Document

Elaborado por: Jhonny Choquehuanca Lizarraga
Matemáticas Pre-Universitaria
1
n 7
2n


1. Hallar el coeficiente del monomio M ( x) = 2 x ( 3 x ) ( nx ) 3  si su grado es 2n .


n
5
Solución: empleando la siguiente propiedad de producto de bases con un mismo exponente dentro de la llave ( ab ) = a c b c , se tiene:
c
1
1
7
n n 7


2n


M ( x) = 2n x5 ( 3 x ) ( nx )  = 2n x5 32 n x 2 n n 3 x 3 




n
3
Ordenando los términos dentro de las llaves y recurriendo a la propiedad de multiplicación de bases iguales a m a n = a m + n , se tiene:
1
1
1
n
n 7
n
n
n 7
2n+ 7
n 7




M ( x) = 2n x5 32 n n 3 x 2 n x 3  = 2n x5 32 n n 3 x 3  = 2n x5 32 n n 3 x 3 






Nuevamente empleando la propiedad de producto de bases con un mismo exponente.
1
1
1
n 7
2n
n n
1
n 7

 n 7  7n 7
M ( x) = 2n x5 32 n n 3 x 3  = 2n x5 ( 32 n ) 7  n 3   x 3  = 2n x5 3 7 n 21 x 3


  

Ordenando los términos y recurriendo nuevamente a la propiedad de multiplicación de bases iguales:
2n
n
n
2n
n
n
2n
n
5+
n
2n
n
15+ n
M ( x) = 2n x5 3 7 n 21 x 3 = 2n3 7 n 21 x5 x 3 = 2n3 7 n 21 x 3 = 2n3 7 n 21 x 3
Tomando en cuenta la condición, se considera que es un monomio de grado 2n , entonces hacemos la siguiente consideración, tomamos
15+ n
el grado de x que es 3 e igualamos a 2n .
15 + n
= 2n ⇒ 15 + n = 3 × 2n ⇒ 15 + n = 6n ⇒ 15 = 6n − n ⇒ 5n = 15 ⇒∴ n = 3
3
1
1
2
 2
1
m
1 −1 
 3  m 2 3  − 3 − 2  
2. Hallar el valor de m para que el monomio M ( x ) =  x  x x   x x   , sea de segundo grado.
 
 
 


Solución: empleando la propiedad de multiplicación de bases iguales a m a n = a m + n dentro de los paréntesis:
1
1
1
1
1
2
2
 2
 2
 2 2 m +1 13 −2 m −3 −1  2
m
m 1 −1 
1 3
1 −1 
1 3
−
−
−
−
m
+




 




 




 
M ( x) =  x 3  x m x 2   x 3 x 2   =  x 3  x 2   x 3 2   =  x 3  x 2   x 6  
 
 
 
 
 
 
 
 
 






Multiplicando los exponentes y empleando la propiedad de multiplicación de bases iguales:
1
1
1
1
 2 2 m +1 13 −2 m −3 −1  2  2  2 m +1  1   −2 m−3  −1  2
2 2 m +1 2 m + 3 2
2 2 m +1 2 m + 3 2
(
)
+
+

















6
M ( x) =  x 3  x 2   x 6   =  x 3 x 2  3  x 6   =  x 3 x 6 x 6  =  x 3 6

 


 




 




1
1
1
4 m+8

 
 2 + 2 m +1+ 2 m6+ 3  2  4+ 2 m +61+ 2 m +3  2  4 m6+8  2

 
 6  2 
M ( x) =  x 3 6
=
x
=
x
=
x











 4m + 8  1 
Igualando el grado de x a 2 de acuerdo a la condición, se tiene: 
  = 2 ⇒ 4m + 8 = 24 ⇒ 4m = 24 − 8
 6  2 
1
1
E-mail: jny_hc@hotmail.com
Elaborado por: Jhonny Choquehuanca Lizarraga
Matemáticas Pre-Universitaria
4m = 24 − 8 ⇒ 4m = 16 ⇒∴ m = 4
3. Si la expresión F ( a, b, c) = a b c
es de grado absoluto 18 y los grados relativos de a, b, c son tres números
consecutivos (en ese orden) hallar m, n, q y la suma de los mismos.
m+ n n+ q q + m
m + n = n + q + 1
n + q = q + m + 1
Solución: para que los grados relativos de a, b, c sean consecutivos debe cumplirse lo siguiente: 
m = q + 1 q = m − 1
⇒
n = m + 1 n = m + 1
Del último sistema de ecuaciones restando términos semejantes, hallamos la siguiente relación: 
Reemplazando estas relaciones en la función F ( a, b, c ) = a m + m +1b m +1+ m −1c m −1+ m = a 2 m +1b 2 m c 2 m −1
Tomando en cuenta la condición donde nos dice que la función es de grado (suma de todos los grados relativos) absoluto 18, entonces se
tiene:
F (a, b, c ) = a 2 m +1b 2 m c 2 m−1 ⇒ Grado Absoluto = 2m + 1 + 2m + 2m − 1 = 18
De la última ecuación despejando m : 2m + 1 + 2m + 2m − 1 = 18 ⇒ 6m = 18 ⇒∴ m = 3
q = 3 − 1
⇒∴ q = 2 , n = 4
n = 3 + 1
Volviendo a las relaciones para hallar n y q , se tiene que si m = 3 : 
Como también nos pide la suma, entonces: m + n + q = 3 + 4 + 2 ⇒∴ m + n + q = 9
4.
Calcular el valor de m y n de
12 x 4 − 23 x 3 + 8mx 2 − 35 x + n
sea 2 x − 3
4x2 − 5x + m
Solución: para este problema emplearemos nuevamente el método clásico de división de polinomios.
12 x 4
−23 x3
+8mx 2
−35 x
−12 x 4
+15 x3
−3mx 2
−8 x 3
+8 x 3
+5mx 2
−10 x 2
x 2 (5m − 10)
− x 2 ( 5m − 10 )
+n
4 x2
−5 x
3x 2
−2 x +
+m
1
( 5m − 10 )
4
−35 x
+n
+2mx
+ x ( 2m − 35 )
+n
5
m
+ x ( 5m − 10 )
− ( 5m − 10 )
4
4
5
m




x  2m − 35 + ( 5m − 10 )  +  n − ( 5m − 10 ) 
4
4




Como en el problema se menciona la división tiene como residuo 2 x − 3 , entonces se procede a igualar los residuos
5
m

 

x  2m − 35 + ( 5m − 10 )  +  n − ( 5m − 10 )  = 2 x − 3
4
4

 

Igualando coeficientes, se tiene.

5

95
 33
 2m − 35 + 4 ( 5m − 10 )  = 2  m − = 2 ⇒ m = 6... A



2
⇒ 4

 n − m ( 5m − 10 )  = −3
 n − 5 m2 + 5 m = −3...B


 4
2
4


2
E-mail: jny_hc@hotmail.com
Elaborado por: Jhonny Choquehuanca Lizarraga
Matemáticas Pre-Universitaria
5
5
2
( 6 ) + ( 6 ) = −3 ⇒ n = 27 ⇒∴ m = 6, n = 27
4
2
3 x 2 + 48 x 2 + ax + b
Calcular el valor de a y b si la siguiente división
, deja como resto −5 x + 2
x3 − 2 x 2 − 4 x + 8
Ecuación A en B, se tiene. n −
5.
Solución: empleando el método clásico de división de polinomios para ello se debe completar la división con ceros, entonces se tiene:
3x5
+0
−3 x
+6 x
5
+0
−48 x 2
+12 x
3
4
+12 x
3
−6 x
6x
4
4
3
+12 x
24 x3
−24 x
3
−24 x
2
−72 x
2
+ ax
+b
3x
+ ax
+b
+24 x
−48 x 2
−48 x
+ ( a − 48 ) x
+b
+48 x
+96 x
−192
2
2
x3
2
−2 x 2
−4 x +8
+6 x
+24
+ ( a + 48 ) x + ( b − 192 )
De la anterior división se identifican el cociente y el resto: 3 x 2 + 6 x + 24 = cociente, ( a + 48 ) x + ( b − 192 ) = resto
( a + 48 ) = −5
⇒∴ a = −53 ∧ b = 194
( b − 192 ) = 2
Igualando los restos, se tiene: ( a + 48 ) x + ( b − 192 ) = −5 x + 2 
6.
Determinar el valor de m y n de manera que x 4 + 2 x 3 − 7 x 2 + mx + n sea divisible entre x 2 − 3 x + 5 .
Solución: para resolver el ejerció emplearemos el método clásico de división de polinomios.
x4
−x
4
+2 x3
−7 x 2
+3 x
−5 x
3
+ mx
2
−12 x 2
+ mx
−5 x
+15 x
−25 x
3x
2
2
−3 x
2
x2
−3 x +5
2
+5 x +3
x
5 x3
3
+n
+n
+ x ( m − 25 )
+n
+9 x
−15
x ( m − 16 )
+ ( n − 15 )
Como el problema nos dice que es una división exacta el resto igualamos a cero.
m = 16
 m − 16 = 0
(m − 16) x + (n − 15) = 0 ⇒ 
⇒∴
n = 15
 n − 15 = 0
7.
Hallar el valor de k y m para que mx − 2 − 4 x 4 + kx + kx 3 + x 6 sea divisible entre x 2 + 3 x + 2
Solución: empleando el teorema del resto para el problema, se tiene:
mx − 2 − 4 x 4 + kx + kx3 + x 6 P ( x)
=
x 2 + 3x + 2
Q ( x)
3
E-mail: jny_hc@hotmail.com
Elaborado por: Jhonny Choquehuanca Lizarraga
Matemáticas Pre-Universitaria
Una vez identificado el numerador y el denominador, igualando el denominador a cero Q(x) =0 y extrayendo las raíces:
 x = −1
Q( x) = 0 ⇒ x 2 + 3 x + 2 = 0 ⇒ ( x + 1)( x + 2 ) = 0 
 x = −2
Ahora hallamos el resto, para ello reemplazando cada uno de los valores de x en P(x)
Para x = −1 , se tiene:
P (−1) = m ( −1) − 2 − 4 ( −1) + k ( −1) + k ( −1) + ( −1) = − m − 2 − 4 − k − k + 1 = m − 2k − 6 = resto
4
3
6
Para x = −2 , se tiene:
P (−2) = m(−2) − 2 − 4(−2) 4 + k (−2) + k (−2)3 + (−2)6 = −2m − 2 − −64 − 2k − 8k + 64 = −2m − 10k − 2 = resto
Igualando cada uno de los restos a cero ya que de acuerdo con el problema es divisible, se tiene un sistema de ecuaciones:
 m − 2k − 6 = 0
m − 2k = 6... A
⇒

−2m − 10k − 2 = 0 2m + 10k = 2...B
 m − 2k = 6 ⇒ m = 2 k + 6
5

⇒ 2 k + 6 = 1 − 5k ⇒ k = −
Despejando m de ambas ecuaciones e igualando: 
2 − 10k
7
2m + 10k = 2 ⇒ m = 2 = 1 − 5k
32
5
 5
Reemplazando k = − en A, se tiene: m − 2  −  = 6 ⇒ m =
7
7
 7
6 x 36 + 17 x 27 + kx18 + 17 x 9 + 8
donde el resto es cero.
3x 9 + 1
6u 4 + 17u 3 + ku 2 + 17u + 8
9
Solución: realizando un cambio de variable en la división, si u = x , entonces el cociente será:
3u + 1
4
3
2
6u + 17u + ku + 17u + 8 P(u )
Empleando el teorema del resto:
=
3u + 1
Q(u )
1

Igualando el divisor a cero: Q ( x ) = 0 ⇒ 3u + 1 = 0 u = −
3

1
Reemplazando u = − en el dividendo P(u), se tiene:
3
8. Empleando el teorema del resto hallar:
4
3
2
2 17 1
17
 1
 1
 1
 1
 1
P  −  = 6  −  + 17  −  + k  −  + 17  −  + 8 =
−
+ k − +8 = 0
27 27 9
3
 3
 3
 3
 3
 3
2 17 1
17
16 1
1
16
Despejando k:
−
+ k − + 8 = 0 ⇒ + k = 0 ⇒ k = − ⇒ k = −16
27 27 9
3
9 9
9
9
( a − b ) x n + ( a − b ) x n−1 + ( a − b ) x n−2 se obtiene como residuo 3b n +1
a
9. Hallar el valor de E = , si la división:
b
x−a+b
2
3
Solución: empleando el teorema del resto, se tiene:
( a − b ) xn + ( a − b )
x n −1 + ( a − b ) x n − 2 P( x)
=
x−a+b
Q( x)
Igualando el cociente Q(x) a cero, se tiene: Q( x) = 0 ⇒ x − a + b = 0 { x = a − b
2
3
Reemplazando el valor x = a − b en P(x) para hallar el resto o residuo:
4
E-mail: jny_hc@hotmail.com
Elaborado por: Jhonny Choquehuanca Lizarraga
Matemáticas Pre-Universitaria
P(a − b) = ( a − b ) (a − b) n + ( a − b ) (a − b) n −1 + ( a − b ) (a − b) n − 2
2
P ( a − b) = ( a − b )
P ( a − b) = 3 ( a − b )
Igualando los restos: 3 ( a − b )
n +1
+ (a − b)
n +1
n +1
3
+ ( a − b)
n +1
n +1
= 3b n +1 ⇒ ( a − b )
n +1
= b n +1
Empleando la propiedad a c = b c ⇔ a = b , se tiene: ( a − b )
n +1
= b n +1 ⇔ a − b = b ⇒ a = 2b ⇒∴
a
=2
b
10. Qué valor debe tomar k para que el polinomio P ( x) = x 6 + 2 x 5 + kx 4 − x 3 + 2(8 + k ) x 2 + 6 x − 18 sea divisible entre:
x3 + 2 x 2 − 3
Solución: empleando el método de Hormer:
1
1
2
−1
k
−2
−2 0
0
3
0
2 (8 + k )
6
0
0
3k
−2 ( 2 − 2k )
0
−18
3
0
−2 k
3 ( 2 − 2k )
( 2 − 2k ) (12 + 6k ) ( 6 + 3k ) ( −12 − 6k )
 x3 + 0 x 2 + kx + ( 2 − 2k ) = cociente
De donde se puede identificar los coeficientes del cociente y del resto: 
2
(12 + 6k ) x + ( 6 + 3k ) x + ( −12 − 6k ) = resto
1
0
k
12 + 6k = 0

Igualando el resto a cero: (12 + 6k ) x + ( 6 + 3k ) x + ( −12 − 6k ) = 0 = 0 x + 0 x + x 6 + 3k = 0 ⇒∴ k = −2
−12 − 6k

2
2
Ax 5 + Bx 4 + Cx 3 + 27 x 2 + 19 x + 5
11. Calcular el valor de ( A + B − C ) si la siguiente división
es exacta.
4 x3 + 3x + 1
Solución: ordenando la división de la siguiente manera:
Ax 5 + Bx 4 + Cx 3 + 27 x 2 + 19 x + 5 5 + 19 x + 27 x 2 + Cx 3 + Bx 4 + Ax 5
=
4 x3 + 3x + 1
1 + 3x + 4 x3
Ahora empelando el método de Hormer:
1 5 19
−3
−15
27
0
C
−20
B
A
0
−4
−12
0
−45
( C − 65)
−16
0
( B − 16 )
−60
( A − 60 )
5
4
15
NOTA: la división se puede realizar de esta manera (en orden ascendente de acuerdo al grado de la variable) por ser una división
EXACTA.
5
E-mail: jny_hc@hotmail.com
Elaborado por: Jhonny Choquehuanca Lizarraga
Matemáticas Pre-Universitaria
( C − 65 ) = 0 ⇒ C = 65

De donde por ser división exacta tenemos que: ( B − 16 ) = 0 ⇒ B = 16

( A − 60 ) = 0 ⇒ A = 60
Entonces: ( A + B − C ) = 60 + 16 − 65 ⇒∴ ( A + B − C ) = 11
12. Efectuar la siguiente división:
6 x5 + 5 x 4 y − 26 x3 y 2 + 33 x 2 y 3 − 24 xy 4 + 6 y 5
2 x 2 − 3xy + y 2
Solución: tomando a x como variable y a y como constante, además de emplear el método de Hormer para dividir:
6 5 y −26 y 2
9 y −3 y 2
2
3y
− y2
33 y 3
6 y5
4 y4
21y 4
−7 y 5
y4
− y5
−7 y 3
21 y 2
−12 y 3
−4 y 2
3 7y
−24 y 4
7 y3
3 x 3 + 7 x 2 y − 4 xy 2 + 7 y 3 = cociente
4
5
 xy − y = resto
De donde podemos obtener el cociente y el resto o residuo: 
(
)
(
)(
)(
)
13. Desarrollar y simplificar ( x − 1) x 2 − x + 1 ( x + 1) x 2 + x + 1 x 2 + 1 x 4 − x 2 + 1
(
)
+ 1) = ( x − 1)( x + 1)( x − x + 1)( x
Solución: ordenado y empleando la propiedad de diferencia de cuadrados ( a − b )( a + b ) = a 2 − b 2
( x − 1)( x + 1) ( x
2
+ 1)( x − x + 1)( x + x + 1)( x − x
2
2
4
2
2
⇒ ( x 4 − 1)( x 2 − x + 1)( x 2 + x + 1)( x 4 − x 2 + 1)
2
2
2
+ x + 1)( x 4 − x 2 + 1)
Agrupando términos dentro de los paréntesis y aplicando nuevamente la propiedad de diferencia de cuadrados:
(x
4
(
− 1) ( x 2 + 1) − x
) (( x + 1) + x ) ( x
2
4
(
− x 2 + 1) = ( x 4 − 1) ( x 2 + 1) − x 2
2
) ( x − x + 1)
4
2
Desarrollando el término que esta al cuadrado como un trinomio cuadrado perfecto ( a + b ) = a 2 + 2 ab + b 2 tenemos:
2
(x
(x
(
4
− 1) ( x 4 + 2 x 2 + 1) − x 2
4
− 1) ( x 4 + 1) − ( x 2 )
(
2
2
)( x
4
(
− x 2 + 1) = ( x 4 − 1)( x 4 + x 2 + 1)( x 4 − x 2 + 1) = ( x 4 − 1) ( x 4 + 1) + x 2
) = ( x − 1) (( x + 2x + 1) − x ) = ( x − 1)( x + x + 1)
4
8
4
4
4
8
(
∴ ( x − 1) ( x − x + 1) ( x + 1) ( x + x + 1)( x + 1)( x
) (( x + 1) − x )
4
2
4
)
(
)
Realizando un cambio de variable empleando la propiedad de diferencia de cubos a 3 − b 3 = ( a − b ) a 2 + ab + b 2 :
2
14. Desarrollar y simplificar: A = ( x − 1)
2
2
( x + 1)
2
(x
2
2
4
− x 2 + 1) = ( x12 − 1)
− 1) ( x 2 + 1) ( x 4 + 1) ( x8 − 1) − x8
3
5
−4
5
(
)
Solución: agrupando factores con el mismo exponente, luego empleando ( a − b )( a + b ) = a 2 − b 2 además de a c a b = a b + c :
6
E-mail: jny_hc@hotmail.com
Elaborado por: Jhonny Choquehuanca Lizarraga
Matemáticas Pre-Universitaria
A = {( x − 1)( x + 1)} ( x 2 − 1) ( x 2 + 1) ( x 4 + 1) ( x8 − 1) − x8 = ( x 2 − 1) ( x 2 − 1) ( x 2 + 1) ( x 4 + 1) ( x8 − 1) − x8
3
2
5
−4
5
2
5
−4
5
A = ( x 4 − 1) ( x 4 + 1) ( x8 − 1) − x8
5
−4
5
(
14
2
4
5
5
2
5
4
) (x
Empleando la propiedad a c a b = a b + c , se tiene: A = x8 − 1
 ( x − 1)7 ( x 2 + x + 1)7 

15. Simplificar: 
7
3


( x − 1)


5
5
4
−4
8
8
−4
8
8
−4
5
{( x − 1)( x + 1)} ( x + 1) ( x − 1) − x
= {( x − 1)( x + 1)} ( x − 1) − x = ( x − 1) ( x − 1)
A = ( x 2 − 1) ( x 2 + 1) ( x 4 + 1) ( x8 − 1) − x8 =
5
3
5
8
8
−4
− x8
− 1) − x8 = ( x8 − 1) − x8 = −1 ⇒∴ A = −1
−4
8
 ( x + 1)12 ( x 2 − x + 1)12 


12
3


( x + 1)


16
Solución: agrupando cada uno de los términos en un solo exponente:
 ( x − 1)7 ( x 2 + x + 1)7 


7
3


−
x
1
( )


14
16
  ( x − 1) x 2 + x + 1 7    ( x + 1) x 2 − x + 1 12 
 ( x + 1)12 ( x 2 − x + 1)12 
(
)   
(
) 

 =  



12
3
3
3

 


x − 1)
x + 1)
(
(
+
x
1

 
(
)






 
( a 3 − b3 ) = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 )

Aplicando la propiedad de diferencia y suma de cubos además de multiplicar los exponentes: 
3
3
2
2
( a + b ) = ( a + b ) ( a − ab + b )
14
16
 ( x − 1) ( x 2 + x + 1) 



( x3 − 1) 
98
 ( x + 1) ( x 2 − x + 1) 



( x3 + 1) 
192
 ( x − 1)7 ( x 2 + x + 1)7 

∴
7
3


( x − 1)


14
16. Simplificar
98
 ( x3 + 1) 
 3

 ( x + 1) 
192
 ( x + 1)12 ( x 2 − x + 1)12 

 =1
12
3


( x + 1)


16
( a + 1)( a − 1) ( a 4 + a 2 + 1)( a 6 − a 3 + 1)( a 6 + a3 + 1)
(x
9
+ 1)
Solución: empleando diferencia de cuadrados y diferencia de cubos:
(a
(
 ( x3 − 1) 

= 3
 ( x − 1) 
2
− 1)( a 4 + a 2 + 1)( a 6 − a 3 + 1)( a 6 + a 3 + 1)
(x
)
9
+ 1)
(
)(
+ 1) ( a
=
(a
=
)
− 1)( a
6
− 1)( a 6 − a 3 + 1)( a 6 + a 3 + 1)
(x
9
+ 1)
Descomponiendo a 6 − 1 como diferencia de cuadrados a 3 − 1 a 3 + 1 :
(a
6
− 1)( a − a + 1)( a + a
6
3
(x
9
6
3
+ 1)
3
Ordenando los factores y empleando diferencia de cubos:
(a
3
3
+ 1)( a 6 − a 3 + 1)( a 6 + a 3 + 1)
+ 1)( a 6 − a 3 + 1)( a 3 − 1)( a 6 + a 3 + 1)
(x
9
+ 1)
(x
(a
=
9
+ 1)
9
+ 1)( a 9 − 1)
(x
9
+ 1)
7
E-mail: jny_hc@hotmail.com
Elaborado por: Jhonny Choquehuanca Lizarraga
Simplificando: ∴
Matemáticas Pre-Universitaria
( a + 1)( a − 1) ( a 4 + a 2 + 1)( a 6 − a 3 + 1)( a 6 + a3 + 1)
(x
(
17. Simplificar: x 2 + y 2
)
4
+ 1)
9
= ( a 9 − 1)
+ x 4 y 4 − ( x 2 + xy + y 2 ) ( x 2 − xy + y 2 ) − 2 x 2 y 2 ( x 2 + y 2 )
2
2
Solución: ordenando y empleando propiedades de exponentes:
(
( x2 y 2 ) − 2x2 y 2 ( x2 + y2 ) + ( x2 + y2 )
2
2
2
) − ( x + xy + y ) ( x − xy + y )
2 2
2 2
2
(
2 2
2
)
En la última expresión empleando la propiedad de trinomio cuadrado perfecto a 2 − 2ab + b 2 = ( a − b ) y empleando diferencia de
2
cuadrados.
( x y − ( x + y ) ) − ( x + xy + y ) ( x − xy + y ) = ( xy − ( x + y )) ( xy + ( x + y )) − ( x + xy + y ) ( x − xy + y )
2
2
( xy − ( x
2
2 2
2
2
+ y2 )
2 2
2
) ( xy + ( x
2
2
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
2 2
2
+ y 2 ) − ( x 2 + xy + y 2 ) ( x 2 − xy + y 2 ) = 0
2
2
2
∴ ( x 2 + y 2 ) + x 4 y 4 − ( x 2 + xy + y 2 ) ( x 2 − xy + y 2 ) − 2 x 2 y 2 ( x 2 + y 2 ) = 0
4
2
18. Si x + y = 12 y x 2 + y 2 = 10 . Calcular x 3 + y 3
(
)
2
(
2
)
Solución: descomponiendo por suma de cubos a 3 + b 3 = ( a + b ) a 2 − ab + b 2 , se tiene:
 x + y = 12
⇒ x3 + y 3 = (12 )(10 − xy ) ... A
x 3 + y 3 = ( x + y ) ( x 2 − xy + y 2 ) = ( x + y ) ( x 2 + y 2 − xy ) si  2
2
 x + y = 10
Ahora elevando al cuadrado la primera condición tenemos: ( x + y ) = 122 ⇒ x 2 + 2 xy + y 2 = 144 ⇒ x 2 + y 2 + 2 xy = 144
2
Si x 2 + y 2 = 10 ⇒ 10 + 2 xy = 144 ⇒ xy =
144 − 10
⇒ xy = 67...B
2
Reemplazando B en A: x 3 + y 3 = (12 )(10 − 67 ) ⇒∴ x 3 + y 3 = −684
19. Hallar a +
1
1
, si a 4 + 4 = 47
a
a
Solución: sumando y restando 2 para completar cuadrados en la condición:
2
a4 +
2
2
1
1  1 
1 
1 
= 47 ⇒ ( a 2 ) + 2a +  2  = 47 + 2a ⇒  a 2 + 2  = 49
4
a
a a 
a 
a 
Sacando raíces cuadradas en ambos lados de la ecuación y volviendo a completar cuadrados:
2
2
1
1 1
1 
1
 2 1 
2
2
 a + 2  = 49 ⇒ a + 2 = 7 ⇒ a + 2a + 2 = 7 + 2a ⇒  a +  = 9
a 
a
a a
a 
a

2
Por ultimo:
1
1

 a +  = 9 ⇒∴ a + = 3
a
a

20. Calcular el valor de S =
3
 x y
x3 y 3
+ 3 + 3a si  +  = a
3
y
x
y x
8
E-mail: jny_hc@hotmail.com
Elaborado por: Jhonny Choquehuanca Lizarraga
Matemáticas Pre-Universitaria
Solución: descomponiendo por suma de cubos, se tiene: S =
3
2
2
 x y  x   x  y   y  
x3 y 3
3 

+
+
3
a
=
+
−
+
         + 3a
y3 x3
 y x    y   y   x   x  
 x2 y2 
 x y
+  = a ⇒ S = 3 a  2 + 2 − 1 + 3a ... A
x
 y x
y

Si 
2
 x y
x2
y2
x2 y 2
Elevando al cuadrado la condición:  +  = a 2 ⇒ 2 + 2 + 2 = a 2 ⇒ 2 + 2 = a 2 − 2...B
y
x
y
x
 y x
((
) )
(
)
Reemplazando B en A: S = 3 a a 2 − 2 − 1 + 3a = 3 a a 2 − 3 + 3a = 3 a 3 − 3a + 3a = a ⇒∴ S = a
PRÁCTICA # 1
1. Simplifique: A =
4
9
5 .
57 . 4 125
Rpta.: A = 5
56 . 5 5
2. Simplificar la siguiente expresión: R =
7
n +1
n +1
+
n −1
73n
2
−1
+ 72n
72n + 7n
2
2
2
−1
2
Rpta.: R = 7
2 x 6 + 2 2 x5 − 3x 4 − 3 2 x3 + 6 x + m 2
3. Utilizando teorema del resto calcular el valor de m si la división
es exacta.
x+ 2
Rpta.: m = 6
4
6 x + 16 x 3 + 25 x 2 + mx + n
sea exacta.
4. Por división clásica determinar el valor de m y n para que la división
3x 2 + 2 x + 1
Rpta.: m = 14, n = 5
5. Empleando el método de Hormer calcule el valor de A y B si la división:
4x + 5
(
6. Empleando productos notables reducir: J = ( x + 2 ) x 2 − 2 x + 4
12 x 4 − 12 x 3 + 13 x 2 + Ax − B
deja como resto
2 x 2 − 3x + 5
Rpta.: A = 31, B = 15
) ( x − 2) ( x
2
+ 2x + 4)
Rpta.: J = x 6 − 64
7. Empleando productos notables reducir: F =
3
( a − b ) ( a 2 + ab + b2 ) − 3ab ( a − b )
Rpta.: F = a − b
9
E-mail: jny_hc@hotmail.com
Elaborado por: Jhonny Choquehuanca Lizarraga
Matemáticas Pre-Universitaria
FORMULARIO
o
o
POTENCIACIÓN.- es la multiplicación de a n veces ⇒ a n = a.a.a....a
m n
m+n
MULTIPLICACIÓN DE BASES IGUALES ⇒ a .a = a
am
= am−n ⇔ a ≠ 0
an
o EXPONENTE CERO ⇒ a 0 = 1 ⇔ a ≠ 0
1
o EXPONENTE NEGATIVO ⇒ a − r = r ⇔ a ≠ 0
a
n
o PRODUCTO DE BASES CON IGUAL EXPONENTE ⇒ ( ab ) = a nb n
o
DIVISIÓN DE BASES IGUALES ⇒
o
COEFICIENTE DE BASES CON IGUAL EXPONENTE ⇒ 
n
an
a
=
⇔ a, b ≠ 0

bn
b
m
n
o
RADICACIÓN EXPONENTE FRACCIONARIO ⇒ a =
o
PRODUCTO DE RAÍCES CON IGUAL ÍNDICE ⇒
o
DIVISIÓN DE RAÍCES CON IGUAL ÍNDICE ⇒
o
RAÍZ DE RAÍZ ⇒ m
n
n
n
a
n
b
n
am
a . n b = n ab
=n
a
b
a = mn a
a b = a c ⇔ b = c ⇒ a ≠ 0,1

o ECUACIONES EXPONENCIALES ⇒  a b = cb ⇔ a = c ⇒ b ≠ 0
 xx = aa ⇔ x = a ⇒ x ≠ 0

TRANSFORMACIONES DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS USUALES:
•
Binomio al cuadrado: ( a ± b ) = a 2 ± 2 ab + b 2
•
Binomio al cubo: ( a ± b ) = a 3 ± 3a 2b + 3ab 2 ± b 3
•
Binomio al n-esima: ( a + b ) = a n +
•
•
•
•
2
3
n n−1 n(n − 1) n − 2 2
n(n − 1) 2 n − 2 n n − 2 n
a b+
a b + ... +
a b + ab + b
1!
2!
2!
1!
2
2
Diferencia de cuadrados: a − b = (a + b)(a − b)
Suma de cubos: a 3 + b3 = ( a + b)( a 2 − ab + b 2 )
Diferencia de cubos: a 3 − b 3 = ( a − b )( a 2 + ab + b 2 )
n
Diferencia de términos a la n-esima (para n impar):
a n − b n = (a − b)(a n −1 + a n − 2b + a n −3b 2 + ... + a 2b n −3 + ab n − 2 + b n −1 )
10
E-mail: jny_hc@hotmail.com