Sección 2.1 Curvas soluciones sin solución 1 Campos

Sección 2.1
Curvas soluciones sin solución
1
Campos direccionales
Recuerde que dada la ED y0 = f (x; y), si f y @f
@y satisfacen ciertas condiciones, la
ED de primer orden tiene solución única. Aquí surgen una serie de preguntas,
que hacer con ED de primer orden cuya solución no es simple determinar en
forma algebraica.
dy
Es importante recordar lo siguiente: una derivada dx
de una función diferenciable y = y (x) representa la pendiente de la recta tangente en todos los puntos
de la grá…ca.
Pendiente: como una solución y = y (x) a una EDO de primer orden y0 = f (x; y) es
necesariamente diferenciable en un intervalo I por de…nició, debe ser continua
en I. Por esta razón la curva solución en I debe ser una curva suave y debe
poseer una recta tangente en cada punto (x; y) : La función f es llamada función
pendiente o función de cambio.
Ejemplo
Dada la ED y0 = x + y, si se considera el punto (0; 1) la curva solución en el punto
(0; 1) tiene una recta tangente con pendiente f (0; 1) = 0 + 1 = 1:
Si la función f se evalúa sistemáticamente sobre un conjunto de puntos en
el plano y se traza un segmento de la recta tangente en cada punto (x; y) con
pendiente f (x; y) se obtiene lo que se le llama campo direccional de la ED y0 =
f (x; y).
1
Ejemplo
Trace un campo direccional de la ED y0 = 0:2x2 + y = f (x; y) y luego trace curvas
soluciones que pasen por los puntos (0; 1=2) ; (2; 1)
y
2
1
x
−2
−1
1
2
3
4
−1
−2
−3
2
ED autónomas de 1er orden
Una ED es autónoma si la variable independiente no aparece en forma explícita. Si la variable independiente es x, entonces una ED autónoma puede
dy
= f (y) :
ser escrita en la forma f (y; y0 ) = 0 o en la forma dx
Ejemplos:
1.
dy
= 1 + sin2 y;
dx
2:
dy
= tan
dx
1
y
Puntos críticos
Los ceros de la función f (y) ; es decir, f (y) = 0; son llamados puntos críticos de
la EDA. Un punto crítico también es llamado un punto de equilibrio o punto
estacionario.
dy
Nota: Si en la ED dx
= f (y) se considera la función constante y (x) = c , ambos
lados de la ecuación son cero. Esto signi…ca que:
dy
= f (y) ; entonces y (x) = c es una solución
Si c es un punto crítico de la ED dx
constante de la EDA.
2
Una solución constante
librio.
y (x) = c
de la EDA es llamada una solución de equi-
Es importante indicar que una solución no constante y = y (x) de la EDA es
creciente o decreciente, cuyos signos se determinan analizando el signos de la
dy
:
derivada dx
Ejemplo Considere la EDA
y 2 3y = 0 ) y (y
dy
= y2
dx
3) = 0 ) y = 0; y = 3
Signo de f (y)
( 1; 0)
positivo
(0; 3)
negativo
(3; 1)
positivo
Intervalo
3y
determine los puntos críticos.
f (y)
Dirección
creciente hacia arriba
decreciente hacia abajo
creciente hacia arriba
Curvas solución
Cuando se resuelve una EDA, como la función f es independiente de la variable independiente x, se puede considerar que f está de…nida para todo número
real, como f y f 0 son funciones continuas de y en alguna región R del plano xy.
Algunas conclusiones:
1.
Si (x0 ; y0 ) está en la subregión Ri ; y y = y (x) es una solución cuya grá…ca pasa
por ese punto, entonce y (x) se mantiene en la i-ésima región.
2.
Por continuidad de
f
se tiene que
f (y) > 0
o
f (y) < 0
para todo
x
en la región
Ri :
3.
4.
dy
Como dx
= f (y (x)) es siempre positiva o negativa en la región
y (x) es creciente o decreciente en dicha región.
Ri ,
entonces
Si y (x) es acotada inferiormente o superiormente, entonces esa cotas representan asíntotas horizontales.
3
dy
= y2
Ejemplo: Considere la EDA dx
solución.
dy
3
= y 2 3y, Exact solution is: 0;
dx
C e3x
3y;
esboce las grá…cas de las curvas
1
3
y
4
3
R1
2
1
R2
x
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
R3
−1
−2
−3
−4
Puntos críticos
Estable asíntoticamente si todas las soluciones y = y (x) que pasan por el punto
(x0 ; y0 ) su…cientemente cerca de c tiene un comportamiento asíntotico lim y (x) = c:
x!1
Inestable si todas las soluciones y = y (x) que pasan por el punto (x0 ; y0 ) su…cientemente cerca de c se alejan de c cuando x ! 1:
Semi-estable si todas las soluciones y = y (x) que pasan por el punto
su…cientemente cerca de c, unas se alejan y otras se acercan a c:
Ejemplo Considere la EDA
y 2 3y = 0 ) y (y
dy
= y2
dx
3) = 0 ) y = 0; y = 3
Signo de f (y)
( 1; 0)
positivo
(0; 3)
negativo
(3; 1)
positivo
Intervalo
c=0:
Estable asíntoticamente y
3y
determine los puntos críticos.
Dirección
creciente hacia arriba
decreciente hacia abajo
creciente hacia arriba
c=3:
f (y)
Inestable
4
(x0 ; y0 )
Ejemplo Considere la EDA
10 + 3y
dy
= 10 + 3y
dx
y2
determine los puntos críticos.
y 2 = 0 ) (5
y) (y + 2) = 0 ) y = 2; y = 5
Signo de f (y)
f (y)
( 1; 2)
negativo decreciente
( 2; 5)
positivo
creciente
(5; 1)
negativo decreciente
Intervalo
c=5:
Estable asíntoticamente y
c=
2:
5
Inestable
Dirección
hacia abajo
hacia arriba
hacia abajo