dr. fausto t. l. gratton - Academia Nacional de Ciencias de Buenos

II
COMUNICACIONES EN PLENARIO
TEORÍA Y SIMULACIÓN DE LA ACTIVIDAD
DE KELVIN-HELMHOLTZ
EN LA MAGNETOPAUSA TERRESTRE
EN EL EVENTO DEL 7 DE DICIEMBRE DE 2000
Comunicación efectuada
por el Académico Titular Dr. Fausto Tulio Gratton
en la sesión plenaria
de la Academia Nacional de Ciencias de Buenos Aires
del 27 de marzo de 2006
Resumen
Teoría y simulaciones asociadas a observaciones de ACE y CLUSTER
se aplican al estudio de grandes oscilaciones y ondas de la magnetopausa
(MP) en diciembre 7 de 2000. Una etapa del evento se caracterizó por una
discontinuidad tangencial interplanetaria (TD) seguida por un período de
campo magnético interplanetario norte. La TD fue simultáneamente un
estrato de corriente y una lámina de vorticidad, que produjo rotación de las
componentes planas de campo magnético y velocidad, mientras que la presión normal y la presión dinámica del viento solar permanecían constantes.
La llegada de la TD con sus perturbaciones concomitantes produjo grandes
oscilaciones ≈4 min de la MP seguidas por ≈10 minutos de oscilaciones de
gran amplitud de período más breve (90s) en todas las magnitudes registradas por CLUSTER durante una travesía de salida por la capa límite crepuscular. Se presenta un análisis de estabilidad basado en parámetros
derivados de datos de satélite, y una simulación numérica no-lineal con un
nuevo código MHD 3D+t del tipo Lagrangiano-Euleriano arbitrario y volumen finito. Ambos estudios confirman la presencia en la MP de ondas de
superficie de origen Kelvin-Helmholtz (KH), luego de los grandes movimientos ondulatorios iniciales. La actividad KH no solamente causa el enrollamiento de la vorticidad positiva originaria de la capa límite en vórtices
co-rotantes, sino que genera también vórtices negativos, contra-rotantes, de
similar intensidad. Los resultados ponen en evidencia nuevos aspectos del
proceso que ensancha y deforma la estructura de la capa límite de baja latitud, favoreciendo el incremento de la difusión del plasma a través de la
magnetopausa. Se concluye también que el impacto de la TD y sus perturbaciones abrevian la evolución de la inestabilidad, apurando el desarrollo
no-lineal de los vórtices de KH.
Theory and Simulation of the Kelvin–Helmholtz Activity at the
Terrestrial Magnetopause on the December 7, 2000 Event.
Communication to the Plenary Session of the National Academy of Sciences
of Buenos Aires on March 27, 2006 by Academician Fausto T. Gratton.
Abstract
Theory and simulations associated to observations from ACE, and
CLUSTER are brought to bear to study large oscillations and waves at the
57
magnetopause (MP) on December 7, 2000. A phase of the event is
characterized by an interplanetary tangential discontinuity (TD) followed
by a lapse of northward interplanetary magnetic field. The TD was both a
current sheet and a vorticity layer, causing rotation of field and velocity
planar components, while the normal pressure and the solar wind dynamic
pressure remained constant. Arrival of the TD and its concomitant
perturbations caused large-amplitude ≈4 min oscillations of the MP,
followed for ≈10 minutes by shorter-period (90 s) large-amplitude
oscillations in all quantities registered by CLUSTER on an outbound
crossing of the duskside boundary layer. A stability analysis based on input
parameters suggested by the spacecraft data, and a nonlinear numerical
simulations with a new 3D+t MHD code of arbitrary Lagrangian - Eulerian
and finite volume class, are presented. Both studies confirm the presence
of MP surface waves of Kelvin-Helmholtz (KH) origin, after the initial large
undulatory motions. The KH activity not only causes the roll-over of the
boundary layer original positive vorticity into co-rotating vortices, but
generates also negative counter-rotating vortices of similar strength. The
results brings into light novel features of the process that broadens and
deforms the configuration of the low latitude boundary layer, favoring the
enhancement of plasma diffusion through the magnetopause. It is also
concluded that the impact of the TD and its disturbances abbreviate the
development of the instability, hastening the non-linear development of KH
vortices.
Palabras Preliminares
Cuando el Académico Presidente, Dr. Julio H. G. Olivera, me
invitó a disertar ante el claustro académico, sugirió que lo hiciera con
el estilo de una comunicación científica a un congreso, sin conceder
tiempo a la divulgación. Según su concepto no sería necesario entender todo para apreciar una investigación, y aunque el tema fuera
ajeno a la competencia propia igualmente sería provechoso escuchar
una buena exposición. Esta última afirmación se debe sólo a la benevolencia del Dr. Olivera y no hay garantía de ello en mi caso. Al acceder al pedido de tan alta autoridad científica tuve que resistir el
impulso de simplificar. Finalmente recordé una atenuante: ya en
otras ocasiones había hablado en la Academia de los temas de física
espacial que cultivo presentando aspectos generales de la investigación. Los Académicos que han tenido la bondad de escucharme ya se
han formado una noción del tipo de problemas que estudio. Ahora he
sido amablemente exhortado a ser específico y no eludir facetas técnicas. Naturalmente los desaciertos en que puedo incurrir al atender
58
la solicitud del Académico Presidente son de mi exclusiva responsabilidad.
La investigación que comunico al Plenario fue realizada por un
equipo que firma los trabajos que se van publicando sobre este argumento, formado por C. J. Farrugiab, L. Bilbaoa, G. Gnavia y quien les
hablaa.
Introducción
Comienzo por delinear una cuestión no resuelta, objeto de estudio de numerosos investigadores, a cuyo esclarecimiento espera contribuir este trabajo. Se trata del problema del ingreso de plasma
desde el viento solar a la magnetosfera durante los períodos de campo magnético interplanetario (interplanetary magnetic field, IMF)
orientado al norte. Cuando el IMF apunta al sur el fenómeno de la
reconexión de líneas magnéticas en el frente subsolar de la magnetopausa (MP) es el proceso de entrada más importante, y su comprensión progresa satisfactoriamente. Por el contrario, el transporte de
plasma en la magnetosfera bajo la orientación IMF norte plantea
numerosas incógnitas.
Las naves espaciales y su instrumental sufren bajo la exposición
prolongada al bombardeo de partículas energéticas. Pueden producirse pérdidas de presión, la superficie del satélite se carga eléctricamente, y los metales se erosionan por el continuo impacto de iones
de alta energía. Porque son factores fundamentales en el diseño de
las naves espaciales, las agencias espaciales de las naciones avanzadas asignan gran importancia a la determinación de las propiedades
del plasma en las diferentes regiones de la magnetosfera. Las investigaciones deben contribuir a la predicción y cuantificación del flujo
de plasma solar entrante en función de la posición sobre la magnetopausa. Interesan los procesos de transporte a través de esta frontera, que producen la formación de la lámina de plasma (plasma
sheet – situada en la zona ecuatorial central de la cola de la magnetosfera), y los mecanismos por los que el plasma ingresa bajo diferentes condiciones: de configuración geomagnética, de viento solar, y de
ciclo solar.
La causa de fases transitorias en las que la lámina de plasma
aparece en estado denso y frío (cold dense plasma sheet, CDPS) en
a
b
Instituto de Física del Plasma, CONICET-UBA, Argentina.
Space Research Center, Univ. New Hampshire, NH, USA.
59
contraste con su estado habitual, es una cuestión actualmente muy
debatida. Largos períodos de IMF norte, como los que ocurren cuando
nubes magnéticas interplanetarias emitidas por el Sol pasan por la
Tierra, han sido bien correlacionados con estados fríos (temperaturas menores de 1 keV) y densos (densidades alrededor de 1 p cm–3) de
la lámina de plasma. Varios trabajos han postulado una reconexión
magnética más allá de ambas cúspides polares, continuando una idea
de Song y Russell[1], como un mecanismo viable por el cual plasma
frío de la magnetovaina es capturado por la magnetosfera[2] y arrastrado hacia la cola, donde es observado como un episodio de CDPS.
Este modelo presenta varios problemas, entre otros el que surge
cuando el IMF es norte pero tiene también una componente esteoeste. En el encuentro Geospace Environment Modeling (GEM) de
2004, T. Phan sostuvo que la reconexión más allá de las cúspides es
inhibida por la componente By del IMF. Por otra parte, muchos autores que trabajan sobre el modelo de reconexión admiten la posibilidad de que la inestabilidad de Kelvin-Helmholtz (KH) pueda proveer
un mecanismo igualmente eficaz, aunque no han explorado esta
alternativa en detalle. Entre otros, véase las conclusiones de Oieroset
et al.[3].
Paso ahora a definir el objetivo específico de la comunicación.
Se dan resultados de una simulación numérica de la inestabilidad
de Kelvin-Helmholtz de la MP, modelada a partir de datos de un
evento observado el 7 de diciembre de 2000, realizada para contribuir a una mejor comprensión del complejo problema de la
interacción viento solar – magnetosfera en configuración de IMF
norte. En la fecha citada el cuarteto de satélites de la misión CLUSTER estaba en el flanco cercano del lado del crepúsculo de la
magnetosfera, y su órbita cruzaba la capa límite de baja latitud
(LLBL: low latitude boundary layer). Ese día la magnetosfera fue
perturbada por la llegada de una discontinuidad tangencial (TD:
tangential discontinuity) de origen interplanetario, que pudo ser
identificada en los registros del satélite ACE (que vigila el estado
del viento solar delante de la onda de choque de proa) como un estrato de corriente eléctrica y al mismo tiempo como una capa de
vorticidad concentrada[4], [5]. La llegada de la TD, cuya configuración
de gran escala es la de un estrato plano arrastrado por el flujo interplanetario, fue seguida por un lapso de tiempo en el cual el ángulo de reloj φ asumió valores pequeños. El así llamado ángulo de
reloj mide la dirección del campo magnético interplanetario (IMF:
interplanetary magnetic field) respecto de la dirección norte del
60
campo geomagnético (GMF: geomagnetic field). Con φ =0 ambos
campos están alineados y cuando φ>0 el GMF adquiere una componente este-oeste (By>0). Los episodios de φ pequeño abren la posibilidad de que se produzca una reconexión magnética a sotavento
de ambas cúspides polares, pero es también una etapa que genera
condiciones muy propicias para el desarrollo de la inestabilidad de
Kelvin-Helmholtz[6]. Luego del encuentro de la TD con la magnetopausa, CLUSTER registró una ráfaga de oscilaciones de gran amplitud en esa frontera y a continuación una serie de perturbaciones
ondulatorias durante el período de φ pequeño.
Partiendo de magnitudes físicas medidas por CLUSTER durante el intervalo de las grandes oscilaciones hemos realizado un análisis teórico de la estabilidad del LLBL, que apoya la hipótesis de
que la inestabilidad KH ha sido la causa de las ondas observadas en
la capa límite durante el período sucesivo de φ pequeño. Para consolidar la hipótesis de la actividad de tipo KH hemos realizado una
simulación numérica no lineal de las ecuaciones de la magnetohidrodinámica para una configuración de la MP ajustada a parámetros que se derivan de las observaciones de CLUSTER. Los
resultados ponen en evidencia nuevos aspectos de un proceso que
ensancha y deforma la estructura de la capa límite de baja latitud:
la gigantesca envoltura a través de la cual puede ingresar el plasma a la magnetosfera.
Propiedades del Plasma Interplanetario y de sus Campos
El evento del 7 de diciembre de 2000 se caracterizó por una sucesión de discontinuidades direccionales interplanetarias, que arrastradas por el viento solar chocaron con la magnetosfera. CLUSTER
permaneció varias horas en una travesía de salida de la magnetosfera, cruzando el LLBL del lado del crepúsculo en una dirección casi
radial, situada alrededor de 3:00 MLAT. La larga duración del pasaje
se debió a que al mismo tiempo la MP se expandía paulatinamente.
A un dado momento de la evolución del evento el IMF viró hacia el
norte, aunque el cambio fue interrumpido por varias repentinas rotaciones este-oeste del campo magnético y del flujo del plasma. De
estas abruptas variaciones elegimos estudiar una particular, que
resultó tratarse de una TD según un análisis de variancia mínima de
los datos de campo B registrados por ACE, análisis que permitió obtener la orientación del plano de la TD y su velocidad normal de
61
Figura 1
Datos de ACE en escala temporal reducida (marca cada 1 min.)
para destacar la signatura de la discontinuidad tangencial
62
avance[4, 5]. Más tarde, luego de un tiempo de travesía hasta la posición de CLUSTER estimado en 75 minutos, se observaron dos tipos
de ondas sobre la MP durante y a continuación del impacto con la TD,
como se ha dicho.
La Figura 1 muestra datos de ACE representados con una escala
de tiempo breve para enfocar la atención sobre la TD. Se ha empleado
un conjunto local de ejes Cartesianos, i, j, k, alineando el eje k con la
dirección normal a la superficie de discontinuidad, en estas coordenadas pueden verse importantes variaciones de las componentes Vi
y Bi. En el panel n° 7 podemos comprobar que Bk≈0, en concordancia
con la definición de una discontinuidad tangencial. En el sistema de
coordenadas Geocentric Solar Magnetic (GSM) de uso frecuente en
estudios magnetosféricos, las variaciones citadas aparecen principalmente en las componentes Vy, By.
Es importante destacar que la presión dinámica del viento solar Pdyn permanece invariada pasando de un lado al otro de la TD
(Fig. 1, primer panel) y que la variación de la densidad a través de
la superficie (no graficada) también es insignificante. La primera
condición es importante porque asegura que el punto de equilibrio
de la magnetopausa con el plasma interplanetario (stand-off
magnetopause point) no se modifica con la llegada de la TD. La segunda condición permite concluir que también la velocidad normal
permanece constante y que los esfuerzos tangenciales Pki = ρViVk
varían a través de la TD sólo en virtud del cambio de Vi. La variación significativa está en los esfuerzos tangenciales, los cuales son
menores pero comparables con Pdyn, siendo el cociente de las componentes tangencial y normal, r = Vi/Vk H ≈ 1/3. La Fig.1 muestra
también la intensidad del campo magnético y en el último panel el
ángulo de reloj. Se puede notar que después del paso de la TD φ
comienza a decrecer con algunas fluctuaciones. La componente del
campo magnético Bi (tercer panel) tiene un efecto menor sobre la
fuerza ponderomotriz que actúa sobre la magnetopausa, pero tiene
influencia sobre el GMF e interviene en los cambios de la vaina de
corriente de la magneto-pausa. La conclusión es que la TD observada es simultáneamente un estrato de corriente y una lámina de
vorticidad. Un tipo de discontinuidad del plasma solar cuya acción
sobre la magnetosfera no se ejerce a mediante la presión, como en
muchos casos, sino mediante esfuerzos tangenciales. Es decir, con
un sistema de fuerzas paralelas a la superficie de la magnetopausa. Por eso cabe esperar que con la llegada de la TD la magnetosfera
no se comprima ni se expanda, puesto que la presión aplicada per63
Figura 2
Datos de CLUSTER con grandes oscilaciones y sucesivas señales
ondulatorias (ver texto).
64
manece constante, y en cambio es razonable conjeturar que la súbita aplicación de esfuerzos tangenciales genere arrugas en la superficie de la MP, que se moverán hacia la cola transportadas por
el flujo de plasma.
Las observaciones en el flanco de la magnetopausa
La posición de CLUSTER relativa a la magnetopausa entre las
12 y las 15 UT el 7 de diciembre de 2000 se estudia con el modelo
de MP propuesto por Shue et al.[8] (en el que se ingresan como parámetros datos del viento solar que varían de acuerdo con el estado cambiante del mismo). Los resultados muestran que la distancia
radial de CLUSTER 3 se mantuvo a una distancia menor de ½ RE
(RE radio terrestre, ≈6400 km) entre las 14:00 y las 14:30 UT. Dado
que el espesor del LLBL en el flanco se estima en ½ RE – RE CLUSTER se encontraba sobre la frontera según el modelo, lo que está en
acuerdo con la lectura de los instrumentos del satélite. El intervalo 14:00-14:10 UT es el lapso de observación de las grandes oscilaciones de la MP que se manifiestan a partir de las 14:00 UT, tiempo
estimado de la llegada de la TD a la magnetopausa en la posición
de CLUSTER.
La Figura 2 muestra las perturbaciones observadas por CLUSTER 3 en el período que abarca el arribo de la TD. Se aprecian tanto
las grandes oscilaciones, particularmente notables en los paneles de
temperatura T y densidad (de número) n, cuanto la serie de perturbaciones de carácter ondulatorio que siguen. Éstas son evidentes en
las componentes GSM del campo magnético B, entre otros paneles.
Estas características comienzan en estrecha correlación con la llegada de la TD observada por ACE cuando se tiene en cuenta el retraso de 75 min por tiempo de vuelo. En el mismo gráfico con traza en
gris, se ha reproducido (con corrimiento temporal) en cada panel, las
correspondientes magnitudes físicas registradas por ACE, aquí reducidas a la mitad (escala derecha) para que puedan verse en la misma
figura. En los primeros cuatro paneles se grafican las componentes
del campo magnético y su intensidad, en los siguientes paneles seis
paneles los datos del plasma: densidad, temperatura (de H+), las tres
componentes de la velocidad y su magnitud.
A partir de las H≈14:00 UT, se observan (Fig.2) valores propios
de la lámina de plasma (plasma sheet) y de la magnetovaina
(magnetosheath) entremezclados, o alternados, en tres o cuatro osci65
laciones de gran amplitud. Podemos notar que el satélite, cuya posición se puede considerar casi estacionaria durante el lapso de estas
oscilaciones, registra en un extremo de la oscilación valores de magnitudes físicas típicos de la región exterior a la magnetosfera
(magnetovaina) y en el extremo siguiente, en cambio, valores propios
de la región interior (magnetosfera). Es evidente que la frontera realiza grandes excursiones que dejan la nave espacial alternativamente
dentro y fuera de la magnetopausa.
En cambio, desde las 14:10 a las 14:25 UT, se observan ondas con
un período de ~75 s (13 mHz) que aparecen en coincidencia con un
cambio de orientación del IMF, que se coloca en una dirección cercana al norte geomagnético. Son interesantes los espectrogramas de
CLUSTER (que omitimos aquí por falta de espacio) en este lapso
porque también indican claramente una aparición intermitente de
iones energéticos O+ y H+ de origen magnetosférico, bien correlacionados con las perturbaciones casi-periódicas del campo magnético B.
La hipótesis de oscilaciones de KH
Hemos realizado un análisis de estabilidad local, sobre una zona
limitada de la MP que pueda aproximarse con su plano tangente, de
modo que el LLBL se modela como un estrato de plasma con estructura plana. El estudio se realiza con un código (desarrollado en 2003
en nuestro instituto) que resuelve el sistema de ecuaciones
linearizadas de la magnetohidrodinámica (MHD) compresible para
perturbaciones del tipo KH. Para describir el sistema se utiliza una
tríada Cartesiana local: el estrato no perturbado es uniforme en las
coordinadas x, z, que describen la posición sobre el plano tangente,
mientras que la estratificación es en la coordenada y normal a la MP.
Puesto que la velocidad del flujo no perturbado no cambia de dirección cuando se atraviesa el LLBL (variando y) conviene alinear la
dirección del eje x con la dirección local de la velocidad V. El campo
magnético B, en cambio, generalmente cambia de dirección (y también de intensidad) a través de la capa límite. La configuración del
sistema, antes de la introducción de perturbaciones, se describe con
los campos vectoriales y escalares siguientes, V=(Vx(y), 0, 0),
B=(Bx(y), 0, Bz(y)), r(y)=mpn(y) y T(y) (ρ es la densidad de masa; mp
es la masa de H+).
El estado perturbado está gobernado por la siguiente ecuación
(obtenida por Gratton et al. [9], 1988),
66
donde Ξ es la componente y del desplazamiento Lagrangiano de cualquier elemento del plasma desde la posición no perturbada, ζ es la
amplitud del modo de Fourier cuya frecuencia angular compleja se
denota con ω=ωr+iγ, y k2 es el cuadrado del módulo del vector de onda,
k = (kx, 0, kz), es decir, k2=kx2+kz2. Los coeficientes H y M se definen
a continuación,
donde c ≡ ω/k es la velocidad de fase compleja y
aquí VA indica la velocidad de Alfvén, cs es la velocidad del sonido, Vκ,
Bκ, son las proyecciones de la velocidad y del campo magnético respectivamente en la dirección de k y todas estas cantidades son funciones de y.
Para las funciones que describen la configuración estacionaria
del modelo hemos empleado las tangentes hiperbólicas. En ese caso
los parámetros físicos que determinan la estructura son las intensidades de los campos vectoriales |V|, |B|, los campos escalares ρ=n
mp, T, los ángulos entre los campos V y B a ambos lados de la transición (con índices 1, para la magnetovaina y 2, para la magnetosfera) y el espesor ∆=2d de la capa límite (d es la escala de longitud de
la función tanh(y/d)). Resumiendo, poniendo Y=y/d, los perfiles
básicos de los campos del modelo son los siguientes,
(aquí el índice a=x, z, y ϕ es el ángulo que forma k con V) la temperatura T(y) queda definida por los precedentes perfiles junto con
67
la ecuación del balance de presión a través de la capa límite,
p+|B|2/8π =const. El problema de contorno que fija el valor característico c se resuelve numéricamente mediante un método de
shooting convencional (ver, e.g., [10]). Los modos normales deben tender a cero a ambos lados de la MP, ζ→0 para ψ→±∞.
Hemos recabado los valores asintóticos de estas cantidades a
ambos lados de la transición magnetovaina a magnetosfera (índices
1, 2) de la lectura de datos en los extremos de las grandes oscilaciones observadas por CLUSTER a partir de ≈14:00 UT. La siguiente
tabla muestra los parámetros que hemos empleado en el estudio de
estabilidad
14:05U T m agnetovaina.
n1
13.6 cm -3
B1
34.6 nT
U1
139 km /s
T1
0.38 kev
θ1(B1V) 121°
14:03 U T m agnetosfera.
n2
2.3 cm -3
B2
U2
T2
θ2(B2V)
22.1 nT
7.9 km /s
~4.1 kev
126°
De estos valores se desprende que en el sitio de CLUSTER el número
de Mach (cociente entre la velocidad del sonido y la velocidad del
plasma) es M=0.57 y el número de Mach Alfvénico (cociente entre la
velocidad de Alfvén y la velocidad del plasma) es MA=0.70, ambos
evaluados en la magnetovaina. Aunque la variación de intensidad del
campo magnético es significativa, el ángulo de cizalla de las líneas
magnéticas dθ (magnetic shear) entre magnetovaina y magnetosfera resulta en cambio muy pequeño ≈5°. Este es un factor muy importante, propicio para la excitación de la KH, porque la estabilidad
depende críticamente de la presencia de un ángulo de cizalla substancial. Las Figuras 3 y 4 muestran los resultados del análisis [15].
La Fig.3 ilustra la variación de la tasa de crecimiento g de la
inestabilidad, g≡γd/U1, en función de kd, siendo k el número de onda
de los modos normales, donde ambas magnitudes están expresadas
como números sin dimensiones empleando d=∆/2 la mitad de la escala de longitud del gradiente de velocidad (∆ ~ espesor del LLBL) y
U1 la velocidad en la magnetovaina adyacente a la frontera. El resultado se da para el ángulo ϕ=32° entre k y V que resulta ser el más
favorable para el crecimiento de la perturbación. La máxima tasa de
crecimiento resulta gm≡γmd/U1=0.0787 y ocurre para el modo con
número de onda kmd=0.55. La excitación máxima ocurre para el modo
68
Figura 3
Tasa de crecimiento γd/U1 de la inestabilidad de KH como función
del número de onda kd (magnitudes normalizadas) para el modo
orientado a 32° respecto del flujo de la magnetovaina.
con longitud de onda λm≈5.7∆, al cual se asocia un tiempo de exponenciación τe ≈ 146 s, si suponemos que ∆=0.5 RE. Los efectos de la compresibilidad escalan con M², y por lo tanto están presentes aunque no
son dominantes en el desarrollo del proceso. Por otra parte, M2A ≈0.5
de manera que las tensiones magnéticas son fuertes y regulan el
desarrollo de la inestabilidad, por lo tanto el modo más inestable
tiene su vector de onda k casi perpendicular al promedio de las direcciones de los campos magnéticos en la magnetovaina y la magnetosfera, porque en ese caso el efecto estabilizador del campo magnético
se reduce a un mínimo (casi nulo en este caso, porque dθ ≈0).
La Figura 4 muestra la dependencia de la tasa de crecimiento
con el ángulo ϕ. Aquí se mantiene fijo el valor de kd=0.55, el número de onda que corresponde a la máxima tasa de crecimiento cuando
69
Figura 4
Variación de la velocidad de crecimiento γ/kU1 (normalizada)
con el ángulo φ del modo más rápido de la inestabilidad
ϕ=32°. La tasa de crecimiento está normalizada con γ/kU1. Se observa que los modos se estabilizan variando la dirección de k en ~ ±10°
a partir de ϕ=32° (o bien de ϕ=32°+180°). Por lo tanto la inestabilidad crece más rápido según una perturbación dominante, que tiene
una muy bien definida orientación sobre la magnetopausa.
Concluimos que la disminución del ángulo de reloj del IMF, φ (en
el intervalo ≈14:03 - 14:08 UT) que deviene menor que ~22.5° y permanece pequeño durante los siguientes diez minutos, es favorable al
desarrollo de la inestabilidad de KH en general (al respecto véase la
referencia [10]) y que en particular en el sitio de CLUSTER, la reducción de φ ocasionó un descenso substancial de dθ . La teoría predice
entonces que la MP es KH inestable en la posición de CLUSTER.
La interpretación de los datos en términos de actividad KH es
apoyada también por el estudio de la respuesta de los magnetómetros
70
de alta latitud en la superficie terrestre[7] mencionados en la introducción, pero sobre los que no podemos extendernos aquí. Será suficiente decir que la perturbación de los magnetómetros a la llegada de
la TD y durante un lapso de tiempo siguiente, es indicativa de la excitación de fuertes resonancias en modos de la cavidad geomagnética
diurna en lugar de corresponder a cambios globales del campo
geomagnético. Las estaciones de latitud intermedia entre dos estaciones resonantes, en cadenas de instrumentos en la aurora, el mediodía y el crepúsculo, no registran la perturbación de ningún modo,
mientras que intensas señales aparecen en estaciones asociadas de
la misma cadena con un típico salto de fase de la resonancia, cuando
se comparan estaciones vecinas con latitudes mayores y menores que
la de la estación resonante. Los datos parecen excluir la presencia de
movimientos globales de la MP, análogos a los de una veleta agitada por el viento. Esta no es la modalidad de un cambio geomagnético
de gran escala, sino el comportamiento típico de la excitación de
modos resonantes, como los que puede producir el acoplamiento con
ondas de KH sobre la magnetopausa.
Sin embargo tenemos un problema: las perturbaciones de tipo
ondulatorio aparecen enseguida después de las grandes oscilaciones
y la disminución de φ. Para un desarrollo in situ de la KH, la tasa de
crecimiento mayor a dos minutos que hemos hallado es escasa. Si las
ondas observadas por CLUSTER son de naturaleza KH hay que suponer que las grandes oscilaciones han producido, de algún modo,
una reducción del tiempo de amplificación. La oscilación de gran
amplitud de la MP después del impacto de la TD debe haber acelerado el proceso de evolución de la KH.
La evolución no lineal de la inestabilidad de KH
Con el fin de consolidar la hipótesis de un desarrollo anticipado
de la inestabilidad, y conocer las propiedades de la excitación de KH
en su fase de adulta, hemos realizado una simulación de la dinámica no lineal del proceso, resolviendo con métodos numéricos las
ecuaciones de la magnetohidrodinámica. Un código computacional
original, de tipo Lagrangiano-Euleriano arbitrario con técnicas de
Volumen Finito, en tres dimensiones y tiempo, fue desarrollado para
esta investigación por el Prof. L. Bilbao[12]. Está diseñado para estudiar la evolución de perturbaciones inestables en modelos de estratos planos de la MP, con parámetros de entrada sugeridos por datos
71
de naves espaciales y resuelve las ecuaciones de la MHD compresible,
ideal (no resistiva e invíscida),
div(B)=0,
en las cuales γ es el cociente termodinámico de los calores específicos.
El método de volumen finito (que debe ser distinguido de una
técnica numérica diferente llamada de elementos finitos) se basa en
la versión integral de las precedentes ecuaciones, las cuales pueden
ponerse en la forma
En esta expresión V=V(t) es un volumen de forma y tamaño arbitrarios y S(t) es la superficie que lo encierra. Ambos varían con el tiempo
debido a que sus partes se mueven, sujetas a un campo de velocidad
w(x, t) que puede ser definido ad libitum. Si se elige w=0, S y V permanecen fijos en el espacio y el plasma fluye a través de la superficie, la descripción es enteramente Euleriana. Cuando, en cambio, se
pone w=v(x,t) –campo de velocidad del fluido– entonces la descripción es Lagrangiana pura, S y V se mueven junto con el plasma. En
general, w≠v y resulta un cuadro mixto Lagrangiano – Euleriano (lo
que explica la primera parte del nombre del método), en el cual w se
elige según criterios orientados por la eficiencia del cálculo numérico.
La otra parte del nombre de la técnica de cálculo proviene del uso
de la versión integral de las ecuaciones MHD sobre volúmenes finitos, que toman la forma de teoremas de conservación:
72
y representan, respectivamente, la conservación de la masa, M, la
cantidad de movimiento, P, la energía interna, E, y la última, la conservación del flujo del campo magnético, F. En estas ecuaciones j es
la densidad de corriente eléctrica y ε=p/ρ(γ-1) es la densidad de energía interna (cp es el calor específico a presión constante; e es la carga del electrón). En la última ecuación Σ es una superficie abierta que
se apoya sobre un lazo cerrado C, ambos tienen forma arbitraria y
son móviles de acuerdo con el campo w.
La discretización se realiza por división de la caja computacional
en celdas tridimensionales, cuya forma puede cambiar con el tiempo. Se lleva la cuenta de la evolución temporal de las magnitudes
básicas de cada celda. Por ejemplo en el caso w=0 la variación de la
masa de una celda M≈<ρ>V, donde <ρ>es el valor (medio) de la celda y V es su volumen, se aproxima con
en la cual Si es la superficie de la cara i de la celda, vi, ρi, son los valores sobre la cara y la integral se ha remplazado por una suma sobre
las caras de cada celda. Análogamente, para la cantidad de movimiento de una celda P≈<r><v> V se puede emplear la aproximación
donde las cantidades con índices corresponden a los valores sobre las
caras de las celdas, mientras que <B> es un valor de celda. De modo
semejante se procede con todas las ecuaciones integrales MHD mencionadas. Valores medios de celdas adyacentes permiten interpolar
valores sobre caras comunes, viceversa con los valores de cara de una
celda se puede calcular el valor medio de celda. Finalmente hay caras de algunas celdas que tocan los bordes de la caja computacional
y es necesario introducir allí los valores de contorno. Si durante el
proceso la deformación de las celdas es pequeña o moderada, conviene mantenerse cerca del esquema Lagrangiano, en cambio cuando la
forma de las celdas varía mucho es preferible adoptar la descripción
Euleriana. El código numérico lleva la contabilidad del progreso temporal de todas las celdas. El programa verifica la conservación global de ciertas magnitudes críticas con el tiempo, durante el desarrollo
del cálculo numérico. Por ejemplo, se controla que la ecuación
div(B)=0 se cumpla, dentro de la tolerancia de la aproximación numérica. Más detalles del programa se encuentran en[12].
73
Figura 5a
Configuración inicial: contornos de igual vorticidad (escala de grises)
y líneas de corriente (en negro) a t=0s (ver texto).
Figura 5b
Evolución de los contornos de igual vorticidad (escala de grises) y líneas
de corriente (en negro) a t=180s. Notar los valores negativos de la
vorticidad (ver texto).
El caso de diciembre 7 de 2000
Además de la visualización de la deformación del LLBL bajo el
efecto de la inestabilidad y la comprensión de la física del proceso, el
propósito de este tipo de estudios es el de avanzar, con oportunos
agregados al diseño básico del código –esencialmente agregando términos de transporte– hacia una evaluación cuantitativa de la difusión del plasma a través de la capa límite perturbada.
El modelo de estructura inicial del LLBL que hemos elegido
como punto de partida para la simulación numérica es el mismo sistema (una combinación de lámina de corriente y estrato de verticidad) empleado en la sección precedente. En la corrida del código que
presentamos, la perturbación inicial fue fijada como una variación
aleatoria del campo de velocidad a un nivel del 10 %, a fin de representar la fuerte sacudida sufrida por el movimiento del plasma solar
a la llegada de la TD. La configuración de la perturbación fue orientada en la dirección de ϕ=32°, prevista para el modo de mayor tasa
de crecimiento por el análisis lineal. En el ejemplo examinado, las
condiciones de contorno de la caja computacional fueron elegidas
como periódicas sobre las caras normales a X, Z, mientras que se impusieron flujo y campos prefijados (a valores de magnetovaina y de
magnetosfera) sobre los contornos normales a Y. Para esta corrida
del programa que simula 180 segundos de tiempo real del modelo (
~24 horas con una PC última generación) hemos empleado
56×40×88=197,120 celdas.
Las Figuras 5a y 5b muestran la distribución de vorticidad en la
estructura, Ω≡ω×sign(wZ) (ω=|curl(V)|). En ambas figuras se da una
representación 3D de la configuración en la caja computacional con
ejes X, Y, Z, con distancias en unidades de radios terrestres, RE. En
Fig. 5a tenemos en t=0 el modelo de capa límite con funciones
hiperbólicas (de la sección precedente), al cual se ha agregado la
perturbación inicial. En esta configuración la vorticidad originaria se
debe al gradiente de la velocidad del plasma, que pasa a través del
estrato del valor U1 en la magnetovaina a cero en la magnetosfera.
En la Figura 5b vemos la distorsión que ha sufrido la lámina de vorticidad en t=180 s después del comienzo. Hemos introducido tres
cortes planos normales a Z y el plano normal a X sobre la cara posterior, en los cuales se han trazado contornos de igual vorticidad. La
escala de color indica los valores de Ω . En dos planos también se
muestra un conjunto de líneas de corriente para señalar la dirección
75
del flujo. A partir de una configuración inicial en la cual sólo existen
valores positivos de Ω que están concentrados sobre un estrato plano, se llega a una distribución considerablemente ensanchada y
distorsionada, en la cual se aprecian valores positivos hasta ≈4 veces
mayores que los del estado inicial, junto a Ω de magnitud similar
pero a valores negativos. La distribución laminar y plana de vorticidad inicial ha dado lugar también a una acumulación de Ω en un par
de centros con alta y opuesta velocidad de rotación, un par de torbellinos contra-rotantes.
Es un hecho significativo que el aumento de vorticidad positiva de
ciertas zonas del plasma sea acompañado por la aparición de zonas de
vorticidad negativa, como una suerte de compensación. En general, el
flujo de la vorticidad no se conserva en magnetohidrodinámica, a diferencia de lo que ocurre en la fluidodinámica ordinaria en el límite
invíscido. La generación de vorticidad negativa, ausente al inicio, se
debe al término curl(j×B/ρ) que interviene en la ecuación de la vorticidad en MHD porque la fuerza de Lorentz no es en general conservativa,
y se debe también al efecto baroclínico asociado con el gradiente de densidad, puesto que la distribución de entropía no es uniforme a través de
la capa límite. Es un punto que estamos examinando.
Durante el lapso de tiempo estudiado se puede observar que las
líneas de corriente oscilan, serpenteando hacia adentro y hacia afuera. Algunas, que comienzan en regiones de velocidad y densidad intermedia, se desvían conspicuamente pasando por la zona adyacente
a la magnetosfera con velocidad casi nula. Ello es indicio de un mayor
tiempo de permanencia de plasma con densidad intermedia cerca del
borde interior del LLBL. Ello favorece la difusión de partículas de
origen externo hacia el interior de la magnetosfera. Para sacar conclusiones cuantitativas sobre esta cuestión habrá que aguardar un
análisis de trayectorias de partículas.
La configuración de vorticidad crece y se desarrolla manteniéndose alineada con las líneas de campo magnético, en acuerdo con el
carácter dominante de las tensiones magnéticas en el presente escenario. Esto se puede apreciar en la Figura 6, que ilustra las líneas del
campo junto a contornos de temperatura constante a t=160 s. Se debe
notar que, a diferencia del serpenteo de las líneas de corriente, las
líneas magnéticas mantienen su aspecto rectilíneo durante la evolución (“rigidez” de las líneas magnéticas). Hemos encontrado altas
temperaturas, hasta ≈3 veces mayores que el valor medio en la magnetosfera adyacente, en la pareja de vórtices contra-rotantes. Un
estudio similar, efectuado para los contornos de presión y de densi76
Figura 6
Líneas de campo magnético (en blanco) y contornos de temperatura
constante (escala de grises) para t=160 s.
Figura 7
Superficie de igual densidad (iso-densidad, escala de grises) con n=9 p/cm3
para t=130 s. Los conos indican la dirección e intensidad de la velocidad
dad, nos muestra que en el par de vórtices la alta temperatura se
acompaña con un descenso de la densidad, de manera que la presión
del plasma permanece constante. En otras palabras, los centros de
alta vorticidad opuesta, son núcleos de plasma tenue y caliente respecto de valores magnetosféricos. Un significativo ensanchamiento
de la estructura original es evidente en ambas Figuras 5b y 6.
La figura 7 ayuda a visualizar el proceso de mezcla del plasma
situado del lado de la magnetovaina con el de la magnetosfera. Se
muestra la superficie ideal de igual densidad (iso-densidad) con n=9
p/cm3 (valor intermedio entre n1, n2) a t=130 s. En Fig.7 se observa
el típico efecto de enrollamiento de la superficie producido por la
inestabilidad de KH. Sobre la isosuperficie se ha indicado también la
dirección del campo de velocidades mediante conos, cuyo tamaño es
proporcional a la velocidad local. El proceso de enrollamiento, además de la mezcla de densidad, ciertamente aumenta el tiempo de
permanencia del plasma de mayor densidad en la región, respecto a
su tiempo de tránsito en una configuración no perturbada. Ello
aumenta la probabilidad de difusión de iones de la magnetovaina
hacia regiones internas.
Los principales resultados del experimento numérico pueden ser
resumidos como sigue[13].
i) El tiempo de crecimiento de las características no lineares conspicuas es menor o comparable con el tiempo de exponenciación
≤τe cuando la estructura inicial parte desde un estado con perturbación significativa: “aceleracion de la inestabilidad”.
ii) Formación de núcleos de plasma contra-rotantes con vorticidad
significativamente mayor que la vorticidad inicial de la capa límite.
iii) El plasma del par de centros vorticosos es más caliente (~3 × T2)
y más tenue (~␣ × n2) que el de la magnetosfera adyacente.
iv) Se observa “rigidez” de las líneas magnéticas (para el valor
MA=0.7 explorado) evidente en la gran influencia de la dirección
del campo magnético sobre la formación y aspecto de las estructuras no lineales. De todos modos, se observan también auténticas propiedades 3-D en el proceso, de modo que cabe calificarlo
como cuasi-bidimensional, tal como sucede con la evolución de
una capa de mezcla (“mixing layer”) en fluidos ordinarios no conductores.
v) Hay indicaciones, aún no cuantificadas, de un incremento del
tiempo de permanencia del plasma en la capa límite deformada
por la inestabilidad.
78
vi) El ensanchamiento de la capa límite y la mezcla de plasma que
allí ocurre constituye una configuración favorable al incremento de la difusión de iones a través de la frontera.
Notas y agradecimientos
Agradezco la invitación del Dr. Olivera y la atención del claustro académico. Dedico el trabajo a la memoria del Prof. Vittorio
Nardi, distinguido y original investigador de la física de plasmas, al
cumplirse el primer lustro de su prematuro fallecimiento en 2001. Un
primer análisis de los datos satelitales fue comunicado por el Prof.
Farrugia en el Spring Meeting de la American Geophysical Union de
mayo de 2005, y publicado luego durante 2006. Resultados sobre la
inestabilidad KH fueron anticipados por F. T. Gratton, y por G.
Gnavi, en sendas conferencias invitadas del 8° Encontro de Física de
Plasmas de la Sociedad Brasileira de Física, 28-30 de noviembre de
2005, Niteroi, Río de Janeiro, Brasil. Propiedades del código numérico fueron comunicados por el Prof. L. Bilbao en una conferencia invitada del XI Latin American Workshop on Plasma Physics, Ciudad
de México, 6-8 de diciembre de 2005. Los estudios teóricos - computacionales fueron luego publicados en 2006 en la serie de Proceedings
del American Institute of Physics.
La investigación en Argentina fue sostenida por subsidios de
CONICET PIP 5291 y de UBACYT X291. En EE.UU. por proyectos
de NASA: NAG5-13116, NAG5-12189 y NNG05GG25G. Bilbao,
Gratton y Gnavi, son miembros del Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas (CONICET).
Referencias
[1] Song, P., and C. T. Russell, Model of the formation of the low latitude
boundary layer for strongly northward interplanetary magnetic field,
J. Geophys. Res., 97, 1411, 1992.
[2] Sandholt, P. E., C. J. Farrugia, S. W. H. Cowley, W. F. Denig, M
Lester, J. Moen, and B. Lybekk, Capture of magnetosheath plasma by
the magnetosphere during northward IMF, Geophys. Res. Lett., 26,
2833, 1999.
[3] Oieroset, M., J. Raeder, T. D. Phan, S. Wing, J. P. McFadden, W. Li,
M. Fujimoto, H. Reme, and A. Balogh, Golbal cooling and densification
of the plasma sheet during an extended period of purely nortward IMF
on October 22-24, 2003. Geoph. Res. Lett. 32, 21523, 2005.
79
[4] Farrugia, C. J., P. E. Sandholt, F. T. Gratton, E. J. Lund, S. W. H.
Cowley, W. F. Denig, J. Wild, I. Mann, J. Watermann, A.Viljanen, K.
Yumoto. Magnetosphere-Ionosphere Coupling Initiated at the
duskside Boundary Layer during Impulsive IMF Rotations. EOS
Trans. AGU, 86 (18), Joint Assem. Suppl., Abstract SM23B-04, New
Orleans, May 23-27, 2005.
[5] The changing topology of the duskside magnetopause boundary layer
in relation to IMF orientation. Lund, E. J., C. J. Farrugia, P. E.
Sandholt, L. M. Kistler, D. H. Fairfield, F. T. Gratton, S. W. H.
Cowley, J. A. Wild, C. G. Mouikis, M. W. Dunlop, H. Rème, and C. W.
Carlson. Advances in Space Research, 37, n.3, 497-500, 2006.
[6] Farrugia, C. J., F. T. Gratton, L. Bender, H. K. Biernat, N. V. Erkaev,
V. Denisenko, R. B. Torbert, and J. M. Quinn, Charts of joint KelvinHelmholtz and Rayleigh-Taylor instability growth rates at the dayside
magnetopause, with and without boundary layer, for strongly
northward interplanetary magnetic field, J. Geophys. Res., 103, 6703,
1998.
[7] Farrugia, C. J., F. T. Gratton, E. J. Lund, P. E. Sandholt, S. W. H.
Cowley, I. Mann, J. Watermann, A. Viljanen, K. Yumoto.
Magnetosphere-Ionosphere Coupling Initiated at the Duskside
Boundary Layer During Impulsive IMF Rotations. WEST PACIFIC
MEETING in Beijing, China (after COSPAR 2006, also in Beijing).
[8] Shue, J. H., P. Song, C. T. Russel, J. T. Steinberg, J. K. Chao, G.
Zastenker, O. L. Vaisberg, et al., Magnetopause location under extreme solar wind conditions, J. Geophys. Res., 103, 17091, 1998.
[9] Gratton, J., A. G. González, and F. T. Gratton, Convective instability
of internal modes in accelerated compressible plasmas, Plasma Phys.
& Contr. Fusion, 30, 435-456, 1988
[10] Keller, H. B., Numerical methods for two point boundary-value
problems, Dover, N.Y., 1992
[11] Gnavi, G., F. T. Gratton, C. J. Farrugia, and L. Bilbao The KH
stability of the supersonic magnetopause flanks modeled by
continuous profiles for the transition., American Institute of
Physics, Conf. Proc. 875, Plasma and Fusion Science, J.J.E.
Herrera Vazquez, Ed., p. 296-299, 2006.
[12] Bilbao, L. E., A Three-Dimensional Finite Volume Arbitrary LagrangianEulerian code for plasma simulations. American Institute of Physics,
Conf. Proc. 875, Plasma and Fusion Science, J.J.E. Herrera Vazquez,
Ed., p. 467-472, 2006.
[13] Gratton, F. T., C. J. Farrugia, L. Bilbao, G. Gnavi, and E. Lund, Large
amplitude perturbations and waves at the duskside LLBL of the
magnetopause generated by an interplanetary tangential
discontinuity on December 7, 2000. American Institute of Physics,
Conf. Proc. 875, Plasma and Fusion Science, J.J.E. Herrera Vazquez,
Ed., p. 300-303, 2006.
80