Lección 9: Fracciones decimales

LECCIÓN 9
Toluca
–3º
7º
–2º
Guadalajara
6º
20º
9º
Monterrey
–4º
0º
–1º
Distrito Federal
2º
13º
4º
Acapulco
18º
29º
21º
a) ¿En cuál ciudad se registró la temperatura más baja a
las 7 de la mañana?
b) ¿En cuál ciudad se registró la temperatura más baja a
las 10 de la noche?
c) ¿Cuánto aumentó la temperatura en cada ciudad entre
las 7 de la mañana y las 3 de la tarde?
d) ¿Cuánto disminuyó la temperatura en cada ciudad entre
las 3 de la tarde y las 10 de la noche?
Lección 9: Fracciones
decimales
Sistema de numeración
No siempre podemos trabajar con unidades enteras. Con
frecuencia tenemos que partir lo que tenemos para usarlo.
En esta lección veremos una manera de expresar partes de
una unidad a través del sistema de numeración decimal,
que ya hemos empezado a estudiar.
Recuerde que nuestro sistema de numeración es decimal
porque agrupa de diez en diez las unidades, decenas, etc.;
y es posicional porque el lugar que ocupa una cifra nos dice
de qué tamaño son los grupos que estamos contando. Para
93
GUÍA
DE
MATEMÁTICAS I
R
tres
décimos
}?
un entero
contar cuántos grupos de cada tamaño tenemos, este sistema
utiliza diez símbolos, que son los dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9.
Para escribir partes de una unidad con el sistema decimal
vamos a partir la unidad en diez partes iguales; cada una de
esas partes se llama décimo. Si con una primera partición no
R
tres
décimos
} siete
centésimos
un entero
94
LECCIÓN 9
podemos todavía expresar la cantidad que tenemos, partimos
los pedacitos en diez partes, etc.
Veamos un ejemplo. Queremos expresar la cantidad de área
que tenemos sombreada en la siguiente figura, utilizando
como unidad el cuadrado R. El área sombreada es una unidad
y un trozo. Para saber qué parte de la unidad es ese trozo,
o sea lo que queda en el segundo rectángulo, partimos el
rectángulo en diez partes. Cada una de esas “rebanadas” es
un décimo del área. Tenemos 3 décimos sombreados y hay un
pedazo sombreado que sobra, que es más chico que un décimo.
Para saber de qué tamaño es el pedazo que nos falta medir,
partimos los décimos en diez partes cada uno. El rectángulo
nos queda partido en 10 ´ 10 = 100 pedazos iguales, y cada
uno de estos pedacitos es un centésimo. Con siete de ellos,
ahora sí abarcamos exactamente el área sombreada. Sabemos
entonces que toda esa área es: 1 unidad, 3 décimos y
7 centésimos.
Para expresar en el sistema decimal una cantidad como la
que acabamos de obtener vamos a usar posiciones como en
el caso de los enteros. Primero ponemos un punto que sirve
para separar los enteros de las fracciones y que se llama
punto decimal. A la izquierda del punto escribimos los enteros
como siempre. A la derecha del punto escribimos la cantidad
de pedazos que tenemos de cada tamaño empezando con
los pedazos más grandes, los décimos, y luego los centésimos.
En nuestro ejemplo tenemos un entero, tres décimos y siete
centésimos: entonces escribimos 1.37. Este número lo
podemos leer también como un entero treinta y siete
centésimos. Observe en el último dibujo que los tres
décimos que contamos inicialmente quedaron partidos
en 30 centésimos.
Si partimos los centésimos en diez partes iguales cada uno,
la unidad nos queda dividida en 100 ´ 10 = 10 ´ 10 ´ 10 = 1000
pedacitos y cada uno de ellos se llama milésimo. La cantidad
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GUÍA
DE
MATEMÁTICAS I
de milésimos que tengamos se escribe a la derecha de los
centésimos y leemos esa parte fraccionaria como si fuera un
entero pero al final decimos el nombre de los pedazos más
chicos, es decir del menor orden que tenemos. Por ejemplo,
trescientas cuarenta y dos unidades, 4 décimos, 6 centésimos
y 9 milésimos se escribe 342.469 y se lee trescientas cuarenta y
dos unidades cuatrocientos sesenta y nueve milésimos.
Si partimos en milésimos el rectángulo de nuestro ejemplo,
el área sombreada será equivalente a 1.370, es decir, una
unidad con trescientos setenta milésimos. Observe que
entonces tenemos que 1.37 = 1.370.
Se puede seguir partiendo tanto como se necesite; el nombre
del orden dice en cuántas partes se dividió el entero.
Observe que cada vez que partimos en diez, obtenemos
la cantidad de pedacitos multiplicando por diez. Aquí vamos
a multiplicar muchas veces por diez; conviene entonces
Si se parte en
10
el entero
queda
dividido en
10
cada parte
se llama
su lugar a
la derecha
del punto
decimal es el
se escribe
décimo
1o.
0.1
centésimo
2o.
0.01
milésimo
3o.
0.001
100 = 102
100
1 000 = 103
1 000
10 000 = 104
10 000
diezmilésimo
4o.
0.0001
100 000 = 105
100 000
cienmilésimo
5o.
0.00001
1 000 000 = 106
1 000 000
millonésimo
6o.
0.000001
10 000 000 = 107
10 000 000
diezmillonésimo
7o.
0.0000001
100 000 000 = 108
100 000 000
cienmillonésimo
8o.
0.00000001
detenernos un momento para hacer un acuerdo de notación.
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LECCIÓN 9
Recuerde que si multiplicamos un número por sí mismo,
para abreviar la escritura, escribimos un 2 pequeño en la
parte superior del número. Por ejemplo 10 ´ 10 = 102. Si
multiplicamos un número por sí mismo varias veces podemos
abreviar la escritura de esta operación haciendo lo mismo.
Se pone en la parte superior derecha del número la cantidad
de veces que multiplicamos en pequeño. Por ejemplo, 10 ´ 10
´ 10 = 103, 10 ´ 10 ´ 10 ´ 10 = 104, etc. Se dice que obtuvimos
la tercera potencia de 10, la cuarta potencia de 10, etc.
También se dice que elevamos 10 a la tercera potencia, etc.
El número pequeño, nos indica cuántas veces se multiplica
el número que tenemos por sí mismo, se llama exponente.
Regresemos a las fracciones decimales. Para recordar los
nombres, significados y escritura de los órdenes más usuales
de las fracciones decimales, ponemos una tabla y algunos
ejemplos.
Observe que un décimo es igual a diez centésimos y a cien
milésimos y a mil diezmilésimos, etc: 0.1 = 0.10 = 0.100 =
0.1000 = 0.10000 = ……. Análogamente, un centésimo es igual
a diez milésimos y a cien diezmilésimos y a mil cienmilésimos,
etc: 0.01 = 0.010 = 0.0100 = 0.01000 = 0.010000 = …….
En general, podemos agregar todos los ceros que queramos a
la derecha de la última cifra de un número decimal sin alter ar el número.
Combinando las partes que aparecen en la tabla y contando
cuántas tenemos de cada tamaño podemos escribir y leer
cualquier número decimal. Por ejemplo, 13.765438 se lee
trece unidades setecientos sesenta y cinco mil cuatrocientos
treinta y ocho millonésimos.
Aunque no sepamos cómo se llaman las partes en que
se divide el entero, podemos dividir todas las veces que
queramos en diez partecitas. Se pueden escribir decimales
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GUÍA
DE
MATEMÁTICAS I
con cualquier cantidad de cifras. Por ejemplo, 890.3049586732,
1.22223349939392223, etc. Todo lo que va a la derecha del
punto decimal de un número se llama la expansión decimal del
número. Hay números que tienen una expansión decimal que
no se termina; se dice que tienen expansión decimal infinita.
Por ejemplo: 2.333.... Los puntos suspensivos en este número
significan que sigue 3 un número infinito de veces. Cuando
la expansión decimal de un número se acaba, aunque sea
muy larga, se dice que tiene expansión decimal finita.
Por ejemplo: 2.33, 5.9833, 84.55555888883939222939,
29888.9393939222929399932221929292475751. Esto último
no incluye a los ceros que se pueden agregar a la derecha de
la última cifra; por ejemplo, 6.7705000000… es un número
con expansión decimal finita, porque es igual a 6.7705.
Recuerde que en cada posición sólo podemos escribir un
dígito. Si juntamos diez partes de un mismo tamaño las
agrupamos para formar una unidad del orden inmediato
superior. Por ejemplo, si tenemos quince centésimos, los
reagrupamos y tenemos un décimo y cinco centésimos.
Si tenemos 56 décimos, los reagrupamos y formamos 5
unidades y 6 décimos, etc.
Escriba con notación decimal los números que le damos
en español:
a) doce unidades doce centésimos
b) cuarenta y siete décimos
c) doscientos treinta y cinco milésimos
d) dos unidades quince milésimos
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LECCIÓN 9
e) ciento seis milésimos
f) diecinueve milésimos
g) cinco centésimos
h) cinco décimos
i)
dos diezmilésimos
j) ciento treinta centésimos
k) diez mil doscientas unidades, ochocientos veintisiete mil
quinientos trece millonésimos
l)
seis millones setecientas unidades, un millón veintisiete
mil once diezmillonésimos
Escriba en español los siguientes números:
a) 354.7
e) 123.321
i) .00315
b) 32.007
f) 4702.0934
j) .772
c) 302.07
g) 2791.579
k) .039
d) 9.777
h) 0.550
l) .630038
Orden en los números decimales
Para saber si un número decimal es mayor que otro
comparamos primero los enteros. Si la parte entera
es mayor, el número es mayor. Por ejemplo, 134.123 es
mayor que 67.987 porque 134 es mayor que 67; escribimos
134.123 > 67.987. Otro ejemplo: 56.87954 es menor
que 108.13 porque 56 es menor que 108; escribimos
56.87954 < 108.13.
Si las partes enteras de dos decimales son iguales, nos fijamos
en los décimos, que son las fracciones decimales más grandes.
El número que tiene más décimos es más grande. Por ejemplo:
43.75 es mayor que 43.69; escribimos 43.75 > 43.69.
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GUÍA
DE
MATEMÁTICAS I
12.8 es mayor que 12.299; escribimos 12.8 > 12.299.
52.103 es menor que 52.4; escribimos 52.103 < 52.4.
Si tanto la parte entera como los décimos de dos números
son iguales, nos fijamos en los centésimos. El número que
tiene más centésimos es más grande. Por ejemplo:
3.12 es mayor que 3.11; escribimos 3.12 > 3.11.
98.567 es mayor que 98.5589; escribimos
98.567 > 98.5589.
47.547 es menor que 47.06; escribimos 47.0547 < 47.06.
16.28 es mayor que 16.2, porque 16.2 = 16.20;
escribimos 16.28 > 16.2.
Este proceso de comparación se puede seguir siempre.
A continuación lo planteamos para todos los números
decimales: Para saber si un decimal es mayor que otro,
cuando sus partes enteras son iguales, nos fijamos en
la primera cifra de izquierda a derecha en la que son
distintos y el número que tiene esa cifra más grande
es el mayor de los dos. Recuerde que si faltan cifras
decimales para poder hacer esta comparación, siempre
se pueden agregar ceros a la derecha sin alterar el número,
como en el último ejemplo.
También los números decimales se representan en la recta
numérica, partiendo cada unidad en el dibujo en diez, cada
décimo en diez, etc. Por ejemplo: para representar en la
recta el número 3.7, dividimos la unidad que va de 3 a 4 en
diez partes iguales y en la séptima división estará 3.7.
3
100
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9
4
4.1 4.2
LECCIÓN 9
Si queremos representar en
la recta el número 12.43,
dividimos en diez partes el
segmento que va de 12 a
13, localizamos 12.4 y la
siguiente división, 12.5;
dividimos
en diez partes el segmento
que va de 12.4 a 12.5 y en
la
tercera división estará
12.43.
12
12.1
12.2 12.3
12.4
7.6
1
7.53
0.7
7.5
0
12.5
12.6
12.7
12.8
12.9
13
12.4 12.41 12.42 12.43 12.44 12.45 12.46 12.47 12.48 12.49 12.5
Como antes, en la recta numérica los números son más
grandes mientras más se alejan del cero en la dirección del
uno. Con el dibujo en esta posición, los números son más
grandes si están más a la derecha.
En algunas ocasiones la recta numérica no se coloca en posición horizontal sino en posición vertical, y la
dirección del cero hacia
el uno es de abajo hacia arriba. En estos casos los números
son más grandes si están más arriba, como se
muestra en los ejemplos:
101
GUÍA
DE
MATEMÁTICAS I
En cada par de números indique cuál es el mayor:
a) 14.27 y 12.98
g) 126.44 y 126.4491
b) 364.846 y 325.787
h) 8.66 y 8.656
c) 90.13 y 90.95
i) 7.02 y 7.002
d) 6.328 y 6.32
j) 0.00637 y 0.0063
e) 51.1 y 51.01
k) 4.49 y 4.5
f) 0.014 y 0.14
l) 87.3 y 87.03
En cada par de números indique cuál es el menor:
a) 50.4 y 30.43
g) 71.9 y 71.900
b) 46.793 y 46.79326
h) 0.0016 y 0.001
c) 518.628 y 192.475
i) 55.55 y 55.555
d) 6.57 y 4.75
j) 6.14 y 6.104
e) 59 y 59.9
k) 3.87 y 3.087
f) 28.2 y 28.02
l) 9.34 y 9.3040
Entre cada par de números coloque el símbolo =, el símbolo >
o el símbolo < según corresponda:
102
a) 2.21
2.214
i) 27.430000
b) 6.12
6.1200
j) 0.001
c) 12.9
12.09
k) 2.71013
27.43
0.0001
2.72
LECCIÓN 9
d) 152.09
152.1
e) 185.824
183.924
l) 5.039
m) 0.003314
f) 0.219
0.22
n) 15.1890
g) 1.13
1.0130
o) 67.44000
h) 346.77802
5.042
0.0031
15.18
67.44
346.7782
Escriba un número:
a) mayor que 2.1
b) mayor que 17.53
c) menor que 12.33
d) menor que 0.01
e) mayor que 0.2194 y menor
que 1
f) dos décimos mayor que 2.5
103
GUÍA
DE
MATEMÁTICAS I
g) un centésimo menor que 0.068
h) tres unidades y un décimo mayor que 1.42
i)
dos décimos y un centésimo mayor que 9.73
j) un décimo y un milésimo menor que 9.614
k) un décimo menor que 9.059
l)
entre 3.6 y 3.7
m) entre 0.557 y 0.5572
n) entre 7.88 y 7.808
Dibuje en rectas numéricas los números:
a) 1.5, 1.7, 1 y 2
d) 1.190, 1.195 y 1.2
b) 100, 50, 70 y 60
e) 8.88, 8.882 y 8.885
c) 22.43, 22.44 y 22.435
f) 0.1, 0.01 y 0.05
a) En una tienda cuesta
$2.50 un carrete de hilo
y en
otra cuesta $2.05.
¿En cuál tienda es más
barato el hilo?
b) En una casa de cambio
venden el dólar en
$10.49 y lo compran seis
centavos más bajo. ¿En
cuánto compran
el dólar?
c) Para ir a trabajar, Don
104
LECCIÓN
Luis puede usar dos rutas distintas. En la primera ruta el
recorrido es de 17.7 Kms. y la segunda es dos kilómetros y
cinco décimos más corta. ¿De cuánto es el recorrido en la
segunda ruta?
Don Pedro repartió un terreno entre sus dos hijos. El terreno
que le tocó a Lupercio mide de frente 18 m. y 8 décimos, y
el que le tocó a Gumesindo tiene un frente de 18 m. y 55
centésimos.
a) Exprese con números decimales las medidas
de los frentes de los
dos terrenos
b) ¿A quién le tocó el
terreno de mayor frente?
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