanzador frente a ataques laterales o por su cola.Para conseguir pequeñas distancias de paso, se requerirán avances radicales en la aerodinámica del misil, las tecnologı́as de guiado y control ası́ como el aprovechamiento de la sinergias entre los distintos subsistemas. Esta tesis está dedicada al estudio del misil con doble mando aerodinámico, Dual Aerodynamic Control (DAC), como una nueva configuración para misiles de corto y medio alcance aire-aire. Este primer capı́tulo introductorio está organizado como sigue. En primer lugar se presentan los motivos para esta tesis, seguida por una descripción general del bucle de guiado y control. A continuación se especifican los objetivos de la investigación, y se hace una revisión del estado del arte en la literatura cientı́fica a dı́a de hoy. Finalmente se presenta un esquema de desarrollo del trabajo. 1.1. 1.1.1. Motivos para esta Tesis Misiles actuales con control aerodinámico Para un misil de alcance medio o corto en misión aire-aire , la configuración más común actualmente es axil-simétrica, con un motor cohete de combustible sólido, y con cuatro superficies fijas y cuatro superficies de control alineadas , que permiten la maniobra en cabeceo guiñada y control en balanceo. Las arquitecturas modernas con control aerodinámico son tipo canard o control en cola 1 . Un misil con control canard maniobra 1 A pesar de su popularidad inicial, el control por ala tipo Sparrow no se considera como una opción viable en el diseño moderno de misiles debido a sus desventajas. Otras aproximaciones menos convencionales, como control por deflexión de la ojiva, aéro frenos etc. no han entrado en servicio en misiles debido a su perdida de actuaciones, pero actualmente están en desarrollo para el control de 1 1.1. MOTIVOS mediante la deflexión de sus superficies de control delanteras, mientras un misil con control en cola deflecta sus superficies de control en la parte trasera. Tı́picamente la superficies de control del misil son totalmente movibles y con bajo alargamiento. La ojiva del misil es de baja resistencia aerodinámica o de tipo semiesférico y aloja el buscador que es de tipo electromagnético u electro óptico, que va a dotar al misil de su posición relativa al blanco durante el vuelo. Esta configuración está estabilizada en balanceo o tiene limitaciones en su velocidad de giro en balanceo, y emplea maniobra con resbalamiento a lo largo de la lı́nea de mira del buscador (Skid To Turn, STT) para interceptar al blanco. Las principales ventajas de esta configuración son su alta velocidad de respuesta sin alabeo previo y el acoplamiento aerodinámico reducido entre los canales de cabeceo y guiñada. Esta disposición clásica sufre de ciertos efectos aerodinámicos no lineales que complican su control durante el vuelo. Estos efectos pueden ser divididos en dos categorı́as: 1. Efectos en un plano, donde a bajos ángulos de ataque, los torbellinos desprendidos de las superficies delanteras cambian el ángulo de incidencia local en la cola, provocando que el momento aerodinámico del misil cambie abruptamente para pequeñas variaciones en el ángulo de ataque. Al aumentar el ángulo de ataque, la ojiva del misil y el pequeño alargamiento de las aletas comienzan a crear no linealidades en fuerza y momento de cabeceo. Este mismo efecto se repite en el plano de guiñada debido a la simetrı́a del misil. 2. Los efectos fuera de plano son a su vez de dos tipos. El momento de balanceo inducido aparece por ejemplo cuando el ángulo de ataque y el ángulo de guiñada son distintos durante una maniobra con resbalamiento. El segundo tipo es la guiñada fantasma, phantom yaw, donde a ángulos de ataque moderados, los torbellinos desprendidos del fuselaje del misil se vuelven asimétricos, creando de modo simultáneo perturbaciones en balanceo y en guiñada. Estos efectos fuera de plano son muy problemáticos y causan dificultades para mantener un ángulo de balanceo razonablemente estable o con una variación suave. En el caso de un misil canard las superficies de control delanteras tienen una capacidad de control muy limitada en balanceo a través de deflexiones diferenciales, debido al efecto opuesto creado en la cola por la estela. Diversas soluciones se han ensayado en la práctica para el misil canard: rolerones como en el Sidewinder, como un mecanismo pasivo que limita la velocidad de rotación en balanceo; aletas fijas estabilizadoras por delante del canard como en el Phyton-5; o desacoplar la cola dejándola que gire libre, como en el cohete guiado MLRS, que permite a la sección delantera mantenerse estabilizada en balanceo, ya que el momento de reacción creado en la cola no se transmite al resto del fuselaje. El prototipo de misil Banderilla (ver vuelo de municiones inteligentes y cohetes guiados. 2 1.1. MOTIVOS Figura 1.1), incorporó de modo novedoso controles adicionales en la cola para estabilizar el misil en balanceo, aunque estos servos adicionales no fueron usados para el control en cabeceo o en guiñada (Sanz-Aranguez and Simon, 2012). Figura 1.1: INTA misil experimental Banderilla. Desarrollado en el Instituto como un proyecto de investigación, era un misil con control delantero y controles adicionales en la cola. Nótese los flaps móviles en las superficies de cola, que se empleaban para mantener el balanceo estable durante el vuelo. 1.1.2. Caracterı́sticas de la respuesta dinámica del misil El misil interceptor maniobra constantemente respondiendo a las sucesivas maniobras evasivas del blanco. Tı́picamente el motor de combustible sólido no puede modificar su ley de empuje una vez que comienza su misión. Aunque hay algunos misiles con motores de empuje variable,la gran mayorı́a de los misiles tácticos no lo tienen y son capaces de maniobrar únicamente mediante la generación de maniobra lateral, normal a su eje de simetrı́a. Al deflectar una de las superficies de control, se genera una fuerza normal de pequeña magnitud de modo casi instantáneo, que da lugar a un momento aerodinámico alrededor del centro de gravedad del misil, que resulta en una rotación del mismo modificando su ángulo de ataque. Es este ángulo de ataque el responsable de generar la aceleración lateral del misil. Esta cadena de acontecimientos ocurre durante cierto tiempo, y por lo tanto hay un retardo en la respuesta dinámica del misil desde que se deflecta una superficie de control hasta que se alcanzan condiciones estacionarias (trimado). En condiciones estacionarias las superficies del canard generan una pequeña fuerza aerodinámica normal que están, para un misil estáticamente estable, en la misma dirección que la fuerza normal del misil. El misil canard en su respuesta dinámica tiende a sobrepasar el nivel de aceleración requerido por el sistema de guiado y el tiempo hasta estabilizarse suele ser relativamente grande, siempre dependiendo de las condiciones de vuelo. La respuesta en fase depende de la estabilidad del misil y de la influencia de los efectos de estela en las superficies de control traseras. Por otro lado, para un misil estaticamente estable con control en cola, la cola genera una fuerza normal inicialmente opuesta a la dirección principal de maniobra, creándose lo que se conoce como 3 1.1. MOTIVOS respuesta inversa, que retrasa la respuesta total del misil. Debido a este efecto, la cola se conoce como un control de fase no mı́nima, que se caracteriza por la presencia de un cero a bajas frecuencias en la parte derecha del plano s si consideramos su función de transferencia lineal. De modo opuesto, un misil con control delantero tiene un control de fase mı́nimo. Desde el punto de vista de control del misil, las caracterı́sticas de fase no mı́nima del control en cola representan un reto muy significativo, ya que retarda la respuesta general del misil. El autor en (Gutman, 2003) demostró la superioridad del misil canard sobre el de control cola, siendo capaz de conseguir menores distancias de paso contra un blanco maniobrero. Sin embargo Gutman consideró un modelo simplificado, con un retardo de primer orden del misil, en su demostración. Como se ha discutido brevemente, la aerodinámica del misil está en realidad dominada por efectos altamente no lineales y estos efectos no fueron considerados en el análisis citado. 1.1.3. Propuesta de doble mando aerodinámico Además del efecto de fase considerado en la sección anterior, hay otros elementos a valorar en la arquitectura tradicional de misiles. Comparado con cola, el control canard tiende a saturarse a ángulos de ataque del misil más bajos, ya que su incidencia local es la suma del ángulo de ataque del misil más el ángulo de deflexión del control delantero. De este modo un control en cola suele ser preferido para realizar giros muy cerrados, especialmente cuando la presión dinámica es baja. El control canard también requiere mayores momentos de control en los servo mecanismos para mantener mayores pares de charnela. A bajos ángulos de ataque, y debido al efecto de estela en la cola, el misil canard suele generar un mayor momento, ya que en este caso el brazo de palanca correspondiente será la distancia entre los centros de presiones del canard y de la cola. A altos ángulos de ataque, cuando la estela no afecta a la cola, el control trasero en cola puede ofrecer un mayor brazo de palanca, una vez que el motor cohete se ha consumido y por tanto el centro de gravedad está en su posición más adelantada. En este último caso se requieren menores ángulos de deflexión en el control de cola que en el caso del canard para mantener mantener los mismos ángulos de ataque del misil, con los beneficios añadidos de una reducción de la resistencia aerodinámica. La tabla 1.1 resume las ventajas y desventajas relativas de cada tipo de control aerodinámico para un mismo misil. La tabla sugiere que el control canard y cola son complementarios y que la óptima combinación de un tipo y otro como función de las condiciones de vuelo (ángulo de ataque, aceleración ángulos del control, ley de guiado etc.) podrı́a resultar en mejores actuaciones del misil. Una combinación de este tipo deberı́a incluir los efectos aerodinámicos de alto orden de ambos tipos de control, pero podrı́a resultar en un diseño mucho más efectivo del misil sin modificar su estructura. 4 1.1. MOTIVOS Cola Canard Ventajas · Bajo momento de charnela y bajo par de control debido a los ángulos de incidencia reducidos. · Momento de balanceo inducido reducido.. · Para un misil estáticamente estable, mayor efectividad del control a altos ángulos de ataque. · Baja resistencia aerodinámica inducida. · Control en balanceo sencillo mediante de reflexiones diferenciales. · Empaquetamiento efectivo del sistema de en control, guiado y buscador en la ojiva del misil. · Fabricación simplificada y facilidad para introducir cambios de diseño. · Alta maniobrabilidad a bajos ángulos de ataque para un misil estable. · Mayor brazo de par de control aerodinámico a bajos y moderados ángulos de ataque. Desventajas · Para un misil estáticamente estable Menor maniobra en trimado. · Efecto de fase no mı́nima, respuesta inicial más lenta. · El control se empaqueta alrededor del tubo de salida de gases del motor. · Requiere un compromiso entre estabilidad y maniobrabilidad. · Altos ángulos de incidencia en el control, tendencia a saturarse. · Problemas con picos de maniobra y tiempos de estabilización. · Alto balanceo inducido y pérdida de control en cola debido a los vórtices delanteros. · Control de balanceo complicado. · Momentos de flexión altos en la estructura. · Pérdida de estabilidad altas velocidades. Cuadro 1.1: Comparación de control canard y cola La idea para esta tesis surge entonces para investigar cómo integrar ambos tipos de control en un misil aire-aire de control doble, donde tanto las superficies delanteras como las superficies traseras sean móviles y que se actúen de modo simultáneo para maniobra del misil en cabeceo y en guiñada, y con la adecuada combinación de estos dos tipos de control dentro de un piloto automático de tipo avanzado puede aumentar significativamente las actuaciones de un misil ya existente. Este control doble atmosférico (DAC) no debe confundirse con otros tipos de control avanzados ya existentes tipo hı́brido, en los que un misil con control en cola se combina con control vectorial de empuje -Thrust Vector Control (TVC) - o empuje lateral - Side Thrusters (ST)-, que puede generar momentos de control adicionales independientemente de la presión dinámica exterior del misil: La aplicación de control hı́brido más popular actualmente en servicio consiste en control en cola combinado con control vectorial de empuje a través de álabes deflectores (misiles IRIS y Sidewinder 9-X). Aqui el mismo actuador por se usa para mover la cola y el álabe deflector dentro de la tobera, aumentando la velocidad de respuesta del misil pero aumentando el efecto de fase no mı́nima. Como todos 5 1.1. MOTIVOS los sistemas de tipo hı́brido una vez que la combustión del motor se termina, el misil tiene únicamente control en cola disponible para interceptar al blanco. El control por empuje lateral es un método en el cual una masa de flujo pulsado se expulsa durante un corto periodo de tiempo en dirección normal a la superficie del cuerpo del misil, por delante del centro de gravedad. Este flujo cruzado causa una separación local del flujo aerodinámico sobre la superficie del misil, que cambia la distribución de presión sobre la misma y como resultado modifica su trayectoria. Este tipo de control ocurre en impulsos, con un modo de operación conocido como bang-bang. El control por empuje lateral tiene un ancho de banda elevado pero es extremadamente complejo de modelizar en detalle y tiene limitaciones, tanto en magnitud como en tiempo de operación, esto último limitado por la cantidad de gas a presión que el misil puede llevar a bordo. Estos dos tipos de control hı́brido tienen tres misiones caracterı́sticas: 1. En misiles exo-atmosféricos, en aplicaciones superficie aire, operando en las capas altas de la atmósfera para interceptar misiles de tipo balı́stico en las cercanı́as del apogeo. 2. En aplicaciones aire-aire de misiles endo-atmosféricos, para la defensa del avión lanzador contra ataques desde su cola. Aquı́ el mando simple aerodinámico no es suficiente para girar el misil 180 grados inmediatamente después del lanzamiento con la suficiente rapidez. 3. En aplicaciones dentro de la atmósfera tipo SAM superficie-aire para la defensa de área, donde el control vectorial del empuje provee al misil de capacidad de maniobra ya desde el lanzamiento, cuando la presión dinámica es baja y el control aerodinámico todavı́a no es eficiente. En esta tesis se demostrara mediante simulaciones que el misil con control doble aerodinámico será capaz de ejecutar la misión de defensa contra ataques desde cola únicamente con control aerodinámico y sin modificar el empuje del misil, como será revisado en la sección 4.5. A dı́a de hoy solamente hay una aplicación desclasificada del control doble aerodinámico, y sólo está en fase de desarrollo. Se trata del cohete guiado superficie-aire Stunner, que formará parte del sistema de defensa aérea de Israel David’s Sling, (ver Figura 1.2). Se espera que entre en servicio en 2017. Esta aplicación se ha concebido contra blancos no maniobrables, cohetes no guiados o derivados del Scud descendiendo contra zonas urbanas. Por su configuración estructural, pensamos que este cohete guiado no es capaz de soportar grandes esfuerzos estructurales y que por tanto el ángulo de ataque en vuelo estará limitado a pequeños valores. El control doble se emplea para 6 1.1. MOTIVOS pequeñas correcciones de trayectorias en los últimos segundos antes de la interceptación, y con ambos controles delanteros y traseros actuando en la misma dirección, en lo que se conoce como modo de desviación 2 -(Fleeman, 2012) y Figura 1.8-, pero no para generar una aceleración de decenas de veces la aceleración de la gravedad como se esperarı́a en una aplicación aire-aire. Figura 1.2: Cohete Guiado Superficie-Aire Stunner , con control doble aerodinámico. Este cohete guiado se utiliza para defensa de área y se espera que entre en servicio en 2017. Se diseña para interceptar cohetes no guiados en su fase de descenso a tierra. Nótese las pequeñas superficies fijas situadas justo enfrente de las aletas móviles de cola, que se emplean para estabilizar la célula y reducir el balanceo inducido creado por la superficies móviles delanteras. La configuración DAC tiene la ventaja frente a la hı́brida de un menor coste y mayor simplicidad, y no estar restringido por el tiempo de combustión del motor cohete o por la cantidad de reservas de gas presurizado a bordo para generar maniobras adicionales. Comparado con un misil con control en cola, el control doble sólo requiere dos servomecanismos adicionales para actuar las superficies delanteras en picado y guiñada, para lograr un incremento sustancial en las actuaciones del misil como será demostrado. Con las mejoras en la fiabilidad tamaño peso y par de salida de los servomecanismos, junto a su coste cada vez más reducido, la complicación adicional de la instalación de los servomecanismos adicionales que se requieren para el control doble se compensa más que sobradamente con la mejora que se obtiene en las actuaciones. Sin embargo los grados de control adicionales requieren de un tratamiento matemático complejo que contemple todas las implicaciones resultantes en la aerodinámica del misil ası́ como en el lazo de guiado y control. 2 ambos controles deflectados en la misma dirección generando un incremento en sustentación y provocando la traslación del misil pero con una pequeña, si no nula, rotación del misil 7 1.2. EL BUCLE DE GUIADO Y CONTROL 1.2. El bucle de guiado y control La trayectoria del misil interceptor se divide tı́picamente en tres segmentos: lanzamiento, curso medio y fase terminal. Durante la fase terminal los algoritmos de guiado y control son responsables de corregir los errores de apuntamiento residuales de las fases previas y considerar las maniobras del blanco para conseguir la mı́nima distancia de paso final. La figura 1.3 representa el bucle de guı́ado y control (G&C) para un misil interceptor tipo avanzado. Este bucle se usará a lo largo de la tesis como una referencia en la investigación, en la que progresivamente se irá definiendo la estructura y cada uno de los componentes para un misil de control doble. A continuación se realiza una breve descripción de cada uno de los bloques: El Buscador de a bordo se encarga de detectar las variables necesarias del blanco durante el vuelo para alimentar a la ley de guiado del misil. El buscador está enganchado al blanco durante esta fase terminal, permitiendo el guiado del misil durante todo el vuelo. Sin embargo a través del buscador se introduce ruido no deseado dentro del bucle de guiado y control. El buscador es un sistema electromecánico con su propio bucle de realimentación que además introduce retardos de tiempo en el bucle de guiado y control del misil. La gran mayorı́a de los misiles aire-aire en servicio hoy emplean un buscador tipo radar (activo, pasivo o semiactivo) o un buscador de infrarrojos IIR de tipo pasivo. Una ventaja de que el buscador esté a bordo del propio misil, activo o pasivo, es que la precisión de sus medidas aumenta en general a medida que la distancia relativa entre el blanco y el misil se reduce, aunque algunos tipos de ruidos como el destello (glint) aumentan. El Filtro de Navegación es el responsable de separar el ruido de la señal de entrada y de proveer estimaciones de las variables del blanco entre los instantes de toma de datos del buscador, ası́ como calcular y estimar otras variables del blanco no directamente medidas pero que son requeridas por la ley de guiado del misil. Como ejemplo de estas últimas tı́picamente se necesita la aceleración vectorial del blanco o su derivada con el tiempo. El filtro de navegación contiene un modelo dinámico del encuentro aire-aire, ası́ como de los ruidos de medida esperados. El retardo de tiempo introducido por el filtro de navegación es despreciable ya que se trata de un subsistema puramente electrónico. El bloque de Guiado contiene la ley de guiado, que calcula, basado en la cinemática relativa y la aceleración del blanco, el vector de aceleración demandada nL d al misil, necesario para conseguir un curso de colisión hacia el blanco. Esta demanda se calcula en tiempo real a bordo del misil. La mayorı́a de los misiles 8 1.2. BUCLE G&C Dinámica Blanco + xM , ẋM xT , ẋT − rT M , Vc Ruidos radar y radomo Radar ∗ t∗s , ωLOS B n Dinámica Traslación Misil nB Guiado ẋg = f (xg , nL d) u̇, v̇, ẇ p, q, r Dinámica Rotación Misil Strapdown IMU Sensores Actitud Filtro/ Estimador nB + Modelo Aceleración Blanco time-to-go Estimador r̂T M , V̂c Noise nL T Sistema de Navegación tgo nL d − xa Autopiloto ẋa = f (xa , xsd ) xsd xs Servos ẋs = f (xs , xsd ) dinámica alto orden τu Figura 1.3: Diagrama de guı́a de control para un misil aire aire moderno. Se representan únicamente las principales variables. El time-to-go y el modelo de aceleración del blanco sólo se emplean en un misil con guiado óptimo, que la práctica no está todavı́a ampliamente extendido. Nótese que hay cuatro entradas exógenas, la maniobra del blanco xT , ẋT , el sistema de detección (buscador y radomo), la IMU con sus ruidos asociados y la dinámica de alto orden de los servos. actualmente en servicio emplean una de las variantes de la conocida ley de navegación proporcional, que requiere que el misil tenga una ventaja de velocidad 9 1.2. BUCLE G&C significativa sobre el blanco y que sea capaz de maniobrar al menos tres veces más que el blanco. La ley de navegación proporcional demanda una aceleración al misil sin considerar su capacidad remanente de maniobra, los lı́mites de su envuelta de vuelo o el tiempo de respuesta del piloto automático. Por otro lado la ley de guiado óptimo incorpora la aceleración actual del misil nB en su cálculo de nL d (consúltese la sección 3.1). El Piloto automático, control de vuelo o autopiloto y el sistema de control de actuadores (CAS ) son los responsables de transformar la demanda de aceleración de la ley de guiado nL d en la respuesta adecuada de la célula del misil. El piloto automático es él mismo un bucle de control con realimentación dentro del bucle general de guiado y control del misil. Constantemente monitoriza la aceleración obtenida nB y genera ordenes al CAS, codificadas generalmente como ángulos de posición demandados para cada uno de los controles xsd , ver Figura 1.3 . Una unidad de medida inercial (IMU ) mide en tiempo real las aceleraciones y velocidades angulares del misil, y un filtro digital estima a partir de estas medidas el ángulo de ataque α y de guiñada β con la suficiente precisión. Se hace notar que los ángulos aerodinámicos no pueden medirse directamente sin cometer errores importantes (Stevens and Lewis, 2003). Las señales de salida de la IMU se combinan con las órdenes de guiado en el piloto automático para calcular la demanda a cada uno de los actuadores de las superficies de control. Estos son de tipo electromecánico o neumático y fuerzan el ángulo de las aletas xs a seguir a la demanda xsd . La respuesta dinámica de la célula a la señal del control depende de las condiciones de vuelo del misil en ese instante (altitud, número de Mach, ángulo de ataque, etcétera). El objetivo básico del sistema de control es conseguir que la dinámica resultante siga los comandos de guiado de una forma efectiva. El piloto automático debe incluir un modelo dinámico de rotación y traslación, que lleva aparejado tener programada una representación completa aerodinámica del misil con sus correspondientes limitaciones. El piloto automático completo representa el mayor retardo de tiempo dentro del bucle de G&C loop. Todo este bucle se cierra cuando el buscador vuelve a detectar la posición relativa entre el blanco y el misil, generándose nuevas órdenes de guiado, que a su vez inician una nueva respuesta del auto piloto y movimiento de las superficies de control del misil. El objetivo último del bucle de guiado y control es obtener la mı́nima distancia de paso al blanco dentro de las limitaciones y capacidades del misil interceptor aéreo. 10 1.3. OBJETIVOS DE LA TESIS En la Figura 1.3 nótese que los cálculos del guiado y del auto piloto se realizan en bloques separados y consecutivos. Esta aproximación corresponde al tradicional método de dos lazos, que considera que hay una separación espectral entre el guiado y el auto piloto (Yanushevsky, 2008). Esto se debe a que tı́picamente el tiempo caracterı́stico del encuentro aire-aire contra blancos poco maniobreros ha sido siempre mayor que el tiempo caracterı́stico de respuesta del auto piloto del misil. Dentro de esta aproximación, el auto piloto siempre se ha diseñado como un regulador que trabaja con un horizonte de tiempo infinito. En esta tesis se modificará el esquema clásico descrito en la Figura 1.3 al combinar el control de vuelo y el guiado en un único bucle. 1.3. Objetivos de la Tesis El objetivo esta tesis es investigar las actuaciones del misil de control doble aerodinámico como una nueva alternativa al control convencional, canard o cola, e hı́brido, para misiles aire-aire en aplicaciones contra blancos modernos no pilotados y para la defensa en cola. Este misil será empleado contra blancos altamente maniobreros. En este escenario la hipótesis de separación espectral entre el control de vuelo y el guiado puede que no sea válida. Se plantea entonces una solución integrada, optimizando el auto piloto y el guiado en un único bucle de control aprovechando su sinergias. Este objetivo general se transforma en tres lı́neas de investigación y para cada una de ellas se plantean cuestiones especı́ficas a resolver, ninguna de las cuales ha sido resuelta a dı́a de hoy en la literatura cientı́fica. Éstas son: 1. Modelo aerodinámico avanzado para misil con control doble. 1.1. Analizar y caracterizar los fenómenos aerodinámicos esperados, en particular el acoplamiento cruzado entre los controles. La influencia de los controles delantero sobre los traseros a distintos ángulos de ataque del misil, necesita ser caracterizada en detalle. 1.2. Desarrollar una nomenclatura especı́fica, no existente a dı́a de hoy, para tratar el problema matemático de este tipo de misil. 1.3. Desarrollar un modelo teórico aerodinámico con la suficiente precisión para estudios de guiado y control avanzados. El nivel de detalle requerido no ha sido encontrado en ninguna publicación existente. Este modelo necesita ser definido con la ayuda de coeficientes invariantes que podrán ser ajustados a un misil particular mediante métodos de identificación de parámetros. 1.4. Obtener datos fiables experimentales para validar el modelo teórico aerodinámico, bien de ensayos en túnel de viento o bien calculándolos a través de métodos CFD. 11 1.3. OBJETIVOS DE LA TESIS 1.5. Investigar la estabilidad el control en balanceo del misil con control doble aerodinámico. 2. Desarrollo de un auto piloto para el misil con control doble y el estudio de su conexión con una ley de guiado óptimo para formar un sistema de dos lazos para el misil DAC. 2.1. Definir las limitaciones especı́ficas y los indicadores de actuaciones para el auto piloto de control doble. 2.2. Optimizar y resolver el auto piloto del misil, con entradas de control múltiples, aerodinámica no lineal e incluyendo el acoplamiento cruzado entre controles. Establecer la estrategia para la distribución del esfuerzo del control entre los canales delanteros y traseros. 2.3. Comparar los resultados obtenidos con el método estándar en la industria moderna de ajuste de ganancias. 2.4. Evaluar el doble bucle de G&C de la figura 1.3, aplicado a un misil DAC atacando a un blanco que maniobra y compararlo con las actuaciones de misiles convencionales. 3. Investigar el guiado auto piloto integrado (IGA) y compararlo con la aproximación de dos bucles. Puede potencialmente optimizar el esfuerzo de control durante el vuelo al considerar los estados de guiado como parte del algoritmo de control de vuelo. 3.1. Definir el modelo matemático adecuado para el problema integrado. 3.2. Manejar adecuadamente las variables de guiado y del auto piloto ya que trabajan en diferentes órdenes de magnitud y podrı́an saturar el control del misil. 3.3. Definir los objetivos de actuaciones para el sistema integrado. 3.4. Resolver el nuevo problema matemático de optimización de una planta no lineal en un tiempo finito. 3.5. Comparar las actuaciones del misil con control integrado frente al mismo misil empleando un esquema en doble lazo. 3.6. Evaluar cómo el ruido, la frecuencia discreta de datos del blanco y los errores de radomo afectan a las actuaciones del misil DAC. 3.7. Evaluar las capacidades del misil con doble mando aerodinámico y control integrado en la defensa contra ataque por la cola, como un requisito para misiles modernos y sin emplear deflexión de empuje. (véase Figura 1.4). 12 1.4. REVISIÓN DE LA LITERATURA 1960’s 1970’s MT = 1,2, 1980’s M = 1,5, 1990’s 2000’s+ nT = 3, h = 12, 000m Figura 1.4: Evolución de los dominios de tiro del misil (Sanz-Aranguez, 2000). El ejemplo muestra un misil lanzado a M = 1,5, atacando un caza pilotado volando a MT = 1,2 con maniobra nT = 3 g. En la década de los años 60 y 70, las limitaciones en el buscador de infrarrojos y de la capacidad de maniobra del misil restringı́an el dominio de tiro a la parte trasera del blanco. En los 80 y 90 del avión lanzador se equipa con un radar y es capaz de lanzar el misil cerca del curso de colisión, extendiendo el dominio de tiro a casi todos los sectores alrededor de un blanco poco maniobreros. Estas figuras se reproducirán en la tesis para la intercepción de blancos altamente maniobrables, en la sección 3.5.2. Los últimos desarrollos en la maniobrabilidad de los misiles desde los años 2000 han extendido el dominio de tiro aún más, pero no son aún suficientes para la defensa contra un ataque por la cola sólo empleando control aerodinámico. En esta tesis se desarrollarán de modo analı́tico y se demostrarán de modo numérico, que la defensa contra un ataque por la cola es posible realizarla de modo óptimo con un misil con control doble aerodinámico e integración de su guiado y control. Estas tres lı́neas de investigación y las cuestiones principales asociadas se representan de modo gráfico en la figura 1.5. El tema de la tesis implica una variedad de disciplinas como la aerodinámica, el control, la optimización matemática pura o la mecánica de vuelo. En efecto la investigación enfocada en el área de misiles tiene siempre un carácter multi-disciplinar ya que todos sus subsistemas están fuertemente interconectados. Debido a que esto es una tesis doctoral en ingenierı́a aeroespacial, es apropiado complementar los resultados teóricos con simulaciones numéricas, para evaluar los logros obtenidos y ponderar su dificultad de implantación práctica. No se trata sin embargo, de realizar un diseño de ingenierı́a de detalle sino de ilustra los conceptos y los resultados de investigación obtenidos. 1.4. 1.4.1. Revisión de la Literatura Aerodinámica La referencia(Beresh et al., 2009) describe experimentos llevados a cabo en un túnel de viento subsónico con dos controles, con la intención de investigar la interacción en13 1.4. REVISIÓN DE LA LITERATURA Datos Aerod. Control Balanceo Modelo Aerod. Diseño Misil Acoplamiento Controles Autopiloto Nolineal Objetivos Investigación Tesis Lı́mites Guiado DobleBucle Reparto Control Defensa Cola Optimización GyC Integrado Ruidos Optimización Saturación Figura 1.5: Lı́neas principales de investigación tre ellos sin la presencia de un fuselaje (ver 1.6). La conclusión del estudio es que los vórtices generados por el control delantero cambian el ángulo de incidencia efectivo del control trasero. Debido a que la estructura de torbellinos se mantiene en supersónico, (Spahr and Dickey, 1953), es de esperar que esta conclusión se mantenga en este régimen, aunque los valores de sustentación varı́en al depender del Mach. La presencia del fuselaje del misil creará interacciones más complejas que habrá que tener en cuenta. La literatura cientı́fica publicada ha sido examinada buscando estudios sobre aerodinámica de misiles con dos controles. La única referencia válida encontrada ha sido acerca de una serie de experimentos en túnel llevados a cabo en el centro Langley Unitary Plan Wind por A.B. Blair en 1993, como parte del NASA Langley Research Center. Sin embargo, los datos aún están sujetos a US Export Control Regulations, y la NASA no ha podido desclasificarlos para este estudio. El prototipo ensayado NASA Tandem Control Missile (NTCM) es un misil tı́pico de configuración cruciforme y ojiva 14 1.4. REVISIÓN DE LA LITERATURA (a) Diseño del experimento (b) Fuerza normal en control trasero. α1 = 10, M∞ = 0,8 Figura 1.6: Interacción entre control delantero y trasero, tomado de la referencia (Beresh et al., 2009). tangente (vease Figure C.1 en los Apéndices), y se ensayó en supersónico a distintos ángulos de ataque entre 0 y 28 deg, y a distintas combinaciones de posiciones de los control delantero y trasero, limitadas a 20 como máximo. Sin embargo, un extracto limitado de los datos experimentales se ha publicado en tres artı́culos distintos (Lesieutre et al., 2002a,b) y (Cross et al., 2010). Los datos muestran grandes variaciones de la aerodinámica con el ángulo de ataque a distintas posiciones de los controles, y pueden encontrarse en los apéndices (ver Figure 1.7). Las no-linealidades son especialmente acusadas en las cercanı́as de α = 0, debido al efecto de la estela. Figura 1.7: Resultados experimentales para el misil NASA. Reproducidos aquı́ de la referencia (Lesieutre et al., 2002a) Otros autores han llevado a cabo estudios numéricos con el misil NTCM (Blair, 1978; Khalid et al., 2005b,a; Al-Garni et al., 2008; Akgul et al., 2012) 3 . Sin embar3 El informe del NATO Research and Technology Organization (RTO) - (Khalid et al., 2005b) - fue 15 1.4. REVISIÓN DE LA LITERATURA go estos estudios no incorporan deflexiones simultáneas de los controles delanteros y traseros, pero pueden servir como referencia para separar los efectos aerodinámicos generales del misil de las acciones del control doble. En resumen se han encontrado algunos artı́culos cientı́ficos indicando el potencial de este tipo de misil, sin embargo debido a la escasez de datos disponibles, se hace necesario extenderlos mediante un estudio aerodinámico adecuado. 1.4.2. Autopiloto y Guiado con control doble Se han encontrado sólo seis artı́culos en la literatura cientı́fica sobre este tema, véase la tabla 1.2. Se han diseñado auto pilotos para misiles con control doble empleando el método no lineal de State Dependent Riccati Equation en (Mracek, 2007) y Apendice B.2, ası́ como con técnicas de control lineal: LQT linear quadratic tracking en (Mracek and Ridgely, 2006), regulador óptimo proporcional-integral en (Ochi, 2003; Ochi and Kanai, 1997; Ochi et al., 1994) y control clásico general en (Manabe, 2001). Los trabajos en (Mracek, 2007; Mracek and Ridgely, 2006) consideraban sólo correcciones por desviación positiva, donde ambos controles se deflectan en la misma dirección, generando un incremento de sustentación inmediata y la traslación del misil. Con este método los misiles de control doble pueden tener dificultades en conseguir ángulos de ataque grandes y por tanto altos niveles de aceleración lateral. Los métodos lineales en (Ochi, 2003; Ochi and Kanai, 1997) se combinaron con un generador de órdenes de ángulo de ataque que puede conseguir que el misil opere de modo opuesto, que gira el misil aumentando el ángulo de ataque final. En contraste la referencia (Ochi et al., 1994) sólo consideraba el modo opuesto pero no el de desviación. Cuadro 1.2: Referencias JCR para autopilotos de doble control Referencia Modelo aerodinámico Control Mracek (2007) Mracek and Ridgely (2006) Ochi (2003) Manabe (2001) Ochi and Kanai (1997) Ochi et al. (1994) Ajuste polinomio Coeficientes constantes Coeficientes constantes Coeficientes constantes Coeficientes constantes Coeficientes constantes SDRE LQT LQT PID PID PID Ninguno de estos artı́culos incorpora el efecto de acoplamiento cruzado entre los controles ( términos δqc δqt y de orden superior) en el diseño del auto piloto. Aunque el efecto neto en fuerza puede ser pequeño, se dan fluctuaciones importantes en el momento de cabeceo debido al efecto de la estela sobre la cola. proporcionado amablemente por la oficina española Spanish NATO RTO Office 16 1.4. REVISIÓN DE LA LITERATURA n δqc δqc q δqt α α −δqt VM VM (a) Opuesto (b) Desviación Figura 1.8: Modos de operación del misil con control doble. En la aproximación de dos lazos el auto piloto se coloca en un bucle interior y se diseña separadamente del lazo exterior de guiado, asumiendo que existe separación espectral entre el auto piloto y el guiado. Cuando se asume que la dinámica del misil es de primer orden, que el blanco está efectuando una maniobra constante, se deriva la ley de guiado óptimo, (Sanz-Aranguez, 2011; Zarchan, 2012). Distintos investigadores en la literatura cientı́fica han estudiado la ley de guiado óptima para el misil de control doble, véase la tabla 1.3. Cuadro 1.3: Referencias JCR para el guiado de misil DAC. Referencia Modelo aerodinámico G& C Control Levy et al. (2015) Yan and Ji (2012) M. Idan and Golan (2007) Shima and Golan (2007) Shima and Golan (2006) Shima and Golan (2005) Coeficientes constantes IGA LQR Coeficientes constantes IGA Small-gain Coeficientes constantes IGA SMC Transferencia lineal Two-Loop LQD Transferencia lineal Two-Loop LQD Transferencia lineal Two-Loop LQD Estos autores del Israel Institute of Technology han conseguido soluciones al problema de la interceptación final, lı́nearizada alrededor del curso de colisión, empleando un regulador lineal cuadratico diferencial LQG con y sin limitaciones en los ángulos de control del misil. El bloque de guiado imparte los comandos directamente a los canales de control delantero y trasero, cada uno de los cuales se representan por funciones de transferencia lineales, asumiendo que los ángulos de actitud del misil son pequeños, la velocidad es constante y no existe acoplamiento entre las acciones del canard y de la cola. Con estas hipótesis, los autores sugieren que debe darse preponderancia al control canard, ya que incrementando el esfuerzo de control en la cola tiene un efecto negativo al aumentar el efecto de fase no mı́nima. Estos resultados son consistentes con el estudio anteriormente citado de Gutman, acerca de la superioridad del misil con control canard bajo hipótesis similares. 17 1.4. REVISIÓN DE LA LITERATURA 1.4.3. Integración del Autopiloto y Guiado La integración de guiado y del auto piloto es una de las áreas de investigación más activas a dı́a de hoy en el área de misiles. En esta aproximación de guiado y auto piloto integrados (IGA), las instrucciones de control se generan directamente a los servos, calculadas a partir de los estados de guiado y control de vuelo de modo conjunto, sin un lazo separado de auto pilotado. En artı́culos cientı́ficos sobre el esquema IGA para misil con control doble aerodinámico, ver tabla 1.3 se han empleado control con resbalamiento M. Idan and Golan (2007), el teorema de pequeñas ganancias Yan and Ji (2012) y reguladores lineales cuadraticos Levy et al. (2015). Todos estos autores consideraron un misil de dinámica lineal operando en modo de desviación. Levy Levy et al. (2015) recientemente ha concluido que, asumiendo dinámica linearizada de la trayectoria del misil en torno al curso de colisión, la aproximación integrada y la de dos lazos dan resultados equivalentes, sin ninguna ventaja para la solución integrada. Como se ha visto, al resolver el problema integrado es tı́pico recurrir a linealizar el problema alrededor del curso de colisión (Levy et al., 2013; Park et al., 2011; Zhurbal and Idan, 2011a) o plantearlo en ejes cuerpo (Balakrishnan et al., 2013; Dancer et al., 2008; Xin et al., 2006; Menon and Ohlmeyer, 2001). Esto se hace porque, debido a que la aproximación integrada combina los estados de guiado y del misil, que tienen diferentes escalas, con cualquiera de estas dos aproximaciones mencionadas reduce la magnitud de los estados de guiado al omitir la distancia entre el misil y el blanco a lo largo de la lı́nea de mira, o a lo largo del eje de simetrı́a del misil respectivamente. El control proporcional tiende a compensar por errores en proporción a su magnitud. Si los errores de guiado dominan sobre los estados del misil, los comandos de control resultar en una aceleración del misil muy alta y causan la saturación de los controles, con la pérdida de control del misil. Este es un factor que se eliminará en la tesis. Como alternativa a las distancias al blanco, es conveniente hacer notar que otros autores que han integrado guiado y auto piloto-aunque no para misil con control doblehan empleado la velocidad angular de la lı́nea de mira (Vaddi et al., 2009; Menon et al., 2002b), los errores de apuntamiento a un punto previsto de impacto (Harl et al., 2010) o el ángulo entre la lı́nea de mira y la velocidad del misil (Yamasaki et al., 2012), ya que las escalas de cualquiera de estas magnitudes es comparable a la escala de los estados del misil. Las estrategias de guiado que resultan en estos escenarios son similares a seguir una ley de navegación proporcional en los dos primeros y una ley de persecución pura en el último. Sin embargo es bien conocido que una ley de navegación proporcional o una ley de desviación pura resultan en demandas de aceleración al misil superiores que las que se obtienen con una ley de guiado óptimo (Zarchan, 2012). En esta tesis además se empleará el desarrollo matemático en ejes inerciales, ya que la formulación en ejes cuerpo tiene varios inconvenientes: la eliminación de la distancia 18 1.5. ESQUEMA DE LA TESIS a lo largo del eje de simetrı́a puede resultar en que el misil se deslice alrededor del blanco sin conseguir el impacto (Balakrishnan et al., 2013) y es muy sensible a la selección de los factores de ponderación (Xin et al., 2006), ası́ como un comportamiento oscilatorio del misil debido al bajo amortiguamiento de la célula en cabeceo. 1.5. Esquema de la Tesis Las conclusiones sobre la efectividad del concepto de misil DAC frente a arquitecturas más tradicionales en servicio actualmente sólo puede establecerse una vez que todos los aspectos relevantes del problema se han investigado. El cuerpo de la tesis refleja los principales resultados obtenidos, mientras que resultados secundarios se han trasladado a los apéndices para facilitar la exposición. La estructura de capı́tulos es como sigue: Capı́tulo 2, se centra en el estudio del aerodinámica del misil con control doble y en el desarrollo de un modelo aerodinámico analı́tico completo. Se presentan los diagramas de maniobra para este tipo de control. Capı́tulo 3, está dedicado al guiado y control empleando una aproximación clásica en doble bucle, donde el auto piloto y el guiado son independientes. El auto piloto aquı́ se ha desarrollado de modo que tenga en consideración las caracterı́sticas no lineales del control doble, y se desarrolla una solución completa tridimensional desarrollando la teorı́a matemática del control óptimo. En combinación con la ley de guiado óptimo, el esquema de doble bucle se compara favorablemente con las actuaciones de misiles con control clásico en cola o canard, obteniéndose menores distancias de paso y requiriéndose menos maniobra en el misil. Se obtienen los dominios de tiro desde distintas posiciones de lanzamiento. Capı́tulo 4 esta dedicado al desarrollo y a la solución de la lógica integrada IGA para el misil de doble mando aerodinámico DAC. Este es el principal capı́tulo de la tesis e incorpora resultados obtenidos en los capı́tulos anteriores. Para resolver el problema matemático que resulta, se ha desarrollado dentro de la teorı́a de control óptimo, una nueva solución empleando la ecuación de Lyapunov. Se evalúa los resultados de este tipo de control frente a la aproximación desacoplada del capı́tulo anterior, con resultados muy positivos, superiores para el control integrado. Se incorporan además en este capı́tulo efectos reales como ruidos en el radar, efectos de radomo y el efecto de considerar datos del radar en forma digital. Finalmente se demuestra que este misil IGA-DAC puede, realizar manteniendo siempre el control aerodinámico, una defensa contra un blanco que le ataque por la cola. 19 1.5. ESQUEMA DE LA TESIS Capı́tulo 5, contiene las conclusiones de la Tesis, implicaciones para el diseño del misil y las recomendaciones para futuros trabajo. Apéndice A trata el cálculo diferencial de matrices y su relación con el producto de Kronecker. Apéndice B contiene los resultados principales de la teorı́a de control óptimo que son necesarios para el desarrollo. Apéndice C contiene la geometrı́a y los parámetros de misión del misil base NASA que se emplea para ilustrar los resultados teóricos de la tesis. Apéndice D Contiene los datos aerodinámicos en bruto para el misil de control doble, obtenidos a través de experimentos en túnel de viento de la literatura ası́ como resultados numéricos obtenidos con métodos de aerodinámica computacional (CFD) y métodos semi-experimentales (software US Air Foce DATCOM). Appendix E contiene los coeficientes aerodinámicos para el misil base. Appendix F ecuaciones cinemáticas y dinámicas del movimiento del misil. Appendix G ecuaciones analı́ticas obtenidas para cada componente de las matrices en el espacio de los estados obtenidas en los capı́tulos 3 y 4. Appendix H aquı́ se describe el modelo de ruido para un radar aire-aire activo ası́ como la dinámica del servomecanismo de la cabeza buscadora. Se incluye una sección con la Bibliografı́a al final. 20 Capı́tulo 2 Aerodinámica del Misil con Doble Control y su Maniobrabilidad Este capı́tulo propone un modelo aerodinámico para estudiar los efectos no lineales asociados con altos ángulos de ataque y acoplamiento entre controles que se dan en nuestro misil. La sección 2.1 define la geometrı́a y las caracterı́sticas operativas del misil, introduce la nomenclatura especı́fica para el control doble y estudia los fenómenos aerodinámicos que tienen que ser incluidos en el modelo analı́tico con la ayuda de la teorı́a de cuerpos esbeltos. La sección 2.2 desarrollar y presentar el modelo aerodinámico analı́tico para todos los coeficientes CN , Cm , CA , Cl , CS and Cn . Los datos aerodinámicos procedentes de experimentos en túnel y cálculos numéricos del aerodinámica se han empleado para validar el modelo. En la sección 2.3 se describe la respuesta en lazo abierto, sin control -para el misil de doble mando aerodinámico y el diagrama de maniobra. Finalmente la sección 2.4 contiene las conclusiones para este capı́tulo. Los resultados aquı́ obtenidos serán empleados en los estudios de guiado y control del capı́tulo siguiente. 2.1. Configuración y fenómenos aerodinámicos Se describe a continuación la configuración del misil seleccionada en este trabajo: El misil de control doble aerodinámico es un misil de corto a medio alcance en misiones aire-aire, con un motor cohete de propulsante sólido, equipado con un radar activo 1 Radomo de tipo ojiva tangente para reducir la resistencia aerodinámica (ver figura 1 Los requisitos de información impuestos por la ley de guiado incluyen distancias y velocidades relativas al blanco, ası́ como una estimación de la maniobra del blanco, que sólo pueden ser obtenidos a través de un radar. Un buscador de infrarrojos sólo mide directamente la velocidad angular de la lı́nea de mira y además instala un irdome semiesférico con una alta resistencia aerodinámica. 21 2.1. CONFIGURACIÓN Y FENÓMENOS AERODINÁMICOS 2.1), seguido por un cuerpo cilı́ndrico de alta relación de aspecto y dos sets de aletas cruciformes colocados en la sección delantera (canard) y trasera (cola). Todas las aletas son de pequeña envergadura y bajo alargamiento, con una relación entre la semienvergadura y el radio del misil próxima a, o menor que uno. Esto último se debe a los requisitos más restrictivos que se imponen en los misiles modernos con respecto al tamaño de las aletas para el transporte en el avión lanzador. Toda la aleta de control se mueve alrededor de un eje de charnela perpendicular al cuerpo del misil. Se asume que todas las aletas tienen la misma forma en planta. Finalmente se asume que el misil es un cuerpo rı́gido con tetra-simetrı́a, tanto en geometrı́a como propiedades másicas. Con respecto a la operación del misil: Se considera sólo la fase de vuelo supersónico, de acuerdo con la misión de ataque terminal aire-aire definida en el apéndice C.2, o con la misión de defensa contra ataque en cola definida en 4.5. El misil emplea control cartesiano (skid-to-turn) y estará estabilizado en balanceo en cruz +. Esta configuración es inestable en balanceo, y por tanto requiere que el auto piloto compense por cualquier perturbación en balanceo para mantener esta orientación. Aunque la configuración en ”x”puede resultar en una mayor capacidad de maniobra, se selecciona la configuración en cruz ya que reduce el número de torbellinos que se desprenden de las aletas delanteras y que interaccionan con las superficies en cola, lo que se traduce en una mayor controlabiliad del misil DAC. El control en balanceo se consigue mediante deflexiones diferenciales de los controles en la cola. En este misil sólo seis servomecanismos son necesarios, ya que la superficies 1c y 3c, ası́ como las 2c y 4c, están ligadas mecánicamente (ver figura 2.1). Cada una de las aletas de cola 1t, 2t, 3t, 4t, está accionada por su propio servomecanismo. 2.1.1. Definiciones Los ejes cuerpo (B) M X B Y B Z B (ver figura 2.1) están centrados en el centro de gravedad del misil, y alineados con las superficies de control y los ejes principales de inercia del misil. El eje M X B apunta hacia la ojiva del misil, el eje M Y B hacia la 22 2.1. CONFIGURACIÓN Y FENÓMENOS AERODINÁMICOS Figura 2.1: Ejes y definiciones derecha visto desde atrás y el eje M Z B havia las aletas inferiores. El plano M X B Y B es el plano de guiñada y el plano M X B Z B es el plano de cabeceo. La velocidad del misil con respecto a una referencia inercial LX L Y L Z L , expresada en ejes cuerpo es: h iT B VM = u v w (2.1) h iT B ωM = p q r (2.2) y su velocidad angular: Las velocidades angulares del misil en ejes cuerpo, cabeceo q, balanceo p y guiñada r, siguen la regla de la mano derecha, ver Figura 2.1. Los ejes viento se definen de modo que OX W está alineado con la velocidad del misil: h iT W VM = VM 0 0 (2.3) √ con VM = u2 + v 2 + w2 . Los ángulos de ataque y de guiñada se definen como: α = t−1 23 w u (2.4) 2.1. CONFIGURACIÓN Y FENÓMENOS AERODINÁMICOS β=s −1 v VM (2.5) El ángulo de guiñada es positivo cuando la velocidad aerodinámica esta en el lado derecho del plano de simetrı́a. Nótese que con esta definición de guiñada no se mantiene la simetrı́a de los ángulos de incidencia con respecto a los dos planos de control del misil, pero se acepta ya que se restringe el análisis a valores moderados de β. El ángulo de ataque total y el ángulo de balanceo aerodinámico se definen como: αT = c −1 −1 φa = t u VM v w = c−1 (cαcβ) −1 =t tβ sα (2.6) (2.7) donde los coeficientes aerodinámicos son funciones periódicas de φa . Con respecto al criterio de signos para los ángulos del control, mirando desde la trasera del misil, un ángulo positivo para las superficies verticales mueve el borde de ataque a la derecha, y para las superficies horizontales mueve el borde de ataque hacia arriba. Nótese que para aeronaves se suele adoptar un criterio distinto (Klein and Morelli, 2010). Un balanceo positivo es en el sentido de las agujas del reloj visto desde la trasera del misil. Debido a que en misiles el centro de gravedad se desplaza con la combustión del motor, se definen los coeficientes de momento aerodinámico alrededor de un punto fijo, conocido como centro de referencia de momentos, o moment reference center (mrc): L Cl M = q∞ Sref d Cm Cn N (2.8) Las fuerzas y momentos aerodinámicos en el centro de gravedad del misil se calculan a través de: FA CA (2.9) FS = q∞ Sref CS FN CN Cl Lcm Mcm = q∞ Sref d Cm + s̄(t) · CN Ncm Cn − s̄(t) · CS (2.10) s̄(t) = d¯cm (t) − d¯mrc (2.11) con: donde d¯ es una distancia adimensional medida en calibres d. Nótese que en la ecuación 24 2.1. CONFIGURACIÓN Y FENÓMENOS AERODINÁMICOS 2.10 cuando s̄(t) 6= 0 existe acoplamiento entre las fuerzas y momentos aerodinámicos.. Cuadro 2.1: Variables de movimiento Balanceo X B p u FA Lcm IxB δp φ T Ejes Cuerpo Velocidad angular Velocidad Fuerzas aerodinámicas Momentos aerodinámicos Momentos de Inercia Deflexiones del Control Ángulos de Euler Empuje del Misil Cabeceo Y B q v FS Mcm IyB δq θ Guiñada Z B r w FN Ncm IzB δr ψ Se verifica que β > 0 ⇒ FS > 0 (2.12a) α > 0 ⇒ FN > 0 (2.12b) ángulo de control en cabeceo: δqc = 1 (δ1c + δ3c ) 2 (2.13) δqt = 1 (δ1t + δ3t ) 2 (2.14) δqc > 0 ⇒ (FN > 0, M > 0) (2.15a) δqt > 0 ⇒ (FN > 0, M < 0) (2.15b) ángulo de control en guiñada: δrc = 1 (δ2c + δ4c ) 2 (2.16) δrt = 1 (δ2t + δ4t ) 2 (2.17) δrc > 0 ⇒ (FS < 0, N > 0) (2.18a) δrt > 0 ⇒ (FS < 0, N < 0) (2.18b) 25 2.1. ACOPLAMIENTO AERODINÁMICO CANARD-COLA ángulo de control en balanceo: δp = 2.1.2. δ1c δ2c δ3c δ4c δ1t δ2t δ3t δ4t 1 (δ3t + δ4t − δ1t − δ2t ) 4 (2.19) δp > 0 ⇒ L > 0 (2.20) 1 0 1 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 · 0 −1 1 0 0 −1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 δqc δrc δp δqt δrt (2.21) Acoplamiento Aerodinámico Canard-Cola La fuerza normal de la configuración completa se define como: CN = CNB + CNBc + CNcB + CNBt + CNtB (2.22) + CNβ + CNβ + ∆CNt−vc + ∆CNt−vB + ∆CNc−vB La complejidad adicional en nuestro misil viene dada por la interferencia que resulta cuando los vórtices desprendidos por el canard cambian las caracterı́sticas de control de la cola. Este efecto en la ecuación 2.22 está incluido en el término ∆CNt−vc . Las investigaciones de los autores (Spahr and Dickey, 1953; Wood et al., 2003) describen las caracterı́sticas esperadas en la estela del canard. Para el misil con control doble con ángulo nulo de balanceo y sin guiñada, las superficies delanteras superior e inferior no producen ningún torbellino porque no tienen ángulo de incidencia con respecto al flujo incidente. Las superficies delanteras horizontales desprenden un torbellino al aumentar el ángulo de incidencia. Experimentos numéricos llevados a cabo en esta tesis, demuestran que para las aletas de pequeño alargamiento, éste torbellino está completamente desarrollado antes de llegar a la cola (ver figura 2.2). Esta situación se puede aproximar por un modelo teórico representado en la figura 2.3. Con la aplicación de la teorı́a de torbellinos bidimensional y la teorı́a de cuerpos esbeltos (Rogers, 1954; Pitts et al., 1957), se obtiene que: 26 2.1. ACOPLAMIENTO AERODINÁMICO CANARD-COLA Figura 2.2: Contornos de presión total. Para el misil a 2,5 Mach y ángulos de ataque de α = 5 deg (superior) y α = 30 deg (inferior). El canard del misil está deflectado δcq = 20 grados. Γc = 2VM ccN Sref πbe (2.23) Se ha definido: cN = cNi (i) · i n X = c2k+1 i2k+1 (2.24) k=0 como la sustentación del control aislado, que es una función de su incidencia local i. 27 2.1. ACOPLAMIENTO AERODINÁMICO CANARD-COLA Tra y or ect ia V ic ort e Γc −Γc hφ=0 δrt α δqc Xb d be 2 VM δqt fc Zb Yb Zb Figura 2.3: Modelo de interferencia entre controles La pendiente de esta curva es cNi (i) = Pn 2k k=0 c2k+1 i . 2,4 2,2 Ajuste polinomico, ec.( 2.24) Missile Datcom 2 1,8 1,6 cN 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Angulo de incidencia, i, deg 20 22 24 Figura 2.4: Sustentación del control aislado, 2.5 Mach. Calculado con el programa Missile DATCOM de la US Air Force (Auman et al., 2011). Definiendo el centro de vorticidad como (Moore, 2000) fc : d π be + 2 42 La pérdida de sustentación en la cola puede expresarse como: fc = ∆Nt−vc = q∞ Sref ∆CNt−vc 28 (2.25) (2.26) 2.1. ACOPLAMIENTO AERODINÁMICO CANARD-COLA donde: ∆CNt−vc = Kt−vc Γc t πiq VM be ctN (2.27) y Kt−vc < 0 está representado en la figura 2.5 para distintos ángulos de canard y de ataque. De aquı́: ∆CNt−vc (α, δqc , δqt ) Kt−vc = 2π 2 d ccNi ctNi icq be (2.28) donde ccNi y ctNi están calculadas a icq y itq respectivamente. 0 δqc δqc δqc δqc δqc −0,2 −0,4 = −5 =0 =5 = 10 = 20 Kt−vc −0,6 −0,8 −1 −1,2 −1,4 −4 −2 0 2 4 6 8 10 12 14 Ángulo de ataque, deg Figura 2.5: Coeficiente de interferencia Kt−vc . De la ecuación 2.28 se desprende que ∆CNt−vc es una función no lineal que depende del ángulo de ataque α del ángulo del canard δqc , y tiene una dependencia de segundo orden del ángulo de control de cola δqt a través del término ctNi , véase ecuación 2.24. Ası́ este término en su desarrollo contiene términos del tipo δqc δqt . La figura 2.6 representa la ecuación 2.28, donde se hacen las siguientes observaciones. El efecto significativo se da en la zona de bajos ángulos de ataque y se disipa rápidamente a medida que los vórtice del canard se alejan de la cola a mayores ángu29 2.1. ACOPLAMIENTO AERODINÁMICO CANARD-COLA los de ataque. El efecto del ángulo de control en la cola es de importancia secundaria comparado con el ángulo de control del canard y el ángulo de ataque, aunque aumenta con el primero. De aquı́ se obtiene que: ∆CNt t−vc (α, 0, δqt ) Kt = t−vc 2π ∆CNc t−vc (α, δqc , 0) 2.1.3. 2 d cNi (KcB α) ctNi KcB α be (2.29) 2 d ccNi cNi (KtB α) icq be (2.30) Kt−vc = 2π Incidencia de los Controles y Saturación Supersónica Puede definirse un ángulo de estela medio en la sección de cola como: εq (α, δqc ) = ∂εq ∂εq · α + c · δqc ∂α ∂δq (2.31) siendo ∆CNt−vc (α, 0, 0) ∂εq = ∂α α · cNi (KcB α) (2.32) ∆CNt−vc (0, δqc , 0) ∂εq = ∂δqc δqc cNi kcB δqc (2.33) Los ángulos de incidencia se definen como: icq = KcB · α + kcB · δqc itq ∂εq ∂εq c t = KcB · α · 1 + + ktB · δq + c · δq + δp ∂α ∂δq icr = KcB · β − kcB · δrc itr ∂εr ∂εr c t = KcB · β · 1 + − ktB · δr + c · δr − δp ∂β ∂δr (2.34) (2.35) (2.36) (2.37) donde de la simetrı́a del misil se desprende que: ∂εr ∂εq = ∂β ∂α (2.38) ∂εr ∂εq = c c ∂δr ∂δq (2.39) 30 2.1. ACOPLAMIENTO AERODINÁMICO CANARD-COLA 0,1 5 · 10−2 ∆CNt−vc δqc = 0 0 −5 · 10−2 −0,1 −0,15 δqc = 10 ∆CNt−vc −0,2 −0,25 −0,3 −0,35 δqc = 20 −0,4 δqt = −10o δqt = 0o δqt = 10o −0,45 −0,5 −0,55 −0,6 −4 −2 0 2 4 6 8 Angulo de ataque, deg 10 12 14 Figura 2.6: Pérdida de fuerza normal en la cola debido a la interferencia aerodinámica entre canard y cola.El efecto es más significativo a bajos ángulos de ataque cuando los vórtices impactan directamente en la cola. 31 2.2. MODELO AERODINÁMICO Como consecuencia, la incidencia en cada uno de los ocho controles del misil será distinta. La saturación supersónica ocurre cuando el coeficiente de fuerza normal del control cN no sigue aumentando con incrementos en el ángulo de incidencia local. El dominio controlable para nuestro misil se define como el conjunto de ángulos de incidencia 2.34, 2.35, 2.36 y 2.37, que están por debajo del ángulo de saturación supersónica iss . El valor de iss se obtiene de una función experimental del tipo: cN ss = f (AR, M∞ ) (2.40) cN ss = cNi (iss ) · iss (2.41) 2,7 2,65 AR = 2,0 AR = 1,8 AR = 1,6 AR = 1,4 AR = 1,2 2,6 cN ss 2,55 2,5 2,45 2,4 2,35 2,3 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 M∞ Figura 2.7: Saturación supersónica Cuando el control se satura ∂Cm = 0 parai > iss ∂δ 2.2. Modelo Aerodinámico Para un cierto número de Mach M∞ se ha desarrollado un modelo matemático original para la aerodinámica de un misil genérico de control doble, incorporando este modelo el efecto visto de acoplamiento cruzado entre controles. Este modelo se define 32 2.2. MODELO AERODINÁMICO en términos de coeficientes invariantes que pueden ser ajustados mediante métodos de identificación de parámetros. 2.2.1. Fuerza Normal Static Control Fixed Terms CN = CNα α + CNα|α| α|α| + CNα3 α3 + CNβ2 α β 2 α Canard Control Effects + CNδqc + CNαδqc α + CNβ2 δc β 2 δqc q Tail Control Effects + CNδt + CNαδt α + CNβ2 δt β q q q 2 δqt (2.42) Dual Control Interference Effects + CNδc δt + CNαδc δt α δqc δqt q q q q Dynamic Terms d +(CNq q + CNα̇ α̇) 2VM El coeficiente de fuerza normal se presenta en la ecuación 2.42 y contiene términos estáticos y dinámicos. Los términos estáticos se deben al ángulo de ataque, ángulo de guiñada, deflexiones de los controles y acoplamiento cruzado entre los mismos.La respuesta del misil DAC al ángulo de ataque cuando no hay control se aproxima por un modelo de orden tres, CNα α + CNα|α| α|α| + CNα3 α3 . El efecto de β por el término CNβ2 α β 2 α. La respuesta en los controles individuales, canard o cola, es lineal más un término que considera la variación de la efectividad del control con el ángulo de ataque. La efectividad del control en cola o canard es distinta con el ángulo de ataque. 33 2.2. MODELO AERODINÁMICO 14 Aero Model (all lines) EXP δqc = 10 δqt = 10 EXP δqc = 0 δqt = 0 CFD δqc = 10 δqt = −10 EXP δqc = 20 δqt = −20 CFD δqc = −10 δqt = −10 13 12 11 10 9 8 7 CN 6 5 4 3 2 1 0 −1 −2 −3 −5 0 5 10 15 Angle of attack, deg 20 25 30 Figura 2.8: Coeficiente de fuerza normal, dos controles. EXP indica datos experimentales de tunel de viento, CFD datos calculados numéricamente, mientra que las lı́neas contı́nuas representan el modelo aerodinámico analı́tico. 34 2.2. MODELO AERODINÁMICO 2.2.2. Fuerza en Guiñada Sin control CS = CSβ β + CSβ|β| β|β| + CSβ3 β 3 + CSα2 β α2 β Control Canard + CSδrc + CSβδrc β + CSα2 δc α2 δrc r Control Cola + CSδt + CSβδt β + CSα2 δt α r r 2 r δrt (2.43) Control Doble + CSδc δt + CSβδc δt β δrc δrt r r r r Amortiguamiento d +(CSr r + CSβ̇ β̇) 2VM 2.2.3. Momento de Cabeceo Sin Control Cm = Cmα α + Cmα|α| α|α| + Cmα3 α3 + Cmβ2 α β 2 α Control Canard + C mδqc (α) + Cmβ2 δc β 2 q δqc Control Cola + Cmδqt (α) + Cmβ2 δt β 2 δqt q Control Doble + Cmδc δt + Cmαδc δt α δqc δqt q q q q Amortiguamiento d +(Cmq q + Cmα̇ α̇) 2VM Donde las efectividades de los controles vienen definidas por: 35 (2.44) 2.2. MODELO AERODINÁMICO Cmδqc (α) = n1 P k Cm k=1 − c αδq e 2 α−αkc δq ∆αkc δq α≥0 2 (2.45) 2 α−αkc |α|−αkc δq δq − − n k 1 P ∆α c ∆αkc δq δq k k − Cmαδc e 2Cmαδqc e q α<0 k=1 Cmδqt (α) = 2.2.4. 0 C m + t αδq n2 P k Cm (α)k αδ t k=1 n2 P 0 2Cmαδqt − k=1 α≥0 q (2.46) k Cm (|α|)k αδ t α<0 q Momento de Guiñada Sin control Cn = Cnβ β + Cnβ|β| β|β| + Cnβ3 β 3 + Cnα2 β α2 β Control Canard + Cnδrc (β) + Cnα2 δc α2 δrc r Control Cola (2.47) + Cnδrt (β) + Cnα2 δt α2 δrt r Control Doble + Cnδc δt + Cnβδc δt β δrc δrt r r r r Amortiguamiento d +(Cnr r + Cnβ̇ β̇) 2VM Cnδrc (β) = n1 P 2Cnk n1 P Ck k=1 |β|−β kc δr ∆β kc δr !2 e − nβδc e Cnδrt (β) = !2 − c βδr k=1 β−β kc δr ∆β kc δr − − Cnkβδc e r β−β kc δr ∆αkc δq 2 β≥0 (2.48) β<0 r n2 P Cnkβδt (β)k 2Cn0βδt − β≥0 0 Cnβδt + β<0 r r r k=1 n2 P k=1 36 Cnkβδt (|β|)k r (2.49) 2.2. MODELO AERODINÁMICO 11 10 9 8 7 6 5 4 Cm 3 2 1 0 −1 −2 Aero Model (all lines) EXP δqc = 0 δqt = −20 CFD δqc = 20 δqt = 0 EXP δqc = 20 δqt = 0 CFD δqc = 0 δqt = −10 CFD δqc = 10 δqt = 0 EXP δqc = 0 δqt = 0 Missile Datcom δqc = 0 δqt = 0 −3 −4 −5 −6 −7 −5 0 5 10 15 20 Angle of attack, α (deg) Figura 2.9: Momento de cabeceo, un control. 37 25 30 2.2. MODELO AERODINÁMICO 20 18 16 14 12 10 8 Cm 6 4 2 0 −2 −4 Aero Model (all lines) EXP δqc = 20 δqt = −20 CFD δqc = 10 δqt = −10 CFD δqc = 10 δqt = −10 EXP δqc = 0 δqt = 0 EXP δqc = 10 δqt = 10 −6 −8 −10 −5 0 5 10 15 Angle of attack, deg 20 Figura 2.10: Momento de cabeceo, dos controles 38 25 30 2.2. MODELO AERODINÁMICO 2.2.5. Momento de Balanceo Balanceo Inducido Cl = Cli (α, β) + Clαδrc (α)δrc + Clβδqc (β)δqc Control de Balanceo (2.50) +Clδp (α, β)δp Amortiguamiento d +Clp g6 (α, β)p 2VM Cada uno de los distintos términos se detalla en los siguientes párrafos. Momento de Balanceo Inducido Se distinguen dos casos, balanceo inducido debido a una combinación de α y β, Cli , y debido a deflexiones del control. En el primer caso: Cli (α, β) = s (4φa ) Cli01 β 2 + Cli21 α2 + Cli41 α4 + Cli61 α6 +s (8φa ) Cli02 β 2 + Cli22 α2 + Cli42 α4 + Cli62 α6 (2.51) Debido a la simetrı́a, este momento inducido es nulo cuando: β = t−1 (s(α)) (2.52) El balanceo inducido asociado con una deflexión del control se define con una serie truncada de Fourier (ver Figura 2.12): Clαδrc (α) = n4 X k k Clkαδc s(ωαδ c α + φαδ c ) r r (2.53a) k k Clkβδc s(ωβδ c β + φβδ c ) q q (2.53b) r k=1 Clβδqc (β) = n5 X q k=1 39 2.2. MODELO AERODINÁMICO 0,14 0,12 0,1 8 · 10−2 6 · 10−2 4 · 10−2 Cli (α, β) 2 · 10−2 0 −2 · 10−2 −4 · 10−2 −6 · 10−2 −8 · 10−2 aero model β = 5 deg CFD, β = 5 deg aero model β = 10 deg CFD, β = 10 deg aero model β = 15 deg CFD, β = 15 deg −0,1 −0,12 −0,14 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 Angle of attack, deg Figura 2.11: Balanceo inducido Momento de Control en Balanceo Clδp (αT ) = n6 X αT −αk Tδ Clkα k=1 40 T δp e ∆αk T δp !2 p (2.54) 2.2. MODELO AERODINÁMICO 0 −5 · 10−2 −0,1 −0,15 Clαδrc (α) −0,2 −0,25 −0,3 Aero Model δrc = 5 δrc = 10 −0,35 −0,4 −0,45 −0,5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Ángulo de ataque, α (deg) Figura 2.12: Balanceo inducido debido a α y δrc . 0,134 0,132 Aero Model CFD data 0,13 Clδp (αT ) 0,128 0,126 0,124 0,122 0,12 0,118 0 5 10 15 20 25 30 Ángulo de ataque total, αT (deg) Figura 2.13: Momento de Control en Balanceo. 41 35 40 2.2. MODELO AERODINÁMICO 2.2.6. Fuerza Axial Figura 2.14: Contornos a Mach constante. α = 15, δqc = 10 , δqt = −10. La figura ilustra la complejidad de la interacción axial. El modelo para la fuerza axial, ecuación 2.55, contiene numerosos factores de interferencia, debido a la fı́sica tan compleja que aparece con el doble mando en esta dirección. Cuando no actúa ningún control la respuesta en fuerza axial se representa por un modelo de tercer orden en ángulo de ataque. En este modelo la respuesta axial con la guiñada es lineal debido a las restricciones en guiñada que se mencionaron al discutir las hipótesis del modelo. Nótese que la fuerza axial es lineal con el ángulo de ataque en el caso del canard, pero cuadrática en ángulo de ataque con la deflexión de la cola, para considerar el hecho de que la cola opera dentro de la estela del fuselaje y el canard. Cuando ambos controles están deflectados, la ecuación introduce términos de mayor orden, para considerar la mayor complejidad de la interacción en dirección axial. 42 2.2. MODELO AERODINÁMICO Sin control CA = CA0 + CAα |α| + CAβ |β| + CAα2 α2 + CAα3 |α|3 Resistencia de base +∆CAb Control canard cabeceo + CAδqc sgn δqc + CAαδqc α + CAβδqc β δqc Control canard guiñada + CAδrc sgn δrc + CAαδrc α + CAβδrc β δrc Control balanceo (2.55) +CAδp |δp | Control cola cabeceo t 2 + CAδt sgn δq + CAαδt α + CAα2 δt α + CAβδt β δqt q q q q Control cola guiñada + CAδt sgn δrt + CAαδt α + CAα2 δt α2 + CAβδt β δrt r r r r Control doble en cabeceo + CAδc δt + CAαδc δt α + CAδc 2 δt δqc + CA q q q q q q t 2 δq δc δt q q δqc δqt Control doble en guiñada + CAδc δt + CAβδc δt β + CAδc 2 δt δrc + CA r r r r con: sgn δ = r r |δ| δ δ 6= 0 0 δ=0 t δ δrc δrt t2 r cδ δr r (2.56) La resistencia de base es: −C Ae Ab Sref ∆CAb (t) = 0 donde Ae es el área de salida de la tobera. 43 t ≤ tb t > tb (2.57) 2.2. MODELO AERODINÁMICO 1,8 Aero model EXP δqc = 20 CFD δqc = 10 EXP δqc = 0 CFD δqc = 0 EXP δqc = 0 1,7 1,6 1,5 δqt = 0 δqt = 0 δqt = 0 δqt = −10 δqt = −20 1,4 1,3 1,2 CA 1,1 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 Angle of attack, α deg Figura 2.15: Fuerza Axial, un control. 44 2.2. MODELO AERODINÁMICO Aero Model EXP δqc = 20 EXP δqc = 10 CFD δqc = 10 EXP δqc = 0 1,6 1,5 δqt = −20 δqt = 10 δqt = −10 δqt = 0 1,4 1,3 1,2 CA 1,1 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 Angle of attack, deg Figura 2.16: Fuerza Axial, dos controles. 45 2.3. MANIOBRABILIDAD ESTÁTICA 2.2.7. Variaciones con el número de Mach Se asume que en la fase terminal de la maniobra las variaciones 4M∞ alrededor de M∞ , siendo M∞ > 2,0, son pequeñas, y por tanto se tiene que: ∂CA 4M∞ CA (M∞ + 4M∞ ) = CA (M∞ ) + ∂M∞ M∞ M∞ ∂CN 4M∞ CN (M∞ + 4M∞ ) = CN (M∞ ) + ∂M∞ M∞ M∞ ∂CS 4M∞ CS (M∞ + 4M∞ ) = CS (M∞ ) + ∂M∞ M∞ M∞ ∂Cm 4M∞ Cm (M∞ + 4M∞ ) = Cm (M∞ ) + ∂M∞ M∞ M∞ ∂Cn 4M∞ Cn (M∞ + 4M∞ ) = Cn (M∞ ) + ∂M∞ M∞ M∞ 2.3. (2.58a) (2.58b) (2.58c) (2.58d) (2.58e) Maniobrabilidad Estática 2.3.1. Diagrama de maniobra Esta sección evalúa la maniobra lateral que puede dar el misil con control doble en condiciones de equilibrio, empleando las ecuaciones 2.42 y 2.44. La maniobra se define como: ntrim = q∞ Sref CNtrim mg (2.59) donde CNtrim se define en condiciones de equilibrio: Cm α, δqc , δqt c αtrim ,δq trim t ,δq trim = 0 ===========⇒ CNtrim = CN αtrim , δqc trim , δqt trim (2.60) Se buscan soluciones a la ecuación Cm α, δqc , δqt = 0 que sean compatibles con las limitaciones aerodinámicas del misil, definidas en la tabla 2.2. Los diagramas de maniobra del misil en equilibrio y compatibles con los lı́mites ası́ definidos para αtrim > 0 y φa = 0, se representan el las figuras 2.19 y 2.20, para dos altitudes distintas. Se obtienen los valores de la maniobra estática en condiciones de equilibrio ntrim vs. δqc trim con αtrim y δqt trim como parámetros. Los resultados se dan para Mach constante y cierta posición del centro de gravedad. 46 2.3. MANIOBRABILIDAD ESTÁTICA Cuadro 2.2: Limites para la envolvente de vuelo del misil Parámetro Sı́mbolo Valor Unidades αmax iss δmech nstruc 30 25,2 ±30 40 deg deg deg g Máximo ángulo de ataque Saturación supersónica Lı́mite mecánico del control Lı́mite estructural Los resultados de las figuras 2.19 y 2.20 permiten ilustrar la comparación entre el control canard y el control en cola para un mismo misil, como se vió en la sección 1.1.1. Debido a que la cola produce un incremento de momento de cabeceo mucho mayor, que además es constante en un rango amplio de ángulo de ataque, da lugar a ángulos de ataque de equilibrio mayores. Sin embargo el control en cola produce un incremento negativo de fuerza normal, con lo que el control en cola necesita un ángulo de ataque mayor para producir la misma fuerza normal CN que el misil canard para el mismo ángulo de control. También se aprecia como el control delantero se satura mucho antes, con lo que el misil con control en cola es capaz de generar una maniobra máxima mayor. Cuando se accionan los dos controles, delantero y trasero de modo simultáneo, se observan tres regiones diferenciadas: 1. Desviación positiva , δqc trim > 0 y δqt trim > 0. La maniobra máxima es menor que la del misil canard. 2. Control opuesto,δqc trim > 0 y δqt trim < 0, localizado entre el misil canard δqt = 0 y el cola δqc = 0. 3. Desviación negativa, δqc trim < 0 y δqt trim < 0. Corresponde a la región a la izquierda del misil cola, y limitado por el ángulo mecánico máximo del control. Potencialmente obtiene la maniobra más elevada. Sin embargo es interesante observar las caracterı́sticas de respuesta dinámica para cada uno de estos modos. La figura 2.17 representa la respuesta no lineal en lazo abierto para la misma maniobra final nB trim = 10 g. Obsérvese cómo la respuesta en lazo abierto está muy poco amortiguada y tendrá que ser corregidas por el auto piloto. En el caso de la desviación negativa se observa como la respuesta dinámica comienza con valores de maniobra negativos muy importantes y que su tiempo de estabilización es elevado, lo que previene su utilización práctica. 2.3.2. Eficiencia Aerodinámica La eficiencia aerodinámica del misil es: 47 2.4. CONCLUSIONES Desviación-positiva δqc trim > 0 δqt trim > 0 Modo Opuesto δqc trim > 0 δqt trim < 0 Desviación - Negativa δqc trim < 0 δqt trim < 0 20 Aceleración n (g) 15 10 5 0 −5 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 tiempo, segundos Figura 2.17: Respuesta dinámica en lazo abierto, 12,000 m Ef f = CN cα − CA sα CN sα + CA cα (2.61) Este factor es indicativo de las actuaciones del misil en crucero, ası́ como de el uso eficiente de la propulsión para perseguir al blanco. En general el misil debe mantener una ventaja en velocidad sobre el blanco si se va a conseguir la interceptación. Los resultados para el misil de control doble se representan en la figura 2.18. El empuje requerido para mantener el vuelo sostenido es aproximadamente igual al peso del misil dividido entre su eficiencia aerodinámica (Chin, 1961; Fleeman, 2012). Se requiere menos empuje para un misil DAC, lo que se traduce en menos peso estructural y un factor de maniobra mayor. O de modo alternativo, para el mismo empuje el control doble tendrá más capacidad de aceleración o más alcance para interceptar al blanco. Además una vez que el motor se apaga la eficiencia aerodinámica superior se traduce en un mayor alcance efectivo. 2.4. Conclusiones En este capı́tulo se ha caracterizado de modo teórico la interferencia entre los controles delantero y trasero, y se han definido los ángulos de incidencia para cada uno de 48 2.4. CONCLUSIONES δqt trim =-30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 3 Relación Sustentación/Resistencia, L/D DAC 2,8 Cola 2,6 Canard 2,4 2,2 2 1,8 −30 −25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 25 Angulo Canard, trimado, δqc trim , (deg) Figura 2.18: Eficiencia aerodinámica. los controles. Igualmente se ha desarrollado un modelo analı́tico continuo que captura todos los efectos no lineales e incluye términos estáticos y dinámicos. Este modelo ajusta adecuadamente todos los datos experimentales disponibles ası́ como los datos aerodinámicos numéricos calculados.Como aplicación directa del modelo se ha obtenido la maniobrabilidad estática del misil y su eficiencia en crucero. 49 ntrim (g) 50 α tri 20 = m -20 α tri α tr 15 = m i 10 = m -15 4 6 Figura 2.19: Diagrama de maniobra a 6,000m . 2 -10 Misil Cola 0 −30−28−26−24−22−20−18−16−14−12−10 −8 −6 −4 −2 0 δ cq 5 10 15 20 25 30 35 40 δ tq =-25 αt 10 5 15 8 10 12 14 16 18 20 22 24 =5 rim -5 M an a rd C isi l 45 2.4. CONCLUSIONES ntrim (g) 51 αt α trim =20 rim α trim =25 α trim =15 =10 -25 δ tq =-30 2 4 -15 6 Misil Cola δqc =5 10 is i M 5 lC 15 d ar n a −δqt B nB trim = −nztrim 8 10 12 14 16 18 20 22 24 α trim -5 αtrim VM -10 Figura 2.20: Diagrama de maniobra a 12,000m 0 −30−28−26−24−22−20−18−16−14−12−10 −8 −6 −4 −2 0 δ cq 5 10 15 20 25 30 35 2.4. CONCLUSIONES Capı́tulo 3 Guiado y Control en Doble-Lazo Este capı́tulo trata sobre el guiado y control en dos bucles para el misil de doble mando aerodinámico y el método propuesto de resolución. Asumiendo que existe separación espectral entre el auto piloto y el guiado, ambos bucles son diseñados independientemente en una arquitectura de G&C desacoplada. El bucle de guiado externo puede ser tratado como solución de un problema de control óptimo lineal en horizonte temporal finito. El modelo completo de auto piloto se plantea como una solución no lineal de un problema de control en tiempo infinito, que sigue la demanda de aceleración del guiado. El modelo aerodinámico desarrollado en el capı́tulo anterior se empleará en la formulación del problema en tres dimensiones. 3.1. Guiado Óptimo En el esquema de doble lazo se asume que el misil tiene una respuesta de primer orden en la forma: τg ṅL + nL = nL d (3.1) donde nL d es la maniobra óptima que tiene que calcularse y τg es el retardo de guiado. La cinemática en su formulación en el espacio de los estados y para una maniobra constante del blanco resulta ser: ẋg = Ag xg + Bg ug (3.2) h iT T L T LT LT xg = rTLM VT M nT n (3.3) ug = nL d (3.4) 52 3.1. GUIADO ÓPTIMO Target Dynamics xT , ẋT + xM , ẋM − time-to-go Estimate rTLM , Vc Guidance ẋg = f (xg , nd ) n Missile Translational Dynamic tgo nL T + nd n − VM p, q, r, α, β Autopilot ẋa = f (xa , xsd ) ẋsd Missile Rotational Dynamic xs F inServos ẋs = f (xsd ) Unmodeled dynamics τu Figura 3.1: Esquema del guiado y control en dos bucles. Se señalan los bloques que se tratan en este Capı́tulo. [0] [0] Ag = [0] [0] [0] [0] I3 −I3 [0] [0] 1 [0] − τg I3 [0] 1 [0] Bg = τg [0] I3 I3 [0] [0] [0] tgo = − krTLM k kṙTLM k El ı́ndice de coste a minimizar, con estado final del misil libre, es:: 53 (3.5) (3.6) (3.7) 3.1. GUIADO ÓPTIMO P IC L VM nB XB M VTL ts L ≡ M0 rTLM ωLOS nL T YB ZB YL T T0 ZL XL Figura 3.2: Encuentro aire-aire. Se señalan las posiciones del Misil M , del blanco, T , y el punto previsto de Impacto (PIP). Los puntos M0 y T0 señalan las posiciones iniciales de misil y blanco respectivamente. mı́nJg = nL d 1 L T (tf )Sg rTLM (tf ) + r 2 TM tf Z T L n R nL g d dt d 0 (3.8) s.t. ẋg = Ag xg + Bg ug donde tf se calcula por el valor de la ecuación 3.7 en t = 0, y Sg = cI3 , R = bI3 con b yd c constantes. El problema definido por el sistema de ecuaciones 3.2 y 3.8 tiene solución analı́tica, (Ben-Asher and Yaesh, 1998; Zarchan, 2012; Lin, 1991; Sanz-Aranguez, 2011) que puede representarse por: T nL d = kg ⊗ I 3 · xg (3.9) donde ⊗ representa el producto de Kronecker (ver Apéndice A) y kg es: kg = Λg = Λg h 1 tgo t2go t2go 2 −τg2 e −ξg iT + ξg − 1 6ξg2 e−ξg + ξg − 1 2ξg3 + 3 + 6ξg − 6ξg2 − 12ξg 54 e−ξg − 3e−2ξg + 6b cτg3 (3.10) ξg = tgo τg (3.11) 3.2. DINÁMICA DE CORTO PERIODO 3 2 τg = 2, c = 1, b = 1 τg = 0,1, c = 1, b = 1 τg = 0,5, c = 1, b = 1 Λg 1 0 −1 −2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 tgo Figura 3.3: Constante de navegación óptima Esta ley de guiado genera un vector de demanda de aceleración en ejes inerciales nL d, sin considerar como el misil va a efectuar la maniobra (Palumbo et al., 2010). El misil no tiene control directo sobre su aceleración longitudinal y va a intentar maniobrar produciendo aceleración normal al eje de simetrı́a del misil en el plano M Y B Z B , nB d. La relación entre ambos vectores viene dada por: B L nB d = Cg SBL nd CgB 3.2. (3.12) 0 0 0 = 0 1 0 0 0 1 Dinámica de Corto Periodo El control de vuelo del misil durante la fase terminal es un auto piloto que controla su aceleración. En el desarrollo del modelo de auto piloto, es costumbre considerar sólo la dinámica de corto perı́odo del misil asumiendo que su velocidad es constante. Las ecuaciones de traslación del misil se obtienen al transformar la velocidad de ejes viento a ejes cuerpo: 55 3.2. DINÁMICA DE CORTO PERIODO u =VM cαcβ (3.13a) v =VM sβ (3.13b) w =VM sαcβ (3.13c) Diferenciando la ecuación 3.13 e invirtiendo la matriz resultante se obtiene: −cαc2 β −sβcβ −sαc2 β u̇ V̇M −1 0 −cα v̇ sα VM α̇ = cβ sβcβcα −c2 β sαsβcβ ẇ VM β̇ (3.14) Sustituyendo las ecuaciones F.14: V̇M = −cαcβ FA − T FS − 2g (q1 q3 − q0 q2 ) − sβ − 2g (q2 q3 + q0 q1 ) m(t) m(t) FN 2 2 2 2 − sαcβ − g q0 − q 1 − q2 + q3 (3.15) m(t) FN FA − T 1 2 2 2 2 − 2g (q1 q3 − q0 q2 ) − cα − g q0 − q1 − q 2 + q3 sα α̇ = VM cβ m(t) m(t) + q − tβ (pcα + rsα) (3.16) 1 FA − T FS cαsβ − 2g (q1 q3 − q0 q2 ) − cβ − 2g (q2 q3 + q0 q1 ) β̇ = VM m(t) m(t) 1 FN 2 2 2 2 + sαcβ − g q0 − q1 − q2 + q3 + psα − rcα (3.17) VM m(t) Estas ecuaciones se simplifican con las siguientes hipótesis Se desprecian la variaciones de V̇M y por tanto la ecuación 3.15 no se considera, aunque los coeficientes aerodinámicos se actualizarán con la velocidad real de vuelo en cada punto. En la aproximación integrada del siguiente Capı́tulo no hará falta considerar esta hipótesis. Se desprecia las fuerzas de Coriolis debidas al chorro de gases. Para los estudios preliminares de guiado y control se desprecia los términos gravitatorios. 56 3.3. FORMULACIÓN EN EL ESPACIO DE LOS ESTADOS Con estas simplificaciones e introduciendo las ecuaciones 2.9: q∞ Sref α̇ = mVM β̇ = sα cα CA − CN cβ cβ + q − pcαtβ − rsαtβ − sα q∞ Sref CT cβ mVM q∞ Sref q∞ Sref CT (cαsβCA − cβCS + sαsβCN ) + psα − rcα − cαsβ mVM mVM (3.18) (3.19) donde CT se define como el coeficiente de empuje (ver ecuación G.1). La dinámica rotatoria del misil se obtiene de las ecuaciones F.18 y 2.10: ṗ = (3.20) Iyb − Ixb q∞ Sref d q̇ = pr + (Cm + s̄ · CN ) b Iy Iyb (3.21) Ixb − Iyb q∞ Sref d pq + (Cn − s̄ · CS ) b Iy Iyb (3.22) ṙ = 3.3. q∞ Sref d Cl Ixb Formulación en el Espacio de los Estados A partir de los resultados de la sección anterior, la formulación en el espacio de los estados es: ẋm = Am (xm , Υ) xm + Bm u h R iT xm = xTa xTs ẋTs xTsd p u = ẋsd Aa (Ba + Ma ) [0] [0] [0] I5 1 Am (xm , Υ) = [0] − τu T s − τ1u I5 + Ts [0] [0] [0] T up [0] [0] 57 (3.23) [0] [0] 1 T τu s [0] [0] (3.24) [0] [0] [0] [0] [0] (3.25) 3.3. FORMULACIÓN EN EL ESPACIO DE LOS ESTADOS Bm [0] [0] = [0] I5 [0] (3.26) h i uTp = 0 0 1 0 0 (3.27) h iT xa = α β p q r (3.28) iT h xs = δqc δrc δp δqt δrt (3.29) donde las matrices son función de los vectores xa y xs . La matriz de estados aerodinámicos Aa contiene la aerodinámica no lineal del misil cuando no hay acción de control, mientras que la matriz Ba expresa la variación en efectividad del control aerodinámico con el ángulo de ataque, e incluye el efecto de estela del canard sobre la cola sin deflectar. Finalmente cuando ambos controles delantero y trasero están de fletados, las matrices Maq y Mar tienen en cuenta los efectos de interferencia aerodinámica o acoplamiento cruzado descritos en la sección 2.1.2. Los coeficientes de estas matrices se encuentran en los Apéndices, secciones G.2, G.3 y G.4. El modelo de servo considerado es un sistema de segundo orden de la forma: ẍs = − xsd 1 1 I5 + Ts ẋs + Ts (xsd − xs ) τu τu (3.30) iT h t t c c = δq d δrd δp d δq d δrd (3.31) 1 τc 0 Ts = 0 0 0 0 1 τc 0 0 0 0 0 1 τt 0 0 1 τt 0 0 0 0 0 1 τt 0 0 0 (3.32) El objetivo para el misil es conseguir las aceleraciones demandadas en ejes cuerpo y nB z d , que resultan de la ecuación de guiado 3.12: nB yd nB d h iT B B = ny d nz d 58 (3.33) 3.4. SOLUCIÓN ÓPTIMA DEL AUTOPILOTO 1 q∞ Sref CS m 1 nB q∞ Sref CN z = − m nB y = − (3.34a) (3.34b) que en forma matricial se expresa como: nB = Ha (xa ) xa + La (xa , xs , Υn ) xs (3.35) Los coeficientes de las matrices Ha y La se encuentran en la sección G.5. 3.4. 3.4.1. Solución Óptima del Autopiloto Condiciones de Equilibrio Las condiciones de equilibrio en las que xatrim y xstrim van a generar la aceleración demandada nB se obtienen de las ecuaciones 3.35 y 3.23: nB d = Ha (xatrim ) xatrim + La (xatrim , xstrim ) xstrim (3.36a) [0] = Aa (xatrim ) xatrim + [Ba (xatrim , xstrim ) + Ma (xatrim , xstrim )] xstrim (3.36b) El sistema 3.36 tiene 7 ecuaciones con 10 variables. Para resolverlo de modo unı́voco se definen las condiciones: 1. Se definen los factores de reparto del esfuerzo de control en equilibrio como: δqt trim cˆq = c δq trim cˆr = t δrtrim c δrtrim (3.37) 2. ptrim = 0. Los dos parámetros cˆq y cˆr definen el peso relativo para el uso de los controles delanteros y traseros en estado estacionario. Su signo define la elección del modo de control para el misil DAC, modo desviación o opuesto en estado estacionario, pero no previene utilizar cualquiera de estos modos en la transición para alcanzar las condiciones estacionarias. Estos parámetros pueden seleccionarse para minimizar el esfuerzo de control, definido como 59 3.4. SOLUCIÓN ÓPTIMA DEL AUTOPILOTO s ∆eδ = 1 tf Z tf δqc (t)2 + δrc (t)2 + δp (t)2 + δqt (t)2 + δrc (t)2 dt (3.38) 0 para obtener la aceleración máxima esperada. Véase los Apéndices para un ejemplo de selección de estos parámetros. Nótese que cˆq , cˆr → 0 corresponde a un misil con control cola y cˆq , cˆr → ∞ a un canard. A partir de aquı́ pueden obtenerse las condiciones de equilibrio: 1. Se resuleven con el método de Newton (Kelley, 2003) las ecuaciones: β 0 0 r −Vr 0 = 0 δrc nB 0 yd −1 aa22 aa25 ba22 + ma22 + cˆr (ba25 + ma25 ) , con Vr = aa52 aa55 ba52 + ma52 + cˆr (ba55 + ma55 ) a a ha12 ha15 l12 + cˆr l15 (3.39) 0 0 α q −Vq 0 = 0 nB 0 δqc z d −1 aa11 aa14 ba11 + ma11 + cˆq (ba14 + ma14 ) , con Vq = aa41 aa44 ba41 + ma41 + cˆq (ba44 + ma44 ) a a + cˆq l24 l21 ha21 ha24 (3.40) 2. A partir de aquı́ el control necesario para balanceo nulo es: αtrim βtrim = Vp c δ q trim c δrtrim δp trim , with Vp = − i h 1 a a a a a a b + m + m a a b 33 32 31 (ba33 + ma33 ) 31 32 31 (3.41) Obteniéndose los vectores xatrim and xstrim que generan la aceleración requerida B nB y d y nz d en ejes cuerpo. 3.4.2. Planteamiento del problema Como se vio en el Capı́tulo anterior, el modelo aerodinámico en el que se basa este autopiloto es válido dentro de ciertos lı́mites, ver tabla 3.1 : 60 3.4. SOLUCIÓN ÓPTIMA DEL AUTOPILOTO Ángulos de incidencia icq , icr , itq , itr dados por las ecuaciones 2.34, 2.35, 2.36 y 2.37, han de mantenerse por debajo del valor correspondiente a la saturación supersónica. Al aumentar el ángulo de ataque, el flujo alrededor del fuselaje del misil se torna progresivamente asimétrico, causando el fenómeno no estacionario conocido como phantom yaw (Balakrishnan et al., 2013), fenómeno que puede provocar que el misil no sea controlable en balanceo. El ángulo de ataque debe entonces mantenerse por debajo de un valor máximo αpy . Lı́mite en ángulo de guiñada, β, para minimizar el balanceo inducido. Limitaciones estructurales, nmax , en δmec , δ̇, y en los giróscopos e instrumentos, qmax y rmax . R Estabilidad en balanceo requiere p and p próximos a cero. Todas estas restricciones se combinan en un vector de actuaciones, zm que se empleará en el ı́ndice de coste a optimizar. h R iT B zm = icq itq icr itr p q r α β nB p n z y (3.42) Cuadro 3.1: Lı́mites mecánicos y aerodinámicos del misil Parámetro (sı́mbolo) Valor (unidades) Incidencia para saturación del control, imax (for M∞ = 2,5) Ángulo de ataque máximo, αpy Máximo ángulo de guiñada, βmax Deflexión mecánica del control, δmax Velocidad de giro del control, δ̇max Lı́mite estructural del misil, nmax 25.2 deg 35 deg 15 deg 30 deg 600 deg/s 40 g La relación entre zm y xm viene dada por: zm = Hm (xm , Υn ) xm (3.43) donde los coeficientes de Hm se encuentran en la sección G.6 de los Apéndices. Como resultado el problema de optimización del auto piloto se plantea como un regulador en horizote infinito: Z mı́n J= u=ẋsd ∞ ẑ T Qẑ + uT Ru T 0 s.t. ė=Am (xm ) e − Bm u ẑ=Hm xm − Hmtrim xmtrim 61 (3.44) 3.4. SOLUCIÓN ÓPTIMA DEL AUTOPILOTO con lı́m e = [0] (3.45) e = xmtrim − xm (3.46) t→∞ y 3.4.3. Solución Sub-óptima El Hamiltoniano de 3.44 viene dado por: 1 T z̃ Qz̃ + uT Ru + λT (Am e − Bm u) (3.47) 2 de donde las condiciones necesarias para el óptimo, de la discusión en B.5, son: H= ė = Am e − Bm u ∂ λ T Am e 1 ∂ ẑ T Qẑ − λ̇ = − 2 ∂e ∂e [0] = Ru − Bm λ (3.48a) (3.48b) (3.48c) Para el vector de control y de co-estados: u = R−1 Bm λ (3.49) λ = M (e) e (3.50) el problema resulta en la ecuación matricial T M Am ATm M − M Bm R−1 Bm M + Hm QHm e ∂Am ∂M + (ė ⊗ In ) − (eM ⊗ In )T e T ∂e ∂xm T ∂Hm T − Hm Q (Hm − Hmtrim ) xmtrim − In ⊗ xTm Qẑ = [0] ∂xm (3.51) donde para resolver esta ecuación se desprecian los dos términos finales, que tienden a cero al hacerlo el vector de error e , resultando una solución sub-óptima con la resolución únicamente del primer término: T M Am + ATm M − M Bm R−1 Bm M + Hm QHm = [0] (3.52) que es una ecuación algebraica de Riccati dependiente de los estados (SDRE), con 62 3.5. EJEMPLOS GUIADO-AUTOPILOTO EN DOBLE-LAZO M (xm ) como variable y que hay que resolver para xm en cada punto de la trayectoria del misil . La ley de control resultante es: u = Km (xm ) · e (3.53) T M (xm ) Km (xm ) = R−1 Bm (3.54) Es conveniente introducir en la solución un mecanismo para acelerar la respuesta del autopiloto. Esto puede hacerse a través de un λ-shift, (para un sistema lineal ver (Anderson and Moore, 2007), que modifica los polos del sistema y su estabilidad, sin cambiar su dinámica. El problema se replantea como: Z mı́n J = u=ẋsd ∞ e2λt z̃ T Qz̃ + uT Ru T 0 s.t. ẋm =Am xm + Bm u (3.55) z̃ =Hm xm − Hmtrim xmtrim cuya solución es: T Mλ (Am + λIn ) + (Am + λIn )T Mλ − Mλ Bm R−1 Bm Mλ + Hm QHm = [0] (3.56) T u = eλt R−1 Bm Mλ e 3.5. (3.57) Ejemplos Guiado-Autopiloto en Doble-Lazo En esta sección se investigan numéricamente las actuaciones del guiado y control en dos bucles para un misil de doble mando aerodinámico contra un blanco de alta velocidad y capacidad de maniobra, y se comparan con los resultados obtenidos para el mismo misil con únicamente mando canard o cola. El diagrama de fuerzas en el misil se ilustra en la figura 3.4 y el bucle completo de guiado y control en la figura 3.5. El paso de integración para el guiado es de 0.001 s, y el auto piloto se calcula a una frecuencia 25 veces superior. La altitud del escenario es de 12.000 m, que es más restrictiva en términos de maniobra del misil, ver figura 2.20. El blanco vuela con MT = 1,5, y el Mach inicial del misil es M = 2,5. Otros parámetros de la simulación son: c = 108 b = 1 τg = 0,1 s 63 3.5. EJEMPLOS GUIADO-AUTOPILOTO EN DOBLE-LAZO XB δc FN VM α nB = −nB z θg XL FA δt γM θ nL d Mc.m. , q ZB T Figura 3.4: Diagrama de fuerzas en el misil de doble mando. h i Q = diag 100 100 100 100 1000 1000 1000 1000 1000 1 1 100 Para el misil DAC: h R = diag 1 1 1 1 1 i Para cola: h i R = diag 1010 1010 1 11 1 Para canard: h i 10 10 10 R = diag 1 1 10 10 10 y los parámetros del misil se muestran en la tabla 3.2 ası́ como las limitaciones operativas en la tabla 3.1. En este caso los parámetros másicos del misil varı́an con el tiempo durante la combustión del motor cohete. 3.5.1. Lanzamiento con error de apuntamiento moderado El misil se lanza con un error de apuntamiento HE = 20 con respecto al curso de colisión, tal y como se muestra en la figura 3.6. La distancia inicial entre misil y blanco 64 3.5. EJEMPLOS GUIADO-AUTOPILOTO EN DOBLE-LAZO Movimiento Blanco rT , VT , nT tgo ξg xg Λg kgT ⊗ I3 xg kg nL d SBL B L nB d = Cg SBL nd Vp Vq (cˆq ) Vr (cˆr ) xmtrim xm e = xm − xmtrim Ãm = Am + λIn T Mλ Ãm + ÃTm Mλ − Mλ Bm R−1 Bm Mλ + Hm QHm = [0] T u = eλt R−1 Bm Mλ e ẋm = Am (xm ) xm + Bm u R Figura 3.5: Guiado y Control en doble bucle. 65 3.5. EJEMPLOS GUIADO-AUTOPILOTO EN DOBLE-LAZO Cuadro 3.2: Parámetros: Simulaciones de Guiado y Control Doble Bucle Parámetro (Sı́mbolo) Valor (unid.) Masa misil inicial/fin combustión, (m) Tiempo de combustión motor, (tb ) Posición centro masas (desde ojiva) Momento de Inercia Cabeceo IxB Mach inicial misil M∞ Coeficiente de empuje inicial, CT Retardos de los servos, τc , τt , τu Parámetro reparto control, ĉq 101.3/87.3 Kg 8s 143.6/128.8 cm 34.7/32 Kg m2 2.5 1.2 0.1, s -1.5 rT M (0) es de is 6,000 metros y el ángulo inicial de la lı́nea de mira es σ = 0 grados. El blanco ejecuta una maniobra evasiva con nT = 15 g, con un ángulo inicial γT (0) = 90, siendo: nT VT γ̇T = P IC ZL VM VT HE L nd γM γ γT nT c T σ XL M Figura 3.6: Condiciones de lanzamiento Las trayectorias obtenidas para el misil con doble control, canard y cola, se muestran en la figura 3.7 y en la tabla 3.3 se resumen los principales parámetros de actuaciones, definiéndose los parámetros de calidad como: 1 ∆en = nT tf 2 ∆ek = 2 VM (0) nL dt (3.58) 0 Z 66 tf Z tf VM V̇M dt 0 (3.59) 3.5. EJEMPLOS GUIADO-AUTOPILOTO EN DOBLE-LAZO V̇M = −cα s ∆eδ = 1 tf FA − T m Z tf − sα FN m (3.60) δqc (t)2 + δqt (t)2 dt (3.61) 0 Cuadro 3.3: Doble-Bucle G & C Resultados Simulación Control tf ,(s) DAC Cola Canard 6,8 6,4 7,8 distancia paso,(metros) ∆en ∆eδ , deg ∆ek 0,14 0,28 245 1,00 0,96 1,02 10,27 14,20 21,78 0,50 0,84 0,06 El misil con control en cola y con control doble consiguen distancias finales de paso de 0,28 y 0,14 m respectivamente, mientras que el canard no consigue impactar al blanco. En la figura 3.9 se observa cómo el misil DAC emplea el modo de control opuesto de manera predominante, mientras que desviación positva se emplea para correcciones finales antes del impacto. El canard llega al lı́mite máximo de su control en un intento de maniobrar para alcanzar al blanco, resultando en un incremento brusco de su resistencia aerodinámica y pérdida de velocidad y actitud de vuelo. Nótese que el control doble aerodinámico requiere el menor esfuerzo de control, calculado mediante ∆eδ en la ecuación 3.38, para conseguir la menor distancia de paso final. El tiempo hasta impacto es de 6,4 segundos para el misil con control en cola y 6,8 para misil con control doble. El misil con control en cola tiene la mejor eficiencia en el uso de la propulsión, con un valor de energı́a cinética especı́fica ∆ek ligeramente superior al control doble con guiado y control desacoplados. Esto se explica debido a que el ángulo θg , ver figura 3.4, que forma la aceleración B demandada nL d con la aceleración lateral generada por el misil n , es siempre superior en el caso del misil con control doble, como se ilustra en la figura 3.11. Este ángulo se define como: θg = c−1 knB k knL dk (3.62) y es un indicador de la preservación de las instrucciones de guiado definidas por (Palumbo et al., 2010). A menor valor del ángulo θg el misil ejecuta más fielmente las instrucciones de guiado, o en otras palabras, menos aceleración se desperdicia en una dirección no deseada. Como se verá en el capı́tulo siguiente, el control integrado aumenta en gran medida la preservación de las instrucciones de guiado para el misil con 67 3.6. CONCLUSIONES control doble, reduciendo sus tiempos de vuelo. 3.5.2. Cálculos de dominio de tiro en curso de colisión El dominio de tiro se define como el conjunto de todos los puntos de lanzamiento del misil en curso de colisión hacia el blanco desde donde se alcanza una distancia final de paso menor o igual a 1 m. En este caso HE = 0, nT = 12 g y γT (0) = 90, MT = 1,5. Se han obtenido cinco mapas distintos, donde las zonas grises indican los puntos de lanzamiento del misil que pertenecen a su dominio de tiro. Los mapas 3.12 y 3.13 corresponden respectivamente a un misil con control cola y canard, en ambos casos guiados por navegación proporcional. Es equivalente al resultado que puede esperarse de un misil en servicio a dı́a de hoy actuando contra un blanco tipo UCAV. Se observa que sólo los lanzamientos desde posiciones laterales al blanco consiguen impacto directo. Sustituyendo la navegación proporcional por la ley de guiado óptima se obtienen dominios de tiro mucho más amplios, correspondientes a las figuras 3.12 y 3.13 para cola y canard. En cualquier caso el misil en cola tiene un dominio de tiro más extenso debido a la tendencia adversa del canard a saturarse. En contraste, la combinación de misil con un doble control aerodinámico y ley de guiado óptimo consigue un dominio de tiro completo, como se ve en la figura 3.16 , lográndose la intercepción en toda la región alrededor del blanco. 3.6. Conclusiones En este capı́tulo se ha desarrollado un modelo teórico y práctico para el cálculo de un auto piloto general que incluye la aerodinámica no lineal y las limitaciones mecánicas y aerodinámicas de la operación del misil. El auto piloto es capaz de gestionar un misil con doble control aerodinámico pero también un control simple delantero o trasero. Una vez combinado el auto piloto con la ley de guiado óptima para un misil de control doble se obtiene un dominio de tiro superior a los misiles convencionales. 68 3.6. CONCLUSIONES 1,8 Target DAC Tail Canard Target and Canard End Tail Impact DAC Impact 1,7 1,6 1,5 1,4 1,3 1,2 Crossrange (Km) 1,1 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 Downrange (Km) Figura 3.7: Trayectoria del misil DAC, canard, cola y del blanco. Nótese los distintos puntos de impacto para el misil con control DAC y cola. El misil canard no consigue impactar al blanco, la simulación se interrumpe cuando la velocidad de colisión se vuelve negativa. 69 3.6. CONCLUSIONES 30 nB z , (g) 20 10 0 DAC Tail Canard −10 −20 0 1 2 3 4 Time (sec) 5 6 7 8 6 7 8 Figura 3.8: Acceleración del misil δ (deg) 20 0 DAC δ cq DAC δ tq Tail δ tq Canard δ cq −20 0 1 2 3 4 Time (s) 5 Figura 3.9: Ángulos de los controles 2,5 M∞ 2 1,5 DAC Tail Canard Target 1 0 1 2 3 4 time, (s) 5 Figura 3.10: Mach Misil 70 6 7 8 Guidance preservation angle, θg , deg 3.6. CONCLUSIONES 60 DAC SDRE-Tail 40 20 0 0 1 2 3 4 5 6 7 time (s) Figura 3.11: Ángulo de preservación del guiado θg . 100 80 120 1500 60 140 40 1000 160 20 500 0 -180 0 -500 -160 -20 -1000 -1500 -140 -40 -120 -60 -2500 -2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000 2500 crossrange, meters Figura 3.12: Dominio tiro misil cola con navegación proporcional. La flecha indica la dirección inicial de la velocidad del blanco. El blanco maniobra con nT = 12g, girándose su trayectoria hacia la izquierda en la figura. 71 3.6. CONCLUSIONES 100 3000 60 140 2000 1000 80 120 40 160 20 0 -180 -1000 -160 -2000 -3000 0 -20 -140 -40 -120 -60 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 crossrange, meters Figura 3.13: Dominio tiro misil cola con navegación proporcional 100 3000 60 140 2000 1000 80 120 40 160 20 0 -180 -1000 -2000 -3000 0 -160 -20 -140 -40 -120 -60 -3000 -2000 -1000 0 1000 crossrange, meters 2000 3000 Figura 3.14: Dominio tiro misil cola con guiado óptimo 72 3.6. CONCLUSIONES 100 3000 120 60 140 2000 1000 80 40 160 20 0 -180 -1000 -160 -2000 -3000 0 -20 -140 -40 -120 -60 -3000 -2000 -1000 0 1000 crossrange, meters 2000 3000 Figura 3.15: Dominio tiro misil canard con guiado óptimo 100 3000 60 140 2000 1000 80 120 40 160 20 0 -180 -1000 -2000 -3000 0 -160 -20 -140 -40 -120 -60 -3000 -2000 -1000 0 1000 crossrange, meters 2000 3000 Figura 3.16: Dominio tiro misil control doble con guiado óptimo 73 Capı́tulo 4 Guiado y Control Integrados En este capı́tulo se desarrolla el guiado y auto pilotado del misil en la lógica integrada (IGA), y se aplica al misil con control doble aerodinámico. La lógica integrada es un controlador no lineal que simplifica enormemente la cantidad de cálculos que hay que llevar a cabo en tiempo real frente al algoritmo desarrollado en el capı́tulo 3 y como se demostrará a través de simulaciones, es capaz de conseguir menores distancias de paso con menores requisitos de maniobra para el misil. La figura 4.1 presenta un esquema general de la aproximación integrado, donde la salida del controlador ẋsd guı́a al misil hasta interceptar al blanco a la vez que de modo simultáneo controla la respuesta transitoria del misil estabilizando todos sus estados. Esto resulta en un conjunto de trayectorias para el misil distintas a las obtenidas con la aproximación en dos bucles. Target Dynamics + xM , ẋM xT , ẋT − time-to-go Estimate rT M , Vc Missile Dynamic Integrated ẋI = f (xI , xsd ) tgo nT ẋsd xs F inServos ẋs = f (xsd ) Unmodeled dynamics, τu Figura 4.1: Esquema del auto piloto y guiado integrados. 74 4.1. PLANTEAMIENTO MATEMÁTICO 4.1. Planteamiento matemático En toda la discusión del capı́tulo anterior, el auto piloto se definió en ejes cuerpo mientras que el guiado lo era en ejes inerciales. Esta disfunción causa una pérdida de la información de guiado. El sistema integrado, que resuelve simultáneamente el guiado y el auto piloto, será definido en ejes inerciales. Las variables del problema se ilustran en la figura 4.2. La ligadura entre los estados de guiado y las variables de vuelo del misil viene dada por la ecuación vectorial: VT nT ZL γT zTL T −zrB XB B rTM xB r −nzB = nB L zM α θ VM γM M ZB xLM xLT XL Figura 4.2: Escenario para el Guiado y control Integrado. La aceleración del misil nB es normal al eje de simetrı́a del misil xB . El blanco efectúa una maniobra de módulo nT constante, normal a su velocidad. drM T dt L L ẋr L L = ẏr = VTL − VM żrL (4.1) L es: donde VM L = SLB · SBW VM VM · 0 0 (4.2) La matriz de transformación de ejes cuerpo inerciales SBL se representa con ayuda de los cuaterniones (ver apéndice, ecuación F.4): 75 4.1. IGA MODEL SLB T 2 2(q1 q2 + q0 q3 ) 2(q1 q3−q0 q2 ) q0 + q12−q22 − q32 = 2(q1 q2 − q0 q3 ) q02 − q12 + q22 − q32 2(q2 q3 + q0 q1 ) 2(q1 q3 + q0 q2 ) 2(q2 q3 − q0 q1 ) (q02 − q12 − q22 + q32 ) (4.3) T cαcβ sβ sαcβ = −cαsβ cβ −sαsβ −sα 0 cα (4.4) y SBW es: SBW Sustituyendo las ecuaciones 4.2, 4.3 y 4.4 en4.1 se obtiene: ẋLr = − q02 + q12−q22 − q32 VM cαcβ − 2(q1 q2 + q0 q3 )VM sβ − 2(q1 q3−q0 q2 )VM sαcβ + VTx (4.5) ẏrL = − (q1 q2 − q0 q3 ) VM cαcβ − q02 − q12 + q22 − q32 VM sβ − 2(q2 q3 + q0 q1 )VM sαcβ + VTy (4.6) żrL = −2 (q1 q3 + q0 q2 ) VM cαcβ − 2 (q2 q3 − q0 q1 ) VM sβ − q02 − q12 − q22 + q32 VM sαcβ + VTz (4.7) Combinando esta ecuación con 3.16, 3.17, 3.20, 3.21 , 3.22, F.8 y considerando que: V̇M = −cαcβ FA − T m − sβ FS FN − sαcβ m m (4.8) se llega a un sistema en el espacio de los estados en la forma: ẋI = AI xI + BI uI + EI (4.9) h R iT T L T T B T T T T x I = qM rM x ω x ẋ x p s s sd T VM M (4.10) h iT xV M = VM α β (4.11) 76 4.1. IGA MODEL 1 Θ 2 q [0] [0] [0] AI = [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] Ak [0] Aw11 [0] Aw21 [0] [0] 1 Θ 2 ω [0] Aw12 Aw22 [0] [0] [0] Bw21 + Mw21 Bw21 + Mw21 [0] [0] [0] [0] − τ1u Ts [0] [0] [0] [0] [0] [1, 0, 0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] BI = [0] [0] I 2 [0] [0] [0] [0] [0] I5 − 1 I τu 5 + Ts [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] 1 T τu s [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] (4.12) [0] L VT [0] [0] EI = [0] [0] [0] [0] h qM = q 0 q 1 q 2 q 3 iT 1 1 B q̇M = Θq qM + Θω ωM 2 2 εk (1 − εq ) −Υε p −Υε q −Υε r Υε p εk (1 − εq ) Υε r −Υε q Θq = −Υε r εk (1 − εq ) Υε p Υε q Υε r Υε q −Υε p εk (1 − εq ) − (1 − Υε ) q1 − (1 − Υε ) q2 − (1 − Υε ) q3 (1 − Υε ) q0 − (1 − Υε ) q3 + (1 − Υε ) q2 Θω = (1 − Υ ) q (1 − Υ ) q − (1 − Υ ) q ε 3 ε 0 ε 1 − (1 − Υε ) q2 (1 − Υε ) q1 (1 − Υε ) q0 εq = q02 + q12 + q22 + q32 (4.13) (4.14) (4.15) (4.16) (4.17) (4.18) donde el vector de control es el mismo que el capı́tulo anterior uI = ẋsd . El vector EI contiene la velocidad del blanco, que no es controlable por el sistema y por tanto se trata como una perturbación exterior, dejándose fuera del proceso de optimización. Los coeficientes de las matrices Ak , Aw , Bw and Mw , se encuentran de los apéndices, sección G.7. 77 4.2. RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA IGA-DAC Se define un vector de actuaciones zI para el problema integrado como sigue: h iT T zI = rTT M zm (4.19) o de forma explı́cita: h R iT zI = xLr yrL zrL icq icr itq itr p q r α β nby nbz p (4.20) con zI = HI (xI ) xI , y " I3 [0] HI = [0] Hm # (4.21) El objetivo del sistema integrado es minimizar la distancia de paso final y estabilizar la respuesta transitoria del misil de modo simultáneo, lo que se traduce en el siguiente problema de optimización: 1 1 mı́n JI = xI T (tf )SI xI (tf ) + u=ẋsd 2 2 Z tf zIT QI zI + uTI RuI dt 0 (4.22) s.t. ẋI =AI xI + BI uI zI =HI xI Cuando la separación entre el misil y el blanco es lo suficientemente grande, el problema anterior puede ser aproximado por un problema de Lagrange en tiempo infinito: 1 mı́n JI = uI =ẋsd 2 Z ∞ zIT QI zI + uTI RuI dt 0 s.t. ẋI =AI xI + BI uI (4.23) zI =HI xI 4.2. Resolución del problema IGA-DAC De modo análogo a la solución obtenida para el autopiloto en el capı́tulo anterior, la solución del problema en horizonte temporal infinito (4.23) es uoI : uoI = −R−1 BIT Mo (xI , t)xI siendo Mo la solución de: 78 (4.24) 4.2. SOLUTION VIA LYAPUNOV EQUATION Mo AI + MoT AI + HIT QI HI − Mo BI R−1 BIT Mo = 0 4.2.1. (4.25) Ecuación diferencial y condiciones de contorno El planteamiento de la ecuación B.10 de Hamilton-Jacobi-Bellman para el problema 4.22 resulta en ∗ T ∂J (xI , t) 1 ∂J ∗ (xI , t) = AI xI + xTI HIT QI HI xI − ∂t ∂xI 2 ∗ T ∂J ∗ (xI , t) 1 ∂J (xI , t) BI R−1 BIT (4.26) − 2 ∂xI ∂xI donde J ∗ (xI , t) es el ı́ndice de coste óptimo. Las condiciones finales y la ley de control son: 1 J ∗ (xI , tf ) = xTI (tf )SI xI (tf ) 2 u∗ = −R−1 BIT ∂J ∗ (xI , t) ∂xI (4.27) (4.28) Operando y despreciando los términos que convergen a cero, se llega una ecuación diferencial de Riccati dependiente de los estados del problema (SDDRE): − DM = M AI + M T AI + HIT QI HI − M BI R−1 BIT M Dt (4.29) siendo la derivada matricial total igual a: ∂ D = + Dt ∂t ∂ ∂xI T (x˙I ⊗ In ) (4.30) con condiciones terminales: M (xI , tf ) = SI (4.31) y, dado que se han despreciado términos, el vector de control no será óptimo sino sub-óptimo, de la forma: uI = −R−1 BIT M (xI , t)xI 79 (4.32) 4.2. SOLUTION VIA LYAPUNOV EQUATION 4.2.2. Resolución mediante la ecuación de Lyapunov Para resolver la ecuación 4.29 con condiciones terminales 4.31 en el instante final, tf , necesitarı́amos conocer los valores futuros de las matrices, que a su vez dependen del vector de estado xI , para poder integrar hacia atrás desde tf . Esto es posible sólo si el sistema fuese lineal y las matrices fueran constantes, pero no en nuestro problema no lineal. En su lugar se asume que la matriz M puede descomponerse en la suma de una matriz de transición invertible Ψ y una matriz de estado estacionario Mo : M (xI , t) = Ψ−1 (xI , t) + Mo (xI ) (4.33) donde en cada paso de integración Mo (xI ) es la solución de la ecuación de Riccati que resuleve el problema 4.25 : Mo AI + MoT AI + HIT QI HI − Mo BI R−1 BIT Mo = 0 (4.34) Sustrayendo 4.29 de 4.34, se obtiene una ecuación diferencial de Lyapunov: DΨ = A0 Ψ + ΨAT0 − BI R−1 BIT Dt (4.35) A0 (xI ) = AI (xI ) − BI R−1 BIT Mo (4.36) Ψ (xI , tf ) = (SI − Mo (xI ))−1 (4.37) La solución de la ecuación 4.35 mediante el procedimiento descrito en (Gajic and Qureshi, 2008) es: Ψ (xI , t) = eA0 (t−tf ) (Ψ (xI , tf ) − D) eA0 (t−tf ) + D T (4.38) donde D es la solución de la ecuación algebraica de Lyapunov (ALE): A0 D + DAT0 − BI R−1 BIT = 0 4.2.3. (4.39) Controlador de pre-alimentación Para prevenir los errores de escalado, se recurre a un controlador de prealimentación, que calcula un punto de equilibrio cercano en cada instante, xId . Este estado intermedio contiene el ángulo de ataque, el ángulo de guiñada, y las velocidades angulares de cabeceo, guiñada y balanceo que generarı́an las aceleraciones demandadas por la ley 80 4.2. SOLUTION VIA LYAPUNOV EQUATION de guiado óptima xmtrim en cada punto de la trayectoria del misil. Este vector de trimado xI d para el problema integrado se define como: qM L L rM T + VM T · M t = VM xmtrim xI d (4.40) Con la introducción de este vector, el problema integrado se transforma en un regulador a tiempo finito tf que trata de eliminar el error ėI entre el vector de estado en cada instante xI y el vector xI d , en la forma: 1 1 mı́n JI = eI T (tf )SI eI (tf ) + u=ẋsd 2 2 Z tf ẑIT QI ẑI + uTI RuI dt 0 s.t. ėI =AI xI − BI uI (4.41) eI =xI d − xI ẑI =HI xI − HI xI d con el objetivo de llevar el vector de error del problema integrado eI a cero en t = tf . La introducción de este pre-alimentador fuerza al sistema integrado a buscar condiciones de equilibrio local es a lo largo de toda su trayectoria. Esta manipulación de la dinámica del sistema integrado preserva la separación de escalas temporales entre el guiado y el auto piloto, y al mismo tiempo retiene la filosofı́a de la aproximación integrada. La ley de control sub-óptima resultante es: uI = R−1 BIT M eI (4.42) La siguiente sección resume el procedimiento de cálculo de la matriz M con los desarrollos de las secciones 4.2.1, 4.2.2 y 4.2.3 4.2.4. Procedimiento Práctico de Resolución El procedimiento se ilustra en la figura 4.3. Los pasos a seguir son: 1. El controlador de pre-alimentación calcula en cada instantet el vector xI d . 2. eI = xI d − xI 3. Se resuelve la ecuación 4.34, obteniéndose Mo . Esta ecuación puede resolverse de manera de efectiva a través de cualquiera de las técnicas descritas en (Menon et al., 2002a). 81 4.2. SOLUTION VIA LYAPUNOV EQUATION xI (t) xId (t) eI = xId − xI ÂI = AI (xI ) + λIn Mo ÂI + MoT ÂI + HIT QI HI − Mo BI R−1 BIT Mo = 0 Mo tgo > tc tgo uoI = eλt R−1 BIT Mo eI tgo < tc A0 = ÂI − BI R−1 BIT Mo Ψ (tf ) = (SI − Mo )−1 A0 D + DA0 − BI R−1 BIT = 0 T Ψ (t) = e−A0 tgo (Ψ (tf ) − D) e−A0 tgo + D D M = Ψ−1 (t) + Mo uI = eλt R−1 BIT M eI Figura 4.3: Algoritmo de cálculo del sistema integrado. Existen dos posibles soluciones, uoI en el incio de l amaniobra terminal y uI en la cercanı́a inmediata del blanco. En este diagrama se incluye un acelerador de la respuesta λ-shift. 82 4.3. EJEMPLOS NUMÉRICOS 4. A0 = AI − BI R−1 BIT Mo . 5. Se invierte la matriz (SI − Mo (xI )) , para obtener Ψ (xI , tf ). 6. Se resuelve la ecuación A0 D + DAT0 − BI R−1 BIT = 0 a través del proceso descrito en la referencia (Gajic and Qureshi, 2008), obteniéndose D. 7. Se obtiene Ψ = eA0 (t−tf ) (Ψ (xI , tf ) − D) eA0 (t−tf ) + D T La resolución de la matriz exponencial eA0 (t−tf ) en 4.38 requiere una alta precisión y se empleará el método numérico de la referencia (Caliari et al., 2014). El cálculo de la exponencial eA0 (t−tf ) tiene que ser preciso o de otro modo la matriz M tenderá a infinito y saturará la entrada de control uI . 8. M = Ψ−1 + Mo . 9. Se obtiene la ley de control uI = R−1 BIT M eI . Sin embargo, debido a la presencia de tgo en la exponencial, cuando este valor es relativamente grande la matriz Ψno será invertirle y no se puede encontrar una solución para M . En estas circunstancias, cuando la distancia entre el misil y el blanco es aún relativamente grande, se empleará la solución proporcionada por la matriz Mo para controlar el misil, en la forma: uoI = R−1 BIT Mo eI (4.43) Se define un tiempo tc a partir del cual la matriz Ψ es invertirle, y por tanto se pasarı́a de utilizar la ley de control con horizonte infinito, ecuación 4.43, a la ley de control de horizonte finito, representada por 4.42: uI = R−1 BIT M eI Este valor de tc se calcula en tiempo real como el instante en el que el valor de la norma kM − Mo kp excede cierto valor numérico y como consecuencia la matriz Ψ es invertirle. 4.3. Ejemplos numéricos En esta sección el esquema en dos bucles del capı́tulo anterior se compara contra el esquema integrado en escenarios sin ruidos. Los parámetros de la simulación corresponden a los mismos de la sección 3.5. En el caso del doble bucle la frecuencia de guiado 83 4.3. EJEMPLOS NUMÉRICOS es de 1000 Hz y del auto piloto de 25.000 Hz. Para el sistema integrado todo el bucle se resuelve a 1000 Hz. 4.3.1. Errores de apuntamiento moderados Este primer escenario considerar una intercepción aire-aire donde el misil con control doble persigue un UCAV supersónico con MT = 1,5, repitiéndose las condiciones del ejemplo planteado en 3.5.1, con una maniobra del blanco de nT = 15 g 1 . La figura 4.4 muestra las trayectorias del misil empleando el doble bucle y la lógica integrada. Se observa que el vuelo del misil en cada caso sigue cursos distintos. El tiempo de vuelo hasta el impacto con la lógica integrada es de 5,7 segundos mientras que para el sistema de doble bucle se obtienen 6,8 segundos, y las distancias de paso finales son 0,08 y 0,14 m respectivamente. Los resultados principales obtenidos se resumen en la tabla 4.1. En la aproximación integrada el control terminal de Lyapunov de la ecuación 4.42 se emplea durante los últimos 0,4 segundos de vuelo, mientras que para la mayorı́a del tiempo de vuelo la lógica integrada emplea la ley dada por uoI , ecuación 4.43. Cuadro 4.1: Resultados de la simulación, G & C Integrado vs Doble Bucle para misil doble mando aerodinámico Control Doble Bucle Integrado tf ,(s) distancia paso,(m) ∆en ∆eδ , (deg) ∆ek 6,8 5,7 0,14 0,08 1,00 0,18 10,27 1,25 0,50 0,49 Aunque en los dos casos las distancias finales obtenidas representan impacto directo, el esquema integrado tiene mejores actuaciones que el doble bucle: Como se ve en la figura 4.5 el misil guiado con el esquema integrado requiere menos aceleración para interceptar al blanco que si el guiado por un doble bucle. E incluso requiere menos aceleración que la realizada por el blanco. El esquema integrado es más eficiente ya que considera no sólo la posición del blanco sino además la actitud del misil al generar las instrucciones a los servos, y por tanto preserva mejor las instrucciones de guiado. La figura 4.6 representa otros parámetros importantes de vuelo. La lógica integrada requiere menos ángulo de ataque y menos ángulos de control, lo que se traduce en menor resistencia aerodinámica, permitiendo al misil mantener su vuelo acelerado hacia el blanco durante todo el vuelo. 1 Un blanco pilotado no podrı́a exceder 9g en una maniobra evasiva. Aquı́ los 15g representan el lı́mite estructural del UCAV. 84 4.3. EJEMPLOS NUMÉRICOS 1,600 Blanco Misil Guiado Integrado Misil Doble Bucle 1,500 1,400 1,300 1,200 1,100 Crossrange (m) 1,000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 0 500 1,000 1,500 2,000 2,500 3,000 3,500 4,000 4,500 5,000 5,500 6,000 Downrange (m) Figura 4.4: Trayectoria, error de apuntamiento moderado. Se lanzan dos misiles simultáneamente, desde el mismo punto, contra un blanco que maniobra a 15 g. Las trayectorias obtenidas difieren notablemente en función de la ley de guiado empleada. 85 4.3. EJEMPLOS NUMÉRICOS 2 Doble Bucle Integrado 1,5 1 nB z nT 0,5 0 −0,5 0 1 2 3 4 Time (sec) 5 6 7 Figura 4.5: Ratio de Aceleración del misil vs Blanco , error de apuntamiento moderado. Ambas lógicas de control utilizan los dos modos disponibles para misiles de doble mando aerodinámico, tanto desviación como modo opuesto, a lo largo de las distintas etapas del vuelo. Finalmente es importante destacar que la carga computacional a bordo es significativamente menor en el caso de la aproximación integrada. Esto se debe a dos motivos, el tiempo de vuelo es menor y además no hay un bucle de auto pilotado independiente operando a alta frecuencia. En este ejemplo en concreto la aproximación integrada ha requerido de 5697 pasos de integración, mientras que la no integrada o de doble bucle a requerido 170.650, casi 30 veces más. 4.3.2. Trayectorias alejadas del curso de colisión Las caracterı́sticas de la lógica integrada que incluyen menores ángulos de los controles y menores ángulos de ataque, se aprovechan mejor en trayectorias que están muy lejos del curso de colisión. Esto ocurre por ejemplo cuando el avión lanzador se ve forzado a realizar un disparo de emergencia contra un blanco que le atacaba lateralmente. La figura 4.7 representa las trayectorias obtenidas para el misil siguiendo lógica integrada y lógica de doble bucle, tratando de interceptar un blanco maniobrero, cuando el ángulo inicial de apuntamiento es muy importante, HE = 60 grados, en el lı́mite del ángulo de detección del buscador radar del misil. Otros parámetros de este ejemplo son γT = 180 y nT = 9 g, mientras que todos los demás permanecen iguales a los descritos en la sección 4.3.1. Bajo estas premisas, la distancia obtenida con la lógica integrada es 0,14 m, consiguiéndose la intercepción del blanco a los 6,1 segundos habiendo estado el controlador terminal de Lyapunov activo en los últimos 0.35 segundos. 86 4.3. EJEMPLOS NUMÉRICOS 40 non-IGA IGA α (deg) 20 0 −20 0 20 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 2 3 4 Time (sec) 5 6 7 0 δqc δqt (deg) 1 δqc - Two-Loop δqc -IGA δqt -nonIGA δqt -IGA −20 0 M∞ 3 1 Two-Loop IGA 2,5 2 0 1 Figura 4.6: Parámetros , error de apuntamiento moderado. Sin embargo el mismo misil de doble mando pero con un guiado de doble bucle, superior como hemos visto en el Capı́tulo 3 a los misiles convencionales, no es capaz de conseguir interceptar al blanco antes de que su motor cohete se consuma y su velocidad de vuelo haya caı́do de manera significativa. La simulación se detiene a los 10,2 segundos 87 4.3. EJEMPLOS NUMÉRICOS de vuelo, cuando la velocidad de colisión se vuelve positiva lo que significa que el blanco ha conseguido evadirse. Este instante se representa en la figura 4.7 mediante los puntos Mf y Tf , que son respectivamente el misil y el blanco cuando se detiene la simulación, a una distancia relativa entre ellos de 1384 m. 1,000 800 600 400 200 0 −200 −400 −600 Crossrange (m) −800 −1,000 −1,200 −1,400 −1,600 −1,800 −2,000 −2,200 target IGA two-loop −2,400 −2,600 Mf −2,800 −3,000 −3,200 Tf −3,400 0 500 1,000 1,500 2,000 2,500 3,000 3,500 4,000 4,500 5,000 5,500 6,000 Downrange (m) Figura 4.7: Trayectorias alejadas del curso de colisión. El misil guiado por doble-bucle no consigue interceptar al blanco, mientras que el de guiado integrado consigue el impacto directo. Los puntos Mf y Tf indican la posición del misil y blanco cuando la velocidad de colisión Vc cambia de signo . Otros parámetros de la simulación se representan en las figuras 4.8 y 4.9. Nótese como el giro cerrado del misil a casi su lı́mite estructural causa una caı́da muy impor88 4.4. EFECTOS DE RUIDO, ESTIMACIÓN Y RADOMO tante en la velocidad en el caso del esquema de doble bucle, de la que posteriormente el misil no puede recuperarse ya que no es capaz de reducir con la rapidez necesaria el ángulo de ataque. 2 two-loop IGA 0 −nB z nT −2 −4 0 1 2 3 4 5 6 Time (sec) 7 8 9 10 11 Figura 4.8: Ratio de aceleraciones misil a blanco, con nT = 9 g. 4.4. Efectos de Ruido, Estimación y Radomo En esta sección se comparan una vez más las actuaciones del misil con esquema integrado frente a el no integrado o doble bucle, pero ahora en presencia de efectos reales como son el hecho de que los datos radar del blanco no están disponibles más que puntos discretos, la perturbación que introduce el radomo en la señal del blanco y los ruidos de medida introducidos por el radar de abordo. Debido a las diferentes trayectorias obtenidas con estos esquemas de guiado, los errores les afectan de modo distinto y por tanto afectan también de modo distinto a la precisión del sistema de armas misil. Con la misma lógica, los factores de error que dependen en menor medida de la trayectoria, como los errores de los sensores internos del misil o la estimación de variables no medibles (ángulo de ataque y ángulo de guiñada) no serán consideradas aquı́. La figura 4.10 representa el esquema más general del bucle de guiado y control para el esquema integrado incluyendo ahora la electrónica del radar, el componente mecánico orientador del mismo mismo ası́ como el bloque electrónico de filtrado y estimación. La función del buscador es proveer las medidas que aquellas variables del blanco requeridas por el esquema de guiado. Basándose en la ecuación 3.9 la implantación del esquema en doble bucle requiere medidas de: rTLM , VTLM y nL T . En contraste, para el esquema integrado de la ecuación 4.9 se requiere menos medidas: rTLM y VTL . Debido 89 4.4. EFECTOS DE RUIDO, ESTIMACIÓN Y RADOMO α (deg) 20 0 −20 −40 two-loop IGA 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9 10 11 δc , δt , (deg) 20 0 Canard - two-loop Canard -IGA Tail- two-loop Tail-IGA −20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 two-loop IGA M∞ 2,5 2 1,5 0 1 2 3 4 5 6 Time (sec) 7 8 9 10 11 Figura 4.9: Parámetros, trayectorias alejadas del curso de colisión. Ángulo de ataque (superior), control (medio) y Mach (inferior) . a esto requisitos de información, tanto en el esquema integrado como el no integrado, el misil se considera equipado con un radar activo 2 . Una vez que se describan los 2 en un escenario aire aire, el radar tiene una clara ventaja en condiciones meteorológicas adversas 90 4.4. EFECTOS DE RUIDO, ESTIMACIÓN Y RADOMO efectos reales, sus efectos pueden ser evaluados a través de simulaciones no lineales de encuentros tı́picos aire-aire. Una aproximación similar se ha llevado a cabo en la referencia (Zhurbal and Idan, 2011a). Target Dynamics xT , ẋT xM , ẋM , n ẋsk Seeker = f (xsk , xskd ) Radome Error σ ∗ , σe∗ Radar kr̂T M k Vc Radar Noises Ts , r̂T∗ M k , Vc∗k Navigation Filter + xM , ẋM r̂T M , r̂˙ T M − time-to-go Estimate xI Missile Dynamic Integrated ẋI = f (xI , xsd ) tgo n̂T xsd xs F inServos ẋs = f (xsd ) Unmodeled dynamics Figura 4.10: Esquema del guiado y control integrado con efectos reales. Errores de radomo -sección 4.4.1- ruidos radar y efectos de muestreo y estimación - sección 4.4.2filtro Kalman - sección 4.4.3- y finalmente la dinámica de alto orden de los servos ecuación 3.30 Además de la lı́nea de mira al blanco y de su velocidad angular, el radar activo de la mayorı́a de los misiles modernos es capaz de medir la distancia al blanco y en ciertas y en presencia de nubes frente a un sensor de infrarrojos u u óptico 91 4.4. EFECTOS DE RUIDO, ESTIMACIÓN Y RADOMO circunstancias la velocidad de colisión. Estas medidas adicionales pueden ser utilizadas con ventaja por el sistema de navegación y guiado: La velocidad de colisión Vc - ecuación F.22 - es necesaria para estimar el tiempo hasta el impacto en la ley de guiado óptimo, tgo ecuación F.26, y es un componente fundamental de la ley de navegación proporcional. Si no se mide puede ser estimada, pero esto último puede causar errores importantes. La medida por parte del radar de la velocidad de colisión mejora la efectividad del arma. Tanto el esquema integrado como el de doble bucle requieren una cantidad significativa de información del blanco, en particular su velocidad relativa y su aceleración. Estimar esta última únicamente a través de medidas angulares es matemáticamente imposible. La medida de la distancia relativa del misil al blanco, y de su velocidad de colisión, combinada con los ángulos de la lı́nea de mira en un filtro de navegación adecuado, permite una estimación de la maniobra del blanco y su empleo en leyes de guiado más avanzadas. 4.4.1. Errores de Radomo Debido a la presencia de errores parásitos de radomo, la cabeza del buscador raramente está apuntada directamente al blanco y existe cierta de diferencia entre la posición real σ y la medida σm para el blanco. La cabeza del buscador tiene su propia dinámica de apuntamiento, lo que causa cierto retardos en el ángulo del seguimiento del buscador, ver figura H.1 y 4.11. . Los errores por tanto vienen de dos contribuciones, por un lado la dinámica del buscador, que causa un error de apuntamiento y el error de refracción de radomo. Un modelo dinámico para la cabeza del buscador será empleado en las simulaciones numéricas y está descrito en el apéndice, adaptado de la referencia (Nesline and Zarchan, 1985). Para un análisis preliminar puede suponerse que el ángulo de difracción θr es una función seno periódica del ángulo cardán del buscador θh , definido por el eje de la antena: θr = R · s( 2π θh + φh ) Ph (4.44) donde R es la pendiente máxima de radomo, que depende de: el ángulo con el que la energı́a del blanco incide en el radomo, el material, la fase de la señal, la temperatura del radomo, etc, siendo en general muy difı́cil de calcular o medir con precisión, ver referencia (Lin, 1991). Los requisitos de tolerancias para la pendiente de radomo son 92 4.4. EFECTOS DE RUIDO, ESTIMACIÓN Y RADOMO Blanco aparente Blanco Eje antena 0 θr σm σ XB θd θh θ XL ZB Figura 4.11: Definición de los ángulos del buscador radar. Con respecto a la referencia inercial fija en el espacio, el eje del misil forma el ángulo θ. El eje de la antena, que no coincide con el eje misil, forma un ángulo θd con respecto a la referencia. El eje de la antena tiene un error de orientación con respecto al blanco. La distorsión de radomo crea una posición aparente del blanco dada por 0 siempre parte de los requisitos de diseño de un misil táctico. Los radomos de formas aerodinámicas introducen errores que pueden modelarse como re - alimentaciones no deseadas en el bucle de guiado y control. Afectan tanto a la estabilidad del misil como a la distancia de paso final, (Zarchan, 2012), y reducen el tiempo de respuesta del misil. Un valor positivo de la pendiente de radomo R reduce la medida de la velocidad angular de la lı́nea de mira, causando grandes oscilaciones al misil en vuelo. Una pendiente negativa por otro lado provoca inestabilidades del sistema. En cualquier caso, y para pequeños ángulos de cardan θh , la influencia de los errores de radomo en el bucle de guiado y control tiende a disminuir. Aunque un misil con control aerodinámico tiene que mantener cierto ángulo de ataque para poder maniobrar, los misiles con control doble aerodinámico requieren menos ángulo de ataque en vuelo, se reduce el ángulo de cardan al blanco y por tanto el error de radomo. Además el misil con control doble aerodinámico combinado con el esquema integrado de guiado y control resulta en una aproximación más directa al blanco, ver figuras 4.4 y 4.7, lo que permite reducir aún más el ángulo cardan al blanco. Esta relación entre la ley de guiado y el error de radomo se analiza en la sección siguiente mediante simulaciones numéricas. 93 4.4. EFECTOS DE RUIDO, ESTIMACIÓN Y RADOMO Evaluación de la Distancia de Paso Final debida al Error de Radomo En la ecuación 4.44 se asume Ph = π/6 y fase de φh = 0 rad. Con este modelo se han llevado a cabo simulaciones numéricas con las mismas condiciones iniciales de la sección 4.3.1, HE = 20 deg, MT = 1,5 nT = 15 g , distancia inicial 6,000 metros, representándose en la figura 4.12 la variación de la distancia de paso final frente a la pendiente de radomo R. Se considera por ahora que no hay ruidos introducidos por el sistema radar, pero que los datos del radar son digitales muestreados con una frecuencia de 100 Hz, Ts = 0,01 s. IGA Two Loop Miss distance (meters) 102 101 100 10−1 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 Maximum Radome Slope, R 3 4 5 ·10−6 Figura 4.12: Sensibilidad a pendiente de radomo, 12,000 m de altitud, distancia inicial 6,000 m, HE = 20 grados. Como se aprecia en la figura 4.12, para la aproximación integrada IGA hay muy poca variación en la distancia final de paso al variar la pendiente máxima de radomo. Sin embargo para el doble bucle, la lógica no integrada, la distancia final de paso puede variar de forma muy importante debido a los valores de la pendiente de radomo. Claramente la aproximación no integrada resulta en unos requisitos de diseño mucho más estrechos para el diseño y fabricación del radomo. 4.4.2. Efecto de los ruidos radar y su frecuencia de muestreo Como se mencionó anteriormente las actualizaciones de los datos radar no se dan de modo continuo, sino que se actualizan en cada tiempo de muestreo Ts . Por otro lado, las fuentes de ruido serán aquellas asociadas al radar activo en misiles tácticos. Cada 94 4.4. EFECTOS DE RUIDO, ESTIMACIÓN Y RADOMO uno de estos ruidos puede caracterizarse por una desviación estándar Σ, y asumirse que entra en el bucle de guiado y control del misil en cada intervalo de muestreo Ts . Para simplificar la exposición, los detalles de cómo se calcula la desviación estándar para cada tipo de ruido se ha movido a los apéndices, en la sección H.2. Se asumirá que la relación entre la densidad espectral del ruido (PSD) a su desviación estándar se relaciona con la frecuencia de muestreo a través de P SD = Σ2 Ts . Los ruidos que se consideran relevantes para el radar activo son: El destello (glint), que es un tipo de ruido angular, causado por perturbaciones aleatorias en el retorno blanco del radar, y que no depende de las caracterı́sticas del buscador. Es un ruido altamente no correlado, pero puede ser modelado (ver sección H.2.1) como la combinación de dos distribuciones Gausianas con desviaciones estándares distintas que denominaremos Σg1 y Σg2 . Este tipo de ruido se incrementa al disminuir la distancia al blanco. El ruido angular del radar activo, que se detalla en la sección H.2.2. Es un ruido de tipo térmico, que aparece ya que es el mismo radar el que emite y recibe la señal. Es proporcional al cuadrado de la distancia entre el misil y el blanco. Desvanecimiento y ruidos atmosféricos, que pueden considerarse independientes del alcance esto se revisan en la sección H.2.2. Ruidos en la medida de range and collision velocity, se detallan en la subsección H.2.3. La mejora del sensor radar disminuirá los ruidos angulares dependientes e independientes del alcance, a la vez que aquellos asociados a la medida del alcance y la velocidad de colisión. No disminuirá sin embargo los ruidos de destello. 4.4.3. Filtro Variable tipo Kalman El bloque de filtrado en la figura 4.10 es responsable de filtrar aquellas variables que están corrompidas por el ruido, ası́ como de estimar los valores de las variables entre intervalos de medida y calcular aquellas variables que no pueden medirse directamente, como por ejemplo nT . Para poder estimar las variables de guiado se recurrirá a un filtro de Kalman discreto. Aunque existen filtros no lineales más complejos, como se describen en la referencia (Kim et al., 2012), por ejemplo un Extended Kalman Filter o filtro de partı́culas, (Gustafsson et al., 2002), el propósito de esta sección es estudiar el impacto de la estimación en el bucle de guiado y control. Este objetivo se consigue al emplear el mismo esquema de estimación para la lógica integrada y la de doble bucle. Además el filtro lineal de 95 4.4. EFECTOS DE RUIDO, ESTIMACIÓN Y RADOMO Kalman es capaz de conseguir resultados suficientemente buenos cuando la aceleración del blanco es constante o es senoidal, como se describe en (Zarchan, 2012). En misiles interceptores la varianza del ruido radar no es estacionaria ya que varı́a con la distancia al blanco. Como consecuencia las ganancias del filtro Kalman serán dependientes del tiempo. El filtro desarrollará estimaciones de los estados del blanco que necesite la ley de guiado y control a partir del conjunto de medidas con ruido que contienen información sobre el blanco. En el desarrollo del filtro se necesita considerar la dinámica del blanco, que se asume como: L L [0] [0] [0] I3 [0] rT M VT M L L L V̇T M = [0] [0] I3 VT M − n + [0] [0] w nL [0] [0] [0] ṅL T T # " # rL " # " TM L∗ I3 [0] [0] L υ(r,θ) rT M = VT M + [0] I [0] VTL∗ υV 3 M nL T (4.45) (4.46) en el espacio-estado ẋF = AF xF + GF uF + W (4.47) zF∗ = HF xF + V (4.48) iT h iT h iT ∗ L L L∗ L∗ nT , zF = rT M VT M and uF = n , V = υ(r,θ) υV , h con xF = rTLM VTLM QF = E WW T . La ecuación del filtro discreto, de la referencia (Zarchan and Musoff, 2000), es: x̂F k = Φk x̂F k−1 + GF k uF k−1 + KF k (zF∗ k − HF Φk x̂F k−1 − HF GF k x̂F k−1 ) (4.49) con GF k 1 Ts 0,5Ts2 Φk = 0 1 Ts ⊗ I3 0 0 1 0,5Ts2 Z τ =Ts = Φ (τ ) GF · dτ = − Ts ⊗ I3 τ =0 0 (4.50) (4.51) De modo estricto, la última ecuación es sólo válida si uF k es constante entre puntos de muestreo, lo cual no es cierto ya que se espera que la aceleración del misil varı́e de 96 4.4. EFECTOS DE RUIDO, ESTIMACIÓN Y RADOMO modo continuo. Las ecuaciones recursivas para el cálculo de las ganancias son: MF k = Φk PF k−1 ΦTk + QF k K = MF k HFT HMF k H T + RF k (4.52a) −1 PF k = (I − Kk HF ) MF k T5 s QF k = n̂T T20s4 tgo T83 s 6 Ts4 8 Ts3 3 Ts2 2 Ts3 6 Ts2 2 (4.52b) (4.52c) ⊗ I3 (4.53) Ts y RF k = E VV T . Para iniciar las ecuaciones 4.52 se necesita una matriz de covarianza inicial PF k (0). 4.4.4. Evaluación de la distancia de paso con ruidos radar El caso de la sección 4.3.1 ha sido calculado numéricamente con los siguientes parámetros: Cuadro 4.2: Parámetros de ruido seleccionados para el radar activo Fuente Parámetros Glint Σg1 = 10−3 rad , Σg2 = 10−1 rad proporcional a ( krT1M k Independiente Σf = 10−3 rad Dependiente alcance Σt = 3,33 · 10−6 kr T M k2 Velocidad colisión ΣV = 5 · 10−6 kr T M k2 Atmosférico Σan = 0 Alcance Σρ = 0 Inicialmente se considera una simulación en la que, R = 0 y Ts = 0,01.El filtro se inicializa a los Tkalman = 0,5 segundos. La figura 4.13 muestra la trayectoria obtenida relativa al misil. En el caso del doble bucle, el ruido radar afecta a la estimación de la aceleración del blanco, que no se estima particularmente bien por un filtro lineal de Kalman. Esto a su vez genera una demanda de aceleración al misil está muy afectada por el ruido, como puede verse en la figura 4.14 . En contraste, con el esquema integrado se obtiene una trayectoria mucho más controlada. La distancia final de paso en este ejemplo ha sido de 0.72m para el IGA y 3.14m para el doble bucle. Se llevan a cabo ahora variaciones de R en simulaciones de Montecarlo, ya que en presencia de ruidos estocásticos, los resultados de la simulación variarán en cada ejemplo. Como es sabido, este método es el más ampliamente utilizado para análisis 97 4.4. EFECTOS DE RUIDO, ESTIMACIÓN Y RADOMO 6000 metros 4000 metros two-loop IGA 2000 metros Figura 4.13: Trayectoria del blanco medida por el radar tal y como se ve desde el misil. estadı́stico. Aquı́ se realizan 50 simulaciones para cada caso, obteniéndose la media y la desviación estadı́stica en cada escenario. Los resultados se aprecian en en las figuras 4.15 y 4.16. El ruido de destello tiene una importancia muy significativa en el caso del doble bucle, incrementando la distancia de paso en un orden de magnitud, mientras que el esquema integrado es mucho menos sensible a la máxima pendiente de radomo. 4.4.5. Experimentos con la frecuencia de muestreo de datos En esta sección se estudian las implicaciones de la frecuencia de muestreo de datos del buscador en las actuaciones del sistema, para un misil operando con lógica integrada o en doble bucle. Los experimentos se llevan a cabo sin ruido. El escenario es el de la sección anterior, con HE = 20 deg, Mach incial de M = 2,5 y nT = 15 g, MT = 1,5 . Para cada valor de fs = T1s , se varı́a a distancia inicial entre misil y blanco entre 2,000 y 8,000 metros. Los resultados se muestran en la figura 4.17 para frecuencias de muestreo entre 50-1000 Hz. Los resultados de 4.17 muestran que el filtro de Kalman y las actuaciones del misil sin ruido son independientes de la frecuencia de muestreo excepto para el caso de muy bajas frecuencias para la lógica integrada. Este resultado ilustra que la lógica integrada 98 4.4. EFECTOS DE RUIDO, ESTIMACIÓN Y RADOMO 0,4 0,2 two-loop IGA 0 −0,2 −0,4 −0,6 −0,8 −1 −1,2 −1,4 −1,6 −1,8 −2 0 1 2 3 4 Time (s) 5 6 7 Figura 4.14: Aceleración del misil en presencia de ruido radar. 2 1,8 RMS Miss distance (meters) −nB z nT 1,6 1,4 1,2 1 0,8 IGA - Range Independent Noise IGA - Radar Active Noise IGA - Glint 0,6 0,4 0,2 0 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 Maximum Radome Slope, R 3 4 ·10−6 Figura 4.15: Error con esquema integrado y ruido radar. 99 5 4.4. EFECTOS DE RUIDO, ESTIMACIÓN Y RADOMO RMS Miss distance (meters) 10 Two-Loop - Glint Noise Two-Loop - Radar Active Noise Two-Loop Range Independent Noise 8 6 4 2 0 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 Maximum Radome Slope, R 3 4 5 −6 ·10 Figura 4.16: Error con esquema no-integrado y ruido radar. Average miss (m), for krT M (0)k ∈ [2000, 8000] (m) 9 IGA TwoLoop 8 7 6 5 4 3 2 1 0 100 200 300 400 500 600 Sampling rate, fs = 700 800 900 1,000 1 , Hz Ts Figura 4.17: Variación de la distancia de paso con la frecuencia de muestreo. 100 4.5. DEFENSA CONTRA ATAQUE POR LA COLA requiere un mı́nimo de frecuencia de muestreo para ser capaz de guiar el misil hasta el blanco. Dado que el coste del hardware del radar es proporcional al valor de la frecuencia de muestreo, se demuestra que el caso integrado se requiere un radar de mayor calidad que para el caso del doble bucle. En el caso del doble bucle el auto piloto trabaja a una frecuencia superior al bucle externo de guiado, mientras que en el caso integrado se trabaja a una única frecuencia. La mayor frecuencia de trabajo del auto piloto del doble bucle puede por tanto contribuir a mejorar los resultados cuando la frecuencia de trabajo del radar es baja. 4.5. Defensa contra ataque por la cola 4.5.1. Soluciones previas y retos tecnológicos Esta sección investiga un control puramente aerodinámico para obtener un giro de 180 grados del misil, empleando el misil de control doble aerodinámico y un esquema integrado para el guiado y control. Este tipo de maniobra es muy importante para misiles modernos, como se detalla en la figura 1.4 y referencia (Kim et al., 2013), ya que da la capacidad al avión lanzador para atacar blancos de oportunidad en su hemisferio trasero o auto defensa contra un blanco atacante que se aproxime por la cola. Como consecuencia un misil capaz de realizar esta maniobra dota al avión portador de una gran ventaja en supervivencia y flexibilidad operativa. Para misiles convencionales modernos con control canard o cola, propulsados por un motor cohete sólido, los intentos para obtener las altas velocidades de giro requeridas requieren altos ángulos de ataque por encima de 50 grados. En este dominio de altos ángulos de ataque, el misil experimenta muchas dificultades para mantener un vuelo controlado: se produce pérdida o saturación aerodinámica del control, el efecto de guiñada fantasma debido a los torbellinos asimétricos del fuselaje, alta resistencia aerodinámica y pérdida de velocidad, variaciones de estabilidad, pérdida de control de balanceo, etc. Cualquiera de estos efectos puede por sı́ solo causar pérdida de control de vuelo y unas actuaciones del misil muy pobres. La habilidad para conseguir realizar este tipo de maniobra ha sido una de las principales razones detrás de la introducción reciente del esquema de misil hı́brido en misiones aire-aire, (Wise and B Roy, 1998). En este tipo de misiles el control aerodinámico se combina con un actuador no-aerodinámico que deflecta el chorro y permite mantener al misil controlado en la región de altos ángulos de ataque, como se describe en la sección 1.1.3. Este tipo de elementos incrementa significativamente el coste, la complejidad y el riesgo técnico del misil, ası́ como los riesgos de seguridad para el avión lanzador (Ratliff et al., 2009), (McFarland and Calise, 2000) , (Innocenti and Thukral, 101 4.5. DEFENSA CONTRA ATAQUE POR LA COLA 1993). Como consecuencia, ser capaces de realizar esta maniobra con un misil muy ágil únicamente con control aerodinámico es un beneficio operativo muy significativo. Como se demostrará en esta sección el misil con control doble aerodinámico y guiado integrado es capaz de realizar esta maniobra y conseguir interceptar a un blanco que se aproxima por el hemisferio trasero, manteniendo ángulos de ataque por debajo de 35 grados durante toda la maniobra. Se considerará que el misil se lanza desde un avión en régimen supersónico e inmediatamente enciende su motor cohete para realizar el giro de 180 grados. En la fase inicial el misil se aleja del blanco, por lo que el buscador radar no ha capturado aún al blanco y la velocidad de colisión es negativa. En esta fase inicial se pide al misil un giro a factor de carga constante en una fase de trayectoria pre-programada. Una vez que el misil ha girado de modo que el ángulo de cardan del buscador θh es menor que 60 grados, se asume que el radar fija al blanco y a partir de aquı́ sigue el esquema integrado hasta la interceptación. Se consideran dos escenarios distintos. En el primero el misil se lanza desde un avión atacando a un blanco no programado, un blanco de oportunidad, que acaba de ser detectado y localizado en la cola del avión lanzador. En un segundo escenario el misil se emplea como defensa contra un avión caza enemigo que se aproxima rápidamente al avión lanzador desde su cola. 4.5.2. Blanco de oportunidad en el hemisferio trasero Se asume que el Mach del avión lanzador es M = 2,5. El blanco es un caza moderno pilotado volando a MT = 1,2, y que inmediatamente comienza una maniobra evasiva a su máxima capacidad de 9 g una vez que detecta el lanzamiento del misil. Otros parámetros de la simulación se definen en la tabla 4.3. Cuadro 4.3: Parámetros de la simulación. Blanco o de oportunidad en el hemisferio trasero. Parámetro Valor (unid.) Mach lanzamiento misil, M∞ Mach Blanco, MT Maniobra del blanco, nT Factor de carga en el giro Altitud vuelo, h Distancia inicial, rT M (0) Tiempo combustión motor, tb Empuje, T 2.5 ( ND) 1.2 (ND) 9 (g) 30 (g) 12,000 meters 5,000 (m) 8 (s) 3400 (N) Inmediatamente después de ser lanzado y alejarse del avión lanzador, el misil inicia un giro a factor de carga constante de 30 g. La trayectoria resultante se muestra en la 102 4.5. DEFENSA CONTRA ATAQUE POR LA COLA figura 4.18. Una vez que se completa este giro cerrado y se fija el blanco en el radar, se inicia la trayectoria guiada hacia el blanco. La distancia final de paso es de 0.42 metros, lo que equivale a impacto directo, tiempo total de vuelo de 8.5 segundos, con tc = 8,1 s. La figura 4.19 representa la maniobra del misil durante el encuentro aire-aire.La demanda de maniobra durante la fase inicial de vuelo (entre los puntos M0 y M1 ) se fija a 30g, que se administra por parte del autopiloto para no exceder los lı́mites mecánicos y aerodinámicos de la envolvente de vuelo del misil, como en la sección 3.4. Una vez que el misil ha girado lo suficiente, de modo que su radar es capaz de detectar al blanco, la lógica de guiado cambia desde una maniobra constante al esquema IGA integrado, que se traduce en una reducción inmediata de la demanda de maniobra. La máxima maniobra necesaria ha sido de 31.2 g, en el inicio del giro a g-constante. Nótese que la transición al esquema integrado es abrupta pero no se producen oscilaciones, como se aprecia en la figura 4.20. El cambio de rumbo de 0 a 180 grados ha llevado sólo 2.2 segundos a una altitud de 12,000 metros, lo que por si solo indica la agilidad del misil DAC. En esta simulación se han incluido los ruidos, errores de radomo y frecuencia de muestreo de datos del apartado anterior, siendo por tanto totalmente realista. La figura 4.21 ilustra el comportamiento de otros parámetros importantes en el vuelo del misil. El ángulo de ataque permanece siempre por debajo del nivel de 35 grados a partir del cual se considera que aparece el efecto de guiñada fantasma. Los ángulos de los controles de vuelo, 4.21, permanecen siempre por debajo del lı́mite mecánico de 30 grados. El canard se encuentra saturado debido a su alta incidencia en la fase final del giro a G constante, y no contribuirá más a incrementar el momenm = 0. Cuando el control delantero se encuentra to de cabeceo del misil, siendo ∂C ∂δqc saturado, el misil sigue estando controlado por la cola. Finalmente en la figura 4.21 en su parte inferior ilustra el comportamiento de la velocidad del misil. La propulsión permanece activa durante los primeros ocho segundos. Se nota como la velocidad del misil cae de modo significativo durante la fase inicial de giro cerrado, incluso a pesar de que la propulsión está activa. Una vez que el giro termina la alta eficiencia cinemática del esquema integrado de guiado permite al misil y recuperar rápidamente su velocidad. En los últimos instantes antes del impacto el motor cohete se ha consumido por completo pero el misil tiene suficiente presión dinámica para la maniobra de corrección final y conseguir interceptar al blanco actuando en los controles canard y cola. 103 4.5. DEFENSA CONTRA ATAQUE POR LA COLA 1,000 500 VM M1 M0 0 −500 −1,000 Crossrange (m) −1,500 −2,000 target DAC Missile w/IGA −2,500 −3,000 M3 M2 −3,500 −4,000 I −4,500 VT T0 −5,000 −5,500 −6,000 −3,000−2,500−2,000−1,500−1,000 −500 0 500 1,000 Downrange (m) Figura 4.18: Trayectoria contra un blanco el hemisferio trasero. La figura demuestra la agilidad conseguida con una lógica integrada y misil de doble mando aerodinámico contra un blanco maniobrero, inicialmente localizado en la trasera del avión lanzador.M0 es el punto de lanzamiento, M1 final de la maniobra de giro cerrado a 30 g y el comienzo del guiado IGA. M2 apagado del motor cohete a los t = 8 segundos, M3 comienzo del controlador final de Lyapunov, I impacto contra el blanco. Maniobra de defensa contra un ataque por la cola Aquı́ se considera el escenario de un avión caza enemigo localizado en nuestra cola, volando a la misma velocidad y altitud que nuestro avión, con M = 2,5 y aproximándose al avión amigo rápidamente. La separación inicial entre nuestra avión y el avión blanco es la misma que en el escenario anterior, 5000 m. Los otros parámetros para la simulación se define en la tabla 4.4. El misil se lanza a M = 2,5 e inmediata- 104 Missile lateral acceleration, −nB z (g) 4.5. DEFENSA CONTRA ATAQUE POR LA COLA 30 20 10 0 −10 0 1 2 3 4 5 Time (sec) 6 7 8 Figura 4.19: Maniobra del misil, blanco en el hemisferio trasero.La curva en color rojo corresponden a los resultados de la simulación con ruido y efectos reales. 280 Missile pitch angle, θ, (deg) 260 240 220 200 180 160 140 120 100 80 0 1 2 3 4 5 Time (sec) 6 7 8 Figura 4.20: Ángulo de cabeceo, θ, blanco en el hemisferio trasero. La curva en color rojo corresponden a los resultados de la simulación con ruido y efectos reales. 105 4.5. DEFENSA CONTRA ATAQUE POR LA COLA 40 α (deg) 30 20 10 0 −10 0 1 2 3 4 5 6 7 9 Canard -IGA Tail-IGA Canard -IGA Tail-IGA 20 δ qc , δ tq (deg) 8 0 −20 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 M∞ 2,6 2,4 2,2 2 2 3 4 5 Time (sec) 6 7 8 9 Figura 4.21: Parámetros, blanco en el hemisferio trasero: ángulo de ataque (top), ángulos de control (middle), Mach (bottom). La curva en color rojo corresponden a los resultados de la simulación con ruido y efectos reales. mente inicia una maniobra de giro cerrado a nB d = 30 g de modo sostenido. Durante este giro el ángulo de ataque del misil aumenta de modo progresivo, y una vez que 106 4.5. DEFENSA CONTRA ATAQUE POR LA COLA alcanza el lı́mite máximo admisible α = 35, la demanda de maniobra se reduce en escalón nB d = 24 g, para preservar la controlabilidad del misil. A partir de este punto el misil continúa el giro a nB d = 24 g sostenidos, mientras completa su giro y θh < 60 grados. Una vez que el ángulo de cardán del buscador llega a los 60 grados, el radar del misil engancha al blanco y comienza el guiado y control integrados. La lógica de guiado integrada guı́a al misil hacia el blanco a la vez que recupera la velocidad del misil tras el giro manteniendo ángulos de ataque bajos. Cuadro 4.4: Parámetros de la simulación defensa contra ataque desde cola Parámetro Valor (unid.) Mach lanzamiento misil, M 2.5 ( ND) Mach blanco, MT 2.5 (ND) Maniobra blanco, nT 6 (g) Factor de carga giro misil 30 / 24 (g) Altitud, h 12,000 meters Distancia misil a blanco inicial, rT M (0) 5,000 (m) Tiempo de combsutión, tb 8 (s) Empuje, T 3400 (N) La distancia final de paso obtenida es de 0.57 metros con impacto a los 6.7 segundos desde lanzamiento. El controlador terminal está activo desde el segundo tc = 6,2. La figura 4.22 muestra las trayectorias del misil y del blanco. La maniobra realizada por el avión blanco tratando de escapar corresponde a una maniobra realista, en la que el avión trata de que el misil con control aerodinámico convencional sature su control y pierda actuaciones, o en el caso de un misil hı́brido que consuma su propulsión antes de acercarse al blanco. Las figuras 4.23 y 4.24 ilustran la aceleración lateral del misil y su ángulo de cabeceo. En rojo se muestra las curvas correspondientes a la trayectoria afectada por ruido radar y otros efectos reales comentados. Nótese como el efecto del destelleo (glint) se percibe fundamentalmente al final del vuelo, cerca del impacto, causando algunas fluctuaciones en el movimiento de los controles. En la maniobra, figura 4.23, se aprecia los dos niveles de aceleración demandado durante el giro cerrado, y la transición suave entre los mismos perfectamente controlada por el auto piloto. Se nota también el bajo nivel de aceleración lateral requerido por el control integrado una vez que concluya el giro, y la corrección final en desviación antes del impacto. La máxima maniobra durante la intercepción aire-aire es de 31.2 g, por debajo del lı́mite estructural. En la gráfica correspondiente al ángulo de cabeceo, figura 4.24, se observa una velocidad de giro θ̇ muy elevada inicialmente , inmediatamente después del lanzamiento. Esto se debe al efecto de la estela del canard en el control de cola, que genera un valor del 107 4.6. CONCLUSIONES momento de picado Cm muy importante cuando el ángulo de ataque es todavı́a pequeño. Nótese que el cambio de nivel de maniobra se da a los t=2.2 segundos, mientras que θ̇ no cambia apreciablemente debido a la gestión del auto piloto. Una vez completado el giro, sigue una región de θ casi constante, en la que el control IGA dirige al misil contra el blanco aumentando progresivamente su velocidad. La figura 4.25 muestra otros parámetros de actuaciones importantes: ángulo de ataque, la posición de las aletas de control y el número de Mach durante el vuelo. Nótese como el ángulo de ataque no excede el lı́mite de 35 grados, y los controles permanecen siempre por debajo de su lı́mite mecánico de 30 grados. El número de Mach del misil se reduce durante la fase de giro a un mı́nimo de 1.88, pero se recupera rápidamente después. 4.6. Conclusiones En este capı́tulo se ha desarrollado un algoritmo completo para implementar el guiado y control en un solo bucle, incluyendo efectos reales y aerodinámica no lineal. Se ha hecho especı́ficamente para misiles con control doble aerodinámico, y es aplicable a misiles con control en cola o canard. La lógica integrada no necesita considerar ningún modelo particular de maniobra del blanco, e incluye únicamente la velocidad del blanco como una perturbación al sistema. Las simulaciones con y sin efectos reales demuestran la superioridad neta de la aproximación integrada con respecto al doble bucle tradicional. Con la aproximación integrada se incluye la velocidad del misil en el bucle de optimización general con lo que se gestiona mejor la energı́a cinética del misil, y además se consigue una mejor preservación de las órdenes de guiado, al no existir transferencia entre bucles de guiado y de auto piloto separados. El guiado IGA no necesita calcular la aceleración del blanco, y además tiene un aproximación más directa hacia el blanco, siendo una ley mucho más robusta en presencia de ruidos radar y otros efectos reales. El misil con control doble aerodinámico y guiado y control integrados es capaz de interceptar blancos en la cola manteniendo siempre control aerodinámico, sin recurrir a los desarrollos modernos actuales hı́bridos, aumentando la capacidad de supervivencia y flexibilidad operativa del avión de combate portador de este tipo de misil. 108 4.6. CONCLUSIONES Engagement Geometry 1,000 500 target IGA VM M1∗ M0 0 M3 M1 I −500 −1,000 Crossrange (m) −1,500 −2,000 −2,500 −3,000 −3,500 −4,000 VT −4,500 −5,000 T0 −5,500 −6,000 −2,000 −1,500 −1,000 −500 0 500 1,000 1,500 2,000 Downrange (m) Figura 4.22: Defensa contra un ataque por la cola, con un misil con control doble y guiado y control integrados. M0 posición inicial, M1∗ fin de la primera fase de giro a 30 g, M1 fin de la segunda fase de giro a 24 g. En M1 comienza el guiado IGA, M3 comienzo del guiado terminal de Lyapunov. Finalmente I es el punto de impacto directo contra el caza enemigo. 109 Missile lateral acceleration, −nB z (g) 4.6. CONCLUSIONES 30 20 10 0 −10 0 1 2 3 4 Time (sec) 5 6 Figura 4.23: Defensa contra un ataque por la cola, maniobra del misil Missile pitch angle, θ, (deg) 350 300 250 200 150 100 0 1 2 3 4 Time (sec) 5 6 Figura 4.24: Defensa contra un ataque por la cola, ángulo de cabeceo. 110 4.6. CONCLUSIONES 40 α (deg) 30 20 10 0 −10 0 1 2 3 4 5 Canard -noise Tail-noise Canard -IGA Tail-IGA 20 δ qc , δ tq (deg) 6 0 −20 0 1 2 0 1 2 3 4 5 6 3 4 Time (sec) 5 6 2,6 M∞ 2,4 2,2 2 1,8 Figura 4.25: Defensa contra un ataque por la cola, otros parámetros: ángulo de ataque (arriba), control (medio) y Mach (inferior) 111 Capı́tulo 5 Conclusiones En este último capı́tulo se integran y sintetizan las conclusiones obtenidas en los capı́tulos anteriores. También se destacan aquı́ las limitaciones del estudio y se indican distintas direcciones y áreas para continuar la investigación. Este capı́tulo se estructura del siguiente modo: la sección 6.1 contiene las respuestas a las preguntas de investigación planteadas en la sección 1.3, revisa las consecuencias prácticas para la arquitectura del misil e identifica las implicaciones teóricas de estos resultados; la sección 6.2 clasifica las distintas limitaciones que se han encontrado durante las etapas de la investigación y finalmente identifica áreas para continuar y avanzar sobre este estudio. 5.1. Resumen de resultados obtenidos Los principales resultados obtenidos se han recogido dentro de sus capı́tulos respectivos. Esta sección sintetiza estos resultados para responder a las cuestiones de investigación planteadas en la sección 1.3 y desglosa sus implicaciones prácticas y teóricas. 5.1.1. Soluciones a las Preguntas de Investigación 1. Modelo aerodinámico avanzado para el misil de control doble. 1.1. Los fenómenos aerodinámicos caracterı́sticos del control doble y en particular el acoplamiento cruzado entre controles han sido estudiados en la sección 2.1.2 con la ayuda de la teorı́a de cuerpos esbeltos y simulaciones numéricas. 1.2. Se ha desarrollado una nomenclatura especı́fica para el tratamiento tridimensional del misil de control doble, tal y como se contempla en la sección 2.1.1. 112 5.1. RESUMEN DE RESULTADOS OBTENIDOS 1.3. Se ha desarrollado un modelo teórico, a través de funciones continuas, con una alta precisión suficiente para estudios avanzados de guiado y control. Estos resultados se recogen en la sección 2.2, con el nivel de detalle requerido. 1.4. Se han obtenido datos aerodinámicos experimentales fiables a través del estudio de la literatura cientı́fica (Lesieutre et al., 2002a,b; Cross et al., 2010; Blair, 1978; Khalid et al., 2005a,b; Akgul et al., 2012; Al-Garni et al., 2008). Estos datos han permitido comprobar la validez del modelo teórico. Se han extendido en este estudio a través de experimentos de aerodinámica computacional y métodos aerodinámicos de ingenierı́a (DATCOM)- ver Apendice D - con el nivel de precisión requerido. Los coeficientes del modelo teórico ajustados para el misil NASA pueden encontrarse en el Apéndice E. 1.5. En este diseño la autoridad para control en balanceo se ha asignado a la sección de cola. Se han desarrollado expresiones analı́ticas para el balanceo inducido, el amortiguamiento y el momento de control aerodinámico en balanceo. El auto piloto para balanceo está acoplado con los canales de los auto pilotos de picado y guiñada. Las capacidades del control de balanceo en cola para mantener estable el misil se han demostrado a través de simulaciones numéricas. 2. Desarrollo de la estructura en dos bucles del guiado y el auto piloto para misil de control doble. 2.1. Las limitaciones especı́ficas y los requisitos operacionales para el auto piloto del misil de control doble se han desarrollado en la sección 3.4.2, con énfasis en mantener el misil dentro de sus capacidades aerodinámicas. El ángulo de incidencia en cada uno de los controles tiene que ser monitorizado en tiempo real para prevenir la saturación aerodinámica del control o su entrada en pérdida. 2.2. Se ha resuelto el bucle general de guiado y control, representado en la Figura 1.3 para el misil de control doble. 2.2.1. Como variable de control se ha utilizado la derivada en el tiempo de los ángulos de posición de los controles δ̇. 2.2.2. Se ha introducido un bloque de pre-alimentación, detallado en la sección, 3.4.1, para resolver el problema de reparto cuando hay entradas de control múltiples. Este bloque de pre alimentación define un punto de equilibrio local en cada instante del vuelo para el sistema no lineal. El control actua de modo que lleva a la planta a este punto de equilibrio. 2.2.3. El Apéndice G lista todos los coeficientes en el espacio de los estados que forman el sistema del autopiloto. 113 5.1. RESUMEN DE RESULTADOS OBTENIDOS 2.3. El auto piloto no lineal se compara favorablemente contra sistemas de control tradicionales de ajuste de ganancias para el misil de control doble. La solución propuesta requiere menos esfuerzo de control, tiene un tiempo de estabilización más corto y menor tiempo de respuesta que el esquema de ajuste de ganancias. 2.4. El esquema de dos bucles G&C aplicado al misil de control doble aerodinámico, obtiene mejores resultados con menores distancias de paso, que un misil equivalente con control cola or canard, tanto guiado por navegación proporcional o por la ley de guiado óptimo, contra un blanco que maniobra, demostrado en 3.5.2. 3. Investigación sobre la aproximación integrada y comparación frente al doble bucle para el guiado y control de misiles 3.1. Se ha desarrollado un modelo matemático en ejes inerciales para el guiado y control de vuelo integrado, detallado en la sección 4.1 y en el Apéndice G. Debido al bajo amortiguamiento de la célula del misil, el tratamiento en ejes inerciales es más adecuado que en ejes cuerpo. Además este modelo incorpora explı́citamente la velocidad del blanco. 3.2. Un controlador de pre-alimentación, basado en una proyección en el tiempo de las condiciones de vuelo en equilibrio el misil, es capaz de prevenir el problema de las distintas escalas en las variables de guiado y control. Sin este pre alimentador el sistema de control integrado se saturarı́a rápidamente tal y como se describe en 4.2.3. 3.3. Un ı́ndice del coste para la la optimización del sistema integrado se ha definido en la sección 4.2.3. Este ı́ndice de coste es una combinación del ı́ndice de coste para el guiado óptimo, detallado en la sección 3.1 , con el ı́ndice de coste para el misil definido en la sección 3.4.2. 3.4. Se ha desarrollado una solución su óptima para el problema integrado no lineal, que minimiza el ı́ndice de coste en un tiempo finito. Esto se hace a través de un procedimiento matemático relativamente complejo que incluye una transformación matricial y la solución de una ecuación de Lyapunov, tal y como se detalla en la sección 4.2.3. 3.5. El misil con el control integrado se compara favorablemente contra el mismo misil empleando un esquema no integrado de dos bucles, como se demuestra en la sección 4.3. La superioridad del controlador integrado se hace aún más evidente en condiciones de lanzamiento desfavorables, alejadas del curso de colisión. 114 5.1. RESUMEN DE RESULTADOS OBTENIDOS 3.6. Las simulaciones con radomo, ruidos de radar y variaciones en la frecuencia de muestreo del radar, descritas en la sección 4.4 , se han llevado a cabo en la sección 4.4.4, donde el bucle integrado demuestra tener menos sensibilidad a perturbaciones externas 3.7. Sección 4.5 Describe como la lógica integrada puede ser usada con efectividad para la defensa contra un ataque desde la cola. El sistema integrado es capaz de gestionar esta maniobra defensiva interceptar al blanco atacante sólo con control aerodinámico. 5.1.2. Implicaciones en el diseño del misil Aquı́ se tratan dos elementos que son especialmente relevantes, por un lado el peso y el coste del misil de doble mando, y por otro que capacidades han de tener los sistemas de a bordo para implementar esta solución en tiempo real. Consideraciones sobre peso y coste La figura 5.1 ilustra los subsistemas del misil. El peso de cada subsistema se ve afectado por cambios en las actuaciones de vuelo del misil que a su vez dependen del esquema de guiado. Por ejemplo el peso estructural el tamaño de la carga de guerra de diseño, el tipo y cantidad de propulsante, el peso de los actuado redes para el control de vuelo etc. son sensibles a los cambios de las actuaciones del misil. Por otro lado hay algunos subsistemas que son relativamente insensibles a cambios en las actuaciones de vuelo como por ejemplo el grado modo, el buscador, el tamaño de las baterı́as el dimensionado de la electrónica para guiado y auto piloto. El peso total es un factor muy significativo para un arma aerotransportada, viene limitado por la capacidad de transporte de la plataforma y que afecta potencialmente a sus costes de producción y de logı́stica, a los daños colaterales que puede infringir, a su potencia de fuego y a la firma radar del avión lanzador durante el transporte entre otros factores. Esta sección revisa de modo conceptual los cambios que pueden esperarse en cada uno de los subsistemas sensibles como consecuencia de la mejora en las actuaciones encontradas para el misil de doble mando. El peso estructural del misil es un factor significativo ya que representa aproximadamente el 22 % del peso del misil al lanzamiento (Berglund et al., 2001). Las consideraciones de diseño más importantes con respecto al peso estructural son normalmente la presión interna del motor cohete y las cargas aerodinámicas durante la maniobra final. Se ha demostrado que el misil con control doble aerodinámico con lógica integrada soporta 1/4 del esfuerzo de maniobra ∆en . Y se requiere menos maniobra máxima. Esto 115 5.1. RESUMEN DE RESULTADOS OBTENIDOS Bateria Espoleta Autopiloto Cabeza de Guerra Motor Cohete Combustible Sólido Electronica de Guiado Blast Pipe Servos Cola Cabeceo/Guiñada/Balanceo (x4) Servomecanismos Canard Cabeceo / Guiñada (x2) Buscador Radar Figura 5.1: Subsistemas en un misil de control doble se traduce en menores momentos de flexión en la estructura que pueden representar un menor espesor de material, con la subsiguiente reducción de peso estructural. Por otro lado, la máxima presión dentro de la cámara de combustión de un motor cohete de combustible sólido es una función del pro pulsante seleccionado. Sin embargo la lógica integrada ha demostrado un mejor uso de la propulsión con una superior energı́a cinética especı́fica durante el vuelo ∆ek , y menos tiempo de vuelo hasta el impacto. A su vez estos resultados podrı́an permitir al diseñador reducir el peso necesario de propulsante por debajo del 65 % del peso al lanzamiento que es tı́pico en misiles tácticos, (Fleeman, 2012). Para un misil interceptor aéreo, las mejoras en las actuaciones de vuelo tienen un impacto muy significativo en el peso requerido para la cabeza de guerra y un impacto secundario en las caracterı́sticas de la espoleta. De la referencia (Carleone, 1993), puede establecerse que la sobrepresión generada por la onda expansiva creada por la carga de guerra es directamente proporcional a la cantidad de masa de explosivo y su energı́a, e inversamente proporcional al cubo de la distancia de paso. Asumiendo aquı́ que el tipo de explosivo no cambia, las menores distancias de paso obtenidas para nuestro misil reducen grandemente los requisitos de peso para la cabeza de guerra obteniendo la misma letalidad. Además la aproximación directa al blanco y la mayor precisión obtenida permite al diseñador cambiar el tipo de cabeza de guerra a una de tipo dirigido. En este modelo la energı́a cinética de la carga 116 5.1. RESUMEN DE RESULTADOS OBTENIDOS se libera a lo largo de una lı́nea, por ejemplo el eje axial frontal del misil, permitiendo descargar toda la energı́a explosiva directamente sobre el blanco. Este tipo de cabeza de guerra dirigida tiene la mayor densidad de energı́a cinética de todas y permite una reducción incluso mayor en el tamaño de la cabeza de guerra, minimizando además la probabilidad de causar un daño colateral. En contraste un misil aire aire tı́pico tiene una cabeza de guerra de fragmentación de forma cilı́ndrica, que debido a la distribución radial de los fragmentos, requiere una cabeza de guerra de mayor tamaño y más pesada. La aproximación directa al blanco y su mayor velocidad de colisión permite al misil con guiado integrado montar una espoleta con un ángulo fijo de activación, que simplifica los requerimientos de la espoleta de proximidad, minimizando su coste. Dependiendo de la misión la espoleta de proximidad podrı́a incluso ser eliminada y reemplazarse por una espoleta de contacto ya que este tipo de guiado aumenta la probabilidad de impacto directo, siendo este tipo de espoleta mucho más sencilla, fiable y segura. Finalmente merece la pena comentar el hecho de que el misil de doble mando aerodinámico necesita dos servo mecanismos adicionales de control, véase la figura 5.1. Los servos son dos en la sección delantera y cuatro en la sección de cola, estos últimos situados alrededor del tubo de salida del chorro del motor. Se hace notar que el aumento en número de actuadores no implica necesariamente un aumento de peso ya que depende del diseño aerodinámico de la aleta y de la posición de la lı́nea de charnela del actuador con respecto al centro de presiones . En efecto, el momento de charnela es: Mh = Nc · yh (5.1) donde Nc es la fuerza normal local en la aleta y yh es la distancia entre el centro de presión y la posición de la lı́nea de charnela. Nc es proporcional al ángulo de ataque y a la deflexión del control. Ambas variables son menores en el caso de un misil de doble mando, comparadas con las necesarias para operar un misil con control canard o cola, e incluso menores si la lógica integrada se aplica. El factor yh depende de la localización de la lı́nea de charnela y del desplazamiento relativo del centro de presión con el número de Mach. Este último puede ser ajustado mediante el diseño adecuado de la aleta de control (en doble delta por ejemplo). En resumen, los potenciales incrementos en peso y coste debido a los dos servos adicionales, pueden ser compensados a través de otros mecanismos ya considerados (estructura, propulsante, cabeza de guerra) para reducir de modo general el presupuesto de coste y de pesos. En cualquier caso estos dos servos adicionales para el control aerodinámico se comparan favorablemente con las complicaciones y los actuado por el que se requieren en el caso de un misil hı́brido. 117 5.1. RESUMEN DE RESULTADOS OBTENIDOS Cálculo en tiempo real de la ley de guiado Los dos métodos descritos en esta tesis, el método integrado en un único lazo y el método de doble lazo requieren de capacidades de procesado a bordo significativas. Las mayores cargas computacionales son: 1. Para el esquema un doble lazo: a) El auto piloto se calcula y se resuelve a una frecuencia muy superior (x10 o mayor) que el bucle de guiado. b) Requiere una solución en tiempo real de una ecuación matricial álgebraica de Riccati de 21x21 en cada paso de integración del auto piloto. 2. Para el diseño integrado: a) Todo el cálculo se realiza a la frecuencia que marca el reloj de guiado. b) Requiere la solución en tiempo real de una ecuación matricial diferencial de 29x 9 en cada paso de integración 4.34. c) Requiere el cálculo de la inversa de dos matrices de 29 x 29, ecuaciones 4.33 y 4.37. d ) Requiere el cálculo de una matriz exponencial de 29 x 29 eA0 (t−tf ) . e) Requiere la solución de una ecuación matricial de 29 x 29 de Lyapunov 4.39. Por cada paso de integración el sistema integrado requiere un mayor número de operaciones que el de doble lazo, pero corre a una frecuencia superior ya que lo hace a la frecuencia del bucle de guiado externo en la aproximación de doble lazo. El resultado en un vuelo de unos 10 segundos de duración es que el sistema integrado requiere 30 veces menos cálculos que el sistema de doble lazo. La mayor carga computacional en cualquiera de estos esquemas proviene de la solución de las ecuaciones matriciales en tiempo real. La velocidad de solución de cada una de las ecuaciones mencionadas arriba de 21 x 21 y 29 x 29, han sido evaluadas con ayuda del paquete MATLAB real time environment, obteniendose un tiempo de ejecución de 0.5ms de resolución con un núcleo Corei7 operando a 2.5GHz y 16GB RAM. Las capacidades de los sistemas de control de vuelo para altas actuaciones disponibles comercialmente son superiores, y en cualquier caso los códigos utilizados son susceptibles de mejora lo que dará lugar a incrementos adicionales en velocidad de proceso. 118 5.2. LIMITACIONES AL ESTUDIO Y ÁREAS DE DESARROLLO FUTURAS 5.1.3. Implicaciones teóricas Se ha desarrollado un procedimiento genérico para crear un auto piloto no lineal capaz de controlar un misil en picado, guiñada y balanceo simultáneamente. Además el auto piloto desarrollado gestionar múltiples entradas y salidas. Se ha introducido el producto de Kronecker para simplificar el tratamiento del problema óptimo con matrices dependientes de los estados. Se ha encontrado una solución en tiempo finito para un problema óptimo no lineal mediante la ecuación de Lyapunov, y se ha aplicado a la resolución del problema integrado. El problema de optimización es especialmente adecuado a misiles, ya que tienen un claro objetivo en minimizar la distancia de paso. Pero esta aproximación puede extenderse a cualquier otro problema altamente no lineal que necesite optimizar cierta función compleja dentro de un intervalo de tiempo finito. Posibles aplicaciones son la trayectoria de ascenso de un vehı́culo lanzador, optimizar al crucero en un avión o caza de combate, maniobras de satélites en el espacio etc. 5.2. Limitaciones al Estudio y Áreas de Desarrollo Futuras En esta sección se repasan las limitaciones a este estudio y se identifican las áreas en las que la investigación puede avanzar en aras de adquirir nuevos conocimientos. Se tratan tres secciones aerodinámica, control y guiado. 5.2.1. Aerodinámica El modelo aerodinámico en este estudio se ha planteado con limitaciones en β y Mach. Un modelo ingenieril para aplicaciones prácticas tendrá que eliminar estas restricciones y considerar los valores de α y β iguales en magnitud ası́ como todo el régimen de vuelo del misil, desde supersónico subsónico. No se ha dispuesto en este estudio de datos aerodinámicos en guiñada o en balanceo. En esta investigación se han utilizado datos procedentes de aerodinámica computacional CFD y métodos semi empı́ricos para validar el modelo teórico en estos dos aspectos. Aunque se ha encontrado una correlación muy buena entre los datos calculados y medidos para la aerodinámica en cabeceo, lo que permite tener gran confianza en los datos calculados en guiñada y balanceo, la última prueba de verosimilitud siempre vendrá dada por los datos en túnel. No se han considerado en este estudio los efectos aéroelásticos, y como las deformaciones de la estructura debido a las cargas en vuelo afectan a la aerodinámica del 119 5.2. LIMITACIONES AL ESTUDIO Y ÁREAS DE DESARROLLO FUTURAS misil. 5.2.2. Guiado y control Se ha considerado que todas las variables del misil estaban disponibles para ser realimentadas al sistema de control y carentes de ruido. Esto se ha hecho ası́ ya que no es un hecho diferencial entre el guiado integrado y el no integrado. Sin embargo un estudio posterior podrı́a considerar que en la medida de los quaterniones y las velocidades angulares del misil que da la IMU están tı́picamente contaminadas por ruido. Otro factor a considerar es que los ángulos aerodinámicos α y β no suele medirse directamente en misiles en servicio y se estiman como parte del filtro de Kalman. Sólo se ha considerado el guiado radar, debido a la gran cantidad de datos que requiere el guiado óptimo. Sin embargo esta metodologı́a podrı́a aplicarse también a un misil guiado por infrarrojos, donde se mide menos variables pero se estiman las necesarias. El buscador de infrarrojos va montado dentro de un irdome semiesférico que aumenta la resistencia aerodinámica, factor que tendrı́amos que considerar. El modelo de los servo sea considerado como un modelo de segundo orden con un factor adicional que incluye dinámicas de orden superior. Este modelo puede refinarse en posteriores estudios. También se ha considerado que los servo mecanismos son capaces de generar todo el par necesario para mantener la aleta aerodinámica en la posición demandada. Se han incluido no obstante limitaciones en la velocidad máxima de giro que el servo puede dar. Un modelo más detallado mecánico que incluya las ecuaciones dinámicas del servomecanismo y sus limitaciones en par. 120 Apéndice A Derivación de Matrices y Producto de Kronecker Este apéndice actualiza las convenciones originalmente definidas en (Vetter, 1970) y posteriormente expandidas por (Brewer, 1978) para aquellos elementos que se emplean dentro del cuerpo principal de la tesis. La aplicación de estas fórmulas, con la inclusión del producto de Kronecker, preserva la notación matricial a través de la operación de derivación. Estas operaciones se emplean de modo extensivo en la tesis al aplicar los métodos de optimización. En lo que sigue x : R → Rn,1 , es un vector columna, y y (x) : R → Rp,1 , z (x) : R → Rq,1 son vectores columna cuyos elementos son funciones de los elementos de x. A.1. Estructuras de Derivación Si la matriz A : R → Rp,q , depende funcionalmente del vector x, a11 · · · a1p . . .. . . ... A (x) = aq1 · · · aqp (A.1) sus elementos akj son funciones de xi . Se tiene que: ∂a11 ∂xi ∂A . = .. ∂xi ∂a q1 ∂xi ··· .. . ∂a1p ∂xi ··· ∂aqp ∂xi ∂A ∂x1 .. . A1 (A.2) ∂A .. = . ∂x ∂A ∂xn (A.3) A.1. ESTRUCTURAS DE DERIVACIÓN y en forma expandida: ∂a11 ∂x1 ··· .. . . .. ∂aq1 ∂x · · · 1 . .. . ∂A .. = ∂x ∂a11 ∂xn · · · . .. .. . ∂aq1 ··· ∂xn ∂a1p ∂x1 .. . ∂aqp ∂x1 .. . ∂a1p ∂xn .. . (A.4) ∂aqp ∂xn de modo similar, la derivada con respecto a un vector columna xT es: ∂a11 ∂x1 ∂A = ··· T ∂x ∂a q1 ∂x1 ··· .. . ∂a1p ∂x1 ··· ∂aqp ∂x1 .. . ··· ··· .. . ∂a1p ∂xn ∂aq1 ∂xn ··· ∂aqp ∂xn ··· ∂a11 ∂xn ··· ··· .. . (A.5) Se define: ∂kA ∂ = k ∂x ∂x ∂ ∂x ∂A ··· ∂x (A.6) Para la derivada de un vector función de un vector, existen tres casos distintos. Vector fila derivado con respecto a un vector columna resulta en una matriz: ∂y 1 ∂x T ∂y ∂x ∂y11 ∂x2 = .. . ∂y1 ∂xn ∂y2 ∂x1 ∂y2 ∂x2 .. . ··· ··· .. . ∂yp ∂x1 ∂yp ∂x2 ∂y2 ∂xn ··· ∂yp ∂xn .. . (A.7) La derivada de un vector columna con respecto a un vector fila es una matriz: ∂y ∂y ∂xT 1 ∂x ∂y21 ∂x1 = . .. ∂yp ∂x1 ∂y1 ∂x2 ∂y2 ∂x2 ··· ··· .. . ∂y1 ∂xn ∂y2 ∂xn ∂yp ∂x2 ··· ∂yp ∂xn .. . .. . (A.8) donde (A.8) se conoce como el jacobiano. De aquı́: ∂y T ∂x T ∂y = ∂xT (A.9) Y finalmente la derivada de un vector columna con respecto a un vector columna es un vector en la forma: A2 A.2. PRODUCTO DE KRONECKER Y SUS PROPIEDADES ∂y1 ∂x1 ∂y2 ∂x1 . .. ∂yp ∂x1 ∂y . = .. ∂x ∂y1 ∂xn ∂y2 ∂x n .. . (A.10) ∂yp ∂xn donde ∂y ∂x es la vectorización de (A.8). Se introduce la siguiente notación: In ⊗ xT A A.2. ∂y ∂y = vec ∂x ∂xT (A.11) ∂y = vec Ip ∂y (A.12) ∂y T = Ip ∂y (A.13) · vec In = vec xT A = AT x (A.14) Producto de Kronecker y sus Propiedades El producto de Kronecker, también conocido como producto tensorial, de las matrices A y B , se obtiene multiplicando los elementos de la matriz A por la matriz B. Por ejemplo: " I 2 ⊗ xT ≡ x1 · · · xn 0 ··· 0 0 ··· 0 x1 · · · xn # (A.15) De aquı́: aA = a ⊗ A. Productos de Kronecker sucesivos se definen como: ⊗k x ≡ x ⊗ x ⊗ ··· ⊗ x (A.16) (I ⊗ A)k = I ⊗ Ak (A.17) y de aquı́: A3 A.3. ÁLGEBRA DEL CÁLCULO DE MATRICES Propiedades que se emplean en la tesis: (A ⊗ B)T = AT ⊗ BT (A.18) (A ⊗ B) ⊗ C = A ⊗ (B ⊗ C) (A.19) (A ⊗ B) (C ⊗ D) = AB ⊗ CD (A.20) (Im ⊗ N ) (M ⊗ In ) = (M ⊗ In ) (Im ⊗ N ) (A.21) C T ⊗ A vec B = vec ABC (A.22) vec xy T = y ⊗ x (A.23) (Ip ⊗ y) A = A ⊗ y (A.24) A Iq ⊗ z T = A ⊗ z T (A.25) La demostración puede encontrarse por ejemplo en (Laub, 2004). La ecuación de Lyapunov: AX + XAT = C (A.26) que se utiliza en el Capı́tulo 4, puede expresarse: [(I ⊗ A) + (A ⊗ I)] vec X = vec C A.3. (A.27) Álgebra del Cálculo de Matrices Las definiciones y resultados de las últimas dos secciones se aplican aquı́ para presentar la estructura de matrices compuestas y formas escalares: Si A : R → Rp,q es funcionalmente dependiente de otras matrices, A (B, · · · ), su derivada es: ∂A X (s,t) ∂A = Eik ⊗ ∂B ∂bik i,k A4 (A.28) A.3. ÁLGEBRA DEL CÁLCULO DE MATRICES (s,t) donde Eik tiene dimensiones de (s, t), y cuyo elemento ik es 1 y 0 en todas las otras posiciones. De aquı́: ∂A ∂B T ∂AT = ∂B T ∂a ∂A ∂aA = ⊗A+a ∂B ∂B ∂B A.3.1. (A.29) (A.30) Derivada de Matrices Compuestas Regla de la cadena Si A (C (B)) donde A : R → Rp,q , C : R → Rr,l , su derivada con respecto a B : R → Rs,t : ∂[vec C]T ∂A ⊗ Ip It ⊗ ∂B ∂[vec C] ∂A ∂[vec C T ]T ⊗ Iq = Is ⊗ ∂[vec C] ∂B ∂A (C (B)) = ∂B (A.31) Regla del Producto La derivada de A (B) = C (B) F (B) : ∂CF ∂C ∂F = (It ⊗ F ) + (Is ⊗ C) ∂B ∂B ∂B (A.32) Derivada del Producto de Kronecker ∂A ⊗ C ∂A = ⊗ C + (Is ⊗ Upr ) ∂B ∂B ∂C ⊗ A (It ⊗ Ulq ) ∂B (A.33) donde Upq es la matriz de permutación, una matriz cuadrada de orden (pq, pq) que tiene un único 1 en cada fila y columna . A.3.2. Derivada de la Forma Escalar Se consideran derivadas de la forma escalar y T Az, donde A (x) : R → Rp,q , x : R → Rn,1 , y (x) : R → Rp,1 y z (x) : R → Rq,1 . A5 A.3. ÁLGEBRA DEL CÁLCULO DE MATRICES ∂y T Az = Az ∂y (A.34) ∂y T Az = AT y ∂z (A.35) ∂z ∂y T ∂y T Az T ∂A T = Az + In ⊗ y z + In ⊗ y A ∂x ∂x ∂x ∂x (A.36) obteniéndose: ∂A ∂xT Ax = A + AT x + In ⊗ xT x ∂x ∂x (A.37) ∂xT Ax T ∂A T T + I ⊗ x A + A x = x n ∂xT ∂x (A.38) La ecuación A.37, para una matriz tal que Q = QT : ∂y T Qy = 2Qy ∂y A6 (A.39) Apéndice B Teorı́a de Control Óptimo Se realiza una revisión rápida del Estado del arte en la resolución del problema del regulador óptimo para sistemas no lineales, en la que además se han adaptado con la introducción original del producto de Kronecker revisado en el apéndice A, que simplifica en gran medida la notación. B.1. Principio del Mı́nimo de Pontryagin para Misiles Se considera que el control del misil o su guiado es un sistema dinámico de la forma: ẋ(t) = f (x(t), u(t), t), x(0) = x0 (B.1) donde t ∈ [0, tf ]. Como es normal en vehı́culos aerodinámicos se considera que el vector de estado inicial x ∈ Ω ⊆ Rn , con 0 ∈ Ω y u ∈ U ⊆ Rm , están acotados en Ω y U con 1 ≤ m ≤ n. Se asume que el par (x, u) es continuo y f tiene derivadas primera y segunda continuas con respecto todos sus argumentos. Para el caso del auto piloto, se pretende minimizar el problema de Lagrange Z J(x0 , u, 0) = ∞ L(x(t̄), u(t̄), t̄) dt̄ (B.2) 0 Mientras que en el problema de guiado se pretende minimizar un ı́ndice de coste más general, en lo que se conoce como el problema deBolza: Z J(x0 , u, 0) = Ψ(tf , xf ) + tf L(x(t̄), u(t̄), t̄) dt̄ (B.3) 0 En el guiado el Estado final no está fijado debido a la presencia de Ψ(tf , xf ) como un funcional de la distancia de paso. En lo que sigue se considera el problema más general de Bolza ya que incluye la formulación de Lagrange. Se busca u∗ ∈ U que B1 B.1. PRINCIPIO DEL MÍNIMO DE PONTRYAGIN PARA MISILES cause (B.1) a seguir una trayectoria admisible x∗ ∈ Ω que minimice el ı́ndice de coste. El Hamiltoniano del sistema es: H(x, u, λ, t) , L(x(t), u(t), t) + λT f (x(t), u(t), t) (B.4) El vector columna de adjuntos λ es el vector de multiplicadores de Lagrange asociado con las limitaciones dinámicas en (B.1). Las condiciones necesarias para que u∗ sea la ley de control óptima para x∗ son: H(x∗ (t), u∗ (t), λ(t), t) ≤ H(x∗ (t), u(t), λ(t), t) ∂H ẋ(t) = ∂λ ∂H −λ̇ = ∂x (B.5a) (B.5b) (B.5c) para todo t ∈ [0, tf ], y todos los controles admisibles. La ecuación (B.5a) es propiamente el principio del mı́nimo de Pontryagin. Las condiciones de contorno vienen dadas por: T ∂Ψ ∗ (tf , x (tf ) − λ(tf ) · δxf + ∂x ∂Ψ ∗ ∗ ∗ ∗ H(x (tf ), u (tf ), λ (tf ), tf ) + (tf , x (tf ) δtf = 0 ∂x (B.6) Este principio transforma el problema de control óptimo en un problema con valores en los extremos, e introduce el Hamiltoniano en el campo de la optimización. La combinación de condiciones iniciales y finales con ecuaciones diferenciales no lineales constituye un problema que es muy difı́cil de resolver en la práctica. Si los controles no tiene limitaciones, entonces para que u∗ (t) minimice el Hamiltoniano es necesario pero no suficiente que: ∂H ∗ (x (t), u∗ (t), λ(t), t) = 0 (B.7) ∂u Si se satisface (B.7) y el Hessiano es positivo definido (condición de suficiencia débil de Legendre-Clebsh): ∂ 2H ∗ (x (t), u∗ (t), λ(t), t) > 0 (B.8) ∂u2 entonces se garantiza que u∗ (t) causa un mı́nimo local. Podemos establecer una conexión con la programación Dinámica, asumiendo que J ∗ (x0 , 0) , mı́n J(x0 , u) u∈U B2 (B.9) B.2. ECUACIÓN DE RICCATI DEPENDIENTE DE LOS ESTADOS es suave, con derivadas primera y segunda acotadas, se llega a la ecuación de HamiltonJacobi-Bellman (HJB): ∂J ∗ ∂J ∗ ∗ ∗ 0= (x, t) + H x (t), u (t), ,t ∂t ∂x (B.10) con condiciones de contorno: J ∗ (tf , xt ) = Ψ (tf , x∗f ) (B.11) and ∂J ∗ =λ (B.12) ∂x Esto es, el vector de coestados representa la función de sensibilidad del ı́ndice de coste óptimo con respecto al vector de estado. Se puede también considerar como un vector que apunta alejándose del gradiente del ı́ndice de coste óptimo. B.2. Ecuación de Riccati Dependiente de los Estados Se considera aquı́ una simplificación del problema general presentado en la sección anterior. El sistema dinámico B.1 se asume que puede ser escrito como: ẋ(t) = f (x(t)) + g(x(t))u(t) (B.13) con f and g funciones continuas.El sistema (B.13) es invariante en el tiempo, no lineal en el estado y afin en el control. Donde x ∈ Ω ⊆ Rn , con 0 ∈ Ω, asumiendo que u no está acotado. Se verifica también que f (0) = 0 y g((x)) 6= 0 ∀x ∈ Ω. El problema minimiza el ı́ndice de coste de Langrange 1 J(x0 , u, 0) = 2 Z ∞ xT Q(x)x + uT R(x)u dt̄ (B.14) 0 a la vez que regula el vector de estado 0 al origen, de modo que: lı́m x = 0 t→∞ (B.15) donde Q(x) = QT (x) ≥ 0 y R(x) = RT (x) > 0. Para esta formulación en horizonte de tiempo infinito, J ∗ se asume como estaciona∗ rio ∂J = 0, y verifica J ∗ (0) = 0. Sustituyendo en (B.10)y particularizando para x = 0, ∂t se obtiene: ∂J ∗ (0) =0 (B.16) ∂x B3 B.2. ECUACIÓN DE RICCATI DEPENDIENTE DE LOS ESTADOS de modo que λ = M (x)x (B.17) La condición necesaria para el óptimo es: ∂H = R(x)u + g T (x)M (x)x = 0 ∂u (B.18) u = −R−1 (x)g T (x)M (x)x (B.19) or y dado que el Hessiano es positivo definido la condición es también suficiente para ser un mı́nimo global: ∂ 2H = R(x) (B.20) ∂u2 Para obtener la ley de control es necesario encontrar la matriz M . Derivando en (B.17) y sustituyendo en (B.5a) y (B.5c): Ṁ x+M f − gR−1 g T M x = T ∂f T 1 T ∂Q T −1 ∂g x− M x − x M gR Mx − Qx − x 2 ∂x ∂x ∂x 1 ∂R −1 T − xT M gR−1 R B Mx 2 ∂x (B.21) aplicando la regla de la cadena (ver A.3.1 ): ∂M (ẋ ⊗ In ) (B.22) ∂xT En el caso de un problema lineal, con f = Ax, y A, g, Q , R constantes, la ecuación (B.21) colapsa a la ecuación algebraica de Riccati , solución del problema LQR (Linear Quadratic Regulator) : Ṁ = M A + AT M − M gR−1 g T M + Q = 0 (B.23) El método la Ecuación de Riccati Dependiente de los Estados replica la solución del método lineal, asumiendo que f = A(x)x y resolviendo (B.23) para cada valor de x. Para conseguir una solución óptima ha de verificarse la condición necesaria: 1 ∂Q 1 ∂R −1 T ∂AT Ṁ x+ xT x + xT M gR−1 R B M x + xT Mx = 2 ∂x 2 ∂x ∂x ∂g T − xT M gR−1 Mx = 0 ∂x B4 (B.24) Apéndice C Misil NASA NTCM Geometrı́a y Modelo Aerodinámico Aquı́ se describe el misil utilizado en las simulaciones. Está basado en el misil de la NASA NASA Tandem Control Missile mencionado en la referencia (Blair, 1978) y en la sección 1.4.1. Este misil ha sido escalado tres veces (x3) para los estudios de guiado y control, y se han tomado ciertas hipótesis con respecto a sus parámetros básicos, basándose en misiles semejantes en servicio, adaptado de la referencia (Fleeman, 2006). par 297.2 145.6 moment reference center 27.4 61.0 XB 55.4 19.8 hinge line hinge line ZB Figura C.1: Geometrı́a del misil base. Dimensiones en centı́metros. C.1. Geometrı́a del misil El modelo se representa en la figura C.1, Compuesto por un cuerpo axil simétrico, una ojiva tangente, relación de longitud a diámetro de 3 y dos conjuntos de 4 aletas C1 C.1. GEOMETRÍA DEL MISIL alineadas, donde todas las aletas son móviles. (b) Shadowgraph at M∞ = 2,5 (a) Missile Model Figura C.2: Experimentos en Túnel Aerodinámico en NASA y Onera. La tabla C.1 contiene las caracterı́sticas principales del misil base. Cuadro C.1: Model Geometry Specifications Parameter Missile Length Missile diameter, (caliber) 1 Body Frontal Area Ojive length Cylinder after-body length Total missile body length Tangent ojive radius Fin tip chord Fin exposed maximum chord Fin theoretical root chord Fin sweep angle Fin exposed semi span Fin installed span Panel exposed surface Fin exposed aspect ratio Theoretical taper ratio Fin exposed taper ratio Fin exposed mean aerodynamic chord Theoretical canard apex (from nose) Canard hinge line position (from nose) Theoretical tail apex (from nose) Tail hinge line Separation between hinge lines Symbol Value Units L d Sref 2.972 0.1981 3.0828 3 12 15 0.95 0.87 1.38 1.67 30 0.9 2.8 7.947 1.6 0.571 0.625 1.15 2.8 3.78 13.3 14.3 7.6 m m dm2 d d d d d d d deg d d dm2 ND ND ND d d d d d (cr )e ct (cr )e cr be 2 Se AR λc λe MAC donde: Sref = 1 πd2 4 Missile caliber, note it is used as a reference to define other model lengths C2 (C.1) C.2. PARÁMETROS BÁSICOS Y DEFINICIÓN DE LA MISIÓN (cr )e + ct be 2 (C.2) AR = b2e Se (C.3) λc = ct cr (C.4) ct (cr )e (C.5) Se = λe = MAC = 2 1 + λe + λ2e · (cr )e 3 1 + λe (C.6) De acuerdo a la convención de misiles, el calibre del misil d se emplea como longitud de referencia para los momentos aerodinámicos, y el área frontal del cuerpo del misil se emplea como área de referencia para las fuerzas y momentos aerodinámicos. El centro de referencia de momentos es un punto fijo que se sitúa a 1.4562 m desde la punta de la ojiva como se puede ver en la figura C.1. C.2. Parámetros básicos y definición de la misión Basado en misiles aire aire comparables y en servicio la actualidad (Fleeman, 2012), se define una misión estándar para poder dimensionar de manera adecuada el misil. La tabla C.2 contiene los parámetros básicos del misil y las especı́ficaciones de propulsión definidas. C3 C.2. PARÁMETROS BÁSICOS Y DEFINICIÓN DE LA MISIÓN Cuadro C.2: Guidance and Control Model Mission Specifications Parameter Symbol Moment reference center (from nose) Position mass center, launch (f. nose) Position mass center, end of boost (f. nose) Position mass center, burnout (f. nose) Pitch moment of inertia , launch Pitch moment of inertia , burnt out Roll moment of inertia, launch Roll moment of inertia, burn out Missile mass, launch Missile mass, burn out Propellant mass for boost phase Propellant mass for sustain phase Propellant density Design flight altitude/s Rocket thrust at boost Rocket thrust at sustain Mach, end of boost phase Mach, beginning of coast Launch Mach in subsonic Specific Impulse, Boost Specific Impulse, Sustain Burning time, boost engine Burning time, sustain engine Maximum coast time (self destruction) Max. flight time (boos+sustain+coast) Maximum control fin mechanical deflection Servo Rate Limit Maximum structural limit C4 IyB IyB bo IxB IxB bo m mbo Isp Isp tb1 tb2 tcoast tb + tcoast δmech δ̇mech nstruc Value Units 1.4562 1.4858 1.4362 1.2877 35.6 32 0.407 0.320 129.2 87.27 27.94 13.99 1800 6000/12000 13706 3400 2.5 2.5 0.8 250 200 5 8 12 25 ±30 ±600 40 m m m m kg · m2 kg · m2 kg · m2 kg · m2 kg kg kg kg kg m3 m N N ND ND ND s s s s s s deg deg/s g Apéndice D Datos Aerodinámicos El misil NASA fue probado en ensayos en túnel aerodinámico en régimen supersónico con 1,75 < M∞ < 2,86 y a ángulos de ataque −4 < α < 28 grados, en configuración en +. El número de Reynolds fue 6,6x104 por cm ((Blair, 1978; Khalid et al., 2005a). Los datos experimentales de túnel han sido extraı́dos de las referencias (Khalid et al., 2005b; Lesieutre et al., 2002b; Blair, 1978; Khalid et al., 2005a; Lesieutre et al., 2002a; Cross et al., 2010; Akgul et al., 2012; Al-Garni et al., 2008). Las fuerzas y momentos aerodinámicos fueron medidos con una sonda de esfuerzos y el ángulo de ataque mediante un acelerómetro introducido en la ojiva del modelo. Para inducir la transición a la turbulencia se colocaron bandas en la ojiva y en los bordes de ataque de las aletas del misil, (Khalid et al., 2005b) los coeficientes medidos fueron CN , Cm y CA , todos en ejes cuerpo. Por otro lado, para expandir esta base de datos experimentales se realizaron cálculos de aerodinámica computacional, CFD, empleando el programa comercial Fluent. Los datos experimentales de túnel aerodinámico fueron utilizados para ajustar los parámetros del CFD, aumentando su precisión. Debido a la simetrı́a, se realizó el cálculo para medio misil, en el que se utilizó una red de 2,2 millones de bloques estructurados la altura de la primera celda por encima de la superficie del misil se situó en 10[−5 calibres, y este fue el mismo parámetro que se utilizó para capturar la capa lı́mite en las aletas del misil. El modelo de turbulencia empleado fue el Spalart-Allmaras para todos los ángulos de incidencia. La solución requirió de tres horas de cálculo por cada ángulo de ataque en un procesador Intel Core i5-4570 3.2 GHz(cache) 4 GB RAM. Para cada posición de los controles se requieren 48 horas de cálculo, haciendo un barrido para todos los ángulos de ataque de interés. D1 D.1. TABLAS DE RESULTADOS D.1. Tablas de Resultados Cuadro D.1: CN Wind Tunnel Results extracted from graphs in (Lesieutre et al., 2002a) as a function of δqc /δqt parameter for NASA Model Missile α 0/ − 20 20/0 20/ − 20 10/10 0/0 -4.3 -2.1 -1.2 -0.2 0.7 1.7 3.8 5.7 7.9 9.8 11.7 13.8 15.7 17.4 19.8 23.6 27.6 -2.42 -1.95 -1.68 -1.52 -1.30 -1.10 -0.42 0.15 0.85 1.45 2.30 3.10 3.95 4.95 5.90 7.90 9.80 0.25 0.80 1.05 1.15 1.41 1.60 2.30 2.80 3.50 4.10 4.90 5.70 6.50 7.45 8.26 10.40 12.30 -1.12 -0.60 -0.30 -0.21 0.05 0.28 0.98 1.52 2.24 2.80 3.50 4.33 5.15 6.05 7.00 8.82 10.60 0.28 0.84 0.98 1.26 1.40 1.82 2.38 2.94 3.64 4.34 5.04 5.74 6.86 7.84 8.82 10.78 13.16 -1.05 -0.56 -0.28 -0.14 0.10 0.30 0.98 1.54 2.24 2.87 3.71 4.55 5.40 6.40 7.28 9.52 11.62 Cuadro D.2: DATCOM Semiexperimental method results for CN as a function of δqc /δqt parameter for NASA Model Missile α 0/ − 20 20/0 20/ − 20 10/10 0/0 -4.0 -2.0 -1.0 0.0 1.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0 14.0 -3.328 -2.586 -2.227 -1.951 -1.701 -1.425 -0.797 -0.008 0.777 1.634 2.579 3.649 0.777 1.430 1.739 2.034 2.329 2.647 3.387 4.248 5.319 6.722 7.798 8.951 -1.282 -0.531 -0.190 0.128 0.438 0.767 1.498 2.479 3.545 4.981 6.071 7.219 0.687 1.309 1.599 1.873 2.146 2.444 3.080 3.847 4.666 5.590 6.655 7.907 -1.139 -0.528 -0.252 0.000 0.252 0.528 1.149 1.808 2.545 3.364 4.289 5.359 D2 D.1. TABLAS DE RESULTADOS Cuadro D.3: Data from Numerical Experiments with CFD (Fluent). Results of CN as a function of δqc /δqt parameter for NASA Model Missile α 0/ − 10 -3 0 3 5 10 15 20 25 30 -1.535 -0.748 0.044 0.643 2.214 4.329 6.825 9.306 10/0 20/0 0.065 0.649 0.619 1.318 1.443 2.067 2.089 2.803 3.717 4.397 5.638 6.171 8.133 8.505 10.659 11.064 13.484 13.769 10/ − 10 −10/ − 10 -1.415 -0.140 0.755 1.431 3.000 4.911 7.418 9.922 12.589 -2.109 -1.392 -0.675 -0.095 1.673 3.826 6.289 8.972 11.748 Cuadro D.4: Experimental wind tunnel data of Cm as a function of δqc /δqt parameter for NASA Model Missile from graphs in (Lesieutre et al., 2002a) α 0/ − 20 20/0 20/ − 20 10/10 0/0 -4.3 -2.1 -1.2 -0.2 0.7 1.7 3.8 5.7 7.9 9.8 11.7 13.8 15.7 17.4 19.5 23.6 27.6 9.40 9.40 9.40 9.45 9.50 9.70 9.75 9.60 9.40 8.90 8.90 8.50 8.40 7.80 7.20 6.30 5.00 6.50 7.00 7.30 8.00 9.05 9.10 8.00 7.00 6.80 6.10 5.90 5.50 5.10 4.80 4.05 2.50 0.50 16.60 17.00 17.50 18.00 18.10 18.30 16.90 16.00 15.60 15.10 14.80 14.10 14.00 13.10 12.50 11.90 11.10 -1.80 -1.40 -1.10 -0.50 0.50 0.30 -0.30 -0.70 -1.50 -1.80 -1.90 -2.20 -2.40 -2.50 -2.40 -5.00 -7.00 -0.50 -0.40 -0.30 -0.05 0.20 0.35 0.50 0.40 0.20 0.15 0.00 -0.10 -0.60 -1.00 -1.80 -3.20 -5.50 D3 D.1. TABLAS DE RESULTADOS Cuadro D.5: CFD Data of Cm as a function of δqc /δqt parameter for NASA Model Missile α 0/ − 10 10/0 20/0 10/ − 10 −10/ − 10 -3 0 3 5 10 15 20 25 30 5.005 5.256 5.466 5.262 5.127 4.490 2.756 1.711 3.766 4.952 5.061 4.506 3.431 2.748 1.491 -0.296 -1.903 7.601 9.378 9.745 8.251 6.306 5.517 3.941 2.457 0.149 9.134 10.243 9.823 9.071 8.589 7.753 6.049 4.858 2.954 -1.275 0.883 0.945 1.745 2.058 1.403 0.126 -1.708 -4.112 Cuadro D.6: Experimental data for CA as a function of δqc /δqt parameter for NASA Model Missile extracted from (Cross et al., 2010) α 0/0 10/10 20/0 20/ − 20 0/ − 20 0.48 1.43 3.57 5.71 7.52 9.76 11.67 13.57 15.6 17.62 19.52 23.57 27.6 0.436 0.443 0.450 0.457 0.464 0.469 0.471 0.479 0.486 0.493 0.500 0.514 0.529 0.571 0.679 0.710 0.829 0.857 0.979 1.029 1.086 1.143 1.186 1.243 1.357 1.486 0.957 0.986 1.057 1.114 1.171 1.236 1.286 1.329 1.371 1.429 1.471 1.586 1.714 1.500 1.450 1.414 1.407 1.400 1.393 1.371 1.364 1.386 1.386 1.400 1.429 1.486 0.886 0.850 0.807 0.743 0.686 0.614 0.557 0.514 0.493 0.443 0.429 0.400 0.371 Cuadro D.7: CFD data for CA as a function of δqc /δqt parameter for NASA Model Missile α 0/ − 10 10/0 20/0 10/ − 10 -3 0 3 5 10 15 20 25 30 0.699 0.659 0.624 0.576 0.533 0.469 0.438 0.426 0.575 0.621 0.674 0.725 0.829 0.892 0.986 1.056 1.186 0.896 0.959 1.085 1.145 1.283 1.418 1.509 1.693 1.842 0.790 0.803 0.794 0.814 0.783 0.800 0.825 0.864 0.895 D4 D.1. TABLAS DE RESULTADOS Cuadro D.8: CFD Numerical Experiments for δrc = 5 deg, NASA Model Missile α CN CA CS 0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20 22.5 25 27.5 30 37.5 0.000 0.642 1.362 2.135 2.978 3.949 5.040 6.251 7.529 8.830 10.161 11.549 13.002 17.603 0.537 0.542 0.551 0.564 0.580 0.593 0.605 0.618 0.634 0.647 0.662 0.677 0.694 0.759 -0.317 -0.331 -0.370 -0.422 -0.474 -0.502 -0.486 -0.403 -0.327 -0.282 -0.285 -0.431 -0.468 -0.378 Cn Cm 2.379 0.002 2.270 0.361 2.009 0.312 1.695 0.137 1.424 -0.092 1.305 -0.384 1.387 -0.692 1.750 -1.396 2.109 -2.338 2.320 -3.323 2.181 -4.394 1.103 -5.710 0.775 -7.275 1.461 -13.085 Cl -0.001 -0.052 -0.094 -0.116 -0.107 -0.084 -0.069 -0.094 -0.146 -0.208 -0.247 -0.172 -0.114 -0.217 Cuadro D.9: CFD Numerical Experiments for δrc = 10 at NASA Model Missile α CN CA CS Cn Cm Cl 0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20 22.5 25 32.5 35 37.5 40 42.5 0.000 0.649 1.373 2.161 3.022 3.986 5.068 6.280 7.569 8.883 10.241 14.568 16.060 17.515 19.005 20.459 0.663 0.636 0.647 0.664 0.680 0.694 0.708 0.720 0.734 0.753 0.776 0.827 0.830 0.849 0.852 0.857 -0.631 -0.669 -0.740 -0.830 -0.909 -0.931 -0.880 -0.755 -0.612 -0.541 -0.591 -0.665 -0.725 -0.736 -0.725 -0.728 4.754 4.480 3.963 3.361 2.842 2.666 2.883 3.480 4.228 4.597 4.153 3.324 2.857 2.715 2.639 2.408 0.083 0.352 0.326 0.089 -0.217 -0.498 -0.798 -1.476 -2.461 -3.513 -4.687 -9.280 -10.979 -12.650 -14.524 -16.187 -0.003 -0.106 -0.187 -0.221 -0.196 -0.136 -0.113 -0.159 -0.262 -0.376 -0.421 -0.429 -0.411 -0.418 -0.452 -0.448 D5 D.1. TABLAS DE RESULTADOS Cuadro D.10: CFD Numerical Experiments, Induced Rolling Moment α β φa Cli (α.β) α β φa Cli (α.β) 5 5 5 5 6 6 6 7 1 2 4 6 8 12 14 18 23 28 35 38 2 4 6 8 9 12 18 22 28 34 1 2 4 6 8 2 10 15 20 25 30 35 40 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 15 15 15 15 15 26.5 63.2 71.3 75.6 78.3 80.1 81.3 82.2 78.7 66.7 51.4 39.9 32.2 22.8 19.9 15.8 12.6 10.6 8.7 8.1 78.8 68.4 59.3 51.7 48.4 40.3 29.7 25.2 20.6 17.5 86.3 82.6 75.4 68.7 62.6 0.016 -0.031 -0.044 -0.086 -0.024 -0.126 0.002 -0.002 -0.005 -0.012 -0.007 0.012 0.030 0.006 0.009 0.059 0.027 0.099 0.053 0.047 -0.033 -0.040 -0.021 -0.006 -0.005 -0.011 0.066 0.052 0.074 0.052 -0.021 -0.027 -0.073 -0.079 -0.066 10 12 18 23 28 34 38 40 1 5 18 22 28 34 36 5 10 15 20 25 30 40 5 10 15 20 25 30 40 5 15 20 25 30 40 15 15 15 15 15 15 15 10 10 5 10 10 10 10 10 5 5 5 5 5 5 5 10 10 10 10 10 10 10 15 15 15 15 15 15 57.1 52.2 40.9 34.4 29.7 25.6 23.5 15.3 84.3 44.9 29.7 25.2 20.6 17.5 16.7 45.1 26.7 18.7 14.3 11.7 9.9 7.8 63.2 45.4 34.3 27.3 22.6 19.4 15.3 71.2 46.0 38.1 32.4 28.2 22.6 -0.081 -0.080 -0.016 -0.080 -0.264 -0.396 -0.350 0.002 -0.059 -0.031 0.020 0.048 -0.318 -0.337 -0.336 0.000 0.027 0.016 0.065 0.005 0.119 0.045 -0.038 -0.010 0.015 0.060 0.021 0.109 0.192 -0.036 -0.019 0.001 0.001 0.062 0.370 D6 D.1. TABLAS DE RESULTADOS Cuadro D.11: CFD Numerical Experiments for α and β combined for NASA Model Missile without any control deflection δqc = 0,δqt = 0, δrc = 0,δrt = 0,δp = 0 α β CN CS CA 5 5.1 10.2 5.3 10.6 15.9 21.2 5.8 11.5 17.2 22.8 6.5 13 19.3 25.4 5.2 10.3 15.5 5.5 11 16.5 21.9 0 2.5 5 10 15 20 25 30 35 40 -5 -10 -9.8 -19.9 -19.7 -19.3 -18.7 -29.9 -29.5 -28.9 -28 -39.8 -39.3 -38.4 -37.2 -14.9 -14.8 -14.5 -24.9 -24.6 -24.1 -23.4 -5 -5 -5 -5 -5 -5 -5 -5 -5 -5 1.377 1.423 3.139 1.650 3.606 5.739 8.093 2.029 4.315 6.805 9.333 2.616 5.410 8.263 10.842 1.458 3.294 5.394 1.893 3.945 6.177 8.567 0.001 0.654 1.369 2.992 5.081 7.518 10.160 13.037 16.020 18.916 -1.376 -3.006 -3.104 -7.520 -7.461 -7.424 -7.535 -13.051 -12.892 -12.690 -12.599 -18.909 -18.495 -18.018 -17.629 -5.084 -5.137 -5.190 -10.182 -10.072 -9.951 -10.016 -1.383 -1.382 -1.381 -1.437 -1.466 -1.660 -1.923 -2.039 -2.360 -2.613 0.512 0.527 0.540 0.571 0.576 0.589 0.602 0.621 0.631 0.641 0.661 0.686 0.696 0.714 0.739 0.552 0.557 0.570 0.590 0.598 0.609 0.622 0.503 0.504 0.507 0.527 0.549 0.570 0.587 0.619 0.659 0.688 D7 Cn Cm Cl 0.404 0.396 0.000 0.109 0.421 0.027 -0.135 -0.111 -0.010 -2.602 0.252 0.065 -2.955 -0.828 0.060 -3.212 -2.459 0.001 -3.982 -4.270 -0.005 -7.983 -0.882 0.119 -8.628 -2.628 0.109 -9.053 -4.958 0.062 -10.093 -7.442 0.102 -14.684 -2.567 0.045 -15.643 -5.308 0.192 -16.815 -8.669 0.370 -18.405 -12.674 0.334 -0.911 0.718 0.016 -1.350 -0.165 0.015 -1.497 -1.657 -0.019 -4.934 -0.711 0.005 -5.397 -1.818 0.021 -5.760 -3.514 0.001 -6.496 -5.583 0.003 0.312 0.004 0.002 0.335 0.345 0.015 0.410 0.402 0.000 0.380 0.116 -0.038 0.685 -0.946 -0.036 0.182 -2.586 -0.090 -0.864 -4.793 -0.027 -0.941 -7.834 -0.129 -2.046 -11.236 -0.053 -2.604 -14.602 -0.066 D.1. TABLAS DE RESULTADOS Cuadro D.12: CFD Numerical Experiments. Calculation of roll control moment at NASA Model Missile with δp = 5 deg α CN CA CS Cl 0 5 10 15 20 25 30 40 0.001 1.376 2.978 5.041 7.528 10.135 12.887 18.929 0.572 0.580 0.606 0.633 0.656 0.681 0.705 0.774 0.000 0.005 0.010 0.042 0.134 0.177 0.244 0.342 0.612 0.616 0.618 0.610 0.596 0.618 0.638 0.662 D8 Cn Cm 0.014 -0.002 0.032 0.258 0.083 -0.069 0.314 -0.668 0.801 -2.371 1.247 -4.399 1.803 -6.895 2.205 -14.287 Apéndice E Coeficientes Aerodinámicos Las tablas a continuación contiene los coeficientes aerodinámicos calculados para el misil base, de acuerdo al modelo descrito en el capı́tulo dos de la tesis. El modelo para el misil de control doble requiere un total de 166 coeficientes. Todos los coeficientes aquı́ referidos son por ángulo de ataque en grados. Coeficientes para el Control Aislado Cuadro E.1: Aero Coefficients for Equations 2.24 and 2.40 Coefficient Value Calculation Method c1 c3 c5 7,502 · 10−2 −9,574 · 10−6 6,186 · 10−8 2,371 25,226 Semi-experimental Datcom Method Semi-experimental Datcom Method Semi-experimental Datcom Method Experimental formula 2.40 Equation 2.41 cN ss iss Coeficientes de Fuerza Normal y Lateral Cuadro E.2: Aero Coefficients for Equations 2.42 and 2.43 Coefficient CNα CSβ CNα|α| CSβ|β| C N α3 Value Calculation Method −1 2,020 · 10 2,020 · 10−1 1,110 · 10−2 1,110 · 10−2 −1,131 · 10−5 Data fit, from Table D.1, D.2 and D.3 Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria Data fit, from Table D.1, D.2 and D.3 Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria Data fit, from Table D.1, D.2 and D.3 Continued on next page E1 Cuadro E.2 – continua de la página anterior Coefficient Value Calculation Method −5 CS β 3 −1,131 · 10 CN β 2 α 2,73782 · 10−4 CSα2 β −4 2,73782 · 10 Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria CFD only data fit, Table D.11 Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria CNδqc 6,554 · 10−2 CSδrc CNαδqc −6,554 · 10−2 −8,846 · 10−4 Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria Data fit, from Table D.1, D.2 and D.3 CSβδrc CNβ2 δc 8,846 · 10−4 2,74617 · 10−4 Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria CSα2 δc −2,74617 · 10−4 q r −2 6,961 · 10 CNδt q −6,961 · 10−2 CSδt r Data fit, from Table D.1, D.2 and D.3 Data fit,from Table D.8 and D.9 Data fit, from Table D.1, D.2 and D.3 Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria CNαδt 4,066 · 10−4 CSβδt −4,066 · 10−4 Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria CNβ2 δt 2,746 · 10−4 Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria CSα2 δt −2,746 · 10−4 Data fit,from Table D.8 and D.9 CNδc δt −4,040 · 10−4 Data fit, from Table D.1, D.2 and D.3 CS δ c δ t 4,040 · 10−4 Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria −1 Semi-experimental Datcom Method Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria Semi-experimental Datcom Method Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria q r q r q q r r CN q CSr CNα̇ CSβ̇ 5,734 · 10 5,734 · 10−1 −2,781 · 10−2 −2,781 · 10−2 Data fit, from Table D.1, D.2 and D.3 Coeficientes de Momento de Cabeceo y Guiñada Cuadro E.3: NASA Missile Pitch and Yaw Moment Aero Coefficients for Equations 2.44, 2.45, 2.46 and 2.47, 2.48, 2.49 Coefficient Value Calculation Method Cm α Cnβ Cmα|α| Cnβ|β| Cmα3 Cn β 3 1,373 · 10−1 −1,373 · 10−1 −1,020 · 10−2 1,020 · 10−2 −6,864 · 10−5 6,854 · 10−5 Data fit, from Table D.5, and D.4 Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria Data fit, from Table D.5, and D.4 Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria Data fit, from Table D.5, and D.4 Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria Cmβ2 α −4,676 · 10−4 Data fit, from Table D.11 Continued on next page E2 Cuadro E.3 – continua de la página anterior Coefficient Value Calculation Method −4 Cnα2 β 4,676 · 10 Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria 1 Cm αδ c 1,112 · 10−1 Data fit, from Table D.5, and D.4 2 Cm αδ c 1,067 · 10−1 Data fit, from Table D.5, and D.4 3 Cm αδ c 7,037 · 10−1 Data fit, from Table D.5, and D.4 αδ1qc 1,852 Data fit, from Table D.5, and D.4 αδ2qc −2,463 Data fit, from Table D.5, and D.4 αδ3qc 321,2 Data fit, from Table D.5, and D.4 Cm δ c δ t 2,800 · 10−3 Data fit, from Table D.5, and D.4 ∆αδ1qc 2,754 Data fit, from Table D.5, and D.4 ∆αδ2qc 10,740 Data fit, from Table D.5, and D.4 ∆αδ3qc 0 Cm αδ t 330,7 q q q q q Data fit, from Table D.5, and D.4 −1 −5,014 · 10 Data fit, from Table D.5, and D.4 q 1 Cm αδ t 3,520 · 10−3 Data fit, from Table D.5, and D.4 2 Cm αδ t 1,384 · 10−4 Data fit, from Table D.5, and D.4 3 Cm αδ t −1,705 · 10−5 Data fit, from Table D.5, and D.4 4 Cm αδ t 1,916 · 10−7 Data fit, from Table D.5, and D.4 Cn1βδc 1,112 · 10−1 Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria Cn2βδc 1,067 · 10−1 Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria Cn3βδc r −1 7,037 · 10 Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria Cnδc δt 2,800 · 10−3 Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria βδ1rc βδ2rc βδ3rc ∆βδ1rc ∆βδ2rc ∆βδ3rc Cn0βδt 1,852 −2,463 321,2 2,754 10,740 330,7 −5,014 · 10−1 Cn1βδt 3,520 · 10−3 Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria Cn2βδt 1,384 · 10−4 Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria Cn3βδt −1,705 · 10−5 Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria Cn4βδt 1,916 · 10−7 Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria q q q q r r q q Tetra-Symmetry Tetra-Symmetry Tetra-Symmetry Tetra-Symmetry Tetra-Symmetry Tetra-Symmetry Tetra-Symmetry and and and and and and and Fig Fig Fig Fig Fig Fig Fig 2.1 2.1 2.1 2.1 2.1 2.1 2.1 sign sign sign sign sign sign sign criteria criteria criteria criteria criteria criteria criteria r r r r r Cm β 2 δ c −1,148 · 10−3 Data fit,from Table D.8 and D.9 Cm β 2 δ t −1,148 · 10−3 Data fit,from Table D.8 and D.9 q q Continued on next page E3 Cuadro E.3 – continua de la página anterior Coefficient Value Calculation Method Cnα2 δc −3 −1,148 · 10 Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria Cnα2 δt −1,148 · 10−3 Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria Cmq Cnr Cmα̇ Cnβ̇ −18,560 −18,560 −1,405 1,405 r r Semi-experimental Semi-experimental Semi-experimental Semi-experimental Datcom Datcom Datcom Datcom Method Method Method Method Coeficientes de Balanceo Aerodinámico Cuadro E.4: NASA Missile Aero Roll Moment Coefficients, Equations 2.50, 2.51, 2.53, and 2.54 Coefficient Value Calculation Method −4 Cli01 Cli21 Cli41 Cli61 Cli02 Cli22 Cli42 Cli62 Cl1αδc 4,074 · 10 1,934 · 10−4 −4,948 · 10−7 3,305 · 10−10 1,697 · 10−4 6,984 · 10−5 −3,296 · 10−7 4,303 · 10−10 4,868 · 10−2 Cl2αδc 1,933 · 10−2 Data fit, Table D.8 and D.9 Cl3αδc 9,041 · 10−3 Data fit, Table D.8 and D.9 Cl4αδc 4,599 · 10−3 Data fit, Table D.8 and D.9 Cl5αδc 2,854 · 10−3 Data fit, Table D.8 and D.9 Cl6αδc r Cl7αδc r 1 ωαδ c r 2 ωαδrc 3 ωαδ c r 4 ωαδrc 5 ωαδ c r −3 2,799 · 10 Data fit, Table D.8 and D.9 1,895 · 10−3 Data fit, Table D.8 and D.9 7,826 · 10−2 1,587 · 10−1 3,141 · 10−1 4,712 · 10−1 7,855 · 10−1 Data Data Data Data Data Data Data Data Data Data Data Data Data Data fit, fit, fit, fit, fit, fit, fit, fit, fit, Table Table Table Table Table Table Table Table Table D.10 and D.11 D.10 and D.11 D.10 and D.11 D.10 and D.11 D.10 and D.11 D.10 and D.11 D.10 and D.11 D.10 and D.11 D.8 and D.9 r r r r r fit, fit, fit, fit, fit, Table Table Table Table Table D.8 D.8 D.8 D.8 D.8 and and and and and D.9 D.9 D.9 D.9 D.9 Continued on next page E4 Cuadro E.4 – continua de la página anterior Coefficient Value Calculation Method −1 6 ωαδ c r 7 ωαδ c r 1 φαδrc φ2αδrc φ3αδrc φ4αδrc φ5αδrc φ6αδrc φ7αδrc Cl1βδc q 6,283 · 10 9,425 · 10−1 2,647 −1,970 −2,654 2,436 · 10−1 −2,433 2,315 −1,071 4,868 · 10−2 Data fit, Table Data fit, Table Data fit, Table Data fit, Table Data fit, Table Data fit, Table Data fit, Table Data fit, Table Data fit, Table Equation 2.53 Cl2βδc 1,933 · 10−2 Equation 2.53 Cl3βδc 9,041 · 10−3 Equation 2.53 Cl4βδc 4,599 · 10−3 Equation 2.53 Cl5βδc 2,854 · 10−3 Equation 2.53 Cl6βδc 2,799 · 10−3 Equation 2.53 Cl7βδc 1,895 · 10−3 Equation 2.53 1 ωβδ c q 7,826 · 10−2 Equation 2.53 2 ωβδ c q 1,587 · 10−1 Equation 2.53 3 ωβδ c q 3,141 · 10−1 Equation 2.53 −1 4,712 · 10 Equation 2.53 7,855 · 10−1 Equation 2.53 6,283 · 10−1 Equation 2.53 −1 Equation 2.53 D.8 D.8 D.8 D.8 D.8 D.8 D.8 D.8 D.8 and and and and and and and and and D.9 D.9 D.9 D.9 D.9 D.9 D.9 D.9 D.9 q q q q q q 4 ωβδ c q 5 ωβδqc 6 ωβδ c q 7 ωβδqc φ1βδqc φ2βδqc φ3βδqc φ4βδqc φ5βδqc φ6βδqc φ7βδqc Cl1α δp T Cl2α δp T Cl3α δp T 1 αT δp 9,425 · 10 2,647 Equation 2.53 −1,970 Equation 2.53 −2,654 Equation 2.53 −1 2,436 · 10 Equation 2.53 −2,433 Equation 2.53 2,315 Equation 2.53 −1,071 Equation 2.53 5,441 · 10−2 Data fit, Table D.12 1,215 · 10−1 Data fit, Table D.12 −5,458 · 10−3 Data fit, Table D.12 56,8 Data fit, Table D.12 Continued on next page E5 Cuadro E.4 – continua de la página anterior Coefficient Value Calculation Method αT2 δp αT3 δp ∆αT1 δp ∆αT2 δp ∆αT3 δp 2,317 20,18 29,08 77,93 5,328 −1,935 Data fit, Table D.12 Data fit, Table D.12 Data fit, Table D.12 Data fit, Table D.12 Data fit, Table D.12 Eastman Correlation, from (Mikhail, 1995) Cl p Coeficientes de Fuerza Axial Cuadro E.5: NASA Missile Axial Force Aero-model Coefficients, Equation 2.55 Coefficient Value Calculation Method −1 CA0 CAα CAβ C A α2 C A α3 ∆CAb CAδqc 4,362 · 10 3,886 · 10−3 3,886 · 10−3 −7,642 · 10−5 2,111 · 10−6 1,062 · 10−1 2,266 · 10−2 CAαδqc 1,348 · 10−3 Data fit, Table D.6 and D.7 CAβδqc 1,001 · 10−5 Data fit, Table D.8 and D.9 CAδrc CAαδrc CAβδrc CAδp CAδ t −2 2,266 · 10 1,001 · 10−5 1,348 · 10−3 2,720 · 10−2 −2,282 · 10−2 Tetra-Symmetry Tetra-Symmetry Tetra-Symmetry Data fit, Table D.12 Data fit, Table D.6 and D.7 CAαδt 1,904 · 10−3 Data fit, Table D.6 and D.7 q q C A α2 δ t q −5 −2,708 · 10 CAβδt 1,011 · 10−5 CAδ t −2,282 · 10−2 q r CAαδt r −5 1,011 · 10 C A α2 δ t −1,001 · 10−6 CAβδt 1,904 · 10−3 r r Data fit, Table D.6 and D.7 Data fit, Table D.6 and D.7 Data fit, Table D.11 and Tetra-Symmetry Data fit, Table D.6 and D.7 Data fit, Table D.6 and D.7 Semi-experimental Datcom Method Data fit, Table D.6 and D.7 Data fit, Table D.6 and D.7 Data fit, Table D.8 and D.9 Tetra-Symmetry Tetra-Symmetry Data fit, Table D.8 and D.9 Tetra-Symmetry Continued on next page E6 Cuadro E.5 – continua de la página anterior Coefficient Value Calculation Method CAδ c δ t −3 1,600 · 10 Data fit, Table D.6 and D.7 CAαδc δt 2,227 · 10−5 Data fit, Table D.6 and D.7 CAδ c 2 δ t 5,000 · 10−5 Data fit, Table D.6 and D.7 −5,000 · 10−5 Data fit, Table D.6 and D.7 q q q q q CA q c δt 2 δq q CAδ c δ t 1,600 · 10−3 Tetra-Symmetry CAβδc δt 2,227 · 10−5 Tetra-Symmetry CAδ c 2 δ t −5 Tetra-Symmetry r r r r r CA 5,000 · 10 r c δt 2 δr r −5,000 · 10−5 Tetra-Symmetry Coeficientes para Variación con el Mach Cuadro E.6: Mach Dependence Coefficients for equation 2.58 Coefficient ∂CA ∂M∞ M∞ ∂CNα ∂M∞ M∞ ∂CSβ ∂M∞ M∞ ∂Cm ∂M∞ M∞ ∂Cn ∂M∞ Value Calculation Method −0,08471 Semi-experimental Datcom Method −0,06218 Semi-experimental Datcom Method −0,06218 Semi-experimental Datcom Method −0,00885 Semi-experimental Datcom Method −0,00885 Semi-experimental Datcom Method M∞ E7 Apéndice F Dinámica del Misil y Cinemática Terminal F.1. Velocidad en ejes cuerpo y viento W b vM = SWB · VM (F.1) SWB F.2. cαcβ sβ sαcβ = −cαsβ cβ −sαsβ −sα 0 cα (F.2) Ángulos de Euler y Cuaterniones Los ángulos de Euler del misil (θ, ψ, φ) definen la matriz de transformación a ejes cuerpo M X B Y B Z B de la referencia inercial M X L Y L Z L . La secuencia de la rotación se define como guiñada, ψ, cabeceo θ y balanceo φ (ver figura F.1): SBL cθcψ cθsψ −sθ = sφsθcψ−cφsψ sφsθsψ + cφcψ sφcθ cφsθcψ + sφsψ cφsθsψ − sφcψ cφcθ (F.3) Sin embargo los ángulos de Euler causan singularidades cuando el valor de θ es grande, (Tewari, 2007). Se prefiere la aproximación de los cuaterniones para misiles: SBL q02 + q12−q22 − q32 2(q1 q2 + q0 q3 ) 2(q1 q3−q0 q2 ) = 2(q1 q2 − q0 q3 ) q02 − q12 + q22 − q32 2(q2 q3 + q0 q1 ) 2(q1 q3 + q0 q2 ) 2(q2 q3 − q0 q1 ) (q02 − q12 − q22 + q32 ) La ecuación F.4 solo contiene expresiones algebraicas. De F.3 y F.4: F1 (F.4) F.3. ECUACIONES CINEMÁTICAS Y DINÁMICAS CON CUATERNIONES ZL = z 0 ZB z 00 θ φ YB ψ ψ XL x0 0 00 YL y = y θ XB = x00 Figura F.1: Definición de ángulos de Euler para misiles tψ = tφ = 2(q1 q2 + q0 q3 ) + q12 − q22 − q32 ) (F.5) 2(q2 q3 + q0 q1 ) − q12 − q22 + q32 ) (F.6) (q02 (q02 sθ = −2(q1 q3−q0 q2 ) F.3. (F.7) Ecuaciones cinemáticas y dinámicas con cuaterniones La cinemática de la rotación se obtiene a través de la derivada en el tiempo de los cuaterniones: q̇0 q̇1 q̇2 q̇3 0 −p −q −r q0 1 p 0 r −q = q1 2 q −r 0 p q2 r q −p 0 q3 (F.8) La ecuación de la dinámica de la traslación, con aproximación de tierra plana, se F2 F.3. ECUACIONES DINÁMICAS define a través de la ecuación de Newton: B dVM B B + mSBL · gL (F.9) + m · ΩB M VM = F dt donde m es la masa instantánea del misil incluido el propulsante no consumido: m ΩB M 0 −r q = r 0 −p −q p 0 (F.10) B es el tensor oblicuo-simétrico de ωM . Las fuerzas actuando en el misil son aerodinámicas, ecuación (2.9)- y la propulsión del motor cohete: FB FA T = − FS + 0 FN 0 (F.11) y la referencia inercial M X L Y L Z L se orienta de modo que: 0 gL = 0 g (F.12) La aceleración del misil, excluida la gravedad, se representa por el vector: nB = 1 B F m (F.13) En forma escalar F.9 es: 1 (FA − T ) + 2g(q1 q3 − q0 q2 ) m 1 v̇ = pw − ru − FS + 2g(q2 q3 + q0 q1 ) m 1 ẇ = qu − pv − FN + g(q02 − q12 − q22 + q32 ) m u̇ = rv − qw − (F.14a) (F.14b) (F.14c) La dinámica de la rotación está gobernada por la ecuación de Euler: dΩB −1 M B B B = I B · −ΩB · I · ω (F.15) M M +M dt donde se desprecia la variación del momento de inercia con el tiempo. El momento de inercia del misil es: F3 F.3. ECUACIONES DINÁMICAS IB B Ix 0 0 = 0 IyB 0 0 0 IzB (F.16) donde IyB = IzB asumiendo tetra-simetrı́a perfecta. Los únicos momentos actuando sobre el misil son los momentos aerodinámicos, donde no se consideran los momentos de amortiguamiento causados por el chorro. MB Lcm = Mcm Ncm (F.17) En forma escalar, F.15 es: −1 ṗ = Ixb Lcm −1 b q̇ = Iyb Iy − Ixb pr + Mcm −1 b ṙ = Iyb Ix − Iyb pq + Ncm (F.18a) (F.18b) (F.18c) El momento de cabeceo está acoplado con el de guiñada si el balanceo no es nulo, un efecto que se agrava cuando los valores de incidencia son altos (los valores de v y w son proporcionales a la incidencia a través de las ecuaciones 2.4 y 2.5). Algunas definiciones útiles son: rTLM krTLM k ts = (F.19) h iT VTLM = ẋL ẏ L ż L (F.20) L VTLM = ṙTLM = VTL − VM (F.21) VcL = − rTLM · VTLM krTLM k L −V̇TLM = −ts nL T −n (F.22) (F.23) En general la velocidad de colisión debe ser positiva durante la mayor parte del encuentro aire-aire, el misil debe tener una ventaja de velocidad sobre el blanco (Shneydor, 1998). La condición es igual a: F4 F.3. ECUACIONES DINÁMICAS rTLM · VTLM < 0 (F.24) esta condición también se expresa como: L ts · VM > ts · VTL (F.25) El time-to-go hasta la interceptación se define como: tgo = − rTLM · VTLM VTLM · VTLM (F.26) Time-to-go es un componente fundamental de la ley de guiado óptimo (Zarchan, 2012, 2007) Aunque algunos modelos más elaborados incluyen por ejemplo las instrucciones de guiado anteriores o la resistencia aerodinámica (Tsourdos et al., 2011) en esta tesis se empleará la estimación definida por la ecuación F.26. La velocidad angular de la lı́nea de mira es: L ωLOS = rTLM ∧ VTLM krTLM k2 (F.27) B ωLOS = rTBM ∧ VTBM krTBM k2 (F.28) y en ejes cuerpo: en álgebra tensorial se define como: B ẋr 0 −zrB yrB 1 B B B = B 2 zr 0 −xr · ẏr krT M k żrB −yrB xB 0 r B ωLOS (F.29) siendo yrB żrB − zrB ẏrB 2 B 2 B 2 (xB r ) + (yr ) + (zr ) B B zrB ẋB r − xr żr = 2 B 2 B 2 (xB r ) + (yr ) + (zr ) B B B ẋB r ẏr − ẏr ẋr = 2 B 2 B 2 (xB r ) + (yr ) + (zr ) B ωLOS = x (F.30a) B ωLOS y (F.30b) B ωLOS z (F.30c) Si el misil y el blanco están en curso de colisión, entonces se verifica que ωLOS = 0, L VM y VTL son vectores coplanarios y se verifica que: rTLM , L = ts ∧ VTL ts ∧ VM F5 (F.31) F.3. ECUACIONES DINÁMICAS Las razones para que ωLOS 6= 0 son cambios en la velocidad del misil y del blanco, o que las velocidades de misil y blanco no están alineadas con el triángulo de colisión. F6 Apéndice G Elementos de Matrices en el Espacio-Estado G.1. Definiciones Coeficiente de empuje CT = T q∞ Sref (G.1) Factor de amortiguamiento en α̇ Dα̇ = 1 + q∞ Sref cα d CN mVM cβ 2VM α̇ (G.2) q∞ Sref d cβ CS mVM 2VM β̇ (G.3) Factor de amortiguamiento en β̇ Dβ̇ = 1 + G.2. Elementos de la Matriz de Estado Aerodinámica Se consideran los coeficientes de la matriz: a a11 a a21 a Aa = a31 a a41 aa51 aa12 aa22 aa32 aa42 aa52 G1 aa13 aa23 aa33 aa43 aa53 aa14 aa24 0 aa44 aa54 aa15 aa25 0 a a45 aa55 G.2. MATRIZ DE ESTADO aa11 aa12 q∞ Sref sα CAα + CAα2 |α| + CAα3 α2 sgn α = mVM Dα̇ cβ sinc α + (CA0 + ∆CAb − CT ) cβ cα 2 2 CNα + CNα|α| |α| + CNα3 α + CNβ2 α β Υα − cβ q∞ Sref = mVM sα cα CAβ sgn β − CNβ2 α (1 − Υα )αβ cβ cβ aa13 = − aa14 1 q∞ Sref d cα = 1− CN Dα̇ 2mVM2 cβ q aa15 = − aa21 = 1 cαtβ Dα̇ 1 sαtβ Dα̇ (G.4) (G.5) (G.6) (G.7) (G.8) q∞ Sref cαsβ CAα + CAα2 |α| + CAα3 α2 sgn α mVM Dβ̇ − cβCSα2 β (1 − Υβ ) βα i +sαsβ CNα + CNα|α| |α| + CNα3 α2 + CNβ2 α β 2 Υα (G.9) aa22 = q∞ Sref cαsβCAβ sgn β mVM Dβ̇ 2 2 −cβ CSβ + CSβ|β| |β| + CSβ3 β + CSα2 β α Υβ + i + CNβ2 α βα (1 − Υα ) + cα sinc β (CA0 + ∆CAb − CT ) (G.10) 1 sα Dβ̇ (G.11) q∞ Sref d sαsβCNq 2mVM2 (G.12) aa23 = aa24 = aa25 1 q∞ Sref d =− cβCSr + cα Dβ̇ 2mVM2 G2 (G.13) G.2. MATRIZ DE ESTADO aa31 = 2 q∞ Sref d αs (4φ ) C + 2C c (4φ ) + C + 2C c (4φ ) α a l l a l l a i21 i22 i41 i42 IxB + Cli61 + 2Cli62 c (4φa ) α4 (G.14) aa32 = q∞ Sref d βs (4φ ) C + 2C c (4φ ) a l l a i i 01 02 IxB aa33 = aa41 = n6 q∞ Sref d d X k C C e l IxB 2VM p k=1 lαT δp αT −αk Tδ ∆αk T δp !2 p (G.16) q∞ Sref d h Cmα + Cmα|α| |α| + Cmα3 α2 + Cmβ2 α β 2 Υα + IyB i 2 2 (G.17) s̄ CNα + CNα|α| |α| + CNα3 α + CNβ2 α β αΥα aa42 = q∞ Sref d (1 − Υ ) αβ C + s̄C α mβ 2 α Nβ 2 α IyB aa43 = r aa44 = q∞ Sref d2 Cmq + s̄CNq B 2VM Iy aa45 = − aa51 = aa52 (G.15) IxB p IyB q∞ Sref d2 (1 − Υ ) αβ C − s̄C β nα2 β Sα2 β 2VM IyB (G.18) (G.19) (G.20) (G.21) (G.22) q∞ Sref d h = Cnβ + Cnβ|β| |β| + Cnβ3 β 2 + Cnα2 β α2 Υβ b Iy i −s̄ CSβ + CSβ|β| |β| + CSβ3 β 2 + CSα2 β α2 Υβ (G.23) aa53 = −q (G.24) Ixb IyB (G.25) aa54 = p G3 G.3. ELEMENTOS DE LA MATRIZ DE ENTRADA DEL CONTROL aa55 = G.3. q∞ Sref d2 (Cnr − s̄CSr ) 2VM IyB (G.26) Elementos de la Matriz de Entrada del Control Se consideran los coeficientes de la matriz: a b11 a b21 a Ba = b31 a b41 0 ba11 q∞ Sref = mVM Dα̇ cα sα c CA c sgn δq − CNδqc cβ δq cβ sα cα sα cα 2 +α CA c − CN c + β CAβδqc − CNβ2 δc β (G.27) q cβ αδq cβ αδq cβ cβ ba12 = q∞ Sref sα CAδrc sgn δrc + CAαδrc α + CAβδrc β mVM Dα̇ cβ (G.28) q∞ Sref sα CA sgn δp mVM Dα̇ cβ δp (G.29) ba13 = ba14 ba12 ba13 ba14 ba15 ba22 ba23 ba24 ba25 ba32 ba33 0 0 0 0 ba44 0 0 ba55 ba52 0 q∞ Sref sα cα t = CA sgn δq − CNδt q mVM Dα̇ cβ δqt cβ sα cα sα sα cα 2 2 CA − CNαδt + CA α + β CAβδt − CNβ2 δt β (G.30) +α q q q cβ αδqt cβ cβ α2 δqt cβ cβ ba15 = ba21 = q∞ Sref sα CAδt sgn δrt + αCAαδt + CAα2 δt α2 + βCAβδt r r r r mVM Dα̇ cβ (G.31) q∞ Sref h cαsβ CAδqc sgn δqc + CAαδqc α + CAβδqc β mVM Dβ̇ i 2 + sαsβ CNδqc + CNβ2 δc β + CNαδqc α (G.32) q G4 G.3. MATRIZ ENTRADA CONTROL ba22 = q∞ Sref h cαsβ CAδrc sgn δrc + CAαδrc α + CAβδrc β mVM Dβ̇ i 2 − cβ CSδrc + CSβδrc β + CSα2 δc α (G.33) r ba23 = ba24 q∞ Sref cαsβCAδp sgn δp mVM (G.34) q∞ Sref h t 2 = cαsβ CAδt sgn δq + CAαδt α + CAβδt β + CAα2 δt α q q q q mVM Dβ̇ i + sαsβ CNδt + CNαδt α + CNβ2 δt β 2 (G.35) q ba25 q q q∞ Sref h t 2 cαsβ sgn δr CAδt + CAαδt α + CAβδt β + CAα2 δt α = r r r r mVM Dβ̇ i − cβ CSδt + CSβδt β + CSα2 δt α2 (G.36) r ba31 ba32 q∞ Sref d = IxB q∞ Sref d = IxB n5 X ba41 k k Clkβδc s ωβδ c β + φβδ c β q q r ! (G.37) q k=1 n4 X k k Clkαδc s ωαδ c α + φαδ c α r r ! (G.38) r k=1 ba33 = r n6 X q∞ Sref d Clkα δp e B T Ix k=1 αT −αk Tδ ∆αk T δp !2 p (G.39) i q∞ Sref d h 2 2 c = Cmδq (α) + Cmβ2 δc β + s̄ CNδqc + αCNαδqc + CNβ2 δc β q q IyB (G.40) i q∞ Sref d h 2 2 t (α) + Cm C β + s̄ C + αC + C β N N N mδ t t t t q β 2 δq δq αδq β 2 δq IyB (G.41) i q∞ Sref d h 2 2 c C (β) + C α − s̄ C + βC + C α nδr n α2 δ c Sδrc Sβδrc Sα2 δc r r IyB (G.42) ba44 = ba52 = G5 G.4. ELEMENTOS DE LA MATRIZ DE CONTROL CRUZADO ba55 = G.4. i q∞ Sref d h 2 2 t (β) + C α − s̄ C + βC + C α C n α2 δ t Sδt Sβδt Sα2 δt nδr r r r r IyB (G.43) Elementos de la Matriz de Control Cruzado Consideramos los coeficientes de la matriz: a mq a 11 mq 21 q Ma = 0 0 0 maq 11 = maq 14 0 maq 14 0 maq 24 0 0 0 maq 44 0 0 0 0 0 0 0 q∞ Sref sα CA (1 − Υq ) δqt mVM Dα̇ cβ δqc 2 δqt (G.44) q∞ Sref sα t c = CAδc δt + CA c t 2 δq + CAδc 2 δt Υq δq + CAαδc δt α δq δq q q q q q q mVM Dα̇ cβ cα CNδc δt + CNαδc δt α − (G.45) q q q q cβ maq 21 = maq 24 0 0 0 0 0 q∞ Sref cαsβCAδc 2 δt δqt (1 − Υq ) q q mVM Dβ̇ (G.46) q∞ Sref t c cαsβ CAδc δt + CAαδc δt α + CA c t 2 δq + CAδc 2 δt δq Υq = δq δq q q q q q q mVM Dβ̇ i +sαsβ CNδc δt + CNαδc δt α (G.47) q q maq 44 = i q∞ Sref d h C + C α + s̄ C + C α m m N N c δt c δt c δt c δt δq αδq δq αδq q q q q Iyb y para la matriz: 0 mar 12 0 mar 22 Mar = 0 0 0 0 0 0 G6 0 0 0 0 0 0 mar 15 0 mar 25 0 0 0 0 0 mar 55 q q (G.48) G.4. MATRIZ DE CONTROL CRUZADO mar 12 = mar 15 = (G.49) q∞ Sref sα CAδc δt + CA c t 2 δrt + CAδc 2 δt Υr δrc + CAβδc δt β δr δr r r r r r r mVM Dα̇ cβ mar 22 = mar 25 = q∞ Sref sα CA (1 − Υr ) δrt mVM Dα̇ cβ δrc 2 δrt q∞ Sref cαsβCAδc 2 δt δrt (1 − Υr ) r r mVM Dβ̇ (G.50) (G.51) q∞ Sref h cαsβ CAδc δt + CAβδc δt β + CAδc 2 δt δrc Υr + CA c t 2 δrt δr δr r r r r r r mVM Dβ̇ i −cβ CSδc δt + CSβδc δt β (G.52) r r mar 55 r r i q∞ Sref h = Cnδc δt + Cnβδc δt β − s̄ CSδc δt + CSβδc δt β r r r r r r r r mVM (G.53) Finalmente la matriz combinada es: a m 11 ma 21 a m 21 ma 22 Ma = 0 0 a 0 m 41 0 ma 52 0 ma 41 ma 51 0 ma 42 ma 52 0 0 0 a 0 m 44 0 0 0 ma 55 ma 11 = δqc maq 11 + δqt maq 14 (1 − Υq ) (G.54) ma 12 = δrc mar 12 + δrt mar 15 (1 − Υr ) (G.55) ma 14 = δqc maq 14 Υq (G.56) ma 15 = δrc mar 15 Υr (G.57) ma 21 = δqc maq 21 + δqt maq 24 (1 − Υq ) (G.58) ma 22 = δrc mar 22 + δrt mar 25 (1 − Υr ) (G.59) G7 G.5. ELEMENTOS DE LA MATRIZ DE ACELERACIONES G.5. ma 24 = δqc maq 24 Υq (G.60) ma 25 = δrc mar 25 Υr (G.61) ma 41 = δqt maq 44 (1 − Υq ) (G.62) ma 44 = δqc maq 44 Υq (G.63) ma 52 = δrt mar 55 (1 − Υr ) (G.64) ma 55 = δrc mar 55 Υr (G.65) Elementos de la Matriz de Aceleraciones Se consideran los coeficientes de la matriz: " Ha = ha11 ha21 ha11 = − ha12 ha12 ha22 0 0 0 ha24 ha15 # 0 q∞ Sref CSα2 β αβΥn m q∞ Sref 2 2 =− CSβ + CSβ|β| |β| + CSβ3 β + CSα2 β α (1 − Υn ) m ha15 = − ha21 = − q∞ Sref d CS m 2VM r q∞ Sref CNα + CNα|α| |α| + CNα3 α2 + CNβ2 α β 2 (1 − Υn ) m ha22 = − (G.66) (G.67) (G.68) (G.69) q∞ Sref CNβ2 α αβΥn m (G.70) q∞ Sref d CN m 2VM q (G.71) ha24 = − y para la matriz: G8 G.6. ELEMENTOS DE LA MATRIZ DE ACTUACIONES " a 0 la 0 0 l15 La = a 12 a 0 l21 0 0 l24 a l12 =− a l15 =− i q∞ Sref h CSδrc + CSβδrc β + CSα2 δc α2 + Υn CSδc δt + CSβδc δt β δrt r r r r r m (G.72) i q∞ Sref h CSδt + CSβδt β + CSα2 δt α2 + (1 − Υn ) CSδc δt + CSβδc δt β δrc (G.73) r r r r r r r m a l21 =− i q∞ Sref h CNδqc + CNαδqc α + CNβ2 δc β 2 + Υn CNδc δt + CNαδc δt α δqt q q q q q m a l24 =− G.6. # (G.74) i q∞ Sref h CNδt + CNαδt α + CNβ2 δt β 2 + (1 − Υn ) CNδc δt + CNαδc δt α δqc q q q q q q q m (G.75) Elementos de la Matriz de Actuaciones Hm = 0 0 0 0 hm 0 0 0 0 hm 11 16 m m m m h21 0 h 0 0 0 0 h 0 h 29 26 28 0 hm 0 0 0 0 hm 0 0 0 32 37 0 hm 0 0 0 0 hm hm 0 hm 42 47 48 4,10 0 m 0 0 0 0 0 0 0 0 h53 m 0 0 0 h 0 0 0 0 0 0 64 0 m 0 0 0 h 0 0 0 0 0 75 m h81 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 hm 92 m h10,1 hm 0 0 hm 0 hm 0 0 hm 10,2 10,5 10,7 10,10 hm m m m m 0 h11,6 0 0 h11,9 0 11,1 h11,2 0 h11,4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 hm 21 ··· 0 ··· 0 ··· 0 ··· 0 ··· 0 ··· 0 ··· 0 ··· 0 ··· 0 ··· 0 ··· 0 · · · hm 12,21 hm 11 = KcB (G.76) hm 16 = kcB (G.77) = KtB ∂εq 1+ ∂α G9 (G.78) G.6. MATRIZ DE ACTUACIONES hm 26 = ktB hm 42 ∂ ε̄q ∂δqc (G.79) hm 28 = 1 (G.80) hm 29 = ktB (G.81) hm 32 = KcB (G.82) hm 32 = −kcB (G.83) = KtB ∂εr 1+ ∂β hm 47 = −ktB ∂ ε̄r ∂δrc (G.84) (G.85) hm 47 = −1 (G.86) hm 4,10 = −ktb (G.87) hm 53 = 1 (G.88) hm 64 = 1 (G.89) hm 75 = 1 (G.90) hm 81 = 1 (G.91) hm 92 = 1 (G.92) hm 10,1 = − q∞ Sref CSα2 β αβΥn m G10 (G.93) G.6. MATRIZ DE ACTUACIONES hm 10,2 = − q∞ Sref CSβ + CSβ|β| |β| + CSβ3 β 2 + CSα2 β α2 (1 − Υn ) m hm 10,5 = − hm 10,7 = − (G.95) i q∞ Sref h CSδrc + CSβδrc β + CSα2 δc α2 + Υn CSδc δt + CSβδc δt β δrt r r r r r m hm 10,10 = − (G.96) i q∞ Sref h CSδt + CSβδt β + CSα2 δt α2 + (1 − Υn ) CSδc δt + CSβδc δt β δrc r r r r r r r m (G.97) hm 11,1 = − q∞ Sref CNα + CNα|α| |α| + CNα3 α2 + CNβ2 α β 2 (1 − Υn ) m hm 11,2 = − (G.98) q∞ Sref CNβ2 α αβΥn m (G.99) q∞ Sref d CN m 2VM q (G.100) hm 11,4 = − hm 11,6 = − q∞ Sref d CS m 2VM r (G.94) i q∞ Sref h CNδqc + CNαδqc α + CNβ2 δc β 2 + Υn CNδc δt + CNαδc δt α δqt (G.101) q q q q q m hm 11,9 q∞ Sref h =− CNδt + CNαδt α q q m i +CNβ2 δt β 2 + (1 − Υn ) CNδc δt + CNαδc δt α δqc q q q hm 12,21 = 1 G11 (G.102) q q (G.103) G.7. ELEMENTOS DE LA MATRIZ DEL GUIADO-AUTOPILOTO G.7. Elementos de la Matriz del Guiado-Autopiloto K K a11 a12 aK 13 K K Ak = aK 21 a22 a23 K K aK 31 a32 a33 2 2 2 2 aK 11 = − q0 + q1 −q2 − q3 cαcβ (G.104) aK 12 = −2(q1 q3−q0 q2 )VM sinc αcβ (G.105) aK 13 = −2(q1 q2 + q0 q3 )VM sinc β (G.106) aK 21 = − (q1 q2 − q0 q3 ) cαcβ (G.107) aK 22 = −2(q2 q3 + q0 q1 )VM sinc αcβ (G.108) 2 2 2 2 aK 23 = − q0 − q1 + q2 − q3 VM sinc β (G.109) aK 31 = −2 (q1 q3 + q0 q2 ) cαcβ (G.110) 2 2 2 2 aK 32 = − q0 − q1 − q2 + q3 VM sinc αcβ (G.111) aK 33 = −2 (q2 q3 − q0 q1 ) VM sinc β (G.112) AW aW 11 = −cαcβ aW 11 0 0 = 0 0 0 aW 12 aW 22 W a32 aW 42 aW 52 aW 62 aW 13 aW 23 W a33 aW 43 aW 53 aW 63 0 aW 24 W a34 aW 44 aW 54 aW 64 aW 15 aW 25 W a35 0 aW 55 aW 65 aW 16 aW 26 aW 36 0 aW 56 aW 66 ρSref VM CA0 + CAα |α| + CAβ |β| + CAα2 α2 2m +CAα3 |α|3 + ∆CAb − CT (G.113) G12 G.7. MATRIZ DEL GUIADO-AUTOPILOTO aW 12 = − sinc αcβ aW 13 q∞ Sref CNα α + CNα|α| α|α| + CNα3 α3 + CNβ2 α β 2 α m q∞ Sref 3 2 CSβ β + CSβ|β| β|β| + CSβ3 β + CSα2 β α β = − sinc β m aW 15 = −sαcβ aW 16 = −sβ q∞ Sref d CN m 2VM q q∞ Sref d CS m 2VM r (G.114) (G.115) (G.116) (G.117) y el resto de los términos son iguales que los de Aa a aW 22 = a11 (G.118a) ... a aW 66 = a55 BW bW 11 bW 11 W b21 bW 31 = W b41 bW 51 0 bW 12 W b22 bW 32 W b42 0 bW 62 bW 13 W b23 bW 33 W b43 0 0 (G.118b) bW 14 W b24 bW 34 0 bW 54 0 bW 15 bW 25 bW 35 0 0 W b65 q∞ Sref c = −cαcβ CAδqc sgn δq + CAαδqc α + CAβδqc β m q∞ Sref − sαcβ CNδqc + CNαδqc α + CNβ2 δc β 2 q m bW 12 = −cαcβ q∞ Sref CAδrc sgn δrc + CAαδrc α + CAβδrc β m q∞ Sref − sβ (CSδrc + CSβδrc β + CSα2 δc α2 ) r m bW 13 = −cαcβ q∞ Sref CAδp sgn δp m G13 (G.119) (G.120) (G.121) G.7. MATRIZ DEL GUIADO-AUTOPILOTO q∞ Sref CAδt sgn δqt + CAαδt α + CAα2 δt α2 + CAβδt β q q q q m q∞ Sref − sαcβ CNδt + CNαδt α + CNβ2 δt β 2 q q q m (G.122) q∞ Sref CAδt sgn δrt + CAαδt α + CAα2 δt α2 + CAβδt β r r r r m q∞ Sref − sβ CSδt + CSβδt β + CSα2 δt α2 r r r m (G.123) bW 14 = −cαcβ bW 15 = −cαcβ y el resto de los términos son iguales a los de Ba a bW 21 = b11 (G.124a) ... a bW 65 = b55 MW mW 14 mW 11 W m21 mW = 31 0 mW 51 0 mW 12 mW 22 W m32 0 0 mW 62 0 0 0 0 0 0 (G.124b) mW 14 mW 24 W m34 0 mW 54 0 mW 15 W m25 mW 35 0 0 mW 65 mW 11 = −cαcβ q∞ Sref CAδc 2 δt δqc δqt q q m (G.125) mW 12 = −cαcβ q∞ Sref CAδc 2 δt δrc δrt r r m (G.126) q∞ Sref c t = −cαcβ δq CAδc δt + CAαδc δt α + CA c t 2 δq δq δq q q q q m q∞ Sref c δq CNδc δt + CNαδc δt α − sαcβ q q q q m q∞ Sref c δr CAδc δt + CAβδc δt β + CA c t 2 δrt δr δr r r r r m q∞ Sref c δr CSδc δt + CSβδc δt β − sβ r r r r m (G.127) mW 15 = −cαcβ G14 (G.128) G.7. MATRIZ DEL GUIADO-AUTOPILOTO y el resto de los términos son iguales a los de Ma a mW 21 = m11 (G.129a) ... a mW 65 = m55 G15 (G.129b) Apéndice H Tratamiento Analı́tico del Error de Radomo y Ruidos Radar. H.1. Buscador radar Se asume en esta tesis el radar está montado en una cabeza buscadora giro estabilizada. Otras configuraciones mediante antena fija y orientación electrónica de las son más atı́picas misiles tácticos y en cualquier caso el proceso de orientación de las electrónico serı́a similar al movimiento de la cabeza giro estabilizada en lo que respecta al funcionamiento del radar para las operaciones de guiado y control. El coste y los requerimientos de fiabilidad hacen que a dı́a de hoy sea más competitivo el sistema giro estabilizado. Consiste en una plataforma estabilizada, giróscopos y la antena. La plataforma está montada sobre dos o tres cardán cada uno de los cuales tiene un servomecanismo de actuación para ajustar su orientación angular hacia el blanco en respuesta al error angular medido por el receptor radar. Para una aplicación aire aire contra blancos pequeños como UCAV u otros misiles, donde el RCS es pequeño, se emplea el radar de pulsos Pulse Doppler radar (PD) Con integración coherente. Existen dos lazos de seguimiento, el lazo de seguimiento angular, realizado por la cabeza buscadora, y el lazo de seguimiento en distancia. El blanco está enganchado por el radar cuando estos dos lazos están cerrados. El seguimiento angular del radar se describirá en la primera sección, mientras que el seguimiento en distancia se lleva a cabo por la técnica de puertas (gating) que se describe en la referencia (Curry, 2005). La estructura de la señal mono pulso es la preferida para determinar el error de orientación angular del blanco en elevación y azimut, (Barton and Ward, 1984). Cuando existe un filtro de navegación entre el buscador y el bloque de guiado, es más conveniente que la salida del buscador sean los ángulos de la lı́nea de mira, definidos como: H1 H.1. BUSCADOR RADAR zrB σe = t−1 q 2 2 B B xr + y r B yr −1 σz = t 2 xB r (H.1) (H.2) La figura 4.11 define los ángulos que están involucrados en el proceso de reconstrucción de la lı́nea de mira entre el misil y el blanco. El origen de el ángulo está en el centro de la antena radar y se mide en contra una referencia inercial, fija en el espacio, que en nuestro caso será la posición de la lı́nea de mira inicial. La posición del eje de la antena radar con respecto al eje M X B se define por el ángulo de cardán θh . El error angular es y el error considerando los efectos de rado modo que es r . De aquı́ se obtiene que el ángulo de la lı́nea de mira es: = σ − θ − θh (H.3) Es importante señalar que el error angular no es únicamente una función de la posición de la lı́nea de mira pero también de la actitud del misil y de la posición de la antena con respecto al eje del misil. Para eliminar el ángulo θ de la medida, el buscador radar necesita una entrada desde la IMU del misil, ver figura H.1. Uno de los requisitos del buscador es mantener la antena apuntada hacia el blanco, de modo que el error se mantenga pequeño con respecto al ancho de las electrónico. También en la regiones donde es pequeño la respuesta puede ser considerada lineal. Si no es pequeño, la respuesta no puede ser considerada lineal y si es mayor que la mitad del ancho de la, el misil puede perder la señal del blanco. El efecto del radomo es distorsionar la dirección de la lı́nea de mira tal y como es percibida por el radar, efecto causado por la refracción de la radiación al atravesar la pared exterior. Debido a que la curvatura de la pared no es uniforme, la radiación tiene diferentes ángulos de incidencia, que causan que la radiación Y qué a la antena del radar con fases distintas. Esto resulta en cierta distorsión angular que es una función no lineal del ángulo θh , esto es de la orientación de la antena dentro de la ojiva. Este efecto por tanto depende de la actitud del misil en el espacio y representa un acoplamiento fuerte entre la actitud del vuelo y las medidas del radar. Como consecuencia este efecto de radomo y la ley de control, integrada o en doble lazo, están acoplados. De acuerdo a la referencia (Zarchan, 2012) este fenómeno es uno de los principales contribuyentes a la distancia final en misiles radar. En teorı́a, para cierta forma geométrica de la ojiva serı́a posible obtener la función f (R, θh ) . Sin embargo f (R) es muy difı́cil de calcular en la práctica (Yueh and Lin, 1985). Durante el vuelo del misil debido al calentamiento aerodinámico de la ojiva y debido a la erosión que ocurre en vuelo debido a la velocidad de supersónica as, el H2 H.2. MODELOS RUIDO RADAR espesor se modifica ası́ como la constante dieléctrica del material. El factor también es una función de la polarización y la frecuencia de la señal radar. Un modelo de precisión depende de la aplicación particular y se requerirı́a un tratamiento matemático especı́fico, de tipo estadı́stico, dependiente del tiempo y no lineal. De otro lado existen modelos aproximados de la literatura, con relaciones empı́ricas para este factor (Fleeman, 2012). Para escenarios de intercepción frontales, la literatura asume tı́picamente que R es un factor constante para pequeñas variaciones en θh . Sin embargo esta hipótesis no es válida para grandes variaciones en el ángulo de cardán que están asociadas a altas maniobras del blanco. En su lugar en esta tesis recurriremos a la ecuación 4.44. El ángulo θr puede ser incluido dentro del bucle de guiado y control con la ecuación: r = σ + θr − θd (H.4) ˙r = σ̇ − σ̇ − σ̇h (1 − R) (H.5) y de aquı́ Para considerar el efecto de la estimación del ángulo de la lı́nea de mira en las actuaciones del sistema, se empleará el modelo dinámico descrito en la figura H.1 , adaptado de la referencia (Nesline and Zarchan, 1985), y que a su vez incluye todos los efectos anteriormente mencionados. La aceleración del misil y sus velocidades angulares introducen perturbaciones en el funcionamiento del buscador radar (Shneydor, 1998), como errores de escalado KGY R y errores debidos a la deriva de los giróscopos KG causados por la aceleración del misil n. Z σr = r + H.2. Modelos Ruido Radar H.2.1. Destello (Glint) θ̇d (H.6) Se considera aquı́ que será una mezcla de dos distribuciones normales atravesando un filtro pasa bajos en la forma(Zhurbal and Idan, 2011b; Kim et al., 2010; Zarchan, 2012): con pg1 ∼ N 0, Σ2g1 y pg2 pg = Υglint pg1 + (1 − Υglint ) pg2 ∼ N 0, Σ2g2 con Σg1 < Σg2 . H3 (H.7) H.2. MODELOS RUIDO RADAR σ + − θ̂ + + − θr − θh 1 s 0 KR σm + 0 R 1 T1 1 s + θ̇d c KSL s θ̇h − ˙ θ̂ θ̇d + Kgyr θ̇d + 1 s + KG nL IM U Figura H.1: Dinámica del Buscador. H.2.2. Ruidos Independientes del Alcance Desvanecimiento, pf ∼ N 0, Σ2f y power spectral density (PSD) Φf = 2τf Σ2f , siendo 2 Bw 2 Σf = (H.8) Bsr Bw el ancho de banda de la señal recibida y Bsr una constante tecnológica (Curry, 2005). También 2τf = 1/fs , con fs = 1/Ts . Ruido térmico (Vora et al., 2005), con pt ∼ N (0, Σ2t ) y PSD Φt = 2τt Σ2t , donde Σt (Barton and Ward, 1984) es: Σ2t Bw2 = 2 SN R 2Km (H.9) y Km se define en (Kingsley and O’Keefe, 1999). 2τt = 1/fs . La relación señal- H4 H.2. MODELOS RUIDO RADAR ruido SNR se obtiene de la ecuación del radar(Siouris, 2004), SN R = Pt G2 λ2 · RCS · L τR2 (4π)3 kr T M k4 (kTn Bw ) · F P RI · τG (H.10) donde Pt G Pc k Tn F L τR P RI τG Radar peak transmission power Antenna gain Pulse compression ratio, τT Bw Boltzmann constant Noise temperature in the radar system Loss factor due to signal processing in the receptor Loss factor due to beam forming Pulse duration at the receiver gate Pulse Repetition Interval Received gate duration siendo τR ∼ τG . Ruido atmosférico, (Barton and Ward, 1984), con pan ∼ N (0, Σ2an ) PSD Φan = Φanref kr̊T M k, donde kr̊T M k es el segmento de distancia entre misil y blanco por debajo de 5Km en altura, y Fc Φanref = 4τan Σ2anref √ d (H.11) con H.2.3. d Σ2anref Radar antenna aperture diameter, in m Standard deviation, 0,44 · 10−6 τan k Fc Atmospheric correlation time, 0,6s Boltzmann constant Noise correlation factor, 0,4 , from (Alpert, 2003) Ruidos en Distancia y Velocidad de Colisión El ruido en la medida de distancia puede tener varios componentes, aquı́ solo consideraremos el que depende de la SNR (Curry, 2005), que tı́picamente domina y puede considerarse Gausiano con: Σρ = c √light 2Bx 2 · SN R donde clight es la velocidad de la luz. H5 (H.12) H.2. MODELOS RUIDO RADAR La velocidad de colisión puede medirse a través de 1. Desviación Doppler en la señal recibida 2. A través de diferentes medidas de distancia al blanco Siendo superior el primero, que se obtiene de: Vc = λ 2 fD (H.13) donde fD es la desviación en frecuencia debido al efecto Doppler y λ es la longitud de onda del radar.Su desviación estándar es: ΣV = ∆Vc λ √ =√ 2τ 2 · SN R 2 · SN R (H.14) donde ∆Vc es la resolución de la medida de velocidad radial y τ es la extension temporal de la señal radar que se procesa de modo coherente. H6 Bibliografı́a Akgul, A., Akargun, H. Y., Atak, B., Cetiner, A. E., and Goker, O. (2012). Numerical investigation of nasa tandem control missile and experimental comparison. Scientific Technical Review, 62(1):3–9. Al-Garni, A. Z., Kassem, H. A., and Abdallah, A. M. (2008). Aerodynamic shape optimization of supersonic missiles using monte-carlo. International Review of Aerospace Engineering (IREASE), 1(1). Alpert, J. (2003). Normalized analysis of interceptor missiles using the four-state optimal guidance system. 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