TEMA 19 - Mural UV

Tema 19. Segundo Cuatrimestre.
Estructura Atómica. Física General
TEMA 19. ESTRUCTURA ATÓMICA.
1.- Introducción.
Hoy en día se conocen más de 100 elementos diferentes. Cada
elemento viene representado por un átomo (αθοµοσ, indivisible) con un
número de protones Z, igual al número de electrones, más un número N de
neutrones.
Se denomina número atómico del elemento a Z, mientras que la
suma Z+N=A, representa su número másico. Rutherford, mediante un
experimento en el que bombardeaba los núcleos con partículas α, demostró
que los átomos estaban constituidos por un gran espacio vacío, con un
núcleo muy masivo y denso, en el que se concentraba prácticamente toda la
masa del átomo (donde se ubican los protones y neutrones), y una envoltura
de electrones que están en un espacio 5 órdenes de magnitud el tamaño del
núcleo (imagen de la plaza de toros1). El núcleo tiene un tamaño del orden
del Fermi (1 fm = 10-15m), mientras que el átomo (tamaño de la envoltura
de electrones) es del orden del Angstrom, (1 ⊕=10-10m).
En la física clásica, cuando estudiamos las partículas o los sistemas,
ya sean libres o ligados, por ejemplo un planeta alrededor del Sol, no se ha
encontrado ninguna restricción sobre los posibles valores de su energía, que
puede tomar en general, un continuo de valores.
Por el contrario, el estudio de la absorción y emisión de radiaciones
por parte de los átomos, revela que los posibles valores de la energía para
los sistemas atómicos están cuantizados, es decir, únicamente pueden
tomar valores discretos, claramente definidos. Además, existen otras
magnitudes cuantizadas, como por ejemplo el momento angular.
Los principios de cuantización, juntamente con el principio de
exclusión, nos van a permitir explicar muchas de las propiedades del
mundo microscópico, como la estructura y la estabilidad de los átomos, e
incluso estos principios tienen aplicaciones al nivel macroscópico, como en
la explicación de la estructura de bandas de los metales.
2. Niveles de energía.
La mecánica clásica es capaz de describir a la perfección sistemas
ligados como un planeta alrededor del Sol, y parece natural que hagamos su
extrapolación al mundo microscópico. Dado que un átomo, como por
1
Si hiciéramos 1013 veces más grande un átomo, encontraríamos que es aproximadamente como una
plaza de toros en la que el núcleo en el centro tendría el tamaño de una pelota de tenis y los electrones
serían como las moscas que revolotean por las gradas.
1
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ejemplo el de 4He se compone de un núcleo cargado muy pesado y dos
electrones, cargados y muy ligeros, que constituyen su envoltura
electrónica, es normal suponer que éstos orbiten alrededor del núcleo, de la
misma manera que lo hacen los planetas en un sistema solar, con cualquier
valor de su energía.
Sin embargo, el estudio de los átomos mediante sus espectros de
emisión y absorción, puso de manifiesto que los átomos y las moléculas
solamente pueden tener determinados valores discretos de energía y
momento angular. Se trata de sistemas cuantizados, que en general solo se
presentan en la naturaleza en un estado determinado: así, los átomos de
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Fe, en la naturaleza, son indistinguibles entre ellos, y tienen la misma
energía (si se aplicara el modelo clásico, cabría esperar infinitos valores de
energía, atendiendo a las infinitas órbitas clásicas posibles de los
electrones, y los átomos serían distinguibles, no idénticos).
Los diferentes valores discretos de la energía que pueden tener los
átomos reciben el nombre de niveles de energía y su valor más bajo, que
representa el estado en el que habitualmente se encuentra el sistema en la
naturaleza, recibe el nombre de estado fundamental.
2.1 Espectros de emisión y de absorción2:
A temperatura ambiente los átomos y las moléculas se encuentran en
su estado fundamental, y los fenómenos térmicos normales no tienen
suficiente energía para permitir cambios en su estado de energía. Ahora
bien, en el interior de un horno a elevada temperatura por ejemplo, los
átomos pueden absorber radiaciones o realizar choques entre ellos, de
manera que algunos átomos pueden pasar a estados de energía superior, es
decir: ocupan los niveles de energía superior o niveles excitados.
Figura 33.2. Espectroscopio de Kirchoff.
Descomposición de la luz visible.
Espectros del H, He, Ba, y Hg. Cada
espectro es característico del átomo.
2
Al inicio del siglo XX se había recopilado un gran número de datos de emisión luminosa de átomos que
habían sido excitados mediante descargas eléctricas.
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Cuando los átomos excitados (inestables), vuelven a su estado
fundamental, lo suelen hacer mediante la emisión de radiación (fotones),
que al ser analizada resulta ser de frecuencias discretas, y que representan
el espectro de emisión del átomo. El espectro de absorción es el fenómeno
contrario: el átomo absorbe ciertas frecuencias discretas de la radiación a la
que se le somete, y como resultado se excita. Los espectros de emisión y
absorción coinciden y cada elemento atómico tiene su espectro
característico, diferente de otro elemento.
Los espectros de absorción y emisión atómicos (moleculares,
nucleares, etc.) demuestran que los sistemas cuánticos solamente pueden
tener determinados valores de energía y momento angular, es decir, sus
valores están cuantizados (figura 33.2).
Las radiaciones observadas, que suelen estar en el rango del visible y
pueden llegar al rango de los rayos X, representan la diferencia de energía
∆E entre dos niveles energéticos del elemento, de manera que ∆E=hf es la
energía absorbida o emitida en la transición atómica, energía que es
transportada por el fotón.
2.2 Partícula confinada en una caja.
Este es un ejemplo sencillo que ilustra los resultados de la
cuantización de la energía para un sistema ligado y es una situación
conceptualmente similar a la de un electrón confinado en el espacio
restringido de un átomo, o un protón en el núcleo.
Sea una partícula de masa m, confinada en una caja
monodimensional de longitud L. Una partícula clásica rebotaría en las
paredes y podría tener cualquier valor de energía y momento. Ahora bien,
la propiedad ondulatoria de las partículas, con su función de onda ya
introducida nos pone de manifiesto el resultado de cuantización, debido a
que únicamente las ondas estacionarias son posibles en un espacio de
confinamiento.
Así, la función de onda deberá cumplir:
ψ = 0 para
x ≤0 y x ≥ L
en particular, la función de onda se anula en x=0, y x=L, los puntos
extremos de la caja tal y como lo hacía una onda estacionaria en una
cuerda, fijada por sus extremos (figura 17.11).
Las conclusiones son las mismas: solo ciertas longitudes de onda
estarán permitidas: aquellas que cumplan la condición de resonancia de las
ondas estacionarias, es decir:
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λn
p2 (h/λ n )2
h2
→ En = n =
= n2
= n2E1
2
2
2m
2m
8mL
donde hemos usado la relación de De Broglie, para las partículas: λ=h/p y
n=1,2,3....
L=n
Figura 17.11. Un electrón confinado en
una caja (de potencial) debe cumplir en su
función de onda, la condición de las ondas
estacionarias, tal y como lo hacen las
ondas materiales sobre una cuerda, fijada
por sus extremos.
Figura
17.12.
Niveles
energéticos
permitidos para una partícula en una caja.
Cuantización de la energía para sistemas
confinados.
Obsérvese que la energía del estado fundamental es E1, y vale:
h2
E1 =
8mL2
Uno de los resultados interesantes de este ejercicio es el que se
denomina la energía del punto cero: una partícula confinada en una región
del espacio posee una energía mínima, necesariamente distinta de cero,
que debe ser compatible con el principio de incertidumbre. Así, a medida
que la región de confinamiento es más estrecha, mayor es la energía del
punto cero, o estado fundamental, que como se ve cumple: E1∝1/L2.
A pesar de la sencillez del ejemplo, este nos permitirá ejemplificar lo
que pasa en los sistemas cuánticos confinados. La partícula se encuentra
normalmente en su estado fundamental E1. Puede pasar a encontrarse en
uno de los estados excitados absorbiendo energía; posteriormente se
desexcitará emitiendo energía de nuevo (ver la flecha de la figura 17.12).
El principio de conservación de la energía nos da las características
de la radiación emitida en la desexcitación: la frecuencia del cuanto de
energía o fotón, vale:
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hf = Ei − Ef → λ =
c hc
=
f ∆E
Conclusiones y conceptos
• Estado fundamental y niveles excitados.
• Cuantización de la energía con sólo dos ingredientes: función de
onda confinada y relación de De Broglie.
• Función de onda nula fuera de la caja3 y en los extremos.
• Energía del punto cero, compatible con el principio de
incertidumbre.
• Explicación conceptual de los espectros de emisión y absorción.
2.3 Funciones de onda.
Las funciones de onda de una partícula en una caja, se obtienen
mediante la resolución de la ecuación fundamental de la mecánica cuántica,
o la ecuación de Schrödinger (que se verá en el futuro). Sin embargo, por el
paralelismo entre la cuerda fijada por los extremos y la partícula confinada
en la caja, no es de extrañar que la forma matemática de las funciones
coincida, hasta cierto punto. Así:
nπx 
ψ n (x) = A n sin (k n x) = A n sin 

 L 
donde k n = 2π/λ n → kn = nπ/L .
Dado el sentido de densidad de probabilidad que conlleva el
cuadrado de la función de onda, es evidente que si sabemos que la partícula
está confinada en la caja, la probabilidad de encontrarla en el interior al
hacer un experimento correcto será de la unidad (100%). Así, podremos
escribir la denominada condición de normalización de la función de onda
como:
+∞
nπx 
dx = ∫ A 2n sin2 
 dx = 1
L


−∞
0
Condición de normalización: probabilidad 1
∫ (ψ )
L
2
Que la podemos usar para obtener el valor de las constantes An que
acompañan a las funciones de onda. Así, se obtiene, integrando:
3
Obsérvese que la función de onda fuera de la caja ha de ser nula, dado que las paredes de potencial son
infinitas. Si en lugar de la caja, tratáramos con un pozo de potencial, de paredes finitas, debería existir
función de ondas fuera del pozo, como lo exige el efecto túnel.
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An =
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2
2
nπx 
→ ψn =
sin 

L
L
 L 
que representa la escritura correcta de la función de onda de una partícula
en una caja de potencial infinito.
3. El modelo de Bohr para el átomo de hidrogeno4.
N. Bohr en 1913, y mientras trabajaba con E. Rutherford, propuso un
modelo de átomo de hidrógeno clásico con ingredientes cuánticos sencillos,
que servía para predecir con éxito los espectros atómicos discontinuos
observados.
En este modelo, el electrón se mueve en órbitas circulares o elípticas,
predichas por la mecánica clásica, alrededor del núcleo masivo, y la fuerza
de atracción es la de Coulomb, tal y como lo hacen los planetas alrededor
del Sol, pero sometidos a otra fuerza central: la fuerza de la gravedad.
Figura 37.3. En el modelo de Bohr, un
electrón realiza una órbita circular de radio
r alrededor del núcleo, sometido a la fuerza
central de Coulomb y atractiva:
1 Ze2
F=
4πε0 r2
ésta es la fuerza centrípeta que mantiene al
electrón en la órbita y ligado al núcleo.
La energía potencial del electrón, eligiendo como origen de
potenciales r= ∞ , puede escribirse como:
1 q1q2
1 (Ze)(− e)
1 Ze2
=
=−
U=
4πε0 r
4πε0
r
4πε0 r
Aplicando la segunda ley de Newton F=ma:
v2
1 2 1 1 Ze2
1 Ze2
=
→
=
m
E
mv =
c
r
2
2 4πε0 r
4πε0 r2
relación que nos dice que la energía cinética, así como la potencial,
decrecen (en valor absoluto) con el radio. De hecho:
4
El alumno debe recordar las propiedades de las fuerzas centrales, su definición y las conservaciones que
se deducen, en particular la del momento angular.
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U = −2Ec
que es un resultado general para todos los campos de fuerzas centrales del
tipo 1/r2, como también el gravitatorio.
La energía total, suma de la cinética y potencial, la escribiremos
como:
ETot = Ec + U =
1 1 Ze2 Ze2 
1 1 Ze2
→
=
−
E
−


Tot
4πε0  2 r
r 
2 4πε0 r
El valor negativo de la energía total tiene el claro significado de la
partícula ligada, al haber seleccionado el origen de potencial en el infinito
(partícula libre).
Es interesante calcular la relación entre el momento angular y el
radio de las posibles órbitas, para el átomo de hidrógeno (Z=1):
L = mvr = mre
1 Z
L2
→ r = 4πε0 2
4πε0 mr
me
Aunque se cumple la condición de la estabilidad mecánica en el
modelo, el electromagnetismo clásico predice sin ambigüedad que las
partículas sometidas a aceleración (como la centrípeta de Coulomb)
necesariamente radian energía, por lo que la órbita del electrón iría
reduciéndose hasta colapsar, cayendo sobre el núcleo: dificultad adicional
grave del modelo.
3.1 Postulados de Bohr.
Bohr introdujo por primera vez para explicar un átomo (el de 1H),
conceptos cuánticos, como:
• Las órbitas circulares clásicas son reemplazadas por ciertas órbitas
(estados) estacionarias, con energía fija y constante, sin radiación de
energía, en contra de lo que ocurre en el electromagnetismo clásico.
En consecuencia la energía está cuantizada.
• Los valores de la energía de los estados estacionarios, se calcula para
órbitas circulares imponiendo la condición de que el momento
angular se encuentra cuantizado en unidades enteras de ! .
L = n!, con n = 1,2,3....
La ecuación anterior representa la condición de cuantización de
Bohr, y n es el número cuántico principal de la órbita. La condición de
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cuantización de Bohr del momento angular5, conduce inexorablemente a la
cuantización de la energía, como corresponde a un campo central, (y, claro
está, también a la cuantización de los radios posibles):
L2
(n! )2 2
r = 4πε0 2 → rn = 4πε0
= n a0
me
me2
2
13.6eV
e2
m  e2 
 =−
En = −
= − 2 
8πε0rn
2n  4πε0! 
n2
Ecuación que predice con gran exactitud los niveles de energía En de
los estados estacionarios del átomo de hidrógeno.(Figura 37.4)
En estas expresiones resaltamos:
a) la definición de radio de Bohr, a0, que corresponde al radio de la
órbita con n =1:
!2
= 0.5310−10 m
a0 = 2
me /4πε0
que coincide en orden de magnitud con el tamaño del átomo de
hidrógeno.
Figura 37.4 Diagrama de los niveles energéticos
del átomo de hidrógeno, predicho por el modelo
de Bohr. Pueden observarse diferentes series de
transiciones de radiación, asociadas al número
principal n. El estado fundamental corresponde a
una energía del electrón de –13.6 eV. Los
estados que se obtienen con n = 2, 3,...son los
niveles excitados. Para energías positivas se
obtiene el espectro continuo.
b) la predicción correcta del espectro de emisión de radiaciones para
el átomo de hidrógeno, que se ve en la figura 37.4.
5
Este postulado es equivalente a imponer la condición de ondas estacionarias sobre la trayectoria circular
del electrón. Para que la interferencia no sea destructiva, la circunferencia debe contener un número
entero de longitudes de onda. Así, considerando la relación de De Broglie λ=h/p:
2πrn
rp L
=n→ n n = =n
λn
!
!
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Ejercicio: Calcular el valor del radio de Bohr y el valor de 13.6 eV de la fórmula de los
niveles energéticos, usando los valores de las constantes (véase las tablas de datos. )
3.2 Rayas espectrales.
La figura 37.4 muestra los niveles energéticos predichos por el
modelo de Bohr para el átomo de hidrógeno. La coincidencia con los datos
experimentales es espectacular. Las flechas indican las posibles
transiciones de desexcitación correspondientes al espectro de emisión: la
energía transportada por los fotones es la diferencia de energía entre los dos
niveles de la transición:
c
hc
⇒
hf = Ei − Ef → λ = =
f Ei − Ef
 1 1 
1 Ei − Ef
=
= R ∞  2 − 2 
λ
hc
 ni nf 
Fórmula de Rydberg
3.3 Fórmula de Rydberg
La fórmula anterior, tomada directamente del modelo de Bohr,
predice con total exactitud los espectros del átomo de hidrógeno, y ya había
sido determinada empíricamente por Rydberg. La constante de Rydberg R∞
toma el valor:
2
m  e2 

 = 1.0974x107 m −1
R∞ =

2hc  4πε0! 
A pesar de la espectacular coincidencia entre las predicciones de los
niveles energéticos del hidrógeno, y en consecuencia de las rayas
espectrales hechas por el modelo de Bohr, no había ningún tipo de
justificación teórica para postular los estados estacionarios y la
cuantización del momento angular. Además la aplicación del modelo a
átomos un poco más complejos, resultó un fracaso. Todavía tenía que nacer
la mecánica cuántica.
Ejercicios de aplicación.
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4. Descripción mecanocuántica del momento angular: el espectro
verdadero del hidrógeno.
El átomo de hidrógeno es un excelente laboratorio para poner a
prueba una interacción básica de la naturaleza como la electromagnética, y
más aún para probar también el formalismo teórico que debe aplicarse al
mundo submicroscópico, es decir, la mecánica cuántica.
El estudio de la formulación correcta de la M.C. cae fuera de este
curso, y aquí nos contentaremos con hacer una somera descripción de
ciertos resultados. A ello ha contribuido un grupo numeroso de físicos:
Dirac, Heisemberg, Schroedinger, Pauli, etc.
El principio de correspondencia, establecido por Bohr, afirma que los
resultados obtenidos en la M.C. deben coincidir con los que se obtienen en
el tratamiento clásico, cuando los números cuánticos toman valores muy
grandes. Este principio fue seguido por Heisemberg para establecer la
ecuación fundamental de la M.C., tal y como las ecuaciones de Newton lo
son para la clásica. Cuando se aplica el tratamiento mecanocuántico al
átomo de hidrógeno se obtienen las siguientes propiedades:
1)
Un electrón, confinado en el átomo de hidrógeno viene descrito
por una función de onda, cuyo cuadrado nos da la densidad de
probabilidad de encontrar al electrón en un punto6. El electrón puede
encontrarse en uno de los estados, caracterizados por su energía, su
momento angular cuantizado, y otras magnitudes caracterizadas
también por números cuánticos. Existe una correspondencia biunívoca
entre números cuánticos y función de onda, de manera que,
especificados estos, la función de onda queda totalmente definida. El
concepto de órbita desaparece totalmente, como además lo exige el
principio de indeterminación.
2) El momento angular del electrón en el átomo se encuentra cuantizado, y
solo puede tener valores enteros de !.
L = "!, con " = 0,1,2,3,..,(n − 1)
Además, si especificamos la dirección de un eje z, mediante un
campo magnético por ejemplo, las proyecciones del momento angular
L solamente pueden tener valores enteros de !.(figura 37.6).
L z = m!, con m = −",−(" − 1),..0..(" − 1), "
y el cuadrado del módulo de L es también diferente (ver figura).
La cuantización del momento angular fue descubierta en un
célebre experimento que se conoce como de Stern y Gerlach (los
nombres de los físicos)
6
Es más correcto hablar de un elemento diferencial de espacio, en lugar de un punto.
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Lectura recomendada: El experimento de Stern y Gerlach, página 1232 de Fishbane.
3) En la descripción cuántica del átomo de hidrógeno, la energía viene
dada como:
En = −
13.6eV
(nr + " + 1)2
≡−
13.6eV
n2
donde se introduce un número cuántico radial nr, con nr=0,1,2, ...
Obsérvese que el número cuántico principal n, continua siendo válido y
se cumple que n ≥ " − 1.
Figura 37.6. Posibles valores de la
componente z del momento angular para
una partícula con L=2 ! . El módulo
cuadrado del momento angular vale
"(" + 1)! 2 , resultado demostrable por la
mecánica cuántica.
Los niveles energéticos, predichos por la fórmula anterior, un poco
más complejos que los dados por el modelo de Bohr, se ven en la figura
37.7.
Figura 37.7 Diagrama de niveles
energéticos para el hidrógeno. Con las
posibles transiciones con emisión y
absorción de radiación, permitidas por la
conservación de la energía y momento
angular. Debe considerarse que el fotón
transporta una unidad de momento angular
∆" = 1!, lo que origina reglas de
selección.
Reglas de selección:
En la figura 37.7 se observa que no hay transiciones desde la onda
D (con " =2), a la onda S (con " =0), ya que los estados de la transición no
pueden diferir en más de una unidad de ! en su momento angular.
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