x - Universidad de Sevilla
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CAPÍTULO 1:
OBJETO Y JUSTIFICACIÓN DEL
PROYECTO
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1.1 OBJETO DEL PROYECTO
Uno de los sistemas de control de la producción más estudiados y aplicados en la
industria es el sistema Kanban. Este sistema fue originalmente desarrollado por la
compañía automovilística japonesa Toyota en el año 1953. Desde entonces se ha
mostrado como un sistema de producción efectivo y ha sido adoptado por otras
importantes compañías como Omarck Industries, Black and Decker y Hewlett Packard.
Este sistema esta basado en el principio pull. En estos sistemas el inicio de los trabajos
no esta programado, sino que el comienzo de un trabajo es permitido al finalizar otro, o
dicho de otra forma, la finalización de un trabajo autoriza la producción del siguiente.
La transmisión de las autorizaciones para producir y mover piezas se realiza mediante el
flujo de tarjetas entre los distintos centros de trabajo. Kanban significa tarjeta en
japonés. El número de tarjetas es el principal parámetro de este tipo de sistemas, ya que
determina el nivel de inventario en proceso, WIP (Work In Process) en la planta.
Los sistemas pull (pull significa tirar en inglés) se muestran superiores a los sistemas
push (push significa empujar en inglés) en donde ambos pueden ser empleados
(Spearman et al, 1990, Roderick et al, 1992). Esta superioridad se puede explicar desde
el punto de vista del entorno, el tiempo que las piezas están en el sistema y el control de
este.
Hay entornos en donde un sistema Kanban no puede ser empleado, como son aquellos
en donde se tienen ordenes de trabajo con tiempos de producción cortos, o aquellos
donde se tienen tiempos de set-up (tiempos de puesta a punto) significativos, scrap loss
(perdidas por trabajos de desecho o piezas inservibles) o grandes e imprevisibles
fluctuaciones de la demanda. Estudios de simulación realizados por Krejewski et al,
1987, ponen de manifiesto que las consideraciones sobre el entorno pueden ser la causa
principal para la superioridad de los sistemas pull sobre los push, dada la facilidad que
los sistemas pull tienen para mejorarlo.
Spearman y Zazanis, 1988, probaron que el WIP medio total y el flow time medio
(tiempo transcurrido desde que una pieza entra al sistema hasta que sale) del sistema
eran menores en un sistema pull que en un sistema push. También hay evidencias de
que la varianza del flow time es menor en los sistemas pull que en los sistemas push
equivalente. Las varianzas reducidas y los tiempos medios del flow time implican unos
WIP y FGI (Finished Goods Inventory) reducidos para un lead time (tiempo de ciclo)
dado (Hopp et al, 1988).
El control del los sistemas pull es otra de sus ventajas sobre los sistemas push. Los
primeros son inherentemente más fáciles de controlar que los segundos, debiéndose esto
a dos razones. La primera es que el WIP es directamente observable en los pull y la
segunda es que los errores cometidos en el ajuste de los niveles de WIP afectarán a las
prestaciones de los sistemas pull en menor medida que los errores cometidos estimando
la capacidad de un sistema push (Spearman y Zazanis, 1988).
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Es común confundir el sistema de la producción Kanban con la filosofía de producción
“justo a tiempo” (Just In Time). Ambos aparecieron en la industria japonesa dentro de
una misma manera de entender la empresa. Su aplicación suele hacerse de forma
conjunta, pero hay que tener en cuenta que son dos conceptos distintos. La filosofía
Justo a Tiempo no es sólo una forma de gestionar los materiales que circulan por el
sistema, sino que afecta a todos los elementos de la empresa, involucrando desde la
dirección a los proveedores, pasando por los trabajadores. La idea central es ser lo más
eficiente posible, eliminando cualquier tipo de gasto. El paradigma de gasto es la
existencia de inventarios, es decir, materiales que esperan a ser procesados ante las
máquinas o en almacenes, ocupando espacio, tiempo en su manipulación y recursos
financieros. La filosofía Justo a Tiempo lo que propone es que las operaciones y
materiales se realicen y se reciban justo en el momento oportuno, ni antes ni después. El
gasto aplicando esta filosofía se puede reducir de manera muy importante (Gaury,
2000).
La fabricación aplicando la filosofía Just In Time persigue conseguir una serie de metas
(Domínguez, 1994) como son Cero defectos, Cero averías, Cero inventarios, Cero
plazos de entrega de los productos finales al cliente y la utilización de Cero papel.
El sistema de la producción Kanban y todos los sistemas basados en tarjetas derivados
de él, como es el Conwip, son un instrumento para llevar a cabo la filosofía Justo a
Tiempo a nivel operativo.
El sistema CONWIP (CONstant Work In Process) fue introducido por Spearman et al,
1990 como un intento de ofrecer un sistema con los beneficios de los sistemas pull y
más flexible que el sistema Kanban, pudiendo ser aplicado a un mayor número de
entornos productivos que este último. El sistema Conwip trata de mantener constante el
inventario en proceso, WIP (Work In Process) en el sistema. Esto lo hace usando
tarjetas que se adjuntan a un trabajo al comienzo del sistema. Cuando este trabajo
finaliza en la última estación de trabajo del sistema, la tarjeta es liberada y enviada de
nuevo al comienzo del sistema donde será adjuntada a otro trabajo. Ningún trabajo
podrá entrar al sistema sin su correspondiente tarjeta.
El máximo WIP permitido en el sistema viene determinado por el número de tarjetas
que en él circulan en un momento dado y su determinación será el principal problema al
que deban de enfrentarse a la hora de parametrizar dicho sistema de control de la
producción.
Existen otras variantes más modernas sobre el sistema Conwip que lo convierten en un
sistema adaptativo que reacciona ante variaciones del entorno productivo o del propio
sistema, como por ejemplo las producidas por averías de las máquinas o falta de
conformidad en los trabajos realizados y que hagan preciso el reprocesado de piezas.
Como hemos dicho anteriormente, el número de tarjetas es el parámetro más importante
que debe ser establecido en un sistema Conwip. Existen dos modos de abordar el
problema de la determinación del número de tarjetas a emplear en estos sistemas.
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a) Por una parte esta el establecimiento de tarjetas, que dadas unas condiciones
de producción, trata de determinar el número de tarjetas óptimo para la
consecución de unos determinados objetivos. Se han propuesto diversos
procedimientos basados en modelos analíticos (ver por ejemplo Hopp y
Spearman, 1991 ó Herer y Masin, 1997), modelos de simulación (ver por
ejemplo Bonvik et al, 1997 ó Gaury et al, 2000) ó modelos híbridos simulaciónanalíticos (Luh et al, 2000). El número de tarjetas así determinado permanecerá
estable a lo largo del periodo considerado.
b) El otro modo de determinar el número de tarjetas es de forma dinámica, es
decir, emplear un mecanismo de control dinámico. En la bibliografía hay pocas
contribuciones referentes al ajuste dinámico del número de tarjetas, siendo
conocidas las de Rees et al, 1987, que desarrollaron un método de ajuste basado
en la inecuación de Monden (Monden, 1983), la de Gupta y Al-Turki, 1997 que
aplica un sistema de control dinámico de tarjetas a un sistema Kanban de dos
tarjetas, la de Hopp y Roof, 1998 que desarrollaron el sistema STC (Statistical
Throughput Control) el cual fue concebido para ajustar de manera dinámica el
número de tarjetas en un sistema Conwip en entornos contra pedido, la de
Takahashi y Nakamura, 1999 que se basa en un estudio previo del sistema por
medio de simulación, la de Tardif y Maaseidvaag, 2001 que propone un sistema
Conwip operando en un entorno contra stock y por último la de Framiñán et al,
2003, que proponen un sistema de control dinámico de tarjetas, aplicable a
cualquier sistema de la producción basado en tarjetas y que puede operar tanto
en entornos contra pedido como contra stock
El funcionamiento del sistema estudiado en el presente proyecto se encaja dentro de este
segundo grupo. Hay que tener en cuenta que estos sistemas contienen más de un
parámetro a considerar y en el sistema objeto de estudio no se ha propuesto ningún
método para optimizar los parámetros de funcionamiento del sistema. Por otra parte hay
que considerar que el número de parámetros a optimizar no es lo suficientemente
elevado como para emplear una técnica heurística de propósito general como por
ejemplo los algoritmos genéticos. Sin embargo un estudio analítico -como por ejemplo
la teoría de colas, programación dinámica, etc…- tampoco sería viable, ya que se
limitaría a casos extremadamente sencillos y de poca utilidad práctica. Por ello se ha
pensado en utilizar la metodología RSM (Response Surface Methodology.) como
metodología de optimización del sistema objeto de estudio. La aplicación de esta
técnica nos permitirá, a su vez, obtener un mayor conocimiento sobre la influencia en
las respuestas de los parámetros propios del sistema.
El objeto del proyecto es el estudio de un método de optimización de una línea de
fabricación, de un solo producto, controlada mediante un sistema de control dinámico
de tarjetas. Los detalles sobre este sistema, similar al Conwip, se encuentra en Framiñán
et al, 2003. Los autores desarrollaron un procedimiento para controlar de forma
dinámica el número de tarjetas en sistemas de control de la producción basados en
tarjetas, operando tanto en entornos contra pedido como contra stock, mejorando a los
existentes. El método se basa en el compromiso entre el inventario de productos
terminados FGI y la demanda acumulada en un cierto instante, siendo el objetivo
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conseguir un nivel de servicio (o tasa de salida) predeterminado minimizando a su vez
el WIP y los costes asociados a la demanda acumulada. El sistema será estudiado con
detalle en el capítulo 2.
Nosotros estamos interesados en estudiar la influencia que cada uno de los dos factores,
K (0) y E, tienen en el comportamiento del sistema y en hallar la configuración que
permita un funcionamiento óptimo, entendiendo como tal, aquella que permita que se
alcance el nivel de servicio propuesto con el mínimo inventario en proceso.
Para este estudio se emplearan las técnicas del diseño y análisis de experimentos,
también llamadas DOE (Desing Of Experiments), y la metodología de superficies de
repuesta, o metodología RSM (Response Surface Methodology) (Montgomery, 1991).
Con el DOE estudiaremos la importancia relativa de los parámetros K (0), E, y con la
metodología RSM la optimización de los mismos. El diseño estadístico de experimentos
se refiere al proceso para planificar el experimento de tal forma que se recaben datos
adecuados que puedan analizarse con métodos estadísticos que llevarán a conclusiones
objetivas. La metodología RSM es una colección de técnicas matemáticas y estadísticas
útiles en el modelado y en el análisis de problemas en los que una respuesta de interés
recibe la influencia de diversas variables y donde el objetivo es optimizar esta respuesta.
Esta respuesta en función de las variables independientes se puede representar, en el
caso de dos variables, por medio de una superficie tridimensional, a la que se la llama
superficie de respuesta. El problema de la optimización lo afrontaremos utilizando
varias técnicas propias de la metodología RSM, como son el método del ascenso más
pronunciado, el análisis canónico, el método de la superposición de las gráficas de
contornos y la metodología de optimización multirespuesta de la función desirability.
La experimentación comenzará planteando un experimento de caracterización con la
finalidad de conocer cuales de los dos parámetros que definen el comportamiento del
sistema son significativos y si existe interacción entre ellos. Se partirá de un entorno
similar al empleado por Framiñan et al en la presentación del sistema, denominado PS,
con un nivel de servicio predeterminado del 100%. A continuación, comenzará la fase
de la experimentación dedicada a la optimización aplicando metodología RSM al
sistema anterior para un nivel de servicio predeterminado del 98%. Tras aplicar las
técnicas propias de la metodología RSM, se llega a descubrir que las soluciones
admisibles al problema planteado cumplen que la suma de los parámetros K (0) y E
permanece constante, propiedad que nos permite llegar a soluciones que parecen estar
muy próximas a la combinación óptima. Tras la realización de una búsqueda exhaustiva
en todo el espacio de soluciones descubrimos que la solución óptima al problema
planteado es una de las halladas en el paso anterior.
En este descubrimiento tiene gran importancia el empleo del método grafico de
optimización multirespuesta de la superposición de las gráficas de contornos. Sin
embargo este método es poco formal, por lo que en la siguiente fase de la
experimentación se decide aplicar el método RSM multirespuesta de la función
desirability (deseabilidad en inglés). Tras su estudio y aplicación al sistema objeto de
este proyecto, se llega a la conclusión de que su uso no aporta grandes ventajas desde el
punto de vista computacional, sin embargo sí que puede ser de gran utilidad su empleo
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en el estudio de la superficie de respuesta en una zona de interés en la que estemos
interesados conocer el comportamiento de varias respuestas a la vez.
Los resultados obtenidos en el estudio experimental del sistema nos lleva a plantear una
heurística que nos proporcione, con el menor número de simulaciones, la combinación
de parámetros K (0) y E que haga que el sistema PS funcione con un nivel de servicio
predeterminado del 98% con el menos inventario en proceso. Se propone un método de
búsqueda doble. Por un lado se aprovecha la propiedad anteriormente comentada, de
que las soluciones admisibles tienen la propiedad de que la suma de los parámetros K
(0) y E permanece constante, proporcionando esto la aparición de la que llamaremos la
“trayectoria de las soluciones admisibles”. Se llegará a ella estudiando en un primer
paso, el sistema como si este fuera un sistema Conwip tradicional, para en un segundo
paso, recorrerla y hallar cuál de las soluciones que la componen es la mejor desde el
punto de vista del criterio de búsqueda.
Por otro lado, al no tener seguridad de haber encontrado la combinación óptima, se
aplicará, en un tercer paso, el método de la función desirability a la vecindad de la
solución anteriormente hallada, con el fin de estudiar si existe una solución mejor al
problema planteado. El cuarto, y último paso de la heurística consistirá en comparar las
soluciones halladas. La heurística propuesta se aplicará al experimento ya realizado y se
verá como en este caso proporciona la solución óptima.
Este resultado es prometedor, pero es necesario validar el comportamiento de la
heurística propuesta aplicándola a distintos entornos de funcionamiento de la línea,
como averías, reprocesado de piezas, desequilibrios en los tiempos de proceso o
fluctuaciones en la demanda. El nuevo sistema va a estar formado por cinco máquinas
con distintos tiempos de procesado (sistema desequilibrado). También va ser diferente
el tiempo de llegada de la demanda. Tras aplicar la heurística al nuevo sistema se
comprueba la calidad de la solución proporcionada por esta realizando una búsqueda
exhaustiva en el espacio de soluciones. El resultado de este experimento de
confirmación es que la heurística propuesta vuelve a dar como resultado la combinación
óptima.
Para el estudio del sistema, y debido al carácter estocástico del mismo, la línea de
producción objeto de este estudio, va a ser simulada empleando simulación de eventos
discretos, con programas realizados en lenguaje ANSIC y que han sido aportados por el
tutor del proyecto. La línea de producción va ha ser del tipo serie (flow-shop),
compuesta por cuatro estaciones en tándem.
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1.2 SUMARIO
El resto del documento se organiza como sigue: en el segundo capítulo “Sistemas
basados en tarjetas. El sistema Conwip adaptativo” se presentan las características
generales de los sistemas de producción, su clasificación tradicional en sistemas pull y
push, y su clasificación según el mecanismo de control: Sistemas basados en tarjetas
(token-based), Sistemas basados en el tiempo (time-based) y Sistemas basados en
excedentes (surplus-based). El sistema Conwip, así como el Kanban, del cual deriva,
son instrumentos para llevar a cabo la filosofía Justo a Tiempo a nivel operacional, por
lo que también se presenta una breve introducción a ella y al importante papel que
juegan los inventarios dentro de los gastos de una empresa. A continuación, se
describen en profundidad el sistema Conwip y el método de ajuste dinámico de tarjetas
presentado por Framiñán et al, 2003.
En el tercer capítulo, titulado “Simulación. Modelado del sistema”, se hace una
pequeña introducción sobre la simulación como herramienta en la toma de decisiones,
comentando sus características, ventajes e inconvenientes. A continuación se va a
describir con mayor detalle la simulación de eventos discretos, que va a ser la
herramienta que vamos a utilizar en la realización de los experimentos. Debido al
carácter estocástico de los procesos objeto de estudio, esta va a ser la herramienta
adecuada para estudiar el sistema objeto del proyecto. Seguidamente, se describe el
modelo sobre el que se van ha realizar los experimentos y se exponen las hipótesis
consideradas. Termina este capítulo con el cálculo de los parámetros de simulación
como son, el tiempo efectivo de simulación (T-W), el warm-up o periodo de
calentamiento (W) y el número de réplicas (n).
El cuarto capítulo cuyo título es “Diseño de experimentos y Optimización RSM”
comienza con una descripción del diseño de experimentos, siguiendo con la
presentación los diseños factoriales y el diseño factorial 2k. El capítulo termina con la
exposición de la metodología de la superficie de respuesta con la que optimizaremos el
sistema con los datos obtenidos en los experimentos.
El quinto capítulo “Estudio experimental del sistema” se dedica a la
experimentación. Primero se definen los escenarios en donde esta se desarrolla. A
continuación se plantean los experimentos que se van a llevar a cabo. La
experimentación está compuesta por dos fases bien diferenciadas. En la primera se
realiza un experimento de caracterización, cuyo objetivo es averiguar qué significación
tienen los factores en la respuesta del sistema objeto de estudio y conocer si existen
interacciones entre ellos. En la segunda fase se va a llevar a cabo el proceso de
optimización propiamente dicho, para lo que se va a aplicar la metodología RSM
(Response Surface Methodology) o metodología de la superficie de respuesta. Esta fase
consta a su vez de tres partes. En la primera se realiza la experimentación para un valor
predeterminado del nivel de servicio del 100%, Para el escenario y los datos de la línea
y demanda considerados el nivel de servicio objetivo del 100% no es realista por lo que
se repite el proceso para un valor predeterminado del nivel de servicio del 98%. En la
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tercera parte se estudia en profundidad la metodología de optimización multirespuesta
RSM de la función desirability.
El en sexto capítulo “Propuesta de optimización” se propone una heurística que nos
permita buscar rápidamente la combinación de parámetros que hagan que el sistema
funcione con el nivel de servicio predeterminado y con el menor inventario en proceso.
En el capítulo séptimo “Experimento de confirmación” se realiza un experimento
para comprobar que la heurística funciona adecuadamente en un entorno diferente al
utilizado en los experimentos anteriores.
En el octavo capítulo “Conclusiones” se exponen las conclusiones en vista a los
resultados obtenidos en las diversas experimentaciones. También se proponen algunas
líneas generales de futuras investigaciones y como se podría aplicar esta metodología a
un sistema multiproducto y/o multirespuesta.
Además de los capítulos descritos, se han introducido dos secciones finales:
“Bibliografía” y “Anexo”. Una dedicada a la bibliografía a la que se hace referencia a
lo largo de este documento y que ha servido de apoyo al desarrollo del trabajo y la otra
un anexo en el que se muestran los resultados obtenidos en las simulaciones realizadas
para el cálculo de los parámetros de simulación.
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CAPÍTULO 2:
SISTEMAS BASADOS EN TARJETAS.
EL SISTEMA CONWIP ADAPTATIVO
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2.1 INTRODUCCIÓN
En este capítulo se van a describir con mayor detalle los aspectos más importantes sobre
el sistema de control de la producción Conwip. Antes de entrar en detalle es conveniente
hacer una breve introducción a ciertos términos en los que se apoya el sistema Conwip y
que comparte con el sistema Kanban del cual deriva.
Ambos son sistemas del tipo pull y basados en tarjetas. Tradicionalmente los sistemas
de control de la producción se clasifican en sistemas push y pull, dependiendo de la
dirección que sigue la información dentro del proceso.
Los sistemas push (push significa empujar en inglés), son aquellos en los que la
producción se programa de antemano en el plan maestro de producción, obligando a
que este plan se cumpla. El inventario tiene un efecto de empuje. En la figura siguiente
se muestra el funcionamiento de este tipo de sistemas:
Figura 2.1 Funcionamiento sistema Push.
Los sistemas pull (pull significa tirar en inglés), son aquellos en los que la producción
no esta programada de antemano, si no que la finalización de un trabajo autoriza el
comienzo del siguiente. La transmisión de la autorización se realiza haciendo circular
tarjetas entre las distintas estaciones de trabajo. El esquema de funcionamiento de este
tipo de sistemas se puede apreciar en la siguiente figura:
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Figura 2.2 Funcionamiento sistema Push.
Otra clasificación más actual de los sistemas de producción se basa en el mecanismo de
control usado (Gershwin, 2000). Tenemos tres tipos:
-
Sistemas basados en tarjetas (token-based): Un trabajo puede ser procesado en
una estación dependiendo de la existencia de una tarjeta que así se lo permita.
-
Sistemas basados en el tiempo (time-based): El procesado de un trabajo en una
estación se realiza de manera constante a cada cierto intervalo de tiempo.
-
Sistemas basados en excedentes (surplus-based): El procesado de un trabajo en
una estación dependerá de la diferencia entre la cantidad de trabajo demandada y
la cantidad de trabajo producida.
Los sistemas Conwip y Kanban son sistemas del tipo pull y basados en tarjetas. Estos
dos sistemas son instrumentos para llevar a cabo la filosofía Justo a Tiempo (Just in
Time) a nivel operativo. Es muy común confundir los términos “Just in Time” y
Kanban, sin embargo son conceptos distintos. Ambos aparecieron en la industria
japonesa dentro de una misma manera de entender la empresa y su aplicación suele
hacerse de forma conjunta. La idea central de esta filosofía radica en la eliminación de
todo tipo de gasto. Dentro de los distintos tipos de gasto que nos podemos encontrar en
una empresa, el principal es la existencia de inventarios, es decir, materiales situados en
almacenes o esperando ante las máquinas su procesamiento, ocupando espacio, tiempo
y dinero. La filosofía Justo a Tiempo propone para su eliminación que todas las
operaciones y materiales se realicen y se reciban justo en el momento preciso, ni antes
ni después. Esto, junto al carácter estocástico de los sistemas de producción hace que
llevarla a cabo sea una tarea compleja.
Los inventarios también se utilizan como una prueba de la existencia de otros
problemas, amortiguándolos. Para explicar esto se suele emplear el símil del cauce de
un río, donde el nivel de inventario es análogo al nivel de las aguas y los problemas a
las piedras que están en el fondo. Si el nivel de las aguas sube, es decir, aumenta el nivel
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de inventario, la circulación de los barcos no ofrece problema alguno, sin embargo, si el
nivel disminuye, las piedras aflorarán a la superficie y los barcos tendrán dificultades
para su navegación. En el sistema de producción aflorarán los problemas (de calidad,
de transporte, de mantenimiento de máquinas, etc), teniendo así la oportunidad de
afrontarlos y eliminarlos. (Díaz, 1993).
La filosofía Justo a tiempo persigue (Domínguez, 1994) obtener diversas metas como
son:
•
Cero defectos: Si la calidad es perfecta, se eliminaran los costes asociados a la
mala calidad.
•
Cero averías: Se eliminarían todos los retrasos debidos a los fallos de equipos
durante las horas de trabajo.
•
Cero inventarios: Eliminaría el gasto más importante en la actividad productiva
y además evitaríamos estar disimulando otros problemas que están afectando a
la línea de producción.
•
Cero plazo de entrega al cliente: Aumentaría la competitividad en el mercado,
además de disminuir los niveles de inventario y proporcionar mayor flexibilidad
a la línea para adaptarse a la variabilidad de la demanda.
•
Cero papel: Simplificaría las tareas administrativas de la empresa y eliminaría
gran parte de la burocracia interna.
Pero por otro lado, la filosofía Justo a Tiempo también tiene una serie de
inconvenientes, a saber (Chase et al, 2002):
•
Se limita a la fabricación repetitiva.
•
Requiere un nivel de producción estable.
•
Los productos deben ser similares con un número limitado de opciones.
•
Requiere trabajo en proceso, ya que el trabajo procesado debe ser almacenado en
los almacenes intermedios de salida de cada estación para que la siguiente
estación lo retire.
•
Los proveedores deben afincarse cerca, ya que las entregas deben de ser
frecuentes y pequeñas.
•
Es un procedimiento de prueba y error aplicado a un sistema real.
Desde su aparición en el año 1953, el sistema Kanban ha sido tradicionalmente el
sistema pull basado en tarjetas más conocido y utilizado, siendo un instrumento de
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aplicación de la filosofía Justo a Tiempo. Ha sido estudiado por multitud de
investigadores y su aplicabilidad e implantación industrial ha sido muy discutida. A
raíz de él han surgido otros sistemas basados en los mismos principios, y filosofía,
como el sistema Stock Base (Bonvik et al, 1997) o el sistema Conwip (Spearman et al,
1990), que se describe en la sección 2.2.
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2.2 DESCRIPCIÓN SISTEMA CONWIP
En esta sección nos centramos en describir el funcionamiento de un sistema de control
de la producción del tipo Conwip, ya que el sistema objeto de estudio se basa en este.
El sistema de la producción Conwip fue introducido por Spearman et al, 1990 como un
intento de presentar un sistema “pull” más flexible que el sistema pull por excelencia
hasta aquel entonces, el sistema Kanban. (Framiñán et al, 2003). Con el término
Conwip se hace referencia a cualquier sistema que trata de mantener constante la
máxima cantidad de inventario en proceso (WIP, Work In Process). Normalmente ésto
se hace usando un número limitado de tarjetas, en igual número que el nivel máximo de
WIP deseado. Las tarjetas son asociadas a un trabajo al comienzo de la línea de
producción y cuando éste llega a final de la línea de producción, la tarjeta es liberada y
se envía de vuelta al comienzo de la línea donde será asociada a otro trabajo. Este
mecanismo se puede observar en la figura 2.3:
Figura 2.3. Mecanismo de funcionamiento de un sistema Conwip.
Cuando el número de trabajos en proceso es igual al número de tarjetas del sistema,
ningún trabajo se podrá incorporar al sistema, por lo que el WIP en ese momento será el
máximo que pueda aceptar el sistema. Es obvio que ningún trabajo podrá entrar al
sistema sin su correspondiente tarjeta.
Existen dos tipos de entornos en donde el sistema Conwip puede operar: el entorno
contra pedido y el entorno contra stock. En un entorno contra pedido la tarjeta vuelve al
comienzo de la línea en el momento en el que el trabajo es procesado en la última
estación de trabajo. Ver figura 2.4. En esta figura los almacenes intermedios se suponen
incluidos en cada estación, con objeto de obtener una representación más clara.
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Figura 2.4. Flujo de trabajo e información en un entorno contra Pedido
En un entorno contra stock, una vez procesada una pieza en la última estación de la
línea, pasa al almacén de productos terminados (Finished Goods Inventory, FGI) junto a
su tarjeta siendo esta liberada y enviada de vuelta cuando la pieza es entregada al
cliente. Ver figura 2.5. Al igual que en la figura 2.4 los almacenes intermedios se han
suprimido por claridad en la representación.
FGI
Flujo de trabajo
Estación
Flujo de información
Almacen
Figura 2.5. Flujos de trabajo e información en un entorno contra Stock
Los sistemas pull de control de la producción, tales como el Kanban o el Conwip, son
considerados superiores a los sistemas push, tales como MRP y MRPII, en aquellos
escenarios de producción donde ambos pueden ser empleados.(Spearman et al, 1990,
Roderick et al, 1992). Esta superioridad se pone de manifiesto principalmente en tres
aspectos: en el entorno, las colas y en el control.
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Hay entornos en donde un sistema Kanban no puede ser empleado, como son aquellos
en donde se tienen ordenes de trabajo con tiempos de producción cortos, o aquellos
donde se tienen tiempos de set-up significativos, scrap loss o grandes e imprevisibles
fluctuaciones de la demanda. Estudios de simulación realizados por Krejewski et al,
1987, ponen de manifiesto que el tipo de entorno es la causa principal de la superioridad
de los sistemas pull sobre los push, dada la facilidad que los pull tienen para mejorarlo.
Los efectos de las colas fueron estudiados por Spearman y Zazanis, 1988, quienes
probaron que el WIP total y el flow time medio eran menores en un sistema pull que en
un sistema push. También hay evidencia de que la varianza del flow time será menor en
los sistemas pull que en un sistema push equivalente. Reducidas varianzas y tiempos
medios del flow time implican unos WIP y FGI reducidos para un lead time dado (Hopp
et al, 1988).
El control del los sistemas pull es otra de sus ventajas sobre los sistemas push. Los
primeros son inherentemente más fáciles de controlar que los segundos, debiéndose esto
a dos razones. La primera es que el WIP es directamente observable en los pull y la
segunda es que los errores cometidos en el ajuste de los niveles de WIP afectarán a las
prestaciones de los sistemas pull en menor medida que los errores cometidos estimando
la capacidad afectarán a las prestaciones de un sistema push (Spearman y Zazanis,
1988).
Las ventajas del sistema Conwip respecto al sistema MRP han sido extensamente
descritas (Herer y Masin, 1997, Hopp y Spearman, 1996) siendo las más importantes:
o Observabilidad: WIP es directamente observable y mantener cierto nivel
de inventario es más simple que establecer una tasa de salida del
sistema.
o Eficiencia: requiere menos WIP para obtener la misma tasa de salida.
o Variabilidad: los sistemas MRP tienen una mayor variabilidad a lo largo
del tiempo.
o Robustez: Conwip es menos sensible a variaciones del nivel de
inventario (WIP) que un sistema push bajo el mismo tipo de error.
Las ventajas del sistema Conwip respecto al Kanban son (Spearman et al, 1990):
o Mayor simplicidad en el número de parámetros, dado que Conwip
requiere solamente un contador de tarjetas, relajando las condiciones de
trabajo del sistema Kanban.
o Mayor robustez respecto a la variación del tiempo de proceso.
o Mayor aplicabilidad a diferentes entornos productivos.
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2.3 AJUSTE DINÁMICO DEL NÚMERO DE TARJETAS. EL
SISTEMA CONWIP ADAPTATIVO
Los sistemas pull son más satisfactorios operando en entornos con demanda y tiempos
de ciclo (lead times) estables (Hall, 1983). Sin embargo muchos fabricantes se enfrentan
a entornos donde los proveedores y la demanda cambian constantemente, de manera
que la determinación de los parámetros de funcionamiento del sistema no resulta una
tarea fácil.
Algunos autores proponen como alternativa al establecimiento estático del número de
tarjetas un control dinámico sobre el mismo, que se ajuste tanto a los factores internos
del propio sistema productivo (por ejemplo averías) como a los factores externos al
sistema como por ejemplo las variaciones en la demanda. Según el tipo de entorno, las
más importantes aportaciones han venido dadas por Hopp y Roof, 1998, ofreciendo un
sistema adaptativo operando en un entorno contra pedido, y Tardif y Maaseidvaag,
2001, proponiendo un sistema adaptativo que opera en un entorno contra stock.
-. Hopp y Roof desarrollaron el denominado Sistema STC (Statistical Throughput
Control), el cual fue concebido para ajustar de manera dinámica el número de tarjetas
en un sistema Conwip en entornos contra pedido. El método se basa en incrementar o
decrementar el número de tarjetas respecto a la variación del tiempo entre operaciones
para ajustar la tasa de salida a un determinado objetivo. Una vez que la tasa de salida
objetivo es establecida, el tiempo entre operaciones es monitorizado, estableciendo unos
límites de control estadísticos. Si el sistema está fuera de control estadístico, se
añadirán o retirarán tarjetas del sistema. El mecanismo consiste en establecer la tasa de
salida objetivo denominada λ , medida en trabajos por unidad de tiempo. Por otra parte
se monitoriza el tiempo entre operaciones finalizadas, considerando la media, µ , y la
desviación estándar σ . En este caso la tasa de salida viene determinada por la inversa
del tiempo entre las salidas de trabajos en la última estación.
Cuando la media del tiempo entre operaciones, µ , está por encima de la inversa de la
tasa de salida objetivo más de 3σ , el sistema se considerará fuera de los límites de
control, por lo que se incrementará el número de tarjetas en una unidad. Por el contrario,
puede suceder que la media del tiempo entre operaciones está por debajo de la inversa
de la tasa de salida objetivo más de 3σ , por lo que el sistema estará fuera de los límites
de control. En este caso se disminuirá el número de tarjetas en una unidad.
Hay que tener en cuenta que hay que realizar un periodo de calentamiento (warm-up)
del sistema para poder establecer la media y desviación estándar de la tasa de salida del
sistema. Este período de calentamiento se tendrá en cuenta siempre que haya una
variación en el número de tarjetas. Puede venir expresado en unidades de tiempo o
unidades producidas.
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Por otra parte hay que considerar que la tasa de salida objetivo sea adecuada a los
límites de capacidad del sistema.
De manera esquemática, el procedimiento es el siguiente:
Paso 0: Establecer el número inicial de tarjetas, m , y el periodo de calentamiento, n.
Paso 1: Establecer la tasa de producción objetivo, λ .
Paso 2: Poner a cero las estadísticas de la media del tiempo entre operaciones, µ , así
como la desviación estándar, σ , hasta que se ha superado el periodo de
calentamiento, n .
Paso 3: Después de completar cada trabajo, calcular la media de los tiempos entre
operaciones, µ y su desviación estándar, σ .
Paso 4:
Si
a) µ >
b) µ <
1
λ
1
λ
+ 3σ , incrementar el valor de m en una unidad.
− 3σ , disminuir el valor de m en una unidad.
Paso 5: Ir a paso 3.
-.Tardif
y Maaseidvaag desarrollaron un procedimiento para controlar el número de
tarjetas en sistemas Conwip bajo entornos contra stock. El método se basa en el
compromiso entre el inventario de productos terminados y la demanda acumulada en un
cierto instante, siendo el objetivo minimizar el WIP y los costes asociados a la demanda
acumulada. El sistema emplea cuatro parámetros (K, E, R, C). K es el número de
tarjetas inicial, E es el número de tarjetas extra, R es el umbral de liberación y C es el
umbral de captura. Una tarjeta extra será añadida cuando un cliente llegue y el nivel de
inventario esté por debajo del umbral de liberación R. Una tarjeta extra será extraída si
el nivel de inventario en el almacén de productos terminados está por encima del umbral
de captura C. El número de tarjetas se mantendrá en cualquier otro caso.
Los elementos del sistema propuesto por Tardif son una línea de fabricación
representada por MP, una cola P conteniendo las piezas terminadas, una cola D
conteniendo los pedidos no servidos y un casillero A en donde se encuentran las tarjetas
extra. Las variables dependientes del tiempo son N(t) representando el número total de
piezas en la cola P menos el número total de pedidos pendientes en la cola D en el
instante t y X(t) que es el número de tarjetas extra no usadas en el instante t. (Ver figura
2.6).
- 18 -
En cuanto llega la demanda de un cliente en el instante t, y antes de que la pieza sea
dada al cliente, si N(t)<=R y X(t)>0, una tarjeta extra es sacada del casillero A y
enviada a MP donde será adjuntada a una pieza para su procesado. A continuación una
pieza situada en la cola P libera su tarjeta y la pieza es entregada al cliente. Sin
embargo, si N(t) antes de que la pieza sea entregada es mayor que C, la tarjeta liberada
con la pieza no es enviada al MP si no que es recapturada y almacenada en A. Es
importante tener en cuenta que R debe ser estrictamente menor que C. En la figura 4 se
muestra un diagrama en el que se representa el proceso de captura y liberación de
tarjetas extra, así como el flujo de piezas y tarjetas. Las líneas a puntos representan el
movimiento de material mientras que las líneas continuas representan el movimiento de
información y de tarjetas. Las líneas verticales finas representan la sincronización entre
material e información.
Llegada de un Cliente
si
N (t) <= R
y
x(t) > 0
A
Sí, Capturar Tarjeta Extra
P
no
MP
Piezas al Cliente
D
si
N (t) > C
y
x(t) < E
no
Sí, Liberar Tarjeta Extra
Tarjeta Extra a MP
Figura 2.6. Diagrama de flujo del sistema de Tardif y Maaseidvaag
Tardif y Maaseidvaag en una primera etapa de su estudio compararon su sistema
adaptativo frente a un Conwip no adaptativo, ambos controlando la misma línea de
producción MP, la cual estaba formada por cuatro máquinas en tándem, cuyos tiempos
de proceso estaban distribuidos según una función exponencial de media 5, igual para
las cuatro máquinas. La demanda a su vez, estaba distribuida según una función de
Poisson de media 10 constante en el tiempo. El modelado de los sistemas lo realizaron
por medio de sendas cadenas de Markov y las funciones objetivo, Z(K) para el Conwip
y Z(K,E,R,C) para el sistema adaptativo, se definían como Z(K)=I(K)+WIP(K)+bB(K) y
Z(K,E,R,C)=I(K,E,R,C)+WIP(K,E, R,C)+bB(K,E,R,C), correspondiendo, en ambos
casos, el primer termino al inventario esperado, el segundo al inventario en proceso
- 19 -
esperado y el último a la lista de ordenes de pedido esperada, siendo b el coste por no
entregar una pieza a tiempo y hacer que el cliente espere, o dicho de otra manera, el
coste por demanda insatisfecha.
En primer lugar aplicaron al sistema Conwip un algoritmo desarrollado por
Liberopoulos y Dallery, 1995, para hallar el número óptimo de tarjetas, K, que
minimizaba la función de coste Z(K), obteniendo que el número óptimo de tarjetas era
de K=13, seguidamente y usando este mismo valor de K, calcularon el valor de la
función de coste del modelo adaptativo, Z(K,E,R,C), observando que los resultados
mejoraban al sistema Conwip con determinación estática de tarjetas y que el número
óptimo de tarjetas para el sistema Conwip no tenia por qué ser igual al número óptimo
de tarjetas del sistema adaptativo. A continuación, y usando una búsqueda exhaustiva,
probaron diversos valores que parecían razonables de los parámetros K, E, R, C,
llegando a valores inferiores de la función de costes. Detectaron que la mejora en los
resultados de la función objetivo era más sensible a los cambios en los parámetros R y C
que a los cambios en el número total de tarjetas. Esto les llevó a pensar que debería
haber una combinación óptima de estos valores K*, E*, R* y C*, empleando para su
búsqueda un algoritmo heurístico simple, basado en una estrategia secuencial de un
factor a la vez, consistente en buscar el menor valor de la función objetivo, haciendo
variar un parámetro y manteniendo al resto constantes. Llegaron a obtener una
combinación, K=12, E=12, R=3 y C=4, que mejoraba al Conwip tradicional en
aproximadamente un 4.90%, demostrando que el sistema adaptativo era más eficiente
que el sistema tradicional. Sin embargo, este algoritmo podía parar en un óptimo local y
no aseguraba llegar al óptimo del sistema, además de no estudiar de un modo
exhaustivo los parámetros, ya que no se hacían variar en su conjunto, no pudiendo
detectar posibles interacciones entre ellos ni la importancia de cada uno de ellos en el
sistema.
La principal razón que llevó a Tardif y Maaseidvaag a plantear su modelo adaptativo
fue la de sugerir un sistema que se adaptara a entornos variables. Por lo tanto, en una
segunda etapa, estudiaron el comportamiento de su modelo bajo este tipo de demanda,
comparando los resultados con la respuesta de un sistema Conwip tradicional sometido
a esa misma demanda. Para ello desarrollaron un modelo de cada tipo de sistema usando
esta vez la simulación de eventos discretos. La demanda se distribuía según una función
aleatoria de Poisson siguiendo un patrón cíclico formado por cinco periodos de 50
unidades de tiempo de duración cada uno, en los que las medias eran de 6, 8, 10, 12 y
14, respectivamente. El patrón se repetía cíclicamente durante el tiempo total de la
simulación que fue de un millón de unidades de tiempo. Se comparó el sistema
tradicional con K=13 y las diez mejores combinaciones del sistema adaptativo que
ofrecieron los mejores resultados en el caso de demanda constante, Ahora, con la
demanda variable se obtuvo una mejor combinación con K=11, E=1, R=3 y C=4, que
ofrecía una mejora del 8.87% sobre el sistema tradicional. Es particularmente
interesante observar que sólo se necesitaba una tarjeta extra.
Es decir, Tardif y Maaseidvaag proponen un sistema Conwip adaptativo, capaz de
dominar completamente al sistema Conwip tradicional trabajando bajo ciertas
condiciones de variabilidad del entorno. En su estudio emplearon sistemas equilibrados,
- 20 -
debido a su mayor facilidad para ser estudiados mediante cadenas de Markov. Por otra
parte se dejan las puertas abiertas a futuros estudios en los que se empleen sistemas
desequilibrados (distintos tiempos de proceso), sistemas con reprocesado de piezas o
sistema que contemplen averías en las máquinas.
-.Framiñán et al, 2003, desarrollaron un procedimiento, denominado PS, que se basa en
monitorear la salida del sistema para comprobar si está por debajo o por encima de un
objetivo propuesto. El sistema emplea un cierto número de tarjetas extra, como en el
modelo propuesto por Tardif y Maaseidvaag. El objetivo es alcanzar una tasa de salida o
nivel de servicio objetivo, en entornos contra pedido y contra stock respectivamente. La
tasa de salida se define como (Hopp y Spearman, 1996):
Tasa de Salida (%) =
trabajos
* CTcuellodebotella *100
periodo
(1)
donde CT es el tiempo del ciclo en el cuello de botella. Es una medida del grado de
utilización del cuello de botella.
El nivel de servicio se expresa como (Hopp y Spearman, 1996):
Nivel de Servicio (%) =
Trabajos servidos a tiempo
* 100
Número de trabajos acabados
(2)
Tanto la tasa de salida como el nivel de servicio pueden ser monitorizados de dos
formas diferentes:
•
Tiempo de monitoreado fijo: La respuesta del sistema (tasa de salida o nivel de
servicio) es grabada cada cierto periodo de tiempo dado. Este procedimiento
presenta los inconvenientes de, por un lado, introducir un nuevo parámetro al
sistema y por otro del ajuste del intervalo de tiempo, ya que este último depende
del tiempo de procesado de los trabajos y por lo tanto debería ser ajustado
específicamente para cada escenario en concreto.
•
Monitoreado basado en el número de piezas retiradas: En este procedimiento se
cuenta el número de piezas retiradas del sistema. Cuando el contador alcanza un
nivel predeterminado la respuesta del sistema se graba y el contador se pone a
cero. Este método es similar al usado en los sistemas STC y en el de Tardif y
Maaseidvaag. Ambos métodos usan un nivel de piezas retiradas igual a uno (por
ejemplo, la respuesta del sistema es grabada cada vez que una pieza es retirada
del sistema). La diferencia principal entre estos es que en el sistema STC se
aplica un tiempo de warm-up, que viene a valer del orden de 10 a 100 trabajos
retirados, dependiendo del tipo de experimento. El inconveniente del empleo
del empleo de tiempo de warm-up es que introduce un nuevo parámetro al
sistema.
- 21 -
Los autores proponen el uso de un nivel fijo igual a uno y no considerar periodo de
warm-up o calentamiento entre cambios.
El efecto del periodo transitorio en el sistema depende del correcto ajuste del intervalo
de tiempo anteriormente comentado o del nivel de piezas retiradas del sistema. Por una
parte, será interesante elegir un intervalo de tiempo o un nivel de piezas retiradas
pequeño para obtener una respuesta del sistema rápida para un nivel de servicio o una
tasa de respuesta dada. Por otra parte, hay que tener en cuenta que si la respuesta del
sistema fijada no es estable, pequeños intervalos de tiempo o bajos niveles de piezas
retiradas pueden desencadenar fluctuaciones en el sistema, siendo en esta caso mejor
seleccionar un periodo de tiempo o número de trabajos alto. Para evitar estos efectos los
autores del sistema PS decidieron limitar el número máximo de tarjetas extras, así el
número de tarjetas en el sistema en cualquier instante esta limitado por:
Limite inferior = {0; número inicial de tarjetas – número de tarjetas extra}
Limite superior = {número inicial de tarjetas + número de tarjetas extra}
Como ya se ha comentado anteriormente, el sistema PS se basa en monitorear la
respuesta del sistema y comprobar si esta se encuentra por debajo o por encima de un
objetivo de producción dado. Según nos encontremos en un entorno contra pedido o
contra stock, este objetivo se medirá por la tasa de salida o el nivel de servicio
respectivamente. En un entorno contra pedido la respuesta es grabada por el sistema
cada vez que un trabajo sale del sistema y en un entorno contra stock cada vez que un
cliente llega al sistema.
El proceso de añadir o sustraer tarjetas del sistema se da cada vez que la respuesta del
sistema es monitoreada, momento en el que contador de piezas que son retiradas del
sistema se pone a uno. Esto induce una rápida respuesta del sistema y se corre el riesgo
de que el comportamiento de este se vuelva inestable, impidiéndolo el echo de estar
limitado el número de tarjetas extras, como ya se ha comentado.
El sistema PS funciona según dos parámetros. Por un lado esta el parámetro K (0) que
corresponde con un número fijo de tarjetas que van a operar a lo largo de la línea de
producción. Por otro lado, se tiene el parámetro E que corresponde con el número de
tarjetas extras que se van a tener dispuesta en el casillero de tarjetas extra. El proceso de
añadir al sistema o sustraer de este, tarjetas extra va a ser el siguiente: si la tasa de salida
(o nivel de servicio) está por debajo de un objetivo predefinido y hay tarjetas extra
disponibles en el casillero, se añade una tarjeta extra al sistema. Si la salida (o nivel de
servicio) está por encima del objetivo predefinido, se retira una tarjeta extra del sistema
y se envía de nuevo al panel de control de tarjetas extra. En la figura 2.7 se muestra un
diagrama de flujo que explica el proceso. La notación empleada es la siguiente:
x(t ) , número de tarjetas extra no usadas en el instante t.
E , número inicial de tarjetas extra.
- 22 -
K (t ) , número de tarjetas que operan en el sistema en el instante t.
θ (t ) , salida (o nivel de servicio) del sistema en el instante t.
λ , tasa de salida objetivo (o nivel de servicio objetivo).
Una pieza es acabada (Entorno contra pedido)
Un cliente llega (Entorno contra stock)
θ (t) es monitoreada
si
θ (t) < λ
y
x(t) > 0
si
K(t) = K(t) +1
no
K(t) = K(t) -1
si
si
θ (t) > λ
y
x(t) < E
FIN
Figura 2.7. Diagrama de flujo del sistema PS.
Framiñán, González y Ruiz-Usano realizaron una serie de experimentos para comprobar
la validez del sistema PS trabajando en entornos contra pedido y contra stock. En el
primer caso lo compararon con un sistema STC operando en los mismos escenarios
propuestos por Hopp y Roof, 1998 y en el segundo con un sistema como el propuesto
por Tardif y Maaseidvagg, también operando en los mismos escenarios en los que estos
presentaron su modelo. En ambas series de experimentos, estos autores midieron la
respuesta transitoria y el estado estacionario que sigue a aquella. La respuesta transitoria
se utilizó como un indicador de la velocidad con la que cada sistema se adapta a los
cambios y el periodo estacionario como un indicador de la habilidad de cada sistema
para alcanzar el objetivo predeterminado.
Respecto al sistema STC el sistema PS mostró una respuesta más rápida ante los
cambios y alcanzaba una tasa de salida más cercana al objetivo. Respecto al sistema de
Tardif el sistema PS no mostró diferencias significativas ni en la respuesta transitoria ni
- 23 -
en la respuesta estacionaria. Este último resultado era en cierto punto previsible dado
que el sistema PS se basa en el mecanismo usado por Tardif y Maaseidvaag.
El sistema PS se hace especialmente interesante por las ventajas que presenta:
•
Es un sistema que puede operar bajo entornos contra pedido y contra stock, no
como el sistema STC que sólo puede operar en entorno contra pedido o como los
sistemas de Tardif y Maaseidvaag o Takahashi y Nakamura que sólo lo pueden
hacer en entornos contra stock.
•
Puede aplicarse a todo los sistemas de control de la producción del tipo pull, no
como, por ejemplo los sistemas STC y Tardif que sólo son aplicables a sistemas
Conwip, o como los sistemas propuestos por Rees et al, 1987, y Gupta y AlTurki, 1997, que sólo se pueden emplear en sistemas Kanban o el sistema de
Takahashi y Nakamura que esta diseñado para ser empleado en sistemas Kanban
y Base-Stock.
•
El número de parámetros necesarios es de sólo dos, K (0) y E por los cuatro que
son necesarios en el sistema de Tardif y Maaseidvaag.
•
No es necesario conocer a priori ciertos aspectos del escenario productivo, como
por ejemplo la demanda del próximo periodo, dato necesario en el sistema de
Gupta y Al-Turki, o el lead-time y la predicción de la demanda para el sistema
de Rees et al. En otros sistemas, como el de Takahashi y Nakamura los autores
asumen que estos aspectos han de obtenerse mediante simulación.
Sin embargo en los estudios del sistema propuesto (PS), no se ofreció ningún método
para la optimización de los parámetros K (0) y E, por lo que el objeto del presente
proyecto es estudiar en profundidad la determinación e importancia de los parámetros K
(0) y E. Emplearemos las técnicas del diseño y análisis de experimentos para conocer la
importancia de los parámetros y la metodología de superficies de repuesta, para la
optimización de los mismos.
Por otra parte se dejan las puertas abiertas a futuros estudios en los que se extienda el
estudio a otros tipos de sistemas pull de control de la producción. También será
interesante aplicar el sistema PS a sistemas desequilibrados (distintos tiempos de
proceso), sistemas con reprocesado de piezas, sistema que contemplen averías en las
máquinas y a entornos multiproducto.
- 24 -
CAPÍTULO 3:
SIMULACIÓN. MODELADO DEL SISTEMA.
- 25 -
3.1 INTRODUCCIÓN
El objetivo de este proyecto es hallar la combinación óptima de los parámetros que
gobiernan un sistema de producción Conwip adaptativo, según el modelo PS. La
utilización de la simulación mediante eventos discretos se hace imprescindible en este
caso, ya que al ser procesos estocásticos y, como se comentó en la sección 1.1, el
estudio mediante métodos analíticos/matemáticos sería poco viable o limitado a casos
extremadamente sencillos y de poca utilidad práctica.
En primer lugar se va a realizar una breve descripción de lo que es la simulación,
comentando sus características, ventajas e inconvenientes y otros aspectos relacionados
con ella. Posteriormente se comentan los aspectos principales de la simulación de
eventos discretos, herramienta que vamos a utilizar en la realización de los
experimentos.
En segundo lugar mostraremos el modelo de la línea de producción objeto de estudio y
presentaremos las hipótesis consideradas en él.
Finalmente, se determinarán los parámetros de simulación necesarios para la realización
de las simulaciones. Estos parámetros son el tiempo efectivo de simulación, el periodo
de calentamiento o warm-up y el número de réplicas.
- 26 -
3.2 SIMULACIÓN
Hoy en día la simulación es una herramienta fundamental en el proceso de toma de
decisiones. Aunque parezca lo contrario, la simulación es una técnica muy antigua.
Desde hace bastante tiempo ya se han construido objetos con los que experimentar
dinámicamente, con el objeto de comprender la realidad y toda su complejidad, sin
necesidad de interactuar con el sistema real. Más recientemente, con la aparición de los
ordenadores, la simulación digital cada vez está más implantada. La simulación digital
se define como una técnica que permite imitar en un ordenador el comportamiento de un
sistema físico o teórico según ciertas condiciones de operación. Para analizar, estudiar y
mejorar el comportamiento de un sistema, el primer paso a seguir es desarrollar un
modelo conceptual que describa las dinámicas de interés para después implantarlo en un
ordenador para poder analizar los resultados (Guash et al, 2002). En el campo de la
producción, la simulación se utiliza para determinar los niveles de inventario, los
procedimientos de mantenimiento, los programas de producción, la planificación de los
procesos, etc... (Chase et al, 2002).
Un sistema puede ser definido como una colección de objetos o entidades que
interactúan entre sí para alcanzar un cierto objetivo (Guash et al, 2002). El estado de un
sistema puede ser definido por un conjunto mínimo de variables. A estas variables se las
denominan variables de estado.
Los sistemas se pueden clasificar según su comportamiento a lo largo del tiempo en
(Guash et al, 2002):
Sistemas Continuos: Son aquellos en las que las variables de estado evolucionan
de un modo continuo a lo largo del tiempo.
Sistemas Discretos: Son aquellos en los que las propiedades de interés del
sistema cambian en un cierto instante o secuencia de instantes, que normalmente
obedecen a un patrón periódico.
Sistemas Orientados a Eventos Discretos: Son análogos a los anteriores, salvo
que ahora la secuencia de instantes obedece a un patrón aleatorio.
Sistemas Combinados: Son aquellos que combinan subsistemas continuos o
discretos respectivamente.
Como modelo del sistema se entiende a la descripción de las características internas y
mecanismos de interés del sistema. Al proceso de abstracción para obtener esta
descripción se conoce como modelado. Un modelo debe representar aquellas
características del sistema que son de nuestro interés y ser una representación abstracta
de la realidad lo suficientemente sencilla como para facilitar su mantenimiento,
adaptación y reutilización (Guash et al, 2002).
- 27 -
Para que un modelo pueda ser procesado por un ordenador es necesario el uso de
modelos simbólicos matemáticos, los cuales reproducen con estructuras matemáticas las
relaciones entre las propiedades físicas del sistema que se pretende modelar. Para
garantizar una representación eficiente del sistema real ha de tenerse en cuenta las
siguientes consideraciones:
Un modelo se desarrolla a partir de una serie de simplificaciones e hipótesis, por
lo tanto representa parcialmente la realidad.
Un modelo debe de construirse específicamente para una finalidad y debe de
formularse de modo que sea útil para tal fin.
Un modelo debe de recoger los aspectos esenciales del sistema real y al mismo
tiempo debe de ser una representación lo más simple posible.
La técnica de la simulación ofrece como principales ventajas (Chase et al, 2002):
Por lo general la simulación conduce a una mejor comprensión del sistema real.
La simulación permite una compresión del espacio temporal, convirtiendo en
segundos o minutos lo que en la realidad son años.
La simulación no interfiere con el sistema real, por lo que este puede seguir
funcionando sin interferencias de ningún tipo.
La simulación es mucho más general que los modelos matemáticos y puede
usarse cuando las condiciones no son las apropiadas para un análisis matemático
típico.
La simulación puede usarse como un juego para la experiencia de la
capacitación.
La simulación ofrece una representación más realista que un análisis
matemático.
La simulación puede usarse para el estudio de situaciones transitorias mientras
que esto no puede hacerse generalmente con el análisis matemático.
Comercialmente se ofrecen muchos modelos que cubren una gran variedad de
temas.
La simulación permite responder a preguntas del tipo ¿Qué ocurriría si...?
Y como principales inconvenientes:
El desarrollo de un modelo de simulación requiere mucho tiempo y esfuerzo y
esto no garantiza que produzca buenas respuestas.
- 28 -
La completa confiabilidad del modelo de simulación no se puede probar. La
simulación implica numerosas repeticiones de secuencias que se basan en
ocurrencias generadas de manera aleatoria y esto puede llevar a que un sistema
aparentemente estable se vuelva inestable ante una determinada combinación de
eventos, aunque esta sea improbable.
La construcción de un modelo de simulación puede llevar numerosas horas de
trabajo, así que el modelado de un sistema complejo puede resultar muy costoso.
La simulación se basa en ocurrencias aleatorias, por lo que puede ser menos
exacta que el análisis matemático de un sistema representado por un modelo
matemático.
La simulación de modelos complejos puede llegar a requerir una gran cantidad
de tiempo de computación.
La técnica de simulación carece de un enfoque estandarizado, por modelos
construidos por diferentes personas pueden variar considerablemente.
Para la simulación de la línea objeto del presente proyecto se parte de la identificación
de esta con un sistema dinámico de eventos discretos, cuyas características se describen
a continuación.
Un paradigma de simulación para sistemas dinámicos de eventos discretos asume que el
sistema simulado sólo cambia de estado en puntos discretos del periodo simulado, es
decir, que el modelo cambia de estado ante la ocurrencia de un evento. (Wainer, 2003).
Los modelos de eventos discretos son modelos dinámicos, estocásticos y discretos en
los que las variables de estado cambian en instantes no periódicos de tiempo,
correspondientes a la ocurrencia de un evento.
Un modelo de eventos discretos esta formado por los siguientes elementos (Guash et al,
2002):
•
Variables de estado: son el conjunto mínimo de variables que describen todos
los aspectos de interés del sistema. Cada conjunto de valores que toman estas
variables definen cada estado del sistema.
•
Eventos: Son acciones instantáneas que pueden cambiar el estado del modelo.
No consumen tiempo y se pueden clasificar en:
-
Eventos condicionados: son aquellos eventos que para que ocurran es
necesario que se den ciertas condiciones.
-
Eventos no condicionados: son aquellos que están planificados de
antemano y no necesitan de condición alguna para que ocurra.
- 29 -
•
Otra clasificación es:
-
Eventos endógenos o internos: son aquellos causados por condiciones en
el modelo.
-
Eventos exógenos o externos: son eventos externos al modelo.
•
Actividades: Son las tareas o acciones que tienen lugar entre dos eventos.
Generalmente, tienen duración temporal conocida, aunque esto no significa que
sea constante. En procesos estocásticos su duración, y por lo tanto su instante de
finalización se determina a partir de una distribución de probabilidad.
•
Entidades: Son los objetos que constituyen o se mueven a lo largo del sistemas.
Se pueden agrupar en dos grupos:
-
Recurso o entidades permanentes, que son los medios gracias a los cuales
se pueden ejecutar las actividades. Definen quien o qué ejecuta la
actividad, su número permanece constante a lo largo de la simulación y
suelen parametrizarse por características tales como capacidad, velocidad
o tiempo de ciclo.
-
Entidades temporales: Son los objetos que llegan, se procesan y salen del
sistema. Se crean y se destruyen a lo largo de la simulación.
•
Atributos: Son las características que caracterizan a las entidades según
propiedades de estas como puede ser el tamaño, precio, prioridad, etc. Los
atributos son imprescindibles para controlar el flujo de entidades en el sistema.
•
Colas: Son estructuras que quedan determinadas a partir de una colección de
entidades temporales, ordenadas de una forma lógica. Las entidades que están en
una cola sufren retardos de una duración indeterminada.
- 30 -
3.3 MODELO e HIPÓTESIS
La utilización de la simulación mediante eventos discretos se hace imprescindible en
este caso, ya que, al ser procesos estocásticos, el estudio mediante métodos analíticos o
matemáticos sería poco viable.
Las herramientas de programación que pueden utilizarse para llevar a cabo la
simulación en un ordenador se clasifican en dos grandes grupos:
-
Los lenguajes de programación de propósito general como pueden ser el Pascal,
Fortran, C ++, etc. La mayor ventaja que tienen es que son lenguajes conocidos
y la gran flexibilidad que ofrecen sus amplias librerías de instrucciones, que nos
permiten afrontar la programación de cualquier tipo de modelo por complejo que
este sea. Como principal inconveniente presentan la gran cantidad de tiempo
que lleva su codificación.
-
Los lenguajes de simulación como el GPSS, Simscript, Siman, Slamsystem, etc...
y los entornos de simulación como son el Arena, Witness o LeanSIM. Las
principales ventajas que presentan es su efectividad, bajo tiempo de
codificación, fáciles de programar e interfaces gráficos. Como inconvenientes
presentan el alto tiempo de aprendizaje que requieren y una flexibilidad limitada.
En el presente proyecto se ha decido realizar la simulación mediante el uso de un
programa escrito en lenguaje C. La simulación de la línea de producción objeto de
estudio utilizando otras herramientas más específicas se complicaba en exceso. Además,
el uso de un programa específicamente escrito para este fin, nos permite hacer
variaciones en los parámetros de la línea con gran facilidad.
El modelo ha sido proporcionado por el grupo de investigación “Organización
Industrial” de la Universidad de Sevilla. TEP-134. Este modelo esta programado en
lenguaje C y requiere los siguientes parámetros de configuración:
Número de estaciones de trabajo.
Entorno contra pedido, MTO o entorno contra stock, MTS (Ver sección 2.2).
Horizonte de simulación. Periodo de
simulación. (ver sección 4.4).
Tiempo de warm-up. Es el tiempo requerido para alcanzar el régimen
estacionario en la simulación. (ver sección 4.4).
Tipo de distribución de la demanda. Según el valor que se le asigne a este
parámetro la demanda puede ser determinista o estocástica, pudiendo en este
último caso elegir entre diferentes distribuciones estadísticas, entre las que se
encuentran la Normal, Poisson, Exponencial y Logaritmo Normal.
- 31 -
tiempo en el que transcurre cada
Tipo de distribución del tiempo de procesado. Se configura de forma análoga
a como se hace la demanda.
Número de réplicas, n. Es el número de veces que una determinada
configuración del modelo se va a repetir.
Nivel de significación, α, con el se calcula el grado de confianza 1- α de los
intervalos de confianza, IC.
Número de tarjetas, K (0). Es el número de tarjetas usadas en el modelo PS.
(Ver sección 2.3).
Número de tarjetas extra, E. Es el número de tarjetas extras empleadas en el
modelo PS. (Ver sección 2.3).
La salida del programa viene dada por:
•
WIP medio. Es el inventario en proceso ponderado de todas las n réplicas
realizadas en cada simulación.
•
Intervalo de confianza del WIP, IC (WIP). Es el intervalo de confianza en el
que se va ha encontrar el inventario en proceso, WIP, con un nivel de
significación α.
•
Desviación estándar del WIP, STD WIP. Es la desviación estándar
inventario en proceso correspondiente a las n réplicas.
•
Nivel de servicio medio. Es el nivel de servicio ponderado de las n réplicas
realizadas en cada simulación en el caso de trabajar en un entorno contra
stock (ver expresión 2 de la sección 2.3).
•
Intervalo de confianza del nivel de servicio medio, IC (servicio medio) Es el
intervalo de confianza en el que se va ha encontrar el nivel de servicio
medio, con un nivel de significación α, en el caso de trabajar en un entorno
contra stock
•
Desviación estándar del nivel de servicio medio, STD servicio medio. Es la
desviación estándar del nivel de servicio medio correspondiente a las n
réplicas, en el caso de trabajar en un entorno contra stock
•
Tasa de salida media. Es la tasa de salida ponderada de las n réplicas
realizadas en cada simulación en el caso de trabajar en un entorno contra
pedido (ver expresión 1 de la sección 2.3).
•
Intervalo de confianza de la tasa de salida media, IC (tasa media). Es el
intervalo de confianza en el que se va ha encontrar la tasa de salida media,
- 32 -
del
con un nivel de significación α, en el caso de trabajar en un entorno contra
pedido
•
Desviación estándar de la tasa de salida media, STD tasa media. Es la
desviación estándar de la tasa de salida media correspondiente a las n
réplicas, en el caso de trabajar en un entorno contra pedido.
La línea de producción va ha ser del tipo serie (flow-shop), compuesta por cuatro
estaciones en tándem, tal y como fue el modelo utilizado por Tardif en su estudio. Cada
estación estará compuesta por una máquina, donde se realizarán el procesado del
trabajo, y un almacén intermedio de salida (o Output Buffer), donde el trabajo que sale
de la máquina va ha permanecer hasta que pueda pasar a la siguiente estación. En la
siguiente figura se representa esta línea de producción:
Figura 3.1 Línea de producción objeto de estudio.
Los círculos representan a las máquinas y los triángulos a los almacenes intermedios.
Las materias primas entran al sistema directamente del almacén de materias primas o
desde otra sección anterior, mientras que los trabajos terminados se almacenarán hasta
su salida del sistema, en el almacén intermedio de salida de la última estación, llamado
FGI (Finished Goods Inventory).
En el presente estudio se han considerado las siguientes hipótesis:
•
En el sistema se procesa un único tipo de trabajo. (ver por ejemplo Tardif y
Maaseidvaag, 2001, Bonvik et al, 1997 ó Duri et al, 2000).
•
Hay disponibilidad infinita de trabajos al comienzo de la línea. (Tardif y
Maaseidvaag, 2001, Bonvik et al, 1997, Duri et al, 2000).
•
En cada máquina sólo se procesa un trabajo a la vez, es decir, capacidad unitaria.
(Tardif y Maaseidvaag, 2001, Bonvik et al, 1997, Duri et al, 2000).
- 33 -
•
Las máquinas operan asincrónicamente, es decir, un trabajo es procesado si esta
presente y la autorización ha sido recibida. (Bonvik et al, 1997).
•
Los tiempos de procesado en las máquinas son aleatorios y distribuidos según
una función exponencial de media conocida. (Tardif y Maaseidvaag, 2001, Duri
et al, 2000).
•
La línea es equilibrada, es decir, las máquinas que componen la línea operan
con los mismos tiempos de proceso. (Tardif y Maaseidvaag, 2001).
•
Las máquinas operan sin la posibilidad de averías.
•
No se tienen en cuenta los tiempos de set-up de las máquinas.
•
Los tiempos de inspección son nulos. (Duri et al, 2000).
•
No hay retraso en el transporte de las piezas entre las distintas estaciones que
componen la línea, es decir, el transporte se considera instantáneo. (Tardif y
Maaseidvaag, 2001, Bonvik et al, 1997, Duri et al, 2000).
•
Las tarjetas son transportadas a lo largo de la línea sin retrasos. (Tardif y
Maaseidvaag, 2001, Bonvik et al, 1997, Duri et al, 2000).
•
La demanda es aleatoria, distribuida por una Exponencial de media conocida.
•
Para la demanda se ha adoptado el criterio Lost Sales, es decir, la demanda no
satisfecha se da por perdida. (Bonvik et al, 1997). Por demanda satisfecha
entendemos el que un cliente llegue y recoja el trabajo del FGI (Finisshed Good
Inventory) y por demanda perdida a aquella que llega y no espera si en el FGI
no hay ningún trabajo disponible.
•
No se consideran trabajos de desecho que haya que retirar del sistema, es decir,
no se considera scrap.
•
Se considera que el sistema opera dentro de un entorno contra stock (Make to
Stock, MTS). (Tardif y Maaseidvaag, 2001, Bonvik et al, 1997, Duri et al,
2000).La variable que mide la capacidad de un sistema operando en un entorno
de este tipo es el Nivel de Servicio, cuya formula es la siguiente:
Nivel de Servicio (%) =
•
Trabajos servidos a tiempo
* 100
Número de trabajos acabados
No se tienen en cuenta ningún tipo de costes.
- 34 -
(3)
Los escenarios en donde se van a realizar los experimentos son similares a los
empleados en la línea de producción que propuso Tardif y con la que se comparó el
sistema PS (ver la sección 2.3), la cual estaba formada por cuatro máquinas iguales, con
tiempos de procesado distribuidos según una función exponencial de media 5. El tiempo
entre la llegada de cada cliente se distribuía según una función de Poisson de media 10.
El sistema objeto de estudio también está compuesto por cuatro máquinas iguales cuyos
tiempos de procesado van a venir definidos igualmente por una función de media 5. Sin
embargo, hemos creído que la demanda se representaría de una manera más real usando
una función exponencial. Para corroborar esto último, realizamos una pequeña serie de
pruebas piloto de los experimentos anteriores usando ambas distribuciones y en todas
obtuvimos valores muy altos del nivel de servicio para la distribución de Poisson, del
orden de un 40-45% superior al nivel de servicio obtenido con la función exponencial a
igualdad de condiciones.
A la hora de elegir la media de esta función exponencial hay que tener en cuenta que un
valor grande permitiría funcionar al sistema de una manera desahogada sin generar un
número significativo de clientes insatisfechos. Por el contrario, un tiempo de llegada
entre clientes medio muy pequeño llevaría a la saturación del sistema y sería muy difícil
satisfacer las necesidades de producción por bueno que fuese el sistema. Tras la
realización de una serie de pruebas piloto los valores más razonables se obtuvieron para
una función exponencial de media 8, por lo que este ha sido el valor tomado para el
resto de simulaciones.
- 35 -
3.4 DETERMINACIÓN DE LOS PARÁMETROS DE SIMULACIÓN
Al emplear un modelo de simulación de eventos discretos es necesario definir los
parámetros de simulación:
-
Horizonte de simulación
Warm-up o periodo de calentamiento
Número de réplicas
El primer paso a seguir es definir el escenario que se va a utilizar para calcular estos
parámetros. Al ser el nuestro, un problema de optimización, no conocemos a priori la
mejor configuración que define al sistema por lo que parece razonable partir de una
región de experimentación alrededor de la empleada por los autores de PS, en el
experimento en el que comparaban las prestaciones del sistema PS con las del sistema
propuesto por Tardif y Maaseidvaag. La configuración elegida fue K (0) = 2 y E = 8.
Estos autores partieron de un número de tarjetas bajo que les permitiera el estudio del
periodo transitorio. El parámetro E fue elegido tras la realización de una serie de
pruebas piloto y el nivel de servicio objetivo fue del 100% debido a que el sistema de
Tardif y Maaseidvaag esta diseñado para operar al máximo nivel de servicio.
Estos valores de K (0) y E se han tomado como los puntos centrales de sendos intervalos
de radio dos, dentro de los cuales se han elegido de forma totalmente aleatoria los
valores de K (0) y E, de una batería de cinco experimentos que se han utilizado en el
cálculo de los parámetros de simulación. Para ello se ha usado la función
ALEATORIO.ENTRE (inferior, superior) del programa Excel de Microsoft, donde el
límite inferior del intervalo ha sido de 1 y el superior de 4 para el parámetro K (0) y de 6
y 10 para el parámetro E. Los resultados obtenidos han sido los siguientes (Tabla 3.1):
Experimento 1
Experimento 2
Experimento 3
Experimento 4
Experimento 5
K
4
3
2
3
2
E
10
8
9
7
7
Tabla 3.1 Experimentos usados en el cálculo de los parámetros de simulación.
La simulación requiere para su desarrollo conocer el horizonte de simulación (T), el
tiempo de warm-up o calentamiento (W) y el número de réplicas (n). En el instante
inicial todas las colas y máquinas están vacías. Una vez la simulación comienza hay un
periodo transitorio en el que aquellas se van llenando, fluctuando el sistema hasta que se
llega a un periodo de funcionamiento estable. Al primer periodo se le denomina tiempo
de warm-up, o de calentamiento, y en él no se miden las estadísticas del sistema. A
continuación se entra en un periodo de funcionamiento estable, siendo este el tiempo
- 36 -
efectivo de simulación, a lo largo del que se miden todas las estadísticas y valores que
nos van a permitir determinar el funcionamiento del sistema. Tanto el warm-up como el
tiempo efectivo de simulación tienen que ser lo suficientemente largos. Si el warm-up es
corto, los valores obtenidos podrían corresponder a una situación concreta a corto plazo
y si el tiempo efectivo de simulación fuera a su vez corto, los valores obtenidos no
representarían al funcionamiento buscado a largo plazo. Tampoco interesa un valor
excesivamente largo para estos, ya que el tiempo total de experimentación sería muy
largo, consumiendo recursos computacionales inútilmente. El tiempo efectivo de
simulación, el warm-up y el número de réplicas se ha obtenido como se explica a
continuación.
- 37 -
3.4.1 TIEMPO EFECTIVO DE SIMULACIÓN
El tiempo efectivo de simulación es la diferencia entre el tiempo de simulación (T) y el
tiempo de warm-up (W). En esta primera serie de experimentos el tiempo de warm-up
se ha elegido de 30.000 unidades de tiempo, un valor lo suficientemente alto como para
asegurar que el sistema va a funcionar fuera del periodo transitorio. El valor inicial del
horizonte de simulación ha sido de 100.000 unidades tiempo, decreciendo a intervalos
de 5.000 unidades, siendo el último valor de 35.000 unidades de tiempo. Esto significa,
teniendo en cuenta que el tiempo de warm-up era de 30.000 unidades, que el tiempo
efectivo de simulación ha variado desde 70.000 unidades de tiempo hasta 5.000, en
intervalos de 5.000 unidades de tiempo, habiendo un total de catorce intervalos, por lo
que se han realizado catorce simulaciones de cada experimento. Cada una de las
simulaciones ha estado compuesta de cincuenta réplicas y se ha considerado un nivel de
significación del 99% en los cálculos estadísticos. Para cada conjunto de cincuenta
réplicas se ha obtenido el intervalo de confianza para el WIP y para el nivel de servicio,
representándose los resultados a continuación (gráficas 3.1 y 3.2):
0,500
0,450
IC (99) WIP
0,400
0,350
Exp-1
0,300
Exp-2
0,250
Exp-3
0,200
Exp-4
Exp-5
0,150
0,100
0,050
5000 15000 25000 35000 45000 55000 65000 75000
T-W
Gráfica 3.1. Intervalos de confianza para el inventario en proceso. Cálculo de T-W.
- 38 -
IC (99) Nivel Servicio
7,000
6,000
Exp-1
Exp-2
Exp-3
Exp-4
Exp-5
5,000
4,000
3,000
2,000
1,000
5000
15000 25000 35000 45000 55000 65000 75000
T-W
Gráfica 3.2. Intervalos de confianza para el nivel de servicio. Cálculo de T-W.
Se observa que conforme los tiempos efectivos de simulación van aumentando, los
intervalos de confianza van siendo menores. A partir de 35.000 unidades de tiempo el
valor de los intervalos de confianza se mantienen dentro de unos límites aceptables, por
lo que este va ser el valor tomado para el tiempo efectivo de simulación de aquí en
adelante.
- 39 -
3.4.2 WARM-UP
Para la siguiente batería de simulaciones el valor inicial del warm-up va ha ser de
30.000 unidades de tiempo, que junto con el valor del tiempo efectivo de simulación
elegido en el apartado anterior, hace un horizonte de simulación de 65.000 unidades de
tiempo. El valor del warm-up va ir disminuyendo de 1.000 unidades en 1.000 unidades
de tiempo hasta un valor final de 1.000. Esto hace un total de treinta simulaciones para
cada configuración del sistema, realizándose también cincuenta réplicas de cada
simulación. Los resultados obtenidos para los intervalos de confianza del WIP y el nivel
de servicio han sido (gráficas 3.3 y 3.4):
0,220
0,200
Exp1
IC (99) WIP
0,180
Exp2
0,160
Exp3
Exp4
0,140
Exp5
0,120
0,100
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
W
Gráfica 3.3. Intervalos de confianza para el inventario en proceso. Cálculo de W.
IC (99) Nivel Servicio
2,900
2,700
Exp1
2,500
Exp2
2,300
Exp3
2,100
Exp4
Exp5
1,900
1,700
1,500
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
W
Gráfica 3.4. Intervalos de confianza para el nivel de servicio. Cálculo de W.
- 40 -
En este caso no hay una disminución del tamaño de los intervalos de confianza tan clara
como en el apartado anterior, por lo que parece ser que el warm-up no influye en gran
medida en el funcionamiento de este tipo de sistemas. Sin embargo tomamos un warmup de 18.000 unidades de tiempo para tener una cierta garantía de evitar los efectos
transitorios.
- 41 -
3.4.3 NÚMERO DE RÉPLICAS
La última tanda de experimentos se destina a hallar el número de réplicas (n) que se van
a realizar de cada simulación. El tiempo efectivo de simulación y el tiempo de warm-up,
van a ser, como se ha comentado anteriormente, T-W= 35.000 y W=18.000 unidades de
tiempo. El valor de partida de n es de cincuentas réplicas, reduciéndose de cinco en
cinco, haciendo un total de diez simulaciones para cada una de las cinco
configuraciones del sistema. Los resultados obtenidos se recogen en las gráficas 3.5 y
3.6.
0,450
IC (99) WIP
0,400
0,350
Exp-1
0,300
Exp-2
Exp-3
0,250
Exp-4
Exp-5
0,200
0,150
0,100
5
15
25
35
45
Nº Réplicas (n)
IC (99) Nivel Servicio
Gráfica 3.5. Intervalos de confianza para el inventario en proceso. Cálculo de n.
7,000
6,500
6,000
5,500
5,000
4,500
4,000
3,500
3,000
2,500
2,000
Exp-1
Exp-2
Exp-3
Exp-4
Exp-5
5
15
25
35
45
Nº Réplicas (n)
Gráfica 3.6. Intervalos de confianza para el nivel de servicio. Cálculo de W.
- 42 -
Se aprecia como los intervalos de confianza tienden a disminuir conforme aumenta el
número de réplicas, aunque para menos de 30 réplicas se observa un empeoramiento
significativo del tamaño de estos. A partir de 30 réplicas se estabiliza la disminución del
tamaño de los intervalos, por lo que el valor elegido como número de réplicas para
todas las simulaciones va a ser este.
A modo de resumen tenemos que los tres parámetros que se van a utilizar en todas las
simulaciones van a ser T-W= 35.000 unidades de tiempo, W=18.000 unidades de
tiempo y n=30 réplicas.
En el anexo se recogen todos los valores obtenidos en todas las simulaciones y réplicas
realizadas en la obtención del tiempo efectivo de simulación, el warm-up y el número
de réplicas.
- 43 -
CAPÍTULO 4:
DISEÑO DE LOS EXPERIMENTOS Y
OPTIMIZACIÓN RSM
- 44 -
4.1 INTRODUCCIÓN
El diseño de experimentos es una potente herramienta que se usa ampliamente en el
mundo de la ingeniería, ya sea para mejorar o desarrollar un proceso de fabricación, ya
sea para el diseño y mejora de productos. Las aplicaciones en el primer caso pueden ser
por ejemplo:
Mejoras en el rendimiento del proceso
Reducción en el tiempo de desarrollo
Reducción de costos
Y en el segundo caso pueden ser:
Evaluación y comparación de diseños básicos
Evaluación de materiales alternativos
Selección de los parámetros del diseño para hacer robusto el producto
Determinación de los parámetros clave del diseño que afecta al
funcionamiento del mismo.
Un experimento se define como una prueba o serie de pruebas en las que se hacen
cambios deliberados en las variables de entrada de un proceso o sistema para observar e
identificar las razones de los cambios que pudieran observarse en la respuesta de salida
(Montgomery, 1991).
Un proceso o sistema puede representarse con el modelo de la figura 4.1:
- 45 -
Factores controlables
X1
Xp
Entradas
Proceso
Salida
Y
Z1 Z2
Zq
Factores no controlables
Figura 4.1 Modelo general de un proceso o sistema
donde el proceso puede ser una combinación de máquinas, personas, métodos u otros
recursos que transforman cierta entrada en una salida que tiene una o más respuestas
observables. Algunas variables del proceso x1, x2, ..., xp son controlables, mientras que
otras z1, z2, ..., zq no son controlables. A los distintos valores que toman los factores se
les denominan niveles. Supongamos un experimento de laboratorio en el que se
pretende obtener la mayor concentración de un compuesto C a partir de otros dos A y B.
La reacción química se realiza en un reactor en el que se puede fijar la temperatura pero
no la humedad. El proceso será la reacción química mediante la cual se obtiene el
producto C. Los compuestos A, B y la temperatura serán factores controlables y la
humedad será un factor no controlable. La salida o respuesta será el compuesto C. De
los compuestos A y B se tienen varias concentraciones, que serán los distintos niveles
que tomarán cada uno de ellos, de la misma forma que los diferentes valores que tome
la temperatura serán los niveles de esta. A las diferentes formas de llevar a cabo y
plantear este experimento se las denominan estrategias de experimentación.
Una estrategia sería la del enfoque de la mejor hipótesis, consistente en que el
experimentador selecciona una combinación de los factores que intervienen en el
experimento, probándolos y ver que pasa. Según sea la respuesta obtenida actúa. Esta
estrategia puede dar buenos resultados si el experimentador tiene gran experiencia en la
realización de ese tipo de experimentos y profundos conocimientos del sistema que está
estudiando. Sin embargo este enfoque presenta dos serias desventajas. La primera es
que el experimentador no obtenga los resultados deseados en la hipótesis inicial, por lo
que deberá hacer otra combinación. Esto se puede repetir por mucho tiempo sin llegar a
resultados satisfactorios, consumiendo recursos inútilmente. La segunda es que el
experimentador obtenga un resultado satisfactorio en la hipótesis inicial, dando esa
combinación por buena, suspendiendo las pruebas sin garantía de haber llegado a la
mejor combinación.
Otra estrategia es el enfoque secuencial de un factor a la vez. Este método consiste en
seleccionar una combinación de partida, para posteriormente ir variando sucesivamente
- 46 -
Concentración de C (gr/l)
un solo factor manteniendo el resto de los factores constantes. Una vez hallada la mejor
respuesta para ese factor, se fija su valor y hace variar al siguiente de los factores hasta
obtener otro máximo de la respuesta, repitiéndose el proceso hasta hallar el máximo
valor de la respuesta correspondiente al último de los factores, lo cual no garantizaría
que fuera el óptimo del sistema. Veamos la aplicación de esta estrategia al ejemplo del
experimento de laboratorio comentado anteriormente. Por motivos de claridad
supongamos que el experimentador decide no tener en cuenta la humedad debido a que
su influencia es muy pequeña en la respuesta y que la temperatura se mantiene constante
a lo largo de todo el experimento, por lo que no la tiene en cuenta. El punto inicial es
una concentración de A de 6 gramos por litro y una de B de 3 gr/l, obteniéndose una
concentración de C de 4 gr/l. Mantiene fijo el valor de la concentración de B
obteniéndose los siguientes valores, gráfica 4.1:
8
7
6
5
4
3
5
10
15
20
Concentración de A (gr/l)
Gráfica 4.1. Resultados de la estrategia de un factor a la vez para la concentración de C, manteniendo
fija la concentración de B.
Concentración de C (gr/l)
Podemos observar en la gráfica como para un valor de A de 12,5 gr/l tenemos una
máxima concentración de C de 7,2 gr/l, luego repetimos el proceso, variando la
concentración de B y manteniendo constante la de A en el valor de 12,5 gr/l. Se obtienen
los siguientes resultados, gráfica 4.2:
10
9
8
7
6
5
2
4
6
8
10
12
14
16
Concentración de B (gr/l)
Gráfica 4.2. Resultados de la estrategia de un factor a la vez para la concentración de C, manteniendo
fija la concentración de A.
- 47 -
Vemos que el máximo valor de C es de 8,1 gr/l y se ha obtenido para una concentración
de B de 13,5 gr/l. Esta estrategia nos ha llevado a un valor de concentración de C de 8.1
gr/l, para unas concentraciones de los factores A y B de 12,5 gr/l y 13,5 gr/l
respectivamente. Aparentemente el procedimiento esta bien organizado, conduce al
óptimo y los resultados son muy fáciles de analizar, sin embargo esta estrategia tiene
dos graves carencias. La primera es que no asegura que alcancemos al óptimo global,
sólo un óptimo aparente. Observemos la figura 4.2:
Conc e ntrac ión de B (gr/l)
15
9
12
9
4
5
8
6
6
6. 5
6
3
5
7
7. 2
6
9
12
15
18
20
Conc entrac ión de A (gr/l)
Figura 4.2. Curvas de nivel de la concentración de C, trayectorias de la estrategia de un factor a la vez y óptimo
global.
En ella se representa la concentración de C mediante curvas de nivel y las dos
trayectorias seguidas en las dos secuencias propuesta por la estrategia de un factor a la
vez. La secuencia seguida donde la concentración de B se ha mantenido constante se
representa por una línea roja, y la secuencia para la concentración de A constante e igual
a 12,5 gr/l, se representa por una línea azul. Se observa claramente que no hemos
alcanzado el óptimo global. Estas curvas de nivel representan puntos de la superficie de
respuesta con igual valor. Mas adelante profundizaremos en el estudio de la superficie
de respuesta y se verá con detalle un método que nos proporcionará el óptimo global de
una manera muy aproximada.
La segunda carencia de esta estrategia es que no tiene en cuenta posibles interacciones
entre factores. Hay interacción entre factores cuando uno de los factores no produce la
misma respuesta con niveles diferentes de otro factor. El uso de gráficas ayuda al
- 48 -
experimentador a detectar este fenómeno. Supongamos que en el departamento de I+D
de un fabricante de neumáticos están desarrollando un neumático y se quiere que sea
muy eficiente en situaciones de frenada. Entre los múltiples compuestos que se quieren
probar en su composición se tienen dos polímeros, el E y el F. Cada uno de estos
polímeros se puede usar en porcentajes de 2% y el 4%, por lo que tenemos dos niveles
de cada uno. Se realiza en un principio dos pruebas para cada factor, cada una de ellas
con un nivel, manteniendo la misma composición en el resto de compuestos que forman
el neumático. En estas pruebas se mide la distancia de frenado para una velocidad
constante V, obteniéndose los siguientes resultados, gráficas 4.3 y 4.4:
11
Distanci frenado (m)
Distancia frenado (m)
11
10
9
8
10
9
8
7
7
2%
2%
4%
4%
Polímero F
Polímero E
Gráfica 4.3. y 4.4. Distancia de frenado en función de los polímetros E y F.
Distancia frenado (m)
Ante estos resultados los experimentadores piensan que usando ambos polímeros en la
composición del neumático sus efectos se sumaran, reduciendo aun más la distancia de
frenado, por lo que deciden realizar cuatro pruebas más, usando las cuatro
combinaciones posibles entre los dos niveles de cada uno de los dos factores
obteniéndose gráfica 4.5:
12
11
Polímero F al 2%
10
9
Polímero F al 4%
8
7
2%
4%
Polímero E
Gráfica 4.5. Interacción entre los porcentajes de polímero E y F.
Se observa que las rectas se cruzan, indicando que hay interacción entre los factores,
obteniéndose una distancia de frenado de 7.5 metros para la combinación del polímero
E en su nivel E1 con el polímero F en su nivel F2. Por el contrario, si las rectas del
- 49 -
polímero F al 2 y al 4% hubieran sido paralelas, como se puede ver en la gráfica 4.6, no
hubiera habido interacción entre los dos factores, ya que la variación de la distancia de
frenado por el empleo del factor F no se vería afectada por el factor E.
Distancia frenado (m)
12
11
Polímero F al 2%
10
Polímero F al 4%
9
8
2%
4%
Polím ero E
Gráfica 4.6. Caso de no-interacción entre los porcentajes de polímero E y F.
La estrategia que tiene en cuenta la existencia de interacciones es la usada en el
experimento factorial, en la que los factores se hacen variar en conjunto, en lugar de uno
a la vez. Esta estrategia la veremos con más detalle en el siguiente apartado.
Para obtener conclusiones válidas y objetivas en el desarrollo de un experimento, han de
analizarse los datos obtenidos por medio de métodos estadísticos. Cualquier problema
experimental incluye dos aspectos esenciales: el diseño del experimento y el análisis
estadístico de los datos. Para ello han de cumplirse tres principios básicos como son la
realización de réplicas, la aleatorización y la formación de bloques (Montgomery,
1991).
La realización de réplicas consiste en repetir el experimento básico. Posee dos
propiedades. En primer lugar permite obtener una estimación del error experimental,
estimación que se convierte en una unidad de medición básica para determinar si las
diferencias observadas en los datos son en realidad estadísticamente diferentes. En
segundo lugar, si se usa la media muestral para estimar el efecto de un factor en el
experimento, se tendrá una estimación más precisa. Por ejemplo, si en el experimento
del fabricante de neumáticos, el experimentador solo realiza una réplica con el polímero
E, la diferencia observada podría ser resultado del error experimental, sin embargo si se
usa un número de réplicas n lo suficientemente grande y el error experimental es lo
suficientemente pequeño, y se observa que la media de las distancias de frenado para el
porcentaje del 2% es mayor que la media de las distancias para el porcentaje del 4%,
puede deducirse con cierta certeza que un neumático fabricado con el 4% de polímero E
produce mejores resultados que uno fabricado con un 2%.
- 50 -
Hay que distinguir entre réplicas y mediciones repetidas. Un ejemplo de mediciones
repetidas es medir cuatro veces con un calibre del diámetro de un tubo que se obtiene a
lo largo de un experimento de mecanizados. Las diferencias que se observan son
debidas a la variabilidad del aparato de medida.
La aleatorización es fundamental en el uso de los métodos estadísticos en el diseño
experimental. Se entiende como tal que tanto la asignación del material como el orden
en que se van a realizar las pruebas o ensayos se determinan al azar. Las observaciones
han de ser variables aleatorias independientes.
La formación de bloques es una técnica de diseño que se utiliza para mejorar la
precisión de las comparaciones que se hacen entre los factores de interés. Un bloque es
un conjunto de condiciones experimentales relativamente homogéneas. Supongamos en
el ejemplo de los neumáticos que el polímero E lo proporcionan dos proveedores
distintos. Debido a la variabilidad de un proveedor a otro, y a que no hay interés en este
efecto, el experimentador considera este como un factor perturbador. El polímero de
cada proveedor formaría un bloque, por lo que el experimentador dividiría las
observaciones en dos grupos que se ensayan en cada bloque.
- 51 -
4.2 DISEÑO FACTORIAL
Los diseños factoriales se usan en experimentos que incluyen varios factores cuando es
necesario estudiar el efecto conjunto de los factores sobre una respuesta. En general, los
diseños factoriales son los más eficientes para este tipo de experimentos. Las ventajas
que aportan son que permiten la estimación de los efectos de un factor con varios
niveles de los factores restantes, produciendo conclusiones que son válidas para un
determinado rango de condiciones experimentales.
El efecto de un factor se define como el cambio en la respuesta producido por un
cambio en el nivel de ese factor promediado para los niveles de los otros factores,
(Montgomery, 1991). En el ejemplo anterior del neumático teníamos dos factores, el
polímero E y el polímero F, variando ambos entre los niveles del 2% y el 4%. En la
figura 4.3 se representa este experimento, indicando en los vértices del cuadrado el
valor de la respuesta:
7.5
11
10
9
2%
4%
Polímero F
4%
2%
Polímero E
Figura 4.3. Experimento factorial de dos factores con dos niveles.
E y F eran los factores de interés primario, y a su efecto se le llama efecto principal. El
efecto principal de E puede calcularse como la diferencia promedio entre la respuesta
con el nivel bajo de F y la respuesta con el nivel alto de F, numéricamente esto es:
E=
(11 + 9) − (7.5 + 10) = 1.25
2
2
Lo que significa que cuando el factor E pasa de su nivel bajo al alto, la distancia de
frenado se incrementa en 1,25 metros. De manera similar se calcula el efecto principal
F, que es:
- 52 -
F=
(7.5 + 11) − (10 + 9) = −0.25
2
2
Se observa que la distancia de frenado disminuye en 0.25 metros al pasar del nivel bajo
de F al nivel alto. Esto significa que ambos factores interaccionan. El efecto de la
interacción se puede hallar calculando el efecto de E con el nivel bajo de F, E = (9-10) =
-1 y el efecto de E con el nivel alto de F, E = (11-7.5) = 3.5, siendo la magnitud del
efecto de la interacción EF el promedio de estas dos cantidades: EF = 3.5-(-1) = 4.5,
valor que indica que la interacción puede ser grande comparada con los efectos
principales.
Las observaciones de un experimento factorial se pueden describir por un modelo,
siendo las formas más habituales el modelo de regresión, el modelo de las medias y el
modelo de los efectos fijos, (Montgomery, 1991). Supongamos un experimento factorial
general de dos factores, A y B, con a y b niveles respectivamente y n réplicas. El modelo
de regresión vendría dado por:
y = β 0 + β1 x1 + β 2 x2 + β12 x1 x2 + ε
(4)
donde y es la repuesta, β1, β2 y β12 son parámetros cuyos valores han de determinarse, x1
es una variable que representa al factor A, x2 es una variable que representa al factor B y
ε es un termino del error aleatorio. Los parámetros de este modelo están relacionados
con las estimaciones de los efectos, así, los parámetros β1, β2 y β12 son la mitad del
valor del efecto A, B y de la interacción AB respectivamente. El parámetro β0 se estima
con el promedio de todas las respuestas.
Este modelo es especialmente útil cuando uno o más de los factores son cuantitativos, y
queremos usar el diseño de experimentos para la optimización de un proceso. Su
representación gráfica se llama superficie de respuesta, de cuya descripción y análisis
no centraremos más adelante, ya que va a ser la herramienta que vamos a utilizar para
optimizar el problema objeto de este proyecto.
El modelo de las medias se definiría como:
i = 1, 2,..., a
j = 1, 2,..., b
k =1, 2,..., n
yijk = µ ij + ε ijk
(5)
donde yijk es la observación ijk-ésima, µij es la media de los niveles i-ésimo y j-ésimo de
los factores A y B respectivamente, y εijk es un componente del error aleatorio que
incorpora todas las demás fuentes de variabilidad del experimento, incluyendo las
mediciones, variabilidad de factores no controlables, diferencias entre materiales de
prueba a los que se aplica el experimento, variabilidad con el tiempo, condiciones
ambientales, etc. Se considera que el error tiene media cero, de tal modo que E(yij) = µij.
- 53 -
El modelo de los efectos fijos sería:
i = 1, 2,..., a
j = 1, 2,..., b
k =1, 2,..., n
yi jk = µ + τ i + β j + (τβ )i j + ε ijk
(6)
donde µ es común a todos los factores y se llama media global, τi es el efecto del nivel
i-ésimo del factor A, βj es el efecto del nivel j-ésimo del factor B, (τβ)ij es el efecto de
la interacción entre A y B , y εijk es un componente del error relativo. Se supone que
los efectos de los tratamientos se definen como las desviaciones de la media global, por
a
b
lo que ∑τ = 0 y ∑ β = 0 , similarmente se tiene que los efectos de las
i =1
i
j =1
j
interacciones se definen de tal modo que
∑(τβ ) = ∑(τβ )
b
a
i =1
ij
j =1
ij
= 0 . Habrá abn
observaciones en total ya que tenemos n réplicas.
Estos dos últimos modelos son modelos estadísticos lineales ya que la variable de
respuesta yijk es una función lineal de los parámetros del modelo. El modelo de los
efectos es el más intuitivo ya que los efectos de los factores y de las interacciones (τi, βj
y (τβ)ij , respectivamente) representan las desviaciones de µ cuando se aplican los
factores. Por esto se encuentra con mayor frecuencia en la literatura. Es necesario que
los experimentos se realicen de forma totalmente aleatoria y suponer que los errores del
modelo son variables aleatorias que siguen una distribución normal e independiente con
media cero y varianza σ2, constante para todos los niveles de los factores. Esto implica
que las observaciones siguen una distribución normal de media (µ+τi+ βj+ (τβ)ij) y
varianza σ2. Los objetivos serán probar hipótesis apropiadas acerca de los efectos, tanto
de los principales como de sus posibles interacciones, de los distintos niveles de cada
factor y estimarlos. Por ejemplo, la posible igualdad de los efectos de los a distintos
niveles del factor A se probaría con la hipótesis:
H 0 :τ1 = τ 2 = L = τ a = 0
H 1 : al menos una τ i ≠ 0
A Ho se le denomina hipótesis nula y a H1 hipótesis alternativa.
La posible igualdad de los efectos de los b distintos niveles de B con:
H 0 : β1 = β 2 = L = β b = 0
H 1 : al menos una β j ≠ 0
Y la determinación de si los factores interactúan entre si se probaría por:
- 54 -
H 0 : (τβ )ij = 0
H 1 : al menos una (τβ )ij ≠ 0
Estas hipótesis se demuestran mediante el análisis de varianza de los factores, con el
que se analiza la variabilidad total, estudiando la variabilidad de cada uno de los
componentes del experimento. La variabilidad global de los datos se mide con la suma
de cuadrados total corregida, SST. Intuitivamente, su uso se explica por que una medida
estándar de la variabilidad es la varianza muestral, y si se divide SST por los grados de
libertad (abn-1) se obtiene la varianza muestral de las respuestas obtenidas en el
experimento. Tengamos, (Montgomery, 1991):
b
n
yi .. = ∑∑ yijk
yi .. =
j =1 k =1
a
n
y. j . = ∑∑ yijk
y. j . =
i =1 k =1
n
yij . = ∑ yi jk
yij . =
b
n
y... = ∑∑∑ yijk
i =1 j =1 k =1
a
b
n
a
b
n
bn
yij .
an
yij .
n
y
y... = ...
abn
k =1
a
yi ..
i = 1, 2,..., a
(7)
j = 1, 2,..., b
(8)
i = 1, 2,..., a
j = 1, 2,..., b
(9)
(10)
[
]
SS T = ∑ ∑ ∑ ( yijk − y ... ) = ∑ ∑ ∑ ( yi .. − y ... ) + ( y . j . − y ... ) + ( yij . − yi .. − y . j . + y ... ) + ( yijk − yij . ) =
2
i =1 j =1 k =1
a
(
)
i =1 j =1 k =1
b
(
)
2
a
b
(
)
a
b
n
(
bn∑ yi.. − y ... + an∑ y . j . − y ... + n∑ ∑ yij . − yi .. − y . j . + y ... + ∑ ∑ ∑ yijk − yij .
i =1
2
j =1
2
i =1 j =1
2
i =1 j =1 =1
)
2
(11)
Simbólicamente se puede escribir, (Montgomery, 1991):
SST = SS A + SS B + SS AB + SS E
(12)
donde a SSA se le llama la suma de cuadrados debida al factor A, a SSB se le llama la
suma de cuadrados debida al factor B, a SSAB la suma de cuadrados debida a la
interacción entre los factores A y B, y a SSE la suma de cuadrados debida al error.
El número de grados de libertad asociados a cada suma de cuadrados es el siguiente:
- 55 -
Efecto
A
B
Interacción AB
Error
Total
Grados de libertad
a-1
b-1
(a-1)(b-1)
ab(n-1)
abn-1
La asignación de los grados de libertad puede justificarse por que los efectos
principales, A y B, tienen a y b niveles respectivamente, y por lo tanto (a-1) y (b-1)
grados de libertad. Los grados de libertad de la interacción son los ab-1 grados de
libertad de todos los niveles menos el número de grados de libertad de los dos factores
principales A y B con lo que tenemos, ab-1-(a-1)-(b-1)= (a-1)(b-1). Para cada uno de los
ab niveles tenemos n réplicas con (n-1) grados de libertad, con lo que habrá ab(n-1)
grados de libertad para el error. Si sumamos los grados de libertad de los efectos
principales, la interacción y el error, tendremos los grados de libertad totales, estando en
consonancia con lo indicado en la ecuación simbólica de SST.
Cada suma de cuadrados dividida por sus grados de libertad es un cuadrado medio y sus
valores esperados son:
a
bn∑τ i2
⎛ SS ⎞
E ( MS A ) = E ⎜ A ⎟ = σ 2 + i =1
a −1
⎝ a − 1⎠
b
(13)
an∑ β j
2
(14)
⎛ SS ⎞
j =1
E (MS B ) = E ⎜ B ⎟ = σ 2 +
b −1
⎝ b − 1⎠
a
b
n∑∑ (τβ )ij
2
⎛
⎞
SS AB
⎟⎟ = σ 2 + i =1 j =1
E (MS AB ) = E ⎜⎜
(a − 1) (b − 1)
⎝ (a − 1) (b − 1) ⎠
⎛ SS E ⎞
E (MS E ) = E ⎜
⎟ =σ 2
⎝ ab(n − 1) ⎠
(15)
(16)
Si la hipótesis nula de los efectos del factor A, de los efectos del factor B y la
interacción AB fuera verdadera, tendríamos que los cuadrados medios MSA, MSB, MSAB
y MSE serian estimadores insesgados de la varianza σ2, sin embargo, si la hipótesis nula
fuera falsa, habría diferencias entre los cuadrados medios MSA, MSB, MSAB y MSE,
siendo MSA, MSB y MSAB mayores que el cuadrado medio del error MSE. Basta dividir el
cuadrado medio de los factores A, B y la interacción AB por el cuadrado medio del error
para probar la significación de los efectos principales y su interacción.
- 56 -
Suponiendo que el modelo de los factores fijos es adecuado y que los términos del error,
εijk, siguen una distribución normal e independiente con varianza σ2 constante, entonces
los cocientes anteriormente comentados, MSA/ MSE, MSB/ MSE y MSAB/ MSE se
distribuyen como una distribución F con a-1, b-1 y (a-1)(b-1) grados de libertad en el
numerador, respectivamente, y con ab(n-1) grados de libertad en el denominador,
siendo la región crítica la cola superior de la distribución F. Cada uno de estos cocientes
va ha ser el estadístico de prueba F0 para la hipótesis nula, H0, de que no hay diferencias
entre los efectos del factor correspondiente al cuadrado medio del numerador,
rechazándose H0 si para cada efecto se cumple lo siguiente, (Montgomery, 1991):
Efecto A
F0 > Fα ,a −1,ab ( n−1)
Efecto B
F0 > Fα ,b −1,ab ( n −1)
Efecto de la interacción AB
F0 > Fα ,( a −1)(b −1),ab ( n−1)
A modo de resumen, todos los pasos del análisis de varianza se muestran en la siguiente
tabla, (Montgomery, 1991):
Fuente de
variación
Suma de
cuadrados
Grados
de
libertad
Factor A
SS A
a-1
Factor B
SS B
b-1
Interacción
SS AB
(a-1)(b-1)
Error
SS E
ab(n-1)
Total
SST
abn-1
Cuadrado medio
F0
SS A
(a − 1)
SS B
MS B =
(B − 1)
MS A
MS E
MS B
F0 =
MS E
MS A =
MS AB =
SS AB
(a − 1) (b − 1)
MS E =
F0 =
F0 =
MS AB
MS E
Condición de rechazo
F0 > Fα ,a −1,ab ( n −1)
F0 > Fα ,b−1,ab ( n−1)
F0 > Fα ,( a −1)(b −1),ab ( n−1)
SS E
ab(n − 1)
Tabla 4.1. Tabla del análisis de varianza para el diseño factorial de dos factores, A y B, con a y b niveles,
respectivamente, n réplicas y descrito con el modelo de factores fijos.
Todos los conceptos vistos hasta ahora se han aplicado a un experimento factorial de
dos factores. Para el caso general con k factores no hay más que añadir los términos
correspondientes, siendo el planteamiento del problema análogo a lo visto hasta ahora.
- 57 -
En la realización del análisis de varianza se ha supuesto que el modelo describe de una
manera adecuada las observaciones y que los errores siguen una distribución normal e
independiente con media cero y varianza σ2, constante, aunque desconocida. Si estas
condiciones se cumplen, el análisis de varianza es una prueba exacta de las hipótesis de
igualdad de los efectos de los factores y de su interacción. Sin embargo, es común que
estos supuestos no se cumplan, por lo que para dar por bueno el análisis de varianza,
hay que verificar su cumplimiento. La herramienta que se utiliza para ello es el análisis
gráfico de los residuales. Los residuales del modelo factorial de dos factores son,
(Montgomery, 1991):
ei jk = yijk − yˆ ijk
(17)
donde ŷijk es una estimación de la observación yijk correspondiente y, puesto que el
valor yˆ i jk = yi jk los residuales quedan como, (Montgomery, 1991):
eijk = yijk − yij .
(18)
En el análisis gráfico de los residuales se suelen emplear tres pruebas, como son la
comprobación de normalidad, la representación de los residuales frente al tiempo y la
representación de los residuales contra los valores ajustados.
La comprobación de normalidad se realiza mediante una gráfica de probabilidad normal
para los residuales, donde estos deben aparecer como una muestra de una distribución
normal independiente con centro en cero si se cumple el supuesto de que los errores se
distribuyen como una normal independiente de media cero y varianza σ2. Si la gráfica
tiene la apariencia de una recta, esto indicaría que se cumple el supuesto. Es frecuente
que un residual sea mucho más grande que cualquiera de los otros, llamándosele punto
atípico. Las causas de la aparición de un punto atípico pueden ser un error en los
cálculos, un error al copiarlo, etc. Para detectar si un punto es atípico se examinan los
residuales estandarizados, (Montgomery, 1991):
dij =
eij
MS E
(19)
Si los errores son una distribución normal independiente de media cero y varianza σ2,
NID (0, σ2), los residuales estandarizados deberán ser aproximadamente normales con
media cero y varianza uno, por lo que cerca del 68% de ellos deberán estar dentro de los
límites ±1, cerca del 95% dentro de ±2 y prácticamente todos dentro de ±3, así que si dij
es mayor de tres, estamos ante un punto atípico potencial.
La representación de los residuales frente al tiempo de realización de la prueba busca
detectar correlaciones entre los residuales. Si en esta representación se observa que los
residuales siguen un patrón indicaría que el supuesto de independencia no se cumpliría.
En la representación de los residuales contra los valores ajustados los supuestos se
- 58 -
satisfacen si los residuales no muestran ningún tipo de estructura. Ejemplos de estas
representaciones se muestran en los ejemplos de las secciones 4.3 y 4.4 de este mismo
capítulo.
- 59 -
4.3 DISEÑO FACTORIAL 2k
Los diseños factoriales más usados son aquellos que tienen k factores con dos niveles
cada uno, por lo que nos vamos a centrar en este caso. A estos experimentos se les llama
diseño factorial 2k y cada réplica completa del experimento estará formada 2x2x...x2=
2k observaciones. Este tipo de diseños se usan ampliamente en los experimentos de
selección de factores en las etapas iniciales del trabajo experimental, ya que nos
permiten determinar cuales de los factores implicados en el proceso son realmente
significativos en el desarrollo de este, pudiendo prescindir de los que no lo son. Los
factores pueden ser cualitativos, como pudieran ser máquinas, operadores, procesos, o
cuantitativos, como serian presiones, temperaturas, concentraciones, etc. A cada uno de
los dos niveles se les denominan “alto” y “bajo” o “+” y “-” respectivamente.
Supongamos un diseño factorial 23 genérico, formado por los factores A, B y C, del que
se tienen n réplicas. El modelo estadístico lo formaran 3 efectos principales, ⎛3⎞
⎜⎜
⎝2⎠
interacciones de dos factores y
⎛ 3⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ 3⎠
interacciones de tres factores. En orden estándar,
estas combinaciones se escriben como (1), a, b, ab, c, ac, bc y abc, notación que
significa que el factor representado por la letra minúscula se encuentra en su nivel alto y
los factores ausente se encuentran en su nivel bajo, así por ejemplo, la combinación ab
significa que los factores A y B se encuentran en su nivel alto y el factor C en el bajo.
Con estos símbolos también se representan los totales de las n réplicas para cada
combinación. Esto se ve claramente en la figura 4.4:
abc
bc
+ alto
Factor C
ac
b
ab
+ alto
- bajo
(1)
- bajo
- bajo
Factor A
+ alto
Figura 4.4. Representación del diseño genérico 23.
- 60 -
El experimento se representa por su matriz de diseño:
Ensayo
Combinación
de
tratamientos
1
2
3
4
5
6
7
8
(1)
a
b
ab
c
ac
bc
abc
Efecto factorial
I
+
+
+
+
+
+
+
+
A
+
+
+
+
B
+
+
+
+
AB
+
+
+
+
C
+
+
+
+
AC
+
+
+
+
BC
+
+
+
+
ABC
+
+
+
+
Tabla 4.2. Matriz del diseño genérico 23.
El primer paso en la construcción de la matriz de diseño es rellenar las columnas de los
efectos principales partiendo de un signo negativo cambiándolo por un signo positivo
cada 2p elementos, siendo p = 1 para el primer efecto principal, p = 2 para el segundo y
así hasta el k efecto principal. Una vez tengamos rellenas las k columnas de los efectos
principales, la construcción de las columnas de los efectos de las interacciones es
inmediata, bastando multiplicar las columnas de los efectos principales implicados en la
interacción. Así, la columna AC es el resultado de multiplicar las columnas de los
efectos principales A y C.
A partir de la matriz del diseño el cálculo de los efectos de los factores y sus
interacciones es inmediato. El efecto del factor A viene dado por, (Montgomery, 1991):
A=
1
[− (1) + a − b + ab − c + ac − bc + abc]
4n
(20)
Siendo n el número de réplicas y las letras en minúscula las cantidades totales de las n
réplicas para la combinación dada. La cantidad entre corchetes se obtiene multiplicando
la columna del factor A con la de las combinaciones de los tratamientos y representa al
contraste entre las cuatro combinaciones de los tratamientos de la cara derecha del cubo
de la figura 4.4. De manera similar se calculan los efectos de los factores B y C,
(Montgomery, 1991):
B=
1
[− (1) − a + b + ab − c − ac + bc + abc]
4n
(21)
C=
1
[− (1) − a − b − ab + c + ac + bc + ac]
4n
(22)
- 61 -
Las interacciones se calculan de forma análoga, teniendo entre corchetes los contrastes
de las combinaciones de los tratamientos, (Montgomery, 1991).
AB =
1
[(1) − a − b + ab + c − ac − bc + abc]
4n
(23)
AC =
1
[(1) − a + b − ab − c + ac − bc + abc]
4n
(24)
BC =
1
[(1) + a − b − ab − c − ac + bc + abc]
4n
(25)
ABC =
1
[− (1) + a + b − ab + c − ac − bc + abc]
4n
(26)
Las sumas de cuadrados necesarias para el análisis de varianza se van a calcular también
fácilmente, (Montgomery, 1991):
(Contraste)
2
SS =
8n
(27)
Todo lo presentado hasta ahora se puede ampliar sin problemas al diseño general 2k.
Bastará con construir la matriz de diseño para los k factores y a partir de ella calcular los
efectos principales, efectos de las interacciones y las sumas de cuadrados según las
formulas, (Montgomery, 1991):
AB L K =
2
(Contraste ABLK )
n2 k
(28)
SS A BLK =
1
2
(Contraste ABLK )
k
n2
(29)
El análisis estadístico de un diseño 2k consta de los pasos siguientes, (Montgomery,
1991):
1. Estimar los efectos de los factores
2. Formar el modelo inicial
3. Realizar las pruebas estadísticas
4. Refinar el modelo
5. Analizar los residuales
6. Interpretar los resultados
- 62 -
En el primer paso estimamos los efectos de los factores y sus interacciones, como ya se
ha comentado y a continuación se examinan sus signos y magnitudes, lo cual nos dará
una idea preliminar de cómo se desarrolla el experimento, indicándonos cuales pueden
ser importantes y en que dirección deberán ajustarse.
Normalmente, para formar el modelo inicial se elige el modelo completo con todos los
factores e interacciones. En el paso tercero se va a realizar el análisis de varianza para
probar formalmente la significación de los efectos principales y las interacciones. El
análisis de varianza para un diseño factorial 2k con n réplicas se muestra en la siguiente
tabla:
- 63 -
Fuente de
variación
Suma de
cuadrados
Grados de
libertad
Cuadrado medio
A
SSA
1
MSA = SSA
B
SSB
1
MSB=SSB
M
M
M
M
K
SSK
1
MSK=SSK
AB
SSAB
1
MSAB=SSAB
AC
SSAC
1
MSAC=SSAC
M
M
M
M
JK
SSJK
1
MSJK = SSJK
ABC
SSABC
1
MSABC = SSABC
ABD
SSABD
1
MSABD = SSABD
M
M
M
M
IJK
SSIJK
1
MSIJK = SSIJK
ABC…K
SSABC…K
1
MSABC…K=SSABC…K
Error
SSE
2k(n-1)
Total
SST
n2k-1
F0
Condición de
rechazo
k
efectos principales
MS A
MS E
MS B
F0 =
MS E
F0 =
F0 > F
α ,1, 2 k ( n −1 )
F0 > F
α ,1, 2 k ( n −1 )
M
M
MS K
MS E
F0 > F
MS AB
MS E
MS AC
F0 =
MS E
F0 > F
F0 =
α ,1, 2 k ( n −1 )
⎛k ⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ 2⎠
interacciones de dos
factores
F0 =
α ,1, 2 k ( n −1 )
F0 > F
α ,1, 2 k ( n −1 )
M
M
MS JK
F0 =
MS E
F0 > F
MS ABC
MS E
MS ABD
F0 =
MS E
F0 > F
α ,1, 2 k ( n −1 )
⎛k ⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ 3⎠
interacciones de
tres factores
F0 =
α ,1, 2 k ( n −1 )
F0 > F
α ,1, 2 k ( n −1 )
M
M
MS IJK
MS E
F0 > F
MS ABC ... K
MS E
F0 > F
F0 =
α ,1, 2 k ( n −1 )
⎛k ⎞
⎜⎜ k ⎟⎟
⎝ ⎠
interacciones de k
factores
MS E =
F0 =
SS E
n2 k − 1
Tabla 4.3. Tabla del análisis de varianza para el diseño factorial 2k con n réplicas.
- 64 -
α ,1, 2 k ( n −1 )
En el cuarto paso se refina el modelo eliminando los efectos no significativos del
modelo completo. La adecuación del modelo y la posible violación de los supuestos se
analizan en el quinto paso mediante el análisis de los residuales y por último, en el sexto
paso, se interpretan los resultados usando las gráficas de los efectos principales, las
gráficas de las interacciones o la superficie de respuesta y las gráficas de contornos.
Para ilustrar este proceso vamos a utilizar un sencillo ejemplo.
En un taller de modelismo necesitan realizar prototipos de piezas, para ello se tiene una
resina de poliuretano que se vierte en moldes de silicona. Esta resina necesita para su
fraguado mezclarse con un endurecedor. Desgraciadamente, no tienen documentación
fiable acerca del proceso de fraguado. Saben que este depende de la proporción de
endurecedor y de la temperatura a la que se produzca el proceso. Por otro lado están
interesados en colorar la resina con un determinado tinte y quisieran saber si la
presencia de este hace variar el tiempo de fraguado. Deciden diseñar un experimento
factorial 23, en el que el factor A va a ser la temperatura cuyo nivel bajo a ser de 25 ºC y
el alto de 45 ºC. El factor B va a ser la proporción de endurecedor, cuyo nivel bajo va a
ser del 20% y el alto de 30%, y el factor C va a ser el tinte, cuyo valor bajo va ser que
no esta presente en el proceso y el valor alto que si va a estar presente, en un proporción
fija del 10%. Una característica de este experimento es el hecho de que los factores A y
B son factores cuantitativos y el factor C es cualitativo. En la tabla 4.4 y en la figura 4.5
podemos ver gráficamente el experimento diseñado en este taller:
Factor A (Cº)
Factor B (%)
Factor C
Niveles de los factores
Nivel Bajo (-1)
25
20
No
Nivel Alto (1)
45
30
Sí
Tabla 4.4. Niveles de los factores implicados en el ejemplo de diseño factorial 23.
abc
bc
Factor C
ac
b
ab
30 %(+)
NO (-)
(1)
25 ºC (-) Factor A
20 %(-)
45 ºC (+)
Figura 4.5. Representación del ejemplo de diseño 23.
La matriz del diseño:
- 65 -
(1)
a
b
ab
c
ac
bc
abc
I
+
+
+
+
+
+
+
+
A
+
+
+
+
B
+
+
+
+
AB
+
+
+
+
C
+
+
+
+
AC
+
+
+
+
BC
+
+
+
+
ABC
+
+
+
+
Tabla 4.5. Matriz del diseño del ejemplo de diseño factorial 23.
Se deciden realizar dos réplicas, lo que hace un total de 16 observaciones que se
realizan de forma totalmente aleatoria. La variable de respuesta va a ser el tiempo de
fraguado de la resina bajo las distintas combinaciones de los factores. Este tiempo va a
venir dado en minutos. En la tabla 4.6 se muestran los resultados obtenidos en cada una
de las 16 observaciones. En esta tabla se muestran también las variables independientes
naturales y codificadas en –1 y 1, a las que corresponde cada respuesta. El proceso de
codificación de las variables cuantitativas es inmediato con el empleo de las formulas:
χ1 =
ξ 1 − 35
Variables
naturales
ξ1 ξ2 ξ3
25 20 no
45 20 no
25 30 no
45 30 no
25 20 si
45 20 si
25 30 si
45 30 si
10
y
Variables
codificadas
x1 x2 x3
-1 -1 -1
1
-1 -1
-1
1
-1
1
1
-1
-1 -1
1
1
-1
1
-1
1
1
1
1
1
χ2 =
ξ 2 − 25
5
Respuestas
Réplica 1
Réplica 2
1590
1217
1090
491
1704
1083
1004
513
1420
1207
790
470
1500
1193
1105
641
Tabla 4.6. Respuestas obtenidas en el ejemplo de diseño factorial 23.
Una vez el experimento esta diseñado se pasa a realizar los cálculos estadísticos. En
primer lugar de calculan los efectos de los factores y las interacciones, y a continuación
las suma de cuadrados.
- 66 -
A
B
C
AB
AC
BC
ABC
Error
Total
EFECTOS
-423,50
-601,25
58,50
-45,00
-47,25
47,00
38,25
SS
Contribución porcentual
717409,00
31,07
1446006,25
62,63
13689,00
0,59
8100,00
0,35
8930,25
0,39
8836,00
0,38
5852,25
0,25
99871,00
4,33
2308693,75
100,00
Tabla 4.7.Contribución porcentual de cada suma de cuadrados en el ejemplo de diseño factorial 23.
Observando las sumas de los cuadros se puede observar en un primer momento que los
efectos principales A y B dominan el proceso. También llama la atención su signo
negativo, que significa que aumentando tanto la temperatura como la proporción de
endurecedor, disminuirá el tiempo de fraguado. En la última columna de la tabla 4.7. se
expone la contribución porcentual de cada uno de los términos a la suma de cuadrados
total. Como se puede observar sólo los factores A y B representan el 93.70 % de la
variabilidad total, mientras que el factor C y las interacciones de los factores representan
apenas el 2 %. También parece lógico pensar que la temperatura va a influir más en la
disminución del tiempo de fraguado ya que su contribución es prácticamente el doble
que la de la proporción de endurecedor.
En el análisis de varianza que se muestra en la tabla 4.8. se puede confirmar esto. Para
que un efecto o sus interacciones sean significativas se debía de cumplir la condición
F0 > Fα ,1,8 . Se eligió un nivel de significación α = 0.05, que utilizando la función del
programa Excel DISTR.F.INV , da un valor de F0.05,1,8 = 5.32.
A
B
C
AB
AC
BC
ABC
Error
Total
EFECTOS
SS
-423,50 717409,00
-601,25 1446006,25
58,50
13689,00
-45,00
8100,00
-47,25
8930,25
47,00
8836,00
38,25
5852,25
99871,00
2308693,75
g.d.l
1
1
1
1
1
1
1
8
15
MSS
717409,00
1446006,25
13689,00
8100,00
8930,25
8836,00
5852,25
12483,875
Fo
57,47
115,83
1,10
0,65
0,72
0,71
0,47
Fo Tablas
5,32
5,32
5,32
5,32
5,32
5,32
5,32
Tabla 4.8. Análisis de varianza de los datos del ejemplo de diseño factorial 23.
- 67 -
Se observa que el proceso de fraguado va a depender de la temperatura y de la
proporción de endurecedor. La presencia de tinte no es un factor significativo, por lo
que se podrá colorear la resina con él, sin que esto afecte al tiempo de fraguado.
Tampoco hay interacciones significativas entre estos los factores, por lo que el
aumento de cualquiera de los factores A y B disminuirán el tiempo de fraguado de un
modo independiente, como se aprecia si se grafica la respuesta media en cada nivel:
1300,00
Respuesta Media
1200,00
1100,00
1000,00
900,00
800,00
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
Factor A
Gráfica 4.7. Factor A frente a la respuesta media en el ejemplo de diseño factorial 23.
1450,00
Respuesta Media
1350,00
1250,00
1150,00
1050,00
950,00
850,00
750,00
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
Factor B
Gráfica 4.8. Factor A frente a la respuesta media en el ejemplo de diseño factorial 23.
- 68 -
A tenor de estos resultados, en el taller realizaran el fraguado a una temperatura de 45
ºC, mezclarán el endurecedor en una proporción del 30 % y usarán el tinte según
necesiten que la pieza resultante esté coloreada o no.
El modelo de regresión que va describir al experimento va ser:
Ŷ = βˆ 0 + βˆ1 x1 + βˆ 2 x 2 =1663.63-211.75 x1-300.62 x2
Donde el coeficiente de regresión β̂ 0 se estima con el promedio de todas las respuestas,
y los coeficientes β̂ 1 , β̂ 2 con la mitad del valor de los efectos A y B respectivamente.
Los regresores x1 y x2 son las variables codificadas de los distintos niveles de los
factores A y B respectivamente.
El siguiente paso pretende verificar la adecuación del modelo para lo que se va a
emplear el análisis gráfico de los residuales para lo que se va a emplear tres gráficas. La
primera de ellas va a representar la probabilidad normal de los residuales, en la segunda
los residuales frente a las respuestas predichas por el modelo anterior y en la tercera los
residuales frente al orden en el que se han realizado las observaciones. Para la
realización de estas tres gráficas hay que calcular previamente los valores de los
residuales. A continuación se muestras estos valores y las tres gráficas:
Respuestas Predicción Residuales
1590,00
1576,00
14,00
1420,00
1576,00 -156,00
1217,00
1152,50
64,50
1207,00
1152,50
54,50
1090,00
974,75
115,25
790,00
974,75
-184,75
491,00
551,25
-60,25
470,00
551,25
-81,25
1704,00
1576,00
128,00
1500,00
1576,00
-76,00
1083,00
1152,50
-69,50
1193,00
1152,50
40,50
1004,00
974,75
29,25
1105,00
974,75
130,25
513,00
551,25
-38,25
641,00
551,25
89,75
Tabla 4.9. Residuales del ejemplo de diseño factorial 23.
- 69 -
% de probabilidad normal
En la gráfica 4.9 se representa la probabilidad normal de los residuales. Los puntos
graficados tienen la apariencia de una recta, salvo el punto que se encuentra más hacia
la derecha. En general no se aprecia una desviación marcada de la distribución normal,
por lo que la damos por correcta.
99
95
90
70
50
30
20
10
1
-184.75
-106
-27.25
51.5
130.25
Residuales
Gráfica 4.9. Gráfica de probabilidad normal residuales en el ejemplo de diseño 23.
En la gráfica 4.10. se han representado los residuales frente a los valores del tiempo de
fraguado estimados por el modelo de regresión. En la que no se observa ningún patrón
que haga sospechar la inadecuación del modelo:
- 70 -
200,00
150,00
Residuales
100,00
50,00
0,00
0,00
-50,00
500,00
1000,00
1500,00
2000,00
-100,00
-150,00
-200,00
Tiempo Fraguado predicho
Gráfica 4.10. Residuales frente a Ŷ en el ejemplo de diseño 23.
En la grafica de los residuales frente al orden de realización de la observación, tampoco
se aprecia ningún patrón que haga pensar que el modelo es inadecuado, como se pude
observar en la gráfica 4.11:
200,00
150,00
Residuales
100,00
50,00
0,00
-50,00
0
5
10
15
20
-100,00
-150,00
-200,00
Número de observación
Gráfica 4.11. Residuales frente al orden de observación en el ejemplo de diseño 23.
Si se representa la respuesta Ŷ dada por el modelo de regresión ajustado que se ha
hallado, frente a los regresores x1 y x2, obtendremos una superficie, denominada
- 71 -
superficie de respuesta. En el siguiente capítulo se estudia con detalle el significado de
esta y la metodología de la máxima pendiente que nos será muy útil cuando la
apliquemos a este ejemplo para hallar la temperatura y la proporción que minimizan el
tiempo de fraguado.
- 72 -
4.4 SUPERFICIE DE RESPUESTA. MÉTODO DE LA MÁXIMA
PENDIENTE
La metodología de la superficie de respuesta, o metodología RSM (Response Surface
Methodology, Cornell, 1990), es una colección de técnicas matemáticas y estadísticas
útiles en el modelado y en el análisis de problemas en los que una respuesta de interés
recibe la influencia de diversas variables y donde el objetivo es optimizar esta respuesta,
empleando para ello un número reducido de experimentos.
En la mayoría de los problemas RSM la relación entre la respuesta y las variables
independientes no se conoce. La respuesta y de un experimento depende de los niveles
de los factores y a la función y = f(x1, x2,...,xk) + ε que relaciona los niveles x1, x2,..., xk
de k factores, ξ1, ξ 2,.., ξ k, se la llama función de respuesta, donde ε representa el ruido
o error observado. Si la respuesta esperada se denota por E(y) = f(x1, x2,...,xk)=η, y se
representa f(x1, x2,...,xk)=η, obtenemos una superficie llamada superficie de respuesta,
(Montgomery, 1991, Cornell, 1990).
En general la superficie de respuesta se representa como en la figura 4.6, (ver
Montgomery, 1991 ó Cornell, 1990, por ejemplo), donde η se representa contra los
niveles x1, x2,..., xk (en este caso sólo ante x1 y x2 por claridad), aunque esta no es la
única forma de representarla. En numerosas ocasiones se representan los contornos de
la superficie, trazándose las líneas de respuesta constante en el plano x1 y x2, figura 4.7,
llamada gráfica de contornos, (Montgomery, 1991, Cornell, 1990).
C5
25
C4
20
15
C3 Factor B
Respuesta
10
C2
5
C5
C3
0
1
2
3
4
Factor B
C1
C1
1
5
Factor A
2
3
4
5
Factor A
Figura 4.6. Superficie de repuesta.
Figura 4.7. Gráfica de contorno.
En casi todos los problemas de optimización no se conoce la relación entre la respuesta
y las variables independientes que la determinan, por lo tanto tampoco se conoce la
forma de la superficie de respuesta. El objetivo de la metodología RSM es determinar
una función que se ajuste a la superficie de respuesta real de la manera más exacta
posible, con el fin de usarla para estimar el óptimo buscado o determinar una región del
espacio de los factores en la que se satisfagan determinadas condiciones de operación.
- 73 -
La función ajustada que se suele emplear es una ecuación polinomial que puede ser de
primer o segundo grado. Si la respuesta está bien modelada por una función lineal de las
variables independientes, la función aproximada será un polinomio de primer orden,
llamado modelo de superficie de respuesta de primer orden, (Montgomery, 1991)
(Cornell, 1990):
y = β 0 + β 1 x1 + β 2 x 2 + L + β k x k + ε
(30)
A los parámetros desconocidos β0, β1,…, βk se les denomina coeficientes de regresión y
a las variables independientes x1, x2,…xk, regresores. El termino ε representa el ruido o
error observado.
Si en la superficie de respuesta real hay curvatura, el modelo lineal no se puede ajustar a
ella con la suficiente exactitud, por lo que debe usarse en este caso un polinomio de
orden superior, llamado modelo de superficie de respuesta de segundo orden,
(Montgomery, 1991) (Cornell, 1990):
k
k
i =1
i =1
y = β 0 + ∑ β i xi + ∑ β ii x 2 i + ∑∑ β i j xi x j + ε
(31)
i< j i< j
Los βi son los coeficientes de regresión para los términos de primer orden, los βii son los
coeficientes para los términos cuadráticos puros, los βij son los coeficientes para los
términos cruzados y ε representa el ruido o error observado.
Los parámetros de estos modelos se estiman mediante el método de mínimos cuadrado.
En casi todos los problemas RSM se usan uno o ambos polinomios. La RSM es un
proceso secuencial que comienza aproximando la función de respuesta con el modelo de
primer orden, modelo que representa a un hiperplano de k dimensiones. Cuando
estamos en un punto lo suficientemente alejado del óptimo, el sistema presenta una
curvatura moderada y el modelo de primer orden se ajustará de manera apropiada.
Conforme vayamos acercándonos a la vecindad del óptimo, la superficie se irá curvando
más y el modelo de primer orden ya no se ajustará a su curvatura, por lo que habrá que
aproximar la función de respuesta por un modelo de segundo orden que la tenga en
cuenta mediante los términos cuadráticos, x2i, y los términos de los productos cruzados,
xixj.
Los modelos ajustados de primer orden y segundo orden se obtienen sustituyendo los
coeficientes de regresión del modelo de superficie de respuesta de primer y segundo
orden, respectivamente, por sus estimaciones, obteniéndose la respuesta aproximada, ŷ,
(Montgomery, 1991, Cornell, 1990):
k
yˆ = βˆ 0 + ∑ βˆ i x i
i =1
- 74 -
(32)
k
k
i =1
i =1
yˆ = βˆ 0 + ∑ βˆ i xi + ∑ βˆ ii x 2 i + ∑∑ βˆ i j xi x j
(33)
i< j i< j
Para medir la adecuación del modelo que se pretender ajustar, ya sea de primer orden
como de segundo, se emplean las pruebas de significación de los coeficientes, el análisis
gráfico de los residuales y la prueba de falta de ajuste. Con la prueba de significación se
pretende comprobar que todos los términos del modelo propuesto son significativos.
Con el análisis de los residuales que las respuestas aproximadas ofrecidas por el modelo
son lo suficientemente próximas a las reales. Con la prueba de la falta de ajuste que la
superficie de respuesta proporcionada por el modelo ajustado recoge con suficiente
exactitud la curvatura de la real.
La utilidad de ambos modelos ajustados se mide con ciertas pruebas de hipótesis que
requieren que el error ε siga una distribución normal e independiente con media cero y
varianza σ2, resultando por tanto, que las respuestas ŷ tengan una distribución normal e
independiente con media β0+Σki=1 βixi y varianza σ2.
La prueba de significación de los coeficientes del modelo ajustado requiere al menos
n≥k+1 valores de la respuesta. La prueba de hipótesis en este caso es (Montgomery,
1991, Cornell, 1990):
H 0 : βˆ1 : βˆ 2 = L = βˆ k = 0
H 1 : al menos una β̂ j ≠ 0
donde el rechazo de H0 implica que al menos uno de los regresores x1, x2,..., xk
contribuye de modo significativo al modelo. El procedimiento de prueba es un análisis
de varianza de las distintas fuentes de variación que contribuyen a la variación total de
los datos. La variación total recibe el nombre de suma de cuadrados total SST que se
divide en la suma de cuadrados debida al modelo o a la regresión, SSR, más la suma de
cuadrados residual o debida al error, SSE, (Montgomery, 1991) ( Cornell, 1990):
2
k
SST = ∑ ( yi − y )
(34)
i =1
2
k
SS R = ∑ ( yˆ i − y )
(35)
i =i
2
k
SS E = ∑ ( yˆ i − yi )
i =1
La tabla del análisis de varianza es:
- 75 -
(36)
Fuente de
variación
Suma de
cuadrados
Grados de
libertad
Regresión
SS R
k
Residual
SS E
n-k-1
Total
SST
n-1
Cuadrado medio
F0
MS R
SS R
F0 =
MS E
k
SS E
MS E =
(n − k − 1)
MSR =
Condición de
rechazo
F0 > Fα , k , n −k −1
Tabla 4.10. Tabla del análisis de varianza de la significación de los coeficientes estimados.
Además de esta prueba se puede hacer un análisis del ajuste del modelo con el
coeficiente de determinación múltiple R2, que es la proporción total de la variación de
las respuestas yi, con respecto a la media que se puede explicar con la ecuación de
regresión ajustada. R2 se calcula como, (Montgomery, 1991, Cornell, 1990):
R2 =
SS R
SST
(37)
La siguiente prueba a la que siempre deberá someterse el modelo que se pretende ajustar
es la del análisis gráfico de los residuales. Este análisis se hace análogamente a como se
ha comentado en las secciones 4.2 y 4.3 de este mismo capítulo.
La prueba de falta de ajuste (Montgomery, 1991, Cornell, 1990), será la que cierre la
batería de pruebas que siempre habrá que hacer para estar seguros de que el modelo
ajustado es adecuado. Para la realización de esta prueba se requiere que se cumpla:
n > k+1, es decir, el número de puntos del experimento debe de exceder al
número de términos en el modelo ajustado.
Al menos 2 réplicas deben obtenerse en uno o más puntos del experimento para
estimar la varianza del error.
Si se cumplen estas condiciones, la suma de cuadrados residual, SSE, se puede
descomponer en la suma de cuadrados debida al error puro, SSPE, y en la suma de
cuadrados debida a la falta de ajuste, SSLOF, es decir, (Montgomery, 1991, Cornell,
1990):
SSE = SSPE + SSLOF
(38)
Supongamos que tenemos ni observaciones de la respuesta en el nivel i-ésimo de los
regresores xi, i =1, 2,..., m. Sea yij la observación j-ésima de la respuesta en xi, i =1, 2,...,
- 76 -
n y j =1, 2,..., ni con n = Σ mi=1 ni observaciones en total. Entonces SSPE se obtiene
como, (Montgomery, 1991, Cornell, 1990):
SS PE = ∑ ∑ ( y ij − y i )
m
2
ni
(39)
i =1 j =1
Si se satisface el supuesto de la varianza constante, SSPE es una medida independiente
del modelo del error puro ya que para calcular SSPE sólo se usa la variabilidad de las
respuestas, y, en cada nivel xi. Hay ni-1 grados de libertad del error puro en cada nivel
xi, así que el número total de grados de libertad asociados con SSPE es, (Montgomery,
1991, Cornell, 1990)
m
∑ (n
i =1
i
− 1) = n − m
(40)
Donde m es el número de regresores.
La suma de cuadrados debida a la falta de ajuste se obtiene como, (Montgomery, 1991,
Cornell, 1990):
m
SS LOF = ∑ n i ( yi − yˆ i )
2
(41)
i =1
El significado de SSLOF es que si los valores ajustados ŷi están cerca de las respuestas
promedio y i correspondientes, entonces hay un fuerte indicio de que el modelo
aproximado de primer orden es lineal. Si las ŷi se desvían mucho de las y i entonces es
probable que el modelo ajustado no sea lineal. Hay m–p grados de libertad asociados
con SSLOF por que hay m niveles de x, y se pierden p grados de libertad porque deben
estimarse p parámetros del modelo. SSLOF es más cómodo calcularla mediante la
diferencia, (Montgomery, 1991, Cornell, 1990):
SSLOF = SSE - SSPE
(42)
Para la prueba de falta de ajuste el estadístico, (Montgomery, 1991, Cornell, 1990) es:
SS LOF
F0 =
SS PE
(m − p )
(43)
(n − m )
Rechazándose la hipótesis de suficiencia de ajuste con un nivel α de significación
cuando el valor calculado del estadístico es mayor que Fm-p,n-m,α.. Cuando la F calculada
no es mayor, el cuadrado medio residual es utilizado para estimar la varianza σ2 y
también se usa para probar la significancia del modelo. Cuando esta hipótesis se
rechaza, se debe elevar el grado del modelo aproximado aumentando términos de
- 77 -
producto cruzado y/o términos de mayor grado en x1, x2,..., xk. Si se requieren puntos
adicionales para estimar coeficientes, estos se añaden. Se reúnen los datos y se vuelve a
hacer el análisis.
Como ya se ha comentado anteriormente, la metodología RSM es un proceso secuencial
que suele empezar por el ajuste de un modelo de primer orden. Si este modelo propuesto
pasa las pruebas anteriormente expuestas, se podrá considerar adecuado y se podrá usar
el método de la máxima pendiente con él.
El método de la máxima pendiente es un proceso por el que nos movemos
secuencialmente a lo largo de la superficie de respuesta en la dirección de la máxima
pendiente en el sentido del máximo ascenso, si se quiere ir en busca del máximo, o en el
sentido del máximo descenso si se busca el mínimo. Este método se emplea tanto en
problemas de maximización como en problemas de minimización, en cuyo caso se
denomina método del descenso más pronunciado.
La dirección de máximo ascenso, en la que ŷ aumenta más rápido, es paralela a la
normal de la superficie de respuesta y se suele tomar la trayectoria que pasa por el
centro de la región de interés, por lo tanto los pasos a lo largo de ella son proporcionales
a los coeficientes de regresión, β̂ i . El tamaño de los pasos los elige el experimentador y
las coordenadas de los puntos sobre la trayectoria del ascenso más pronunciado se
determinan por el siguiente algoritmo, (Montgomery, 1991):
1. Se elige el tamaño del paso en una de las variables del proceso, ∆x j , eligiéndose
normalmente la variable con mayor coeficiente de regresión en valor absoluto,
β̂ j .
2. El tamaño del incremento de las otras variables se calcula por:
∆x i =
βˆ i
βˆ j
i = 1, 2,…, k; i ≠ j
(44)
∆x j
3. Se convierte ∆x i de variables codificadas a variables naturales.
Se calculan puntos sobre esta trayectoria hasta que se deja de observar un incremento
en la respuesta. A continuación se ajusta un nuevo modelo, determinándose una nueva
trayectoria de ascenso y se repite el proceso, hasta que el nuevo modelo no cumpla con
la hipótesis de ajuste, proponiéndose un nuevo modelo de orden superior que tenga en
cuenta la curvatura de la superficie de repuesta.
Este nuevo modelo requerido va a ser el modelo de superficie de respuesta de segundo
orden:
- 78 -
k
k
i =1
i =1
y = β 0 + ∑ β i x i + ∑ β ii x 2 i + ∑ ∑ β ij x i x j + ε
(45)
i< j i< j
Si en el sustituimos los coeficientes por sus estimaciones, obtenemos el modelo
ajustado:
k
k
i =1
i =1
yˆ = βˆ 0 + ∑ βˆ i xi + ∑ βˆ ii x 2 i + ∑∑ βˆ ij xi x j
(46)
i< j i< j
La adecuación de este modelo también se mide con las pruebas de hipótesis de la
significación de los coeficientes estimados, el análisis de los residuales y la prueba de
falta de ajuste, análogamente a como se hacia en el caso del modelo de primer orden.
Si nuestro objetivo es maximizar la respuesta, estamos interesados en hallar un punto
x1s, x2s,..., xks, donde se va a cumplir que sus derivadas parciales
∂ŷ/∂x1=∂ŷ/∂x2=…=∂ŷ/∂xk=0, (Montgomery, 1991). Sin embargo, esta condición es
necesaria pero no suficiente, ya que esta condición la cumplen también los puntos de
mínima respuesta y los puntos de silla. A todos estos puntos se les conoce como puntos
estacionarios. Por lo tanto lo primero que hay que hacer es localizar al punto
estacionario y en segundo lugar caracterizarlo, es decir, averiguar de que tipo se trata, si
un máximo, si un mínimo o un punto de silla. En las figuras 4.8, 4.9 y 4.10 se ilustran
los tipos de puntos estacionarios:
0
0
-40
-40
-80
-120
-160
-120
-200
-160
-6
-200
-2
X1
2
-2
6
10
-10
-6
2
6
X2
Figura 4.8. Superficie de respuesta con un máximo
- 79 -
Y
Y
-80
200
200
160
160
120
y
120
y
80
80
40
40
0
-6
0
-2
2
X1
-2
6
10
-10
-6
6
2
X2
Figura 4.9. Superficie de respuesta con un mínimo.
150
150
100
100
50
0
0
-50
Y
Y
50
-50
-100
-6
-100
-2
X1
2
-2
6
10
-10
-6
2
6
X2
Figura 4.10. Superficie de respuesta con un punto de silla.
La localización de un punto estacionario se obtiene expresando el modelo de segundo
orden en forma matricial, (Montgomery, 1991):
- 80 -
yˆ = βˆ 0 + x' b + x' Bx
(47)
donde:
⎡ x1 ⎤
⎢x ⎥
x = ⎢ 2⎥
⎢M⎥
⎢ ⎥
⎣ xk ⎦
⎡ˆ
⎢ β 11
⎢
B=⎢
⎢
⎢
⎢⎣
⎡ βˆ1 ⎤
⎢ˆ ⎥
β
b = ⎢ 2⎥
⎢ M ⎥
⎢ ⎥
ˆ
⎣⎢ β k ⎦⎥
βˆ12
βˆ1k
⎤
2 ⎥
βˆ 2 k ⎥
L
βˆ 22
2 ⎥⎥
O
M ⎥
simetrica
βˆ kk ⎥⎦
2
L
siendo b un vector (k x 1) con los coeficientes de regresión de primer orden y B una
matriz simétrica (k x k) cuya diagonal principal esta formada por los coeficientes de los
β̂ ii , y los elementos de fuera de la diagonal corresponden a
la mitad de los coeficientes cuadráticos mixtos, β̂ i j i ≠ j. La derivada de ŷ con respecto
términos cuadráticos puros,
a los elementos del vector x igualada a cero es:
∂yˆ
= b + 2 Bx = 0
∂x
(48)
Despejando, el punto estacionario será:
1
x s = − B −1 b
2
(49)
y sustituyendo en el modelo de segundo orden este valor, obtendremos la respuesta
aproximada en él:
1
yˆ s = βˆ 0 + x' s b
2
(50)
Hallado el punto estacionario tenemos que averiguar de qué tipo es, para lo que
podemos usar la grafica de contornos, siempre que haya dos o tres variables
independientes, o el análisis canónico. Este último consiste en expresar el modelo de
ajuste en la forma canónica del modelo aproximado, (Montgomery, 1991):
yˆ = yˆ s + λ1 w 2 1 + λ 2 w 2 2 + L + λ k w 2 k
(51)
usando un nuevo conjunto de variables independientes transformadas, w1, w2,…wk cuyos
ejes representan los ejes principales de la superficie de respuesta, con el origen en el
punto estacionario xs. Las λi son los autovalores de la matriz B y son constantes. El
- 81 -
signo y la magnitud de los autovalores λi caracterizan al punto estacionario y la
superficie de respuesta de la siguiente manera:
Si todos los λi son positivos, el punto estacionario, xs, es un mínimo.
Si todos los λi son negativos, el punto estacionario, xs, es un máximo.
Si los λi tienen signos diferentes, el punto estacionario, xs, es un punto de silla.
Además, la superficie de respuesta tendrá una mayor inclinación en la dirección wi para
el autovalor λi con mayor valor absoluto.
El diseño del experimento va a ser esencial para que la aplicación de la metodología
RSM sea posible. Anteriormente se ha comentado la necesidad de la estimación del error
experimental y la de añadir puntos al experimento si se esta ajustando un modelo de
primer orden y se hace necesario el ajuste de otro de segundo orden si la curvatura de la
superficie de respuesta real así lo requiere. El diseño del experimento va a depender de
si el modelo a ajustar es de primer o segundo orden.
Si el modelo que se quiere ajustar es de primer orden:
k
y = β 0 + ∑ β i xi + ε
(52)
i =1
el diseño a emplear es uno de primer orden ortogonal, ya que son los únicos que
minimizan la varianza de los coeficientes de regresión, β̂ i . Si todos los elementos que
están fuera de la diagonal de la matriz (X´X) son cero, se dice que el diseño es
ortogonal. Si expresamos el modelo anterior en forma matricial:
y = Xβ + ε
(53)
La matriz X se define como la matriz de los niveles de las variables independientes del
modelo. Esta matriz y el resto de las que forman el modelo se muestran a continuación:
⎡ y1 ⎤
⎢y ⎥
y = ⎢ 2⎥
⎢M⎥
⎢ ⎥
⎣ yn ⎦
⎡1 x11
⎢1 x
21
X =⎢
⎢M M
⎢
⎣1 x n1
x12
x 22
M
xn 2
L x1k ⎤
L x 2 k ⎥⎥
M ⎥
⎥
L x nk ⎦
⎡β 0 ⎤
⎢β ⎥
β = ⎢ 1⎥
⎢ M ⎥
⎢ ⎥
⎣β k ⎦
⎡ε 1 ⎤
⎢ε ⎥
ε = ⎢ 2⎥
⎢M⎥
⎢ ⎥
⎣ε n ⎦
Los diseños factoriales 2k son diseños de primer orden ortogonales, sin embargo el
diseño factoriales 2k no permite la estimación del error experimental por lo que se hace
necesario añadir réplicas que normalmente van a ser añadidas en el punto central del
diseño. Se recomienda que el número de réplicas en el centro sea de tres a cinco. Ni la
ortogonalidad del diseño ni los coeficientes β̂ i no se van a ver afectados por esta
- 82 -
medida, aunque si el coeficiente β̂ o , ya que este se estima con el promedio de todas las
observaciones del experimento. Hay que tener en cuenta al usar estos diseños que los
niveles bajos y altos de los factores deben de estar codificados en los niveles –1 y 1
respectivamente. Gráficamente la adición de puntos centrales a un diseño 22 se puede
observar en la figura 4.11:
(-1,1)
Factor B
(1,1)
(0,0)
(-1,-1)
(1,-1)
Factor A
Figura 4.11. Diseño 22 con puntos centrales.
Factor C
Para el ajuste de modelos de segundo orden el diseño más ampliamente usado es el
diseño central compuesto. Este diseño consta de un factorial 2k con nf puntos, 2k puntos
axiales y nc puntos centrales. En la figura 4.12 se muestra un diseño central compuesto
con tres factores:
Factor A
Figura 4.12. Diseño central compuesto con tres factores.
- 83 -
A la hora de plantear un diseño de este tipo hay que especificar el número de puntos
centrales y la distancia α al centro. El número de puntos centrales suele estar
comprendido entre tres y cinco. El valor α va a depender del número de puntos del
factorial 2k, nf, y debe de ser elegido de manera que el diseño resulte rotable (Box y
Hunter, 1957). El que un diseño sea rotable significa que la varianza de la respuesta
predicha en algún punto x, V [ yˆ ( x)] , sea la misma en todos los puntos x que estén a la
misma distancia del punto central del diseño, es decir, que la varianza de la respuesta
predicha sea constante en esferas concéntricas con centro en el punto central del diseño.
Esta propiedad es importante que la tenga un diseño destinado a la optimización, ya que
a priori se desconoce la forma de la superficie de respuesta y la situación del punto
óptimo, siendo interesante disponer de un diseño que proporcione la misma precisión
en todas direcciones. Para un diseño central compuesto el valor típico del parámetro α
es:
α = (nf)1/4
(54)
Factor C
A veces, debido a la naturaleza de los factores, estos no pueden tomar determinados
valores, y no es posible ajustar los puntos axiales determinados por el anterior valor de
α. En estos casos una posible solución es el uso de un diseño central compuesto con
centros en las caras. Estos diseños son una variante de los diseños centrales compuestos
en los que el parámetro α toma el valor 1. En la figura 4.13 se muestra la forma de la
región experimental para un diseño de este tipo con tres factores:
Factor A
Figura 4.13. Diseño central compuesto con centros en las caras para tres factores.
Lo visto en este apartado lo podemos aplicar al ejemplo del taller de modelismo visto en
el apartado 4.3. Los encargados del taller diseñaron un experimento factorial 23 para
intentar averiguar en qué medida se veía afectado el tiempo de fraguado de una resina
de poliuretano con la temperatura, la proporción de endurecedor y la presencia o no de
un tinte. Llegaron a la conclusión de que el tiempo de fraguado dependía de la
temperatura y en menor medida de la proporción de endurecedor. La presencia de tinte
no le afectaba y no había interacciones entre los tres factores estudiados. Tras el
desarrollo del experimento decidieron realizar el proceso de mezcla y fraguado de la
resina a una temperatura de 45 ºC y a una proporción de endurecedor del 30%.
Posteriormente, y tras los resultados del experimento anterior, se interesaron en hallar
- 84 -
las condiciones que minimizaban el tiempo de fraguado, por lo que decidieron aplicar
el método de la máxima pendiente, aunque, en este caso, sería más correcto decir el del
descenso más pronunciado ya que se trata de un problema de minimización.
Al igual que en el experimento del ejemplo de la sección 4.3 la temperatura iba a ser el
factor A y la proporción de endurecedor el factor B:
Niveles de los factores
Nivel Bajo (-1)
25
20
Factor A (Cº)
Factor B (%)
Nivel Alto (1)
45
30
Tabla 4.11. Niveles de los factores implicados en el ejemplo RSM.
Estas fueron las variables independientes naturales, que por comodidad en los cálculos
se codificaron en el intervalo (–1 y 1), usando las expresiones:
χ1 =
ξ 1 − 35
10
y
χ2 =
ξ 2 − 25
5
Factor B Proporción de Endurecedor (%)
Para estimar el error experimental el diseño se iba a aumentar con cinco observaciones
en el punto central del área que definía los niveles anteriores de los factores A y B. Este
punto fue el correspondiente a una temperatura de 35 ºC y a una proporción de
endurecedor del 25%. En la figura 4.14. se puede apreciar con claridad la región de
exploración empleada:
30 %
1
25 %
0
20 % -1
-1
1
0
35 ºC
25 ºC
45 ºC
Factor A Temperatura (ºC)
Figura 4.14. Región de experimentación del factorial 22 del ejemplo RSM.
- 85 -
Se realizaron, de forma totalmente aleatoria, nueve observaciones en total, obteniéndose
los siguientes resultados:
Variables naturales Variables codificadas Respuestas
ξ1
ξ2
x1
x2
y
25
20
-1
-1
1505
45
20
1
-1
994
25
30
-1
1
940
45
30
1
1
481
35
25
0
0
754
35
25
0
0
1020
35
25
0
0
901
35
25
0
0
910
35
25
0
0
937
Tabla 4.12. Datos del ejemplo RSM.
Aplicando los métodos para diseños factoriales 22, obtuvieron el análisis de varianza del
experimento:
Termino Efectos
SS
Porcentaje g.d.l
A
-485 235225,00 40,82
1
B
-539 290521,00 50,42
1
AB
26
676,00
0,12
1
Error
49790,00
8,64
5
Total
576212,00 100,00
8
MSS
235225,00
290521,00
676,00
9958,00
Fo
Fo Tablas
23,62
6.61
29,17
6.61
0,07
6.61
Tabla 4.13. Análisis de varianza del factorial 22 del ejemplo RSM.
Analizando la tabla anterior se observa que la interacción de los dos factores no resultó
significativa por lo que este término no fue incluido en el modelo que se pretendía
ajustar. Con el valor de los efectos de los factores principales A y B se estimaron los
coeficientes de regresión β1, β2. Cada uno de ellos vale la mitad del efecto
correspondiente. El coeficiente β0 se estimó con el promedio de las 9 observaciones. El
modelo de primer orden ajustado resultante fue:
yˆ = βˆ 0 + βˆ1 x1 + βˆ 2 x 2 =938-242.5 x1-269.5 x2
siendo x1 y x2 las variables codificadas.
- 86 -
A continuación sometieron al modelo ajustado a la prueba de significación de los
coeficientes estimados, a la prueba de falta de ajuste y al análisis gráfico de los
residuales y para comprobar su adecuación.
Las primeras dos pruebas se muestran en la siguiente tabla:
Termino
Regresión (Modelo)
Residual
(Falta de ajuste LOF)
(Error puro)
Total
SS
525746,00
50466,00
13376,80
37089,20
576212,00
g.d.l
2
6
2
4
8
MSS
Fo
262873,00 31,253
8411,00
6688,40
0,721
9272,30
Fo Tablas
5,14
6,94
Tabla 4.14.Análisis de varianza para la prueba de significación y falta de ajuste del modelo ejemplo RSM.
Observando la tabla se puede ver que la condición de rechazo de la hipótesis de
significación se cumple, 31.253 > 5.14, por lo que se rechazó la hipótesis nula, siendo
por tanto el modelo ajustado significativo.
Para la prueba de la falta de ajuste se cumple que el estadístico Fo es menor que F0.05, 2,4
(0.721 < 6.94), por lo tanto se aceptó la hipótesis de que el modelo ajustado de primer
orden era lineal.
El análisis gráfico de los residuales efectuado al modelo se muestra a continuación:
Respuestas Predicción Residuales
1505
1450,00
55,00
994
965,00
29,00
940
911,00
29,00
481
426,00
55,00
754
938,00
-184,00
1020
938,00
82,00
901
938,00
-37,00
910
938,00
-28,00
937
938,00
-1,00
Tabla 4.15. Respuestas predichas y residuales del modelo de primer orden ajustado del ejemplo RSM.
- 87 -
99
95
90
70
50
30
20
10
1
-184
-117.5
-51
15.5
82
Residuales
Gráfica 4.12. Probabilidad normal de los residuales del modelo de primer orden del ejemplo RSM.
200,00
150,00
Residuales
100,00
50,00
0,00
0,00
-50,00
500,00
1000,00
1500,00
2000,00
-100,00
-150,00
-200,00
Tiempo Fraguado predicho
Gráfica 4.13. Residuales frente a la respuesta predicha del modelo de primer orden del ejemplo RSM.
- 88 -
200,00
150,00
Residuales
100,00
50,00
0,00
-50,00 0
2
4
6
8
10
-100,00
-150,00
-200,00
Número de observación
Gráfica 4.14. Residuales frente al orden de observación del modelo de primer orden.
El la gráfica de la probabilidad normal se aprecia que los puntos graficados siguen
aproximadamente una línea recta. Esto significa que se puede decir que el supuesto de
normalidad se cumple. Por otro lado se puede observar que la mayoría de los puntos
están en la rama de la derecha. Los responsables de taller interpretaron que esto se podía
deber al pequeño tamaño de la muestra y que no suponía una desviación de la
normalidad. Las otras dos gráficas, la de los residuales frente a la respuesta predicha y
frente al orden de realización de las observaciones, no muestran ningún patrón. A la luz
de los resultados que se obtuvieron en este análisis el modelo fue dado por adecuado.
Una vez comprobado que el modelo de primer orden era válido, el paso siguiente fue
aplicar el algoritmo que les iba a permitir moverse por la trayectoria de máximo
descenso.
Se decidió que el punto de partida de la trayectoria de máximo descenso fuese el punto
central. La variable con mayor coeficiente de regresión en valor absoluto era la x2, por
lo que la pendiente de la trayectoria de máximo descenso iba a venir dada por el
cociente 242.5/269.5. El tamaño de paso elegido para la proporción de endurecedor fue
de 2.5 %, que correspondía con un incremento de la variable codificada ∆x2=0.5. El
paso de la temperatura fue por tanto de 4.5 ºC, que correspondía con un incremento de
0.45 en la variable codificada x1. Se fueron calculando puntos de esta trayectoria hasta
que se observó un aumento del tiempo de fraguado. En la tabla 4.16 se muestran los
puntos de la trayectoria de máximo descenso y las respuestas halladas a lo largo de ella.
En la gráfica 4.15 se grafican estas últimas:
- 89 -
Pasos
Variables codificadas
x1
x2
0
0
0,45
0,50
0,45
0,50
0,90
1,00
1,35
1,50
1,80
2,00
2,25
2,50
2,70
3,00
3,15
3,50
3,60
4,00
4,05
4,50
4,50
5,00
Origen
∆
Origen+∆
Origen+2∆
Origen+3∆
Origen+4∆
Origen+5∆
Origen+6∆
Origen+7∆
Origen+8∆
Origen+9∆
Origen+10∆
Variables naturales
ξ1
ξ2
35
25
4,5
2,5
39,5
27,5
44,0
30,0
48,5
32,5
53,0
35,0
57,5
37,5
62,0
40,0
66,5
42,5
71,0
45,0
75,5
47,5
80,0
50,0
Respuesta
Y
721
548
401
279
184
114
70
52
60
93
Tabla 4.16. Trayectoria de máximo descenso y repuestas del modelo ejemplo RSM.
Tiempo de Fraguado (min)
730
630
530
430
330
230
130
30
1
2
3
4
5
6
7
8
Pasos
9
10
11
12
13
Gráfica 4.15. Tiempo de fraguado obtenido a lo largo de la trayectoria del máximo descenso para el
modelo ejemplo RSM.
Se observa que el tiempo de fraguado va disminuyendo hasta el octavo paso, donde se
obtiene un valor de 52 minutos. A partir de este los valores empiezan a crecer. A la luz
de estos resultados los responsables del taller ajustaron otro modelo lineal de primer
orden alrededor del punto correspondiente al octavo paso correspondiente a una
temperatura de 71 ºC y a una proporción de endurecedor del 45 %. Con estos valores las
variables codificadas vendrían dadas por las expresiones:
χ1 =
ξ 1 − 71
10
y
- 90 -
χ2 =
ξ 2 − 45
5
Factor B Proporción de Endurecedor (%)
La nueva región de exploración se muestra en la figura 4.15:
50
1
45 %
0
40 % -1
-1
1
0
61 ºC
81 ºC
71 ºC
Factor A Temperatura (ºC)
Figura 4.15. Región de experimentación para el segundo modelo lineal del ejemplo RSM.
Se volvieron a realizar cinco observaciones en el punto central, obteniendo un total de
nueve. Estas observaciones se realizaron de forma aleatoria, obteniéndose los
siguientes resultados:
Variables naturales Variables codificadas Respuestas
ξ1
ξ2
x1
x2
y
121
61
40
-1
-1
181
81
40
1
-1
43
61
50
-1
1
94
81
50
1
1
56
71
45
0
0
49
71
45
0
0
54
71
45
0
0
47
71
45
0
0
56
71
45
0
0
Tabla 4.17. Datos para el segundo modelo lineal del ejemplo RSM.
El análisis de varianza del nuevo experimento se muestra en la tabla 4.18:
- 91 -
Termino Efectos
SS Porcentaje g.d.l MSS
A
55,5 3080,25 17,82
1 3080,25
B
-82,5 6806,25 39,38
1 6806,25
AB
-4,5
20,25
0,12
1
20,25
Error
7378,14 42,69
5 1475,63
17284,8
Total
100,00
8
9
Fo
2,09
4,61
0,01
Fo Tablas
6,61
6,61
6,61
Tabla 4.18. Análisis de varianza del factorial 22 del segundo modelo lineal del ejemplo RSM.
Teniendo en cuenta los resultados obtenidos se observa que el modelo no es
significativo, aun así, los responsables del taller tomaron el modelo ajustado como:
yˆ = βˆ 0 + βˆ1 x1 + βˆ 2 x 2 =77.89+27.75 x1-41.25 x2
y decidieron realizar la batería de pruebas destinadas a probar la adecuación del modelo.
Las pruebas de la significación del modelo y de la falta de ajuste ofrecieron los
siguientes resultados:
Termino
Modelo
Residual
(Falta de ajuste LOF)
(Error puro)
Total
SS
9886,50
7398,39
7329,19
69,20
17284,89
g.d.l
2
6
2
4
8
MSS
4943,25
1233,06
3664,59
17,30
Fo
4,01
Fo Tablas
5,14
211,83
6,94
Tabla 4.19. Análisis de varianza para la prueba de significación y falta de ajuste del segundo modelo
lineal del modelo ejemplo RSM.
Los resultados obtenidos muestran por un lado que el modelo ajustado no es
significativo, ya que no se cumple la condición de rechazo de la hipótesis nula,
F0 > F.05, 2,6 , y por el otro que tampoco se puede considerar que el modelo se ajuste a la
curvatura de la verdadera superficie de respuesta. Para ello se debería cumplir la
condición: F0 < F.05, 2, 4 , y como se puede observar en la tabla anterior esta no se cumple.
Con estos resultados el modelo ya no se podía dar por bueno, por lo que se decidió no
realizar el análisis gráfico de los residuales.
La prueba de falta de ajuste indicaba que la superficie de respuesta real presentaba una
curvatura que un modelo lineal de primer orden no podía aproximar, por lo que se
decidió ajustar un modelo de segundo orden:
yˆ = βˆ 0 + βˆ1 x1 + βˆ 2 x 2 + βˆ11 x12 + βˆ 22 x 22 + βˆ12 x1 x 2
- 92 -
(55)
Para poder ajustar este modelo se hacia necesario añadir cuatro puntos axiales al
diseño y convertir este en un diseño central compuesto. Se pretendió que este diseño
fuese rotable, con los que los nuevos cuatro puntos vendrían a estar situados en los
puntos (±α, 0) y (0, ±α), eligiéndose α = (4)0.25 = 1.4142.
La nueva región de experimentación quedó como sigue:
Factor B Proporción de Endurecedor (%)
(71 ºC,52,07 %)
(0,1,4142)
(61 ºC,50 %)
(-1,1)
(-1,4142,0)
(56,86 ºC,45 %)
(81 ºC,50 %)
(1, 1)
(0,0)
(71 ºC,45 %)
(-1,-1)
(61 ºC,40 %)
(1,4142,0)
(85,14 ºC,45 %)
(1, -1)
(81 ºC,40 %)
(0,-1,4142)
(71 ºC,37,93 %)
Factor A Temperatura (ºC)
Figura 4.16. Región de experimentación del diseño central compuesto del ejemplo RSM
Se realizaron las observaciones de los cuatro puntos axiales y el diseño central
compuesto quedó como se puede observar en la tabla siguiente:
- 93 -
Variables naturales Variables codificadas Respuestas
ξ1
ξ2
x1
x2
y
61
40
-1
-1
121
81
40
1
-1
181
61
50
-1
1
43
81
50
1
1
94
56.86
45.00
-1.414
0.000
77
85.14
45.00
1.414
0.000
174
71.00
37.93
0.000
-1.414
143
71.00
52.07
0.000
1.414
42
71
45
0
0
56
71
45
0
0
49
71
45
0
0
54
71
45
0
0
47
71
45
0
0
56
Tabla 4.20. Datos del diseño central compuesto del ejemplo RSM.
Se realizó el análisis de varianza del modelo completo, ofreciendo los siguientes
resultados:
Termino
A
B
A^2
B^2
AB
Error
Total
Efectos
SS
62,04
7699,08
-76,96 11845,34
73,48
9388,83
40,48
2849,09
-4,50
20,25
217,40
32019,99
Porcentaje
24,04
36,99
29,32
8,90
0,06
0,68
100,00
g.d.l
1
1
1
1
1
7
12
MSS
Fo
Fo Tablas
7699,08 247,90
5,59
11845,34 381,40
5,59
9388,83 302,31
5,59
2849,09 91,74
5,59
20,25
0,65
5,59
31,06
Tabla 4.21. Análisis de varianza del modelo de segundo orden propuesto para el ejemplo RSM.
Analizando los resultados obtenidos se aprecia que la interacción AB no resultó
significativa por lo que el modelo iba a quedar de la forma:
yˆ = 52.40 + 31.02 x1 − 34.48 x 2 + 36.74 x12 + 20.24 x 22
Este modelo debía de pasar la batería de pruebas necesarias para probar su adecuación.
Las dos primeras pruebas a las que se sometió fueron la de significación de sus
coeficientes y la prueba de la falta de ajuste. En la tabla siguiente se pueden observar los
resultados obtenidos en ambas pruebas:
- 94 -
Termino
Modelo
Residual
(Falta de ajuste LOF)
(Error puro)
Total
SS
31782,34
237,65
168,45
69,20
32019,99
g.d.l
4
8
4
4
12
MSS
7945,59
29,71
42,11
17,30
Fo
Fo Tablas
267,472
3,84
2,434
6,39
Tabla 4.22.Análisis de varianza para la prueba de significación y falta de ajuste del modelo de segundo
orden del ejemplo RSM.
El modelo resultó significativo ya que F0 > F.05, 4,8 y por lo tanto la hipótesis nula se
rechazó. La prueba de falta de ajuste también la pasó el modelo propuesto, ya que se
cumplió la condición F0 < F.05, 4, 4 , lo cual significaba que no se rechazaba la hipótesis
nula, con lo que el modelo se ajustaba a la superficie de respuesta real.
La última prueba a realizar para probar la adecuación del modelo es el análisis gráfico
de los residuales. A continuación se muestran los resultados que se obtuvieron:
Respuestas Predicción Residuales
121
116,83
4,17
181
178,88
2,12
43
39,87
3,13
94
101,92
-7,92
77
82,00
-5,00
174
169,75
4,25
143
147,29
-4,29
42
38,46
3,54
56
52,40
3,60
49
52,40
-3,40
54
52,40
1,60
47
52,40
-5,40
56
52,40
3,60
Tabla 4.23. Respuestas predichas y residuales del modelo de segundo orden ajustado del ejemplo RSM.
- 95 -
% de probabilidad normal
99
95
90
70
50
30
20
10
1
-7.92
-4.88
-1.83
1.21
4.25
Residuales
Gráfica 4.16. Probabilidad normal de los residuales del modelo de segundo orden del ejemplo RSM.
8,00
6,00
Residuales
4,00
2,00
0,00
0,00
-2,00
50,00
100,00
150,00
200,00
-4,00
-6,00
-8,00
Tiempo Fraguado predicho
Gráfica 4.17. Residuales frente a las respuestas predichas del modelo de segundo orden del ejemplo RSM.
- 96 -
8,00
6,00
Residuales
4,00
2,00
0,00
-2,00
0
2
4
6
8
10
12
14
-4,00
-6,00
-8,00
Número de observación
Gráfica 4.18. Residuales frente al orden de las observaciones del modelo de segundo orden del ejemplo
RSM.
En la gráfica de la probabilidad normal se aprecia que los puntos siguen
aproximadamente una línea recta. Esto indica que el modelo cumple el supuesto de
normalidad. Observando la gráfica podemos apreciar que ambas ramas tienen
aproximadamente la misma longitud, indicando esto que no se aprecia ningún sesgo.
Por otro lado, también se puede observar que la rama de la derecha es más gruesa que la
de la izquierda, significando esto que los residuales positivos son algo más grandes que
los negativos en valor absoluto. En el taller interpretaron que el modelo no violaba los
supuestos de normalidad. En las otras dos gráficas no se aprecia que los puntos sigan
ningún patrón. Como consecuencia de estos resultados el modelo fue dado por bueno.
El modelo ajustado en variables codificadas quedó de la siguiente forma:
yˆ = 52.40 + 31.02 x1 − 38.48 x 2 + 36.74 x12 + 20.24 x 22
y en variables naturales como:
yˆ = 3669,63 − 49,07 x1 − 80,55 x 2 + 0.37 x12 + 0.81x 22
Con los resultados obtenidos era de esperar que este modelo representaba de una
manera bastante aproximada la curvatura de la verdadera superficie de respuesta por lo
que se decidió usarlo para hallar un punto estacionario y caracterizarlo mas tarde, es
decir, determinar si se trataba de un máximo, un punto de silla o del mínimo buscado.
El primer paso de este proceso fue expresar el modelo ajustado en la forma matricial:
yˆ = βˆ 0 + x' b + x' Bx
- 97 -
(56)
donde:
0 ⎤
⎡36.74
⎡ 31.02 ⎤
⎡x ⎤
B
=
x = ⎢ 1⎥ b = ⎢
⎢ 0
⎥
20.24⎥⎦
⎣
⎣− 38.48⎦
⎣ x2 ⎦
El punto estacionario vendria dado por la formula:
1
x s = − B −1b
2
(57)
resultando:
⎡− 0.42⎤
xs = ⎢
⎥
⎣ 0.95 ⎦
El punto estacionario, expresado en variables naturales, vino dado por una temperatura
de 66.78 ºC y una proporción de endurecedor del 49.75 %.
Usando la fórmula:
1
yˆ s = βˆ 0 + x' s b
2
(58)
se estimó la respuesta en el punto estacionario que proporcionaba el modelo ajustado,
resultando un tiempo de fraguado de 27.56 minutos, prácticamente la mitad del tiempo
de fraguado que se obtuvo con una temperatura de 71 ºC y una proporción de
endurecedor del 45%.
Por último quedaba por saber si el punto hallado era un mínimo. Para ello era necesario
expresar el modelo ajustado en forma canónica:
yˆ = yˆ s + λ1 w 21 + λ 2 w 2 2
(59)
donde λ1 y λ2 son los autovalores de la matriz B. Para hallarlos se planteó el
determinante:
|B- λ I| = 0
36.74 − λ
0
0
=0
20.24 − λ
- 98 -
(60)
obteniéndose:
λ1 = 36.74
λ2 = 20.24
El modelo en forma cónica quedaba:
yˆ = yˆ s + 36.74 w 21 + 20.24 w 2 2
observándose que los dos autovalores resultaron positivos, lo que quiere decir que el
punto estacionario era un mínimo. Para confirmar los resultados obtenidos, en el taller
realizaron una muestra de resina a una temperatura de 66 ºC y una proporción de
endurecedor del 49 %, obteniendo un tiempo de fraguado de 28 minutos, lo que
significa que el tiempo de fraguado se había reducido en más de 450 minutos en
comparación con las condiciones iniciales de operación, que recordemos, fueron de 45
ºC y el 30 %.
- 99 -
CAPÍTULO 5:
ESTUDIO EXPERIMENTAL DEL SISTEMA
- 100 -
5.1.- INTRODUCCIÓN
Una vez conocidos los parámetros de simulación, en el presente capítulo, nos centramos
en definir los distintos experimentos a realizar para comprobar la capacidad de la
metodología RSM de obtener soluciones adecuadas al problema objeto de estudio.
Los parámetros de simulación que se van a utilizar son los calculados en el capítulo 3,
apartados 3.4.1, 3.4.2 y 3.4.3. El horizonte de simulación (T) hallado fue de 53.000
unidades de tiempo, el Warm-up (W) de 18.000 y en número de réplicas (n) de 30.
Cada simulación se va a realizar empleando un programa realizado en lenguaje C y
proporcionado por el grupo de investigación ‘Organización Industrial’ de la Universidad
de Sevilla, TEP-134. Las hipótesis, características, entradas y salidas de este se
comentan en la sección 3.3 del capítulo 3.
Uno de los objetivos de los sistemas de control de la producción es maximizar el nivel
de servicio con el menor inventario en proceso (WIP). Este criterio va a ser el utilizado
para determinar cuando una determinada combinación de los parámetros K (0), E va a
ser mejor que otra.
De las diferentes salidas que proporciona el modelo vamos a considerar como respuesta
al nivel de inventario medio de las 30 réplicas que componen cada simulación. La
desviación estándar del nivel de servicio medio, STD servicio medio, nos va a hacer
falta para el cálculo de la suma de cuadrados del error y el WIP medio como valor a
tener en cuenta a la hora de determinar cuando una combinación es mejor que otra.
También se van a considerar los intervalos de confianza del nivel de servicio para
determinar la admisibilidad de las soluciones.
Para la realización de las simulaciones se empleará un ordenador personal Pentium II a
350 MHz. Tras la realización de una serie de pruebas piloto el tiempo medio de
simulación obtenido para 30 réplicas ha sido de 55 segundos. Por lo general, en nuestro
caso, cada experimento esta compuesto por cuatro o cinco simulaciones, por lo que el
tiempo consumido en cada uno de ellos ha sido de aproximadamente cuatro o cinco
minutos respectivamente.
El proceso de experimentación se va a dividir en dos fases. En la primera se va a
plantear un experimento factorial 22 con el fin de caracterizar el proceso, es decir,
determinar cuales de los factores que controlan un sistema PS son los que afectan a la
variable de respuesta y en qué medida, además de conocer si existen interacciones
significativas entre ellos. Las variables de respuesta que se van a estudiar son el nivel
de servicio medio y el inventario en proceso medio. La herramienta estadística que en
diseño de experimentos se emplea para este fin es el análisis de varianza. En el capítulo
4 se explica con detalle esta herramienta estadística. Con los resultados arrojados por el
análisis de varianza se podrán determinar los factores e interacciones significativos.
Estos factores e interacciones se tomaran para formar parte de un modelo de regresión
- 101 -
con el que podremos aproximar la respuesta del modelo. Este modelo debe ser
verificado y para ellos se empleará el análisis de los residuales. Si este es positivo, el
modelo se puede dar por bueno y se podrá realizar un análisis grafico de los factores e
interacciones significativos. En nuestro caso los factores son los dos parámetros de los
que depende un sistema PS, el número de tarjetas K (0) y en número de tarjetas extra
E. En esta primera fase de la experimentación se emplea un nivel de servicio
predeterminado λ = 100%, ya que este fue el valor con el que Framiñan et al
propusieron su modelo.
La segunda fase va a ser la optimización propiamente dicha. En esta se van a aplicar las
técnicas estadísticas RSM (Response Surface Methodology) vistas en detalle en la
sección 4.4. Como se recordará, esta metodología consiste en ajustar un modelo de
regresión a la variable o variables de salida del sistema, que en nuestro caso son el nivel
de servicio medio y el inventario en proceso. Este modelo describe una superficie,
llamada superficie de respuesta, de dimensión una unidad mayor al número de factores
que la componen y de cuyo estudio se pretende extraer la combinación de los
parámetros K (0) y E con los que el sistema PS va a operar de la forma más cercana a
nuestros deseos, que no son otros que el sistema funcione con un nivel de servicio lo
más cercano posible al predeterminado (λ) con el menor inventario en proceso posible
(WIP).
Esta fase a su vez se va dividir en tres partes. En la primera se parte de la misma región
experimental usada en la fase anterior aumentando las observaciones al punto central,
ya que en esta fase necesitamos ajustar un modelo que recoja la curvatura de la
superficie de respuesta real. La metodología RSM es un proceso secuencial a lo largo
del cual se van ajustando modelos a la superficie de respuesta real con el fin de
movernos por las superficies de respuesta que estos determinan, de modo que podamos
encontrar un punto de la superficie que se aproxime más a los valores que estamos
buscando. Si el modelo es de primer orden se emplea el método de la máxima pendiente
y si es de segundo orden se emplea el análisis canónico.
En esta fase de la experimentación, tras ajustar varios modelos y emplear ambos
métodos, se llega a la conclusión de que este sistema PS operando con un nivel de
servicio predeterminado del 100% no es económicamente viable desde el punto de vista
del inventario en proceso, por lo que se emprende el mismo proceso aplicado al mismo
sistema pero esta vez con un nivel de servicio predeterminado del 98%.
En esta segunda parte de esta fase de la experimentación se repiten los procesos
llevados a cabo en la parte anterior, llegando a un punto en el que no se puede avanzar
más a lo largo de la superficie de respuesta por los métodos de la máxima pendiente y el
análisis canónico.
La solución que se busca depende del compromiso del nivel de servicio y del inventario
en proceso, por lo que se decide el empleo del método gráfico de optimización
multirespuesta de la superposición de las gráficas de contornos. Este método consiste en
proyectar las superficies de respuesta (gráfica de contornos) para el nivel de servicio y
para el inventario en proceso a la vez, y estudiar gráficamente en que zona se cumplen
- 102 -
las condiciones de búsqueda, es decir, nivel de servicio medio del 98% con el menor
WIP. De las distintas combinaciones que cumplen esta condición, se estudian aquellas
que son soluciones admisibles. Por soluciones admisibles se entienden aquellas que
tienen un intervalo de confianza para el nivel de servicio en el que el valor del 98% está
incluido. Del análisis de estas soluciones se observa que todas ellas cumplen la
propiedad de que sus parámetros K (0) y E suman un valor constante.
Su representación es un línea recta que la denominamos “trayectoria de las soluciones
admisibles”. Analizando las combinaciones que forman parte de esta pseudotrayectoria, llegamos a una combinación que parece ser la que mejor cumple las
condiciones de búsqueda. Para comprobar esto se realiza una búsqueda exhaustiva en
todo el espacio de las soluciones y se demuestra que efectivamente es así. Esto abre las
puertas para pensar en un método de búsqueda que nos permita llegar a esta
combinación con el menor número de simulaciones y por tanto, con el menor consumo
de tiempo y de recursos computacionales, pero antes creemos conveniente el estudio de
un método de optimización multirespuesta más formal que el de superposición de las
gráficas de contorno.
En la tercera parte de esta fase se estudia la metodología RSM multirespuesta. Esta
metodología se basa en utilizar una función denominada desirability (deseabilidad en
inglés). La idea es emplear una función que si esta próxima a los valores deseados toma
el valor uno y si esta lejos toma el valor cero. Hay una función desirability por cada una
de las respuestas que intervienen en el proceso, y según se pretenda maximizar,
minimizar o conseguir un determinado valor, así es la función desirability a emplear.
Además, cada una de estas funciones depende de un exponente, llamado peso, que hace
que jueguen un papel más o menos relevante. El valor de este peso lo decide el
experimentador, según sean sus intereses. El papel de todas las funciones desirability
que intervienen en un experimento lo recoge el índice D, que se define como la media
geométrica de las funciones desirability que intervienen. Este índice toma valores
comprendidos entre cero y uno, tomando un valor más cercano a uno conforme más se
acerque el conjunto de las funciones desirability al deseo del experimentador.
En esta última parte de la experimentación se aplica esta metodología en la misma
región de experimentación a la que anteriormente se le había aplicado el método de
superposición de las graficas de contornos. Se realiza una batería de experimentos con
distintas combinaciones de pesos, desde la más moderada a aquella que expresa con
mayor exigencia las condiciones de búsqueda. Se llega a la conclusión de que el empleo
de esta metodología no aporta una ventaja significativa al análisis de la“trayectoria de
las soluciones admisibles”, ya que sólo parece capaz de proporcionar soluciones
alrededor de esta pseudo-trayectoria, sin embargo si que puede ser muy útil para
estudiar la respuesta de las dos variables de salida en una región de interés, como se
verá en el capítulo seis al proponer un método de búsqueda de la solución óptima.
- 103 -
5.2.-DETERMINACION DE LOS FACTORES SIGNIFICATIVOS
El objeto del presente proyecto es la optimización de una línea de fabricación, de un
solo producto, controlada mediante un sistema Conwip adaptativo como el propuesto
por Framiñán et al. (ver la sección 2.3). Este sistema está definido por dos parámetros K
(0) y E, donde:
•
K (0), es el número de tarjetas fijo que van a circular por el sistema.
•
E, es el número de tarjetas extra, que según sea el nivel de inventario en el
almacén de productos terminados, van a ser añadidas o extraídas del sistema.
Según el valor tomado por estos dos parámetros así será el comportamiento del sistema,
por lo que estos dos parámetros van a ser los dos factores que se van a analizar.
A continuación se ha de definir la región de experimentación, para lo que es necesario
definir qué valores van a tomar cada uno de los factores. En su estudio, Framiñán et al,
realizaron un experimento destinado a comparar las prestaciones del sistema PS con las
del sistema propuesto por Tardif y Maaseidvaag. En él la combinación que emplearon
fue K (0) = 2 y E =8. Se ha decidido que esta sea el punto en el que nos vamos a basar
para hallar la región de experimentación inicial. El nivel de servicio objetivo fue el del
100% debido a que el sistema de Tardif y Maaseidvaag esta diseñado para trabajar al
máximo nivel de servicio. Ya que la referencia que tenemos es este modelo, los
experimentos que vamos a realizar inicialmente también van a tener como nivel objetivo
este mismo valor.
El valor de dos tarjetas iniciales es un valor muy bajo para el parámetro K (0) por lo que
tras la realización de varias pruebas piloto se ha decidido que este sea el extremo
inferior del intervalo en el que se van a hallar los valores iniciales del factor K (0). Por
contra, el valor 8 para el parámetro E, nos parece idóneo como centro del intervalo en el
que vamos a hallar los niveles de este parámetro. Cada factor va a tener dos niveles, el
mayor de ellos se denominara nivel alto y el menor, nivel bajo. Esto va a dar lugar a un
experimento factorial de dos factores con dos niveles cada uno de ellos. Para determinar
la cantidad que cada factor va a variar respecto a la combinación anterior, se ha
realizado un pequeño programa en Excel que proporciona una variación aleatoria del 5
al 100 % del valor dado. Para el factor K (0), la variación dada por este programa fue
del 98 %, lo que significa un valor de 1,96. Como el valor inferior del intervalo ya lo
tenemos fijado en 2, una variación del 98% significa que el nivel alto va a corresponder
con un valor de 4 tarjetas. Para el parámetro E el proceso es análogo, salvo que la
variación va a ser respecto al valor 8. El valor devuelto por el programa fue de una
variación del 25%, lo que significa el valor bajo va a ser de 6 tarjetas y el alto de 10. En
figura 5.1 se muestra la región de experimentación y en la tabla 5.1 se muestran los
valores que la van a definir:
- 104 -
(4,10)
Factor B
(2,10)
(2,6)
(4,6)
Factor A
Figura 5.1. Región de experimentación en el experimento inicial.
Factores Nivel Bajo Nivel Alto
2
6
K (0)
4
10
E
Tabla 5.1. Niveles de los cuatro factores tomados en el experimento inicial.
Los cuatro factores van a dar lugar a 22 combinaciones, dando por tanto lugar a 4
escenarios.
Escenario
1
2
3
4
K(0)
2
4
2
4
E
6
6
10
10
Tabla 5.2. Escenarios en el experimento inicial.
Como ya se ha visto en el capítulo 4, en diseño de experimentos se emplea la notación
de “-” y “+”, para los niveles bajo y alto respectivamente. La tabla anterior en esta
notación queda:
Escenario
1
2
3
4
K(0)
+
+
E
+
+
Tabla 5.3. Escenarios en notación de diseño de experimentos para el experimento inicial.
- 105 -
También se emplea la notación en variables codificadas –1 y 1, siendo esta muy útil a la
hora de realizar los cálculos. Expresar los factores en variables codificadas es inmediato
con el empleo de las formulas:
χ1 =
ξ1 − 3
1
, χ2 =
ξ2 − 8
2
,
con lo que la tabla anterior queda de la forma:
Escenario
1
2
3
4
K(0)
-1
1
-1
1
E
-1
-1
1
1
Tabla 5.4. Escenarios en notación de variables codificadas para el experimento inicial.
El número total de escenarios que van a formar parte del experimento es de 4. Para la
realización del experimento se van a realizar por tanto 4 simulaciones.
La matriz de diseño del experimento inicial es la siguiente:
Tratamientos
(I)
a
b
A
-1
1
-1
B AB
-1 1
-1 -1
1 -1
Tabla 5.5. Matriz de diseño del experimento inicial.
Los factores se representan de la siguiente manera en la tabla 5.5:
•
A es el factor K (0), número de tarjetas.
•
B es el factor E, número de tarjetas extras.
•
AB es la interacción entre el factor K y el E.
En la tabla 5.5 se muestran las variables codificadas
En las tablas 5.2 y 5.3 se representan los escenarios de simulación y los niveles de cada
uno de los factores involucrados en el experimento. Hay 22 = 4 escenarios por lo que
- 106 -
habrá otras tantas simulaciones. Estas se realizan aleatoriamente y el resultado obtenido
se muestra en la tabla 5.6:
Escenario Nivel de servicio medio (%) STD Nivel de Servicio WIP medio
1
1,392
2,4649
8,024
2
64,594
5,0789
10,019
3
29,115
6,2844
12,037
4
82,338
4,1386
14,001
STD WIP
0,0073
0,0058
0,0075
0,0067
Tabla 5.6. Resultados de las simulaciones de los escenarios del experimento inicial.
Con los resultados de las simulaciones en todos los escenarios que definen la región de
experimentación ya se tienen todos los datos necesarios para la realización del análisis
de varianza. Se va ha utilizar una tabla como la siguiente:
Termino
A
B
AB
Error
Total
Efectos
SS
Porcentaje
g.d.l
MSS
Fo
Fo Tablas
Tabla 5.7. Formato de la tabla utilizada para el análisis de varianza del experimento inicial.
En la segunda columna se van a representar los efectos de los factores y sus
interacciones, en la tercera la suma de los cuadrados y en la cuarta el porcentaje de cada
suma de cuadrados respecto al la suma de cuadrados total. La quinta corresponde a los
grados de libertad, la sexta a los cuadrados medios, la séptima al estadístico Fo
calculado con el cociente de los cuadrados medio y la octava y última corresponde a los
valores de la distribución F hallados con la función del programa Excel DISTR.F.INV.
En la tabla se escribe la palabra “tablas” por claridad en la representación de los
resultados. El significado de todos estos términos se explica con detalle en el capítulo
cuarto del presente proyecto.
Tomando los resultados de las simulaciones expuestos en la tabla 5.6, los resultados del
análisis de varianza para el experimento inicial se exponen a continuación:
- 107 -
Termino
A
B
AB
Error
Total
Efectos
SS
Porcentaje
58,21 101660,85
84,28
22,73
15504,36
12,87
-4,99
746,85
0,62
2566,29
2,13
120492,80 100,00
g.d.l
1
1
1
116
119
MSS
Fo
Fo Tablas
3,92
101700 4595,22
3,92
15472,80 700,82
3,92
753,77
33,76
22,12
Tabla 5.8. Análisis de varianza del experimento inicial.
Los resultados obtenidos muestran que los dos factores y su interacción son
significativos, con lo que el modelo de regresión vendrá dado por la expresión:
yˆ = β 0 + β1 x1 + β 2 x2 + β12 x1 x2
(61)
Donde β 0 se va estimar por el promedio de la respuesta obtenida en todos los escenarios.
Los coeficientes β1, β2 y β12 van a valer la mitad del valor del efecto correspondiente.
Así el modelo queda:
yˆ = 44,36 + 29,11x1 + 11,37 x2 − 2,49 x1 x2
Las variables x1 y x2 son las variables codificadas. El modelo en variables naturales
queda de la forma:
yˆ = −118,48 + 39,14ξ1 + 9,48ξ 2 − 1,25ξ1ξ 2
El siguiente paso es verificar la adecuación del modelo para lo que se va a emplear el
análisis gráfico de los residuales (ver la sección 4.2 del capítulo 4). Recordemos que un
residual se define como la diferencia entre la repuesta obtenida en cada réplica y el
valor predicho por el modelo ajustado para esa misma combinación de factores. Como
se tienen 4 simulaciones y cada una de ellas compuesta por 30 réplicas, tendremos un
total de 120 residuales. Las respuestas del sistema, las respuestas estimadas por el
modelo ajustado y sus correspondientes residuales se muestran en la tabla 5.9:
Respuestas
0,00
0,00
0,00
2,30
0,00
0,00
0,00
0,00
7,65
0,00
0,00
Predicción
1,39
1,39
1,39
1,39
1,39
1,39
1,39
1,39
1,39
1,39
1,39
- 108 -
Residuales
-1,39
-1,39
-1,39
0,91
-1,39
-1,39
-1,39
-1,39
6,26
-1,39
-1,39
9,02
0,00
4,23
0,00
0,00
4,47
0,00
0,00
5,09
0,00
0,00
0,00
3,58
3,10
0,00
0,85
0,00
1,46
0,00
68,63
66,21
70,42
63,82
56,26
58,91
76,42
63,67
61,82
63,56
71,43
60,54
60,79
71,32
68,50
64,58
65,18
57,55
61,20
63,29
73,93
64,26
60,16
53,86
68,65
65,29
64,80
64,24
63,83
66,07
27,08
25,57
15,10
22,51
1,39
1,39
1,39
1,39
1,39
1,39
1,39
1,39
1,39
1,39
1,39
1,39
1,39
1,39
1,39
1,39
1,39
1,39
1,39
64,59
64,59
64,59
64,59
64,59
64,59
64,59
64,59
64,59
64,59
64,59
64,59
64,59
64,59
64,59
64,59
64,59
64,59
64,59
64,59
64,59
64,59
64,59
64,59
64,59
64,59
64,59
64,59
64,59
64,59
29,11
29,11
29,11
29,11
- 109 -
7,63
-1,39
2,84
-1,39
-1,39
3,08
-1,39
-1,39
3,70
-1,39
-1,39
-1,39
2,19
1,71
-1,39
-0,54
-1,39
0,07
-1,39
4,04
1,62
5,83
-0,77
-8,33
-5,68
11,83
-0,92
-2,77
-1,03
6,84
-4,05
-3,80
6,73
3,91
-0,01
0,59
-7,04
-3,39
-1,30
9,34
-0,33
-4,43
-10,73
4,06
0,70
0,21
-0,35
-0,76
1,48
-2,03
-3,54
-14,01
-6,60
29,81
24,13
27,85
28,96
29,31
34,24
23,55
41,57
22,71
21,81
26,62
37,30
39,33
27,82
21,73
30,67
24,64
34,87
31,00
31,43
41,77
29,59
35,58
26,13
34,97
25,77
85,50
81,94
87,54
83,22
77,59
75,02
84,67
88,11
78,71
85,60
82,09
81,79
79,27
88,51
87,92
78,22
84,32
80,40
81,36
83,51
91,47
77,50
82,63
78,60
75,15
79,03
84,93
29,11
29,11
29,11
29,11
29,11
29,11
29,11
29,11
29,11
29,11
29,11
29,11
29,11
29,11
29,11
29,11
29,11
29,11
29,11
29,11
29,11
29,11
29,11
29,11
29,11
29,11
82,38
82,38
82,38
82,38
82,38
82,38
82,38
82,38
82,38
82,38
82,38
82,38
82,38
82,38
82,38
82,38
82,38
82,38
82,38
82,38
82,38
82,38
82,38
82,38
82,38
82,38
82,38
- 110 -
0,70
-4,98
-1,26
-0,15
0,20
5,13
-5,56
12,46
-6,40
-7,30
-2,49
8,19
10,22
-1,29
-7,38
1,56
-4,47
5,76
1,89
2,32
12,66
0,48
6,47
-2,98
5,86
-3,34
3,12
-0,44
5,16
0,84
-4,79
-7,36
2,29
5,73
-3,67
3,22
-0,29
-0,59
-3,11
6,13
5,54
-4,16
1,94
-1,98
-1,02
1,13
9,09
-4,88
0,25
-3,78
-7,23
-3,35
2,55
79,13
80,75
85,65
82,38
82,38
82,38
-3,25
-1,63
3,27
Tabla 5.9. Residuales del experimento inicial.
El análisis gráfico de los residuales consta principalmente de tres pruebas. En la primera
se pretende probar que los residuales no violan el supuesto de que el error del modelo
sigue una distribución normal independiente de media cero. Para la realización de esta
prueba se realiza una gráfica de distribución normal para los residuales. Si estos
cumplen el supuesto de normalidad, su representación será aproximadamente una línea
recta. En la gráfica 5.1 se aprecia que los residuales siguen aproximadamente una línea
recta. También se puede apreciar que la rama de la derecha es algo más larga que la de
la izquierda, significando esto que la distribución de los errores tiene un ligero sesgo,
sin embargo esto no indica una desviación importante de la distribución normal, por lo
que esta primera prueba se da por superada.
% de probabilidad normal
99
95
90
80
70
50
30
20
10
5
1
-3.03
-1.59
-0.15
1.30
2.74
Residuales
Gráfica 5.1. Probabilidad normal de los residuales en el experimento inicial.
La siguiente prueba consiste en representar los residuales frente a la respuesta predicha
por el modelo. Lo que se pretende demostrar es que los residuales no están relacionados
con la respuesta y para ello en esta gráfica deben mostrar que no siguen ningún tipo de
patrón. En la gráfica 5.2 se puede apreciar que los residuales no presentan ningún tipo
de estructura, por lo que se puede afirmar que no están relacionados con la respuesta
predicha por el modelo.
- 111 -
15,00
10,00
Residuales
5,00
0,00
0,00
-5,00
20,00
40,00
60,00
80,00
100,00
-10,00
-15,00
Nivel de Servicio Predicho
Gráfica 5.2. Residuales frente a Ŷ en el experimento inicial.
Esta serie de pruebas finaliza con la representación de los residuales frente al orden de
realización de las simulaciones. Con esta prueba se pretende averiguar si existe una
correlación entre el valor de los residuales y el orden en que las simulaciones se
realizaron. En el caso de existir dicha correlación se rompería el supuesto de
independencia. En la gráfica 5.3 se muestran los residuales anteriores frente al orden en
el que se recopilaron los datos por lo que se acepta que no se rompe la condición de
independencia.
15,00
Residuales
10,00
5,00
0,00
0
20
40
60
80
100
120
-5,00
-10,00
-15,00
Orden de Realización de la Sim ulación
Gráfica 5.3. Residuales frente al orden de simulación en el experimento inicial.
- 112 -
El resultado del análisis gráfico de los residuales no muestra ningún patrón que haga
sospechar que el modelo no es adecuado, por lo que se puede tomar este como una
buena representación del experimento realizado.
Los efectos de los factores principales y de la interacción los podemos representar de
forma gráfica para evaluarlos. Las siguientes gráficas muestran la variación que se
produce en la respuesta al pasar del nivel bajo al alto para cada uno de los factores
significativos en el modelo y para la interacción:
80
Nivel de Servicio
70
60
50
40
30
20
10
0
1
2
3
4
5
Factor A
Gráfica 5.4.Gráfica del efecto principal A en el experimento inicial.
80
Nivel de Servicio
70
60
50
40
30
20
10
0
5
6
7
8
9
10
Factor B
Gráfica 5.5.Gráfica del efecto principal B en el experimento inicial.
- 113 -
11
90
Nivel de Servicio
80
70
60
50
40
30
Nivel alto de B
20
Nivel bajo de B
10
0
1
2
3
4
5
Interacción A-B
Gráfica 5.6. Gráfica de la interacción A-B en el experimento inicial.
Queda de manifiesto que el nivel de servicio aumenta con el aumento de los factores
principales. El sistema parece más sensible al aumento del número de tarjetas K (0)
(factor A) que al aumento del número de tarjetas extras, E, (factor B).
La interacción entre los factores A y B parece indicar que el nivel de servicio aumenta
algo más cuando se trabaja con el nivel bajo del factor B. Esto hace pensar que el nivel
de servicio variará más al incrementarse el número de tarjetas K (0) con valores bajos
del número de tarjetas extra.
Este resultado tendremos que confirmarlo cuando se realicen los experimentos
encaminados a la optimización del sistema.
- 114 -
5.3.-APLICACIÓN DE LA METODOLOGÍA RSM. CASO λ=100%
En la segunda fase de la experimentación se va llevar a cabo la optimización para lo que
se va a emplear la metodología RSM (ver sección 4.4.). Como se recordará, la
metodología RSM es un proceso secuencial que comienza aproximando la superficie de
respuesta con un modelo lineal de primer orden y para ajustar un modelo de este tipo
había que recurrir a un diseño ortogonal de primer orden. Un diseño factorial 22 como
el que esta siendo objeto de estudio, es un diseño de este tipo, sin embargo no permite
estimar el error experimental por lo que estamos en la obligación de incluir
observaciones en el punto central de la región de experimentación con este fin. Por
tanto, la región de experimentación va a ser aumentada con un nuevo escenario,
correspondiente a las observaciones del punto central. Este nuevo escenario va a ser el
dado por K (0) =3 y E = 8. El resto del diseño va ser el mismo que para el caso anterior
del diseño de caracterización. Ahora el experimento queda:
Factor B
(2,10)
(1,10)
(3,8)
(2,6)
(4,6)
Factor A
Figura 5.2. Región de experimentación del experimento inicial con punto central.
Escenario
1
2
3
4
5
K(0)
2
4
2
4
3
E
6
6
10
10
8
Tabla 5.10. Escenarios en el experimento inicial con punto central en variables naturales.
En variables codificadas tenemos:
- 115 -
Escenario
1
2
3
4
5
K(0)
-1
1
-1
1
0
E
-1
-1
1
1
0
Tabla 5.11. Escenarios en el experimento inicial con punto central en variables codificadas.
El resultado del experimento con el punto central es el siguiente:
Escenario Nivel de servicio medio (%) STD Nivel de Servicio WIP medio STD WIP
1
1,392
2,4649
8,024
0,0073
2
64,594
5,0789
10,019
0,0058
3
29,115
6,2844
12,037
0,0075
4
82,338
4,1386
4,1386
0,0067
5
52,173
5,5164
11,023
0,003
Tabla 5.12. Resultados de las simulaciones de los escenarios del experimento inicial con punto central.
La adición de este nuevo punto no va a influir en los efectos y por consiguiente en los
coeficientes de regresión del modelo salvo en el termino β0 que se estimaba con el
promedio de todas las réplicas del experimento. Por tanto, el modelo en variables
codificadas a ajustar va a ser:
yˆ = 45,93 + 29,11x1 + 11,37 x2 − 2,49 x1 x2
Sin embargo el modelo obtenido anteriormente tiene un término cruzado que hace que
este pierda la linealidad. Para solucionar esto se hace el siguiente cambio de variables:
x3 = x1 x2
β 3 = β12
(62)
Con lo que el modelo ajustado, en variables codificadas se puede escribir de la forma:
yˆ = 45,93 + 29,11x1 + 11,37 x2 − 2,49 x3
y en variables naturales:
yˆ = −116,92 + 39,14ξ1 + 9,48ξ 2 − 1,25ξ 3
- 116 -
Siendo un modelo lineal múltiple de tres regresores.
A continuación el modelo ajustado se somete a la prueba de significación de los
coeficientes estimados, a la prueba de falta de ajuste y al análisis gráfico de los
residuales para comprobar su adecuación.
Las primeras pruebas dos pruebas se muestran en la siguiente tabla:
Termino
Regresión (Modelo)
Residual
(Falta de ajuste LOF)
(Error puro)
Total
SS
117165,22
4913,85
1465,13
3448,72
122079,07
g.d.l
3
146
1
145
149
MSS
Fo
Fo Tablas
39055,07 1160,40
2,67
33,66
1465,13
61,60
3,91
23,78
Tabla 5.13.Prueba de significación y falta de ajuste del experimento inicial con punto central.
Observando la tabla se puede ver que la condición de rechazo de la hipótesis de
significación se cumple, 1160,40> 2.67, por lo que pedemos rechazar la hipótesis nula,
siendo por tanto el modelo ajustado significativo.
Para la prueba de la falta de ajuste no se cumple que el estadístico Fo sea menor que
F0.05, 1,145 (61,60 > 3,91), por lo que no se acepta la hipótesis de que el modelo ajustado
de primer orden sea lineal.
Dados estos resultados no es necesario realizar el análisis gráfico de los residuales ya
que el modelo no se puede dar por adecuado.
Todo parece indicar que en esta región el modelo va a ser de segundo orden. El diseño
indicado para ajustar un modelo de segundo orden es el diseño central compuesto (ver
sección 4.4). Para convertir el diseño empleado hasta este momento en uno de este tipo,
necesitamos ampliar la región de experimentación con 2k observaciones axiales. En
nuestro caso k = 2, por lo que el número de observaciones axiales va a ser de cuatro. Lo
ideal es que estas observaciones se elijan de forma que el diseño resultante sea rotable
(ver sección 4.4), para ello la distancia α al centro de la región debe de elegirse según la
expresión α = (nf)1/4. Recordemos que nf era el número de puntos del diseño factorial.
En nuestro caso nf vale 4 y α toma el valor de 1,4142, dando una región de exploración
como la que se muestra en la figura 5.3:
- 117 -
(3,10.83)
Factor B
(2,10)
(1,10)
(1.59,8)
(4.41,8)
(3,8)
(2,6)
(4,6)
(3,10.83)
Factor A
Figura 5.3. Región de experimentación del experimento central compuesto inicial.
Sin embargo se observa que esta región de exploración no es viable para nosotros, ya
que tanto los parámetros K (0) como E deben tomar valores enteros. Esto nos lleva a
elegir como diseño una variante del anterior, en la que α toma el valor 1. A un diseño de
este tipo se le denomina diseño central compuesto con centros en las caras (ver sección
4.4.). Un diseño de este tipo no es rotable, sin embargo es perfectamente valido para
ajustar un modelo de segundo orden. La región de experimentación se muestra en la
figura 5.4, y los escenarios en las tablas 5.14 y 5.15, tanto en variables naturales como
codificadas:
Factor B
(2,10)
(3,10)
(2,8)
(1,10)
(4,8)
(3,8)
(2,6)
(3,6)
(4,6)
Factor A
Figura 5.4. Región de experimentación del experimento central compuesto inicial con centros en las caras.
- 118 -
Escenario
1
2
3
4
5
6
7
8
9
K(0)
2
4
2
4
2
4
3
3
3
E
6
6
10
10
8
8
6
10
8
Tabla 5.14. Escenarios en el experimento central compuesto con centros en las caras inicial en variables naturales.
Escenario
1
2
3
4
5
6
7
8
9
K
-1
1
-1
1
-1
1
0
0
0
E
-1
-1
1
1
0
0
-1
1
0
Tabla 5.15. Escenarios en el experimento central compuesto con centros en las caras inicial en variables codificadas.
Los resultados de las simulaciones en esta nueva región de experimentación han sido las
siguientes:
Escenario Nivel de servicio medio (%) STD Nivel de Servicio WIP medio STD WIP
1
1,392
2,4649
8,024
0,0073
2
64,594
5,0789
10,019
0,0058
3
29,115
6,2844
12,037
0,0075
4
82,338
4,1386
4,1386
0,0067
5
16.348
6.2939
10.037
0.0057
6
75.379
4.0154
12.010
0.0069
7
36.470
5.8466
9.025
0.0062
8
61.718
5.1182
13.016
0.0083
9
52,173
5,5164
11,023
0,003
Tabla 5.16. Resultados de las simulaciones de los escenarios del experimento central compuesto con
centros en las caras.
- 119 -
El análisis de varianza del modelo completo ofrece los siguientes resultados:
Termino Efectos
SS
Porcentaje g.d.l
MSS
Fo
Fo Tablas
A
58,21 154004,77
81,68
1 154004,77 5875,08
3,88
B
22,73 24969,76
13,24
1
24969,76 952,56
3,88
A2
-10,5
1654,87
0,88
1
1654,87
63,13
3,88
2
B
-4,04
245,09
0,13
1
245,09
9,35
3,88
AB
-4,99
753,77
0,40
1
753,77
28,76
3,88
Error
6920,28
3,67
264
26,21
Total
188548,54 100,00
269
Tabla 5.17. Análisis de varianza del experimento central compuesto con centros en las caras.
Analizando los resultados obtenidos se aprecia que todos los términos son significativos
por lo que el modelo de segundo orden queda, en variables codificadas, de la siguiente
forma:
yˆ = 51.47 + 29.11x1 + 11.37 x 2 − 5.25x12 − 2.02 x 22 − 2.49 x1 x2
y en variables naturales:
yˆ = −193 .07 + 70.79ξ1 + 17.73ξ 2 − 5.25ξ12 − 0.51ξ 22 − 1.25ξ1ξ 2
Ahora, el modelo debe de pasar la batería de pruebas necesarias para probar su
adecuación. Las dos primeras pruebas a las que se va a someter son la de significación
de sus coeficientes y la de falta de ajuste. En la tabla siguiente se pueden observar los
resultados obtenidos en ambas pruebas:
Termino
SS
Modelo
181628,25
Residual
6920,28
(Falta de ajuste LOF)
104,22
(Error puro)
6816,06
Total
188548,54
g.d.l
5
264
3
261
269
MSS
Fo
Fo Tablas
36325,65 1385,78
2,25
26,21
34,74
1,33
2,64
26,12
Tabla 5.18.Prueba de significación y falta de ajuste del modelo de segundo orden propuesto.
El modelo resulta significativo ya que F0 > F.05,5, 264 y por lo tanto la hipótesis nula se
rechaza. La prueba de falta de ajuste también la pasa el modelo propuesto, ya que se
cumple la condición F0 < F.05,3, 261 , lo cual significa que no se rechaza la hipótesis nula,
con lo que el modelo se ajusta a la superficie de respuesta real.
- 120 -
La última prueba a realizar para probar la adecuación del modelo es el análisis gráfico
de los residuales. A continuación se muestran los resultados obtenidos:
Respuestas
0,00
0,00
0,00
2,30
0,00
0,00
0,00
0,00
7,65
0,00
0,00
9,02
0,00
4,23
0,00
0,00
4,47
0,00
0,00
5,09
0,00
0,00
0,00
3,58
3,10
0,00
0,85
0,00
1,46
0,00
68,63
66,21
70,42
63,82
56,26
58,91
76,42
63,67
61,82
63,56
71,43
60,54
60,79
71,32
68,50
64,58
65,18
Predicción
0,66
0,66
0,66
0,66
0,66
0,66
0,66
0,66
0,66
0,66
0,66
0,66
0,66
0,66
0,66
0,66
0,66
0,66
0,66
0,66
0,66
0,66
0,66
0,66
0,66
0,66
0,66
0,66
0,66
0,66
64,17
64,17
64,17
64,17
64,17
64,17
64,17
64,17
64,17
64,17
64,17
64,17
64,17
64,17
64,17
64,17
64,17
- 121 -
Residuales
-0,66
-0,66
-0,66
1,64
-0,66
-0,66
-0,66
-0,66
6,99
-0,66
-0,66
8,36
-0,66
3,57
-0,66
-0,66
3,81
-0,66
-0,66
4,43
-0,66
-0,66
-0,66
2,92
2,44
-0,66
0,19
-0,66
0,80
-0,66
4,45
2,04
6,25
-0,35
-7,91
-5,26
12,24
-0,50
-2,36
-0,61
7,26
-3,63
-3,39
7,15
4,33
0,40
1,01
57,55
61,20
63,29
73,93
64,26
60,16
53,86
68,65
65,29
64,80
64,24
63,83
66,07
27,08
25,57
25,10
22,51
29,81
24,13
27,85
28,96
29,31
34,24
23,55
41,57
22,71
21,81
26,62
37,30
39,33
27,82
21,73
30,67
24,64
34,87
31,00
31,43
41,77
29,59
35,58
26,13
34,97
25,77
85,50
81,94
87,54
83,22
77,59
75,02
84,67
88,11
78,71
85,60
64,17
64,17
64,17
64,17
64,17
64,17
64,17
64,17
64,17
64,17
64,17
64,17
64,17
29,23
29,23
29,23
29,23
29,23
29,23
29,23
29,23
29,23
29,23
29,23
29,23
29,23
29,23
29,23
29,23
29,23
29,23
29,23
29,23
29,23
29,23
29,23
29,23
29,23
29,23
29,23
29,23
29,23
29,23
82,72
82,72
82,72
82,72
82,72
82,72
82,72
82,72
82,72
82,72
- 122 -
-6,62
-2,98
-0,88
9,76
0,09
-4,02
-10,31
4,47
1,12
0,63
0,07
-0,34
1,90
-2,15
-3,66
-4,13
-6,72
0,58
-5,10
-1,38
-0,26
0,08
5,01
-5,68
12,34
-6,51
-7,42
-2,61
8,07
10,10
-1,41
-7,50
1,44
-4,58
5,64
1,77
2,20
12,55
0,36
6,35
-3,10
5,74
-3,46
2,78
-0,78
4,82
0,50
-5,13
-7,69
1,96
5,40
-4,01
2,88
82,09
81,79
79,27
88,51
87,92
78,22
84,32
80,40
81,36
83,51
91,47
77,50
82,63
78,60
75,15
79,03
84,93
79,13
80,75
85,65
12,95
12,63
19,52
23,67
8,34
10,92
13,88
24,69
22,98
16,80
9,00
22,23
1,62
15,26
10,58
23,89
22,82
17,63
7,69
22,57
5,25
18,03
13,51
19,37
20,72
18,33
25,50
21,65
12,61
15,81
77,14
71,03
75,43
82,72
82,72
82,72
82,72
82,72
82,72
82,72
82,72
82,72
82,72
82,72
82,72
82,72
82,72
82,72
82,72
82,72
82,72
82,72
82,72
16,97
16,97
16,97
16,97
16,97
16,97
16,97
16,97
16,97
16,97
16,97
16,97
16,97
16,97
16,97
16,97
16,97
16,97
16,97
16,97
16,97
16,97
16,97
16,97
16,97
16,97
16,97
16,97
16,97
16,97
75,47
75,47
75,47
- 123 -
-0,63
-0,92
-3,44
5,80
5,21
-4,49
1,60
-2,32
-1,35
0,79
8,75
-5,22
-0,09
-4,12
-7,57
-3,69
2,21
-3,59
-1,97
2,94
-4,02
-4,34
2,55
6,70
-8,62
-6,04
-3,08
7,72
6,01
-0,17
-7,97
5,27
-15,35
-1,70
-6,38
6,92
5,85
0,66
-9,27
5,60
-11,72
1,07
-3,46
2,41
3,75
1,36
8,53
4,69
-4,36
-1,16
1,68
-4,43
-0,04
79,92
71,99
63,93
76,98
77,88
77,29
82,95
77,49
73,92
72,02
80,08
77,33
74,60
74,85
77,93
78,38
70,94
80,20
77,75
70,15
74,74
73,93
70,47
77,33
73,77
70,81
80,14
36,82
42,77
36,83
26,28
35,17
23,83
33,88
39,83
46,12
45,49
31,19
37,33
38,36
37,43
37,11
42,71
39,21
39,46
42,11
43,34
37,66
31,51
29,86
21,61
34,19
35,29
75,47
75,47
75,47
75,47
75,47
75,47
75,47
75,47
75,47
75,47
75,47
75,47
75,47
75,47
75,47
75,47
75,47
75,47
75,47
75,47
75,47
75,47
75,47
75,47
75,47
75,47
75,47
37,67
37,67
37,67
37,67
37,67
37,67
37,67
37,67
37,67
37,67
37,67
37,67
37,67
37,67
37,67
37,67
37,67
37,67
37,67
37,67
37,67
37,67
37,67
37,67
37,67
37,67
- 124 -
4,45
-3,48
-11,54
1,51
2,42
1,82
7,49
2,02
-1,55
-3,45
4,62
1,87
-0,87
-0,62
2,46
2,91
-4,53
4,73
2,29
-5,31
-0,72
-1,53
-5,00
1,86
-1,69
-4,66
4,67
-0,85
5,10
-0,84
-11,39
-2,50
-13,84
-3,79
2,16
8,45
7,82
-6,48
-0,34
0,69
-0,24
-0,56
5,04
1,54
1,79
4,45
5,67
-0,01
-6,16
-7,81
-16,06
-3,48
-2,38
35,03
34,23
39,43
40,07
64,41
64,37
61,42
62,36
54,95
56,67
63,66
58,41
63,62
66,68
56,88
60,00
67,38
69,01
65,65
61,07
56,28
65,83
63,95
60,52
67,93
62,67
60,97
52,04
55,68
49,65
57,07
65,29
70,41
66,69
46,07
53,15
60,92
46,78
54,01
47,41
57,15
51,22
50,17
48,74
48,49
50,73
56,23
57,29
56,57
61,94
52,83
61,08
56,44
37,67
37,67
37,67
37,67
61,22
61,22
61,22
61,22
61,22
61,22
61,22
61,22
61,22
61,22
61,22
61,22
61,22
61,22
61,22
61,22
61,22
61,22
61,22
61,22
61,22
61,22
61,22
61,22
61,22
61,22
61,22
61,22
61,22
61,22
51,47
51,47
51,47
51,47
51,47
51,47
51,47
51,47
51,47
51,47
51,47
51,47
51,47
51,47
51,47
51,47
51,47
51,47
51,47
- 125 -
-2,64
-3,44
1,76
2,40
3,19
3,14
0,19
1,13
-6,27
-4,56
2,44
-2,81
2,39
5,46
-4,34
-1,22
6,16
7,78
4,43
-0,15
-4,94
4,61
2,72
-0,71
6,71
1,44
-0,25
-9,18
-5,54
-11,57
-4,16
4,06
9,19
5,47
-5,40
1,68
9,45
-4,68
2,54
-4,06
5,68
-0,25
-1,30
-2,72
-2,98
-0,73
4,77
5,82
5,10
10,47
1,36
9,61
4,98
50,01
59,33
50,95
47,20
44,14
45,72
40,40
46,38
57,69
55,04
51,07
51,47
51,47
51,47
51,47
51,47
51,47
51,47
51,47
51,47
51,47
51,47
-1,46
7,86
-0,51
-4,27
-7,33
-5,75
-11,07
-5,08
6,22
3,57
-0,39
Tabla 5.19. Residuales del modelo de segundo orden propuesto.
% de probabilidad normal
99
95
90
80
70
50
30
20
10
5
1
-14.14
-7.47
-0.80
5.86
12.53
Residuales
Gráfica 5.7. Probabilidad normal de los residuales del modelo de segundo propuesto.
- 126 -
15,00
Residuales
10,00
5,00
0,00
0,00
-5,00
20,00
40,00
60,00
80,00
100,00
-10,00
-15,00
Nivel de Servicio Predicho
Gráfica 5.8. Residuales frente a Ŷ en el experimento central compuesto con centros en las caras.
15,00
Residuales
10,00
5,00
0,00
0
20
40
60
80
100
120
-5,00
-10,00
-15,00
Orden de Realización de la Sim ulación
Gráfica 5.9. Residuales frente al orden de avaluación del experimento central compuesto con centros en las caras.
En la gráfica de la probabilidad normal se aprecia que los puntos siguen bastante
aproximadamente una línea recta. Esto indica que el modelo cumple el supuesto de
normalidad. Observando la gráfica podemos apreciar que ambas ramas tienen
aproximadamente la misma longitud, indicando esto que no se aprecia ningún sesgo. En
las otras dos gráficas no se aprecia que los puntos sigan ningún patrón. Como
consecuencia de estos resultados el modelo se puede dar por adecuado.
- 127 -
A tenor de los resultados obtenidos podemos asegurar que la superficie de respuesta
proporcionada por este modelo de segundo orden se ajusta con bastante exactitud a la
superficie de respuesta real en la región de experimentación. El siguiente paso, dentro
del proceso secuencial de la metodología RSM, es encontrar el máximo, si existe, de la
superficie de respuesta ajustada. Este punto singular se puede hallar de forma analítica
expresando el modelo en forma matricial (ver apartado cuarto del capítulo cuatro):
yˆ = βˆ0 + x' b + x' Bx
(63)
y aplicando la formula:
1
x s = − B −1 b
2
(64)
En nuestro caso las matrices que intervienen van a tener los siguientes valores:
⎡− 5.25 − 1.25 ⎤
⎡29.11⎤
⎡x ⎤
B
=
x = ⎢ 1⎥ b = ⎢
⎢ − 1.25 − 2.02⎥
⎥
⎣ x2 ⎦
⎣11.37 ⎦
⎣
⎦
y el punto estacionario va a resultar en variables codificadas:
⎡2.47⎤
xs = ⎢
⎥
⎣1.29 ⎦
que en variables naturales corresponde con el punto:
⎡ 5.47 ⎤
xs = ⎢
⎥
⎣10.59⎦
El siguiente paso es caracterizar el punto singular hallado, para lo que bastará con
observar el signo de los coeficientes del modelo expresado en forma canónica (ver
sección 4.4). Estos coeficientes son los autovalores de la matriz B, y para hallarlos no
hay más que plantear el determinante:
|B- λ I| = 0
− 5.25 − λ
− 1.25
− 1.25
=0
− 2.02 − λ
- 128 -
y hallar las raíces λ1 y λ2 de la ecuación de segundo grado resultante, dando como
resultado:
λ1 = -1.60
λ2 = -5.67
El modelo en forma cónica queda de la forma:
yˆ = yˆ s − 1.60 w 21 − 5.67 w 2 2
con lo que el punto singular es un máximo al ser los dos autovalores negativos.
Observando el punto hallado, xs1 = 5.74, xs2 = 10.59, vemos que este no es viable ya que
ambos valores deberían de ser números enteros. Para nuestros propósitos el punto a
considerar deberá ser uno de los cuatro enteros que lo rodean. Cada uno de estos cuatro
puntos hay que validarlo, es decir, comparar el valor real del nivel de servicio con el
valor que el modelo nos predice en ellos. Los resultados son los siguientes:
K(0) (Factor A)
5
6
5
6
E (Factor B)
10
10
11
11
Valor Real
93.253±1.100
95.147±1.136
93.756±1.041
96.301±0.579
IC (99%)
92.153 <> 94.353
94.011 <> 96.283
92.715 <> 94.797
95.722 <> 96.880
Valor Predicho
93.70
94.19
94.56
93.79
Tabla 5.20. Validación puntos singulares.
Se observa que el nivel de servicio va creciendo conforme aumentan los valores de K
(0) y E. Además, estos valores se encuentran alejados del nivel de servicio objetivo, por
lo que consideramos que es conveniente ajustar un nuevo modelo para intentar
movernos a una zona de la superficie de respuesta que ofrezca unos valores más
cercanos al nivel de servicio deseado. También hay que hacer notar que el valor
predicho para el punto (6,11) no esta comprendido dentro del intervalo de confianza (IC
en la tabla) obtenido en la simulación para estos valores de K (0) y E A priori, el punto
idóneo alrededor del cual se va a ajustar la nueva región de experimentación, es el
(6,11), ya que es el que ofrece un mayor nivel de servicio medio y unos mayores valores
del nivel de servicio dentro de su intervalo de confianza.
El nuevo experimento con observaciones en el punto central se muestra en la siguiente
figura:
- 129 -
(7,12)
Factor B
(5,12)
(6,11)
(5,10)
(7,10)
Factor A
Figura 5.5. Región de experimentación del nuevo experimento con punto central.
Los nuevos escenarios son:
Escenario
1
2
3
4
5
K(0)
5
7
5
7
6
E
10
10
12
12
11
Tabla 5.21. Escenarios en el nuevo experimento con punto central en variables naturales.
En variables codificadas tenemos:
Escenario
1
2
3
4
5
K(0)
-1
1
-1
1
0
E
-1
-1
1
1
0
Tabla 5.22. Escenarios en el nuevo experimento con punto central en variables codificadas.
Los resultados obtenidos en la nueva región de experimentación son:
- 130 -
Escenario Nivel de servicio medio (%) STD Nivel de Servicio WIP medio
1
93.253
2.3395
14.992
2
96.784
1.2659
16.979
3
95.165
1.7170
16.984
4
98.104
0.9059
18.969
5
96.301
1.2306
16.978
STD WIP
0.0070
0.0256
0.0089
0.0312
0.0255
Tabla 5.23. Resultados de las simulaciones de los escenarios del segundo experimento con punto central.
El análisis de varianza que se obtiene con las nuevas observaciones es:
Termino Efectos
SS
Porcentajes g.d.l MSS
Fo
Fo Tablas
A
3,16 301,09
42,77
1 301,09 133,54
3,91
B
1,54
72,06
10,24
1
72,06 31,96
3,91
AB
-0,22
1,58
0,22
1
1,58
0,70
3,91
Error
329,20
46,77
146 2,25
Total
703,92
100,00
149
Tabla 5.24. Análisis de varianza del segundo experimento con punto central.
Donde se observa la significación de los efectos principales, por lo que el modelo
ajustado va a ser el siguiente en variables codificadas:
yˆ = 95.95 + 1.58 x1 + 0.77 x2
y en variables naturales:
yˆ = 77.92 + 1.58ξ1 + 0.77ξ 2
El siguiente paso es someter al modelo a la batería de pruebas destinadas a comprobar
su adecuación. En la tabla siguiente se muestran los resultados tras someter al modelo a
la prueba de significación de los coeficientes y a la prueba de falta de ajuste:
Termino
Modelo
Residual
(Falta de ajuste LOF)
(Error puro)
Total
SS
373,15
330,77
6,24
324,53
703,92
g.d.l MSS
Fo
Fo Tablas
2 186,57 82,92
3,06
147 2,25
2
3,12
1,39
3,06
145 2,24
149
Tabla 5.25. Pruebas de significación y falta de ajuste del modelo de primer orden propuesto.
- 131 -
En la tabla se observa que la condición de rechazo de la hipótesis de significación se
cumple, 82.92 > 3.06, por lo que pedemos rechazar la hipótesis nula, siendo por tanto el
modelo ajustado significativo.
Para la prueba de la falta de ajuste el estadístico Fo es menor que F0.05, 2, 145 (1.39 <
3.06), por lo que se acepta la hipótesis nula, lo que significa que el modelo lineal
propuesto se ajusta a la superficie de respuesta real.
La última prueba de esta batería es el análisis grafico de los residuales, consistente en el
estudio de las gráficas de la distribución normal de los residuales, la representación de
estos frente a la respuesta predicha y a la representación de aquellos frente al orden de
realización de las observaciones. A continuación se muestran los residuales obtenidos,
así como, las tres graficas mencionadas:
Respuestas
94,62
96,41
94,38
94,70
94,45
90,07
92,16
90,74
95,02
95,09
89,48
90,87
94,27
90,25
91,94
96,49
93,56
93,45
91,43
95,21
92,06
94,67
96,63
90,69
92,56
96,18
92,81
92,27
94,52
94,64
96,27
96,21
97,42
97,50
96,37
Predicción
93,59
93,59
93,59
93,59
93,59
93,59
93,59
93,59
93,59
93,59
93,59
93,59
93,59
93,59
93,59
93,59
93,59
93,59
93,59
93,59
93,59
93,59
93,59
93,59
93,59
93,59
93,59
93,59
93,59
93,59
96,76
96,76
96,76
96,76
96,76
- 132 -
Residuales
1,03
2,82
0,79
1,11
0,86
-3,52
-1,43
-2,85
1,43
1,51
-4,11
-2,72
0,68
-3,34
-1,65
2,90
-0,03
-0,13
-2,16
1,62
-1,53
1,08
3,04
-2,90
-1,03
2,59
-0,78
-1,32
0,93
1,05
-0,49
-0,55
0,66
0,74
-0,39
98,79
96,75
97,21
95,47
96,28
96,98
95,55
98,96
95,11
97,54
96,10
96,89
96,27
92,74
98,04
95,55
95,29
97,37
98,45
98,08
97,19
97,88
97,17
96,95
97,14
93,23
94,85
96,62
97,16
91,14
96,11
94,30
95,88
91,66
95,94
97,30
93,55
97,71
92,89
95,78
95,43
93,99
96,52
94,59
97,48
92,06
95,20
96,63
95,80
95,30
95,03
96,72
94,39
96,76
96,76
96,76
96,76
96,76
96,76
96,76
96,76
96,76
96,76
96,76
96,76
96,76
96,76
96,76
96,76
96,76
96,76
96,76
96,76
96,76
96,76
96,76
96,76
96,76
95,14
95,14
95,14
95,14
95,14
95,14
95,14
95,14
95,14
95,14
95,14
95,14
95,14
95,14
95,14
95,14
95,14
95,14
95,14
95,14
95,14
95,14
95,14
95,14
95,14
95,14
95,14
95,14
- 133 -
2,04
0,00
0,45
-1,29
-0,47
0,22
-1,21
2,20
-1,65
0,78
-0,66
0,13
-0,49
-4,02
1,29
-1,20
-1,47
0,62
1,69
1,33
0,43
1,12
0,41
0,19
0,38
-1,91
-0,29
1,48
2,02
-3,99
0,97
-0,84
0,74
-3,48
0,80
2,17
-1,59
2,57
-2,24
0,64
0,29
-1,15
1,38
-0,55
2,34
-3,08
0,06
1,49
0,66
0,16
-0,11
1,58
-0,75
95,71
95,97
98,84
97,94
98,69
98,44
98,62
98,69
95,81
97,91
98,40
97,71
97,18
96,22
99,56
99,08
98,05
98,46
98,93
97,97
96,69
99,05
99,01
97,54
99,09
98,22
98,64
98,69
97,31
97,23
98,18
96,99
94,62
95,83
95,54
95,98
96,36
98,79
96,67
97,53
94,70
97,60
97,23
95,39
97,95
93,98
96,36
95,96
96,22
96,34
94,77
98,10
94,42
95,14
95,14
98,31
98,31
98,31
98,31
98,31
98,31
98,31
98,31
98,31
98,31
98,31
98,31
98,31
98,31
98,31
98,31
98,31
98,31
98,31
98,31
98,31
98,31
98,31
98,31
98,31
98,31
98,31
98,31
98,31
98,31
95,95
95,95
95,95
95,95
95,95
95,95
95,95
95,95
95,95
95,95
95,95
95,95
95,95
95,95
95,95
95,95
95,95
95,95
95,95
95,95
95,95
- 134 -
0,57
0,83
0,53
-0,36
0,39
0,13
0,31
0,38
-2,50
-0,40
0,10
-0,60
-1,13
-2,09
1,26
0,77
-0,26
0,15
0,63
-0,33
-1,62
0,74
0,70
-0,77
0,78
-0,09
0,34
0,38
-1,00
-1,08
-0,13
-1,32
-1,33
-0,12
-0,40
0,04
0,41
2,84
0,72
1,58
-1,25
1,65
1,28
-0,56
2,01
-1,97
0,41
0,01
0,27
0,39
-1,18
2,15
-1,52
95,32
96,64
97,84
97,61
95,06
97,57
96,85
96,18
95,61
95,95
95,95
95,95
95,95
95,95
95,95
95,95
95,95
95,95
-0,62
0,69
1,89
1,66
-0,89
1,62
0,90
0,24
-0,34
Tabla 5.26. Residuales del modelo de primer orden propuesto.
% de probabilidad normal
99
95
90
80
70
50
30
20
10
5
1
-2.77
-1.57
-0.36
0.84
2.05
Residuales
Gráfica 5.10. Probabilidad normal de los residuales del modelo de primer orden propuesto.
- 135 -
5,00
4,00
3,00
Residuales
2,00
1,00
0,00
-1,0093,00
94,00
95,00
96,00
97,00
98,00
99,00
-2,00
-3,00
-4,00
-5,00
Nivel de Servicio Predicho
Gráfica 5.11. Residuales frente a la respuesta predicha por el modelo lineal propuesto.
5,00
4,00
3,00
Residuales
2,00
1,00
0,00
-1,00 0
50
100
150
-2,00
-3,00
-4,00
-5,00
Orden de Realización de la Sim ulación
Gráfica 5.12. Residuales frente al orden de realización de las observaciones del modelo lineal propuesto.
En la gráfica de la probabilidad normal se aprecia que los puntos siguen de una forma
bastante aproximada una línea recta. Esto indica que el modelo cumple el supuesto de
normalidad. Observando la gráfica podemos apreciar que ambas ramas tienen
aproximadamente la misma longitud, indicando esto que no se aprecia ningún sesgo.
- 136 -
Por otro lado, también se puede observar que la rama de la izquierda es algo más gruesa
que la de la derecha, significando esto que los residuales negativos son algo más
grandes que los positivos en valor absoluto. Esto es de poca importancia por lo que
consideramos que el modelo no violaba los supuestos de normalidad. En las otras dos
gráficas no se aprecia que los puntos sigan ningún patrón, por lo que se considera que
el modelo supera estas pruebas y se puede considerar adecuado.
Si se observan los coeficientes del modelo ajustado, vemos que ambos son positivos, lo
que indica que aumentando el valor de los dos parámetros aumenta el nivel de servicio.
Gráficamente, esto significa que siguiendo la superficie ajustada en sentido ascendente
es de esperar que podamos llegar al punto óptimo perseguido, que recordemos, no es
más, que el punto de mayor nivel de servicio con el menor inventario. Esto lo podemos
hacer rápidamente aplicando el algoritmo de la máxima pendiente que se vio con detalle
en el apartado cuarto del capítulo cuatro.
La variable con mayor coeficiente de regresión es la x1 por lo que la pendiente de la
trayectoria de máximo ascenso va a venir dada por el cociente 0.77/1.58. Esto significa
que por cada unidad que aumente x1, x2 lo va a hacer en 0.49 unidades. Debido a que el
número de tarjetas ha de ser un valor entero, el paso que vamos a escoger para la
variable x1 va a ser de dos unidades que corresponden prácticamente con una unidad de
aumento para la variable x2. Estos valores equivalen, en variables naturales, con
aumentos de dos tarjetas para el parámetro K (0) y de una para el parámetro E,
respectivamente. En la tabla 5.27 se muestran los puntos de la trayectoria de máximo
descenso y las respuestas halladas a lo largo de ella. En la gráfica 5.13 se grafican los
niveles de servicio medio obtenidos a lo largo de dicha trayectoria:
Pasos
Origen
∆
Origen+∆
Origen+2∆
Origen+3∆
Origen+4∆
Origen+5∆
Origen+6∆
Origen+7∆
Origen+8∆
Origen+9∆
Origen+10∆
Variables codificadas Variables naturales
x1
x2
ξ1
ξ2
0
0
6
11
2
1
2
1
2
1
8
12
4
2
10
13
6
3
12
14
8
4
14
15
10
5
16
16
12
6
18
17
14
7
20
18
16
8
22
19
18
9
24
20
20
10
26
21
Respuestas
Nivel de Servicio
WIP
96,301±0.579
16,978±0.025
98,289±0.428
99,093±0.321
99,584±0.195
99,728±0.153
99,654±0.252
99,668±0.181
99,718±0.170
99,574±0.229
99,873±0.123
99,828±0.225
19,918±0.063
22,887±0.050
25,763±0.113
28,567±0.207
30,964±0.463
31,939±1.523
32,614±2.194
32,869±3.209
33,170±3.269
33,367±3.228
Tabla 5.27. Trayectoria de máxima pendiente y repuestas del modelo ajustado.
- 137 -
Nivel de Servicio Medio
100,000
99,000
98,000
97,000
96,000
0
2
4
6
8
10
12
Pasos
Gráfica 5.13. Nivel de servicio medio obtenido a lo largo de la trayectoria de máxima pendiente.
Como se puede observar no obtenemos un máximo a partir del cual las respuestas
empiezan a disminuir, si no que los valores tienden asintóticamente al 100% de nivel de
servicio.
Este resultado está en consonancia con lo que la literatura muestra para el
comportamiento de un sistema Conwip. El nivel de servicio esperado para el criterio
tomado de ventas perdidas para la actitud de los clientes (ver sección 3.3) debería de
estar en torno al 100% (Gaury; 2000). Nuestro objetivo es alcanzar el máximo nivel de
servicio con el mínimo inventario en proceso, WIP, luego tenemos que tener en cuenta
los valores de este. Si representamos el nivel de servicio contra el WIP obtenidos en los
distintos puntos de la trayectoria obtenemos la gráfica siguiente:
- 138 -
100,500
Nivel de Servicio
100,000
99,500
99,000
98,500
98,000
97,500
97,000
96,500
96,000
15,000
20,000
25,000
30,000
35,000
WIP
Gráfica 5.14. Nivel de Servicio contra WIP sobre la trayectoria de la máxima pendiente.
La curva obtenida empieza a ser muy asintótica para niveles superiores al 98 % de nivel
de servicio. Es obvio que conforme aumenta el número de tarjetas también lo hace el
nivel de servicio y el WIP, aunque, como indica la gráfica anterior, el aumento del WIP
a partir de un nivel de servicio del 98 % va ser mucho mayor que el aumento del nivel
de servicio para un número de tarjetas dado. Veamos por ejemplo, que pasar del paso
uno al diez, supone pasar de un nivel de servicio del 98.289 % a otro del 99.828 %, lo
que supone un incremento de un 1.57%. En ese mismo intervalo el WIP pasa de 19.918
unidades a 33.367, lo que supone un incremento del 67.67%. El WIP aumenta bastante
más de lo que lo hace el nivel de servicio. Esto hace que perseguir niveles de servicio de
un 100% genere un nivel de inventario económicamente inviable.
- 139 -
5.4.- APLICACIÓN DE LA METODOLOGÍA RSM. CASO λ=98%
A partir de este momento se va a realizar una batería de experimentos análoga a la que
se ha realizado hasta ahora, pero con un nivel de servicio objetivo del λ=98%. Tras la
experiencia recogida en los experimentos anteriores consideramos que es más apropiado
partir de una región de experimentación centrada en el punto (5, 6) ya que no se parte de
un número de tarjetas tan bajo como en el caso de la batería de experimentos
anteriormente realizada. En un primer paso vamos a intentar ajustar un modelo de
primer orden por lo que la nueva región de experimentación va a presentar
observaciones en el punto central para poder estimar el error experimental. Esta nueva
región se muestra en la figura 5.6 y los escenarios, tanto en variables naturales como
codificadas en las tablas 5.28 y 5.29:
Factor B
(4,7)
(6,7)
(5,6)
(4,5)
(6,5)
Factor A
Figura 5.6. Región de experimentación del primer experimento con punto central para λ=98%.
Escenario
1
2
3
4
5
K(0)
4
6
4
6
5
E
5
5
7
7
6
Tabla 5.28. Escenarios del primer experimento con punto central para λ=98%.
Escenario
1
2
3
4
5
K(0)
-1
1
-1
1
0
E
-1
-1
1
1
0
Tabla 5.29. Escenarios del primer experimento con punto central para λ=98%.
- 140 -
Los resultados obtenidos en estos escenarios has sido los que se muestran en la tabla
siguiente:
Escenario Nivel de servicio medio (%) STD Nivel de Servicio WIP medio STD WIP
1
57.570
5.8443
9.022
0.0048
2
83.131
2.4611
11.007
0.0143
3
71.948
4.5252
11.014
0.0066
4
90.305
2.8848
12.996
0.0194
5
81.939
2.7248
11.011
0.0065
Tabla 5.30. Resultados de las simulaciones de los escenarios del primer experimento con punto central para λ=98%.
El análisis de varianza ofrece el siguiente resultado:
Termino Efectos SS
Porcentaje g.d.l MSS
Fo
Fo Tablas
A
21,96 14466,18
67,35
1 14466,18 672,75
3,91
B
10,78 3483,29
16,22
1
3483,29 161,99
3,91
AB
-3,60
389,15
1,81
1
389,15
18,10
3,91
Error
3139,43
14,62
146
21,50
Total
21478,04
100,00
149
Tabla 5.31. Análisis de varianza del primer experimento con punto central para λ=98%.
Los resultados obtenidos indican que tanto los factores principales como la interacción
entre ellos son significativos. El modelo de primer orden ajustado, en variables
codificadas, va a ser:
yˆ = 76.98 + 10.98x1 + 5.39 x2 − 1.80 x1 x2
y en variables naturales:
yˆ = −65.51 + 21.78ξ1 + 14.39ξ 2 − 1.80ξ1ξ 2
El siguiente paso es aplicar las pruebas que nos van a permitir conocer si el modelo
ajusta es adecuado. Las pruebas de significación de los coeficientes del modelo y la
prueba de la falta de ajuste de la superficie de respuesta ajusta y real se recoge en la
tabla siguiente:
- 141 -
Termino
SS
g.d.l MSS
Fo
Modelo
18338,62 3 6112,87 284,28
Residual
3139,43 146 21,50
(Falta de ajuste LOF) 922,77
1
922,77 60,36
(Error puro)
2216,66 145 15,29
Total
21478,04 149
Fo Tablas
3,06
3,06
Tabla 5.32. Pruebas de significación y falta de ajuste del primer experimento con punto central para
λ=98%.
Se observa que el modelo es significativo, sin embargo no supera la prueba de la falta
de ajuste. Esto significa que la superficie de respuesta real tiene una curvatura tal que un
modelo lineal no la puede representar. A continuación, vamos a intentar ajustar un
modelo de segundo orden, para lo que necesitamos convertir el experimento en uno
central con centro en las caras. Para ello vamos a añadir cuatro observaciones axiales al
igual que hicimos en la anterior batería de experimentos. La región de experimentación
y los nuevos escenarios se muestran a continuación:
Factor B
(4,7)
(5,7)
(4,6)
(6,7)
(6,6)
(5,6)
(4,5)
(5,5)
(6,5)
Factor A
Figura 5.7. Región de experimentación del experimento central compuesto con centros en las caras para λ=98%.
- 142 -
Escenario
1
2
3
4
5
6
7
8
9
K(0)
4
6
4
6
4
6
5
5
5
E
5
5
7
7
6
6
5
7
6
Tabla 5.33. Escenarios en el experimento central compuesto con centros en las caras para λ=98% en
variables naturales.
Escenario
1
2
3
4
5
6
7
8
9
K
-1
1
-1
1
-1
1
0
0
0
E
-1
-1
1
1
0
0
-1
1
0
Tabla 5.34. Escenarios en el experimento central compuesto con centros en las caras para λ=98%en
variables codificadas.
Los resultados de las simulaciones en esta nueva región de experimentación han sido las
siguientes:
Escenario Nivel de servicio medio (%) STD Nivel de Servicio WIP medio STD WIP
1
57.570
5.8443
9.022
0.0048
2
83.131
2.4611
11.007
0.0143
3
71.948
4.5252
11.014
0.0066
4
90.305
2.8848
12.996
0.0194
5
64.594
5.0789
10.019
0.0058
6
85.716
3.3080
12.004
0.0145
7
73.777
3.3075
10.017
0.0053
8
84.251
3.1375
12.007
0.0058
9
81.939
2.7248
11.011
0.0065
Tabla 5.35. Simulaciones de los escenarios del experimento central compuesto con centros en las caras para λ=98%.
- 143 -
El análisis de varianza del modelo completo ofrece los siguientes resultados:
Termino Efectos
SS
Porcentaje g.d.l
MSS
Fo
Fo Tablas
A
21,96 21046,43
66,13
1 21046,43 1374,28
3,88
B
10,78 5128,01
16,11
1
5128,01 334,85
3,88
A2
-8,94
1200,02
3,77
1
1200,02
78,36
3,88
2
B
-1,06
16,97
0,05
1
16,97
1,11
3,88
AB
-3,60
389,15
1,22
1
389,15
25,41
3,88
Error
4043,03
12,70
264
15,31
Total
31823,60
100,00
269
Tabla 5.36. Análisis de varianza del experimento central compuesto con centros en las caras para λ=98%.
Según los resultados obtenidos todos los términos son significativos excepto el término
cuadrático del factor B, por lo que el modelo buscado sería:
yˆ = 80.34 + 10.81x1 + 5.34 x2 − 4.47 x12 − 0.53x22 − 1.80 x1 x2
Hay que hacer notar que aunque el termino cuadrático del factor B no resulta
significativo en el análisis de varianza efectuado, el termino correspondiente a este
factor debe de ser incluido en el modelo al ser significativa la interacción entre dicho
factor y el factor A.
A continuación se somete al modelo a las pruebas encaminadas a determinar si este es
adecuado o no. En la tabla siguiente se muestran las pruebas de significación de los
coeficientes y la de falta de ajuste:
Termino
SS
Modelo
27780,58
Residual
4043,03
(Falta de ajuste LOF) 129,99
(Error puro)
3913,04
Total
31823,60
g.d.l
5
264
3
261
269
MSS
Fo
Fo Tablas
5556,12 362,80
3,06
15,31
43,33
2,89
3,06
14,99
Tabla 5.37. Prueba de significación y de la falta de ajuste del experimento central compuesto con centros en las caras
para λ=98%.
El modelo propuesto supera tanto la prueba de significación como la de la falta de
ajuste. Ahora sólo queda por someterle al análisis gráfico de los residuales. En la tabla
5.38 se muestran los residuales y en las gráficas 5.15, 5.16 y 5.17 se grafican la
probabilidad normal, los residuales frente a las respuestas predichas y los residuales
frente al orden de realización de las observaciones respectivamente:
- 144 -
Respuestas
58,76
58,55
65,15
48,72
48,60
56,29
55,87
55,78
58,89
63,18
58,51
55,89
50,60
65,75
65,20
56,52
56,07
62,39
61,76
58,87
66,16
55,67
48,32
59,47
49,23
57,16
61,02
49,88
57,19
64,69
80,51
83,21
81,60
83,12
81,21
85,42
82,85
86,72
85,31
80,80
85,61
86,80
82,30
86,52
84,05
85,66
79,28
81,09
83,74
86,59
85,12
80,67
Predicción
57,39
57,39
57,39
57,39
57,39
57,39
57,39
57,39
57,39
57,39
57,39
57,39
57,39
57,39
57,39
57,39
57,39
57,39
57,39
57,39
57,39
57,39
57,39
57,39
57,39
57,39
57,39
57,39
57,39
57,39
82,62
82,62
82,62
82,62
82,62
82,62
82,62
82,62
82,62
82,62
82,62
82,62
82,62
82,62
82,62
82,62
82,62
82,62
82,62
82,62
82,62
82,62
- 145 -
Residuales
1,37
1,16
7,76
-8,67
-8,79
-1,10
-1,52
-1,60
1,51
5,79
1,12
-1,50
-6,79
8,36
7,81
-0,87
-1,32
5,00
4,37
1,48
8,77
-1,72
-9,07
2,08
-8,16
-0,23
3,63
-7,51
-0,20
7,30
-2,10
0,59
-1,01
0,50
-1,40
2,80
0,23
4,10
2,69
-1,82
2,99
4,18
-0,32
3,90
1,43
3,04
-3,33
-1,52
1,12
3,97
2,51
-1,94
81,19
81,52
79,06
81,06
85,32
85,95
82,20
79,47
71,07
78,16
79,88
78,22
66,86
67,05
76,07
77,73
71,98
70,49
77,82
65,33
65,84
76,60
70,33
71,45
67,97
71,13
71,24
73,38
79,45
67,40
67,98
72,66
68,48
68,52
75,72
65,13
69,74
74,76
90,72
91,37
94,38
86,56
90,17
91,61
85,55
91,82
83,60
92,80
92,41
92,93
89,93
89,36
91,21
82,62
82,62
82,62
82,62
82,62
82,62
82,62
82,62
71,66
71,66
71,66
71,66
71,66
71,66
71,66
71,66
71,66
71,66
71,66
71,66
71,66
71,66
71,66
71,66
71,66
71,66
71,66
71,66
71,66
71,66
71,66
71,66
71,66
71,66
71,66
71,66
71,66
71,66
89,69
89,69
89,69
89,69
89,69
89,69
89,69
89,69
89,69
89,69
89,69
89,69
89,69
89,69
89,69
- 146 -
-1,42
-1,10
-3,56
-1,56
2,70
3,33
-0,42
-3,15
-0,60
6,50
8,22
6,55
-4,81
-4,61
4,40
6,06
0,31
-1,17
6,16
-6,34
-5,83
4,93
-1,33
-0,21
-3,70
-0,54
-0,43
1,71
7,79
-4,26
-3,69
1,00
-3,19
-3,14
4,05
-6,54
-1,93
3,10
1,03
1,68
4,69
-3,13
0,48
1,92
-4,14
2,13
-6,08
3,11
2,72
3,24
0,24
-0,33
1,52
86,26
90,22
94,11
87,38
91,36
93,18
85,21
90,32
93,09
94,16
90,98
90,19
87,18
92,85
88,24
68,63
66,21
70,42
63,82
56,26
58,91
72,42
63,67
61,82
63,56
71,43
60,54
60,79
71,32
68,50
64,58
65,18
57,55
61,20
63,29
73,93
64,26
60,16
54,86
68,65
64,80
64,24
63,83
66,07
63,90
85,08
78,97
82,37
88,17
88,62
80,91
85,04
85,48
89,69
89,69
89,69
89,69
89,69
89,69
89,69
89,69
89,69
89,69
89,69
89,69
89,69
89,69
89,69
65,06
65,06
65,06
65,06
65,06
65,06
65,06
65,06
65,06
65,06
65,06
65,06
65,06
65,06
65,06
65,06
65,06
65,06
65,06
65,06
65,06
65,06
65,06
65,06
65,06
65,06
65,06
65,06
65,06
65,06
86,68
86,68
86,68
86,68
86,68
86,68
86,68
86,68
- 147 -
-3,43
0,53
4,42
-2,31
1,67
3,49
-4,48
0,63
3,41
4,47
1,29
0,50
-2,51
3,16
-1,45
3,57
1,15
5,37
-1,23
-8,79
-6,14
7,36
-1,39
-3,24
-1,50
6,37
-4,52
-4,27
6,26
3,44
-0,48
0,12
-7,51
-3,86
-1,77
8,87
-0,80
-4,90
-10,20
3,59
-0,26
-0,82
-1,22
1,01
-1,16
-1,60
-7,71
-4,31
1,49
1,93
-5,77
-1,64
-1,20
89,60
89,67
83,94
85,72
89,03
79,45
86,67
82,56
91,14
83,56
88,61
87,39
86,31
85,36
85,49
88,09
83,64
87,76
80,39
84,79
89,02
83,79
72,80
74,56
72,02
74,85
73,30
70,61
81,40
71,60
78,20
69,86
77,76
72,58
77,21
69,54
73,17
81,19
74,14
70,53
73,36
75,33
75,71
77,62
69,15
68,29
76,50
71,80
72,12
72,90
72,96
72,24
82,68
86,68
86,68
86,68
86,68
86,68
86,68
86,68
86,68
86,68
86,68
86,68
86,68
86,68
86,68
86,68
86,68
86,68
86,68
86,68
86,68
86,68
86,68
74,47
74,47
74,47
74,47
74,47
74,47
74,47
74,47
74,47
74,47
74,47
74,47
74,47
74,47
74,47
74,47
74,47
74,47
74,47
74,47
74,47
74,47
74,47
74,47
74,47
74,47
74,47
74,47
74,47
74,47
85,15
- 148 -
2,91
2,98
-2,75
-0,97
2,34
-7,23
-0,01
-4,12
4,45
-3,12
1,92
0,71
-0,37
-1,33
-1,19
1,41
-3,05
1,07
-6,29
-1,90
2,33
-2,90
-1,67
0,08
-2,46
0,38
-1,17
-3,86
6,93
-2,88
3,72
-4,62
3,29
-1,90
2,74
-4,94
-1,30
6,72
-0,33
-3,94
-1,11
0,85
1,24
3,14
-5,32
-6,18
2,02
-2,67
-2,35
-1,57
-1,52
-2,24
-2,47
80,23
80,02
88,81
86,34
80,81
84,32
83,69
84,72
88,92
82,73
86,71
79,16
83,90
82,03
89,59
82,58
87,44
87,59
84,34
81,85
85,14
84,70
79,53
86,38
80,02
83,52
85,79
83,23
90,75
74,42
83,27
80,76
86,29
79,18
80,14
81,99
85,20
82,42
80,49
84,43
82,71
82,30
84,45
82,41
85,02
76,91
80,97
83,85
86,28
83,18
79,30
81,26
78,61
85,15
85,15
85,15
85,15
85,15
85,15
85,15
85,15
85,15
85,15
85,15
85,15
85,15
85,15
85,15
85,15
85,15
85,15
85,15
85,15
85,15
85,15
85,15
85,15
85,15
85,15
85,15
85,15
85,15
80,34
80,34
80,34
80,34
80,34
80,34
80,34
80,34
80,34
80,34
80,34
80,34
80,34
80,34
80,34
80,34
80,34
80,34
80,34
80,34
80,34
80,34
80,34
80,34
- 149 -
-4,92
-5,13
3,66
1,19
-4,34
-0,83
-1,46
-0,43
3,77
-2,41
1,56
-5,98
-1,24
-3,12
4,44
-2,57
2,29
2,44
-0,81
-3,30
-0,01
-0,45
-5,62
1,24
-5,13
-1,63
0,64
-1,91
5,60
-5,92
2,92
0,42
5,94
-1,16
-0,21
1,65
4,86
2,07
0,14
4,08
2,37
1,95
4,10
2,06
4,68
-3,43
0,63
3,51
5,94
2,84
-1,05
0,91
-1,73
80,39
81,82
85,04
82,88
82,95
79,24
80,34
80,34
80,34
80,34
80,34
80,34
0,05
1,48
4,70
2,54
2,61
-1,10
Tabla 5.38. Residuales del experimento central compuesto con centros en las caras para λ=98%.
% de probabilidad normal
99
95
90
80
70
50
30
20
10
5
1
-2.79
-6.25
0.29
6.82
13.36
Residuales
Gráfica 5.15. Probabilidad normal de los residuales del modelo de segundo orden propuesto.
- 150 -
11,00
Residuales
6,00
1,00
50,00
-4,00
60,00
70,00
80,00
90,00
100,00
-9,00
-14,00
Nivel de Servicio Predicho
Gráfica 5.16. Residuales frente a Ŷ en el experimento central compuesto con centros en las caras para λ=98%.
11,00
Residuales
6,00
1,00
-4,00
0
50
100
150
200
250
-9,00
-14,00
Orden de Realización de la Sim ulación
Gráfica 5.17. Residuales frente al orden de avaluación del experimento central compuesto con centros en
las caras para λ=98%.
El análisis gráfico de los residuales confirma la adecuación del modelo. En la grafica de
la probabilidad normal los puntos siguen muy aproximadamente una línea recta. En esta
grafica se observa que puede haber un ligero sesgo hacia los valores positivas de los
residuales, ya que la rama de la derecha es más amplia que la de la izquierda, aunque
- 151 -
este hecho no implica que se viole la hipótesis de normalidad. En las otras dos gráficas
no se aprecia que los residuales sigan ningún patrón que haga pensar que están
relacionados con la salida o con el orden de realización de las observaciones.
Definitivamente el modelo se puede dar por adecuado.
El modelo resultante en variables codificadas es:
yˆ = 80.34 + 10.81x1 + 5.34 x2 − 4.47 x12 − 0.53x22 − 1.80 x1 x2
y en variables naturales:
yˆ = −190.73 + 66.34ξ1 + 20.72ξ 2 − 4.47ξ12 − 0.53ξ 22 − 1.80ξ1ξ 2
Hay que hacer notar que aunque el termino cuadrático del factor B no resulta
significativo en el análisis de varianza efectuado, el termino correspondiente a este
factor debe de ser incluido en el modelo al ser significativa la interacción entre dicho
factor y el factor A.
Seguidamente vamos a calcular analíticamente el máximo de esta superficie de
respuesta ajustada. Primeramente vamos ha hallar un punto singular y caracterizarlo
posteriormente. El cálculo se va a efectuar análogamente a como lo hicimos
anteriormente, expresando el modelo ajustado en forma matricial:
yˆ = βˆ0 + x' b + x' Bx
(65)
y aplicando la formula:
1
x s = − B −1 b
2
En nuestro caso las matrices que intervienen van a tener los siguientes valores:
⎡− 4.47 − 0.90⎤
⎡10.81⎤
⎡x ⎤
B
=
x = ⎢ 1⎥ b = ⎢
⎢ − 0.90 − 0.53⎥
⎥
⎣ 5.34 ⎦
⎣
⎦
⎣ x2 ⎦
y el punto estacionario va a resultar en variables codificadas:
⎡0.30⎤
xs = ⎢
⎥
⎣4.53⎦
que en variables naturales corresponde con el punto:
- 152 -
(66)
⎡ 5.30 ⎤
xs = ⎢
⎥
⎣10.53⎦
El siguiente paso es caracterizar el punto singular hallado, para lo que bastará con
observar el signo de los coeficientes del modelo expresado en forma canónica (ver
sección 4.4). Estos coeficientes son los autovalores de la matriz B, y para hallarlos no
hay más que plantear el determinante:
|B- λ I| = 0
− 4.47 − λ
− 0.90
(67)
− 0.90
=0
− 0.53 − λ
y hallar las raíces λ1 y λ2 de la ecuación de segundo grado resultante, dando como
resultado:
λ1 = -0.33
λ2 = -4.67
El modelo en forma cónica queda de la forma:
yˆ = yˆ s − 0.33w 21 − 4.67 w 2 2
al ser los dos autovalores negativos, el punto xs1 = 5.30, xs2 = 10.53 corresponde con un
máximo. Sin embargo, este no es viable ya que ambos valores deberían ser números
enteros. Para nuestros propósitos el punto a considerar deberá ser uno de los cuatro
enteros que lo rodean. Cada uno de estos cuatro puntos hay que validarlo, es decir,
comparar el valor real del nivel de servicio con el valor que el modelo nos predice en
cada uno de ellos. Los resultados son los siguientes:
K(0) (Factor A)
5
6
5
6
E (Factor B)
10
10
11
11
Valor Real
93,253±1.100
95,047±1.099
93,756±1.041
96,062±0.510
IC (99%)
92.153<>94.353
93.948<>96.146
92.715<>94.797
95.552<>96.572
Valor Predicho
93,184
92,321
93,734
91,071
Tabla 5.39. Validación puntos singulares.
En la tabla 5.39, por un lado se observa como el nivel de servicio real mejora conforme
aumenta el valor de los parámetros K (0) y E, y por otro lado se aprecia, como los
valores predichos se encuentran lejos del nivel de servicio predeterminado, que
- 153 -
recordemos es del 98%, y como los valores predichos para los puntos (6,10) y (6,11) no
se encuentran dentro de los intervalos de confianza hallados en la simulación de la línea
de producción para estos valores. Dada esta situación consideramos necesario ajustar un
nuevo modelo en esta zona de la superficie de respuesta real que nos permita movernos
hacia valores del nivel de servicio mayores y más cercanos al buscado.
Pero antes de ello vamos a realizar una pequeña reflexión observando los resultados
obtenidos anteriormente, cuando el nivel de servicio predeterminado era del 100% y los
obtenidos hasta ahora con el nivel de servicio predeterminado del 98%.
Llama la atención la similitud existente entre el máximo recién hallado y el que se halló
cuando el nivel de servicio predeterminado era del 100%. En aquella ocasión se ajustó
un modelo de segundo orden en una región de experimentación centrada en el punto
(3,8), presentando un máximo en el punto xs1=5.47, xs2=10.59. Ahora, aunque se haya
partido de una región centrada en un punto donde el valor del parámetro K (0) es mayor
para evitar el efecto transitorio, se ha llegado prácticamente a la misma zona de la
superficie de respuesta, y al igual que antes, ajustando un modelo de segundo orden.
Los dos parámetros correspondientes al máximo para un nivel de servicio
predeterminado del 98%, xs1 = 5.30, xs2 = 10.53, son ligeramente inferiores, en valor
absoluto, que a los correspondientes al caso de un nivel de servicio predeterminado del
100%. Esto nos hace pensar que las superficies de respuesta pueden ser similares en su
forma, y estar la correspondiente al nivel de servicio predeterminado del 98%
ligeramente por debajo de la correspondiente a un nivel de servicio predeterminado del
100%. Para intentar averiguar esto último vamos a representar en la siguiente tabla los
valores reales medios del nivel de servicio, hallados en las simulaciones para un nivel
de servicio predeterminado del 100%, del 98% y su diferencia.
K(0)
5
6
5
6
E
10
10
11
11
Valor Real (λ=100%)
93.253±1.100
95.147±1.136
93.756±1.041
96.301±0.579
Valor Real (λ=98%)
93,253±1.100
95,047±1.099
93,756±1.041
96,062±0.510
Diferencia valores medios
0
0.1
0
0.239
Tabla 5.40. Comparación superficies de repuesta para λ=100% y λ=98%.
Calculamos los efectos de aumentar el parámetro K (0) y E, así como su interacción:
K (0) =
E=
0.239 + 0.1 0
− = 0.170
2
2
0.239 + 0 .1 + 0
−
= 0.070
2
2
- 154 -
K (0) E =
0.239 − 0 0.1 − 0
−
= 0.070
2
2
Como se puede observar todos los efectos son positivos, lo que indica que al aumentar
los parámetros la diferencia se hace mayor, en especial si aumentamos el parámetro
K (0), ya que su efecto es mayor. El valor positivo de la interacción indica que la
diferencia aumenta conforme lo haga el parámetro K (0), y lo hará en mayor medida si
el valor de E es mayor. Estos resultados parecen confirmar nuestra suposición.
Tras este breve paréntesis proseguimos con el proceso de búsqueda de la región de la
superficie de respuesta que proporciones valores más cercanos a los deseados.
Comenzaremos intentando ajustar un modelo de primer orden. La nueva región de
experimentación se va a elegir alrededor del mejor punto de esta serie, que resulta ser el
6, 11, ya que en él el nivel de servicio es el mayor de los cuatro. Se va a tratar de ajustar
un modelo lineal por lo que el nuevo experimento ha de ser con observaciones en el
punto central. Este nuevo experimento se muestra en la siguiente figura:
(7,12)
Factor B
(5,12)
(6,11)
(5,10)
(7,10)
Factor A
Figura 5.8. Región de experimentación del segundo experimento con punto central para λ=98%.
Los nuevos escenarios se muestran en las dos siguientes tablas. En la primera en
variables naturales y en la segunda en variables codificadas:
Escenario
1
2
3
4
5
K(0)
5
7
5
7
6
E
10
10
12
12
11
Tabla 5.41. Escenarios del segundo experimento con punto central para λ=98%.
- 155 -
Escenario
1
2
3
4
5
K(0)
-1
1
-1
1
0
E
-1
-1
1
1
0
Tabla 5.42. Escenarios del segundo experimento con punto central para λ=98%.
Los resultados obtenidos en las simulaciones realizadas en estos escenarios han sido:
Escenario Nivel de servicio medio (%) STD Nivel de Servicio WIP medio
1
93.253
2.3395
14.992
2
96.556
1.1587
16.948
3
95.165
1.7170
16.984
4
97.673
0.9200
18.884
5
96.062
1.0847
16.936
STD WIP
0.0070
0.0784
0.0089
0.1894
0.1107
Tabla 5.43. Resultados de las simulaciones de los escenarios del segundo experimento con punto central
para λ=98%.
El análisis de varianza de este experimento se muestra en la tabla 5.44:
Termino Efectos
A
2,91
B
1,54
AB
-0,40
Error
Total
SS
253,49
70,75
4,71
344,65
673,60
Porcentaje g.d.l MSS
Fo
Fo Tablas
37,63
1 253,49 107,38
3,91
10,50
1
70,75 29,97
3,91
0,70
1
4,71
2,00
3,91
51,17
146 2,36
100,00
149
Tabla 5.44. Análisis de varianza del segundo experimento para λ=98%.
Como se puede observar los dos factores principales son significativos, no siendo así la
interacción entre ellos, por lo que el modelo ajustado será el que se muestra a
continuación:
yˆ = 95.75 + 1.45x1 + 0.77 x2
siempre y cuando pase la batería de pruebas encaminadas a probar su adecuación. Las
dos primeras pruebas se muestran en la siguiente tabla:
- 156 -
Termino
Modelo
Residual
(Falta de ajuste LOF)
(Error puro)
Total
SS
324,24
349,36
8,36
341,00
673,60
g.d.l MSS
Fo
Fo Tablas
2 162,12 68,22
3,06
147 2,38
2
4,18
1,78
3,06
145 2,35
149
Tabla 5.45. Prueba de significación y de la falta de ajuste del segundo experimento para λ=98%.
En la tabla 5.45 se observa que el modelo ajustado pasa la prueba de significación de
sus coeficientes, así como la de la falta de ajuste. El análisis gráfico de los residuales se
muestra a continuación:
Respuestas
94,62
96,41
94,38
94,70
94,45
90,07
92,16
90,74
95,02
95,09
89,48
90,87
94,27
90,25
91,94
96,49
93,56
93,45
91,43
95,21
92,06
94,67
96,63
88,69
92,56
96,18
92,81
92,27
94,52
94,64
96,27
96,21
97,42
97,50
96,37
96,57
Predicción
93,53
93,53
93,53
93,53
93,53
93,53
93,53
93,53
93,53
93,53
93,53
93,53
93,53
93,53
93,53
93,53
93,53
93,53
93,53
93,53
93,53
93,53
93,53
93,53
93,53
93,53
93,53
93,53
93,53
93,53
96,44
96,44
96,44
96,44
96,44
96,44
- 157 -
Residuales
1,09
2,88
0,85
1,17
0,92
-3,46
-1,37
-2,79
1,49
1,57
-4,05
-2,66
0,74
-3,28
-1,59
2,96
0,03
-0,07
-2,10
1,68
-1,47
1,14
3,10
-4,84
-0,97
2,65
-0,72
-1,26
0,99
1,11
-0,17
-0,23
0,98
1,06
-0,06
0,14
96,75
97,21
95,47
96,28
96,98
95,67
98,96
95,11
97,54
96,10
95,88
96,27
92,74
96,13
95,55
95,29
97,37
98,45
97,18
97,19
97,88
97,17
96,95
96,23
93,23
94,85
96,62
97,16
91,14
96,11
94,30
95,88
91,66
95,94
97,30
93,55
97,71
92,89
95,78
95,43
93,99
96,52
95,18
97,48
92,06
95,20
96,63
95,80
95,30
95,03
96,72
94,39
95,71
96,44
96,44
96,44
96,44
96,44
96,44
96,44
96,44
96,44
96,44
96,44
96,44
96,44
96,44
96,44
96,44
96,44
96,44
96,44
96,44
96,44
96,44
96,44
96,44
95,06
95,06
95,06
95,06
95,06
95,06
95,06
95,06
95,06
95,06
95,06
95,06
95,06
95,06
95,06
95,06
95,06
95,06
95,06
95,06
95,06
95,06
95,06
95,06
95,06
95,06
95,06
95,06
95,06
- 158 -
0,32
0,77
-0,97
-0,15
0,54
-0,77
2,52
-1,33
1,10
-0,34
-0,56
-0,17
-3,70
-0,30
-0,88
-1,15
0,94
2,01
0,74
0,75
1,44
0,73
0,51
-0,20
-1,84
-0,21
1,55
2,09
-3,92
1,05
-0,76
0,81
-3,40
0,87
2,24
-1,51
2,65
-2,17
0,72
0,36
-1,07
1,45
0,11
2,41
-3,01
0,14
1,57
0,73
0,24
-0,03
1,66
-0,67
0,65
95,97
98,86
97,94
98,69
98,44
95,76
98,51
95,81
97,91
98,40
97,71
97,18
96,22
96,66
98,46
98,05
98,46
97,42
97,97
97,67
96,69
98,11
98,87
97,54
95,92
98,22
98,64
98,05
97,31
97,23
98,18
94,62
95,83
95,54
95,98
96,36
97,22
96,67
97,53
94,70
96,04
97,23
95,39
97,95
93,98
96,36
94,77
96,49
96,34
94,77
97,19
94,42
95,32
95,06
97,97
97,97
97,97
97,97
97,97
97,97
97,97
97,97
97,97
97,97
97,97
97,97
97,97
97,97
97,97
97,97
97,97
97,97
97,97
97,97
97,97
97,97
97,97
97,97
97,97
97,97
97,97
97,97
97,97
97,97
95,75
95,75
95,75
95,75
95,75
95,75
95,75
95,75
95,75
95,75
95,75
95,75
95,75
95,75
95,75
95,75
95,75
95,75
95,75
95,75
95,75
95,75
- 159 -
0,91
0,88
-0,03
0,72
0,47
-2,21
0,54
-2,17
-0,06
0,43
-0,26
-0,79
-1,75
-1,31
0,48
0,07
0,49
-0,55
0,00
-0,30
-1,28
0,14
0,90
-0,43
-2,05
0,25
0,67
0,07
-0,66
-0,75
0,20
-1,13
0,08
-0,21
0,23
0,61
1,47
0,92
1,78
-1,05
0,29
1,48
-0,36
2,20
-1,77
0,61
-0,98
0,74
0,59
-0,98
1,44
-1,33
-0,43
96,64
97,84
95,42
95,06
97,57
96,85
96,18
95,61
95,75
95,75
95,75
95,75
95,75
95,75
95,75
95,75
0,89
2,09
-0,33
-0,69
1,82
1,10
0,43
-0,14
Tabla 5.46. Residuales del segundo experimento para λ=98%.
% de probabilidad normal
99
95
90
80
70
50
30
20
10
5
1
-3.97
-2.47
-0.97
0.53
2.03
Residuales
Gráfica 5.18. Probabilidad normal de los residuales del modelo lineal propuesto.
- 160 -
5,00
4,00
3,00
Residuales
2,00
1,00
0,00
-1,0092,00
94,00
96,00
98,00
100,00
-2,00
-3,00
-4,00
-5,00
Nivel de Servicio Predicho
Gráfica 5.19. Residuales frente a Ŷ en el segundo experimento caras para λ=98%.
5,00
4,00
3,00
Residuales
2,00
1,00
0,00
-1,00 0
50
100
150
-2,00
-3,00
-4,00
-5,00
Orden de Realización de la Sim ulación
Gráfica 5.20. Residuales frente al orden de avaluación del segundo experimento para λ=98%.
En la grafica de la probabilidad normal los puntos siguen muy aproximadamente una
línea recta. En esta grafica se observa que puede haber un ligero sesgo hacia los valores
positivas de los residuales, ya que la rama de la derecha es más amplia que la de la
- 161 -
izquierda, aunque este hecho no implica que se viole la hipótesis de normalidad. En la
gráfica en la que se grafican los residuales frente a las respuestas predichas se aprecia
variabilidad de los residuales se pudiera reducir conforme se aumenta el número de
tarjetas. Ninguno de estos dos aspectos parece importante, por lo que consideramos que
el modelo se puede considerar adecuado.
El modelo ajustado lo vamos a usar para movernos por la trayectoria de máximo
ascenso a través de él, para ello vamos a aplicar el método de la máxima pendiente. La
variable con mayor coeficiente de regresión es la x1 por lo que la pendiente de la
trayectoria de máximo ascenso va a venir dada por el cociente 0.77/1.45. Esto significa
que por cada unidad que aumente x1, x2 lo va a hacer en aproximadamente 0.53
unidades. Debido a que el número de tarjetas ha de ser un valor entero, el paso que
vamos a escoger para la variable x1 va a ser de dos unidades que corresponden
prácticamente con una unidad de aumento para la variable x2. Estos valores equivalen,
en variables naturales, con aumentos de dos tarjetas para el parámetro K (0) por una
para el parámetro E, respectivamente. En la tabla 5.45 se muestran los puntos de la
trayectoria de máximo descenso y las respuestas halladas a lo largo de ella. En la gráfica
5.21 se grafican estas últimas:
Pasos
Origen
∆
Origen+∆
Origen+2∆
Origen+3∆
Origen+4∆
Origen+5∆
Origen+6∆
Origen+7∆
Variables codificadas
x1
x2
0
0
2
1
2
1
4
2
6
3
8
4
10
5
12
6
14
7
Variables naturales
ξ1
ξ2
6
2
8
10
12
14
16
18
20
11
1
12
13
14
15
16
17
18
Respuestas
Nivel de Servicio
WIP
96,062±0.510
16.936±0.111
97,782±0.339
98,199±0.360
98,343±0.288
98,454±0.256
98,467±0.213
99,068±0.276
99,054±0.278
19.777±0.205
22.283±0.571
24.541±0.827
25.673±1.020
24.683±1.972
23.031±2.601
25.402±2.405
Tabla 5.47. Trayectoria de máxima pendiente y repuestas del modelo ajustado.
- 162 -
100
Nivel de Servicio Medio
99
98
97
96
95
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Pasos
Gráfica 5.21. Nivel de servicio medio en la trayectoria de la máxima pendiente.
El nivel de servicio objetivo es el del 98% y el punto sobre la trayectoria de la máxima
pendiente que esta más próximo a ese nivel, sin rebasarlo, es el correspondiente a un
número de tarjetas K (0) = 8 y E = 12, donde el nivel de servicio medio alcanza un
valor del 97,782 %. También se puede apreciar que es el primer punto en el que el valor
del 98% se incluye dentro de su intervalo de confianza. En la gráfica 5.21 se puede
apreciar el típico comportamiento de un sistema Conwip, comentado anteriormente.
Anteriormente se comentó que el punto óptimo buscado sería aquel que estuviera lo más
cerca posible de un nivel de servicio del 98%, y con un inventario lo más bajo posible.
Con el hallazgo del punto (8,12) pudiera parecer que hemos conseguido nuestro
propósito, sin embargo no podemos afirmar que este sea el único punto que cumple
estas premisas, por lo que creemos conveniente plantear de nuevo un experimento
centrado en este punto con el fin de ajustar un nuevo modelo que nos permita ajustar
una superficie de respuesta de cuyo análisis podemos extraer un conocimiento más
exacto de cómo se comporta el sistema para estos niveles de los parámetros K(0) y E, y
hallar el punto que más se acerque a nuestros deseos.
El nuevo experimento y los nuevos escenarios se muestran a continuación:
- 163 -
(9,13)
Factor B
(7,13)
(8,12)
(7,11)
(9,11)
Factor A
Figura 5.9. Región de experimentación del tercer experimento con punto central para λ=98%.
Escenario
1
2
3
4
5
K(0)
7
9
7
9
8
E
11
11
13
13
12
Tabla 5.48. Escenarios del tercer experimento con punto central para λ=98%.
Escenario
1
2
3
4
5
K(0)
-1
1
-1
1
0
E
-1
-1
1
1
0
Tabla 5.49. Escenarios del tercer experimento con punto central para λ=98%.
El resultado de las simulaciones ha sido:
Escenario Nivel de servicio medio (%) STD Nivel de Servicio WIP medio STD WIP
1
97.519
0.9610
17.909
0.1268
2
97.763
0.6526
19.691
0.2493
3
97.612
0.6754
19.867
0.1638
4
98.046
0.7027
21.491
0.4064
5
97.782
0.7210
19.777
0.2051
Tabla 5.50. Resultados de las simulaciones de los escenarios del tercer experimento con punto central
para λ=98%.
- 164 -
El análisis de varianza arroja el siguiente resultado:
Termino Efectos SS Porcentaje g.d.l
A
0,34
3,45
3,99
1
B
0,16
1,06
1,22
1
AB
0,10
0,27
0,31
1
Error
81,81
94,48
146
Total
86,59
100,00
149
MSS Fo Fo Tablas
3,45 6,16
3,91
1,06 1,89
3,91
0,27 0,48
3,91
0,56
Tabla 5.51. Análisis de varianza del tercer experimento con punto central para λ=98%.
El resultado obtenido muestra que sólo el factor A es significativo. Esto significa que el
modelo lineal que pretendemos ajustar sería, en variables codificadas, de la forma:
yˆ = 97.74 + 0.17 x1
Veamos a continuación si este modelo pasa las pruebas de adecuación. Las pruebas de
significación y de falta de ajuste se muestran en la tabla 5.52:
Termino
SS g.d.l MSS Fo Fo Tablas
Modelo
3,45
1
3,45 6,14
3,91
Residual
83,14 148 0,56
(Falta de ajuste LOF) 1,38
3
0,46 0,82
2,67
(Error puro)
81,76 145 0,56
Total
86,59 149
Tabla 5.52. Prueba de significación y de la falta de ajuste del tercer experimento para λ=98%.
El modelo lineal propuesto supera las pruebas de significación y la de falta de ajuste. A
continuación se muestran los resultados del análisis gráfico de los residuales:
Respuestas
98,90
97,41
98,35
98,19
97,17
98,52
95,41
96,74
98,44
97,09
98,14
Predicción
97,57
97,57
97,57
97,57
97,57
97,57
97,57
97,57
97,57
97,57
97,57
- 165 -
Residuales
1,33
-0,16
0,77
0,62
-0,41
0,95
-2,16
-0,84
0,86
-0,48
0,56
97,60
97,23
98,04
96,96
96,22
98,20
96,97
97,17
97,30
97,68
97,66
95,18
98,19
97,78
97,76
98,26
98,02
98,38
97,57
98,71
98,52
97,71
98,26
98,20
97,90
96,65
96,28
98,39
97,29
97,50
98,18
98,12
97,44
98,05
98,33
98,09
97,36
97,52
97,56
97,64
97,94
98,73
97,35
97,99
97,81
98,26
98,03
97,14
95,97
97,47
98,21
97,90
98,27
97,57
97,57
97,57
97,57
97,57
97,57
97,57
97,57
97,57
97,57
97,57
97,57
97,57
97,57
97,57
97,57
97,57
97,57
97,57
97,91
97,91
97,91
97,91
97,91
97,91
97,91
97,91
97,91
97,91
97,91
97,91
97,91
97,91
97,91
97,91
97,91
97,91
97,91
97,91
97,91
97,91
97,91
97,91
97,91
97,91
97,91
97,91
97,91
97,91
97,57
97,57
97,57
97,57
- 166 -
0,03
-0,34
0,47
-0,61
-1,35
0,63
-0,61
-0,40
-0,28
0,11
0,09
-2,39
0,62
0,20
0,18
0,68
0,45
0,81
0,00
0,80
0,61
-0,20
0,34
0,28
-0,02
-1,27
-1,63
0,47
-0,62
-0,42
0,26
0,21
-0,47
0,13
0,41
0,18
-0,55
-0,40
-0,36
-0,28
0,03
0,82
-0,57
0,08
-0,11
0,35
0,12
-0,77
-1,94
-0,11
0,64
0,32
0,70
97,80
97,87
96,76
97,72
98,62
97,06
97,17
97,66
97,74
97,83
97,69
98,91
97,81
97,19
96,65
96,29
97,88
98,45
98,68
97,64
97,62
96,79
97,71
97,97
96,79
96,22
98,18
97,94
98,77
98,02
96,27
98,13
97,30
98,59
98,30
98,81
97,93
98,31
98,85
98,27
98,87
96,38
98,42
98,63
97,65
97,16
98,20
97,64
98,46
98,97
97,65
96,74
97,84
97,57
97,57
97,57
97,57
97,57
97,57
97,57
97,57
97,57
97,57
97,57
97,57
97,57
97,57
97,57
97,57
97,57
97,57
97,57
97,57
97,57
97,57
97,57
97,57
97,57
97,57
97,91
97,91
97,91
97,91
97,91
97,91
97,91
97,91
97,91
97,91
97,91
97,91
97,91
97,91
97,91
97,91
97,91
97,91
97,91
97,91
97,91
97,91
97,91
97,91
97,91
97,91
97,91
- 167 -
0,22
0,30
-0,82
0,15
1,04
-0,52
-0,40
0,09
0,16
0,25
0,11
1,33
0,24
-0,38
-0,92
-1,29
0,31
0,88
1,10
0,06
0,04
-0,78
0,13
0,40
-0,78
-1,36
0,27
0,02
0,86
0,11
-1,64
0,22
-0,61
0,68
0,39
0,90
0,02
0,39
0,94
0,36
0,96
-1,53
0,50
0,72
-0,26
-0,75
0,28
-0,28
0,54
1,05
-0,26
-1,18
-0,07
98,53
98,31
98,26
97,96
98,26
97,80
98,91
97,24
97,80
96,68
97,00
98,24
96,49
96,67
99,00
97,61
97,92
97,40
98,24
96,64
96,91
98,53
97,76
97,49
98,56
97,90
98,91
97,68
98,01
97,74
98,98
97,87
97,26
97,91
97,91
97,91
97,74
97,74
97,74
97,74
97,74
97,74
97,74
97,74
97,74
97,74
97,74
97,74
97,74
97,74
97,74
97,74
97,74
97,74
97,74
97,74
97,74
97,74
97,74
97,74
97,74
97,74
97,74
97,74
97,74
97,74
0,61
0,40
0,34
0,21
0,51
0,05
1,17
-0,50
0,06
-1,06
-0,74
0,49
-1,26
-1,08
1,26
-0,14
0,17
-0,35
0,49
-1,11
-0,84
0,79
0,02
-0,25
0,82
0,16
1,16
-0,06
0,26
0,00
1,24
0,12
-0,49
Tabla 5.53. Residuales del tercer experimento para λ=98%.
- 168 -
99
% de probabilidad normal
95
90
80
70
50
30
20
10
5
1
-3.16
-2.04
-0.91
0.21
1.33
Residuales
Gráfica 5.22. Probabilidad normal de los residuales del modelo lineal propuesto.
3,00
Residuales
2,00
1,00
0,00
97,50
-1,00
98,00
-2,00
-3,00
Nivel de Servicio Predicho
Gráfica 5.23. Residuales frente a Ŷ en el tercer experimento caras para λ=98%.
- 169 -
3,00
Residuales
2,00
1,00
0,00
0
50
100
150
-1,00
-2,00
-3,00
Orden de Realización de la Sim ulación
Gráfica 5.24. Residuales frente al orden de avaluación del tercer experimento para λ=98%.
En la gráfica de la probabilidad normal se observa que los puntos siguen una línea recta
con mayor dificultad que en los casos anteriores. También se observa que la rama
derecha es más larga que la izquierda, lo que puede significar que existe un ligero sesgo
hacia los valores positivos de los residuales. Ninguno de los dos aspectos anteriores
hace pensar que no se cumple la hipótesis de normalidad. En las otras dos graficas que
forman parte del análisis de los residuales no se aprecia ningún patrón que haga pensar
que el modelo ajustado no es adecuado, por lo que el modelo se considera satisfactorio.
El modelo ajustado sólo depende del factor A y podemos seguir la trayectoria de la
máxima pendiente aumentando su valor. El paso va a ser de una unidad, lo que
corresponde con una tarjeta en las variables naturales, y el origen va a ser el centro de la
región de experimentación. Como se puede ver en la tabla 5.54, en el primer paso ya
sobrepasamos el límite impuesto para el nivel de servicio, por lo que vamos a detener
nuestra búsqueda en este punto y por consiguiente en esta región de experimentación.
K(0) (Factor A)
8
9
10
E (Factor B)
12
12
12
Nivel de Servicio
97.782±0.339
98.081±0.266
98.098±0.366
WIP
19.777±0.205
20.601±0.324
21.497±0.247
Tabla 5.54. Respuestas en la trayectoria de la máxima pendiente.
- 170 -
Hasta ahora, todos los experimentos realizados han tenido como objeto buscar la
combinación de K (0) y E que ofreciera un nivel de servicio más cercano al
predeterminado, que en nuestro caso ha sido el 98%. Aplicando la metodología RSM, se
partió del punto (5,6), con un nivel de servicio medio del 81.939±1.282 %, y se ha
llegado al (8,12) con un nivel de servicio medio del 97.782±0.339 %. En este punto de
la experimentación, parece ser que hemos conseguido encontrar una superficie de
respuesta que se ajusta adecuadamente a la real en las inmediaciones de los diferentes
puntos que ofrecen un nivel de servicio muy próximo al predeterminado, pero
desconocemos cual de ellos es el que ofrece un inventario en proceso menor. El
siguiente paso que se va a seguir va a ser el de tratar de ajustar un modelo que nos
ofrezca una superficie de respuesta suficientemente ajustada a la real en esta región,
aunque esta vez, examinando el WIP como respuesta. Una vez sepamos como se
comporta el WIP en esta región, estaremos en condiciones de elegir el punto idóneo.
La región de experimentación y los experimentos van a ser los mismos que se han
mostrado en la figura 5.9 y en las tablas 5.48 y 5.49. El WIP obtenido en estos
escenarios se mostró en la tabla 5.50.
El análisis de varianza se muestra a continuación:
Termino Efectos
SS
Porcentaje g.d.l MSS
Fo
Fo Tablas
A
1,70
86,98
43,03
1
86,98 1396,90
3,91
B
1,88 105,89
52,38
1 105,89 1700,57
3,91
AB
0,19
0,19
0,09
1
0,19
2,99
3,91
Error
9,09
4,50
146 0,06
Total
202,15
100,00
149
Tabla 5.55. Análisis de varianza del experimento con punto central y WIP como respuesta para λ=98%.
Los dos factores principales resultan significativos, no siendo así la interacción entre
ellos. Por tanto, el modelo de primer orden ajustado será como se muestra a
continuación:
yˆ = 19.75 + 0.85x1 + 0.94 x2
Como es habitual, a continuación sometemos al modelo a las pruebas encaminadas a
probar su adecuación. En la tabla 5.56 se muestran la de significación la de los
coeficientes y la de la prueba de ajuste:
- 171 -
Termino
SS
g.d.l MSS
Fo
Fo Tablas
Modelo
192,88 2
96,44 1528,04
3,06
Residual
9,28 147 0,06
(Falta de ajuste LOF) 0,22
2
0,11
1,77
3,06
(Error puro)
9,06 145 0,06
Total
202,15 149
Tabla 5.56. Prueba de significación y de la falta de ajuste del experimento con WIP como respuesta para
λ=98%.
Estas dos pruebas las pasa el modelo ajustado, ya sólo queda esperar que pase el análisis
gráfico de los residuales que se muestra a continuación:
Respuestas
17,66
17,98
17,88
17,98
17,86
17,97
17,99
17,59
17,98
17,99
17,99
17,84
17,91
17,99
17,90
17,82
17,50
17,88
17,98
17,98
17,91
17,99
17,99
17,99
17,99
17,80
17,99
17,99
17,98
17,98
19,62
19,80
19,84
19,48
Predicción
17,96
17,96
17,96
17,96
17,96
17,96
17,96
17,96
17,96
17,96
17,96
17,96
17,96
17,96
17,96
17,96
17,96
17,96
17,96
17,96
17,96
17,96
17,96
17,96
17,96
17,96
17,96
17,96
17,96
17,96
19,66
19,66
19,66
19,66
- 172 -
Residuales
-0,30
0,03
-0,07
0,03
-0,09
0,01
0,04
-0,36
0,03
0,03
0,03
-0,12
-0,04
0,03
-0,06
-0,14
-0,46
-0,08
0,03
0,02
-0,04
0,03
0,03
0,03
0,03
-0,16
0,03
0,03
0,02
0,03
-0,04
0,14
0,18
-0,18
19,38
19,94
19,88
19,69
19,45
19,63
19,76
19,79
18,89
19,94
19,80
19,99
19,99
19,98
19,92
19,72
19,40
19,42
19,58
19,33
19,98
19,75
19,76
19,68
19,56
19,79
19,74
19,87
19,92
19,85
19,64
19,96
19,99
19,76
19,97
19,98
19,98
19,84
19,80
19,98
19,99
19,98
19,83
19,99
19,97
19,81
19,89
19,98
19,65
19,98
19,98
19,79
19,68
19,66
19,66
19,66
19,66
19,66
19,66
19,66
19,66
19,66
19,66
19,66
19,66
19,66
19,66
19,66
19,66
19,66
19,66
19,66
19,66
19,66
19,66
19,66
19,66
19,66
19,66
19,83
19,83
19,83
19,83
19,83
19,83
19,83
19,83
19,83
19,83
19,83
19,83
19,83
19,83
19,83
19,83
19,83
19,83
19,83
19,83
19,83
19,83
19,83
19,83
19,83
19,83
19,83
- 173 -
-0,28
0,28
0,22
0,03
-0,21
-0,03
0,10
0,13
-0,76
0,28
0,14
0,33
0,33
0,32
0,26
0,06
-0,26
-0,24
-0,07
-0,33
0,32
0,09
0,11
0,02
-0,10
0,13
-0,10
0,04
0,09
0,01
-0,19
0,13
0,15
-0,08
0,14
0,15
0,15
0,00
-0,04
0,15
0,15
0,15
-0,01
0,16
0,14
-0,03
0,06
0,15
-0,19
0,15
0,15
-0,05
-0,15
19,24
19,98
19,98
21,51
21,86
21,53
21,78
21,48
21,00
21,55
21,40
21,30
21,48
20,65
21,96
21,68
21,98
21,61
21,99
21,99
20,89
20,90
21,77
21,96
21,39
21,85
21,99
21,38
21,87
21,70
21,44
21,12
21,21
19,99
19,36
19,98
19,75
19,84
19,94
19,65
19,92
19,49
19,90
19,76
19,97
19,77
19,92
19,98
19,53
19,82
19,99
19,17
19,76
19,83
19,83
19,83
21,54
21,54
21,54
21,54
21,54
21,54
21,54
21,54
21,54
21,54
21,54
21,54
21,54
21,54
21,54
21,54
21,54
21,54
21,54
21,54
21,54
21,54
21,54
21,54
21,54
21,54
21,54
21,54
21,54
21,54
19,75
19,75
19,75
19,75
19,75
19,75
19,75
19,75
19,75
19,75
19,75
19,75
19,75
19,75
19,75
19,75
19,75
19,75
19,75
19,75
- 174 -
-0,60
0,14
0,14
-0,03
0,32
0,00
0,24
-0,05
-0,53
0,01
-0,14
-0,24
-0,06
-0,89
0,43
0,14
0,44
0,07
0,45
0,45
-0,65
-0,64
0,24
0,42
-0,15
0,32
0,45
-0,16
0,33
0,17
-0,10
-0,42
-0,33
0,24
-0,38
0,24
0,00
0,09
0,20
-0,10
0,17
-0,26
0,16
0,02
0,22
0,02
0,17
0,24
-0,21
0,08
0,24
-0,57
0,01
19,46
19,92
19,62
19,81
19,75
19,85
19,98
19,89
19,86
19,67
19,75
19,75
19,75
19,75
19,75
19,75
19,75
19,75
19,75
19,75
-0,28
0,18
-0,13
0,06
0,00
0,10
0,23
0,14
0,11
-0,07
Tabla 5.57. Residuales del experimento con WIP como respuesta para λ=98%.
% de probabilidad normal
99
95
90
80
70
50
30
20
10
5
1
-1.05
-0.67
-0.30
108
0.45
Residuales
Gráfica 5.25. Probabilidad normal de los residuales del modelo lineal propuesto.
- 175 -
1,00
Residuales
0,50
0,00
17,00
22,00
-0,50
-1,00
WIP Predicho
Gráfica 5.26. Residuales frente a Ŷ en el experimento con WIP como respuesta para λ=98%.
1,00
Residuales
0,50
0,00
0
50
100
150
-0,50
-1,00
Orden de Realización de la Sim ulación
Gráfica 5.27. Residuales frente al orden de avaluación del experimento con WIP como respuesta para λ=98%.
La grafica de la probabilidad normal muestra que los puntos siguen aproximadamente
una línea recta, aunque con algo de dificultad. También se observa que la rama de la
derecha es algo más larga que la de la izquierda, lo que puede indicar que existe algo de
sesgo hacia los valores positivos de los residuales. Las otras dos gráficas no muestran
- 176 -
que los puntos sigan patrón alguno. Ninguno de los aspectos comentados nos hace
pensar que no se cumple la hipótesis de normalidad para el error ni que los residuales
tengan relación con la respuesta o el orden de realización de las simulaciones, por lo que
damos por adecuado el modelo.
Los dos modelos de primer orden obtenidos se muestran en la tabla siguiente, tanto en
variables codificadas, como en variables naturales:
Respuesta
Nivel de Servicio
WIP
Modelo ajustado
yˆ = 97.74406 + 0.16959x1
yˆ = 96.38734 + 0.16959ξ1
Variables codificadas
Variables naturales
Variables codificadas
Variables naturales
yˆ = 19.74774 + 0.85139x1 + 0.93939x2
yˆ = 1.66302 + 0.85139ξ1 + 0.93939ξ 2
Tabla 5.58. Modelos ajustados.
En el proceso objeto de estudio sólo intervienen dos factores, el parámetro K (0) y el E.
Esto significa que las superficies de respuesta tienen tres dimensiones y su proyección
dos, por lo que su representación es inmediata. Recordemos que las proyecciones de una
superficie de respuesta sobre el plano definido por dos de sus factores, daba lugar a las
gráficas de contornos (ver el apartado 4.4). Los contornos se representan por curvas que
unen puntos con el mismo valor de respuesta, de la misma manera que en un mapa
topográfico las curvas de nivel unen puntos de igual cota. El uso de estas gráficas va a
permitir el uso del método de optimización por superposición de las graficas de
contornos. El uso de este método gráfico es indicado en problemas de optimización
multirespuesta en los que intervienen un número pequeño de factores, como es nuestro
caso. Nosotros estamos interesados en encontrar una combinación de los parámetros K
(0) y E que permitan funcionar a la línea de producción objeto de estudio con un nivel
de servicio lo más cercano posible al 98% y con el menor inventario en proceso posible.
Por medio de la superposición de las graficas de contorno vamos a poder hacernos una
idea muy aproximada de cómo son las superficies de respuestas para el nivel de servicio
y para el WIP, y poder escoger de un modo fácil e intuitivo, la combinación o
combinaciones de estos parámetros que más se aproximen a nuestras necesidades.
Las superficies de respuesta encontradas las podemos observar en las gráficas 5.28 y
5.29:
- 177 -
Gráfica 5.28. Superficie de respuesta para el nivel de servicio.
Gráfica 5.29. Superficie de respuesta para el WIP.
Las graficas de contornos obtenidas, proyectando ambas superficies de respuesta sobre
el plano K (0)-E, se muestran a continuación:
- 178 -
Nivel de Servicio
14
97,46
97,57
97,69
97,80
97,91
98,03
98,08
97,52
97,63
97,74
97,86
97,97
E (Factor B)
13
12
11
10
6
7
8
9
10
K(0) (Factor A)
Gráfica 5.30. Gráfica de contorno de la superficie de respuesta para el nivel de servicio.
WIP
14
22.832
E (Factor B)
13
22.177
21.546
12
20.941
11
20.343
16.666
10
6
17.293
17.959
7
18.553
8
19.150
9
19.747
10
K(0) (Factor A)
Gráfica 5.31. Gráfica de contorno de la superficie de respuesta para el WIP.
Superponiendo ambas obtenemos la siguiente gráfica:
- 179 -
Nivel de Servicio - WIP
14
97,46
97,57
97,69
97,80
97,91
98,03
98,08
97,52
97,63
97,74
97,86
97,97
22.832
E (Factor B)
13
22.177
21.546
12
20.941
11
20.343
16.666
10
6
17.293
17.959
7
18.553
8
19.150
9
19.747
10
K(0) (Factor A)
Gráfica 5.32. Superposición de las gráficas de contorno de las superficies de respuesta.
En la gráfica 5.32 los puntos rojos son los escenarios en los que se han realizado las
simulaciones y sobre los que se han ajustado ambas superficies de respuesta.
Observando la gráfica de superposición observamos que el mayor valor del parámetro
K (0) admisible es el correspondiente a 9 tarjetas. Por la forma de los contornos azules,
los correspondientes al WIP, se observa que el inventario disminuye en el sentido
decreciente del parámetro E para un valor fijo de K (0). Según esto, la mejor
combinación que se obtiene dentro de la región de experimentación es la K (0) = 9 y E =
11. Sin embargo, si acabamos aquí el análisis de esta gráfica corremos el riesgo de no
tener en cuenta otros puntos que pueden dar mejores resultados que el anterior. Lo
primero que se nos plantea es seguir el contorno K (0) = 9 (línea naranja vertical) en
sentido descendente de E y estudiar el valor real en los puntos (9,10), (9,9), (9,8), y
sucesivos, hasta que ya no cumplan los objetivos fijados. Esta forma de operar es
análoga a la empleada en el método de la máxima pendiente, solo que en este caso no se
va a seguir la trayectoria en la que la respuesta tiene un aumento máximo, si no aquella
en la que se cumple una determinada característica como es la de tener un valor
constante del nivel de servicio. Otro puntos a considerar serian los contenidos en el
contorno K (0) = 10. Si observamos los modelos que se han ido ajustando para el nivel
de servicio hasta llegar a este último vemos que los anteriores dependían de los dos
factores, lo que significa que los contornos fuera de la última región de experimentación
deben de ir perdiendo su paralelismo con el eje del factor E. Esto quiere decir que el
nivel de servicio en el punto (10,9) y sucesivos, puede que sea inferior al 98%, por lo
que tenemos que comprobar su valor real. Por este mismo motivo también vamos a
comprobar el valor real en el contorno K (0) = 8. En la tabla siguiente se muestran los
- 180 -
resultados que ofrecen las simulaciones de la línea de producción para los puntos
candidatos:
K(0)
10
10
10
9
9
9
9
8
8
8
E
9
8
7
11
10
9
8
12
11
10
Nivel de Servicio
97.929±0.358
97.826±0.428
96.734±0.577
97.763±0..307
97.924±0.342
97.552±0.371
96.706±0.516
97.782±0.339
98.126±0.263
97.424±0.456
IC (99%)
97.571<>98.287
97.398<>98.254
96.157<>97.311
97.456<>98.070
97.582<>98.266
97.181<>97.923
96.190<>97.222
97.443<>98.121
97.863<>98.389
96.968<>97.880
WIP
18.676±0.146
17.790±0.093
16.852±0.134
19.691±0.117
18.709±0.157
17.776±0.096
16.872±0.076
19.777±0.096
18.779±0.114
17.804±0.087
Tabla 5.59. Comparación de combinaciones candidatas.
En todos los experimentos y comparaciones que se han realizado hasta este momento
los valores que se han utilizado han sido valores medios y no ha sido necesario estudiar
los intervalos de confianza. Si al analizar la tabla anterior, sólo nos fijamos en el nivel
de servicio medio, la combinación que satisface los criterios de búsqueda sería la
(10,9), ya que su nivel de servicio medio sería el más próximo al 98% y al no haber otra
combinación con ese mismo valor, ni siquiera tendríamos que comparar distintos
valores para el WIP. Sin embargo la información que nos ofrecen los intervalos de
confianza no podemos pasarla por alto ya que corremos el riesgo de no tener en cuenta
soluciones admisibles. A estas alturas de la experimentación necesitamos afinar los
criterios de búsqueda usados hasta ahora. A partir de este momento consideraremos
como solución admisible aquella cuyo nivel de servicio pueda tomar el valor del 98%
dentro de su intervalo de confianza. Con este criterio el valor que tome el WIP va a ser
decisivo, porque, de todas las soluciones admisibles escogeremos aquella que tenga
menor WIP medio.
La tabla 5.59 se puede dividir en tres grupos de resultados según el valor del parámetro
K (0). Para cada uno de estos grupos los valores escogidos según el criterio anterior son
los siguientes:
K(0)
10
9
8
E
8
10
11
Nivel de Servicio
97.826±0.428
97.924±0.342
98.126±0.263
IC (99%)
97.398<>98.254
97.582<>98.266
97.863<>98.389
Tabla 5.60. Selección de soluciones admisibles.
- 181 -
WIP
17.790±0.093
18.709±0.157
18.779±0.114
De estas tres combinaciones la mejor según el criterio empleado es la (10,8). Tiene el
menor inventario en proceso y en su intervalo de confianza se puede alcanzar un nivel
de servicio del 98%. Sin duda es candidata a ser la combinación óptima buscada, pero si
observamos estas tres combinaciones podemos apreciar tres importantes características.
Una es que el WIP tiende a disminuir conforme disminuye el parámetro E y aumenta K
(0), otra que el nivel de servicio medio disminuye en este mismo sentido y por último,
que el tamaño de los intervalos de confianza lo hace en sentido contrario al anterior. Si
estos tres puntos de la tabla 5.59 los representamos en el plano K (0)-E, podemos
observar como están prácticamente alineados.
13
12
E (Factor B)
11
10
9
8
7
8
9
10
11
K(0) (Factor A)
Gráfica 5.33. Combinaciones candidatas y posible dirección de optimización.
A la vista de los indicios que se extraen de la observación de los resultados mostrados
en la tabla 5.60, uno se pregunta si los puntos que se encuentran en la dirección
representada por una flecha verde en la gráfica 5.33 no pueden ser soluciones
admisibles y alguna de ellas ser la óptima buscada. En la tabla siguiente se representan
los puntos candidatos a lo largo de esta trayectoria, junto a los valores del nivel de
servicio, intervalo de confianza y el inventario en proceso:
- 182 -
K(0)
11
11
11
12
12
12
13
13
14
14
15
15
16
16
17
17
18
18
E
8
7
6
7
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
1
0
Nivel de Servicio
98,117±0,193
97,828±0,378
96.705±0.549
98,074±0,286
97,672±0,444
96.677±0.581
97,726±0,404
96,702±0,523
97,880±0,303
96,523±0,530
97,776±0,391
96,822±0,500
98,069±0,329
97,139±0,577
97,891±0,496
97,080±0,592
98,821±0,340
98,457±0,564
IC (99%)
97.924<>98.310
97.450<>98.206
96.156<>97.254
97.788<>98.360
97.228<>98.116
96.096<>97.258
97.322<>98.130
96.179<>97.225
97.577<>98.183
95.993<>97.053
97.385<>98.167
96.322<>97.322
97.740<>98.398
96.562<>97.716
97.395<>98.387
96.488<>97.672
98.481<>99.161
97.893<>99.021
WIP
18.706±0.136
17.798±0.093
16.815±0.101
18.671±0.140
17.660±0.153
16.861±0.063
17.439±0.311
16.722±0.158
17.330±0.284
16.770±0.115
17.171±0.305
16.614±0.192
17.408±0.258
16.721±0.144
17.626±0.497
17.004±0.001
18.471±0.200
18.002±0.001
Tabla 5.61. Segunda selección de soluciones admisibles.
En la tabla 5.61 las filas sombreadas son las correspondientes a las mejores soluciones
admisibles por cada valor de K (0). Casi todas ellas tiene menor inventario en proceso
que la combinación (10,8) mostrada en la tabla 5.60, y de todas ellas la que muestra un
menor valor para este parámetro es la (15,3), con un WIP medio de 17.171.
Para cada uno de los valores del parámetro K (0), si aumentamos el parámetro E,
aumenta el inventario en proceso, por lo que, aun siendo soluciones admisibles, estas
serian peores que las mostradas en las tablas 5.60 y 5.61, por lo que podemos afirmar
que tras todo el proceso seguido la combinación K (0)-E óptima es la (15,3).
Una característica que cumplen todas las soluciones admisibles con mínimo WIP, es que
la suma de los dos parámetros es igual a 18, excepto para las combinaciones (9,10) y
(8,11) que suman 19.
Para demostrar que la combinación (15,3) es la óptima se ha realizado una búsqueda
exhaustiva con todas las combinaciones razonables para el sistema objeto de estudio.
Las tablas 5.62, 5.63 y 5.64 muestran el nivel de servicio medio, los intervalos de
confianza para el nivel de servicio y el inventario en proceso respectivamente:
- 183 -
K(0)
Nivel de Servicio Medio
6,211
45,659
27,548
70,414
58,520
44,031
15,897
2
83,249
76,002
70,425
56,984
33,485
3
86,059
83,084
75,570
68,568
46,526
4
90,820
85,710
83,131
73,777
57,570
5
92,873
90,898
85,716
81,939
64,594
6
94,493
93,133
90,305
84,251
71,948
7
95,324
94,471
92,691
89,105
75,379
8
96,399
95,315
94,355
91,501
80,226
9
97,924
97,424
96,556
95,047
93,253
82,338
10
97,763
98,126
97,519
96,062
93,756
83,825
11
98,081
97,782
97,673
97,202
95,165
85,133
12
98,046
98,048
97,612
97,850
96,652
86,684
13
E
5
29,128
58,634
75,662
97,552
1
6
45,973
70,731
96,706
0
7
59,156
95,324
- 184 -
4
8
94,849
98,349
93,415
98,167
98,209
91,178
98,068
98,166
98,205
86,227
98,132
98,188
98,210
83,607
97,911
98,137
98,204
98,413
76,003
98,117
98,009
98,211
98,509
98,401
70,908
97,828
97,596
98,309
98,220
98,299
9
96,705
98,074
98,116
98,339
98,275
98,199
95,639
97,670
97,772
98,147
98,277
98,098
94,761
96,677
98,124
98,166
98,309
98,546
98,172
93,303
95,404
97,726
97,829
98,214
98,539
98,511
97,674
91,002
94,592
96,702
98,078
98,342
98,359
98,622
99,065
97,929
86,095
93,187
95,510
97,880
98,005
98,363
98,599
99,026
97,826
83,749
91,043
94,939
96,523
98,066
98,308
98,545
98,919
96,734
11
86,440
93,545
95,493
97,776
98,119
98,527
99,106
95,266
12
91,205
95,042
96,822
98,345
98,474
98,854
94,853
13
93,589
96,097
98,069
98,043
98,792
98,975
93,371
14
95,238
97,139
98,161
98,872
98,871
90,724
15
95,968
97,891
98,693
98,700
86,204
16
97,080
98,821
98,814
83,747
17
98,457
98,506
75,660
18
98,801
10
19
Tabla 5.62.Búsqueda exhaustiva. Nivel de servicio medio.
K(0)
IC (99%) para el Nivel de Servicio
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
94,976<>96,960
94,244<>96,232
92,623<>94,555
89,966<>94,426
84,962<>87,918
82,529<>84,969
74,009<>77,311
69,387<>72,429
57,198<>61,114
44,336<>47,610
26,890<>31,366
4,066<>8,356
97,395<>98,387
96,562<>97,716
95,298<>96,896
94,081<>96,003
92,636<>94,454
89,724<>92,362
84,500<>87,690
82,609<>84,885
74,537<>77,469
69,131<>72,331
56,605<>60,663
43,967<>47,351
25,049<>30,047
98,247<>99,139
97,879<>98,443
97,740<>98,398
96,322<>97,322
94,500<>96,486
94,040<>95,838
92,168<>94,206
89,809<>92,195
84,552<>87,856
82,509<>84,705
74,193<>77,131
68,704<>72,124
56,876<>60,164
42,066<>45,996
12,477<>19,497
2
98,360<>99,040
98,531<>99,213
97,656<>98,460
98,125<>98,565
97,385<>98,167
95,993<>97,053
94,574<>96,446
93,566<>95,618
92,457<>94,149
89,380<>92,068
84,716<>87,738
81,948<>84,550
74,491<>77,980
68,870<>71,980
54,898<>59,070
30,581<>36,389
3
98,565<>99,177
98,346<>99,238
98,237<>98,711
97,816<>98,422
97,797<>98,335
97,577<>98,183
96,179<>97,225
94,370<>96,438
93,839<>95,683
92,465<>94,277
89,813<>92,546
84,450<>87,668
81,852<>84,316
73,891<>77,249
66,605<>70,531
44,015<>49,037
4
98,776<>99,174
98,447<>99,261
98,295<>98,759
97,945<>98,671
97,579<>98,431
97,737<>98,419
97,322<>98,130
96,096<>97,258
94,751<>96,527
93,902<>95,804
92,408<>94,422
89,545<>92,095
84,194<>87,226
81,974<>84,288
72,221<>75,333
54,821<>60,319
5
98,858<>99,354
98,296<>98,794
98,157<>98,569
98,147<>98,537
98,396<>98,262
97,861<>98,387
97,228<>98,116
96,156<>97,254
94,233<>96,299
93,996<>95,702
92,003<>93,743
89,500<>92,296
84,160<>87,272
80,657<>83,221
62,205<>62,205
6
E
16
96,488<>97,672
98,481<>99,161
98,522<>99,106
1
17
97,893<>99,021
97,934<>99,078
0
18
98,505<>99,097
4
19
- 185 -
98,585<>99,253
98,366<>98,832
98,113<>98,605
97,902<>98,526
97,866<>98,466
97,515<>98,029
97,788<>98,360
97,450<>98,206
96,157<>97,311
94,329<>96,319
93,496<>95,490
92,226<>94,040
88,948<>91,662
82,775<>85,727
69,820<>74,076
7
98,747<>99,305
98,430<>98,814
98,333<>98,745
98,067<>98,551
97,759<>98,535
97,913<>98,319
97,230<>97,962
97,924<>98,310
97,398<>98,254
96,190<>97,222
94,244<>96,404
93,586<>95,356
91,865<>93,517
87,486<>90,724
73,491<>77,267
8
98,802<>99,328
98,306<>98,716
98,359<>98,733
98,030<>98,524
98,088<>98,590
98,075<>98,543
97,748<>98,270
97,647<>98,175
97.571<>98.287
97,181<>97,923
95,818<>96,980
94,372<>96,258
93,439<>95,271
90,393<>92,609
77,797<>82,655
9
98,011<>98,539
97,915<>98,525
97,982<>98,440
97,901<>98,373
97,775<>98,489
97,390<>97,958
97.582<>98.266
96,968<>97,880
96,011<>97,101
93,948<>96,146
92,153<>94,353
80,392<>84,284
10
98,032<>98,566
98,322<>98,696
97,961<>98,447
97,890<>98,486
97,677<>98,459
97,833<>98,511
97,456<>98,070
97.863<>98.389
97,067<>97,971
95,552<>96,572
92,715<>94,797
81,814<>85,836
11
98,169<>98,633
98,163<>98,663
97,929<>98,491
97,884<>98,448
97,954<>98,380
97,762<>98,434
97,815<>98,347
97,443<>98,121
97,240<>98,106
96,656<>97,748
94,359<>95,973
83,054<>87,212
12
97,947<>98,463
97,895<>98,523
98,041<>98,657
97,839<>98,559
97,716<>98,376
97,726<>98,370
97,294<>97,930
97,532<>98,168
95,958<>97,346
85,070<>88,298
13
Tabla 5.63.Búsqueda exhaustiva. Intervalos de confianza del nivel de servicio.
- 186 -
K(0)
WIP medio
4,976
7,021
6,009
9,053
8,021
7,021
6,003
2
10,997
10,015
9,019
8,020
7,019
3
11,987
11,010
10,014
9,021
8,020
4
12,977
12,006
11,007
10,017
9,022
5
13,970
12,998
12,004
11,011
10,019
6
14,953
13,990
12,996
12,007
11,014
7
15,921
14,980
13,991
13,001
12,010
8
16,912
15,969
14,981
13,996
13,005
9
18,709
17,804
16,948
15,967
14,992
14,001
10
19,691
18,779
17,909
16,936
15,988
14,996
11
20,601
19,777
18,884
17,905
16,984
15,992
12
21,491
20,660
19,867
18,936
17,962
16,988
13
E
5
6,011
8,022
10,009
17,776
1
6
7,023
9,018
16,872
0
7
8,023
15,927
- 187 -
4
8
14,967
22,765
13,980
22,212
23,602
12,989
21,275
22,658
23,640
12,002
20,351
21,911
23,206
11,007
19,623
21,127
22,195
23,405
10,017
18,706
20,216
21,648
22,707
22,933
9,023
17,798
19,520
20,659
21,684
22,069
9
16,815
18,671
19,935
21,137
21,657
22,283
15,885
17,660
19,276
20,505
21,133
21,497
14,927
16,861
18,498
19,673
20,315
21,199
20,620
13,966
15,883
17,439
19,227
19,995
20,533
21,572
19,593
12,984
14,916
16,722
18,249
19,284
19,937
21,066
20,715
18,676
12,002
13,962
15,863
17,330
18,701
19,819
20,692
20,417
17,790
11,018
12,988
14,909
16,770
18,031
19,303
20,276
20,060
16,852
11
12,015
13,966
15,856
17,171
18,723
19,876
20,145
15,940
12
13,011
14,931
16,614
17,883
19,150
19,805
14,939
13
14,009
15,793
17,408
18,768
19,449
20,465
13,968
14
15,007
16,721
18,351
19,093
20,315
12,982
15
16,005
17,626
18,839
19,962
11,992
16
17,004
18,471
19,631
11,008
17
18,002
19,386
10,022
18
19,002
10
19
Tabla 5.64.Búsqueda exhaustiva. Inventario en proceso.
Los valores remarcados en azul en la tabla 5.63 son las soluciones admisibles más
favorables. En la tabla 5.64 se remarca el inventario en proceso asociado a cada uno de
los valores anteriores. Observando los resultados se puede observar que los mejores
resultados se obtienen con la combinación (15,3), que coincide con la encontrada
anteriormente.
Los datos recogidos en la búsqueda exhaustiva se han utilizado para representar las
superficies de respuesta real correspondientes al nivel de servicio medio y al inventario
en proceso:
Gráfica 5.34. Superficie de respuesta real del nivel de servicio medio.
Gráfica 5.35. Superficie de respuesta real del inventario en proceso.
- 188 -
Observando estas dos últimas gráficas podemos entender con más facilidad los distintos
pasos que se han llevado a cabo aplicando la metodología RSM. No hay más que
identificar los puntos que componen cada una de las distintas regiones de
experimentación que se han usado y apreciar la forma de la superficie de respuesta tiene
en ellas para comprobar por qué el modelo ajustado para el nivel de servicio medio ha
sido de primer o de segundo orden.
En la primera región de experimentación, aquella que estaba centrada en el punto (5,6),
el modelo finalmente ajustado fue de segundo orden. En la gráfica 5.34, se puede ver
como en esa zona de la superficie de respuesta la parte ascendente de la superficie
adquiere gran curvatura para pasar a una zona en forma de meseta que tiende
ligeramente a niveles de servicio del orden del 100%. Para que esta curvatura sea
recogida por el modelo ajustado, este debe ser al menos de segundo orden, ya que uno
de primer orden representa un plano. Esto explica que el modelo ajustado sea de
segundo orden. Este modelo presentó un máximo en el punto (6,11) que corresponde
con un punto en donde se puede decir que esa curvatura finaliza y empieza la meseta
anteriormente comentada. A partir de ahí la superficie es casi plana, explicando esto,
que el modelo ajustado en la región de experimentación centrada en el punto (8,12)
fuera de primer orden. Si comparamos la superficie de la gráfica 5.28, con la zona que
le corresponde en la superficie representada en la gráfica 5.34, y teniendo en cuenta la
escala del eje correspondiente al nivel de servicio, vemos que efectivamente se
corresponde con un plano. Lo mismo se puede decir para las graficas que representan al
inventario en proceso. Si comparamos la superficie representada en la gráfica 5.29 con
la superficie de la gráfica 5,35, vemos que también hay similitud. En este último caso
también se puede apreciar que la similitud entre las dos superficies se puede extender a
una zona bastante amplia de la superficie real.
Dado que nosotros buscamos unas combinaciones que satisfagan unas determinadas
condiciones, y estas no son un máximo ni un mínimo de la superficie de respuesta, si no
que el nivel de servicio esté alrededor de un determinado valor, el ajuste terminó en el
punto (8,12), y a partir de ahí se buscaron los puntos que eran admisibles según estas
características. Esto nos llevó a buscar a lo largo de una trayectoria de soluciones
admisibles que representamos con una línea verde en la gráfica 5.33. Si ampliamos la
superficie de respuesta real, eliminando los valores del nivel de servicio inferiores al
80 %, y giramos la gráfica para tener una mejor perspectiva tenemos:
- 189 -
Gráfica 5.36. Superficie de respuesta real del inventario en proceso girada y ampliada.
En esta gráfica podemos observar la trayectoria de soluciones admisibles. Esta
corresponde con la primera hilera de puntos que se puede ver encima del color morado.
Como se puede apreciar son prácticamente los primeros puntos que pertenecen a la zona
casi plana superior una vez se alcanza esta desde la zona en pendiente.
También hay que hacer notar, que la superficie de respuesta real del nivel de servicio
medio representa el típico comportamiento de un sistema Conwip que ya se explicó en
la página 139. Si hacemos que un plano vertical gire 90 grados alrededor del eje vertical
que pasa por el punto (4,0), partiendo de la línea que une los (4,0) - (4,13), y acabando
en la línea (4,0)- (0,18), veremos que su intersección con la superficie de respuesta es
una gráfica similar a la 5.13.
El número de combinaciones de los parámetros que han sido necesarias para realizar la
búsqueda exhaustiva ha sido de 200. Si tenemos en cuenta que en la simulación de cada
combinación se han realizado 30 réplicas, esto supone que se han sido necesarias 6000
réplicas. Esto traducido a tiempo, teniendo en cuenta que cada conjunto de 30 réplicas
consumen aproximadamente 55 segundos, significa que el tiempo de simulación ha sido
de aproximadamente 11000 segundos, es decir, prácticamente tres horas. En el empleo
de la metodología RSM, para el caso λ= 98 %, (ver sección 5.3), el número de
combinaciones estudiadas ha sido de 53, lo que ha supuesto un total de 1590 réplicas,
con un consumo de 2915 segundos, es decir, aproximadamente 49 minutos.
Comparando estos resultados vemos que el empleo de la metodología RSM emplea el
26.5 % del tiempo empleado en la búsqueda exhaustiva, suponiendo un ahorro de
recursos importante. No obstante, el conjunto de técnicas empleadas en la metodología
pone en nuestras manos una herramienta que aun no hemos usado en el presente
proyecto y que está diseñada para ser empleada en casos en los que hay que obtener una
- 190 -
solución tras el análisis de dos o más respuestas, como es nuestro caso. Esta herramienta
es la función desirability en cuyo estudio vamos a profundizar en la siguiente sección de
este capítulo.
- 191 -
5.4 TÉCNICA RSM MULTIRESPUESTA. FUNCIÓN DESIRABILITY
En problemas donde la solución óptima depende de varias respuestas independientes,
como es nuestro caso, la metodología RSM dispone de varias herramientas para hallar
la solución más cercana a los deseos de los experimentadores. Dentro de estas
herramientas se encuentra el método gráfico de superposición de las gráficas de
contornos, ya visto en la sección 5.3, y el método de la función desirability (Derringer y
Suich, 1980, Myers y Montgomery, 1995)
La idea en la que se basa este método es la de asignar a cada una de las respuestas que
intervienen en el problema una función desirability, di, que va a variar entre cero y uno.
Si la respuesta toma el valor deseado, la función di vale uno, si toma un valor alejado
de la respuesta deseada, toma un valor igual a cero y si la respuesta está en un intervalo
dentro de unos valores admisibles para el experimentador, tomará un valor entre cero y
uno. Hay tantas funciones desirability como respuestas se quieran analizar. Una vez se
calculan las funciones di, se calcula la media geométrica D. Si todas las respuestas están
en el valor deseado, todas valen uno y por tanto D valdrá también uno. Si alguna di vale
cero, D valdrá también cero y si las di tienen valores entre cero y uno, el valor de D
también estará entre cero y uno. De todo esto se desprende que cuanto mayor y más
cercano a uno este D, más cerca se estará de los valores deseados y que este método
proporcionará una solución de compromiso entre las distintas respuestas.
Las funciones desirability pueden ser de tres tipos, según se pretenda conseguir un
máximo, un mínimo o un valor objetivo.
En el caso en el que se pretenda maximizar una de las respuestas, la función desirability
viene dada por la expresión:
di
⎛ yˆ − A ⎞
=⎜ i
⎟
B
A
−
⎝
⎠
s
A ≤ yˆ i ≤ B
(68)
Donde di es la función desirability para la respuesta ŷi. A es el valor por debajo del cual
las respuestas se consideran inaceptables y la función di toma el valor cero. B es el valor
de la respuesta a partir del que se desea un valor máximo. La función di vale uno para
valores de la respuesta mayores de B. El peso s determina la importancia que el
experimentador le da a la consecución del valor deseado. En la grafica 5.34 se
representa la función di, para distintos valores del peso s. En ella podemos ver como
para un valor alto de s, valores de la respuesta cercanos al valor B se hacen menos
aceptables, es decir, toman un valor más alejado del uno. Por el contrario, valores
pequeños de s, hacen que más respuestas dentro del intervalo [A, B] tomen valores más
cercanos a uno. El experimentador deberá elegir el valor s según la importancia que la
respuesta ŷi tenga para él. Si es muy importante que la respuesta ŷi alcance el máximo
cerca del límite B, el valor elegido de s ha de ser alto para hacer la búsqueda más
restrictiva en torno al máximo buscado. Por el contra, si el experimentador quiere que la
- 192 -
respuesta ŷi se maximice, pero esta no juega un papel muy importante frente a las otras
respuestas, a s se le dará un valor bajo. El valor uno le será dado en una situación
intermedia. El experimentador también debe elegir los límites A y B, según las
características del problema que este estudiando.
.1
s= 0
0.8
0.7
0.6
0.5
1
s=
0.5
0.4
s=
Función desira bility, d i
1
0.9
0.3
0.2
0.1
0
s=
5
s=
10
A
B
Respuesta yi
Gráfica 5.37. Función Desirability para un máximo.
La función desirability para el caso en el que se busque el mínimo de una de las
respuestas viene dada por la expresión:
di
⎛ yˆ −C ⎞
=⎜ i
⎟
⎝ B −C ⎠
s
B ≤ yˆ i ≤ C
y en función de los valores que tome el peso s tendrá la forma:
Función desirability, d i
1
0.9
s=
0.1
0.8
0.7
0.6
s=
1
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
s=
0.
5
s=
s= 5
10
B
C
Respuesta yi
Gráfica 5.38. Función Desirability para un mínimo.
- 193 -
(69)
El tercer caso que se puede estudiar con la función desirability es aquel en el que se
pretende que una de las respuestas tome un valor determinado. La expresión de la
función para este caso es:
⎧
⎪⎛
⎪⎜
⎪
d i = ⎨⎝
⎪⎛
⎪⎜
⎪
⎩⎝
s
yˆi − A ⎞
⎟
B− A ⎠
yˆi −C ⎞
⎟
B −C ⎠
A ≤ yˆ i ≤ B
(70)
t
B ≤ yˆ i ≤ C
t=
.1
s=0
0. 5
t=
s=
0.5
1
t=
s=
0.1
1
s=
5
s=
10
A
5
10
t=
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
t=
Función desirability, di
gráficamente:
B
C
Respuesta yi
Gráfica 5.39. Función Desirability para un punto objetivo.
Una vez que se calculan las funciones di para las m respuestas, se calcula el índice de la
respuesta compuesta, D, que no es mas que la media geométrica de las m funciones
desirability calculadas.
D = (d1 * d 2 * d 3 * L * d m )
1
m
(71)
Si el índice toma un valor cercano a uno implica que la mayoría de las funciones di
están muy próximas simultáneamente al valor deseado para cada una de ellas. Esto
dicho de otro modo, significa que habrá una combinación de los factores que
intervienen en el experimento cuyas respuestas hacen que el valor del índice D sea
máximo. Por tanto, una vez que se llegue a este punto, el objetivo del experimentador
será encontrar un método que encuentre el máximo del índice D, y así obtener la
combinación de los factores que haga encontrar el punto óptimo buscado. Este proceso
puede ser afrontado de diversas formas, se pueden emplear métodos analíticos,
algoritmos de optimización, métodos gráficos o la metodología RSM aplicada al índice
D. Dos posibilidades se muestran a continuación (Myers y Montgomery, 1995)
- 194 -
•
La primera variante emplea la metodología RSM para ajustar una superficie de
respuesta para cada una de las m respuestas. A continuación se calculan las
repuestas en cada uno de los puntos del diseño usando los modelos ajustados y
con ellas se calculan las m funciones di y el índice D. Una vez hecho esto se
ajusta un modelo para D y se halla la combinación de los factores que lo
maximizan, usando el método de la máxima pendiente, el análisis canónico o un
método grafico como los ya vistos en anteriores secciones de este mismo
capítulo.
•
La segunda variante consiste en calcular las m funciones di y el índice D en cada
una de las observaciones del experimento, empleando a continuación la
metodología RSM para ajustar una superficie de respuesta para D.
Posteriormente se halla la combinación de los factores que maximizan la
superficie usando cualquiera de las herramientas ya comentadas.
En la sección 5.3 se llegó hasta una región de experimentación centrada en el punto
(8, 12) en la que se ajustaron dos modelos lineales, uno para el nivel de servicio medio
y otro para el inventario en proceso. Para hallar una combinación de parámetros que
estuviera conforme con el criterio de búsqueda, se usó el método gráfico de la
superposición de las gráficas de contornos. Recordemos que el criterio de búsqueda para
encontrar una combinación óptima era que su nivel de servicio estuviera lo más cerca
posible al 98%, sin sobrepasarlo, y que su WIP fuese el menor posible. Ahora, vamos a
aplicar el método de la función desirability a esta misma región de experimentación
para comprobar a qué solución nos conduce y comparar los resultados obtenidos en
ambos casos. El criterio que se va a emplear para aplicar este método va a ser el
segundo de los propuestos por Myers y Montgomery.
La región de experimentación centrada en el punto (8,12) estaba compuesta por los
puntos:
Escenario
1
2
3
4
5
K(0)
7
9
7
9
8
E
11
11
13
13
12
Tabla 5.65. Escenarios del tercer experimento con punto central para λ=98%.
En cada uno de estos puntos de diseño se realizaron 30 réplicas, obteniendo el valor del
nivel de servicio y del inventario en proceso para cada una de ellas. Estos valores fueron
los que después se usaron para ajustar los modelos. Ahora, estas respuestas se van
emplear en calcular para cada réplica una función di para el nivel de servicio y otra para
el WIP, para a continuación calcular el índice D. Una vez hecho esto se va a intentar
ajustar un modelo para este índice. Posteriormente analizaremos su superficie de
- 195 -
respuesta e intentaremos encontrar el punto más cercano a las condiciones buscadas,
para lo que, al igual que en secciones anteriores, tendremos que afinar la búsqueda
fijándonos en los intervalos de confianza.
El primer paso es elegir el tipo de función di, para cada una de las respuestas. Para el
nivel de servicio se pretende obtener un valor del 98%, por lo que la función d1 es del
tipo usado en los casos en los que se pretende obtener un valor determinado. Para elegir
los límites de aceptabilidad hemos de tener en cuenta los intervalos de confianza. El
máximo intervalo de confianza encontrado en esta región ha sido de 0.452, por lo que
eligiendo un nivel superior del 99% y uno inferior del 96 %, cubrimos un rango de
valores lo suficientemente amplio en el que podemos prácticamente asegurar que se va a
encontrar la solución buscada para esta región de experimentación. Por tanto la función
d1 queda:
⎧
ˆ1 −96 ⎞s1
⎪⎛ y
⎟ 96 ≤ yˆ1 ≤ 98
⎪⎜
⎪ 98 − 96 ⎠
d1 = ⎨⎝
⎪⎛ y
ˆ1 −99 ⎞t1
⎪⎜
⎟ 98 ≤ yˆ1 ≤ 99
⎪ 98 − 99
⎠
⎩⎝
(72)
El segundo paso es elegir los pesos s y t. Se van a considerar tres situaciones. Cuando el
peso vale 10, correspondiendo a una situación en la que damos mucha importancia a
que el nivel de servicio alcance el valor del 98%. Cuando el peso vale 0.1, en la que le
damos poca importancia, y cuando toma el valor uno, en la que estamos en una
situación intermedia entre las dos anteriores. Gráficamente queda:
Función, d1
1,00
0,90
0,80
0,70
s=1
0,60
0,50
s=10
t=1
t=10
0,40
s=0.1
0,30
0,20
0,10
0,00
95,5
t=0.1
96
96,5
97
97,5
98
98,5
99
99,5
Respuestas
Gráfica 5.40. Función Desirability para un punto objetivo en el experimento centrado en (8,12).
Para el inventario en proceso la función di usada es la correspondiente al caso en el que
se pretende minimizar la respuesta. En las observaciones realizadas se ha encontrado un
WIP mínimo de 17.500 y un máximo de 21.955, por lo que consideramos que tomando
- 196 -
unos límites de aceptabilidad máximo de 22 y mínimo de 17 abarcamos todos los
valores posibles. La función d2 queda:
s2
d2
⎛ yˆ − 22 ⎞
=⎜ 2
⎟
⎝ 17 − 22 ⎠
17 ≤ yˆ 2 ≤ 22
(73)
Para el peso s se han escogido como posibles valores los mismos que para la función d1
correspondiente al nivel de servicio. En la gráfica siguiente se pueden apreciar los
distintos casos y la forma que adopta la función d2:
1,00
Función, d2
0,90
0,80
0,70
0,60
s=1
0,50
s=10
0,40
s=0.1
0,30
0,20
0,10
0,00
17
18
19
20
21
22
Respuestas
Gráfica 5.41. Función Desirability para un mínimo en el experimento centrado en (8,12).
Si tenemos en cuenta todas las combinaciones que se pueden obtener con los pesos de
las dos funciones d1 y d2, tenemos 27 experimentos, lo cual es una cifra muy alta. Esto
nos obliga a elegir las combinaciones que más se acerquen al criterio de búsqueda
elegido. Como punto de partida se elige la combinación (s1=1, t1=1, s2=1) con la que las
dos funciones desirability, d1 y d2, son lineales dentro de los limites escogidos. A partir
de esta combinación de pesos se van a elegir el resto, con la particularidad de que le
vamos a dar mayor importancia a obtener un nivel de servicio del 98%, tal y como se ha
hecho hasta ahora:
•
(s1=1, t1=10, s2=1) Con esta combinación se pone énfasis en no sobrepasar el
límite del 98% para el nivel de servicio. La mayoría de respuestas que
sobrepasen este valor del nivel de servicio no son aceptadas. Gráficamente:
- 197 -
Función, d1
1,00
0,90
0,80
0,70
0,60
s=1
0,50
t=10
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
95,5
96
96,5
97
97,5
98
98,5
99
99,5
Respuestas
Gráfica 5.42. Función Desirability, d1, con pesos s1=1, t1=10.
1,00
Función, d2
0,90
0,80
0,70
0,60
s=1
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
17
18
19
20
21
22
Respuestas
Gráfica 5.43. Función Desirability, d2, con peso s2=1.
(s1=10, t1=10, s2=1) Con esta combinación de pesos restringimos todavía más el
número de respuestas admisibles entorno al nivel de servicio del 98%. La gráfica
para la función d2 es la misma que la 5.43.
1,00
0,90
Función, d1
•
0,80
0,70
0,60
0,50
s=10
t=10
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
95,5
96
96,5
97
97,5
98
98,5
99
99,5
Respuestas
Gráfica 5.44. Función Desirability, d1, con pesos s1=10, t1=10.
- 198 -
•
(s1=10, t1=10, s2=10) Esta es la combinación que muestra el criterio seguido en
su forma más extrema, en donde las repuestas aceptables serán las que estén
muy próximas al nivel de servicio del 98% y al valor mínimo del inventario en
proceso. En este caso la gráfica para la función d1 es igual a la gráfica 5.44. La
de la función d2 se muestra a continuación:
1,00
Función, d2
0,90
0,80
0,70
0,60
0,50
s=1
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
17
18
19
20
21
22
Respuestas
Gráfica 5.45. Función Desirability, d2, con peso s2=10.
•
(s1=1, t1=10, s2=0.1) Esta combinación es una mezcla de los casos anteriores en
donde no se aceptan la mayoría de las respuestas para un nivel de servicio por
encima del 98% y se le da poca importancia el hecho de que el inventario en
proceso se minimice. La gráfica 5.42 muestra la función d1 para esto pesos. La
función d2 se muestra a continuación:
1,00
Función, d2
0,90
0,80
0,70
0,60
0,50
s=0.1
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
17
18
19
20
21
22
Respuestas
Gráfica 5.46. Función Desirability, d2, con peso s2=0.1.
En la tabla 5.66 se muestran a modo de resumen los experimentos que se han realizado
en esta serie junto a los pesos de las funciones d1 y d2 que intervienen en ellos:
- 199 -
Experimento
1
2
3
4
5
Combinación de pesos
(s1=1, t1=1, s2=1)
(s1=1, t1=10, s2=1)
(s1=10, t1=10, s2=1)
(s1=10, t1=10, s2=10)
(s1=1, t1=10, s2=0.1)
Tabla 5.66. Batería de experimentos con sus correspondientes pesos para la función desirability.
El experimento 1 arroja los siguientes resultados:
Escenario
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
Respuestas
Nivel de Servicio
98,9047
97,4109
98,3477
98,1935
97,1691
98,5249
94,4143
96,7389
98,4371
97,0913
98,1378
97,6007
97,2297
98,0410
96,9627
96,2217
98,2033
96,9683
97,1731
97,2973
97,6818
97,6623
95,1835
98,1938
97,7763
97,7593
98,2573
98,0214
98,3829
97,5704
98,7094
98,5236
97,7087
98,2578
98,1965
WIP
17,6578
17,9816
17,8816
17,9813
17,8648
17,9687
17,9939
17,5921
17,9841
17,9856
17,9856
17,8409
17,9129
17,9892
17,8995
17,8162
17,4958
17,8798
17,9813
17,9791
17,9111
17,9880
17,9854
17,9855
17,9894
17,7987
17,9895
17,9900
17,9784
17,9815
19,6197
19,7993
19,8353
19,4810
19,3771
- 200 -
Funciones Desirability
d1
d2
0,0953
0,8684
0,7054
0,8037
0,6523
0,8237
0,8065
0,8037
0,5846
0,8270
0,4751
0,8063
0,0000
0,8012
0,3694
0,8816
0,5629
0,8032
0,5457
0,8029
0,8622
0,8029
0,8004
0,8318
0,6149
0,8174
0,9590
0,8022
0,4813
0,8201
0,1109
0,8368
0,7967
0,9008
0,4842
0,8240
0,5865
0,8037
0,6486
0,8042
0,8409
0,8178
0,8311
0,8024
0,0000
0,8029
0,8062
0,8029
0,8881
0,8021
0,8796
0,8403
0,7427
0,8021
0,9786
0,8020
0,6171
0,8043
0,7852
0,8037
0,2906
0,4761
0,4764
0,4401
0,8543
0,4329
0,7422
0,5038
0,8035
0,5246
D
0,2877
0,7530
0,7330
0,8051
0,6953
0,6189
0,0000
0,5707
0,6724
0,6619
0,8320
0,8159
0,7089
0,8771
0,6283
0,3046
0,8472
0,6316
0,6866
0,7222
0,8293
0,8166
0,0000
0,8046
0,8440
0,8597
0,7718
0,8859
0,7045
0,7944
0,3720
0,4579
0,6082
0,6115
0,6492
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
97,8955
96,6458
96,2845
98,3882
97,2905
97,4983
98,1765
98,1240
97,4387
98,0479
98,3256
98,0905
97,3631
97,5167
97,5561
97,6364
97,9394
98,7321
97,3467
97,9888
97,8063
98,2593
98,0310
97,1395
95,9710
97,4663
98,2101
97,8952
98,2695
97,7987
97,8733
96,7575
97,7227
98,6166
97,0575
97,1719
97,6624
97,7351
97,8271
97,6889
98,9052
97,8127
97,1925
96,6543
96,2865
97,8822
98,4516
98,6790
97,6357
97,6180
96,7916
97,7054
97,9716
19,9363
19,8771
19,6908
19,4467
19,6316
19,7564
19,7892
18,8943
19,9362
19,8024
19,9906
19,9911
19,9820
19,9237
19,7203
19,3978
19,4167
19,5848
19,3255
19,9782
19,7455
19,7639
19,6753
19,5610
19,7867
19,7351
19,8704
19,9248
19,8493
19,6400
19,9637
19,9877
19,7563
19,9737
19,9826
19,9833
19,8359
19,7969
19,9835
19,9881
19,9838
19,8275
19,9900
19,9730
19,8058
19,8921
19,9812
19,6479
19,9800
19,9841
19,7853
19,6846
19,2353
- 201 -
0,9477
0,3229
0,1423
0,6118
0,6452
0,7491
0,8235
0,8760
0,7194
0,9521
0,6744
0,9095
0,6816
0,7583
0,7780
0,8182
0,9697
0,2679
0,6734
0,9944
0,9032
0,7407
0,9690
0,5698
0,0000
0,7332
0,7899
0,9476
0,7305
0,8993
0,9367
0,3787
0,8613
0,3834
0,5287
0,5860
0,8312
0,8675
0,9135
0,8445
0,0948
0,9064
0,5963
0,3271
0,1433
0,9411
0,5484
0,3210
0,8178
0,8090
0,3958
0,8527
0,9858
0,4127
0,4246
0,4618
0,5107
0,4737
0,4487
0,4422
0,6211
0,4128
0,4395
0,4019
0,4018
0,4036
0,4153
0,4559
0,5204
0,5167
0,4830
0,5349
0,4044
0,4509
0,4472
0,4649
0,4878
0,4427
0,4530
0,4259
0,4150
0,4301
0,4720
0,4073
0,4025
0,4487
0,4053
0,4035
0,4033
0,4328
0,4406
0,4033
0,4024
0,4032
0,4345
0,4020
0,4054
0,4388
0,4216
0,4038
0,4704
0,4040
0,4032
0,4429
0,4631
0,5529
0,6254
0,3703
0,2563
0,5589
0,5528
0,5798
0,6034
0,7376
0,5449
0,6469
0,5206
0,6045
0,5245
0,5612
0,5956
0,6525
0,7078
0,3597
0,6002
0,6341
0,6381
0,5756
0,6712
0,5272
0,0000
0,5763
0,5800
0,6271
0,5606
0,6515
0,6176
0,3904
0,6217
0,3942
0,4619
0,4861
0,5998
0,6183
0,6070
0,5829
0,1955
0,6276
0,4896
0,3642
0,2507
0,6299
0,4705
0,3886
0,5748
0,5711
0,4187
0,6284
0,7383
(7,13)
(7,13)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
96,7944
96,2152
98,1830
97,9353
98,7688
98,0239
96,2722
98,1324
97,3017
98,5892
98,2998
98,8137
97,9335
98,3078
98,8488
98,2692
98,8704
96,3791
98,4163
98,6311
97,6541
97,1628
98,1969
97,6360
98,4553
98,9671
97,6491
96,7379
97,8424
98,5263
98,3090
98,2550
97,9587
98,2566
97,7965
98,9143
97,2448
97,8034
96,6827
97,0027
98,2367
96,4857
96,6667
99,0027
97,6079
97,9176
97,3953
98,2361
96,6356
96,9056
98,5298
97,7607
97,4894
19,9765
19,9774
21,5069
21,8583
21,5349
21,7766
21,4845
21,0039
21,5499
21,3987
21,3001
21,4811
20,6515
21,9627
21,6790
21,9758
21,6075
21,9906
21,9861
20,8862
20,9013
21,7734
21,9551
21,3883
21,8527
20,4870
21,3817
21,8707
21,7044
21,4399
21,1211
21,2062
19,9891
19,3629
19,9837
19,7470
19,8401
19,9427
19,6516
19,9206
19,4902
19,9023
19,7630
19,9717
19,7674
19,9191
19,9849
19,5333
19,8240
19,9866
19,1750
19,7586
19,4631
- 202 -
0,3972
0,1076
0,8170
0,9677
0,2312
0,9761
0,1361
0,8676
0,6508
0,4108
0,7002
0,1863
0,9667
0,6922
0,1512
0,7308
0,1296
0,1895
0,5837
0,3689
0,8270
0,5814
0,8031
0,8180
0,5447
0,0329
0,8246
0,3689
0,9212
0,4737
0,6910
0,7450
0,9794
0,7434
0,8983
0,0857
0,6224
0,9017
0,3413
0,5014
0,7633
0,2428
0,3333
0,0000
0,8039
0,9588
0,6977
0,7639
0,3178
0,4528
0,4702
0,8804
0,7447
0,4047
0,4045
0,0986
0,0283
0,0930
0,0447
0,1031
0,1992
0,0900
0,1203
0,1400
0,1038
0,2697
0,0075
0,0642
0,0048
0,0785
0,0019
0,0028
0,2228
0,2197
0,0453
0,0090
0,1223
0,0295
0,3026
0,1237
0,0259
0,0591
0,1120
0,1758
0,1588
0,4022
0,5274
0,4033
0,4506
0,4320
0,4115
0,4697
0,4159
0,5020
0,4195
0,4474
0,4057
0,4465
0,4162
0,4030
0,4933
0,4352
0,4027
0,5650
0,4483
0,5074
0,4009
0,2086
0,2839
0,1656
0,1466
0,2088
0,1184
0,4158
0,2421
0,2223
0,3131
0,1391
0,5106
0,0718
0,0985
0,0595
0,1008
0,0189
0,0403
0,2867
0,4263
0,1623
0,0849
0,3163
0,1267
0,0998
0,3193
0,0977
0,2334
0,2304
0,3485
0,3439
0,6276
0,6262
0,6019
0,1965
0,5185
0,6091
0,4004
0,4566
0,6190
0,3192
0,3862
0,0000
0,5991
0,6317
0,5303
0,6139
0,3719
0,4270
0,5154
0,6282
0,6147
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
98,5640
97,9045
98,9080
97,6812
98,0061
97,7445
98,9827
97,8684
97,2581
19,9240
19,6154
19,8083
19,7491
19,8455
19,9818
19,8888
19,8550
19,6738
0,4360
0,9523
0,0920
0,8406
0,9939
0,8723
0,0173
0,9342
0,6291
0,4152
0,4769
0,4383
0,4502
0,4309
0,4036
0,4222
0,4290
0,4652
0,4255
0,6739
0,2009
0,6151
0,6544
0,5934
0,0856
0,6331
0,5410
Tabla 5.67. Resultados del experimento 1 para la función desirability y el índice D.
Para poder emplear la metodología RSM tenemos que calcular el índice D medio y la
desviación estándar en cada uno de los escenarios. Con los datos en la forma que se
expresan en la tabla 5.68, ya se puede calcular el análisis de varianza:
Escenario Índice D medio STD Índice D
(7,11)
0,6721
0,2315
(9,11)
0,5449
0,1489
(7,13)
0,5111
0,1380
(9,13)
0,2077
0,1265
(8,12)
0,4905
0,1782
Tabla 5.68. Índice D medio y desviación estándar obtenidos en el experimento 1.
El análisis de varianza se muestra en la tabla 5.69:
Termino Efectos
A
-0,22
B
-0,24
AB
-0,09
Error
Total
SS
1,39
1,86
0,23
4.14
7,62
Porcentaje g.d.l MSS Fo Fo Tablas
18,24
1
1,39 49,08
3,91
24,41
1
1,86 65,72
3,91
3,02
1
0,23 8,22
3,91
54,33
146 0,03
100
149
Tabla 5.69. Análisis de varianza del experimento 1 para el ajuste del índice D.
El resultado obtenido muestra que el factor A (parámetro K (0)), el factor B (parámetro
E) y la interacción AB son significativos. Esto significa que el modelo que pretendemos
ajustar es, en variables codificadas, de la forma:
yˆ = 0,49 − 0,11x1 − 0,12 x2 − 0,045x1 x2
- 203 -
y en variables naturales:
yˆ = −1,39 + 0,42ξ1 + 0,23ξ 2 − 0,045ξ1ξ 2
Veamos a continuación si este modelo pasa las pruebas de adecuación. Las pruebas de
significación y de falta de ajuste se muestran en la tabla 5.70:
Termino
SS g.d.l MSS
Fo
Fo Tablas
Modelo
3,48
3
1,16 40,91
2,67
Residual
4,14 146 0,03
(Falta de ajuste LOF) 0,001
1
0,001 0,04
3,91
(Error puro)
4,13 145 0,03
Total
7,62 149
Tabla 5.70. Prueba de significación y de la falta de ajuste del experimento 1 para el ajuste del índice D.
El modelo lineal propuesto supera las pruebas de significación y la de falta de ajuste. A
continuación se muestran los residuales y los resultados del análisis gráfico de los
mismos:
Respuestas
0,29
0,75
0,73
0,81
0,70
0,62
0,00
0,57
0,67
0,66
0,83
0,82
0,71
0,88
0,63
0,30
0,85
0,63
0,69
0,72
0,83
0,82
0,00
0,80
0,84
0,86
Predicción
0,68
0,68
0,68
0,68
0,68
0,68
0,68
0,68
0,68
0,68
0,68
0,68
0,68
0,68
0,68
0,68
0,68
0,68
0,68
0,68
0,68
0,68
0,68
0,68
0,68
0,68
- 204 -
Residuales
-0,39
0,08
0,06
0,13
0,02
-0,06
-0,68
-0,11
0,00
-0,01
0,16
0,14
0,03
0,20
-0,05
-0,37
0,17
-0,05
0,01
0,05
0,15
0,14
-0,68
0,13
0,17
0,18
0,77
0,89
0,70
0,79
0,37
0,46
0,61
0,61
0,65
0,63
0,37
0,26
0,56
0,55
0,58
0,60
0,74
0,54
0,65
0,52
0,60
0,52
0,56
0,60
0,65
0,71
0,36
0,60
0,63
0,64
0,58
0,67
0,53
0,00
0,58
0,58
0,63
0,56
0,65
0,62
0,39
0,62
0,39
0,46
0,49
0,60
0,62
0,61
0,58
0,20
0,63
0,49
0,36
0,68
0,68
0,68
0,68
0,55
0,55
0,55
0,55
0,55
0,55
0,55
0,55
0,55
0,55
0,55
0,55
0,55
0,55
0,55
0,55
0,55
0,55
0,55
0,55
0,55
0,55
0,55
0,55
0,55
0,55
0,55
0,55
0,55
0,55
0,52
0,52
0,52
0,52
0,52
0,52
0,52
0,52
0,52
0,52
0,52
0,52
0,52
0,52
0,52
0,52
0,52
0,52
0,52
- 205 -
0,10
0,21
0,03
0,12
-0,18
-0,09
0,06
0,06
0,10
0,07
-0,18
-0,29
0,01
0,00
0,03
0,05
0,19
-0,01
0,10
-0,03
0,05
-0,03
0,01
0,05
0,10
0,16
-0,19
0,05
0,08
0,09
0,03
0,12
-0,02
-0,55
0,06
0,06
0,11
0,04
0,14
0,10
-0,13
0,11
-0,12
-0,05
-0,03
0,08
0,10
0,09
0,07
-0,32
0,11
-0,03
-0,15
0,25
0,63
0,47
0,39
0,57
0,57
0,42
0,63
0,74
0,40
0,21
0,28
0,17
0,15
0,21
0,12
0,42
0,24
0,22
0,31
0,14
0,51
0,07
0,10
0,06
0,10
0,02
0,04
0,29
0,43
0,16
0,08
0,32
0,13
0,10
0,32
0,10
0,23
0,23
0,35
0,34
0,63
0,63
0,60
0,20
0,52
0,61
0,40
0,46
0,62
0,32
0,39
0,00
0,52
0,52
0,52
0,52
0,52
0,52
0,52
0,52
0,52
0,52
0,52
0,21
0,21
0,21
0,21
0,21
0,21
0,21
0,21
0,21
0,21
0,21
0,21
0,21
0,21
0,21
0,21
0,21
0,21
0,21
0,21
0,21
0,21
0,21
0,21
0,21
0,21
0,21
0,21
0,21
0,21
0,49
0,49
0,49
0,49
0,49
0,49
0,49
0,49
0,49
0,49
0,49
0,49
- 206 -
-0,27
0,11
-0,05
-0,13
0,06
0,05
-0,10
0,11
0,22
-0,12
-0,31
0,07
-0,05
-0,07
-0,01
-0,10
0,20
0,03
0,01
0,10
-0,08
0,30
-0,14
-0,12
-0,15
-0,11
-0,20
-0,17
0,07
0,21
-0,05
-0,13
0,10
-0,09
-0,11
0,11
-0,12
0,02
0,02
0,13
0,13
0,14
0,14
0,11
-0,29
0,03
0,12
-0,09
-0,03
0,13
-0,17
-0,10
-0,49
0,60
0,63
0,53
0,61
0,37
0,43
0,52
0,63
0,61
0,43
0,67
0,20
0,62
0,65
0,59
0,09
0,63
0,54
0,49
0,49
0,49
0,49
0,49
0,49
0,49
0,49
0,49
0,49
0,49
0,49
0,49
0,49
0,49
0,49
0,49
0,49
0,11
0,14
0,04
0,12
-0,12
-0,06
0,03
0,14
0,13
-0,06
0,18
-0,29
0,13
0,16
0,10
-0,40
0,14
0,05
Tabla 5.71. Residuales del experimento 1 para el ajuste del índice D.
% de probabilidad normal
99
95
90
80
70
50
30
20
10
5
1
-0.67
-0.43
-0.19
0.06
0.30
Residuales
Gráfica 5.47. Probabilidad normal de los residuales en el experimento 1 para el ajuste del índice D.
- 207 -
0,70
0,50
Residuales
0,30
0,10
-0,100,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
-0,30
-0,50
-0,70
Indice D predicho
Gráfica 5.48. Residuales frente a Ŷ en el experimento 1 para el ajuste del índice D.
0,70
0,50
Residuales
0,30
0,10
-0,10 0
50
100
150
-0,30
-0,50
-0,70
Orden de Realización de la Sim ulación
Gráfica 5.49. Residuales frente al orden de simulación en el experimento 1 para el ajuste del índice D.
- 208 -
En la gráfica de la probabilidad normal se observa como la distribución de los errores
está entorno a la línea roja, aunque la sigue con dificultad en los extremos,
especialmente los de la rama izquierda. Estos residuales son los correspondientes a los
puntos no aceptables, por lo que su índice D es nulo y sus residuales los menores. En un
principio podría parecer un punto atípico, pero este comportamiento lo hemos
provocado nosotros en la elección de los límites de aceptabilidad por lo que no le vamos
a dar mayor importancia. En esta gráfica también se observa como la rama de la derecha
es más larga que la de la izquierda. Esto puede significar que la distribución de los
errores tiene un ligero sesgo hacia los valores positivos. Podemos decir que la
distribución de los residuales tiene una desviación moderada de la normalidad aunque
pensamos que esto no es motivo de gran preocupación por lo que se da por buena.
Las grafica de los residuales frente a la respuesta predica no muestra ningún patrón
preocupante, sólo parece indicar que la varianza aumenta conforme lo hace el índice D
predicho, al observarse como las hileras de puntos se abren cuanto más a la derecha
están. Sin embargo, si nos fijamos vemos como esta apertura se debe, de nuevo, a los
residuales correspondientes a puntos no aceptables. La gráfica de los residuales frente
al orden de realización de la observación, no muestra ninguna relación entre el valor de
los residuales y cuando se han realizado esto. Por el contrario, si que muestra un ligero
sesgo de los residuales hacia los valores positivos de estos. Ninguna de las
particularidades encontradas parece tener importancia como para no aceptar el modelo,
por lo que lo vamos a considerar adecuado.
Para elegir la combinación más cercana a nuestros deseos vamos a emplear la grafica de
contornos por parecernos un método fácil de realizar y muy intuitivo, que nos va a
proporcionar el punto buscado con un solo golpe de vista.
Factor B
13
12
7
8
9
Factor A
Gráfica 5.50. Gráfica de contorno del índice D en el experimento 1.
- 209 -
La gráfica 5.50 muestra como dentro de la región de experimentación, en el punto
(7,11) se alcanza el mayor índice D. Una vez realizados los cuatro experimentos
restantes de esta batería retomaremos este punto y comentaremos su validez. Pasamos al
segundo de los experimentos.
Para el experimento número dos los resultados obtenidos han sido:
Escenario
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
Respuestas
Nivel de Servicio
98,9047
97,4109
98,3477
98,1935
97,1691
98,5249
94,4143
96,7389
98,4371
97,0913
98,1378
97,6007
97,2297
98,0410
96,9627
96,2217
98,2033
96,9683
97,1731
97,2973
97,6818
97,6623
95,1835
98,1938
97,7763
97,7593
98,2573
98,0214
98,3829
97,5704
98,7094
98,5236
97,7087
98,2578
98,1965
97,8955
96,6458
96,2845
98,3882
97,2905
97,4983
WIP
17,6578
17,9816
17,8816
17,9813
17,8648
17,9687
17,9939
17,5921
17,9841
17,9856
17,9856
17,8409
17,9129
17,9892
17,8995
17,8162
17,4958
17,8798
17,9813
17,9791
17,9111
17,9880
17,9854
17,9855
17,9894
17,7987
17,9895
17,9900
17,9784
17,9815
19,6197
19,7993
19,8353
19,4810
19,3771
19,9363
19,8771
19,6908
19,4467
19,6316
19,7564
- 210 -
Funciones Desirability
d1
d2
0,0000
0,8684
0,7054
0,8037
0,0140
0,8237
0,1165
0,8037
0,5846
0,8270
0,0006
0,8063
0,0000
0,8012
0,3694
0,8816
0,0032
0,8032
0,5457
0,8029
0,2270
0,8029
0,8004
0,8318
0,6149
0,8174
0,6579
0,8022
0,4813
0,8201
0,1109
0,8368
0,1030
0,9008
0,4842
0,8240
0,5865
0,8037
0,6486
0,8042
0,8409
0,8178
0,8311
0,8024
0,0000
0,8029
0,1160
0,8029
0,8881
0,8021
0,8796
0,8403
0,0510
0,8021
0,8057
0,8020
0,0080
0,8043
0,7852
0,8037
0,0000
0,4761
0,0006
0,4401
0,8543
0,4329
0,0507
0,5038
0,1121
0,5246
0,9477
0,4127
0,3229
0,4246
0,1423
0,4618
0,0073
0,5107
0,6452
0,4737
0,7491
0,4487
D
0,0000
0,7530
0,1072
0,3060
0,6953
0,0217
0,0000
0,5707
0,0506
0,6619
0,4269
0,8159
0,7089
0,7265
0,6283
0,3046
0,3046
0,6316
0,6866
0,7222
0,8293
0,8166
0,0000
0,3052
0,8440
0,8597
0,2023
0,8038
0,0802
0,7944
0,0014
0,0163
0,6082
0,1598
0,2425
0,6254
0,3703
0,2563
0,0612
0,5528
0,5798
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
98,1765
98,1240
97,4387
98,0479
98,3256
98,0905
97,3631
97,5167
97,5561
97,6364
97,9394
98,7321
97,3467
97,9888
97,8063
98,2593
98,0310
97,1395
95,9710
97,4663
98,2101
97,8952
98,2695
97,7987
97,8733
96,7575
97,7227
98,6166
97,0575
97,1719
97,6624
97,7351
97,8271
97,6889
98,9052
97,8127
97,1925
96,6543
96,2865
97,8822
98,4516
98,6790
97,6357
97,6180
96,7916
97,7054
97,9716
96,7944
96,2152
98,1830
97,9353
98,7688
98,0239
19,7892
18,8943
19,9362
19,8024
19,9906
19,9911
19,9820
19,9237
19,7203
19,3978
19,4167
19,5848
19,3255
19,9782
19,7455
19,7639
19,6753
19,5610
19,7867
19,7351
19,8704
19,9248
19,8493
19,6400
19,9637
19,9877
19,7563
19,9737
19,9826
19,9833
19,8359
19,7969
19,9835
19,9881
19,9838
19,8275
19,9900
19,9730
19,8058
19,8921
19,9812
19,6479
19,9800
19,9841
19,7853
19,6846
19,2353
19,9765
19,9774
21,5069
21,8583
21,5349
21,7766
- 211 -
0,1434
0,2661
0,7194
0,6123
0,0195
0,3874
0,6816
0,7583
0,7780
0,8182
0,9697
0,0000
0,6734
0,9944
0,9032
0,0497
0,7296
0,5698
0,0000
0,7332
0,0945
0,9476
0,0433
0,8993
0,9367
0,3787
0,8613
0,0001
0,5287
0,5860
0,8312
0,8675
0,9135
0,8445
0,0000
0,9064
0,5963
0,3271
0,1433
0,9411
0,0025
0,0000
0,8178
0,8090
0,3958
0,8527
0,9858
0,3972
0,1076
0,1324
0,9677
0,0000
0,7852
0,4422
0,6211
0,4128
0,4395
0,4019
0,4018
0,4036
0,4153
0,4559
0,5204
0,5167
0,4830
0,5349
0,4044
0,4509
0,4472
0,4649
0,4878
0,4427
0,4530
0,4259
0,4150
0,4301
0,4720
0,4073
0,4025
0,4487
0,4053
0,4035
0,4033
0,4328
0,4406
0,4033
0,4024
0,4032
0,4345
0,4020
0,4054
0,4388
0,4216
0,4038
0,4704
0,4040
0,4032
0,4429
0,4631
0,5529
0,4047
0,4045
0,0986
0,0283
0,0930
0,0447
0,2518
0,4066
0,5449
0,5188
0,0885
0,3945
0,5245
0,5612
0,5956
0,6525
0,7078
0,0010
0,6002
0,6341
0,6381
0,1491
0,5824
0,5272
0,0000
0,5763
0,2006
0,6271
0,1364
0,6515
0,6176
0,3904
0,6217
0,0053
0,4619
0,4861
0,5998
0,6183
0,6070
0,5829
0,0000
0,6276
0,4896
0,3642
0,2507
0,6299
0,0315
0,0023
0,5748
0,5711
0,4187
0,6284
0,7383
0,4009
0,2086
0,1143
0,1656
0,0002
0,1873
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
96,2722
98,1324
97,3017
98,5892
98,2998
98,8137
97,9335
98,3078
98,8488
98,2692
98,8704
96,3791
98,4163
98,6311
97,6541
97,1628
98,1969
97,6360
98,4553
98,9671
97,6491
96,7379
97,8424
98,5263
98,3090
98,2550
97,9587
98,2566
97,7965
98,9143
97,2448
97,8034
96,6827
97,0027
98,2367
96,4857
96,6667
99,0027
97,6079
97,9176
97,3953
98,2361
96,6356
96,9056
98,5298
97,7607
97,4894
98,5640
97,9045
98,9080
97,6812
98,0061
97,7445
21,4845
21,0039
21,5499
21,3987
21,3001
21,4811
20,6515
21,9627
21,6790
21,9758
21,6075
21,9906
21,9861
20,8862
20,9013
21,7734
21,9551
21,3883
21,8527
20,4870
21,3817
21,8707
21,7044
21,4399
21,1211
21,2062
19,9891
19,3629
19,9837
19,7470
19,8401
19,9427
19,6516
19,9206
19,4902
19,9023
19,7630
19,9717
19,7674
19,9191
19,9849
19,5333
19,8240
19,9866
19,1750
19,7586
19,4631
19,9240
19,6154
19,8083
19,7491
19,8455
19,9818
- 212 -
0,1361
0,2417
0,6508
0,0001
0,0283
0,0000
0,9667
0,0253
0,0000
0,0435
0,0000
0,1895
0,0046
0,0000
0,8270
0,5814
0,1115
0,8180
0,0023
0,0000
0,8246
0,3689
0,9212
0,0006
0,0248
0,0527
0,9794
0,0515
0,8983
0,0000
0,6224
0,9017
0,3413
0,5014
0,0672
0,2428
0,3333
0,0000
0,8039
0,9588
0,6977
0,0676
0,3178
0,4528
0,0005
0,8804
0,7447
0,0002
0,9523
0,0000
0,8406
0,9407
0,8723
0,1031
0,1992
0,0900
0,1203
0,1400
0,1038
0,2697
0,0075
0,0642
0,0048
0,0785
0,0019
0,0028
0,2228
0,2197
0,0453
0,0090
0,1223
0,0295
0,3026
0,1237
0,0259
0,0591
0,1120
0,1758
0,1588
0,4022
0,5274
0,4033
0,4506
0,4320
0,4115
0,4697
0,4159
0,5020
0,4195
0,4474
0,4057
0,4465
0,4162
0,4030
0,4933
0,4352
0,4027
0,5650
0,4483
0,5074
0,4152
0,4769
0,4383
0,4502
0,4309
0,4036
0,1184
0,2194
0,2421
0,0041
0,0630
0,0001
0,5106
0,0137
0,0000
0,0145
0,0000
0,0189
0,0036
0,0032
0,4263
0,1623
0,0316
0,3163
0,0082
0,0000
0,3193
0,0977
0,2334
0,0080
0,0660
0,0914
0,6276
0,1649
0,6019
0,0000
0,5185
0,6091
0,4004
0,4566
0,1836
0,3192
0,3862
0,0000
0,5991
0,6317
0,5303
0,1827
0,3719
0,4270
0,0173
0,6282
0,6147
0,0101
0,6739
0,0000
0,6151
0,6367
0,5934
(8,12)
(8,12)
(8,12)
98,9827
97,8684
97,2581
19,8888
19,8550
19,6738
0,0000
0,9342
0,6291
0,4222
0,4290
0,4652
0,0000
0,6331
0,5410
Tabla 5.72. Resultados del experimento 2 para la función desirability y el índice D.
De esta tabla calculamos el índice D medio y la desviación estándar para cada uno de
los escenarios, datos que son necesarios para realizar el análisis de varianza y las
pruebas de adecuación del modelo.
Escenario Índice D medio STD Índice D
(7,11)
0,4886
0,3126
(9,11)
0,3951
0,2385
(7,13)
0,4373
0,2270
(9,13)
0,1147
0,1384
(8,12)
0,3991
0,2454
Tabla 5.73. Índice D medio y desviación estándar obtenidos en el experimento 2.
El análisis de varianza se muestra en la tabla siguiente:
Termino Efectos SS Porcentaje g.d.l
A
-0,20
1,30
11,99
1
B
-0,16
0,83
7,66
1
AB
-0,12
0,39
3,60
1
Error
8,32
76,75
146
Total
10,84
100
149
MSS Fo Fo Tablas
1,30 22,80
3,91
0,83 14,48
3,91
0,39 6,91
3,91
Tabla 5.74. Análisis de varianza del experimento 2 para el ajuste del índice D.
Observando los resultados obtenidos se aprecia como los factores principales A y B, así
como la interacción entre ellos resultan ser significativos, por lo que el modelo ajustado
será en variables codificadas y variables naturales respectivamente:
yˆ = 0,37 − 0,10 x1 − 0,08x2 − 0,06 x1 x2
yˆ = −3,31 + 0,58ξ1 + 0,38ξ 2 − 0,06ξ1ξ 2
Las pruebas de significación del modelo y la de falta de ajusta las pasa el modelo como
se puede ver en la tabla 5.75, donde se muestran ambas:
- 213 -
Termino
SS g.d.l MSS
Modelo
2,52
3
0,84
Residual
8,32 146 0,06
(Falta de ajuste LOF) 0,04
1
0,04
(Error puro)
8,28 145 0,06
Total
10,84 149
Fo
14
Fo Tablas
2,67
0,67
3,91
Tabla 5.75. Prueba de significación y de la falta de ajuste del experimento 2 para el ajuste del índice D.
Las pruebas de adecuación finalizan con la realización del análisis gráfico de los
residuales. En las páginas siguientes se muestran la tabla 5.76 con las respuestas,
predicciones y los residuales para todas las observaciones realizadas en este
experimento. También se muestran las gráficas de la distribución normal, la de los
residuales frente las respuestas predichas por el modelo y frente al orden en que se
realizaron cada una de las observaciones.
Respuestas
0,00
0,75
0,11
0,31
0,70
0,02
0,00
0,57
0,05
0,66
0,43
0,82
0,71
0,73
0,63
0,30
0,30
0,63
0,69
0,72
0,83
0,82
0,00
0,31
0,84
0,86
0,20
0,80
0,08
0,79
0,00
0,02
Predicción
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
0,40
0,40
- 214 -
Residuales
-0,50
0,26
-0,39
-0,19
0,20
-0,47
-0,50
0,07
-0,45
0,17
-0,07
0,32
0,21
0,23
0,13
-0,19
-0,19
0,13
0,19
0,23
0,33
0,32
-0,50
-0,19
0,35
0,36
-0,29
0,31
-0,42
0,30
-0,40
-0,39
0,61
0,16
0,24
0,63
0,37
0,26
0,06
0,55
0,58
0,25
0,41
0,54
0,52
0,09
0,39
0,52
0,56
0,60
0,65
0,71
0,00
0,60
0,63
0,64
0,15
0,58
0,53
0,00
0,58
0,20
0,63
0,14
0,65
0,62
0,39
0,62
0,01
0,46
0,49
0,60
0,62
0,61
0,58
0,00
0,63
0,49
0,36
0,25
0,63
0,03
0,00
0,57
0,57
0,40
0,40
0,40
0,40
0,40
0,40
0,40
0,40
0,40
0,40
0,40
0,40
0,40
0,40
0,40
0,40
0,40
0,40
0,40
0,40
0,40
0,40
0,40
0,40
0,40
0,40
0,40
0,40
0,45
0,45
0,45
0,45
0,45
0,45
0,45
0,45
0,45
0,45
0,45
0,45
0,45
0,45
0,45
0,45
0,45
0,45
0,45
0,45
0,45
0,45
0,45
0,45
0,45
- 215 -
0,21
-0,24
-0,16
0,22
-0,03
-0,15
-0,34
0,15
0,18
-0,15
0,00
0,14
0,12
-0,31
-0,01
0,12
0,16
0,19
0,25
0,30
-0,40
0,20
0,23
0,23
-0,25
0,18
0,12
-0,40
0,13
-0,24
0,18
-0,31
0,21
0,17
-0,05
0,18
-0,44
0,02
0,04
0,15
0,17
0,16
0,14
-0,45
0,18
0,04
-0,08
-0,19
0,18
-0,41
-0,44
0,13
0,13
0,42
0,63
0,74
0,40
0,21
0,11
0,17
0,00
0,19
0,12
0,22
0,24
0,00
0,06
0,00
0,51
0,01
0,00
0,01
0,00
0,02
0,00
0,00
0,43
0,16
0,03
0,32
0,01
0,00
0,32
0,10
0,23
0,01
0,07
0,09
0,63
0,16
0,60
0,00
0,52
0,61
0,40
0,46
0,18
0,32
0,39
0,00
0,60
0,63
0,53
0,18
0,37
0,43
0,45
0,45
0,45
0,45
0,12
0,12
0,12
0,12
0,12
0,12
0,12
0,12
0,12
0,12
0,12
0,12
0,12
0,12
0,12
0,12
0,12
0,12
0,12
0,12
0,12
0,12
0,12
0,12
0,12
0,12
0,12
0,12
0,12
0,37
0,37
0,37
0,37
0,37
0,37
0,37
0,37
0,37
0,37
0,37
0,37
0,37
0,37
0,37
0,37
0,37
0,37
0,37
0,37
- 216 -
-0,03
0,18
0,29
-0,04
0,09
-0,01
0,04
-0,12
0,06
0,00
0,10
0,12
-0,12
-0,06
-0,12
0,39
-0,11
-0,12
-0,11
-0,12
-0,10
-0,12
-0,12
0,30
0,04
-0,09
0,19
-0,11
-0,12
0,20
-0,03
0,11
-0,11
-0,30
-0,28
0,26
-0,20
0,23
-0,37
0,15
0,24
0,03
0,09
-0,18
-0,05
0,02
-0,37
0,23
0,26
0,16
-0,18
0,00
0,06
0,02
0,63
0,61
0,01
0,67
0,00
0,62
0,64
0,59
0,00
0,63
0,54
0,37
0,37
0,37
0,37
0,37
0,37
0,37
0,37
0,37
0,37
0,37
0,37
-0,35
0,26
0,25
-0,36
0,31
-0,37
0,25
0,27
0,23
-0,37
0,27
0,17
Tabla 5.76. Residuales del experimento 2 para el ajuste del índice D.
% de probabilidad normal
99
95
90
80
70
50
30
20
10
5
1
-0.50
-0.28
-0.05
0.17
0.39
Residuales
Gráfica 5.51. Probabilidad normal de los residuales en el experimento 2 para el ajuste del índice D.
- 217 -
0,50
0,40
0,30
Residuales
0,20
0,10
0,00
0,10
-0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
-0,20
-0,30
-0,40
-0,50
Indice D predicho
Gráfica 5.52. Residuales frente a Ŷ en el experimento 2 para el ajuste del índice D.
0,50
Residuales
0,30
0,10
-0,10
0
50
100
150
-0,30
-0,50
Orden de Realización de la Sim ulación
Gráfica 5.53. Residuales frente al orden de simulación en el experimento 2 para el ajuste del índice D.
- 218 -
En la gráfica de la probabilidad normal se puede ver como la distribución de los
residuales sigue bastante adecuadamente la línea recta. Las ramas, tanto la de la derecha
como la de la izquierda tienen aproximadamente la misma longitud, por lo que no se
aprecia sesgo. Lo que llama la atención es el comportamiento de los puntos extremos de
ambas ramas. La razón es la misma que para el experimento uno, por lo que no los
vamos a considerar punto atípicos. Las graficas de los residuales frente a las respuestas
predichas y el orden de realización de las observaciones, no muestran ningún patrón que
nos haga pensar que el modelo no es adecuado, salvo el comportamiento de los puntos
anteriormente comentados que son los que mayores residuales producen. En general
estas tres gráficas son mejores que los del experimento uno, en especial la de la
distribución normal. Esto puede indicar que el criterio de pesos seguido en este
experimento es más acertado que el seguido para el experimento uno.
Para detectar el punto más adecuado a los criterios de búsqueda nos fijamos nuevamente
en la gráfica de contornos:
13
0.19
Factor B
0.25
0.31
12
0.39
0.45
0.48
7
8
9
Factor A
Gráfica 5.54. Gráfica de contorno del índice D en el experimento 2.
Vemos como de nuevo el punto donde se obtiene un mayor índice D es en le (7,11).
Proseguimos con el experimento 3:
Escenario
(7,11)
(7,11)
Respuestas
Nivel de Servicio
WIP
98,9047
17,6578
97,4109
17,9816
- 219 -
Funciones Desirability
d1
d2
0,0000
0,8684
0,0305
0,8037
D
0,0000
0,1566
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
98,3477
98,1935
97,1691
98,5249
94,4143
96,7389
98,4371
97,0913
98,1378
97,6007
97,2297
98,0410
96,9627
96,2217
98,2033
96,9683
97,1731
97,2973
97,6818
97,6623
95,1835
98,1938
97,7763
97,7593
98,2573
98,0214
98,3829
97,5704
98,7094
98,5236
97,7087
98,2578
98,1965
97,8955
96,6458
96,2845
98,3882
97,2905
97,4983
98,1765
98,1240
97,4387
98,0479
98,3256
98,0905
97,3631
97,5167
97,5561
97,6364
97,9394
98,7321
97,3467
97,9888
17,8816
17,9813
17,8648
17,9687
17,9939
17,5921
17,9841
17,9856
17,9856
17,8409
17,9129
17,9892
17,8995
17,8162
17,4958
17,8798
17,9813
17,9791
17,9111
17,9880
17,9854
17,9855
17,9894
17,7987
17,9895
17,9900
17,9784
17,9815
19,6197
19,7993
19,8353
19,4810
19,3771
19,9363
19,8771
19,6908
19,4467
19,6316
19,7564
19,7892
18,8943
19,9362
19,8024
19,9906
19,9911
19,9820
19,9237
19,7203
19,3978
19,4167
19,5848
19,3255
19,9782
- 220 -
0,0140
0,1165
0,0047
0,0006
0,0000
0,0000
0,0032
0,0023
0,2270
0,1079
0,0077
0,6579
0,0007
0,0000
0,1030
0,0007
0,0048
0,0132
0,1768
0,1573
0,0000
0,1160
0,3054
0,2774
0,0510
0,8057
0,0080
0,0891
0,0000
0,0006
0,2072
0,0507
0,1121
0,5846
0,0000
0,0000
0,0073
0,0125
0,0557
0,1434
0,2661
0,0371
0,6123
0,0195
0,3874
0,0216
0,0629
0,0813
0,1345
0,7350
0,0000
0,0192
0,9455
0,8237
0,8037
0,8270
0,8063
0,8012
0,8816
0,8032
0,8029
0,8029
0,8318
0,8174
0,8022
0,8201
0,8368
0,9008
0,8240
0,8037
0,8042
0,8178
0,8024
0,8029
0,8029
0,8021
0,8403
0,8021
0,8020
0,8043
0,8037
0,4761
0,4401
0,4329
0,5038
0,5246
0,4127
0,4246
0,4618
0,5107
0,4737
0,4487
0,4422
0,6211
0,4128
0,4395
0,4019
0,4018
0,4036
0,4153
0,4559
0,5204
0,5167
0,4830
0,5349
0,4044
0,1072
0,3060
0,0621
0,0217
0,0000
0,0065
0,0506
0,0433
0,4269
0,2995
0,0795
0,7265
0,0234
0,0000
0,3046
0,0241
0,0622
0,1030
0,3802
0,3553
0,0000
0,3052
0,4949
0,4828
0,2023
0,8038
0,0802
0,2676
0,0014
0,0163
0,2995
0,1598
0,2425
0,4912
0,0023
0,0000
0,0612
0,0770
0,1581
0,2518
0,4066
0,1238
0,5188
0,0885
0,3945
0,0934
0,1616
0,1925
0,2645
0,6162
0,0010
0,1012
0,6183
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
97,8063
98,2593
98,0310
97,1395
95,9710
97,4663
98,2101
97,8952
98,2695
97,7987
97,8733
96,7575
97,7227
98,6166
97,0575
97,1719
97,6624
97,7351
97,8271
97,6889
98,9052
97,8127
97,1925
96,6543
96,2865
97,8822
98,4516
98,6790
97,6357
97,6180
96,7916
97,7054
97,9716
96,7944
96,2152
98,1830
97,9353
98,7688
98,0239
96,2722
98,1324
97,3017
98,5892
98,2998
98,8137
97,9335
98,3078
98,8488
98,2692
98,8704
96,3791
98,4163
98,6311
19,7455
19,7639
19,6753
19,5610
19,7867
19,7351
19,8704
19,9248
19,8493
19,6400
19,9637
19,9877
19,7563
19,9737
19,9826
19,9833
19,8359
19,7969
19,9835
19,9881
19,9838
19,8275
19,9900
19,9730
19,8058
19,8921
19,9812
19,6479
19,9800
19,9841
19,7853
19,6846
19,2353
19,9765
19,9774
21,5069
21,8583
21,5349
21,7766
21,4845
21,0039
21,5499
21,3987
21,3001
21,4811
20,6515
21,9627
21,6790
21,9758
21,6075
21,9906
21,9861
20,8862
- 221 -
0,3611
0,0497
0,7296
0,0036
0,0000
0,0449
0,0945
0,5839
0,0433
0,3461
0,5197
0,0001
0,2247
0,0001
0,0017
0,0048
0,1574
0,2415
0,4048
0,1844
0,0000
0,3741
0,0057
0,0000
0,0000
0,5449
0,0025
0,0000
0,1339
0,1201
0,0001
0,2032
0,8665
0,0001
0,0000
0,1324
0,7198
0,0000
0,7852
0,0000
0,2417
0,0136
0,0001
0,0283
0,0000
0,7131
0,0253
0,0000
0,0435
0,0000
0,0000
0,0046
0,0000
0,4509
0,4472
0,4649
0,4878
0,4427
0,4530
0,4259
0,4150
0,4301
0,4720
0,4073
0,4025
0,4487
0,4053
0,4035
0,4033
0,4328
0,4406
0,4033
0,4024
0,4032
0,4345
0,4020
0,4054
0,4388
0,4216
0,4038
0,4704
0,4040
0,4032
0,4429
0,4631
0,5529
0,4047
0,4045
0,0986
0,0283
0,0930
0,0447
0,1031
0,1992
0,0900
0,1203
0,1400
0,1038
0,2697
0,0075
0,0642
0,0048
0,0785
0,0019
0,0028
0,2228
0,4035
0,1491
0,5824
0,0419
0,0000
0,1426
0,2006
0,4923
0,1364
0,4042
0,4601
0,0049
0,3176
0,0053
0,0263
0,0439
0,2610
0,3262
0,4040
0,2724
0,0000
0,4032
0,0478
0,0024
0,0000
0,4793
0,0315
0,0023
0,2325
0,2200
0,0065
0,3067
0,6922
0,0063
0,0000
0,1143
0,1428
0,0002
0,1873
0,0000
0,2194
0,0350
0,0041
0,0630
0,0001
0,4385
0,0137
0,0000
0,0145
0,0000
0,0000
0,0036
0,0032
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
97,6541
97,1628
98,1969
97,6360
98,4553
98,9671
97,6491
96,7379
97,8424
98,5263
98,3090
98,2550
97,9587
98,2566
97,7965
98,9143
97,2448
97,8034
96,6827
97,0027
98,2367
96,4857
96,6667
99,0027
97,6079
97,9176
97,3953
98,2361
96,6356
96,9056
98,5298
97,7607
97,4894
98,5640
97,9045
98,9080
97,6812
98,0061
97,7445
98,9827
97,8684
97,2581
20,9013
21,7734
21,9551
21,3883
21,8527
20,4870
21,3817
21,8707
21,7044
21,4399
21,1211
21,2062
19,9891
19,3629
19,9837
19,7470
19,8401
19,9427
19,6516
19,9206
19,4902
19,9023
19,7630
19,9717
19,7674
19,9191
19,9849
19,5333
19,8240
19,9866
19,1750
19,7586
19,4631
19,9240
19,6154
19,8083
19,7491
19,8455
19,9818
19,8888
19,8550
19,6738
0,1497
0,0044
0,1115
0,1341
0,0023
0,0000
0,1453
0,0000
0,4400
0,0006
0,0248
0,0527
0,8117
0,0515
0,3420
0,0000
0,0087
0,3554
0,0000
0,0010
0,0672
0,0000
0,0000
0,0000
0,1128
0,6565
0,0273
0,0676
0,0000
0,0004
0,0005
0,2796
0,0525
0,0002
0,6132
0,0000
0,1761
0,9407
0,2550
0,0000
0,5062
0,0097
0,2197
0,0453
0,0090
0,1223
0,0295
0,3026
0,1237
0,0259
0,0591
0,1120
0,1758
0,1588
0,4022
0,5274
0,4033
0,4506
0,4320
0,4115
0,4697
0,4159
0,5020
0,4195
0,4474
0,4057
0,4465
0,4162
0,4030
0,4933
0,4352
0,4027
0,5650
0,4483
0,5074
0,4152
0,4769
0,4383
0,4502
0,4309
0,4036
0,4222
0,4290
0,4652
0,1814
0,0141
0,0316
0,1281
0,0082
0,0000
0,1340
0,0011
0,1613
0,0080
0,0660
0,0914
0,5714
0,1649
0,3714
0,0000
0,0614
0,3824
0,0032
0,0204
0,1836
0,0005
0,0028
0,0000
0,2244
0,5227
0,1049
0,1827
0,0021
0,0121
0,0173
0,3540
0,1632
0,0101
0,5408
0,0000
0,2816
0,6367
0,3208
0,0000
0,4660
0,0672
Tabla 5.77. Resultados del experimento 3 para la función desirability y el índice D.
A continuación los datos necesarios para efectuar el análisis de varianza:
- 222 -
Escenario Índice D medio STD Índice D
(7,11)
0,2059
0,2188
(9,11)
0,2173
0,1992
(7,13)
0,1976
0,1958
(9,13)
0,0688
0,0982
(8,12)
0,1890
0,2057
Tabla 5.78. Índice D medio y desviación estándar obtenidos en el experimento 3.
El análisis de varianza queda:
Termino Efectos
A
-0,06
B
-0,08
AB
-0,07
Error
Total
SS
0,11
0,18
0,15
5,16
5,60
Porcentaje g.d.l MSS Fo Fo Tablas
1,96
1
0,10 2,92
3,91
3,22
1
0,18 5,21
3,91
2,68
1
0,15 4,17
3,91
92,14
146
100
149
Tabla 5.79. Análisis de varianza del experimento 3 para el ajuste del índice D.
Examinando los resultados obtenidos vemos como son significativos el factor B y la
interacción AB. Al ser esta última significativa hemos de añadir al modelo el término
correspondiente al factor A aunque este no haya resultado ser significativo, así el
modelo queda en variables codificadas:
yˆ = 0,18 − 0,03x1 − 0,04 x2 − 0,035x1 x2
y en variables naturales:
yˆ = −2,48 + 0,39ξ1 + 0,24ξ 2 − 0,035ξ1ξ 2
Las pruebas de significación y falta de ajuste:
Termino
Modelo
Residual
(Falta de ajuste LOF)
(Error puro)
Total
SS
0,43
5,17
0,01
5,16
5,60
g.d.l MSS
3
0,14
146 0,04
1
0,01
145 0,04
149
Fo
3,5
Fo Tablas
2,67
0,25
3,91
Tabla 5.80. Prueba de significación y de la falta de ajuste del experimento 3 para el ajuste del índice D.
- 223 -
Se observa que el modelo las pasa, por lo que proseguimos con las pruebas gráficas de
los residuales:
Respuestas
0,00
0,16
0,11
0,31
0,06
0,02
0,00
0,01
0,05
0,04
0,43
0,30
0,08
0,73
0,02
0,00
0,30
0,02
0,06
0,10
0,38
0,36
0,00
0,31
0,49
0,48
0,20
0,80
0,08
0,27
0,00
0,02
0,30
0,16
0,24
0,49
0,00
0,00
0,06
0,08
0,16
0,25
0,41
0,12
0,52
0,09
0,39
Predicción
0,21
0,21
0,21
0,21
0,21
0,21
0,21
0,21
0,21
0,21
0,21
0,21
0,21
0,21
0,21
0,21
0,21
0,21
0,21
0,21
0,21
0,21
0,21
0,21
0,21
0,21
0,21
0,21
0,21
0,21
0,22
0,22
0,22
0,22
0,22
0,22
0,22
0,22
0,22
0,22
0,22
0,22
0,22
0,22
0,22
0,22
0,22
- 224 -
Residuales
-0,21
-0,05
-0,10
0,10
-0,15
-0,19
-0,21
-0,20
-0,16
-0,17
0,22
0,09
-0,13
0,52
-0,19
-0,21
0,10
-0,19
-0,15
-0,11
0,17
0,15
-0,21
0,10
0,29
0,27
-0,01
0,59
-0,13
0,06
-0,22
-0,20
0,08
-0,06
0,02
0,27
-0,22
-0,22
-0,16
-0,14
-0,06
0,03
0,19
-0,10
0,30
-0,13
0,17
0,09
0,16
0,19
0,26
0,62
0,00
0,10
0,62
0,40
0,15
0,58
0,04
0,00
0,14
0,20
0,49
0,14
0,40
0,46
0,00
0,32
0,01
0,03
0,04
0,26
0,33
0,40
0,27
0,00
0,40
0,05
0,00
0,00
0,48
0,03
0,00
0,23
0,22
0,01
0,31
0,69
0,01
0,00
0,11
0,14
0,00
0,19
0,00
0,22
0,04
0,00
0,06
0,00
0,22
0,22
0,22
0,22
0,22
0,22
0,22
0,22
0,22
0,22
0,22
0,22
0,22
0,20
0,20
0,20
0,20
0,20
0,20
0,20
0,20
0,20
0,20
0,20
0,20
0,20
0,20
0,20
0,20
0,20
0,20
0,20
0,20
0,20
0,20
0,20
0,20
0,20
0,20
0,20
0,20
0,20
0,07
0,07
0,07
0,07
0,07
0,07
0,07
0,07
0,07
0,07
0,07
- 225 -
-0,13
-0,06
-0,03
0,04
0,40
-0,22
-0,12
0,40
0,18
-0,07
0,36
-0,18
-0,22
-0,06
0,00
0,29
-0,06
0,20
0,26
-0,20
0,12
-0,20
-0,17
-0,16
0,06
0,13
0,20
0,07
-0,20
0,20
-0,15
-0,20
-0,20
0,28
-0,17
-0,20
0,03
0,02
-0,19
0,11
0,49
-0,19
-0,07
0,04
0,07
-0,07
0,12
-0,07
0,15
-0,04
-0,07
-0,01
-0,07
0,44
0,01
0,00
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,18
0,01
0,03
0,13
0,01
0,00
0,13
0,00
0,16
0,01
0,07
0,09
0,57
0,16
0,37
0,00
0,06
0,38
0,00
0,02
0,18
0,00
0,00
0,00
0,22
0,52
0,10
0,18
0,00
0,01
0,02
0,35
0,16
0,01
0,54
0,00
0,28
0,64
0,32
0,00
0,47
0,07
0,07
0,07
0,07
0,07
0,07
0,07
0,07
0,07
0,07
0,07
0,07
0,07
0,07
0,07
0,07
0,07
0,07
0,07
0,18
0,18
0,18
0,18
0,18
0,18
0,18
0,18
0,18
0,18
0,18
0,18
0,18
0,18
0,18
0,18
0,18
0,18
0,18
0,18
0,18
0,18
0,18
0,18
0,18
0,18
0,18
0,18
0,18
0,18
0,18
0,18
0,37
-0,06
-0,07
-0,06
-0,07
-0,07
-0,07
-0,07
0,11
-0,06
-0,04
0,06
-0,06
-0,07
0,06
-0,07
0,09
-0,06
-0,11
-0,08
0,40
-0,01
0,20
-0,18
-0,11
0,21
-0,17
-0,16
0,01
-0,18
-0,17
-0,18
0,05
0,35
-0,07
0,01
-0,17
-0,16
-0,16
0,18
-0,01
-0,17
0,37
-0,18
0,11
0,46
0,15
-0,18
0,29
-0,11
Tabla 5.81. Residuales del experimento 3 para el ajuste del índice D.
- 226 -
% de probabilidad normal
99
95
90
80
70
50
30
20
10
5
1
-1.19
-0.09
1.01
2.11
3.21
Residuales
Gráfica 5.55. Probabilidad normal de los residuales en el experimento 3 para el ajuste del índice D.
0,60
0,50
0,40
0,30
Residuales
0,20
0,10
0,00
-0,100,00
0,10
0,20
-0,20
-0,30
-0,40
-0,50
-0,60
Indice D predicho
Gráfica 5.56. Residuales frente a Ŷ en el experimento 3 para el ajuste del índice D.
- 227 -
0,60
0,40
Residuales
0,20
0,00
0
50
100
150
-0,20
-0,40
-0,60
Orden de Realización de la Sim ulación
Gráfica 5.57. Residuales frente al orden de simulación en el experimento 3 para el ajuste del índice D.
Observando la gráfica de la probabilidad normal, lo primero que nos llama la atención
es que sigue adecuadamente la línea recta salvo el extremo izquierdo. Esto significa que
los valores negativos de los residuales no son tan grandes en valor absoluto como se
esperaba. Esto se pone de manifiesto observando estos valores en las gráficas 5.56 y
5.57. También se observa el comportamiento ya comentado de las respuestas no
adecuadas según los límites de aceptabilidad elegidos a lo hora de diseñar las funciones
desirability. Los resultados obtenidos al analizar los residuales no ofrecen un resultado
como para no dar al modelo por adecuado, aunque por ahora, los resultados obtenidos
en el experimento número dos, parecen indicar que el criterio de pesos empleados en
aquel experimento es más adecuado que los empleados en este.
- 228 -
13
0.10
0.12
Factor B
0.15
0.17
12
0.20
0.21
0.21
0.22
7
8
9
Factor A
Gráfica 5.58. Gráfica de contorno del índice D en el experimento 3.
En la gráfica de contornos se aprecia como el punto que alcanza un mayor índice D
dentro de la región de experimentación, es el (9, 11).
El experimento número cuatro se muestra a continuación:
Escenario
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
Respuestas
Nivel de Servicio
98,9047
97,4109
98,3477
98,1935
97,1691
98,5249
94,4143
96,7389
98,4371
97,0913
98,1378
97,6007
97,2297
98,0410
96,9627
96,2217
98,2033
96,9683
97,1731
97,2973
97,6818
97,6623
WIP
17,6578
17,9816
17,8816
17,9813
17,8648
17,9687
17,9939
17,5921
17,9841
17,9856
17,9856
17,8409
17,9129
17,9892
17,8995
17,8162
17,4958
17,8798
17,9813
17,9791
17,9111
17,9880
- 229 -
Funciones Desirability
d1
d2
0,0000
0,2440
0,0305
0,1124
0,0140
0,1437
0,1165
0,1125
0,0047
0,1497
0,0006
0,1161
0,0000
0,1090
0,0000
0,2835
0,0032
0,1117
0,0023
0,1113
0,2270
0,1113
0,1079
0,1586
0,0077
0,1332
0,6579
0,1103
0,0007
0,1376
0,0000
0,1683
0,1030
0,3519
0,0007
0,1444
0,0048
0,1125
0,0132
0,1131
0,1768
0,1338
0,1573
0,1106
D
0,0000
0,0586
0,0448
0,1145
0,0264
0,0082
0,0000
0,0037
0,0189
0,0161
0,1590
0,1308
0,0321
0,2694
0,0096
0,0000
0,1904
0,0101
0,0233
0,0386
0,1538
0,1319
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
95,1835
98,1938
97,7763
97,7593
98,2573
98,0214
98,3829
97,5704
98,7094
98,5236
97,7087
98,2578
98,1965
97,8955
96,6458
96,2845
98,3882
97,2905
97,4983
98,1765
98,1240
97,4387
98,0479
98,3256
98,0905
97,3631
97,5167
97,5561
97,6364
97,9394
98,7321
97,3467
97,9888
97,8063
98,2593
98,0310
97,1395
95,9710
97,4663
98,2101
97,8952
98,2695
97,7987
97,8733
96,7575
97,7227
98,6166
97,0575
97,1719
97,6624
97,7351
97,8271
97,6889
17,9854
17,9855
17,9894
17,7987
17,9895
17,9900
17,9784
17,9815
19,6197
19,7993
19,8353
19,4810
19,3771
19,9363
19,8771
19,6908
19,4467
19,6316
19,7564
19,7892
18,8943
19,9362
19,8024
19,9906
19,9911
19,9820
19,9237
19,7203
19,3978
19,4167
19,5848
19,3255
19,9782
19,7455
19,7639
19,6753
19,5610
19,7867
19,7351
19,8704
19,9248
19,8493
19,6400
19,9637
19,9877
19,7563
19,9737
19,9826
19,9833
19,8359
19,7969
19,9835
19,9881
- 230 -
0,0000
0,1160
0,3054
0,2774
0,0510
0,8057
0,0080
0,0891
0,0000
0,0006
0,2072
0,0507
0,1121
0,5846
0,0000
0,0000
0,0073
0,0125
0,0557
0,1434
0,2661
0,0371
0,6123
0,0195
0,3874
0,0216
0,0629
0,0813
0,1345
0,7350
0,0000
0,0192
0,9455
0,3611
0,0497
0,7296
0,0036
0,0000
0,0449
0,0945
0,5839
0,0433
0,3461
0,5197
0,0001
0,2247
0,0001
0,0017
0,0048
0,1574
0,2415
0,4048
0,1844
0,1114
0,1113
0,1103
0,1755
0,1102
0,1101
0,1133
0,1125
0,0006
0,0003
0,0002
0,0011
0,0016
0,0001
0,0002
0,0004
0,0012
0,0006
0,0003
0,0003
0,0085
0,0001
0,0003
0,0001
0,0001
0,0001
0,0002
0,0004
0,0015
0,0014
0,0007
0,0019
0,0001
0,0003
0,0003
0,0005
0,0008
0,0003
0,0004
0,0002
0,0002
0,0002
0,0005
0,0001
0,0001
0,0003
0,0001
0,0001
0,0001
0,0002
0,0003
0,0001
0,0001
0,0000
0,1137
0,1835
0,2206
0,0750
0,2978
0,0301
0,1001
0,0001
0,0004
0,0069
0,0073
0,0133
0,0092
0,0000
0,0000
0,0030
0,0027
0,0043
0,0064
0,0477
0,0023
0,0128
0,0015
0,0065
0,0016
0,0031
0,0056
0,0140
0,0316
0,0000
0,0061
0,0105
0,0112
0,0040
0,0186
0,0017
0,0000
0,0040
0,0043
0,0094
0,0031
0,0138
0,0081
0,0001
0,0086
0,0001
0,0004
0,0007
0,0060
0,0082
0,0068
0,0045
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
98,9052
97,8127
97,1925
96,6543
96,2865
97,8822
98,4516
98,6790
97,6357
97,6180
96,7916
97,7054
97,9716
96,7944
96,2152
98,1830
97,9353
98,7688
98,0239
96,2722
98,1324
97,3017
98,5892
98,2998
98,8137
97,9335
98,3078
98,8488
98,2692
98,8704
96,3791
98,4163
98,6311
97,6541
97,1628
98,1969
97,6360
98,4553
98,9671
97,6491
96,7379
97,8424
98,5263
98,3090
98,2550
97,9587
98,2566
97,7965
98,9143
97,2448
97,8034
96,6827
97,0027
19,9838
19,8275
19,9900
19,9730
19,8058
19,8921
19,9812
19,6479
19,9800
19,9841
19,7853
19,6846
19,2353
19,9765
19,9774
21,5069
21,8583
21,5349
21,7766
21,4845
21,0039
21,5499
21,3987
21,3001
21,4811
20,6515
21,9627
21,6790
21,9758
21,6075
21,9906
21,9861
20,8862
20,9013
21,7734
21,9551
21,3883
21,8527
20,4870
21,3817
21,8707
21,7044
21,4399
21,1211
21,2062
19,9891
19,3629
19,9837
19,7470
19,8401
19,9427
19,6516
19,9206
- 231 -
0,0000
0,3741
0,0057
0,0000
0,0000
0,5449
0,0025
0,0000
0,1339
0,1201
0,0001
0,2032
0,8665
0,0001
0,0000
0,1324
0,7198
0,0000
0,7852
0,0000
0,2417
0,0136
0,0001
0,0283
0,0000
0,7131
0,0253
0,0000
0,0435
0,0000
0,0000
0,0046
0,0000
0,1497
0,0044
0,1115
0,1341
0,0023
0,0000
0,1453
0,0000
0,4400
0,0006
0,0248
0,0527
0,8117
0,0515
0,3420
0,0000
0,0087
0,3554
0,0000
0,0010
0,0001
0,0002
0,0001
0,0001
0,0003
0,0002
0,0001
0,0005
0,0001
0,0001
0,0003
0,0005
0,0027
0,0001
0,0001
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0017
0,0001
0,0003
0,0002
0,0001
0,0005
0,0002
0,0000
0,0095
0,0008
0,0000
0,0000
0,0098
0,0005
0,0001
0,0039
0,0037
0,0002
0,0096
0,0481
0,0001
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0002
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0012
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0002
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0095
0,0093
0,0062
0,0000
0,0014
0,0070
0,0001
0,0004
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
98,2367
96,4857
96,6667
99,0027
97,6079
97,9176
97,3953
98,2361
96,6356
96,9056
98,5298
97,7607
97,4894
98,5640
97,9045
98,9080
97,6812
98,0061
97,7445
98,9827
97,8684
97,2581
19,4902
19,9023
19,7630
19,9717
19,7674
19,9191
19,9849
19,5333
19,8240
19,9866
19,1750
19,7586
19,4631
19,9240
19,6154
19,8083
19,7491
19,8455
19,9818
19,8888
19,8550
19,6738
0,0672
0,0000
0,0000
0,0000
0,1128
0,6565
0,0273
0,0676
0,0000
0,0004
0,0005
0,2796
0,0525
0,0002
0,6132
0,0000
0,1761
0,9407
0,2550
0,0000
0,5062
0,0097
0,0010
0,0002
0,0003
0,0001
0,0003
0,0002
0,0001
0,0009
0,0002
0,0001
0,0033
0,0003
0,0011
0,0002
0,0006
0,0003
0,0003
0,0002
0,0001
0,0002
0,0002
0,0005
0,0083
0,0000
0,0001
0,0000
0,0060
0,0101
0,0018
0,0076
0,0001
0,0002
0,0013
0,0096
0,0077
0,0002
0,0193
0,0000
0,0078
0,0144
0,0054
0,0000
0,0103
0,0021
Tabla 5.82. Resultados del experimento 4 para la función desirability y el índice D.
El índice D medio y la desviación estándar para cada uno de los escenarios se muestran
en la tabla 5.83:
Escenario Índice D medio STD Índice D
(7,11)
0,0820
0,0859
(9,11)
0,0077
0,0102
(7,13)
0,0055
0,0090
(9,13)
0,0001
0,0002
(8,12)
0,0049
0,0051
Tabla 5.83. Índice D medio y desviación estándar obtenidos en el experimento 4.
El análisis de varianza muestra como tanto los factores A y B, como la interacción entre
ellos son significativos:
Termino Efectos SS
Porcentaje g.d.l MSS
A
-0,04 0,05
13,08
1
0,05
B
-0,04 0,05
14,44
1
0,05
AB
-0,03 0,04
9,81
1
0,04
Error
0,23
62,67
146 0,00
Total
0,37
100,00
149
Fo
Fo Tablas
30,47
3,91
33,64
3,91
22,85
3,91
Tabla 5.84. Análisis de varianza del experimento 4 para el ajuste del índice D.
- 232 -
Por tanto el modelo en variables codificadas y en variables naturales, quedan
respectivamente:
yˆ = 0,02 − 0,02 x1 − 0,02 x2 − 0,015x1 x2
yˆ = 2,08 − 0,23ξ1 − 0,16ξ 2 + 0,02ξ1ξ 2
La prueba de significación la pasa, como se puede ver en la tabla 5.85, sin embargo la
de falta de ajuste no. Esto significa que el modelo no se ajusta adecuadamente a la
superficie de respuesta real del índice D. El próximo paso sería diseñar un experimento
central compuesto en las caras para intentar ajustar un modelo de segundo orden que se
ajustara a la superficie de respuesta en esta región de experimentación, sin embargo lo
desestimamos porque esto significa realizar 120 réplicas más (30 en cada uno de los
cuatro puntos centrales), por otro lado la combinación de pesos de este experimento es
la más radical de todas y a tenor de los resultados obtenidos en los experimentos
anteriores es muy probablemente que no aporte nada nuevo.
Termino
Modelo
Residual
(Falta de ajuste LOF)
(Error puro)
Total
SS g.d.l MSS
Fo
Fo Tablas
0,14
3
0,045 28,57
2,67
0,23 146 0,002
0,01
1
0,010 6,59
3,91
0,22 145 0,002
0,37 149
Tabla 5.85. Prueba de significación y de la falta de ajuste del experimento 4 para el ajuste del índice D.
En el último experimento de esta batería se han obtenido los siguientes resultados:
Escenario
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
Respuestas
Nivel de Servicio
98,9047
97,4109
98,3477
98,1935
97,1691
98,5249
94,4143
96,7389
98,4371
97,0913
98,1378
97,6007
97,2297
98,0410
WIP
17,6578
17,9816
17,8816
17,9813
17,8648
17,9687
17,9939
17,5921
17,9841
17,9856
17,9856
17,8409
17,9129
17,9892
- 233 -
Funciones Desirability
d1
d2
0,0000
0,9860
0,7054
0,9784
0,0140
0,9808
0,1165
0,9784
0,5846
0,9812
0,0006
0,9787
0,0000
0,9781
0,3694
0,9875
0,0032
0,9783
0,5457
0,9783
0,2270
0,9783
0,8004
0,9818
0,6149
0,9800
0,6579
0,9782
D
0,0000
0,8308
0,1170
0,3376
0,7573
0,0239
0,0000
0,6040
0,0559
0,7306
0,4713
0,8864
0,7763
0,8022
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(7,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(9,11)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
96,9627
96,2217
98,2033
96,9683
97,1731
97,2973
97,6818
97,6623
95,1835
98,1938
97,7763
97,7593
98,2573
98,0214
98,3829
97,5704
98,7094
98,5236
97,7087
98,2578
98,1965
97,8955
96,6458
96,2845
98,3882
97,2905
97,4983
98,1765
98,1240
97,4387
98,0479
98,3256
98,0905
97,3631
97,5167
97,5561
97,6364
97,9394
98,7321
97,3467
97,9888
97,8063
98,2593
98,0310
97,1395
95,9710
97,4663
98,2101
97,8952
98,2695
97,7987
97,8733
96,7575
17,8995
17,8162
17,4958
17,8798
17,9813
17,9791
17,9111
17,9880
17,9854
17,9855
17,9894
17,7987
17,9895
17,9900
17,9784
17,9815
19,6197
19,7993
19,8353
19,4810
19,3771
19,9363
19,8771
19,6908
19,4467
19,6316
19,7564
19,7892
18,8943
19,9362
19,8024
19,9906
19,9911
19,9820
19,9237
19,7203
19,3978
19,4167
19,5848
19,3255
19,9782
19,7455
19,7639
19,6753
19,5610
19,7867
19,7351
19,8704
19,9248
19,8493
19,6400
19,9637
19,9877
- 234 -
0,4813
0,1109
0,1030
0,4842
0,5865
0,6486
0,8409
0,8311
0,0000
0,1160
0,8881
0,8796
0,0510
0,8057
0,0080
0,7852
0,0000
0,0006
0,8543
0,0507
0,1121
0,9477
0,3229
0,1423
0,0073
0,6452
0,7491
0,1434
0,2661
0,7194
0,6123
0,0195
0,3874
0,6816
0,7583
0,7780
0,8182
0,9697
0,0000
0,6734
0,9944
0,9032
0,0497
0,7296
0,5698
0,0000
0,7332
0,0945
0,9476
0,0433
0,8993
0,9367
0,3787
0,9804
0,9823
0,9896
0,9808
0,9784
0,9784
0,9801
0,9782
0,9783
0,9783
0,9782
0,9827
0,9782
0,9782
0,9785
0,9784
0,9285
0,9212
0,9197
0,9337
0,9375
0,9153
0,9179
0,9257
0,9350
0,9280
0,9230
0,9216
0,9535
0,9153
0,9211
0,9129
0,9128
0,9133
0,9159
0,9245
0,9368
0,9361
0,9298
0,9394
0,9134
0,9234
0,9227
0,9263
0,9307
0,9217
0,9239
0,9182
0,9158
0,9191
0,9277
0,9141
0,9130
0,6869
0,3300
0,3193
0,6891
0,7575
0,7967
0,9078
0,9017
0,0000
0,3369
0,9321
0,9298
0,2234
0,8877
0,0885
0,8765
0,0020
0,0236
0,8864
0,2176
0,3242
0,9314
0,5444
0,3629
0,0829
0,7738
0,8315
0,3636
0,5037
0,8114
0,7510
0,1333
0,5947
0,7890
0,8334
0,8481
0,8755
0,9527
0,0013
0,7953
0,9531
0,9132
0,2142
0,8221
0,7282
0,0000
0,8230
0,2946
0,9316
0,1994
0,9134
0,9253
0,5880
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(7,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
(9,13)
97,7227
98,6166
97,0575
97,1719
97,6624
97,7351
97,8271
97,6889
98,9052
97,8127
97,1925
96,6543
96,2865
97,8822
98,4516
98,6790
97,6357
97,6180
96,7916
97,7054
97,9716
96,7944
96,2152
98,1830
97,9353
98,7688
98,0239
96,2722
98,1324
97,3017
98,5892
98,2998
98,8137
97,9335
98,3078
98,8488
98,2692
98,8704
96,3791
98,4163
98,6311
97,6541
97,1628
98,1969
97,6360
98,4553
98,9671
97,6491
96,7379
97,8424
98,5263
98,3090
98,2550
19,7563
19,9737
19,9826
19,9833
19,8359
19,7969
19,9835
19,9881
19,9838
19,8275
19,9900
19,9730
19,8058
19,8921
19,9812
19,6479
19,9800
19,9841
19,7853
19,6846
19,2353
19,9765
19,9774
21,5069
21,8583
21,5349
21,7766
21,4845
21,0039
21,5499
21,3987
21,3001
21,4811
20,6515
21,9627
21,6790
21,9758
21,6075
21,9906
21,9861
20,8862
20,9013
21,7734
21,9551
21,3883
21,8527
20,4870
21,3817
21,8707
21,7044
21,4399
21,1211
21,2062
- 235 -
0,8613
0,0001
0,5287
0,5860
0,8312
0,8675
0,9135
0,8445
0,0000
0,9064
0,5963
0,3271
0,1433
0,9411
0,0025
0,0000
0,8178
0,8090
0,3958
0,8527
0,9858
0,3972
0,1076
0,1324
0,9677
0,0000
0,7852
0,1361
0,2417
0,6508
0,0001
0,0283
0,0000
0,9667
0,0253
0,0000
0,0435
0,0000
0,1895
0,0046
0,0000
0,8270
0,5814
0,1115
0,8180
0,0023
0,0000
0,8246
0,3689
0,9212
0,0006
0,0248
0,0527
0,9230
0,9136
0,9132
0,9132
0,9197
0,9213
0,9132
0,9130
0,9132
0,9200
0,9129
0,9137
0,9209
0,9172
0,9133
0,9274
0,9134
0,9132
0,9218
0,9259
0,9425
0,9135
0,9135
0,7932
0,7003
0,7886
0,7328
0,7968
0,8510
0,7860
0,8091
0,8215
0,7973
0,8772
0,6127
0,7599
0,5868
0,7753
0,5339
0,5552
0,8606
0,8594
0,7339
0,6242
0,8105
0,7029
0,8873
0,8114
0,6938
0,7537
0,8034
0,8404
0,8319
0,8916
0,0079
0,6949
0,7315
0,8743
0,8940
0,9134
0,8781
0,0000
0,9132
0,7378
0,5467
0,3632
0,9291
0,0474
0,0033
0,8643
0,8595
0,6040
0,8885
0,9639
0,6024
0,3135
0,3241
0,8232
0,0006
0,7585
0,3293
0,4535
0,7152
0,0105
0,1526
0,0002
0,9209
0,1244
0,0001
0,1597
0,0000
0,3181
0,0505
0,0063
0,8431
0,6532
0,2639
0,8142
0,0402
0,0000
0,8179
0,5060
0,8332
0,0214
0,1444
0,2093
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
(8,12)
97,9587
98,2566
97,7965
98,9143
97,2448
97,8034
96,6827
97,0027
98,2367
96,4857
96,6667
99,0027
97,6079
97,9176
97,3953
98,2361
96,6356
96,9056
98,5298
97,7607
97,4894
98,5640
97,9045
98,9080
97,6812
98,0061
97,7445
98,9827
97,8684
97,2581
19,9891
19,3629
19,9837
19,7470
19,8401
19,9427
19,6516
19,9206
19,4902
19,9023
19,7630
19,9717
19,7674
19,9191
19,9849
19,5333
19,8240
19,9866
19,1750
19,7586
19,4631
19,9240
19,6154
19,8083
19,7491
19,8455
19,9818
19,8888
19,8550
19,6738
0,9794
0,0515
0,8983
0,0000
0,6224
0,9017
0,3413
0,5014
0,0672
0,2428
0,3333
0,0000
0,8039
0,9588
0,6977
0,0676
0,3178
0,4528
0,0005
0,8804
0,7447
0,0002
0,9523
0,0000
0,8406
0,9407
0,8723
0,0000
0,9342
0,6291
0,9129
0,9380
0,9132
0,9234
0,9195
0,9150
0,9272
0,9160
0,9334
0,9168
0,9227
0,9137
0,9225
0,9161
0,9131
0,9318
0,9202
0,9131
0,9445
0,9229
0,9344
0,9159
0,9286
0,9208
0,9233
0,9193
0,9133
0,9174
0,9189
0,9263
0,9456
0,2199
0,9057
0,0000
0,7565
0,9083
0,5626
0,6777
0,2504
0,4719
0,5546
0,0000
0,8612
0,9372
0,7982
0,2511
0,5408
0,6430
0,0223
0,9014
0,8342
0,0151
0,9404
0,0000
0,8810
0,9299
0,8925
0,0000
0,9265
0,7634
Tabla 5.86. Resultados del experimento 5 para la función desirability y el índice D.
Escenario Índice D medio STD Índice D
(7,11)
0,5352
0,3433
(9,11)
0,5621
0,3408
(7,13)
0,6399
0,3275
(9,13)
0,3432
0,3334
(8,12)
0,5797
0,3594
Tabla 5.87. Índice D medio y desviación estándar obtenidos en el experimento 5.
El análisis de varianza se calcula con los datos obtenidos en la tabla 5.87 arrojando el
resultado siguiente:
- 236 -
Termino Efectos SS Porcentaje g.d.l
A
-0,14
0,55
2,99
1
B
-0,06
0,10
0,53
1
AB
-0,16
0,79
4,30
1
Error
16,95
92,18
146
Total
18,39
100,00
149
MSS Fo Fo Tablas
0,55 4,74
3,91
0,10 0,84
3,91
0,79 6,80
3,91
0,12
Tabla 5.88. Análisis de varianza del experimento 5 para el ajuste del índice D.
Se puede ver que el factor A y la interacción AB son significativos, no siendo así para el
factor B. El modelo ajustado incluirá el término correspondiente a este factor debido a
que la interacción es significativa. El modelo ajustado es, en variables codificadas:
yˆ = 0,53 − 0,07 x1 − 0,03x2 − 0,08x1 x2
y en variables naturales:
yˆ = −6,35 + 0,90ξ1 + 0,62ξ 2 − 0,08ξ1ξ 2
Siguiendo la metodología, el paso siguiente es calcular la adecuación del modelo. Las
dos primeras pruebas son la de la significación de los coeficientes del modelo y la de
falta de ajuste:
Termino
Modelo
Residual
(Falta de ajuste LOF)
(Error puro)
Total
SS
1,44
16,95
0,09
16,86
18,39
g.d.l
3
146
1
145
149
MSS
0,48
0,12
0,09
0,12
Fo
4,13
Fo Tablas
2,67
0,73
3,91
Tabla 5.89. Prueba de significación y de la falta de ajuste del experimento 5 para el ajuste del índice D.
En la tabla 5.89 se observa como el modelo pasa ambas pruebas. La siguiente es el
análisis gráfico de los residuales:
Respuestas
0,00
0,83
0,12
0,34
0,76
0,02
0,00
Predicción
0,55
0,55
0,55
0,55
0,55
0,55
0,55
- 237 -
Residuales
-0,55
0,28
-0,43
-0,21
0,21
-0,52
-0,55
0,60
0,06
0,73
0,47
0,89
0,78
0,80
0,69
0,33
0,32
0,69
0,76
0,80
0,91
0,90
0,00
0,34
0,93
0,93
0,22
0,89
0,09
0,88
0,00
0,02
0,89
0,22
0,32
0,93
0,54
0,36
0,08
0,77
0,83
0,36
0,50
0,81
0,75
0,13
0,59
0,79
0,83
0,85
0,88
0,95
0,00
0,80
0,95
0,91
0,21
0,82
0,73
0,00
0,55
0,55
0,55
0,55
0,55
0,55
0,55
0,55
0,55
0,55
0,55
0,55
0,55
0,55
0,55
0,55
0,55
0,55
0,55
0,55
0,55
0,55
0,55
0,57
0,57
0,57
0,57
0,57
0,57
0,57
0,57
0,57
0,57
0,57
0,57
0,57
0,57
0,57
0,57
0,57
0,57
0,57
0,57
0,57
0,57
0,57
0,57
0,57
0,57
0,57
0,57
0,57
0,57
- 238 -
0,06
-0,49
0,18
-0,08
0,34
0,23
0,26
0,14
-0,22
-0,23
0,14
0,21
0,25
0,36
0,35
-0,55
-0,21
0,38
0,38
-0,32
0,34
-0,46
0,33
-0,57
-0,55
0,31
-0,36
-0,25
0,36
-0,03
-0,21
-0,49
0,20
0,26
-0,21
-0,07
0,24
0,18
-0,44
0,02
0,21
0,26
0,27
0,30
0,38
-0,57
0,22
0,38
0,34
-0,36
0,25
0,15
-0,57
0,82
0,29
0,93
0,20
0,91
0,93
0,59
0,89
0,01
0,69
0,73
0,87
0,89
0,91
0,88
0,00
0,91
0,74
0,55
0,36
0,93
0,05
0,00
0,86
0,86
0,60
0,89
0,96
0,60
0,31
0,32
0,82
0,00
0,76
0,33
0,45
0,72
0,01
0,15
0,00
0,92
0,12
0,00
0,16
0,00
0,32
0,05
0,01
0,84
0,65
0,26
0,81
0,04
0,65
0,65
0,65
0,65
0,65
0,65
0,65
0,65
0,65
0,65
0,65
0,65
0,65
0,65
0,65
0,65
0,65
0,65
0,65
0,65
0,65
0,65
0,65
0,65
0,65
0,65
0,65
0,65
0,65
0,36
0,36
0,36
0,36
0,36
0,36
0,36
0,36
0,36
0,36
0,36
0,36
0,36
0,36
0,36
0,36
0,36
0,36
0,36
0,36
0,36
0,36
0,36
0,36
- 239 -
0,17
-0,36
0,28
-0,45
0,26
0,27
-0,06
0,24
-0,64
0,04
0,08
0,22
0,24
0,26
0,23
-0,65
0,26
0,09
-0,11
-0,29
0,28
-0,60
-0,65
0,21
0,21
-0,05
0,24
0,31
-0,05
-0,04
-0,03
0,47
-0,35
0,40
-0,03
0,10
0,36
-0,34
-0,20
-0,35
0,57
-0,23
-0,35
-0,20
-0,35
-0,04
-0,30
-0,35
0,49
0,30
-0,09
0,46
-0,31
0,00
0,82
0,51
0,83
0,02
0,14
0,21
0,95
0,22
0,91
0,00
0,76
0,91
0,56
0,68
0,25
0,47
0,55
0,00
0,86
0,94
0,80
0,25
0,54
0,64
0,02
0,90
0,83
0,02
0,94
0,00
0,88
0,93
0,89
0,00
0,93
0,76
0,36
0,36
0,36
0,36
0,36
0,53
0,53
0,53
0,53
0,53
0,53
0,53
0,53
0,53
0,53
0,53
0,53
0,53
0,53
0,53
0,53
0,53
0,53
0,53
0,53
0,53
0,53
0,53
0,53
0,53
0,53
0,53
0,53
0,53
0,53
0,53
0,53
-0,36
0,46
0,15
0,48
-0,33
-0,39
-0,32
0,41
-0,31
0,37
-0,53
0,22
0,38
0,03
0,15
-0,28
-0,06
0,02
-0,53
0,33
0,41
0,27
-0,28
0,01
0,11
-0,51
0,37
0,30
-0,52
0,41
-0,53
0,35
0,40
0,36
-0,53
0,39
0,23
Tabla 5.90. Residuales del experimento 5 para el ajuste del índice D.
- 240 -
% de probabilidad normal
99
95
90
80
70
50
30
20
10
5
1
-0.65
-0.35
-0.04
0.27
0.57
Residuales
Gráfica 5.59. Probabilidad normal de los residuales en el experimento 5 para el ajuste del índice D.
0,70
0,60
0,50
0,40
0,30
Residuales
0,20
0,10
0,00
-0,100,35
0,45
0,55
0,65
-0,20
-0,30
-0,40
-0,50
-0,60
-0,70
Indice D predicho
Gráfica 5.60. Residuales frente a Ŷ en el experimento 5 para el ajuste del índice D.
- 241 -
0,70
0,50
Residuales
0,30
0,10
-0,10 0
50
100
150
-0,30
-0,50
-0,70
Orden de Realización de la Sim ulación
Gráfica 5.61. Residuales frente al orden de simulación en el experimento 5 para el ajuste del índice D.
En la grafica de la distribución normal se pede observar como la distribución de los
residuales sigue aproximadamente una línea recta, aunque con algo de dificultad.
También se puede apreciar como la rama de la izquierda se curva hacia abajo en su
extremo, esto al igual que en el caso del tercer experimento de esta batería, se debe a
que los residuales negativos no son tan grandes en valor absoluto como cabria esperar.
Esto se aprecia con más claridad en las gráficas 5.60 y 5.61. En la 5.60 se observa como
las hileras se van desplazando hacia valores negativos con mayor valor absoluto
conforme avanzamos hacia la derecha. En la gráfica 5.61 se aprecia como la nube de
puntos es más amplia e el semiplano correspondiente a los residuales negativos,
indicando esto un valor absoluto mayor. Lo comentado no parece lo suficientemente
grave como para no dar al modelo por adecuado.
- 242 -
13
0.40
0.60
0.45
Factor B
0.50
0.57
12
0.54
0.55
0.56
0.55
0.56
8
7
9
Factor A
Gráfica 5.62. Gráfica de contorno del índice D en el experimento 5.
En la grafica de contornos correspondiente a este experimento se encuentra que el punto
de la región de experimentación con mayor índice D es el (7,13).
Una vez realizados los cinco experimentos vamos a analizar los resultados obtenidos.
En una gráfica similar a la que se obtuvo al superponer las dos gráficas de contornos
correspondientes al nivel de servicio medio y al inventario en proceso, vamos a
superponer los puntos hallados (puntos negros). En esta gráfica también se ha
representado con una línea verde la dirección de las mejores soluciones admisibles, de
la que se habló en el apartado 5.4.
- 243 -
Nivel de Servicio - WIP
14
97,46
97,57
97,69
97,80
97,91
98,03
98,08
97,52
97,63
97,74
97,86
97,97
22.832
E (Factor B)
13
22.177
21.546
12
20.941
11
20.343
16.666
10
6
17.293
17.959
7
18.553
8
19.150
9
19.747
10
K(0) (Factor A)
Gráfica 5.63.Gráfica de contornos para nivel de servicio medio y WIP superpuestas con los puntos
hallados con las funciones desirability y la dirección de mejores soluciones admisibles.
En la tabla siguiente se exponen los puntos hallados con la información de interés:
Experimento
1
2
3
4
5
Combinación de pesos
(s1=1, t1=1, s2=1)
(s1=1, t1=10, s2=1)
(s1=10, t1=10, s2=1)
(s1=10, t1=10, s2=10)
(s1=1, t1=10, s2=0,1)
Punto
(7,11)
(7,11)
(9,11)
(7,13)
Nivel de servicio medio
IC (99%)
97,519
97,067<>97,971
97,519
97,067<>97,971
97,763
97,456<>98,070
Modelo no adecuado
97,612
97,294<>97,930
WIP
17,909
17,909
19,691
19,867
Tabla 5.91. Puntos favorables según el análisis de las funciones desirability.
Analizando la gráfica 5.63 vemos que todas las soluciones encontradas usando el
método de la función desirability son buenas, en el sentido de que todas están alrededor
de la trayectoria de las mejores soluciones admisibles. Por otro lado, analizando la tabla
5.91, vemos como las soluciones son acordes con lo que indican sus correspondientes
pesos. Así, en el experimento número tres, en donde se le da gran importancia a
alcanzar un nivel de servicio muy próximo al 98%, se obtiene un valor medio mayor
que en los experimentos uno y dos, en donde al menos uno de los pesos s y t relajan esta
condición. En el cuarto experimento las condiciones son las más exigentes de todas y el
modelo no resulta adecuado, indicando esto que condiciones tan extremas no son
beneficiosas. El quinto experimento es exigente en no sobrepasar el valor del 98% para
el nivel de servicio pero resulta demasiado permisivo con el inventario en proceso
ofreciendo el peor registro para este. Los experimentos 1 y 2 obtienen los mismos
resultados por lo que endurecer la condición de no sobrepasar el nivel de servicio medio
- 244 -
de un 98% no parece tener la misma importancia que si se endurece la de alcanzar dicho
registro.
Fijándonos ahora en los intervalos de confianza vemos que el único que incluye al 98%
de nivel de servicio es el correspondiente al experimento tres, haciendo que esta sea la
única solución admisible encontrada. Por otro lado si aplicamos estrictamente el
criterio de búsqueda empleado, vemos que la combinación de pesos que lo representa es
la del experimento tres. Nosotros hemos perseguido obtener en primer lugar la
combinación de parámetros K (0) y E que proporcionen el nivel de servicio más cercano
posible al valor 98%, y una vez hecho esto, hemos buscado el WIP más pequeño, pero
dándole menor importancia a esto último. La traducción de esto a pesos s y t sería
(s1=10, t1=10, s2=1), que es precisamente la combinación escogida para el experimento
número tres.
Este resultado parece que nos proporciona la solución más cercana a nuestros deseos en
la región de experimentación, pero no significa que sea la más cercana a ellos dentro del
conjunto de todas las soluciones admisibles. Esto nos obliga, al igual que ocurriera en la
sección 5.4, a estudiar la vecindad del punto (9,11), para lo que deberíamos construir
una tabla igual a la 5.59 (ver sección 5.4) y seguir el mismo proceso visto en la sección
5.4, que nos lleva a la solución óptima (15,3).
La pregunta que en este punto nos formulamos es si el uso en el sistema objeto de
estudio de la función desirability aporta alguna ventaja al empleo del método gráfico de
la superposición de las gráficas de contornos. En un principio parece que la respuesta es
negativa debido a que, aún aplicando una combinación de pesos que refleja con bastante
exactitud el criterio de búsqueda, su empleo no implica una disminución del número de
observaciones a realizar, una vez se ha elegido el punto de la región de experimentación
que más se aproxima a nuestros deseos. Una vez elegido este, el proceso ha seguir es el
mismo en ambos casos, como ha quedado de manifiesto en el párrafo anterior. Sin
embargo si que parece que puede ser útil a la hora de estudiar la vecindad de un punto
de interés en donde estemos interesados en saber de una manera aproximada como se
comportan de una manera conjunta las dos respuestas del sistema objeto de estudio. En
el siguiente capítulo veremos cómo puede ser interesante su uso en el método de
búsqueda que se va ha proponer.
- 245 -
CAPÍTULO 6:
PROPUESTA DE OPTIMIZACIÓN
- 246 -
En esta sección vamos a ir explicando y aplicando cada uno de los pasos de la heurística
propuesta con el fin de que la exposición sea lo más clara posible.
En el capítulo anterior se ha recogido una información muy valiosa acerca del
funcionamiento del sistema objeto de estudio en el presente proyecto y del
comportamiento de la metodología RSM aplicada a él. En esta sección se propone una
heurística que aprovecha este conocimiento y cuyo objetivo es encontrar la combinación
de los parámetros K (0) y E que proporcionan el funcionamiento más cercano al ideal.
Este ideal persigue que la línea de fabricación funcione con un nivel objetivo
predeterminado del 98% y que lo haga con el inventario en proceso más pequeño, es
decir, se pretende maximizar la capacidad productiva de la línea con el menor capital
invertido en inventarios.
Con la heurística propuesta se pretende llevar al óptimo o a sus inmediaciones con el
menor número de simulaciones. Para ello nos basamos en el análisis de la forma de las
superficies de respuesta reales que obtuvimos en la sección 5.4 al realizar la búsqueda
exhaustiva.
La superficie que se obtuvo para el WIP muestra que en la zona de interés esta es
prácticamente un plano inclinado. Esto nos hace pensar que un modelo ajustado en ella
recogerá con bastante aproximación su forma ya que esta no presenta complicaciones.
La superficie real correspondiente al nivel de servicio medio, por el contrario, si que
ofrece importantes particularidades que tenemos que tener en cuenta. Esta superficie
ofrece dos zonas bien diferenciadas. Por un lado se tiene una zona en pronunciada
pendiente, que comprende los valores para el nivel de servicio medio que van desde 0%
hasta el 97% aproximadamente. Por otro lado, tenemos una zona casi plana y horizontal,
que comprende desde el 97% y tiende ligeramente hacia el 100%. La particularidad más
importante para nosotros radica en la línea que hace de “frontera” entre estas dos zonas.
En la sección 5.4 se encontró que esta línea la formaban las soluciones admisibles para
el nivel de servicio buscado y que presentaban la propiedad de que la suma de los
parámetros K (0) y E era constante. El primer paso de la heurística va a ser encontrar la
“trayectoria de las soluciones admisibles”.
En la tabla 5.62 de la sección 5.4 se muestran las combinaciones que forman parte de
esta trayectoria, en ella se observa que la serie comienza en la combinación (18,0) que
corresponde con un sistema Conwip tradicional, en el que no existen tarjetas extras.
Apoyándonos de nuevo en la forma de la superficie de respuesta para el nivel de
servicio medio y en que esta recoge el comportamiento de un sistema Conwip (ver
sección 5.3 y sección 5.4), proponemos como primer paso de la heurística plantear una
pseudo trayectoria de máxima pendiente, aplicada a la línea de producción como si esta
estuviera gobernada por un sistema Conwip tradicional. Se parte de un número
razonablemente bajo de tarjetas y se va ha ir recorriendo la trayectoria hasta encontrar
una solución admisible, es decir, se va buscar un intervalo de confianza en el que un
nivel de servicio del 98% este incluido. También, se van a graficar el nivel de servicio
medio, el inventario en proceso y el radio del intervalo de confianza, con objeto de
- 247 -
recopilar información que nos permita ir conociendo en mayor detalle el
comportamiento del sistema.
Este primer paso lo aplicamos al sistema objeto de estudio. En la siguiente tabla se
muestran los puntos recorrido, con los resultados de interés recogidos en las
simulaciones:
K(0)
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
E
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Nivel de servicio medio
0,000
6,211
29,128
45,973
59,156
70,908
75,660
83,749
86,440
91,205
93,589
95,238
95,968
97,080
98,457
98,801
IC (99%) para el nivel de servicio
0,000<>0,000
4,066<>8,356
26,890<>31,366
44,335<>47,610
57,197<>61,114
69,387<>72,430
74,009<>77,311
82,530<>84,970
84,962<>87,918
89,966<>92,445
92,654<>94,555
94,244<>96,232
94,976<>96,960
96,488<>97,672
97,893<>99,021
98,505<>99,097
WIP medio
3,933
4,976
6,011
7,023
8,023
9,023
10,022
11,018
12,015
13,011
14,009
15,007
16,005
17,004
18,002
19,002
Tabla 6.1. Resultados de las simulaciones en el primer paso de la heurística propuesta.
Observamos que la primera solución admisible de obtiene para 18 tarjetas. Antes de
aceptar esta combinación como la adecuada, observemos las siguientes gráficas:
100
Nivel de Servicio medio
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Número de Tarjetas
Gráfica 6.1. Evolución del Nivel de Servicio Medio a lo largo de las simulaciones del primer paso de la
heurística propuesta.
- 248 -
2,5
IC (99%)
2
1,5
1
0,5
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Número de Tarjetas
Gráfica 6.2. Evolución de de los intervalos de confianza del Nivel de Servicio Medio a lo largo de las
simulaciones del primer paso de la heurística propuesta.
En la gráfica 6.1 se aprecia que el nivel de servicio medio evoluciona de la manera
característica que lo hace un sistema Conwip. También se observa como el tamaño de
los intervalos de confianza para el nivel de servicio medio disminuyen conforme
aumenta el número de tarjetas. Para hacernos una idea de como evoluciona la
admisibilidad de las soluciones, se puede estudiar la diferencia entre el límite superior e
inferior de los intervalos de confianza y el valor del 98%. Por un lado se define el índice
(LS-98), que es la diferencia entre el limite superior del intervalo de confianza y el valor
objetivo. Si esta diferencia es positiva, es seguro que la solución no es admisible. Por
otro lado se define el índice (98-LI), que es la diferencia entre el valor objetivo y el
límite inferior del intervalo de confianza. En el momento en que esta diferencia sea
negativa, es seguro que la solución no es admisible. Si graficamos ambos índices, la
primera solución admisible será aquella en donde por primera vez no se cumpla
ninguna de las dos condiciones anteriormente comentadas. En la gráfica 6.3 se grafican
ambos índices. Podemos observar como el primer punto que es admisible es el
correspondiente al de 18 tarjetas. También podemos observar como, conforme aumenta
el número de tarjetas las soluciones van tendiendo a la admisibilidad.
100
Indices (LS-98) y (98-LI)
80
60
40
20
(LS-98)
0
-20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 1213 141516 1718 1920
(98-LI)
-40
-60
-80
-100
Número de Tarjetas
Gráfica 6.3. Evolución de la admisibilidad a lo largo de las simulaciones del primer paso de la heurística
propuesta.
- 249 -
Tras el estudio de los datos recogidos el número de tarjetas escogido es de 18. Este
punto va a ser el primero de la “trayectoria de las soluciones admisibles” buscada. Una
propiedad que cumplían las combinaciones pertenecientes a esta trayectoria era la de
mantener constante el la suma de los parámetros K (0) y E. En nuestro caso esta
constante vale 18.
El segundo paso de la heurística va a ser la de recorrer esta trayectoria con el fin de
encontrar la combinación que mejor se ajuste al criterio de la mejor solución. Para ello
se simulan todas las combinaciones que cumplen esta propiedad y se recopilan los datos
de interés, como son el nivel de servicio medio, los intervalos de confianza y el
inventario en proceso medio. Es de esperar, por la forma de las superficies de repuesta
reales, que el dato determinante en este paso sea el WIP, ya que si realmente nos
encontramos en la “frontera” entre las dos zonas en las que se divide la superficie de
respuesta para el nivel de servicio medio, es de esperar que el valor de este no ofrezca
grandes variaciones.
En la tabla siguiente se muestran las simulaciones de las combinaciones que suman 18
tarjetas con sus correspondientes resultados:
K(0)
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
E
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Nivel de servicio medio
98,457
97,891
98,069
97,776
97,880
97,726
97,672
97,828
97,826
97,552
97,424
97,519
97,202
IC (99%) para el nivel de servicio
97,893<>99,021
97,395<>98,387
97,740<>98,398
97,385<>98,167
97,577<>98,183
97,322<>98,130
97,228<>98,116
97,450<>98,206
97,398<>98,254
97,181<>97,923
96,968<>97,880
97,067<>97,971
96,656<>97,748
WIP medio
18,002
17,626
17,408
17,171
17,330
17,439
17,660
17,798
17,790
17,776
17,804
17,909
17,905
Tabla 6.2. Resultados de las simulaciones en el segundo paso de la heurística propuesta.
En la tabla anterior se observa como las soluciones (9,9), (8,10), (7,11) y (6,12) no son
admisibles a no estar incluido en sus intervalos de confianza el valor del 98%. Esto nos
puede hacer pensar que sería necesario aumentar el número de observaciones a aquellas
que sus dos parámetros sumen 19 tarjetas para los casos donde el parámetro K (0) sea
igual a 9, 8, 7 y 6. Antes de tomar una decisión al respecto, observemos las siguientes
gráficas:
- 250 -
Nivel de Servicio medio
98,6
98,4
98,2
98
97,8
97,6
97,4
97,2
97
5
6
7
8
9
10
11 12
13
14
15
16
17
18
19
K(0)
Gráfica 6.4. Evolución del Nivel de Servicio medio a lo largo de las simulaciones del segundo paso de la
heurística propuesta.
18,1
18
WIP medio
17,9
17,8
17,7
17,6
17,5
17,4
17,3
17,2
17,1
5
6
7
8
9
10
11 12
13
14
15
16
17
18
19
K(0)
Gráfica 6.5. Evolución del WIP medio a lo largo de las simulaciones del segundo paso de la heurística
propuesta.
0,6
0,5
IC(99%)
0,4
0,3
0,2
0,1
0
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
K(0)
Gráfica 6.6. Evolución de los intervalos de confianza del Nivel de Servicio Medio a lo largo de las
simulaciones del segundo paso de la heurística propuesta.
- 251 -
Como esperábamos la gráfica que ofrece un resultado claro es la 6.5, en donde se
grafica el WIP frente al parámetro K (0). En ella se aprecia como claramente el
inventario en proceso es inferior para la combinación (15,3). En la gráfica 6.4 se
observa como el nivel de servicio aumenta ligeramente conforme lo hace el parámetro
K (0) a lo largo de la “trayectoria de las soluciones admisibles”, y en la gráfica 6.6 se
observa como los intervalos de confianza disminuyen ligeramente, en general,
conforme aumenta K (0) a lo largo de esta trayectoria. Hay que hacer notar que en todas
las gráficas anteriores el peor resultado en todas ellas lo ofrece la combinación (18,0),
correspondiente a un sistema Conwip tradicional.
Retomando las combinaciones (9,9), (8,10), (7,11) y (6,12), y teniendo en cuenta los
resultados obtenidos, llegamos a la conclusión de que en este caso no merece la pena
plantear nuevas observaciones. Sabemos por lo visto en la sección 5.4, que manteniendo
el parámetro K (0) fijo, si aumentamos el E, aumentamos el inventario en proceso. Esto
significa que, aunque muy probablemente las combinaciones (9,10), (8,11), (7,12) y
(6,13) van a ser admisibles, estas van a tener un inventario en proceso mayor y por
consiguiente no van a mejorar el correspondiente al de la combinación (15,3).
Cuando se lleve a cabo este segundo paso hay que tener presente que la “trayectoria de
las soluciones admisibles” es una dirección a seguir y no tiene por qué coincidir con una
hilera de puntos. Esto se puede observar en la sección 5.4, por ejemplo en la tabla 5.62 o
en la gráfica 5.31. Por esto no es de extrañar que en la hilera de puntos que cumplen que
la suma de sus parámetros es 18 tengamos soluciones admisibles y en un punto dado
empecemos a tenerlas en la hilera donde la suma vale 19. Por este motivo al hallar la
combinación (15,3) deberemos estudiar su vecindad ya que no tenemos seguridad de
haber encontrado el óptimo.
En el caso de estar estudiando un sistema, que al aplicar este segundo paso, obtengamos
resultados que ofrezcan dudas, si que sería necesario ampliar el número de
observaciones. En este caso, sería muy importante la información que ofrecen las
gráficas y el conocimiento de cómo se comportan, tanto el nivel de servicio medio como
el inventario proceso, según varían los parámetros K (0) y E.
Hallada la combinación (15,3), debemos estudiar su vecindad. Sabemos, por una parte,
que la superficie de respuesta para el nivel de servicio medio, una vez se llega a la
“trayectoria de las soluciones admisibles”, se asemeja a un plano ligeramente inclinado
que tiende hacia valores del 100% para el nivel de servicio medio, y por otra parte, la
superficie de respuesta para el inventario en proceso también se asemeja a un plano
inclinado en la zona de interés. Esto nos hace pensar que la metodología RSM puede
ofrecer muy buenos resultados si ajustamos sendos modelos en una región de
experimentación que esta situada en esta zona. Esta región ha de ser elegida teniendo
en cuenta una serie de condiciones, a saber:
•
La región de experimentación ha de estar limitada por la “trayectoria de las
soluciones admisibles” ya que si a ella pertenece algún punto de la zona de
pendiente pronunciada, el modelo ajustado recogerá esa información, en la cual
nosotros no estamos interesados. Creemos que el vértice con menores
- 252 -
parámetros K (0) y E, de la región de experimentación debería pertenecer a la
“trayectoria de las soluciones admisibles”. Así nos aseguramos que los modelos
recojan la información y se ajusten a la zona que realmente nos interesa. El
candidato para este vértice es la combinación hallada en el segundo paso.
Intentaremos escoger una región de experimentación amplia, con el fin de que en ella se
incluyan un mayor número de combinaciones. La idea es abarcar otras hileras de puntos
que puedan ofrecer una mejor solución a la hallada en el segundo paso. Pensamos que
una región de experimentación con un radio de dos tarjetas puede ser suficiente.
También pensamos que la forma de la región no tiene una especial relevancia,
pudiéndose emplear tanto regiones cuadradas como rectangulares. En los casos
estudiados anteriormente el incremento de K (0) y E ha sido uno el doble que el otro, es
decir, la región de experimentación ha sido rectangular. El los siguientes emplearemos
tanto regiones cuadradas como rectangulares.
Veamos este tercer paso aplicado a nuestro sistema. Decidimos que la región de
experimentación sea cuadra de radio dos y el punto con menores parámetros, K (0) y E,
el (15, 3). La región de experimentación queda:
Factor B
(15,7)
(19,3)
(17,5)
(15,3)
(19,3)
Factor A
Figura 6.1. Región de experimentación para el tercer paso de la heurística propuesta.
Los nuevos escenarios se muestran en las dos siguientes tablas. En la primera en
variables naturales y en la segunda en variables codificadas:
Escenario
1
2
3
4
5
K(0)
15
19
15
19
17
E
3
3
7
7
5
Tabla 6.3. Escenarios del tercer paso de la heurística propuesta en variables naturales.
- 253 -
Escenario
1
2
3
4
5
K(0)
-1
1
-1
1
0
E
-1
-1
1
1
0
Tabla 6.4. Escenarios del tercer paso de la heurística propuesta en variables codificadas.
Los resultados obtenidos en las simulaciones realizadas en estos escenarios han sido:
Escenario Nivel de servicio medio (%) STD Nivel de Servicio WIP medio STD WIP
1
97,776
0,391
17,171
0,305
2
98,700
0,340
19,962
0,463
3
98,214
0,312
19,995
0,626
4
98,921
0,253
20,948
1,019
5
98,527
0,232
19,876
0,839
Tabla 6.5. Resultados de las simulaciones de los escenarios del tercer paso de la heurística propuesta.
Primero se exponen los resultados obtenidos para el ajuste de un modelo para el nivel de
servicio medio y a continuación los obtenidos para el ajuste de un modelo para el
inventario en proceso medio.
Para el nivel de servicio medio el análisis de varianza obtenido se muestra en la tabla
6.6:
Termino Efectos SS Porcentaje g.d.l MSS
Fo
Fo Tablas
A
0,82 19,96
22,87
1
19,96 45,73
3,91
B
0,32
3,26
3,73
1
3,26 7,47
3,91
AB
-0,11
0,35
0,40
1
0,35 0,80
3,91
Error
63,72
73,00
146 0,44
Total
87,29
100,00
149
Tabla 6.6. Análisis de varianza para el nivel de servicio medio en el tercer paso de la heurística
propuesta.
Se observa como los efecto principales son significativos, mientras que la interacción de
ambos no lo es. El modelo ajusta es, en variables codificadas:
yˆ = 98.43 + 0.41x1 + 0.16 x2
- 254 -
y en variables naturales:
yˆ = 94.55 + 0.20ξ1 + 0.08ξ 2
La batería de pruebas encaminadas a demostrar la adecuación de modelo se exponen a
continuación. En la siguiente tabla se muestran las pruebas de la significación de los
coeficientes y la de falta de ajuste:
Termino
Modelo
Residual
(Falta de ajuste LOF)
(Error puro)
Total
SS
23,22
64,07
0,72
63,35
87,29
g.d.l
2
147
2
145
149
MSS
11,61
0,44
0,36
0,44
0,59
Fo
26,64
Fo Tablas
3,06
0,82
3,06
Tabla 6.7. Prueba de significación y de la falta de ajuste para el nivel de servicio medio en el tercer paso
de la heurística propuesta.
El modelo propuesto supera tanto la prueba de significación como la de la falta de
ajuste. En la tabla y gráficas siguientes se muestran los residuales y los resultados del
análisis gráfico de los residuales, respectivamente:
Respuestas
98,63
97,99
97,92
97,29
96,92
98,20
96,07
98,54
97,28
96,93
96,92
96,27
97,27
98,77
98,53
97,41
98,87
97,83
98,66
96,41
97,19
Predicción
97,85
97,85
97,85
97,85
97,85
97,85
97,85
97,85
97,85
97,85
97,85
97,85
97,85
97,85
97,85
97,85
97,85
97,85
97,85
97,85
97,85
- 255 -
Residuales
0,77
0,13
0,06
-0,57
-0,93
0,35
-1,78
0,68
-0,57
-0,93
-0,93
-1,59
-0,58
0,92
0,67
-0,45
1,01
-0,03
0,80
-1,45
-0,67
97,99
98,35
97,99
96,67
98,83
98,65
98,17
98,57
98,16
98,93
98,96
99,09
99,32
99,25
98,64
97,56
98,41
98,02
98,44
99,12
98,96
99,68
99,35
96,64
97,99
99,18
98,00
97,49
99,03
99,49
99,14
99,88
98,19
99,52
99,00
98,22
98,42
98,41
98,65
98,13
96,90
98,78
98,79
98,78
97,95
97,95
97,81
98,42
97,36
98,43
97,68
98,73
98,73
97,85
97,85
97,85
97,85
97,85
97,85
97,85
97,85
97,85
98,67
98,67
98,67
98,67
98,67
98,67
98,67
98,67
98,67
98,67
98,67
98,67
98,67
98,67
98,67
98,67
98,67
98,67
98,67
98,67
98,67
98,67
98,67
98,67
98,67
98,67
98,67
98,67
98,67
98,67
98,18
98,18
98,18
98,18
98,18
98,18
98,18
98,18
98,18
98,18
98,18
98,18
98,18
98,18
- 256 -
0,13
0,50
0,14
-1,19
0,98
0,80
0,32
0,72
0,31
0,26
0,29
0,42
0,65
0,58
-0,03
-1,11
-0,26
-0,65
-0,23
0,45
0,29
1,01
0,68
-2,03
-0,68
0,51
-0,67
-1,18
0,36
0,82
0,47
1,21
-0,48
0,85
0,33
-0,45
-0,25
-0,26
-0,02
-0,06
-1,29
0,59
0,60
0,59
-0,23
-0,23
-0,37
0,23
-0,83
0,25
-0,50
0,55
0,55
99,00
98,38
96,31
97,96
98,69
98,20
97,86
99,10
98,39
97,83
98,97
97,59
98,63
98,69
97,45
98,91
98,93
98,93
99,09
99,31
99,25
98,85
97,76
98,38
98,93
98,82
97,84
98,96
99,68
99,35
98,64
99,22
98,80
99,48
98,58
99,03
99,49
99,14
99,88
97,65
99,52
99,00
98,39
98,76
99,34
98,65
98,72
97,45
98,80
98,89
99,02
98,91
97,51
98,18
98,18
98,18
98,18
98,18
98,18
98,18
98,18
98,18
98,18
98,18
98,18
98,18
98,18
98,18
98,18
99,00
99,00
99,00
99,00
99,00
99,00
99,00
99,00
99,00
99,00
99,00
99,00
99,00
99,00
99,00
99,00
99,00
99,00
99,00
99,00
99,00
99,00
99,00
99,00
99,00
99,00
99,00
99,00
99,00
99,00
98,43
98,43
98,43
98,43
98,43
98,43
98,43
- 257 -
0,82
0,20
-1,87
-0,22
0,51
0,01
-0,32
0,92
0,21
-0,36
0,78
-0,59
0,45
0,51
-0,73
0,73
-0,07
-0,07
0,09
0,31
0,25
-0,15
-1,24
-0,62
-0,07
-0,18
-1,16
-0,04
0,68
0,35
-0,37
0,22
-0,20
0,48
-0,42
0,03
0,49
0,14
0,88
-1,35
0,52
0,00
-0,61
-0,24
0,34
-0,35
0,29
-0,98
0,38
0,47
0,59
0,48
-0,92
99,31
98,47
97,93
98,13
98,49
99,22
98,61
98,70
98,03
98,14
99,18
98,78
98,24
98,24
98,62
98,61
99,12
98,39
98,28
99,19
98,10
98,81
97,91
98,43
98,43
98,43
98,43
98,43
98,43
98,43
98,43
98,43
98,43
98,43
98,43
98,43
98,43
98,43
98,43
98,43
98,43
98,43
98,43
98,43
98,43
98,43
0,88
0,04
-0,50
-0,30
0,06
0,80
0,18
0,28
-0,40
-0,29
0,75
0,35
-0,18
-0,18
0,19
0,18
0,69
-0,04
-0,15
0,76
-0,33
0,38
-0,52
Tabla 6.8. Residuales para el nivel de servicio medio en el tercer paso de la heurística propuesta.
% de probabilidad normal
99
95
90
80
70
50
30
20
10
5
1
-2.03
-1.22
-0.41
0.40
1.21
Residuales
Gráfica 6.7. Probabilidad normal de los residuales para el nivel de servicio medio en el tercer paso de la
heurística propuesta.
- 258 -
2,50
Residuales
1,50
0,50
97,00
-0,50
98,00
99,00
-1,50
-2,50
Nivel de servicio m edio predicho
Gráfica 6.8. Residuales frente al nivel de servicio medio predicho en el tercer paso de la heurística
propuesta.
2,50
Residuales
1,50
0,50
-0,50
0
50
100
150
-1,50
-2,50
Orden de Realización de las Sim ulaciónes
Gráfica 6.9. Residuales frente al orden de realización de las simulaciones para el nivel de servicio medio
en el tercer paso de la heurística propuesta.
- 259 -
En la gráfica de la probabilidad normal los puntos siguen muy aproximadamente una
línea recta salvo en los extremos de ambas ramas. También se observa que puede haber
un ligero sesgo hacia los valores positivas de los residuales, ya que la rama de la
derecha es algo más amplia que la de la izquierda. Ninguno de los aspectos comentados
parece indicar que la distribución de los residuales se aparte de la condición de
normalidad. En las otras dos gráficas no se aprecia que los residuales sigan ningún
patrón que haga pensar que están relacionados con la salida o con el orden de
realización de las observaciones. El modelo ajustado para el nivel de servicio medio se
puede dar por adecuado.
Para el inventario en proceso medio el análisis de varianza obtenido se muestra en la
tabla siguiente:
Termino Efectos
SS
Porcentaje g.d.l MSS
Fo
Fo Tablas
A
1,88 105,12
18,69
1 105,12 47,48
3,91
B
1,90 108,87
19,35
1 108,87 49,17
3,91
AB
-0,92 25,33
4,50
1
25,33 11,44
3,91
Error
323,24
57,46
146 2,21
Total
562,56 100,00
149
Tabla 6.9.Análisis de varianza para el WIP en el tercer paso de la heurística propuesta.
En este caso tanto los factores principales como la interacción entre ambos resultan
significativos, por lo que el modelo ajustado en variables codificadas y naturales,
respectivamente, queda:
yˆ = 19.59 + 0.94 x1 + 0.95x2 − 0.49 x1 x2
yˆ = −0.51 + 1.04ξ1 + 2.43ξ 2 − 0.11ξ1ξ 2
.
Los resultados obtenidos para las pruebas de la significación de los coeficientes y la de
falta de ajuste se exponen el la siguiente tabla:
Termino
Modelo
Residual
(Falta de ajuste LOF)
(Error puro)
Total
SS
239,32
323,24
3,07
320,17
562,56
g.d.l
3
146
1
145
149
MSS
79,77
2,21
3,07
2,21
3,78
Fo
36,03
Fo Tablas
2,67
1,39
3,91
Tabla 6.10. Prueba de significación y de la falta de ajuste para el WIP en el tercer paso de la heurística
propuesta.
- 260 -
El modelo ajustado para el WIP supera las dos pruebas anteriores. Pasamos a realizar el
análisis grafico de los residuales.
Respuestas
17,34
16,46
17,06
16,77
17,81
17,67
16,92
17,24
15,95
16,93
17,43
17,86
17,89
16,99
17,08
15,97
17,50
16,93
16,65
17,90
17,94
17,86
15,53
16,57
17,53
17,79
17,77
16,69
17,25
17,84
19,00
19,10
19,42
20,09
19,00
21,21
20,88
19,99
21,16
19,71
20,04
19,00
19,00
19,00
21,38
21,09
Predicción
17,24
17,24
17,24
17,24
17,24
17,24
17,24
17,24
17,24
17,24
17,24
17,24
17,24
17,24
17,24
17,24
17,24
17,24
17,24
17,24
17,24
17,24
17,24
17,24
17,24
17,24
17,24
17,24
17,24
17,24
20,03
20,03
20,03
20,03
20,03
20,03
20,03
20,03
20,03
20,03
20,03
20,03
20,03
20,03
20,03
20,03
- 261 -
Residuales
0,10
-0,79
-0,19
-0,47
0,57
0,42
-0,32
0,00
-1,29
-0,31
0,19
0,62
0,64
-0,26
-0,16
-1,27
0,26
-0,31
-0,60
0,66
0,69
0,62
-1,71
-0,67
0,29
0,55
0,53
-0,55
0,00
0,60
-1,03
-0,94
-0,62
0,06
-1,03
1,18
0,84
-0,05
1,13
-0,32
0,01
-1,03
-1,03
-1,03
1,34
1,06
19,64
21,20
20,57
19,00
19,00
19,00
19,00
21,41
19,00
19,00
21,04
21,06
21,61
19,23
19,90
18,39
20,89
19,13
21,55
21,71
19,47
18,44
17,21
19,55
20,67
20,49
19,19
19,63
20,33
17,23
20,83
21,46
18,96
21,98
19,47
20,96
20,91
18,50
20,62
21,51
21,45
18,94
18,86
21,62
19,00
19,23
19,92
21,73
19,00
24,15
23,38
21,30
24,04
20,03
20,03
20,03
20,03
20,03
20,03
20,03
20,03
20,03
20,03
20,03
20,03
20,03
20,03
20,07
20,07
20,07
20,07
20,07
20,07
20,07
20,07
20,07
20,07
20,07
20,07
20,07
20,07
20,07
20,07
20,07
20,07
20,07
20,07
20,07
20,07
20,07
20,07
20,07
20,07
20,07
20,07
20,07
20,07
21,02
21,02
21,02
21,02
21,02
21,02
21,02
21,02
21,02
- 262 -
-0,39
1,16
0,54
-1,03
-1,03
-1,03
-1,03
1,38
-1,03
-1,03
1,01
1,03
1,57
-0,80
-0,16
-1,68
0,82
-0,94
1,48
1,64
-0,59
-1,62
-2,86
-0,52
0,60
0,43
-0,88
-0,44
0,26
-2,84
0,76
1,40
-1,11
1,91
-0,59
0,90
0,85
-1,56
0,55
1,45
1,39
-1,13
-1,21
1,56
-2,02
-1,79
-1,10
0,71
-2,02
3,13
2,36
0,28
3,02
20,72
23,51
19,00
19,00
19,00
20,65
22,32
20,30
20,93
22,70
19,00
19,00
19,00
19,00
23,31
19,00
19,00
23,75
23,81
20,08
19,58
21,48
20,80
21,85
20,44
21,10
17,00
21,28
19,61
22,00
17,00
18,83
21,86
17,75
21,49
18,42
20,90
18,85
17,55
21,84
22,00
19,05
20,83
20,92
17,42
17,00
21,45
19,72
19,07
21,55
17,21
21,02
21,02
21,02
21,02
21,02
21,02
21,02
21,02
21,02
21,02
21,02
21,02
21,02
21,02
21,02
21,02
21,02
21,02
21,02
21,02
21,02
19,59
19,59
19,59
19,59
19,59
19,59
19,59
19,59
19,59
19,59
19,59
19,59
19,59
19,59
19,59
19,59
19,59
19,59
19,59
19,59
19,59
19,59
19,59
19,59
19,59
19,59
19,59
19,59
19,59
19,59
-0,30
2,49
-2,02
-2,02
-2,02
-0,37
1,31
-0,72
-0,09
1,68
-2,02
-2,02
-2,02
-2,02
2,29
-2,02
-2,02
2,73
2,79
-0,94
-1,44
1,89
1,21
2,26
0,85
1,51
-2,59
1,69
0,02
2,41
-2,59
-0,76
2,27
-1,84
1,90
-1,17
1,31
-0,74
-2,04
2,25
2,41
-0,54
1,24
1,33
-2,17
-2,59
1,86
0,13
-0,52
1,96
-2,38
Tabla 6.11. Residuales para el WIP medio en el tercer paso de la heurística propuesta.
- 263 -
% de probabilidad normal
99
95
90
80
70
50
30
20
10
5
1
-2.86
0.82
-1.02
2.65
4.49
Residuales
Gráfica 6.10. Probabilidad normal de los residuales para el WIP medio en el tercer paso de la heurística
propuesta.
4,50
3,50
2,50
Residuales
1,50
0,50
-0,5017,00
18,00
19,00
20,00
21,00
22,00
-1,50
-2,50
-3,50
-4,50
WIP predicho
Gráfica 6.11. Residuales frente al WIP medio predicho en el tercer paso de la heurística propuesta.
- 264 -
4,50
3,50
2,50
Residuales
1,50
0,50
-0,50 0
50
100
150
-1,50
-2,50
-3,50
-4,50
Orden de Realización de las Sim ulaciónes
Gráfica 6.12. Residuales frente al orden de realización de las simulaciones para el WIP medio en el tercer
paso de la heurística propuesta.
En la gráfica de la distribución normal sigue aproximadamente una línea recta y en las
otras dos gráficas no se aprecia ningún patrón que haga pensar que el modelo no es
adecuado.
Estos dos modelos ajustados son una aproximación de las superficies de respuesta reales
por lo que los vamos a utilizar para buscar una combinación que se adecue a nuestros
deseos y compararla con la hallada en el segundo paso de la heurística propuesta. Cómo
ya hemos visto en las secciones 5.4 y 5.5, para la optimización multirespuesta se puede
emplear el método gráfico de la superposición de las gráficas de contornos o el método
de la función desirability. Nosotros proponemos usar este último pero usando una
modalidad basada en la primera variante propuesta por Myers y Montgomery. (Ver
sección 5.5). Esta modalidad emplea las respuestas predichas por los modelos ajustados
para hallar las funciones desirability, di, lo que presenta las siguientes ventajas:
− La primera es que al usar las respuestas predichas no es necesario realizar
simulaciones de la línea de producción.
− Para calcular las respuestas en la zona de interés y con ellas calcular las
funciones desirability, di, es una tarea que se realiza fácil y rápidamente,
implementando las ecuaciones en una hoja de cálculo del programa EXCEL.
− Los resultados resultan más fáciles de interpretar que usando el método gráfico
de la superposición de las gráficas de contornos. Hallar el valor máximo del
índice D, identificando a qué combinación pertenece con sólo mirar una matriz
- 265 -
construida con el programa EXCEL, es una tarea más rápida que interpretar dos
gráficas superpuestas.
La función desirability, d1, empleada para el nivel de servicio medio es del tipo de las
que se usa en el caso de intentar conseguir un valor determinado. En nuestro caso este
valor es el correspondiente a un nivel de servicio medio del 98%. Los límites de
aceptabilidad escogidos son el 96, como límite inferior, y de 99 como límite superior.
En general, la forma de escoger los límites de aceptabilidad depende de lo que
pretendamos buscar con el empleo de la función desirability. En este caso pretendemos
buscar un nivel de servio medio que se aproxime lo máximo posible al valor del 98%,
sin sobrepasarlo, por lo que no estamos interesados en valores muy superiores a este
valor. Para que el empleo de esta metodología sea efectiva es necesario que entre el
valor buscado y los límites de admisibilidad haya cierta distancia para que se puedan
recoger un mínimo de soluciones admisibles. En nuestro caso, y teniendo en cuenta el
tamaño de los intervalos de confianza para el nivel de servicio, creemos que una forma
apropiada de hallar los límites superior e inferior de admisibilidad es sumar una unidad
y restar dos al valor predeterminado, respectivamente.
La función d1 queda:
⎧
ˆ1 −96 ⎞s1
⎪⎛ y
⎟ 96 ≤ yˆ1 ≤ 98
⎪⎜
⎪ 98 −96 ⎠
d1 = ⎨⎝
⎪⎛ y
ˆ1 −99 ⎞t1
⎪⎜
⎟ 98 ≤ yˆ1 ≤ 99
⎪ 98 −99
⎠
⎩⎝
Para el WIP la función desirability, d2, escogida es del tipo usado en los casos en los
que se pretenden minimizar la respuesta. La combinación hallada en el segundo paso
tiene un WIP medio de 17,171, por lo que parece razonable escoger como límite inferior
un valor de 15 y como límite superior un valor de 19. La expresión de la función d2 es la
siguiente:
s2
d2
⎛ yˆ −19 ⎞
=⎜ 2
⎟
⎝ 15−19 ⎠
15 ≤ yˆ 2 ≤ 19
Las respuestas ŷ1 y ŷ2 se calculan a partir de los modelos ajustados, en variables
naturales, para el nivel de servicio medio y para el inventario en proceso medio
respectivamente. Este proceso se realiza en una hoja de cálculo del programa EXCEL,
mediante dos matrices, una por respuesta, donde las filas corresponden a los valores del
factor A (parámetro K (0)) y las columnas al factor B (parámetro E). A partir de estas
dos matrices se construyen tres más, una para la función d1, otra para la función d2 y
otra para el índice D. Este proceso apenas lleva unos minutos y, además, una vez
- 266 -
realizado, la actualización de la hoja de cálculo ante distintas combinaciones de los
pesos s1, t1 y s2 es inmediata. Para identificar el máximo valor que alcanza el índice D
en cada exploración, basta con restar a cada uno de los miembros de la matriz del índice
D el valor máximo alcanzado en esta, con lo que todos los valores son negativos
excepto el correspondiente al máximo que vale cero. La combinación que produce el
mayor índice D es la correspondiente a la fila y a la columna de la casilla en donde se
encuentra el cero.
En la realización de este cuarto paso obtendremos tantas combinaciones candidatas a ser
la óptimas como combinaciones de pesos planteemos. Consideramos que es suficiente
con la realización de sólo aquellas combinaciones que mejor reflejen los criterios de
búsqueda. Con tres o cuatro combinaciones, a lo sumo cinco, creemos que hay
suficiente.
Estas combinaciones se comparan con la hallada en el segundo paso, y de todas ellas
elegimos la que ofrezca una solución admisible con el menor inventario en proceso. El
método no asegura la consecución de la combinación óptima, pero creemos que
proporciona una solución bastante próxima a la buscada, con la que el sistema funciona
adecuadamente.
La primera de las operaciones que forman parte de este paso, aplicadas al sistema objeto
de estudio, es la de construir las matrices de respuesta calculadas a partir de los modelos
ajustados:
Respuesta
Nivel de servicio medio
WIP medio
Modelo ajustado
yˆ1 = 94.55 + 0.20ξ1 + 0.08ξ 2
yˆ 2 = −0.51 + 1.04ξ1 + 2.43ξ 2 − 0.11ξ1ξ 2
Tabla 6.12. Modelos ajustados usados en el cuarto paso de la heurística propuesta.
Las matrices construidas a partir de estos modelos sólo dependen de las variables
naturales ξ1 (parámetro K (0)) y ξ 2 (parámetro E) por lo que van ser las mismas para
cada combinación de los pesos s1, t1 y s2. Las matrices obtenidas son:
- 267 -
K(0)
6
5
4
96,06
95,85
95,65
95,45
1
96,35
96,14
95,94
95,73
95,53
2
96,43
96,22
96,02
95,82
95,61
3
96,51
96,31
96,10
95,90
95,69
4
96,59
96,39
96,18
95,98
95,78
5
96,67
96,47
96,27
96,06
95,86
6
96,76
96,55
96,35
96,15
95,94
7
96,84
96,64
96,43
96,23
96,02
8
97,13
96,92
96,72
96,51
96,31
96,11
9
97,21
97,00
96,80
96,60
96,39
96,19
10
97,29
97,09
96,88
96,68
96,48
96,27
11
97,37
97,17
96,97
96,76
96,56
96,35
12
97,46
97,25
97,05
96,84
96,64
96,44
13
- 268 -
Ŷ1, Nivel de servicio Medio
7
96,26
97,04
E
8
96,96
97,86
96,88
97,78
98,07
96,80
97,70
97,99
98,27
96,71
97,62
97,90
98,19
98,48
96,63
97,53
97,82
98,11
98,39
98,68
96,55
97,45
97,74
98,02
98,31
98,60
98,88
96,47
97,37
97,66
97,94
98,23
98,51
98,80
99,09
9
97,29
97,57
97,86
98,15
98,43
98,72
99,00
99,29
97,66
97,20
97,49
97,78
98,06
98,35
98,64
98,92
99,21
99,49
97,58
97,12
97,41
97,69
97,98
98,27
98,55
98,84
99,13
99,41
97,49
97,04
97,33
97,61
97,90
98,18
98,47
98,76
99,04
99,33
97,41
96,96
97,24
97,53
97,82
98,10
98,39
98,67
98,96
99,25
97,33
96,87
97,16
97,45
97,73
98,02
98,31
98,59
98,88
99,17
97,25
11
97,08
97,36
97,65
97,94
98,22
98,51
98,80
99,08
97,17
12
97,28
97,57
97,85
98,14
98,43
98,71
99,00
97,08
13
97,49
97,77
98,06
98,35
98,63
98,92
97,00
14
97,69
97,98
98,26
98,55
98,84
96,92
15
97,89
98,18
98,47
98,75
96,84
16
98,10
98,38
98,67
96,75
17
98,30
98,59
96,67
18
98,51
10
19
Tabla 6.13. Nivel de Servicio medio ajustado en el cuarto paso de la heurística propuesta.
K(0)
6
5
4
8,41
7,48
6,56
5,63
1
10,85
10,04
9,22
8,41
7,60
2
12,36
11,66
10,96
10,27
9,57
3
13,87
13,29
12,70
12,12
11,54
4
15,38
14,91
14,44
13,97
13,51
5
16,89
16,54
16,18
15,83
15,48
6
18,40
18,16
17,92
17,68
17,45
7
19,91
19,78
19,66
19,54
19,41
8
21,43
21,42
21,41
21,40
21,39
21,38
9
22,82
22,93
23,03
23,14
23,25
23,35
10
24,22
24,44
24,66
24,88
25,10
25,32
11
25,61
25,95
26,28
26,62
26,96
27,29
12
27,01
27,46
27,91
28,36
28,81
29,26
13
- 269 -
Ŷ2, WIP Medio
7
9,34
20,03
E
8
18,64
26,11
17,24
24,94
25,65
15,85
23,77
24,60
25,20
14,45
22,61
23,55
24,27
24,75
13,06
21,44
22,50
23,33
23,93
24,30
11,66
20,28
21,45
22,40
23,11
23,60
23,85
10,27
19,11
20,40
21,46
22,29
22,89
23,26
23,40
9
17,95
19,35
20,53
21,47
22,18
22,67
22,92
22,95
26,56
16,78
18,30
19,59
20,65
21,48
22,08
22,45
22,59
22,50
25,28
15,62
17,25
18,65
19,83
20,77
21,49
21,97
22,23
22,25
24,00
14,45
16,20
17,72
19,01
20,07
20,90
21,49
21,86
22,00
22,72
13,29
15,15
16,78
18,19
19,36
20,30
21,02
21,50
21,76
21,44
12,12
14,10
15,85
17,37
18,65
19,71
20,54
21,14
21,51
20,15
11
13,05
14,91
16,54
17,95
19,12
20,07
20,78
21,27
18,87
12
13,98
15,72
17,24
18,53
19,59
20,42
21,02
17,59
13
14,90
16,54
17,94
19,11
20,06
20,77
16,31
14
15,83
17,35
18,64
19,70
20,53
15,03
15
16,76
18,16
19,34
20,28
13,75
16
17,69
18,97
20,03
12,47
17
18,61
19,79
11,19
18
19,54
10
19
Tabla 6.14. WIP medio ajustado en el cuarto paso de la heurística propuesta.
Una vez se tienen las matrices de respuesta hay que decidir qué combinaciones de pesos
se estudian. En nuestro caso se parte de la combinación (s1=1, t1=1, s2=1), que como se
vio en la sección 5.5 es la que le da una importancia moderada a cada uno de los
objetivos a alcanzar por las funciones d1 y d2. Después se repite el proceso para una
combinación (s1=1, t1=10, s2=1), en la que se exige que el nivel de servicio medio
aceptable prácticamente no supere el valor determinado, que en nuestro caso es el 98%.
A esta combinación le sucede la (s1=10, t1=10, s2=1) en donde se exige que el nivel de
servicio medio aceptable sea prácticamente el 98% en todos los casos. Esta serie de
experimentos finaliza con la combinación (s1=5, t1=8, s2=5) en donde se pide que el
nivel de servicio medio aceptable este próximo al 98%, pero no de una manera tan
fuerte como antes, y que el inventario en proceso aceptable este bastante próximo al
limite inferior.
Las matrices correspondientes a las funciones desirability, d1, d2 y al índice D, para la
combinación (s1=1, t1=1, s2=1), son las siguientes:
- 270 -
K(0)
6
5
4
0,03
0,00
0,00
0,00
1
0,17
0,07
0,00
0,00
0,00
2
0,21
0,11
0,01
0,00
0,00
3
0,25
0,15
0,05
0,00
0,00
4
0,30
0,19
0,09
0,00
0,00
5
0,34
0,24
0,13
0,03
0,00
6
0,38
0,28
0,17
0,07
0,00
7
0,42
0,32
0,22
0,11
0,01
8
0,56
0,46
0,36
0,26
0,16
0,05
9
0,60
0,50
0,40
0,30
0,20
0,09
10
0,65
0,54
0,44
0,34
0,24
0,14
11
0,69
0,58
0,48
0,38
0,28
0,18
12
0,73
0,63
0,52
0,42
0,32
0,22
13
- 271 -
Función Desirability, d1
7
0,13
0,52
E
8
0,48
0,93
0,44
0,89
0,93
0,40
0,85
0,99
0,73
0,36
0,81
0,95
0,81
0,52
0,32
0,77
0,91
0,89
0,61
0,32
0,27
0,73
0,87
0,98
0,69
0,40
0,12
0,23
0,68
0,83
0,97
0,77
0,49
0,20
0,00
9
0,64
0,79
0,93
0,85
0,57
0,28
0,00
0,00
0,83
0,60
0,75
0,89
0,94
0,65
0,36
0,08
0,00
0,00
0,79
0,56
0,70
0,85
0,99
0,73
0,45
0,16
0,00
0,00
0,75
0,52
0,66
0,81
0,95
0,82
0,53
0,24
0,00
0,00
0,71
0,48
0,62
0,76
0,91
0,90
0,61
0,33
0,04
0,00
0,66
0,44
0,58
0,72
0,87
0,98
0,69
0,41
0,12
0,00
0,62
11
0,54
0,68
0,83
0,97
0,78
0,49
0,20
0,00
0,58
12
0,64
0,78
0,93
0,86
0,57
0,29
0,00
0,54
13
0,74
0,89
0,94
0,65
0,37
0,08
0,50
14
0,84
0,99
0,74
0,45
0,16
0,46
15
0,95
0,82
0,53
0,25
0,42
16
0,90
0,62
0,33
0,38
17
0,70
0,41
0,34
18
0,49
10
19
Tabla 6.15. Función Desirability, d1, en el cuarto paso de la heurística propuesta para los pesos (s1=1, t1=1, s2=1).
K(0)
6
5
4
1,00
1,00
1,00
1,00
1
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
2
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
3
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
4
0,91
1,00
1,00
1,00
1,00
5
0,53
0,62
0,70
0,79
0,88
6
0,15
0,21
0,27
0,33
0,39
7
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
8
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
9
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
10
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
11
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
12
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
13
- 272 -
Función Desirability, d2
7
1,00
0,00
E
8
0,09
0,00
0,44
0,00
0,00
0,79
0,00
0,00
0,00
1,00
0,00
0,00
0,00
0,00
1,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
1,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
1,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
9
0,26
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,55
0,17
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,85
0,44
0,09
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
1,00
0,70
0,32
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
1,00
0,96
0,55
0,20
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
1,00
1,00
0,79
0,41
0,09
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
11
1,00
1,00
0,61
0,26
0,00
0,00
0,00
0,00
0,03
12
1,00
0,82
0,44
0,12
0,00
0,00
0,00
0,35
13
1,00
0,62
0,27
0,00
0,00
0,00
0,67
14
0,79
0,41
0,09
0,00
0,00
0,99
15
0,56
0,21
0,00
0,00
1,00
16
0,33
0,01
0,00
1,00
17
0,10
0,00
1,00
18
0,00
10
19
Tabla 6.16. Función Desirability, d2, en el cuarto paso de la heurística propuesta para los pesos (s1=1, t1=1, s2=1).
K(0)
6
5
4
0,17
0,00
0,00
0,00
1
0,42
0,27
0,00
0,00
0,00
2
0,46
0,33
0,10
0,00
0,00
3
0,50
0,39
0,23
0,00
0,00
4
0,52
0,44
0,30
0,00
0,00
5
0,42
0,38
0,31
0,16
0,00
6
0,24
0,24
0,22
0,15
0,00
7
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
8
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
9
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
10
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
11
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
12
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
13
- 273 -
Índice D
7
0,36
0,00
E
8
0,21
0,00
0,44
0,00
0,00
0,56
0,00
0,00
0,00
0,60
0,00
0,00
0,00
0,00
0,56
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,52
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,48
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
9
0,41
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,58
0,36
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,69
0,55
0,27
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,72
0,68
0,51
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,69
0,77
0,65
0,43
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,66
0,76
0,76
0,60
0,29
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
11
0,73
0,83
0,71
0,50
0,00
0,00
0,00
0,00
0,14
12
0,80
0,80
0,64
0,32
0,00
0,00
0,00
0,44
13
0,86
0,74
0,50
0,00
0,00
0,00
0,58
14
0,82
0,64
0,26
0,00
0,00
0,67
15
0,73
0,41
0,00
0,00
0,65
16
0,54
0,06
0,00
0,61
17
0,26
0,00
0,58
18
0,00
10
19
Tabla 6.17. Índice D, en el cuarto paso de la heurística propuesta para los pesos (s1=1, t1=1, s2=1).
En esta última tabla se observa como el mayor valor le corresponde a la pareja (14,1),
por lo que para esta combinación de pesos esta es la combinación de parámetros que se
compara con la hallada en el segundo paso de la heurística.
Para la combinación de pesos (s1=1, t1=10, s2=1), los resultados son:
- 274 -
K(0)
6
5
4
0,03
0,00
0,00
0,00
1
0,17
0,07
0,00
0,00
0,00
2
0,21
0,11
0,01
0,00
0,00
3
0,25
0,15
0,05
0,00
0,00
4
0,30
0,19
0,09
0,00
0,00
5
0,34
0,24
0,13
0,03
0,00
6
0,38
0,28
0,17
0,07
0,00
7
0,42
0,32
0,22
0,11
0,01
8
0,56
0,46
0,36
0,26
0,16
0,05
9
0,60
0,50
0,40
0,30
0,20
0,09
10
0,65
0,54
0,44
0,34
0,24
0,14
11
0,69
0,58
0,48
0,38
0,28
0,18
12
0,73
0,63
0,52
0,42
0,32
0,22
13
- 275 -
Función Desirability, d1
7
0,13
0,52
E
8
0,48
0,93
0,44
0,89
0,50
0,40
0,85
0,99
0,04
0,36
0,81
0,95
0,12
0,00
0,32
0,77
0,91
0,32
0,01
0,00
0,27
0,73
0,87
0,78
0,02
0,00
0,00
0,23
0,68
0,83
0,97
0,08
0,00
0,00
0,00
9
0,64
0,79
0,93
0,21
0,00
0,00
0,00
0,00
0,83
0,60
0,75
0,89
0,52
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,79
0,56
0,70
0,85
0,99
0,04
0,00
0,00
0,00
0,00
0,75
0,52
0,66
0,81
0,95
0,13
0,00
0,00
0,00
0,00
0,71
0,48
0,62
0,76
0,91
0,34
0,01
0,00
0,00
0,00
0,66
0,44
0,58
0,72
0,87
0,82
0,03
0,00
0,00
0,00
0,62
11
0,54
0,68
0,83
0,97
0,08
0,00
0,00
0,00
0,58
12
0,64
0,78
0,93
0,22
0,00
0,00
0,00
0,54
13
0,74
0,89
0,55
0,01
0,00
0,00
0,50
14
0,84
0,99
0,05
0,00
0,00
0,46
15
0,95
0,14
0,00
0,00
0,42
16
0,36
0,01
0,00
0,38
17
0,03
0,00
0,34
18
0,00
10
19
Tabla 6.18. Función Desirability, d1, en el cuarto paso de la heurística propuesta para los pesos (s1=1, t1=10, s2=1).
K(0)
6
5
4
1,00
1,00
1,00
1,00
1
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
2
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
3
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
4
0,91
1,00
1,00
1,00
1,00
5
0,53
0,62
0,70
0,79
0,88
6
0,15
0,21
0,27
0,33
0,39
7
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
8
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
9
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
10
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
11
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
12
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
13
- 276 -
Función Desirability, d2
7
1,00
0,00
E
8
0,09
0,00
0,44
0,00
0,00
0,79
0,00
0,00
0,00
1,00
0,00
0,00
0,00
0,00
1,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
1,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
1,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
9
0,26
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,55
0,17
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,85
0,44
0,09
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
1,00
0,70
0,32
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
1,00
0,96
0,55
0,20
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
1,00
1,00
0,79
0,41
0,09
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
11
1,00
1,00
0,61
0,26
0,00
0,00
0,00
0,00
0,03
12
1,00
0,82
0,44
0,12
0,00
0,00
0,00
0,35
13
1,00
0,62
0,27
0,00
0,00
0,00
0,67
14
0,79
0,41
0,09
0,00
0,00
0,99
15
0,56
0,21
0,00
0,00
1,00
16
0,33
0,01
0,00
1,00
17
0,10
0,00
1,00
18
0,00
10
19
Tabla 6.19. Función Desirability, d2, en el cuarto paso de la heurística propuesta para los pesos (s1=1, t1=10, s2=1).
K(0)
6
5
4
0,17
0,00
0,00
0,00
1
0,42
0,27
0,00
0,00
0,00
2
0,46
0,33
0,10
0,00
0,00
3
0,50
0,39
0,23
0,00
0,00
4
0,52
0,44
0,30
0,00
0,00
5
0,42
0,38
0,31
0,16
0,00
6
0,24
0,24
0,22
0,15
0,00
7
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
8
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
9
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
10
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
11
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
12
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
13
- 277 -
Índice D
7
0,36
0,00
E
8
0,21
0,00
0,44
0,00
0,00
0,56
0,00
0,00
0,00
0,60
0,00
0,00
0,00
0,00
0,56
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,52
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,48
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
9
0,41
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,58
0,36
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,69
0,55
0,27
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,72
0,68
0,51
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,69
0,77
0,65
0,43
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,66
0,76
0,76
0,60
0,27
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
11
0,73
0,83
0,71
0,50
0,00
0,00
0,00
0,00
0,14
12
0,80
0,80
0,64
0,16
0,00
0,00
0,00
0,44
13
0,86
0,74
0,38
0,00
0,00
0,00
0,58
14
0,82
0,64
0,07
0,00
0,00
0,67
15
0,73
0,17
0,00
0,00
0,65
16
0,34
0,01
0,00
0,61
17
0,05
0,00
0,58
18
0,00
10
19
Tabla 6.20. Índice D, en el cuarto paso de la heurística propuesta para los pesos (s1=1, t1=10, s2=1).
Para esta combinación de pesos la combinación de parámetros con mayor índice D
vuelve a ser la misma, la pareja (14, 1).
Veamos lo sucedido para (s1=10, t1=10, s2=1):
K(0)
6
5
4
0,00
0,00
0,00
0,00
1
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
2
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
3
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
4
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
5
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
6
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
7
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
8
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
9
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
10
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
11
0,02
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
12
0,04
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
13
- 278 -
Función Desirability, d1
7
0,00
0,00
E
8
0,00
0,49
0,00
0,31
0,50
0,00
0,20
0,93
0,04
0,00
0,12
0,61
0,12
0,00
0,00
0,07
0,39
0,32
0,01
0,00
0,00
0,04
0,25
0,78
0,02
0,00
0,00
0,00
0,02
0,15
0,74
0,08
0,00
0,00
0,00
9
0,01
0,09
0,48
0,21
0,00
0,00
0,00
0,00
0,15
0,01
0,05
0,31
0,52
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,09
0,00
0,03
0,19
0,91
0,04
0,00
0,00
0,00
0,00
0,05
0,00
0,02
0,12
0,59
0,13
0,00
0,00
0,00
0,00
0,03
0,00
0,01
0,07
0,38
0,34
0,01
0,00
0,00
0,00
0,02
0,00
0,00
0,04
0,24
0,82
0,03
0,00
0,00
0,00
0,01
11
0,00
0,02
0,15
0,73
0,08
0,00
0,00
0,00
0,00
12
0,01
0,09
0,47
0,22
0,00
0,00
0,00
0,00
13
0,05
0,30
0,55
0,01
0,00
0,00
0,00
14
0,19
0,89
0,05
0,00
0,00
0,00
15
0,58
0,14
0,00
0,00
0,00
16
0,36
0,01
0,00
0,00
17
0,03
0,00
0,00
18
0,00
10
19
Tabla 6.21. Función Desirability, d1, en el cuarto paso de la heurística propuesta para los pesos (s1=10, t1=10, s2=1).
K(0)
6
5
4
1,00
1,00
1,00
1,00
1
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
2
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
3
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
4
0,91
1,00
1,00
1,00
1,00
5
0,53
0,62
0,70
0,79
0,88
6
0,15
0,21
0,27
0,33
0,39
7
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
8
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
9
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
10
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
11
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
12
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
13
- 279 -
Función Desirability, d2
7
1,00
0,00
E
8
0,09
0,00
0,44
0,00
0,00
0,79
0,00
0,00
0,00
1,00
0,00
0,00
0,00
0,00
1,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
1,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
1,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
9
0,26
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,55
0,17
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,85
0,44
0,09
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
1,00
0,70
0,32
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
1,00
0,96
0,55
0,20
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
1,00
1,00
0,79
0,41
0,09
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
11
1,00
1,00
0,61
0,26
0,00
0,00
0,00
0,00
0,03
12
1,00
0,82
0,44
0,12
0,00
0,00
0,00
0,35
13
1,00
0,62
0,27
0,00
0,00
0,00
0,67
14
0,79
0,41
0,09
0,00
0,00
0,99
15
0,56
0,21
0,00
0,00
1,00
16
0,33
0,01
0,00
1,00
17
0,10
0,00
1,00
18
0,00
10
19
Tabla 6.22. Función Desirability, d2, en el cuarto paso de la heurística propuesta para los pesos (s1=10, t1=10, s2=1).
K(0)
6
5
4
0,00
0,00
0,00
0,00
1
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
2
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
3
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
4
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
5
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
6
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
7
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
8
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
9
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
10
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
11
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
12
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
13
En esta ocasión la pareja correspondiente al mayor índice D es la (16,2).
- 280 -
Índice D
7
0,00
0,00
E
8
0,01
0,00
0,01
0,00
0,00
0,01
0,00
0,00
0,00
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
9
0,06
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,06
0,10
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,05
0,11
0,13
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,04
0,11
0,19
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,03
0,09
0,19
0,28
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,02
0,07
0,18
0,31
0,27
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
11
0,05
0,15
0,30
0,44
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
12
0,11
0,27
0,45
0,16
0,00
0,00
0,00
0,03
13
0,23
0,43
0,38
0,00
0,00
0,00
0,03
14
0,38
0,61
0,07
0,00
0,00
0,02
15
0,57
0,17
0,00
0,00
0,01
16
0,34
0,01
0,00
0,01
17
0,05
0,00
0,00
18
0,00
10
19
Tabla 6.23. Índice D, en el cuarto paso de la heurística propuesta para los pesos (s1=10, t1=10, s2=1).
Por último, para la combinación (s1=5, t1=8, s2=5), se obtiene:
K(0)
6
5
4
0,00
0,00
0,00
0,00
1
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
2
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
3
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
4
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
5
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
6
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
7
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
8
0,06
0,02
0,01
0,00
0,00
0,00
9
0,08
0,03
0,01
0,00
0,00
0,00
10
0,11
0,05
0,02
0,00
0,00
0,00
11
0,15
0,07
0,03
0,01
0,00
0,00
12
0,20
0,10
0,04
0,01
0,00
0,00
13
- 281 -
Función Desirability, d1
7
0,00
0,04
E
8
0,03
0,70
0,02
0,56
0,57
0,01
0,44
0,96
0,08
0,01
0,34
0,78
0,19
0,01
0,00
0,27
0,62
0,41
0,02
0,00
0,00
0,20
0,50
0,82
0,05
0,00
0,00
0,00
0,15
0,39
0,86
0,13
0,00
0,00
0,00
9
0,11
0,30
0,69
0,28
0,01
0,00
0,00
0,00
0,39
0,08
0,23
0,55
0,59
0,03
0,00
0,00
0,00
0,00
0,31
0,06
0,17
0,44
0,95
0,08
0,00
0,00
0,00
0,00
0,23
0,04
0,13
0,34
0,77
0,20
0,01
0,00
0,00
0,00
0,18
0,03
0,09
0,26
0,62
0,42
0,02
0,00
0,00
0,00
0,13
0,02
0,07
0,20
0,49
0,85
0,05
0,00
0,00
0,00
0,09
11
0,05
0,15
0,38
0,85
0,13
0,00
0,00
0,00
0,07
12
0,11
0,30
0,69
0,30
0,01
0,00
0,00
0,05
13
0,23
0,55
0,62
0,03
0,00
0,00
0,03
14
0,43
0,94
0,09
0,00
0,00
0,02
15
0,76
0,20
0,01
0,00
0,01
16
0,44
0,02
0,00
0,01
17
0,06
0,00
0,00
18
0,00
10
19
Tabla 6.24. Función Desirability, d1, en el cuarto paso de la heurística propuesta para los pesos (s1=5, t1=8, s2=5).
K(0)
6
5
4
1,00
1,00
1,00
1,00
1
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
2
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
3
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
4
0,61
1,00
1,00
1,00
1,00
5
0,04
0,09
0,17
0,31
0,53
6
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
7
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
8
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
9
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
10
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
11
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
12
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
13
- 282 -
Función Desirability, d2
7
1,00
0,00
E
8
0,00
0,00
0,02
0,00
0,00
0,30
0,00
0,00
0,00
1,00
0,00
0,00
0,00
0,00
1,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
1,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
1,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
9
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,05
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,43
0,02
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
1,00
0,17
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
1,00
0,83
0,05
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
1,00
1,00
0,30
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
11
1,00
1,00
0,09
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
12
1,00
0,37
0,02
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
13
1,00
0,09
0,00
0,00
0,00
0,00
0,14
14
0,31
0,01
0,00
0,00
0,00
0,96
15
0,06
0,00
0,00
0,00
1,00
16
0,00
0,00
0,00
1,00
17
0,00
0,00
1,00
18
0,00
10
19
Tabla 6.25. Función Desirability, d2, en el cuarto paso de la heurística propuesta para los pesos (s1=5, t1=8, s2=5).
K(0)
6
5
4
0,00
0,00
0,00
0,00
1
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
2
0,02
0,00
0,00
0,00
0,00
3
0,03
0,01
0,00
0,00
0,00
4
0,04
0,02
0,00
0,00
0,00
5
0,02
0,01
0,01
0,00
0,00
0,00
6
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
7
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
8
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
9
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
10
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
11
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
12
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
13
El mayor índice D se vuelve a encontrar para la pareja (14,1).
- 283 -
Índice D
7
0,01
0,06
E
8
0,08
0,00
0,06
0,00
0,00
0,04
0,00
0,00
0,00
0,03
0,00
0,00
0,00
0,00
9
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,06
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,15
0,05
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,19
0,15
0,03
0,00
0,00
0,00
0,00
0,16
0,28
0,12
0,01
0,00
0,00
0,02
0,13
0,26
0,25
0,07
0,00
0,00
0,07
11
0,21
0,38
0,18
0,03
0,00
0,14
12
0,33
0,33
0,11
0,00
0,11
13
0,48
0,22
0,03
0,09
14
0,37
0,11
0,07
15
0,21
10
16
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,00
0,00
0,04
18
0,00
17
19
Tabla 6.26. Índice D, en el cuarto paso de la heurística propuesta para los pesos (s1=5, t1=8, s2=5).
Recopilando las combinaciones con mayor índice D encontrados en esta fase de la
heurística, tenemos que se han encontrado dos candidatas a ser la combinación elegida,
la (14,1) y la (16,2). La simulación de la (16,2) ya se realizó en el segundo paso. Ahora
realizamos la simulación de la (14,1). En la tabla siguiente se muestran las tres con sus
correspondientes datos de interés:
K(0)
14
15
16
E
1
3
2
Nivel de servicio medio
95.042
97,776
98,069
IC (99%) para el nivel de servicio
94,081<>96,003
97,385<>98,167
97,740<>98,398
WIP medio
14.931
17,171
17,408
Tabla 6.27. Comparativa de soluciones candidatas.
En la tabla 6.27 se puede ver como de las dos combinaciones obtenidas en el cuarto
paso de la heurística, la que es admisible es la que se ha obtenido con la combinación de
pesos más exigente. Esto esta en consonancia con los resultados obtenidos en la sección
5.5. Por otro lado, esta combinación ya la habíamos tenido en cuenta en el segundo
paso, donde resulto elegida la combinación (15,3) al tener esta menor inventario en
proceso medio. No obstante, la combinación (16,2) no sería mala solución de ser
elegida, aunque la (15,3) es algo mejor.
En la sección 5.4 se realizo la búsqueda exhaustiva en prácticamente todo el espacio de
soluciones y se encontró que la combinación óptima es la (15,3). En esta ocasión la
heurística ha proporcionado la mejor de las soluciones, pero nosotros creemos que no
siempre va ha ser así cuando la apliquemos a otros sistemas operando en otras
condiciones. Creemos, no obstante, que proporcionara una buena solución realizando un
número bajo de simulaciones. En nuestro caso, el número de simulaciones empleadas al
aplicar la heurística ha sido de 33, frente a las 200 de la búsqueda exhaustiva o las 53
que se emplearon en la sección 5.5 empleando sólo el método de la función desirability.
A modo de resumen, los pasos de la heurística propuesta se exponen a continuación:
1. Consideramos el sistema como si fuese un sistema Conwip tradicional y
simulamos todos los casos hasta encontrar una solución admisible, que será
aquella que en su intervalo de confianza para el nivel de servicio primero
contenga el valor del 98%. Conviene partir de un número razonablemente bajo
de tarjetas. Se construyen la gráficas del nivel de servicio medio e intervalo de
confianza para el nivel de servicio frente al número de tarjetas, para tener un
conocimiento más preciso del comportamiento del sistema.
2. Se simulan todas las combinaciones de parámetros K (0) y E, cuya suma sea
igual al número de tarjetas del sistema Conwip tradicional encontrado en el paso
1. Construir las gráficas del nivel de servicio medio, inventario en proceso
medio e intervalo de confianza para el nivel de servicio frente al parámetro K (0)
con objeto de comprobar el comportamiento del sistema. Se elige la
combinación con menor inventario en proceso, teniendo la precaución de que
sea una solución admisible.
- 284 -
3. Se estudia la vecindad de la solución hallada aplicando la metodología RSM,
ajustando sendo modelos para el nivel de servicio medio y el inventario en
proceso medio. La región de experimentación ha de elegirse de forma que el
vértice con menor valor para los parámetros K (0) y E sea la combinación
hallada en el paso 2. Se recomienda que la región de experimentación sea
amplia.
4. Utilizar el método de la función desirability para encontrar soluciones
candidatas. Construir las funciones desirability d1, para el nivel de servicio
medio, y d2 para el inventario en proceso. Las respuestas a emplear en su
construcción son las respuestas de los modelos ajustados para el nivel de
servicio medio y el inventario en proceso medio hallados en el paso 3. La
función d1 ha de ser del tipo usado para encontrar soluciones que tiendan a un
valor determinado y la función d2 ha de ser del tipo usado para minimizar las
soluciones. Se plantean diferentes combinaciones de pesos y se comparan las
soluciones halladas con la que se obtuvo en el paso 2. Se escogerá aquella que,
siendo admisible, tenga menor WIP.
Esto expresado en forma de esquema:
Heurística Propuesta
Considerar el sistema como un Conwip tradicional.
Para la primera solución admisible hacer Nº de tarjetas=cte.
Construir gráficas del nivel de servicio medio e intervalo de confianza.
Simular todas las combinaciones tales que K (0) + E = cte y elegir aquella
admisible con menor WIP.
Construir las gráficas del nivel de servicio medio, inventario en proceso medio
e intervalo de confianza para el nivel de servicio frente al parámetro K (0).
Estudiar la vecindad de la solución hallada aplicando la metodología RSM
Utilizar el método de la función desirability para encontrar soluciones candidatas.
Figura 6.2. Esquema de la heurística propuesta.
- 285 -
CAPÍTULO 7:
EXPERIMENTO DE CONFIRMACIÓN
- 286 -
En este capítulo vamos comprobar la validez de la heurística propuesta en capítulo seis,
aplicándola a un sistema diferente operando en un entorno distinto al empleado en todos
los experimentos que se han llevado a cabo en los capítulos anteriores.
Al proponer una heurística que nos permita determinar los parámetros K (0) y E que
gobiernan un sistema de producción PS, una de las características perseguidas es que
sea aplicable a la mayor variedad de situaciones, por esta razón, el experimento que se
ha diseñado para comprobar su validez debe de ser sustancialmente distinto.
Se consideran las mismas hipótesis presentadas en la sección 3.3, excepto que la línea es
equilibrada. En este caso el tiempo de proceso de las máquinas que componen la línea
de producción no es el mismo para cada una de ellas. En la literatura no queda claro si
un sistema pull equilibrado mejora o no, a uno desequilibrado. Por ejemplo, Sarker y
Harris, 1988, y Gupta y Gupta, 1989, mostraron que un sistema equilibrado ofrece
mejores ratios de salida que uno no equilibrado, mientras que Villeda et al, 1988,
mostraron lo contrario. Esto hace que el hecho de emplear un sistema no equilibrado en
el experimento de confirmación sea de interés. En la bibliografía se definen diferentes
patrones de desequilibrio (Hillier y Boling, 1966), entre los que encontramos el
denominado Bowl, donde las dos últimas máquinas tienen los tiempos de proceso más
elevados, el Funnel, donde los tiempos de proceso se acortan conforme se avanza en la
estación y el Reversed Funnel, en el que los tiempos de proceso se alargan conforme se
avanza en la estación. En nuestro caso el patrón seguido es que la máquina con distinto
tiempo de proceso ocupa la parte central de la línea de producción.
Meral y Erkip, 1991, definieron el grado de desequilibrio, DI (Degree of Imbalance),
como una medida del equilibrio de una línea. El DI viene definido por la siguiente
expresión:
TWC ⎫ N
⎧TWC
− min (PTi ); max(PTi ) −
DI = max ⎨
⎬*
N ⎭ TWC
⎩ N
(74)
Donde:
PTi es el tiempo de proceso de la estación en una línea formada por N estaciones.
TWC
es el tiempo de proceso de una estación en una línea equilibrada formada por N
N
estaciones.
TWC es la capacidad de trabajo total, tomado como la suma de los tiempos de proceso
de la línea.
En la literatura se encuentran habitualmente los siguientes grados de desequilibrio:
- 287 -
Autores
Villena et al, 1988
Meral y Erkip, 1991
Yavuz y Satir, 1995
DI
0.0 a 1.4 (paso 0.2)
0.0 a 0.7 (paso 0.1)
0.0, 0.1, 0.2, 0.45
0.0, 0.1, 0.3, 0.5
Tabla 7.1. Grados de desequilibrio utilizados en la literatura (Gaury, 2000).
Antes de elegir el DI es importante tener en cuenta que los tiempos de proceso entre las
diferentas máquinas no deben de diferir en más del 20% (Lageweg et al, 1978).
El nuevo sistema empleado esta compuesto por cinco máquinas, donde la que ocupa la
posición central tiene distinto tiempo de proceso. Las máquinas que ocupan las
posiciones primera, segunda, cuarta y quinta, tienen tiempos de procesado distribuidos
por una función exponencial de media 3. El 20% de este valor es 0.6, por lo que la
máquina central funciona con un tiempo de procesado de 3.6, lo que significa un DI de
0.15.
La demanda viene distribuida por una función exponencial, que tras una serie de
pruebas piloto ofrece valores razonables para una media de 5, por lo que este es el valor
tomado para aquella.
El primer paso de la heurística propuesta en el capítulo seis consiste en considerar al
sistema como si fuese un sistema Conwip tradicional y simular todos los casos hasta
encontrar una solución admisible. En la tabla siguiente se muestran los resultados
obtenidos:
K(0)
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
E
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Nivel de servicio medio
8,070
42,098
58,455
64,086
73,771
81,117
83,461
88,080
91,092
93,236
95,024
96,527
97,145
97,860
98,242
IC (99%) para el nivel de servicio
25, 919<>29,907
40,618<>43,578
57,398<>59,511
62,222<>65,950
72,456<>75,086
79,329<>82,904
82,137<>84,786
86,967<>89,193
90,385<>91,789
92,420<>94,052
94,557<>95,490
95,872<>97,181
96,812<>97,479
97,247<>98,473
97,702<>98,782
WIP medio
9,066
10,053
11,050
12,040
13,030
14,026
15,021
16,051
17,013
18,009
19,007
20,006
21,004
22,004
23,003
Tabla 7.2. Resultados de las simulaciones en el primer paso de la heurística para el experimento de
confirmación.
- 288 -
La primera solución admisible se obtiene para 22 tarjetas, ya que presenta el primer
intervalo de confianza en el que un valor del 98% de nivel de servicio es admisible.
100
Nivel de Servicio medio
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0
5
10
15
20
25
Número de Tarjetas
Gráfica 7.1. Evolución del Nivel de Servicio Medio a lo largo de las simulaciones del primer paso de la
heurística para el experimento de confirmación.
4,5
4
3,5
IC(99%)
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0
5
10
15
20
25
Número de Tarjetas
Gráfica 7.2. Evolución de de los intervalos de confianza del Nivel de Servicio Medio a lo largo de las
simulaciones del primer paso de la heurística para el experimento de confirmación.
En el segundo paso de la heurística se recorre la “trayectoria de las soluciones
admisibles”, formada por aquellas combinaciones que la suma de los parámetros K (0) y
E sumaban el número de tarjetas hallado en el primer paso. En este caso este valor es de
22. En la tabla siguiente se muestran las combinaciones que cumplen con esta
condición:
- 289 -
K(0)
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
E
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Nivel de servicio medio
97,860
98,198
97,598
97,778
97,647
97,832
97,672
97,738
97,543
97,700
97,466
97,570
97,606
97,511
IC (99%) para el nivel de servicio
97,247<>98,473
97,655<>98,741
97,001<>98,196
97,262<>98,294
97,115<>98,178
97,378<>98,287
97,242<>98,102
97,259<>98,216
97,080<>98,006
97,205<>98,195
96,851<>98,082
97,102<>98,038
97,112<>98,099
96,940<>98,083
WIP medio
22,004
21,401
21,381
21,257
21,332
21,565
21,507
21,641
21,729
21,674
21,770
21,808
21,875
21,854
Tabla 7.3. Resultados de las simulaciones en el segundo paso de la heurística para el experimento de
confirmación
Nivel de Servicio medio
98,4
98,2
98
97,8
97,6
97,4
5
10
15
20
25
K(0)
Gráfica 7.3. Evolución del Nivel de Servicio medio a lo largo de las simulaciones del segundo paso de la
heurística para el experimento de confirmación.
- 290 -
22,2
WIP medio
22
21,8
21,6
21,4
21,2
5
10
15
20
25
K(0)
Gráfica 7.4. Evolución del WIP medio a lo largo de las simulaciones del segundo paso de la heurística
para el experimento de confirmación.
1,3
IC(99%)
1,2
1,1
1
0,9
0,8
5
10
15
20
25
K(0)
Gráfica 7.5. Evolución de de los intervalos de confianza del Nivel de Servicio Medio a lo largo de las
simulaciones del segundo paso de la heurística para el experimento de confirmación.
Observando las gráficas anteriores, podemos observar como, en general, el nivel de
inventario medio aumenta conforme lo hace el parámetro K (0), como el tamaño de los
intervalos de confianza presenta el valor más pequeño para la combinación K (0) =16,
E = 6, aumentando a partir de esta y como el menor WIP medio los obtenemos para
K (0) = 19, E = 3, siendo esta última la combinación elegida como candidata a óptima,
en este paso de la heurística.
En la tabla 7.3 no observamos ninguna combinación que no sea admisible, por lo que
este segundo paso lo podemos dar por finalizado y pasar al tercero.
En el tercer paso se aplica la metodología RSM para estudiar la vecindad de la
combinación hallada en el paso anterior. Recordemos que la finalidad es ajustar sendos
modelos para el nivel de servicio medio y para el inventario medio para, en el cuarto
paso, aplicar la metodología de la función Desirability de optimización multirespuesta.
- 291 -
Escogemos una región de experimentación cuadrada con punto central, de radio dos,
cuyo vértice de menores parámetros K (0) y E es el K (0) = 19, E = 3. Podríamos haber
elegido una región rectangular o con otro radio, siempre que hubiésemos tenido en
cuanta las indicaciones señaladas en el capítulo seis. El resultado hubiera sido el mismo,
tal y como hemos comprobado mediante la realizado de pruebas piloto.
La región elegida es:
Factor B
(19,7)
(23,3)
(21,5)
(19,3)
(23,3)
Factor A
Figura 7.1. Región de experimentación del
confirmación.
tercer paso de la heurística para el experimento de
Los escenarios se muestran en la tabla siguiente, tanto en variables naturales como en
variables codificadas:
Variables Naturales
Escenario
K(0)
E
1
19
3
2
23
3
3
19
7
4
23
7
5
21
5
Variables Codificadas
Escenario
K(0)
E
1
-1
-1
2
1
-1
3
-1
1
4
1
1
5
0
0
Tabla 7.4. Escenarios del tercer paso de la heurística para el experimento de confirmación.
- 292 -
Los resultados obtenidos en las simulaciones realizadas en estos escenarios han sido:
Escenario Nivel de servicio medio (%) STD Nivel de Servicio WIP medio STD WIP
1
97,778
0,516
21,257
0,424
2
98,889
0,324
24,029
0,542
3
98,293
0,252
23,872
0,965
4
98,965
0,294
24,731
0,993
5
98,484
0,328
22,828
0,862
Tabla 7.5. Resultados de las simulaciones de los escenarios del tercer paso de la heurística para el
experimento de confirmación.
El análisis de varianza para el ajuste de un modelo para el nivel de servicio medio
ofrece el siguiente resultado:
Termino Efectos
SS
Porcentaje g.d.l MSS
Fo
Fo Tablas
A
0,90
23,84
21,62
1
23,84 42,25
3,91
B
0,30
2,62
2,38
1
2,62 4,64
3,91
AB
-0,22
1,45
1,31
1
1,45 2,57
3,91
Error
82,38
74,69
146 0,56
Total
110,29 100,00
149
Tabla 7.6. Análisis de varianza para el nivel de servicio medio en el tercer paso de la heurística para el
experimento de confirmación.
Los factores A y B (K (0) y E, respectivamente) son significativos, mientras que la
interacción AB no, por lo que el modelo a ajustar es, variables codificadas:
yˆ = 98.48 + 0.45x1 + 0.15x2
y en variables naturales:
yˆ = 93.43 + 0.22ξ1 + 0.07ξ 2
La adecuación del modelo se prueba con la prueba de significación de los coeficientes,
la prueba de falta de ajuste y el análisis gráfico de los residuales:
- 293 -
Termino
SS
Modelo
26,46
Residual
84,28
(Falta de ajuste LOF) 1,45
(Error puro)
82,83
Total
110,74
g.d.l
2
147
2
145
149
MSS
13,23
0,57
0,73
0,57
0,74
Fo
23,07
Fo Tablas
3,06
1,27
3,06
Tabla 7.7. Prueba de significación y de la falta de ajuste para el nivel de servicio medio en el tercer paso
de la heurística para el experimento de confirmación.
El modelo propuesto supera tanto la prueba de significación como la de la falta de
ajuste. En la tabla y gráficas siguientes se muestran los residuales y los resultados del
análisis gráfico de los residuales, respectivamente:
Respuestas
98,74
98,06
98,25
99,05
96,20
98,10
98,41
96,56
98,82
98,74
97,59
97,76
98,25
98,64
98,53
96,17
98,42
98,46
98,14
98,66
95,60
97,44
96,10
98,08
98,14
95,44
98,16
98,40
97,93
97,53
99,54
98,58
99,58
99,32
Predicción
97,89
97,89
97,89
97,89
97,89
97,89
97,89
97,89
97,89
97,89
97,89
97,89
97,89
97,89
97,89
97,89
97,89
97,89
97,89
97,89
97,89
97,89
97,89
97,89
97,89
97,89
97,89
97,89
97,89
97,89
98,78
98,78
98,78
98,78
- 294 -
Residuales
0,85
0,17
0,36
1,16
-1,69
0,21
0,52
-1,33
0,93
0,85
-0,29
-0,13
0,37
0,75
0,64
-1,72
0,53
0,57
0,25
0,77
-2,29
-0,45
-1,79
0,19
0,25
-2,44
0,27
0,51
0,04
-0,36
0,76
-0,20
0,80
0,54
98,90
99,11
98,18
98,77
98,35
98,09
98,30
99,32
99,35
99,54
98,96
98,93
99,54
98,45
98,75
97,49
98,89
99,26
99,19
99,24
98,96
97,93
99,76
99,88
99,58
96,94
98,07
97,76
98,40
98,17
97,41
98,41
98,75
98,82
98,72
98,75
97,68
97,85
98,25
97,57
99,04
99,01
97,00
98,19
98,86
98,44
98,20
98,82
98,57
98,40
98,40
98,80
97,53
98,78
98,78
98,78
98,78
98,78
98,78
98,78
98,78
98,78
98,78
98,78
98,78
98,78
98,78
98,78
98,78
98,78
98,78
98,78
98,78
98,78
98,78
98,78
98,78
98,78
98,78
98,18
98,18
98,18
98,18
98,18
98,18
98,18
98,18
98,18
98,18
98,18
98,18
98,18
98,18
98,18
98,18
98,18
98,18
98,18
98,18
98,18
98,18
98,18
98,18
98,18
98,18
98,18
- 295 -
0,12
0,33
-0,60
-0,01
-0,43
-0,69
-0,48
0,54
0,57
0,76
0,18
0,15
0,76
-0,33
-0,03
-1,29
0,11
0,48
0,41
0,46
0,18
-0,85
0,98
1,11
0,80
-1,84
-0,11
-0,42
0,21
-0,02
-0,78
0,23
0,57
0,64
0,53
0,57
-0,51
-0,33
0,07
-0,61
0,86
0,83
-1,19
0,00
0,67
0,26
0,02
0,63
0,38
0,22
0,22
0,62
-0,65
98,40
97,62
98,90
99,54
98,58
99,58
99,32
98,90
98,56
99,51
98,78
98,40
97,99
98,58
99,32
99,28
99,54
98,66
99,58
99,54
98,45
98,96
99,07
98,89
99,38
97,99
99,37
98,25
97,27
99,76
99,88
99,58
98,44
99,25
98,35
99,12
97,29
98,48
99,10
98,77
98,35
98,09
97,02
98,80
99,25
98,71
97,00
99,18
98,31
99,49
98,03
99,03
98,71
98,18
98,18
98,18
99,08
99,08
99,08
99,08
99,08
99,08
99,08
99,08
99,08
99,08
99,08
99,08
99,08
99,08
99,08
99,08
99,08
99,08
99,08
99,08
99,08
99,08
99,08
99,08
99,08
99,08
99,08
99,08
99,08
99,08
98,48
98,48
98,48
98,48
98,48
98,48
98,48
98,48
98,48
98,48
98,48
98,48
98,48
98,48
98,48
98,48
98,48
98,48
98,48
98,48
- 296 -
0,22
-0,57
0,72
0,46
-0,50
0,51
0,25
-0,18
-0,51
0,44
-0,30
-0,68
-1,08
-0,49
0,25
0,20
0,46
-0,41
0,50
0,46
-0,62
-0,12
-0,01
-0,18
0,30
-1,08
0,30
-0,83
-1,80
0,68
0,81
0,51
-0,63
0,76
-0,13
0,63
-1,19
0,00
0,62
0,29
-0,13
-0,39
-1,46
0,32
0,77
0,23
-1,48
0,70
-0,17
1,01
-0,45
0,54
0,23
98,73
98,73
98,68
98,76
97,33
98,45
97,26
99,02
99,11
98,09
98,48
98,48
98,48
98,48
98,48
98,48
98,48
98,48
98,48
98,48
0,25
0,25
0,20
0,28
-1,15
-0,03
-1,22
0,53
0,63
-0,39
Tabla 7.8. Residuales para el nivel de servicio medio en el tercer paso de la heurística para el
experimento de confirmación.
% de probabilidad normal
99
95
90
80
70
50
30
20
10
5
1
-3.44
-2.29
-1.14
0.01
1.16
Residuales
Gráfica 7.6. Probabilidad normal de los residuales para el nivel de servicio medio en el tercer paso de la
heurística para el experimento de confirmación.
- 297 -
2,50
Residuales
1,50
0,50
97,50
-0,50
98,50
99,50
-1,50
-2,50
Nivel de Servicio m edio predicho
Gráfica 7.7. Residuales frente al nivel de servicio medio predicho en el tercer paso de la heurística para el
experimento de confirmación.
2,50
Residuales
1,50
0,50
-0,50
0
50
100
150
-1,50
-2,50
Orden de Realización de las Sim ulaciónes
Gráfica 7. 8. Residuales frente al orden de realización de las simulaciones para el nivel de servicio medio
en el tercer paso de la heurística para el experimento de confirmación.
- 298 -
La gráfica de la normal, muestra como los puntos siguen con dificultad una línea recta,
aunque no de manera que nos haga pensar que se aparta del supuesto de normalidad. Por
otro lado se observa que puede haber un ligero sesgo hacia los valores positivos de los
residuales, ya que la rama de la derecha es algo más amplia que la de la izquierda. En
las gráficas del nivel de servicio y el orden de realización de las simulaciones frente a
los residuales, no se aprecia ningún patrón que haga pensar que están relacionados con
la salida o con el orden de realización de las observaciones, por lo que damos por
adecuado al modelo.
Para el inventario en proceso medio el análisis de varianza obtenido se muestra en la
tabla siguiente:
Termino Efectos
SS
Porcentaje g.d.l
A
1,82
98,86
15,70
1
B
1,66
82,56
13,11
1
AB
-0,96 27,43
4,36
1
Error
420,83
66,83
146
Total
629,68 100,00
149
MSS
Fo
Fo Tablas
98,86 34,30
3,91
82,56 28,64
3,91
27,43 9,52
3,91
2,88
Tabla 7.9. Análisis de varianza para el WIP en el tercer paso de la heurística para el experimentote
confirmación.
Se aprecia como los dos factores principales y la interacción entre ellos son
significativos. El modelo ajustado, en variables codificadas y naturales, es por tanto:
yˆ = 23.34 + 0.91x1 + 0.83x2 − 0.48x1 x2
yˆ = −0.81 + 1.05ξ1 + 2.92ξ 2 − 0.12ξ1ξ 2
Para las pruebas de la significación de los coeficientes y la de falta de ajuste, los
resultados obtenidos se muestran en la tabla 7.10
Termino
Modelo
Residual
(Falta de ajuste LOF)
(Error puro)
Total
SS
208,85
420,83
9,98
410,85
629,68
g.d.l
3
146
1
145
149
MSS
69,62
2,88
9,98
2,83
4,23
Fo
24,15
Fo Tablas
2,67
3,52
3,91
Tabla 7.10. Prueba de significación y de la falta de ajuste para el WIP en el tercer paso de la heurística
para el experimentote confirmación.
- 299 -
El modelo ajustado pasa las pruebas anteriores. A continuación se muestran los
residuales y el análisis gráfico de estos.
Respuestas
21,50
21,49
21,94
20,14
21,92
21,47
21,11
21,50
21,66
19,71
21,42
19,12
19,00
21,64
21,41
21,62
21,72
21,91
21,42
21,79
21,25
21,93
21,94
21,03
21,74
21,89
21,92
19,01
21,92
21,59
23,00
23,00
23,00
23,00
23,00
24,96
26,00
24,27
23,33
23,57
24,90
23,00
23,42
23,00
25,82
25,84
23,00
Predicción
21,13
21,13
21,13
21,13
21,13
21,13
21,13
21,13
21,13
21,13
21,13
21,13
21,13
21,13
21,13
21,13
21,13
21,13
21,13
21,13
21,13
21,13
21,13
21,13
21,13
21,13
21,13
21,13
21,13
21,13
23,90
23,90
23,90
23,90
23,90
23,90
23,90
23,90
23,90
23,90
23,90
23,90
23,90
23,90
23,90
23,90
23,90
- 300 -
Residuales
0,37
0,36
0,81
-0,98
0,80
0,34
-0,02
0,37
0,53
-1,42
0,29
-2,00
-2,12
0,51
0,28
0,49
0,60
0,78
0,29
0,66
0,13
0,80
0,81
-0,10
0,62
0,76
0,79
-2,12
0,79
0,46
-0,90
-0,90
-0,90
-0,90
-0,90
1,06
2,10
0,37
-0,57
-0,33
1,00
-0,90
-0,48
-0,90
1,92
1,94
-0,90
23,00
25,77
25,86
23,00
24,89
24,72
24,53
24,25
23,75
23,00
23,00
23,00
25,94
22,18
24,14
22,73
25,18
23,23
25,11
21,33
25,97
23,97
25,49
24,64
19,28
19,00
25,16
24,35
25,71
25,35
25,78
24,77
22,66
24,24
23,53
25,83
21,96
25,08
25,65
25,32
19,01
23,68
25,81
23,00
23,00
23,00
23,00
23,00
28,28
25,38
25,96
23,41
24,31
23,90
23,90
23,90
23,90
23,90
23,90
23,90
23,90
23,90
23,90
23,90
23,90
23,90
23,74
23,74
23,74
23,74
23,74
23,74
23,74
23,74
23,74
23,74
23,74
23,74
23,74
23,74
23,74
23,74
23,74
23,74
23,74
23,74
23,74
23,74
23,74
23,74
23,74
23,74
23,74
23,74
23,74
23,74
24,60
24,60
24,60
24,60
24,60
24,60
24,60
24,60
24,60
24,60
- 301 -
-0,90
1,87
1,96
-0,90
0,99
0,82
0,63
0,35
-0,15
-0,90
-0,90
-0,90
2,04
-1,57
0,40
-1,01
1,43
-0,51
1,37
-2,42
2,23
0,23
1,75
0,90
-4,46
-4,74
1,42
0,61
1,97
1,61
2,04
1,02
-1,08
0,50
-0,22
2,09
-1,78
1,34
1,90
1,58
-4,74
-0,06
2,07
-1,60
-1,60
-1,60
-1,60
-1,60
3,67
0,77
1,36
-1,19
-0,29
27,42
23,00
24,45
23,00
24,65
24,88
23,00
23,00
27,86
29,20
23,00
23,92
27,61
24,95
26,03
24,76
23,00
23,00
23,00
29,85
21,00
24,79
21,00
23,29
22,24
21,00
21,73
24,80
21,75
25,73
22,13
21,00
25,56
25,63
21,00
23,00
21,00
22,45
21,80
25,14
23,92
24,58
21,07
21,00
24,63
24,99
25,55
21,00
21,00
21,00
24,60
24,60
24,60
24,60
24,60
24,60
24,60
24,60
24,60
24,60
24,60
24,60
24,60
24,60
24,60
24,60
24,60
24,60
24,60
24,60
23,34
23,34
23,34
23,34
23,34
23,34
23,34
23,34
23,34
23,34
23,34
23,34
23,34
23,34
23,34
23,34
23,34
23,34
23,34
23,34
23,34
23,34
23,34
23,34
23,34
23,34
23,34
23,34
23,34
23,34
2,82
-1,60
-0,15
-1,60
0,05
0,28
-1,60
-1,60
3,26
4,59
-1,60
-0,68
3,01
0,35
1,43
0,15
-1,60
-1,60
-1,60
5,24
-2,34
1,44
-2,34
-0,05
-1,10
-2,34
-1,61
1,46
-1,59
2,39
-1,21
-2,34
2,21
2,29
-2,34
-0,34
-2,34
-0,90
-1,54
1,80
0,58
1,23
-2,27
-2,34
1,29
1,65
2,21
-2,34
-2,34
-2,34
Tabla 7.11. Residuales para el WIP medio en el tercer paso de la heurística para el experimento de
confirmación.
- 302 -
% de probabilidad normal
99
95
90
80
70
50
30
20
10
5
1
-4.74
-2.24
0.25
2.75
5.24
Residuales
Gráfica 7.9. Probabilidad normal de los residuales para el WIP medio en el tercer paso de la heurística
para el experimento de confirmación.
5,50
4,50
3,50
Residuales
2,50
1,50
0,50
-0,5021,00
-1,50
22,00
23,00
24,00
-2,50
-3,50
-4,50
-5,50
WIP m edio predicho
Gráfica 7.10. Residuales frente al WIP medio predicho en el tercer paso de la heurística para el
experimento de confirmación.
- 303 -
5,50
4,50
3,50
Residuales
2,50
1,50
0,50
-0,50
0
50
100
150
-1,50
-2,50
-3,50
-4,50
-5,50
Orden de Realización de las Sim ulaciónes
Gráfica 7.11. Residuales frente al orden de realización de las simulaciones para el WIP medio en el tercer
paso de la heurística para el experimento de confirmación.
No se aprecia ningún patrón que nos haga pensar que el modelo no es adecuado.
El cuarto paso de la heurística emplea la metodología de la función desirability aplicada
a los dos modelos ajustados en el paso anterior. Estos son:
Respuesta
Nivel de servicio medio
WIP medio
Modelo ajustado
yˆ = 93.43 + 0.22ξ1 + 0.07ξ 2
yˆ = −0.81 + 1.05ξ1 + 2.92ξ 2 − 0.12ξ1ξ 2
Tabla 7.12. Modelos ajustados usados en el
confirmación.
cuarto paso de la heurística para el experimento de
Recordemos que para el nivel de servicio se emplea una función desirability, d1, es del
tipo usado para buscar un valor determinado, en nuestro caso, el nivel de servicio medio
del 98%, y para el caso del inventario en proceso, una función desirability, d2, del tipo
usado en los casos en los que se pretenden minimizar la respuesta. (esto se estudia en
detalle en la sección 5.5).
Los límites de admisibilidad para la función desirability, d1, han sido del 96% para el
inferior y del 99% para el superior. Para la desirability, d2, y a tenor de los resultados
- 304 -
obtenidos en los dos primeros pasos de la heurísticas, el límite inferior ha sido de 18 y el
superior de 22.
Las matrices de respuesta que se obtienen con estos modelos para el espacio de interés
de las combinaciones de los parámetros son:
K(0)
Ŷ1, Nivel de servicio Medio
11
10
9
8
96,18
95,96
95,74
95,51
95,29
1
96,25
96,03
95,81
95,59
95,36
2
96,33
96,11
95,88
95,66
95,44
3
96,40
96,18
95,96
95,73
95,51
4
96,48
96,25
96,03
95,81
95,58
5
96,55
96,33
96,10
95,88
95,66
6
96,62
96,40
96,18
95,96
95,73
7
96,92
96,70
96,47
96,25
96,03
95,81
8
96,99
96,77
96,55
96,33
96,10
95,88
9
97,07
96,85
96,62
96,40
96,18
95,95
10
97,14
96,92
96,70
96,47
96,25
96,03
11
97,22
96,99
96,77
96,55
96,32
96,10
12
97,29
97,07
96,84
96,62
96,40
96,18
13
97,36
97,14
96,92
96,70
96,47
96,25
14
- 305 -
E
12
96,85
97,81
96,77
97,74
98,03
96,70
97,66
97,96
98,26
96,63
97,59
97,88
98,18
98,48
96,55
97,51
97,81
98,11
98,40
98,70
96,48
97,44
97,74
98,03
98,33
98,63
98,92
96,40
97,37
97,66
97,96
98,26
98,55
98,85
99,15
13
97,29
97,59
97,89
98,18
98,48
98,78
99,07
99,37
97,59
97,22
97,52
97,81
98,11
98,41
98,70
99,00
99,30
99,59
97,51
97,14
97,44
97,74
98,03
98,33
98,63
98,92
99,22
99,52
97,44
97,07
97,37
97,66
97,96
98,26
98,55
98,85
99,15
99,44
97,36
97,00
97,29
97,59
97,89
98,18
98,48
98,78
99,07
99,37
97,29
96,92
97,22
97,52
97,81
98,11
98,41
98,70
99,00
99,30
97,22
96,85
97,15
97,44
97,74
98,04
98,33
98,63
98,93
99,22
97,14
15
97,07
97,37
97,67
97,96
98,26
98,56
98,85
99,15
97,07
16
97,30
97,59
97,89
98,19
98,48
98,78
99,08
97,00
17
97,52
97,81
98,11
98,41
98,70
99,00
96,92
18
97,74
98,04
98,33
98,63
98,93
96,85
19
97,96
98,26
98,56
98,85
96,77
20
98,19
98,48
98,78
96,70
21
98,41
98,71
96,63
22
98,63
14
23
Tabla 7.13. Nivel de Servicio medio ajustado en el cuarto paso de la heurística para el experimento de
confirmación.
K(0)
Ŷ2, WIP Medio
11
10
9
8
13,30
12,37
11,43
10,50
9,57
1
14,79
13,98
13,16
12,35
11,54
2
16,28
15,59
14,89
14,20
13,51
3
17,77
17,20
16,62
16,05
15,48
4
19,26
18,81
18,35
17,90
17,44
5
20,75
20,42
20,08
19,75
19,41
6
22,24
22,03
21,81
21,60
21,38
7
23,83
23,73
23,64
23,54
23,44
23,35
8
25,20
25,22
25,25
25,27
25,29
25,32
9
26,57
26,71
26,86
27,00
27,14
27,29
10
27,94
28,20
28,47
28,73
28,99
29,25
11
29,31
29,69
30,08
30,46
30,84
31,22
12
30,68
31,18
31,69
32,19
32,69
33,19
13
32,05
32,67
33,30
33,92
34,54
35,16
14
- 306 -
E
12
22,45
30,81
21,08
29,68
30,19
19,71
28,54
29,17
29,56
18,34
27,41
28,16
28,67
28,94
16,97
26,28
27,15
27,78
28,17
28,32
15,60
25,15
26,14
26,89
27,40
27,67
27,70
14,23
24,02
25,12
25,99
26,62
27,01
27,16
27,08
13
22,88
24,11
25,10
25,85
26,36
26,63
26,66
26,45
31,43
21,75
23,10
24,21
25,08
25,70
26,10
26,25
26,16
25,83
30,18
20,62
22,09
23,31
24,30
25,05
25,56
25,83
25,86
25,66
28,93
19,49
21,07
22,42
23,53
24,40
25,03
25,42
25,57
25,48
27,68
18,36
20,06
21,53
22,76
23,74
24,49
25,00
25,27
25,31
26,42
17,22
19,05
20,64
21,98
23,09
23,96
24,59
24,98
25,13
25,17
16,09
18,04
19,74
21,21
22,44
23,42
24,17
24,68
24,95
23,92
15
17,02
18,85
20,44
21,78
22,89
23,76
24,39
24,78
22,67
16
17,96
19,66
21,13
22,36
23,34
24,09
24,60
21,42
17
18,89
20,47
21,82
22,93
23,80
24,43
20,17
18
19,82
21,29
22,51
23,50
24,25
18,92
19
20,75
22,10
23,21
24,08
17,66
20
21,68
22,91
23,90
16,41
21
22,62
23,72
15,16
22
23,55
14
23
Tabla 7.14. WIP medio ajustado en el cuarto paso de la heurística para el experimento de confirmación.
A continuación elegimos las combinaciones de pesos de las funciones desirability, d1 y
d2 que se van a estudiar. Cuando se expuso la heurística en el capítulo seis se estudiaron
los casos:
Combinación 1
Combinación 2
Combinación 3
Combinación 4
s1
1
1
10
5
Pesos
t1
s2
1
1
10
1
10
1
8
5
Tabla 7.15. Combinaciones de pesos para el cuarto paso de la heurística para el experimento de
confirmación.
Las matrices correspondientes a las funciones desirability, d1, d2 y al índice D, para la
combinación (s1=1, t1=1, s2=1), son las siguientes:
- 307 -
K(0)
Función Desirability, d1
11
10
9
8
0,09
0,00
0,00
0,00
0,00
1
0,13
0,02
0,00
0,00
0,00
2
0,16
0,05
0,00
0,00
0,00
3
0,20
0,09
0,00
0,00
0,00
4
0,24
0,13
0,02
0,00
0,00
5
0,28
0,16
0,05
0,00
0,00
6
0,31
0,20
0,09
0,00
0,00
7
0,46
0,35
0,24
0,13
0,01
0,00
8
0,50
0,39
0,27
0,16
0,05
0,00
9
0,53
0,42
0,31
0,20
0,09
0,00
10
0,57
0,46
0,35
0,24
0,13
0,01
11
0,61
0,50
0,39
0,27
0,16
0,05
12
0,64
0,53
0,42
0,31
0,20
0,09
13
0,68
0,57
0,46
0,35
0,24
0,12
14
- 308 -
E
12
0,42
0,90
0,39
0,87
0,97
0,35
0,83
0,98
0,74
0,31
0,79
0,94
0,82
0,52
0,28
0,76
0,91
0,89
0,60
0,30
0,24
0,72
0,87
0,97
0,67
0,37
0,08
0,20
0,68
0,83
0,98
0,74
0,45
0,15
0,00
13
0,65
0,79
0,94
0,82
0,52
0,22
0,00
0,00
0,79
0,61
0,76
0,91
0,89
0,59
0,30
0,00
0,00
0,00
0,76
0,57
0,72
0,87
0,97
0,67
0,37
0,08
0,00
0,00
0,72
0,54
0,68
0,83
0,98
0,74
0,45
0,15
0,00
0,00
0,68
0,50
0,65
0,80
0,94
0,82
0,52
0,22
0,00
0,00
0,65
0,46
0,61
0,76
0,91
0,89
0,59
0,30
0,00
0,00
0,61
0,42
0,57
0,72
0,87
0,96
0,67
0,37
0,07
0,00
0,57
15
0,54
0,68
0,83
0,98
0,74
0,44
0,15
0,00
0,53
16
0,65
0,80
0,94
0,81
0,52
0,22
0,00
0,50
17
0,76
0,91
0,89
0,59
0,30
0,00
0,46
18
0,87
0,96
0,67
0,37
0,07
0,42
19
0,98
0,74
0,44
0,15
0,39
20
0,81
0,52
0,22
0,35
21
0,59
0,29
0,31
22
0,37
14
23
Tabla 7.16. Función Desirability, d1, en el cuarto paso de la heurística para el experimento de
confirmación con los pesos (s1=1, t1=1, s2=1).
K(0)
Función Desirability, d2
11
10
9
8
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
2
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
3
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
4
0,69
0,80
0,91
1,00
1,00
5
0,31
0,40
0,48
0,56
0,65
6
0,00
0,00
0,05
0,10
0,15
7
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
8
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
9
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
10
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
11
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
12
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
13
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
14
- 309 -
E
12
0,00
0,00
0,23
0,00
0,00
0,57
0,00
0,00
0,00
0,91
0,00
0,00
0,00
0,00
1,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
1,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
1,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
13
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,06
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,34
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,63
0,23
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,91
0,48
0,12
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
1,00
0,74
0,34
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
1,00
0,99
0,56
0,20
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
15
1,00
0,79
0,39
0,05
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
16
1,00
0,58
0,22
0,00
0,00
0,00
0,00
0,15
17
0,78
0,38
0,04
0,00
0,00
0,00
0,46
18
0,54
0,18
0,00
0,00
0,00
0,77
19
0,31
0,00
0,00
0,00
1,00
20
0,08
0,00
0,00
1,00
21
0,00
0,00
1,00
22
0,00
14
23
Tabla 7.17. Función Desirability, d2, en el cuarto paso de la heurística para el experimento de
confirmación con los pesos (s1=1, t1=1, s2=1).
K(0)
Índice D
11
10
9
8
0,30
0,00
0,00
0,00
0,00
1
0,36
0,13
0,00
0,00
0,00
2
0,41
0,23
0,00
0,00
0,00
3
0,45
0,30
0,00
0,00
0,00
4
0,40
0,32
0,12
0,00
0,00
5
0,29
0,25
0,16
0,00
0,00
6
0,00
0,00
0,06
0,00
0,00
7
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
8
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
9
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
10
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
11
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
12
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
13
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
14
- 310 -
E
12
0,00
0,00
0,30
0,00
0,00
0,45
0,00
0,00
0,00
0,53
0,00
0,00
0,00
0,00
0,53
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,49
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,45
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
13
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,19
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,44
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,58
0,40
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,67
0,56
0,31
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,68
0,67
0,51
0,06
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,65
0,75
0,64
0,41
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
15
0,73
0,73
0,57
0,23
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
16
0,80
0,68
0,45
0,00
0,00
0,00
0,00
0,27
17
0,77
0,59
0,20
0,00
0,00
0,00
0,46
18
0,69
0,41
0,00
0,00
0,00
0,57
19
0,55
0,00
0,00
0,00
0,62
20
0,25
0,00
0,00
0,59
21
0,00
0,00
0,56
22
0,00
14
23
Tabla 7.18. Índice D en el cuarto paso de la heurística para el experimento de confirmación con los
pesos (s1=1, t1=1, s2=1).
En esta última tabla se observa como el mayor valor le corresponde a la pareja (17,1),
por lo que para esta combinación de pesos esta es la combinación de parámetros que se
compara con la hallada en el segundo paso de la heurística.
Para la combinación de pesos (s1=1, t1=10, s2=1), los resultados son:
K(0)
Función Desirability, d1
11
10
9
8
0,09
0,00
0,00
0,00
0,00
1
0,13
0,02
0,00
0,00
0,00
2
0,16
0,05
0,00
0,00
0,00
3
0,20
0,09
0,00
0,00
0,00
4
0,24
0,13
0,02
0,00
0,00
5
0,28
0,16
0,05
0,00
0,00
6
0,31
0,20
0,09
0,00
0,00
7
0,46
0,35
0,24
0,13
0,01
0,00
8
0,50
0,39
0,27
0,16
0,05
0,00
9
0,53
0,42
0,31
0,20
0,09
0,00
10
0,57
0,46
0,35
0,24
0,13
0,01
11
0,61
0,50
0,39
0,27
0,16
0,05
12
0,64
0,53
0,42
0,31
0,20
0,09
13
0,68
0,57
0,46
0,35
0,24
0,12
14
- 311 -
E
12
0,42
0,90
0,39
0,87
0,72
0,35
0,83
0,98
0,05
0,31
0,79
0,94
0,14
0,00
0,28
0,76
0,91
0,32
0,01
0,00
0,24
0,72
0,87
0,71
0,02
0,00
0,00
0,20
0,68
0,83
0,98
0,05
0,00
0,00
0,00
13
0,65
0,79
0,94
0,13
0,00
0,00
0,00
0,00
0,79
0,61
0,76
0,91
0,32
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,76
0,57
0,72
0,87
0,70
0,02
0,00
0,00
0,00
0,00
0,72
0,54
0,68
0,83
0,98
0,05
0,00
0,00
0,00
0,00
0,68
0,50
0,65
0,80
0,94
0,13
0,00
0,00
0,00
0,00
0,65
0,46
0,61
0,76
0,91
0,31
0,01
0,00
0,00
0,00
0,61
0,42
0,57
0,72
0,87
0,69
0,02
0,00
0,00
0,00
0,57
15
0,54
0,68
0,83
0,98
0,05
0,00
0,00
0,00
0,53
16
0,65
0,80
0,94
0,13
0,00
0,00
0,00
0,50
17
0,76
0,91
0,31
0,01
0,00
0,00
0,46
18
0,87
0,68
0,02
0,00
0,00
0,42
19
0,98
0,05
0,00
0,00
0,39
20
0,13
0,00
0,00
0,35
21
0,01
0,00
0,31
22
0,00
14
23
Tabla 7.19. Función Desirability, d1, en el cuarto paso de la heurística para el experimento de
confirmación con los pesos (s1=1, t1=10, s2=1).
K(0)
Función Desirability, d2
11
10
9
8
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
2
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
3
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
4
0,69
0,80
0,91
1,00
1,00
5
0,31
0,40
0,48
0,56
0,65
6
0,00
0,00
0,05
0,10
0,15
7
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
8
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
9
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
10
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
11
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
12
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
13
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
14
- 312 -
E
12
0,00
0,00
0,23
0,00
0,00
0,57
0,00
0,00
0,00
0,91
0,00
0,00
0,00
0,00
1,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
1,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
1,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
13
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,06
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,34
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,63
0,23
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,91
0,48
0,12
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
1,00
0,74
0,34
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
1,00
0,99
0,56
0,20
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
15
1,00
0,79
0,39
0,05
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
16
1,00
0,58
0,22
0,00
0,00
0,00
0,00
0,15
17
0,78
0,38
0,04
0,00
0,00
0,00
0,46
18
0,54
0,18
0,00
0,00
0,00
0,77
19
0,31
0,00
0,00
0,00
1,00
20
0,08
0,00
0,00
1,00
21
0,00
0,00
1,00
22
0,00
14
23
Tabla 7.20. Función Desirability, d2, en el cuarto paso de la heurística para el experimento de
confirmación con los pesos (s1=1, t1=10, s2=1).
K(0)
Índice D
11
10
9
8
0,30
0,00
0,00
0,00
0,00
1
0,36
0,13
0,00
0,00
0,00
2
0,41
0,23
0,00
0,00
0,00
3
0,45
0,30
0,00
0,00
0,00
4
0,40
0,32
0,12
0,00
0,00
5
0,29
0,25
0,16
0,00
0,00
6
0,00
0,00
0,06
0,00
0,00
7
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
8
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
9
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
10
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
11
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
12
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
13
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
14
- 313 -
E
12
0,00
0,00
0,30
0,00
0,00
0,45
0,00
0,00
0,00
0,53
0,00
0,00
0,00
0,00
0,53
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,49
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,45
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
13
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,19
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,44
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,58
0,40
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,67
0,56
0,31
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,68
0,67
0,51
0,06
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,65
0,75
0,64
0,41
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
15
0,73
0,73
0,57
0,23
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
16
0,80
0,68
0,45
0,00
0,00
0,00
0,00
0,27
17
0,77
0,59
0,12
0,00
0,00
0,00
0,46
18
0,69
0,35
0,00
0,00
0,00
0,57
19
0,55
0,00
0,00
0,00
0,62
20
0,10
0,00
0,00
0,59
21
0,00
0,00
0,56
22
0,00
14
23
Tabla 7.21.Índice D, en el cuarto paso de la heurística para el experimento de confirmación con los pesos
(s1=1, t1=10, s2=1).
Para esta combinación de pesos la combinación de parámetros con mayor índice D
vuelve a ser la misma, la pareja (17, 1).
Veamos los resultados para (s1=10, t1=10, s2=1):
K(0)
Función Desirability, d1
11
10
9
8
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
1
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
2
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
3
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
4
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
5
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
6
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
7
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
8
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
9
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
10
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
11
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
12
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
13
0,02
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
14
- 314 -
E
12
0,00
0,37
0,00
0,24
0,72
0,00
0,16
0,81
0,05
0,00
0,10
0,55
0,14
0,00
0,00
0,06
0,37
0,32
0,01
0,00
0,00
0,04
0,24
0,71
0,02
0,00
0,00
0,00
0,02
0,16
0,82
0,05
0,00
0,00
0,00
13
0,01
0,10
0,56
0,13
0,00
0,00
0,00
0,00
0,10
0,01
0,06
0,37
0,32
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,06
0,00
0,04
0,25
0,70
0,02
0,00
0,00
0,00
0,00
0,04
0,00
0,02
0,16
0,82
0,05
0,00
0,00
0,00
0,00
0,02
0,00
0,01
0,10
0,56
0,13
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,00
0,01
0,06
0,38
0,31
0,01
0,00
0,00
0,00
0,01
0,00
0,00
0,04
0,25
0,69
0,02
0,00
0,00
0,00
0,00
15
0,00
0,02
0,16
0,83
0,05
0,00
0,00
0,00
0,00
16
0,01
0,10
0,56
0,13
0,00
0,00
0,00
0,00
17
0,06
0,38
0,31
0,01
0,00
0,00
0,00
18
0,25
0,68
0,02
0,00
0,00
0,00
19
0,83
0,05
0,00
0,00
0,00
20
0,13
0,00
0,00
0,00
21
0,01
0,00
0,00
22
0,00
14
23
Tabla 7.22. Función Desirability, d1, en el cuarto paso de la heurística para el experimento de
confirmación con los pesos (s1=10, t1=10, s2=1).
K(0)
Función Desirability, d2
11
10
9
8
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
2
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
3
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
4
0,69
0,80
0,91
1,00
1,00
5
0,31
0,40
0,48
0,56
0,65
6
0,00
0,00
0,05
0,10
0,15
7
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
8
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
9
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
10
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
11
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
12
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
13
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
14
- 315 -
E
12
0,00
0,00
0,23
0,00
0,00
0,57
0,00
0,00
0,00
0,91
0,00
0,00
0,00
0,00
1,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
1,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
1,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
13
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,06
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,34
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,63
0,23
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,91
0,48
0,12
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
1,00
0,74
0,34
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
1,00
0,99
0,56
0,20
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
15
1,00
0,79
0,39
0,05
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
16
1,00
0,58
0,22
0,00
0,00
0,00
0,00
0,15
17
0,78
0,38
0,04
0,00
0,00
0,00
0,46
18
0,54
0,18
0,00
0,00
0,00
0,77
19
0,31
0,00
0,00
0,00
1,00
20
0,08
0,00
0,00
1,00
21
0,00
0,00
1,00
22
0,00
14
23
Tabla 7.23. Función Desirability, d2, en el cuarto paso de la heurística para el experimento de
confirmación con los pesos (s1=10, t1=10, s2=1).
K(0)
10
9
8
0,00
0,00
0,00
0,00
1
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
2
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
3
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
4
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
5
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
6
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
7
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
8
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
9
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
10
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
11
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
12
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
13
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
14
Por último, para la combinación (s1=5, t1=8, s2=5), se obtiene:
- 316 -
Índice D
11
0,00
0,00
La combinación con mayor índice D es la (20,1).
E
12
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
13
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,02
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,04
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,03
0,07
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,03
0,08
0,11
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,02
0,07
0,15
0,04
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,06
0,15
0,22
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
15
0,04
0,13
0,25
0,21
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
16
0,11
0,24
0,35
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
17
0,22
0,38
0,12
0,00
0,00
0,00
0,01
18
0,37
0,35
0,00
0,00
0,00
0,01
19
0,51
0,00
0,00
0,00
0,01
20
0,10
0,00
0,00
0,01
21
0,00
0,00
0,00
22
0,00
14
23
Tabla 7.24. Índice D, en el cuarto paso de la heurística para el experimento de confirmación con los
pesos (s1=10, t1=10, s2=1).
K(0)
Función Desirability, d1
11
10
9
8
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
1
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
2
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
3
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
4
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
5
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
6
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
7
0,02
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
8
0,03
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
9
0,04
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
10
0,06
0,02
0,01
0,00
0,00
0,00
11
0,08
0,03
0,01
0,00
0,00
0,00
12
0,11
0,04
0,01
0,00
0,00
0,00
13
0,15
0,06
0,02
0,01
0,00
0,00
14
- 317 -
E
12
0,01
0,61
0,01
0,49
0,77
0,01
0,40
0,90
0,09
0,00
0,32
0,74
0,20
0,01
0,00
0,25
0,61
0,40
0,02
0,00
0,00
0,19
0,49
0,76
0,04
0,00
0,00
0,00
0,15
0,40
0,90
0,09
0,00
0,00
0,00
13
0,11
0,32
0,75
0,20
0,01
0,00
0,00
0,00
0,31
0,08
0,25
0,61
0,40
0,02
0,00
0,00
0,00
0,00
0,25
0,06
0,19
0,50
0,75
0,04
0,00
0,00
0,00
0,00
0,19
0,04
0,15
0,40
0,91
0,09
0,00
0,00
0,00
0,00
0,15
0,03
0,11
0,32
0,75
0,20
0,01
0,00
0,00
0,00
0,11
0,02
0,08
0,25
0,61
0,39
0,02
0,00
0,00
0,00
0,08
0,01
0,06
0,20
0,50
0,74
0,04
0,00
0,00
0,00
0,06
15
0,04
0,15
0,40
0,91
0,09
0,00
0,00
0,00
0,04
16
0,11
0,32
0,75
0,19
0,01
0,00
0,00
0,03
17
0,25
0,61
0,39
0,02
0,00
0,00
0,02
18
0,50
0,74
0,04
0,00
0,00
0,01
19
0,91
0,09
0,00
0,00
0,01
20
0,19
0,01
0,00
0,01
21
0,01
0,00
0,00
22
0,00
14
23
Tabla 7.25. Función Desirability, d1, en el cuarto paso de la heurística para el experimento de
confirmación con los pesos (s1=5, t1=8, s2=5).
K(0)
Función Desirability, d2
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
0,00
0,00
0,00
0,00
0,05
0,28
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,07
0,30
0,95
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
2
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,06
0,22
0,63
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
3
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,03
0,10
0,27
0,64
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
4
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,02
0,06
0,15
0,33
0,63
1,00
1,00
5
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,03
0,06
0,11
6
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
7
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
8
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
9
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
10
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
11
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
12
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
13
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
14
E
23
- 318 -
para el experimento de
Tabla 7.26. Función Desirability, d2, en el cuarto paso de la heurística
confirmación con los pesos (s1=5, t1=8, s2=5).
K(0)
10
9
8
0,00
0,00
0,00
0,00
1
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
2
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
3
0,02
0,00
0,00
0,00
0,00
4
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
5
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
6
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
7
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
8
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
9
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
10
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
11
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
12
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
13
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
14
- 319 -
Índice D
11
0,00
0,00
El mayor índice D se vuelve a encontrar para la pareja (17,1).
E
12
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,02
0,00
0,00
0,00
0,04
0,00
0,00
0,00
0,00
0,04
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,03
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,02
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
13
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,02
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,07
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,14
0,05
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,14
0,14
0,03
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,12
0,24
0,11
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
15
0,21
0,21
0,06
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
16
0,34
0,15
0,02
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
17
0,27
0,07
0,00
0,00
0,00
0,00
0,02
18
0,15
0,01
0,00
0,00
0,00
0,06
19
0,05
0,00
0,00
0,00
0,09
20
0,00
0,00
0,00
0,07
21
0,00
0,00
0,05
22
0,00
14
23
Tabla 7.27. Índice D, en el cuarto paso de la heurística para el experimento de confirmación con los
pesos (s1=5, t1=8, s2=5).
En esta fase de la heurística las combinaciones halladas a ser candidatas a la
combinación elegida son la (17,1) y la (20,1). En la tabla siguiente se muestran los
resultados obtenidos en la simulación de ambas y se comparan con la obtenida en el
segundo paso:
K(0)
17
20
19
E
1
1
3
Nivel de servicio medio
94,805
97,370
97,778
IC (99%) para el nivel de servicio
94,159<>95,451
96,836<>97,905
97,262<>98,294
WIP medio
17,957
20,699
21,257
Tabla 7.28. Comparativa de soluciones candidatas para el experimento de confirmación.
En la tabla anterior se aprecia que de las dos combinaciones halladas en este paso
ninguna es admisible, sin embargo la que se ha obtenido con la combinación de pesos
más exigente es la que más próxima esta de ser admisible. Recordar que esto mismo
ocurría cuando se aplicó la heurística al sistema estudiado en el capítulo 6.
Pudiera parecer que la aplicación de la metodología RSM fracasa al no proporcionar
una solución admisible, sin embargo nosotros no creemos eso. Si comparamos la
combinación (20,1) con la combinación (19,3), vemos que hay poca diferencia entre
ellas, por lo que consideramos que la aplicación de esta metodología en la heurística es
beneficiosa, porque proporciona un método aceptable y complementario a la búsqueda
que se hace en los dos primeros pasos de la heurística.
A continuación se realiza la búsqueda exhaustiva en prácticamente todo el espacio de
soluciones en busca de la combinación óptima con el fin de compararla con la solución
que se ha hallado con la aplicación de la heurística propuesta y descubrir que grado de
fidelidad ofrece esta última.
- 320 -
K(0)
Nivel de Servicio Medio
12
11
10
9
73,771
64,086
58,455
42,098
27,913
0
83,720
80,274
73,624
63,904
58,454
1
87,555
83,721
80,490
73,803
67,697
2
90,618
87,743
82,973
80,758
73,361
3
94,079
92,899
90,752
87,643
82,754
80,017
4
96,172
94,794
92,970
90,568
87,518
82,894
5
96,552
95,971
94,298
92,681
90,829
87,789
6
97,327
96,660
96,192
94,365
92,334
90,517
7
97,543
97,135
96,349
96,220
94,438
92,494
8
97,680
97,700
97,223
96,583
96,056
94,382
9
98,300
97,784
97,466
97,195
96,757
95,928
10
98,271
98,313
97,697
97,570
97,202
96,388
11
98,020
98166
98,124
97,603
97,606
97,256
12
98,151
98,236
98,287
98,103
97,634
97,511
13
98,196
98,331
98,241
97,524
14
- 321 -
E
13
92,793
98,329
90,866
98,335
87,487
98,153
81,117
98,051
98,276
14
98,051
98,307
98,341
97,937
98,386
98,107
97,672
98,232
98,378
98,188
97,186
97,890
98,264
98,160
96,712
97,832
98,297
98,293
97,691
95,959
97,422
97,899
98,345
97,738
94,555
96,720
97,647
98,262
98,290
97,122
93,012
96,088
97,292
97,828
98,355
97,061
88,080
94,805
96,739
97,778
98,148
98,484
96,370
16
91,092
96,114
97,368
97,881
98,706
94,170
17
93,236
96,696
97,598
98,611
92,787
18
95,024
97,370
98,328
90,925
19
96,527
98,198
83,461
20
97,145
98,760
15
21
98,642
98,889
98,803
98,862
98,360
98,880
97,860
98,242
22
23
Tabla 7.29. Búsqueda exhaustiva para el experimento de confirmación. Nivel de servicio medio.
K(0)
IC (99%) para el Nivel de Servicio
12
11
10
9
72,456<>75,086
62,222<>65,950
57,398<>59,511
40,618<>43,578
25, 919<>29,907
0
82,323<>85,117
78,484<>82,064
72,548<>74,699
61,592<>66,217
57,144<>59,764
1
86,501<>88,609
82,582<>84,860
78,702<>82,277
72,574<>75,032
67,700<>70,694
2
89,775<>91,462
86,795<>88,691
81,523<>84,423
79,025<>82,491
71,992<>74,731
3
92,068<>93,730
89,967<>91,538
86,724<>88,563
81,347<>84,162
78,692<>81,343
4
94,242<>95,345
92,174<>93,765
89,852<>91,283
86,547<>88,488
81,616<>84,351
5
96,095<>97,009
95,357<>96,584
93,662<>94,934
91,786<>93,576
90,076<>91,583
86,634<>88,944
6
E
13
95,533<>96,810
97,242<>98,102
93,508<>94,649
96,645<>97,627
97,562<>98,218
92,009<>93,578
96,234<>97,190
97,378<>98,287
98,012<>98,582
90,077<>91,656
95,249<>96,669
96,957<>97,887
97,553<>98,245
98,119<>98,572
86,353<>88,621
94,021<>95,089
96,208<>97,232
97,115<>98,178
97,975<>98,548
98,055<>98,525
79,329<>82,904
92,204<>93,820
95,372<>96,805
96,717<>97,867
97,377<>98,278
98,082<>98,628
14
86,967<>89,193
94,159<>95,451
96,213<>97,266
97,262<>98,294
97,861<>98,436
98,155<>98,812
96,646<>97,599
16
90,385<>91,789
95,454<>96,774
96,793<>97,943
97,502<>98,260
98,436<>98,977
96,661<>97,461
17
92,420<>94,052
96,182<>97,210
97,001<>98,196
98,358<>98,864
98,433<>99,086
95,694<>97,046
18
94,557<>95,490
96,836<>97,905
97,867<>98,789
98,366<>98,919
93,953<>94,887
19
95,872<>97,181
97,655<>98,741
98,532<>99,074
98,565<>99,213
91,998<>93,577
20
96,812<>97,479
97,821<>98,898
98,536<>99,187
90,126<>91,725
21
97,247<>98,473
98,531<>99,228
82,137<>84,786
22
97,702<>98,782
15
23
- 322 -
96,158<>97,135
95,576<>96,808
93,789<>94,941
91,467<>93,200
89,732<>91,301
7
97,080<>98,006
96,574<>97,695
95,855<>96,842
95,584<>96,856
93,750<>95,126
91,679<>93,310
8
97,224<>98,137
97,205<>98,195
96,65/8<>97,787
96,144<>97,021
95,483<>96,629
93,800<>94,964
9
98,089<>98,510
97,388<>98,179
96,851<>98,082
96,620<>97,770
96,339<>97,175
95,237<>96,619
10
98,050<>98,492
98,044<>98,582
97,206<>98,189
97,102<>98,038
96,564<>97,841
95,718<>97,057
11
97,644<>98,397
97,893<>98,439
97,824<>98,425
97,205<>98,002
97,112<>98,099
96,608<>97,904
12
97,875<>98,428
97,940<>98,531
98,050<>98,524
97,750<>98,456
97,133<>98,135
96,940<>98,083
13
97,906<>98,432
98,060<>98,602
98,002<>98,480
97,077<>97,971
14
98,063<>98,595
96,827<>97,827
98,094<>98,575
98,145<>98,537
97,816<>98,490
97,828<>98,386
97,847<>98,255
97,916<>98,636
97,918<>98,459
97,951<>98,352
98,011<>98,603
97,953<>98,366
97,608<>98,266
98,201<>98,572
97,267<>98,116
97,874<>98,591
98,087<>98,669
97,259<>98,216
98,024<>98,503
98,041<>98,545
Tabla 7.30. Búsqueda exhaustiva para el experimento de confirmación. Intervalos de confianza del nivel
de servicio.
- 323 -
K(0)
11
10
9
12,040
11,050
10,053
9,066
0
14,018
13,023
12,035
11,048
10,050
1
15,004
14,012
13,020
12,033
11,440
2
15,986
15,001
14,012
13,021
12,031
3
16,971
15,982
15,004
14,015
13,019
4
18,917
17,942
16,972
15,992
15,003
14,012
5
19,907
18,934
17,957
16,979
15,988
15,003
6
20,802
19,861
18,948
17,951
16,985
15,993
7
21,729
20,763
19,876
18,952
17,968
16,978
8
22,586
21,674
20,844
19,917
18,936
17,975
9
23,481
22,612
21,770
20,889
19,931
18,969
10
24,376
23,565
22,640
21,808
20,885
19,951
11
25,126
24,320
23,673
22,710
21,875
20,932
12
25,933
25,460
24,556
23,629
22,780
21,854
13
25,379
24,652
23,709
22,817
14
WIP medio
12
13,030
17,950
- 324 -
E
13
16,978
26,380
15,991
25,554
15,010
24,728
14,026
23,984
25,575
14
23,135
24,803
25,603
22,387
23,710
24,911
21,507
22,966
24,561
24,113
20,658
22,296
23,565
23,250
19,830
21,565
22,673
23,872
22,487
18,875
20,691
22,130
22,879
21,641
17,922
19,807
21,332
22,266
23,294
20,731
16,973
18,882
20,598
21,388
22,930
20,364
16,051
17,957
19,798
21,257
22,528
22,828
18,879
16
17,013
18,889
20,568
21,903
22,402
17,914
17
18,009
19,781
21,381
22,273
16,961
18
19,007
20,699
21,842
15,987
19
20,006
21,401
15,021
20
21,004
23,153
15
21
22,954
24,029
22,541
23,698
22,280
23,317
22,004
23,003
22
23
Tabla 7.31.Búsqueda exhaustiva para el experimento de confirmación. Inventario en proceso.
En color azul se han remarcado las soluciones admisibles con menor inventario en
proceso que se han encontrado. Como se puede observar, la combinación de parámetros
admisible que ofrece un menor inventario en proceso en la (19, 3) que es la misma que
se ha encontrado al aplicar la heurística.
La heurística propuesta aplicada tanto al experimento llevado a cabo en la sección 5.4
como el realizado en este capítulo ha ofrecido la solución óptima en ambos casos, por lo
que parece ser que es un método fácil, rápido y fiable de encontrar la combinación de
los parámetros K (0) y E de un sistema de la producción PS, que hacen que este
funcione muy cercano a un nivel de servicio del 98%, con el menor inventario en
proceso.
- 325 -
CAPÍTULO 8:
CONCLUSIONES
- 326 -
El objeto del presente proyecto es la propuesta de un método para la optimización de un
sistema de control de la producción del tipo Conwip adaptativo.
Para el desarrollo de este proyecto ha sido necesario superar diferentes fases que, a
modo de resumen, se muestran a continuación.
FASES
Fase 1: Estudio del sistema Conwip adaptativo
Para comprender mejor las características y el funcionamiento de los sistemas de la
producción basados en tarjetas, se hace en el capítulo 2 una introducción y un posterior
estudio de estos, haciendo un repaso de la literatura existente al respecto. Este capítulo
comienza con una introducción a los sistemas basados en tarjetas, explicando las
diferencias entre los sistemas push y pull y porqué estos últimos son superiores a los
primeros. También se hace un repaso a la filosofía Just In Time (Justo a Tiempo).
A continuación se describe el sistema Conwip, su funcionamiento en entornos contra
stock y contra pedido, y se enumeran sus ventajas e inconvenientes. La parte final de
este capítulo se dedica a estudiar los distintos sistemas que ajustan el número de tarjetas
de forma dinámica. Se presta especial atención al modelo propuesto por Tardif y
Maaseidvaag, ya que es en el que se basa el modelo PS propuesto por Framiñan et al,
que es el objeto de estudio de este proyecto.
Estos autores desarrollaron un procedimiento para controlar de forma dinámica el
número de tarjetas en sistemas de control de la producción basados en tarjetas,
operando tanto en entornos contra stock como contra pedido. El método se basa en el
compromiso entre el inventario de productos terminados FGI y la demanda acumulada
en un cierto instante, siendo el objetivo conseguir un nivel de servicio (o tasa de salida)
predeterminado minimizando a su vez el WIP y los costes asociados a la demanda
acumulada. Este sistema utiliza como datos de entrada do parámetros, el K (0) y E, que
corresponden con un número fijo de tarjetas que van a operar a lo largo de la línea de
producción y con un número de tarjetas extras, respectivamente.
Sin embargo, en los estudios del sistema propuesto PS no se ofreció ningún método para
la optimización de los parámetros K (0) y E, por lo que el objeto del presente proyecto
es estudiar en profundidad la determinación e importancia de los parámetros K (0) y E,
para posteriormente proponer un método o heurística que permita hallar la combinación
de estos parámetros que hagan funcionar al sistema en el nivel de servicio
predeterminado con el menor inventario en proceso.
Fase 2: Estudio de las técnicas RSM de optimización
En el presente proyecto se han empleado las técnicas del diseño y análisis de
experimentos para conocer la importancia de los parámetros y la metodología de la
superficie de repuesta, RSM, para la optimización del mismo. Estas herramientas
estadísticas se describen en profundidad en el capítulo 4, donde se han introducido todos
- 327 -
los conceptos necesarios con la realización de dos ejemplos con el fin de arrojar claridad
a la exposición.
Fase 3: Aplicación de las técnicas RSM al sistema objeto de estudio
Una vez descritas las herramientas matemáticas necesarias se ha procedido a la
experimentación comenzando esta con la realización un experimento de caracterización
en el fin de conocer el grado de significación de los parámetros K (0) y E, en la
respuesta del sistema, que en nuestro caso son el nivel de servicio y el inventario en
proceso.
Observando los resultados obtenidos se llega a la conclusión de que los parámetros
K (0) y E, así como su interacción son significativos en la respuesta. El nivel de servicio
aumenta al hacerlo los parámetros K (0) y E, y lo hace más conforme aumenta el
número K (0). La interpretación de la interacción es algo más compleja, pero todo
parece indicar que el nivel de servicio aumenta más al hacerlo el parámetro K (0) con
valores pequeños del número de tarjetas extra E.
La experimentación prosigue con la realización de los experimentos encaminados a la
optimización del sistema. El primero de esta fase de la experimentación se realiza para
un nivel de servicio predeterminado del 100%, con el objeto de estudiar inicialmente el
comportamiento del sistema así como la importancia relativa de los parámetros de
funcionamiento del mismo. Sin embargo este nivel de servicio parece elevado para los
datos de la línea y datos de la demanda, por lo que se repite el proceso para un nivel de
servicio objetivo del 98%. Tras aplicar los métodos del análisis canónico y de la
máxima pendiente para avanzar por la superficie de respuesta en busca de un punto
cercano a los criterios de búsqueda, se llega a una combinación admisible desde el
punto de vista del nivel de servicio medio. Esto esta bien como primera aproximación,
pero no nos podemos quedar aquí ya que hasta ahora no se han tenido en cuenta los
intervalos de confianza para el nivel de servicio. Consideramos que una solución es
admisible cuando el valor de nivel de servicio objetivo del 98% esta incluido en el
intervalo de confianza del nivel de servicio.
Debido a que ya no se puede explorar la superficie de respuesta por lo métodos
anteriormente nombrados y a que la búsqueda de la combinación óptima implica el
compromiso del nivel de servicio y del inventario en proceso, se decide aplicar el
método gráfico de optimización de la superposición de las gráficas de contorno. Para
ello se ajusta, en una región de experimentación alrededor del punto hallado
anteriormente, un modelo para el nivel de servicio y otro para el inventario en proceso.
Tras estudiar la información de las gráficas de contorno, la forma de las superficies de
respuesta y las soluciones candidatas se aprecia que las soluciones admisibles guardan
una relación lineal. Si las representamos en las graficas de contornos se aprecia como
están alineadas, lo que hace pensar que a lo largo d esta trayectoria podremos encontrar
la solución buscada. Se analizan todas las combinaciones que pertenecen a esta
trayectoria y se descubre que son admisibles, y que además, son las que menor
inventario en proceso tienen. Entre todas ellas escogemos la que menor WIP presenta. A
- 328 -
esta trayectoria la denominamos “trayectoria de las soluciones admisibles” y a lo largo
de ella se cumple que la suma de los parámetros K (0) y E se mantiene constante.
Para averiguar si la solución encontrada es la óptima o esta cerca de esta, se plantea una
búsqueda exhaustiva, dando como resultado que la combinación hallada es la mejor de
todas. Este resultado no era el esperado, pero abre la puerta a plantear un método de
búsqueda más sencillo y rápido de lo que esperábamos.
Fase 4: Aplicación de la función desirability
Antes de ello se considera oportuno estudiar el método de optimización multirespuesta
de la función desirability, como alternativa de optimización al planteamiento inicial de
superposición de las gráficas de contornos. Presenta además por una parte la ventaja de
ser analítico y poder implementarse en un ordenador, y por otra que el experimentador
puede influir en el proceso de optimización mediante el valor que le de a los distintos
pesos de las funciones desirability que en él se emplean. Tras su estudio y aplicación al
sistema objeto de este proyecto, se llega a la conclusión de que su uso no aporta grandes
ventajas desde el punto de vista computacional, sin embargo sí que puede ser de gran
utilidad su empleo en el estudio de la superficie de respuesta en una zona de interés en
la que estemos interesados conocer el comportamiento de varias respuestas a la vez.
Como propuesta de optimización se plantea el uso de una heurística que utiliza por un
lado el seguimiento de la “trayectoria de las soluciones admisibles” y por otro lado la
exploración de la vecindad de la mejor solución de esta trayectoria para asegurar su
idoneidad, ya que no se tiene la seguridad de haber encontrado la combinación óptima.
Los pasos que sigue la heurística son cuatro:
1. Buscar el punto de partida de la “trayectoria de las soluciones admisibles”
mediante el estudio del sistema como si este fuese un Conwip tradicional.
2. Estudiar las combinaciones que forman parte de la “trayectoria de las soluciones
admisibles” y escoger aquella con menor WIP.
3. Estudiar la vecindad de la solución hallada aplicando la metodología RSM para
ajustar sendos modelos para el nivel de servicio y el inventario en proceso.
4. Aplicar el método de la función desirability para encontrar soluciones
candidatas, escogiendo la mejor entre estas y la hallada anteriormente.
Esta heurística se aplica al sistema y se llega a la misma solución encontrada
anteriormente.
El resultado es prometedor, pero es necesario validar el comportamiento de la heurística
propuesta aplicándola a un sistema PS distinto del utilizado hasta este momento. El
nuevo sistema va a estar formado por cinco máquinas con distintos tiempos de
procesado (sistema desequilibrado). También va ser diferente el tiempo de llegada de la
- 329 -
demanda. Tras aplicar la heurística al nuevo sistema se comprueba la calidad de la
solución proporcionada por esta realizando una búsqueda exhaustiva en el espacio de
soluciones. El resultado de este experimento de confirmación es que la heurística
propuesta vuelve a dar como resultado la combinación óptima.
RESUMEN CONCLUSIONES
Cómo conclusión de todo lo expuesto se puede decir que se ha hallado un método
sencillo y lo suficientemente eficaz de encontrar la combinación de parámetros que
hacen que un sistema PS funcione muy próximo al nivel de servicio predeterminado con
un inventario en proceso bajo. Sin embargo hay que tener en cuenta que no tenemos
factores objetivos para afirmar que la heurística propuesta proporciona el óptimo en
todas las situaciones posibles en las que un sistema PS pueda operar, aunque el los dos
entornos en la que la hemos utilizado haya alcanzado la solución óptima. Pensamos que
en el caso de no alcanzarla, la solución que se encuentre será próxima a ella, y
seguramente el sistema opere ofreciendo buenos resultados.
FUTURAS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN
Parece interesante que futuras investigaciones prueben su validez en otros escenarios
como pueden ser:
•
Sistemas operando en un entorno contra pedido.
•
Líneas de producción con un mayor número de estaciones.
•
Líneas en donde se tengan en cuenta averías de las máquinas.
•
Líneas con reprocesado de piezas defectuosas.
•
Líneas con piezas de desecho que haya que eliminar del sistema (Scrap).
•
Sistemas multiproducto.
•
Sistemas en donde no hay infinita disponibilidad de producto.
•
Sistemas cuyas máquinas puedan procesar más de un producto a la vez.
•
Sistemas con otro tipo de distribuciones estadísticas distintas a la
exponencial para los tiempos de proceso de las máquinas y tasa de
llegada de clientes.
•
Sistemas en los que el tiempo de llegada de los clientes se modele con
una distribución distinta de la exponencial.
•
Sistemas en los que la demanda espere a ser satisfecha.
- 330 -
•
Sistemas con otros grados de desequilibrio, diferentes al usado en el
experimento de confirmación.
•
Sistemas en los que los almacenes intermedios tengan capacidad finita.
- 331 -
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- 332 -
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de noviembre de 2002.
- 336 -
ANEXO:
RESULTADOS OBTENIDOS EN EL
PROCESO DE DETERMINACION DE LOS
PARÁMETROS DE SIMULACIÓN
- 337 -
En este anexo se presentan los valores obtenidos en las diferentes simulaciones y
réplicas de los cinco experimentos aleatorios utilizados en la determinación de los
parámetros de simulación:
•
•
•
Tiempo efectivo de simulación
Warm-up o periodo de calentamiento
Número de réplicas
- 338 -
1-CÁCULO DEL TIEMPO EFECTIVO DE SIMULACIÓN (T-W)
En todos las simulaciones y réplicas se van a mantener constantes el warm-up, con un
valor de 30.000 unidades de tiempo y el número de réplicas con 50.
El valor inicial del tiempo efectivo de simulación es de 70.000 unidades de tiempo,
decreciendo de 5.000 unidades en 5.000 unidades, hasta un valor final de 5.000.
T-W
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
40000
45000
50000
55000
60000
65000
70000
Media
18,329
18,498
18,436
18,487
18,499
18,473
18,481
18,509
18,482
18,487
18,484
18,496
18,511
18,515
Experimento 1
WIP
IC(99)
0,349
0,236
0,205
0,167
0,146
0,125
0,110
0,108
0,104
0,103
0,096
0,091
0,091
0,083
Nivel de servicio
Media
IC(99)
29,821
4,829
27,728
3,490
28,159
3,069
27,562
2,531
27,858
2,185
28,363
1,887
28,418
1,637
28,001
1,581
28,279
1,504
28,351
1,481
28,387
1,369
28,195
1,311
27,905
1,316
27,893
1,166
Experimento 2
WIP
T-W
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
40000
45000
50000
55000
60000
65000
70000
Media
22,443
22,550
22,598
22,606
22,583
22,578
22,581
22,601
22,615
22,603
22,614
22,615
22,603
22,622
IC(99)
0,403
0,311
0,247
0,202
0,183
0,177
0,160
0,148
0,139
0,115
0,114
0,115
0,108
0,099
- 339 -
Nivel de servicio
Media
IC(99)
44,103
5,415
42,662
4,235
42,443
3,469
42,264
2,773
42,992
2,514
42,818
2,476
42,733
2,073
42,473
1,822
42,063
1,720
42,067
1,384
41,980
1,385
42,105
1,331
42,198
1,234
41,960
1,207
T-W
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
40000
45000
50000
55000
60000
65000
70000
T-W
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
40000
45000
50000
55000
60000
65000
70000
Media
20,574
20,385
30,345
20,418
20,442
20,398
20,409
20,405
20,417
20,411
20,419
20,410
20,408
20,402
Experimento 3
WIP
IC(99)
0,453
0,313
0,283
0,254
0,228
0,207
0,190
0,177
0,159
0,147
0,133
0,127
0,119
0,117
Nivel de servicio
Media
IC(99)
36,125
5,829
38,786
4,123
39,183
3,708
38,473
3,337
38,211
2,964
39,028
2,648
38,802
2,400
38,927
2,236
38,693
2,048
38,864
1,913
38,777
1,706
38,910
1,659
38,997
1,568
39,093
1,508
Media
19,674
19,688
19,890
19,862
19,862
19,897
19,877
19,881
19,886
19,880
19,862
19,856
19,877
19,885
Experimento 4
WIP
IC(99)
0,365
0,257
0,207
0,178
0,171
0,155
0,140
0,134
0,123
0,120
0,109
0,100
0,096
0,089
Nivel de servicio
Media
IC(99)
34,628
4,661
33,468
3,647
31,660
2,973
31,593
2,519
31,550
2,329
31,294
2,067
31,630
1,894
31,492
1,832
31,382
1,735
31,399
1,731
31,642
1,536
31,812
1,432
31,497
1,321
31,373
1,249
- 340 -
T-W
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
40000
45000
50000
55000
60000
65000
70000
Media
19,864
19,850
19,860
19,886
19,910
19,961
19,971
19,979
20,000
20,010
20,022
20,038
20,030
20,033
Experimento 5
WIP
IC(99)
0,412
0,323
0,283
0,253
0,218
0,184
0,167
0,158
0,146
0,142
0,136
0,138
0,129
0,121
Nivel de servicio
Media
IC(99)
39,425
6,144
39,483
5,045
39,795
4,192
39,904
3,806
39,672
3,365
39,270
2,807
38,761
2,490
38,437
2,255
38,249
1,950
38,026
1,944
37,854
1,911
37,633
1,951
37,833
1,831
37,759
1,728
WIP
T-W
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
40000
45000
50000
55000
60000
65000
70000
Exp.1
IC(99)
0,349
0,236
0,205
0,167
0,146
0,125
0,110
0,108
0,104
0,103
0,096
0,091
0,091
0,083
Exp.2
IC(99)
0,403
0,311
0,247
0,202
0,183
0,177
0,160
0,148
0,139
0,115
0,114
0,115
0,108
0,099
Exp.3
IC(99)
0,453
0,313
0,283
0,254
0,228
0,207
0,190
0,177
0,159
0,147
0,133
0,127
0,119
0,117
- 341 -
Exp.4
IC(99)
0,365
0,257
0,207
0,178
0,171
0,155
0,140
0,134
0,123
0,120
0,109
0,100
0,096
0,089
Exp.5
IC(99)
0,412
0,323
0,283
0,253
0,218
0,184
0,167
0,158
0,146
0,142
0,136
0,138
0,129
0,121
T-W
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
40000
45000
50000
55000
60000
65000
70000
Exp.1
IC(99)
4,829
3,490
3,069
2,531
2,185
1,887
1,637
1,581
1,504
1,481
1,369
1,311
1,316
1,166
Nivel de Servicio
Exp.2
Exp.3
IC(99)
IC(99)
5,415
5,829
4,235
4,123
3,469
3,708
2,773
3,337
2,514
2,964
2,476
2,648
2,073
2,400
1,822
2,236
1,720
2,048
1,384
1,913
1,385
1,706
1,331
1,659
1,234
1,568
1,207
1,508
- 342 -
Exp.4
IC(99)
4,661
3,647
2,973
2,519
2,329
2,067
1,894
1,832
1,735
1,731
1,536
1,432
1,321
1,249
Exp.5
IC(99)
6,144
5,045
4,192
3,806
3,365
2,807
2,490
2,255
1,950
1,944
1,911
1,951
1,831
1,728
2- CÁCULO DEL WARM-UP O PERIODO DE CALENTAMIENTO
(W):
En todos las simulaciones y réplicas se van a mantener constantes el tiempo efectivo de
simulación, con un valor de 35.000 unidades de tiempo y el número de réplicas con 50.
El valor inicial del warm-up es de 30.000 unidades de tiempo, decreciendo de 1.000
unidades en 1.000 unidades, hasta un valor final de 1.000.
W
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
11000
12000
13000
14000
15000
16000
17000
18000
19000
20000
21000
22000
23000
24000
25000
26000
27000
28000
29000
30000
Media
18,540
18,546
18,543
18,558
18,558
18,557
18,543
18,534
18,539
18,535
18,527
18,530
18,539
18,541
18,540
18,537
18,537
18,530
18,528
18,515
18,511
18,505
18,481
18,471
18,474
18,464
18,478
18,488
18,484
18,481
Experimento 1
WIP
IC(99)
0,115
0,114
0,120
0,118
0,119
0,122
0,126
0,129
0,133
0,129
0,127
0,133
0,131
0,130
0,130
0,129
0,128
0,124
0,121
0,116
0,118
0,117
0,120
0,115
0,115
0,123
0,120
0,119
0,114
0,110
- 343 -
Nivel de servicio
Media
IC(99)
27,349
1,770
27,286
1,792
27,257
1,861
27,049
1,847
17,056
1,863
27,113
1,882
27,257
1,997
27,151
2,053
26,993
2,085
27,000
2,036
27,138
2,024
27,113
2,074
27,024
2,065
27,067
2,034
27,009
2,043
27,154
2,047
27,227
2,016
27,397
1,926
27,474
1,901
27,749
1,881
27,737
1,918
27,826
1,863
28,207
1,850
28,420
1,792
28,498
1,817
28,592
1,811
28,555
1,793
28,491
1,720
28,460
1,686
28,418
1,627
Experimento 2
WIP
W
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
11000
12000
13000
14000
15000
16000
17000
18000
19000
20000
21000
22000
23000
24000
25000
26000
27000
28000
29000
30000
Media
22,691
22,689
22,683
22,687
22,680
22,670
22,654
22,685
22,691
22,708
22,699
22,714
22,676
22,675
22,679
22,677
22,682
22,671
22,664
22,654
22,660
22,659
22,646
22,632
22,630
22,621
22,596
22,582
22,590
22,581
IC(99)
0,179
0,177
0,170
0,168
0,165
0,172
0,176
0,173
0,178
0,179
0,182
0,177
0,169
0,169
0,160
0,156
0,158
0,157
0,156
0,155
0,155
0,158
0,156
0,161
0,170
0,174
0,177
0,176
0,168
0,160
- 344 -
Nivel de servicio
Media
IC(99)
41,955
2,474
41,833
2,472
41,803
2,413
41,822
2,367
41,909
2,342
42,088
2,483
42,092
2,484
41,723
2,464
41,647
2,495
41,508
2,457
41,525
2,471
41,580
2,358
41,913
2,281
41,767
2,232
41,677
2,135
41,855
2,134
41,897
2,182
42,067
2,158
42,158
2,118
42,282
2,075
42,097
2,072
42,104
2,162
42,234
2,153
42,363
2,166
42,444
2,237
42,636
2,246
42,820
2,301
42,823
2,284
42,727
2,202
42,733
2,073
W
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
11000
12000
13000
14000
15000
16000
17000
18000
19000
20000
21000
22000
23000
24000
25000
26000
27000
28000
29000
30000
Media
20,585
20,568
20,576
20,575
20,537
20,519
20,501
20,513
20,477
20,475
20,476
20,468
20,483
20,483
20,477
20,461
20,456
20,439
20,439
20,439
20,420
20,425
20,408
20,401
20,392
20,400
20,408
20,402
20,395
20,409
Experimento 3
WIP
IC(99)
0,175
0,185
0,192
0,191
0,188
0,198
0,195
0,198
0,200
0,190
0,188
0,184
0,178
0,179
0,187
0,189
0,182
0,180
0,181
0,178
0,173
0,168
0,176
0,178
0,179
0,185
0,190
0,193
0,196
0,190
- 345 -
Nivel de servicio
Media
IC(99)
36,646
2,283
36,828
2,363
36,736
2,419
36,805
2,421
37,282
2,413
27,485
2,491
37,565
2,486
37,456
2,533
37,862
2,593
37,927
2,509
37,987
2,531
38,077
2,472
37,953
2,396
37,956
2,415
38,029
2,525
38,143
2,563
38,194
2,500
38,351
2,443
38,315
2,414
38,330
2,341
38,518
2,272
38,570
2,242
38,923
2,273
39,065
2,253
39,173
2,231
39,113
2,329
39,065
2,378
39,007
2,431
38,914
2,462
28,802
2,400
W
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
11000
12000
13000
14000
15000
16000
17000
18000
19000
20000
21000
22000
23000
24000
25000
26000
27000
28000
29000
30000
Media
19,765
19,765
19,787
19,798
19,819
19,814
19,830
19,831
19,846
19,854
19,855
19,836
19,842
19,842
19,853
19,851
19,855
19,849
19,839
19,840
19,840
19,853
19,853
19,864
19,884
19,899
19,889
19,892
19,877
19,877
Experimento 4
WIP
IC(99)
0,134
0,133
0,133
0,133
0,140
0,146
0,153
0,150
0,151
0,149
0,149
0,148
0,147
0,142
0,142
0,140
0,151
0,152
0,145
0,144
0,138
0,143
0,144
0,142
0,138
0,142
0,139
0,139
0,142
0,140
- 346 -
Nivel de servicio
Media
IC(99)
32,162
1,720
32,236
1,737
31,956
1,737
31,788
1,723
31,624
1,777
31,763
1,876
31,625
1,939
31,703
1,933
31,612
1,980
31,545
1,978
31,510
1,951
31,709
1,948
31,643
1,923
31,643
1,919
31,524
1,957
31,419
1,871
31,359
1,927
31,467
1,847
31,601
1,857
31,572
1,878
31,567
1,829
31,559
1,901
31,590
1,921
31,383
1,908
31,368
1,821
31,283
1,872
31,323
1,864
31,333
1,850
31,633
1,922
31,630
1,894
Experimento 5
WIP
W
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
11000
12000
13000
14000
15000
16000
17000
18000
19000
20000
21000
22000
23000
24000
25000
26000
27000
28000
29000
30000
Media
20,132
20,132
20,124
20,109
20,097
20,074
20,063
20,056
20,040
20,047
20,039
20,036
20,032
20,019
20,031
20,015
20,025
20,041
20,032
20,015
20,013
20,007
20,012
20,027
20,033
20,005
19,992
19,980
19,958
19,971
IC(99)
0,152
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0,165
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0,163
0,161
0,162
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0,174
0,177
0,183
0,188
0,188
0,184
0,182
0,186
0,180
0,180
0,174
0,176
0,177
0,173
0,172
0,172
0,172
0,167
- 347 -
Nivel de servicio
Media
IC(99)
35,784
2,576
35,697
2,641
35,781
2,675
35,987
2,700
36,318
2,592
36,652
2,578
36,821
2,576
36,988
2,491
37,095
2,434
37,031
2,471
37,248
2,568
37,442
2,652
37,618
2,660
37,722
2,661
37,595
2,709
37,765
2,841
37,606
2,920
37,494
2,912
37,770
2,900
37,983
2,888
38,082
2,782
38,109
2,737
38,087
2,714
38,018
2,726
38,205
2,677
38,446
2,556
38,548
2,566
38,761
2,580
39,001
2,545
38,761
2,490
WIP
W
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
11000
12000
13000
14000
15000
16000
17000
18000
19000
20000
21000
22000
23000
24000
25000
26000
27000
28000
29000
30000
Exp.1
IC(99)
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0,114
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0,119
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0,133
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0,130
0,129
0,128
0,124
0,121
0,116
0,118
0,117
0,120
0,115
0,115
0,123
0,120
0,119
0,114
0,110
Exp.2
IC(99)
0,179
0,177
0,170
0,168
0,165
0,172
0,176
0,173
0,178
0,179
0,182
0,177
0,169
0,169
0,160
0,156
0,158
0,157
0,156
0,155
0,155
0,158
0,156
0,161
0,170
0,174
0,177
0,176
0,168
0,160
Exp.3
IC(99)
0,175
0,185
0,192
0,191
0,188
0,198
0,195
0,198
0,200
0,190
0,188
0,184
0,178
0,179
0,187
0,189
0,182
0,180
0,181
0,178
0,173
0,168
0,176
0,178
0,179
0,185
0,190
0,193
0,196
0,190
- 348 -
Exp.4
IC(99)
0,134
0,133
0,133
0,133
0,140
0,146
0,153
0,150
0,151
0,149
0,149
0,148
0,147
0,142
0,142
0,140
0,151
0,152
0,145
0,144
0,138
0,143
0,144
0,142
0,138
0,142
0,139
0,139
0,142
0,140
Exp.5
IC(99)
0,152
0,157
0,162
0,165
0,161
0,159
0,162
0,163
0,161
0,162
0,166
0,170
0,174
0,177
0,183
0,188
0,188
0,184
0,182
0,186
0,180
0,180
0,174
0,176
0,177
0,173
0,172
0,172
0,172
0,167
W
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
11000
12000
13000
14000
15000
16000
17000
18000
19000
20000
21000
22000
23000
24000
25000
26000
27000
28000
29000
30000
Exp.1
IC(99)
1,770
1,792
1,861
1,847
1,863
1,882
1,997
2,053
2,085
2,036
2,024
2,074
2,065
2,034
2,043
2,047
2,016
1,926
1,901
1,881
1,918
1,863
1,850
1,792
1,817
1,811
1,793
1,720
1,686
1,627
Nivel de Servicio
Exp.2
Exp.3
IC(99)
IC(99)
2,474
2,283
2,472
2,363
2,413
2,419
2,367
2,421
2,342
2,413
2,483
2,491
2,484
2,486
2,464
2,533
2,495
2,593
2,457
2,509
2,471
2,531
2,358
2,472
2,281
2,396
2,232
2,415
2,135
2,525
2,134
2,563
2,182
2,500
2,158
2,443
2,118
2,414
2,075
2,341
2,072
2,272
2,162
2,242
2,153
2,273
2,166
2,253
2,237
2,231
2,246
2,329
2,301
2,378
2,284
2,431
2,202
2,462
2,073
2,400
- 349 -
Exp.4
IC(99)
1,720
1,737
1,737
1,723
1,777
1,876
1,939
1,933
1,980
1,978
1,951
1,948
1,923
1,919
1,957
1,871
1,927
1,847
1,857
1,878
1,829
1,901
1,921
1,908
1,821
1,872
1,864
1,850
1,922
1,894
Exp.5
IC(99)
2,576
2,641
2,675
2,700
2,592
2,578
2,576
2,491
2,434
2,471
2,568
2,652
2,660
2,661
2,709
2,841
2,920
2,912
2,900
2,888
2,782
2,737
2,714
2,726
2,677
2,556
2,566
2,580
2,545
2,490
3- CÁCULO DEL NÚMERO DE RÉPLICAS (n):
En todos las simulaciones y réplicas se van a mantener constantes el tiempo efectivo de
simulación, con un valor de 35.000 unidades de tiempo y el warm-up con 18.000
unidades de tiempo.
Experimento 1
WIP
n
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Media
18,538
18,567
18,635
18,607
18,590
18,555
18,553
18,554
18,538
18,530
IC(99)
0,377
0,232
0,179
0,154
0,137
0,145
0,149
0,143
0,135
0,124
Nivel de servicio
Media
IC(99)
28,295
6,805
27,507
3,899
26,148
3,160
26,432
2,691
26,846
2,426
27,227
2,330
27,042
2,316
27,083
2,220
27,350
2,055
27,397
1,926
Experimento 2
WIP
n
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Media
22,779
22,847
22,807
22,766
22,669
22,664
22,660
22,649
22,646
22,671
IC(99)
0,339
0,238
0,178
0,153
0,197
0,185
0,183
0,168
0,160
0,157
- 350 -
Nivel de servicio
Media
IC(99)
22,664
4,327
20,587
4,418
20,434
3,237
20,408
2,643
20,396
2,802
20,409
2,566
20,383
2,504
20,423
2,310
20,417
2,154
20,439
2,158
Experimento 3
WIP
n
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Media
22,664
20,587
20,434
20,408
20,396
20,409
20,383
20,423
20,417
20,439
IC(99)
0,475
0,386
0,329
0,291
0,255
0,227
0,203
0,191
0,175
0,173
Nivel de servicio
Media
IC(99)
19,790
6,294
19,790
5,256
19,803
4,700
19,836
4,083
19,762
3,508
19,829
3,115
19,850
2,735
19,872
2,581
19,839
2,332
19,849
2,331
Experimento 4
WIP
n
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Media
19,790
19,790
19,803
19,836
19,762
19,829
19,850
19,872
19,839
19,849
IC(99)
0,278
0,164
0,161
0,212
0,214
0,210
0,190
0,175
0,162
0,152
Nivel de servicio
Media
IC(99)
33,449
4,094
32,871
2,375
32,329
2,411
31,824
2,740
32,542
2,590
31,699
2,524
31,323
2,286
31,103
2,142
31,583
2,024
31,467
1,947
Experimento 5
WIP
n
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Media
20,166
20,249
20,158
20,153
20,071
20,134
20,077
20,037
20,055
20,031
IC(99)
0,288
0,321
0,318
0,249
0,259
0,236
0,211
0,204
0,190
0,183
- 351 -
Nivel de servicio
Media
IC(99)
35,877
6,789
34,466
5,451
35,422
5,028
35,346
4,055
36,459
3,887
35,876
3,417
37,007
3,238
37,333
3,112
37,268
2,873
37,595
2,709
WIP
n
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Exp.1
IC(99)
0,377
0,232
0,179
0,154
0,137
0,145
0,149
0,143
0,135
0,124
Exp.2
IC(99)
0,339
0,238
0,178
0,153
0,197
0,185
0,183
0,168
0,160
0,157
Exp.3
IC(99)
0,475
0,386
0,329
0,291
0,255
0,227
0,203
0,191
0,175
0,173
Exp.4
IC(99)
0,278
0,164
0,161
0,212
0,214
0,210
0,190
0,175
0,162
0,152
Exp.5
IC(99)
0,288
0,321
0,318
0,249
0,259
0,236
0,211
0,204
0,190
0,183
n
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Exp.1
IC(99)
6,805
3,899
3,160
2,691
2,426
2,330
2,316
2,220
2,055
1,926
Nivel de Servicio
Exp.2
Exp.3
IC(99)
IC(99)
4,327
6,294
4,418
5,256
3,237
4,700
2,643
4,083
2,802
3,508
2,566
3,115
2,504
2,735
2,310
2,581
2,154
2,332
2,158
2,331
Exp.4
IC(99)
4,094
2,375
2,411
2,740
2,590
2,524
2,286
2,142
2,024
1,947
Exp.5
IC(99)
- 352 -
6,789
5,451
5,028
4,055
3,887
3,417
3,238
3,112
2,873
2,709
