Lecture 4: Simulación

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Simulación. Conceptos básicos
Software de simulación
Prácticas de simulación
Lecture 4: Simulación
Arnau Dòria-Cerezo
Institut d’Organització i Control de Sistemes Industrials
Universitat Politècnica de Catalunya
Posgrado en Automatización
Modelado y Simulación de Sistemas de Control
Junio 2006. Universidad de Cuenca, Ecuador
Modelling and Simulation of Control Systems
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Simulación. Conceptos básicos
Software de simulación
Prácticas de simulación
Outline
1
Simulación. Conceptos básicos
2
Software de simulación
3
Prácticas de simulación
Modelling and Simulation of Control Systems
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Software de simulación
Prácticas de simulación
Métodos numéricos de integración
Métodos de paso fijo
Métodos de paso variable
Principales problemas
Simulación. Conceptos básicos
La simulación, en nuestro caso, será la resolución numérica del
sistema de EDOs,
ẋ = f (x) + g(x)u,
o, en el caso de los port-controlled Hamiltonian Systems
ẋ = (J (x) − R(x))∇H T + g(x)u.
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Métodos numéricos de integración
Métodos de paso fijo
Métodos de paso variable
Principales problemas
Métodos numéricos de integración
Esta resolución se realiza mediante los métodos numéricos
Los métodos numéricos no resolveran el sistema de forma
explı́cita.
La solución serán valores aproximados a la solución explı́cita.
El proceso consiste en dividir el tiempo en intervalos ∆t (no
tienen porque ser iguales).
En función del método varı́a, la complejidad de resolución y la
aproximación a la solución analı́tica.
Para la resolución siempre será necesario asignar las
condiciones iniciales.
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Métodos numéricos de integración
Métodos de paso fijo
Métodos de paso variable
Principales problemas
Métodos numéricos de integración
Método de Euler
Método de paso fijo: ∆tn = ∆tn+1
Consiste en definir las siguientes ecuaciones, y repetir para
n = 1...N , dónde N = ∆tt n y t es el tiempo de simulación.
dxn = f (xn )
xn+1 = xn + dxn ∆t
Ejemplo:
Resolver
ẋ = x
con x(0) = 1 y ∆t = 0.5.
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Métodos numéricos de integración
Métodos de paso fijo
Métodos de paso variable
Principales problemas
Métodos numéricos de integración
El resultado obtenido és:
Resultado:
t
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
xn
1
1.5
2.75
4.125
6.1875
9.28125
13.921875
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dxn
1
1.5
2.75
4.125
6.1875
9.28125
13.921875
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Métodos numéricos de integración
Métodos de paso fijo
Métodos de paso variable
Principales problemas
Métodos numéricos de integración
Si escogemos un paso de integración menor, h = 0.125, y si obtenemos la
solución analı́tica (x = et ),
Resultado:
t
0
0.125
0.25
0.375
0.5
0.625
0.750
xn , h = 0.5
1
1.5
-
xn , h = 0.125
1
1.25
1.26562
1.42382
1.60180
1.80203
2.02728
x = et
1
1.23148
1.28402
1.45499
1.64872
1.86824
2.11700
La solución obtenida tiene un error, y este error también és funcion del
paso de integración.
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Principales problemas
Error
Tipos de error
Error de discretización: resulta de sustituir la solución exacta del
problema por la aproximación.
Error de redondeo, en las operaciones aritméticas.
Mejora del error
El error de discretización se
puede disminuir con un paso de
integración menor.
Si bien entonces augmentan los
errores de redondeo, ya que
augmenta el numero de
operacines.
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Métodos de paso fijo
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Principales problemas
Métodos de paso fijo
Métodos de paso fijo
Método de Euler.
Método de Taylor.
Métodos de Runge-Kutta.
Métodos de Adams-Bashforth (multipaso).
Caracterı́sticas
∆tn = ∆tn+1 .
Algoritmos de resolución sencilla.
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Principales problemas
Métodos de paso variable
Métodos de paso variable
Métodos de Vode-Adams.
Métodos de Runge-Kutta-Fehlberg.
Backward Differentiation Formula (BDF).
Caracterı́sticas
∆tn 6= ∆tn+1 .
Algorimos de resolución compleja.
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Principales problemas
Principales problemas
Estabilidad
La solución del método de integración numérica és inestable,
aunque la solución del sistema és estable.
Solución: reducir el paso de integración, cambiar de método
de integración.
Stiffness
Problema: el modelo contiene dinámicas rápidas y lentas.
Solución: utilizar métodos apropiados, cómo BDF o
Vode-Adams.
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Métodos numéricos de integración
Métodos de paso fijo
Métodos de paso variable
Principales problemas
Principales problemas
Sistemas DAE
DAE: Equación diferencial algebráica, preséncia de ecuaciones
implı́citas. Por ejemploCuando tenemos causalidad diferencial
Solución: utilizar métodos de integración implı́cita.
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Principales problemas
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Principales problemas
Discontinuidades
El modelo no sólo és funcion del tiempo, si no también de eventos
(ejemplo: bouncing ball).
Solución: utilizar métodos de paso variable.
Ball trajectory and the events
25
20
height
15
10
5
0
0
5
10
15
20
25
time
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30
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Matlab
20sim
Matlab
Principales caracterı́sticas
Probablemente el programa
más utilizado por los
inegieros de control
Dispone de muchas librerias,
y del Simulink y el Control
System Toolbox
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Matlab
20sim
20sim
Principales caracterı́sticas
Permite la representación de
Bond Graph.
Dispone de 10 algoritmos de
resolucion numérica.
Programa relativamente
nuevo, y sencillo, de fácil
uso.
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Prácticas de simulación
P1 Rutinas de integración de Matlab
P2 Edificio con control activo de terremotos
P3 Propagación de la causalidad
P4 Modelado, simulación y control de un sistema de levitación
magnética
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