Capítulo 5 - prof.usb.ve.

Capítulo 5: Cálculo en régimen transitorio de potenciales en sistemas
de puesta a tierra
5.1 Introducción
En este capítulo se presenta un método sistemático, que permite analizar el
comportamiento transitorio de la red de puesta a tierra en terrenos uniformes y
multiestratificados horizontalmente. En los capítulos precedentes se han descrito
los fundamentos de este capítulo, que es donde se incluyen las principales
contribuciones de este trabajo.
Si bien en la actualidad el diseño de la red de puesta a tierra se fundamenta
en criterios de protección a personas y animales [2], y estos criterios consideran
únicamente el comportamiento de la red de puesta a tierra en régimen permanente,
cada día se hace más notoria la necesidad de evaluar la respuesta de estos
sistemas ante perturbaciones transitorias de alta frecuencia. Aun cuando las
energías involucradas en los períodos transitorios no afectasen a los seres humanos
o a los animales que se encuentran en las cercanías de una red de puesta a tierra,
su consideración es importante, ya que los efectos de estas excitaciones pueden
repercutir desfavorablemente en la protección de los equipos de la subestación y en
los sistemas de comunicaciones, protección y control [70].
Uno de los primeros modelos de representación del comportamiento
transitorio de la red de puesta a tierra lo plantea Rüdemberg [101]. En este modelo,
ilustrado en la Fig. 5.1, se representa a la red de tierra en parámetros concentrados
mediante una conductancia G y una capacitancia C en paralelo, en serie con una
inductancia L. Para representar la rigidez dieléctrica finita del terreno se coloca en
paralelo con la conductancia a tierra un descargador.
L
G
C
Fig. 5.1 Modelo transitorio concentrado de puesta a tierra
-1-
Bewley[8], Sunde[107], Bellaschi[6] y otros [31,63,73,117,118,119] desarrollaron expresiones analíticas que permiten evaluar el comportamiento transitorio de
redes elementales de puesta a tierra. En estos trabajos se representa la red de
puesta a tierra a través de parámetros distribuidos mediante el modelo de la línea
de transmisión en un medio con pérdidas. En la figura 5.2 se muestra el modelo
básico utilizado en estos trabajos. El principal inconveniente de este método es que
solamente se puede aplicar a sistemas de puesta a tierra elementales ya que no
contempla los acoplamientos existentes entre electrodos cercanos de una red
compleja de puesta a tierra.
I
L
ρ, ε, µ
h
Ix
A
O
Jx
A
∆L
r, L
r, L
r, L
r, L
G
C G
C G
CG
O
C
O
Fig. 5.2 Modelo de la línea de transmisión con pérdidas
Gupta y Thapar [39] desarrollaron fórmulas empíricas que permiten evaluar el
comportamiento de mallas rectangulares de puesta a tierra introduciendo el concepto
de área efectiva o área de influencia. Ramamoorty [97] utilizó un modelo en
parámetros concentrados para analizar sistemas de puesta a tierra complejos. En
este modelo se consideran los acoplamientos inductivos mutuos entre conductores
paralelos adyacentes.
El modelo no contempla ni las resistencias, ni las
capacitancias mutuas entre electrodos, tampoco tiene en cuenta impedancias
mutuas de elementos que no se encuentren en la propia malla rectangular. El
análisis de este circuito equivalente mediante variables de estado, permite
determinar intensidades y tensiones en los elementos del modelo, pero no permite
calcular potenciales en un punto determinado del terreno ni obtener la distribución de
corriente en el subsuelo. Este modelo representa a la red de tierra para frecuencias
relativamente bajas.
-2-
Meliopoulos, Moharam y Papalexopoulos [76,94,93] desarrollaron un método
de análisis de la respuesta transitoria de los sistemas de puesta a tierra basado en la
técnica de los elementos finitos. Este método permite analizar sistemas complejos
de puesta a tierra compuestos por elementos rectilíneos. Cada uno de estos
segmentos se modela mediante un segmento de línea de transmisión con pérdidas
representada por parámetros distribuidos. Los parámetros de cada uno de los
segmentos se obtienen a partir de la solución cuasi-estática de las ecuaciones de
Maxwell. El modelo tiene en cuenta la variación de los parámetros con la frecuencia.
En este método se resuelven las ecuaciones diferenciales para un medio infinito y
uniforme, pero corrige el régimen permanente realizando un reescalamiento de la
solución a partir del cálculo de los potenciales para un terreno biestratificado con
excitación constante en el tiempo. El modelo desarrollado en estos trabajos es
rápido y eficiente pero está limitado a frecuencias inferiores de 1.0 MHz debido a la
aproximación cuasi-estática utilizada al resolver las ecuaciones de Maxwell. El
modelo puede ser incorporado en algoritmos de cálculo de transitorios
electromagnéticos tales como el EMTP “Electro Magnetic Transient Program” [32,103].
Grcev [40,41,42] desarrolló un método de análisis de la respuesta transitoria
de redes de puesta a tierra para una configuración cualquiera de los electrodos,
válido para toda frecuencia y fundamentado en el método de los momentos [45,47],
la solución numérica de las integrales de Sommerfeld [90,91,118] y la aplicación de
la transformada rápida de Fourier - FFT- [15,19]. El método desarrollado por Grcev
resuelve de forma completa las ecuaciones de Maxwell utilizando las funciones de
Green. Se obtiene la respuesta en frecuencia del sistema de puesta a tierra
excitando la red con un impulso unitario. Una vez obtenida esta respuesta se
determina la solución para cualquier otra excitación mediante la transformada
inversa de Fourier. El método no incluye estratificación del terreno, asume que el
subsuelo está constituido por un semiespacio conductivo semi-infinito con un plano
que lo separa del aire. Este método permite gran exactitud cuando el sistema se
excita con frecuencias muy altas, sin embargo requiere gran cantidad de tiempo de
procesamiento para evaluar las integrales de Sommerfeld.
Liew[63], Loboda[64,65], Kosztaluk[59] y Kameyama [56] han desarrollado
modelos que permiten analizar el comportamiento de los sistemas de puesta a tierra
ante excitaciones transitorias que producen ionización del subsuelo. Estos trabajos
permiten analizar electrodos sencillos. Velázquez [117] varía el radio de los
electrodos para tener en cuenta el fenómeno de la ionización. Para que una
inyección transitoria aplicada en el sistema de puesta a tierra produzca ionización del
-3-
medio conductivo, se requieren grandes energías. No es común incorporar la
ionización del medio en los cálculo de transitorios en redes complejas de puesta a
tierra ya que este es un fenómeno poco frecuente y difícil de analizar porque no es
lineal. Además, su efecto fundamental consiste en reducir los gradientes de
potencial presentes en el medio [39,41].
En este capítulo se presenta un método general que permite analizar el
comportamiento de un sistema de puesta a tierra inmerso en terrenos uniformes o
multiestratificados, excitados por una inyección de corriente transitoria. Se utiliza el
método de los momentos [45], la solución en función de la frecuencia de las
ecuaciones de Maxwell en un medio conductivo multiestratificado y la transformación
discreta rápida de Fourier [15,19] para determinar la distribución temporal de las
corrientes en la red de puesta a tierra. Una vez conocida la distribución de las
corrientes en los electrodos de la red se calcula el campo eléctrico E, la densidad de
corriente J, o la fuerza electromotriz en cualquier región del espacio. En todo
momento se supone que el sistema es lineal debido a que no se considera la posible
ionización del terreno.
En el desarrollo de este tema se introduce en primer lugar, el cálculo del
campo eléctrico producido por un dipolo diferencial de corriente, orientado horizontal
o verticalmente, en un medio conductivo uniforme. Se plantean las soluciones de la
ecuación de Helmholtz considerando la simetría del medio y las condiciones de
contorno en la superficie de separación. De esta forma se obtienen las funciones
indeterminadas que definen el potencial magnético vectorial. El procedimiento
anterior se repite para subsuelos con varias capas horizontales, definiendo la
solución en cada medio y las condiciones de contorno en cada frontera. Se
desarrolla un método original para evaluar las funciones indeterminadas, semejante
al propuesto en los capítulos precedentes.
Conocido el campo en terrenos uniformes y multiestratificados, se plantea un
método que permite obtener la distribución de las corrientes por un conjunto de
electrodos, mediante la evaluación de las impedancias propias y mutuas de circuito
abierto de cada elemento. Estas impedancias se calculan por integración del campo
eléctrico en la superficie donde se encuentran los conductores. Se discute el
análisis en el tiempo de las respuestas y la determinación de campos, potenciales,
impedancias y densidad de corriente. Finalmente se plantea un algoritmo de cálculo
de transitorios en redes de tierra que será evaluado en los capítulos siguientes.
-4-
5.2 Análisis transitorio en terrenos uniformes
Para analizar el comportamiento de las redes de puesta a tierra en régimen
transitorio, es necesario utilizar las ecuaciones que definen el campo eléctrico y
magnético de un dipolo elemental de corriente, así como las condiciones de contorno
para los campos en la frontera de separación entre los medios.
En general se demuestra a partir de 2.51, que:
2
2
2
∂ Ax ∂ Ay ∂ Az
1
1
∇ ( ∇. A )x - Ax ] = j ω [
(
Ex = j ω [
+
+
) - Ax ]
∂x∂y ∂x∂z
γ2
γ2 ∂x2
5.1
2
2
∂ Ax ∂ 2 A
∂ Az
1
1
y
∇ ( ∇. A )y - Ay ] = j ω [
(
Ey = j ω [
+
+
) - Ay ]
2
∂y∂z
γ2
γ2 ∂y∂x
∂y
5.2
2
2
2
∂ Ax ∂ Ay ∂ Az
1
1
∇ ( ∇. A )z - Az ] = j ω [
(
Ez = j ω [
+
+
) - Az ]
2
γ2
γ2 ∂z∂x ∂z∂y
∂z
y a partir de 2.8 y 2.37:
∂A
1 ( ∂Az - y )
Hx = 1
xA) =
(∇
µo
x µ
∂z
o ∂y
1
1 ∂Ax ∂Az
Hy = µ (∇ x A )y = µ (
)
∂x
o
o ∂z
∂Ay
5.3
5.4
5.5
∂A
H z = µ1 (∇ x A)z = µ1 (
- x)
∂z
∂y
o
o
5.6
Las condiciones de contorno que tienen que satisfacer el campo eléctrico E y
la intensidad de campo magnético H en la superficie del terreno -z=0-, de acuerdo
con las ecuaciones de continuidad 2.9 y 2.12 para los campos tangenciales a la
superficie del terreno, son:
Eox (r, 0, ψ) = E
1x
Hox (r, 0, ψ) = H
(r, 0, ψ) ; Eoy (r, 0, ψ) = E (r, 0, ψ)
1y
1x
(r, 0, ψ) ; Hoy (r, 0, ψ) = H (r, 0, ψ)
1y
5.7
5.8
A partir de las expresiones anteriores, se puede determinar el potencial
magnético vectorial para dipolos de corriente ubicados horizontal o verticalmente.
-5-
5.2.1 Excitación mediante un dipolo diferencial de corriente en la dirección
horizontal de un terreno uniforme
En la figura 5.3 se muestra un dipolo elemental de corriente δI, orientado
según la dirección horizontal (eje x), a una profundidad s de la superficie de un
terreno de conductividad σ1, permeabilidad µo y permitividad ε1 constantes. En este
caso, el potencial magnético vectorial A es dependiente del ángulo azimutal ψ, pero
la componente del vector A según la dirección del eje y es nula [107].
z
A
µo , εo , σo= 0
γ
r, x
o
A1
o
γ
s
µ ,ε ,σ
o
1
1
1
δI
Fig. 5.3 Dipolo elemental orientado según la dirección horizontal, en un terreno uniforme
Particularizando las expresiones 5.1 a 5. 6, en este caso:
2
2
∂ Ax ∂ Az
Ex = j ω [
+
- γ2 Ax ]
2
2
∂x∂z
γ
∂x
2
5.9
2
∂ Ax ∂ Az
+
]
Ey = j ω [
γ2 ∂y∂x ∂y∂z
5.10
2
∂ Ax ∂Az 2
Ez = j ω [
+
- γ Az ]
γ2 ∂z∂x ∂z2
5.11
∂Az
Hx = µ1
o ∂y
5.12
∂Ax ∂Az
1
Hy = µ (
)
∂z
∂x
o
1 ∂Ax
Hz = - µ
o ∂y
-6-
5.13
5.14
De las ecuaciones 5.8 y 5.12 se obtiene la relación:
Azo (r,0,ψ) = A (r,0,ψ)
z1
5.15
Las ecuaciones 5.8 y 5.13 implican que:
∂A (r,0,ψ) ∂A (r,0,ψ)
∂Axo (r,0,ψ) ∂Azo (r,0,ψ)
x1
z1
=
∂z
∂x
∂z
∂x
5.16
Mediante las ecuaciones 5.7 y 5.10 se obtiene:
∂A (r,0,ψ) ∂A (r,0,ψ)
1 [ ∂Axo (r,0,ψ) + ∂Azo (r,0,ψ) ] = 1 [ x1
+ z1
]
∂x
∂z
∂x
∂z
2
2
γo
γ
1
5.17
Y de las ecuaciones 5.7, 5.9 y 5.17 se deduce:
Axo (r,0,ψ) = A (r,0,ψ)
x1
5.18
Para satisfacer las condiciones de contorno 5.16 y 5.17 es necesario escoger las
siguientes funciones como solución de las coordenadas del vector potencial
magnético:
Axo (r,z) =
Ax1 (r,z) =
µo δ I ∞
µ o δI ∞ m
4π
∫
0
∫
0
4π
[
λ
e
fo (m) e
- λ oz
Jo (mr) dm
; ∀z
0
5.19
- λ | z+s |
1
+ g (m) e
λ z
1
1
1
] Jo (mr) dm ; ∀ z Š 0
5.20
µ δI
Azo (r,z,ψ) = o
cos ψ
4π
∞
∫
0
µ δI
A (r,z,ψ) = o
cos ψ
z1
4π
po (m) e
- λ oz
J (mr) dm ; ∀ z
1
0
5.21
∞
∫
0
q (m) e
1
λ z
1
J (mr) dm ; ∀ z Š 0
1
5.22
donde:
λo =
m2 + γ2o
γ2o = - ω2 µοεο+ j ω µo σo = - ω2 µo εo
;
y:
λ1 =
m2 + γ12
;
γ21
= - ω2 µοε1 + j ω µo σ1
5.23
5.24
Para aplicar las condiciones de contorno 5.15 a 5.18, en las soluciones 5.19 a
5.22, para cada coordenada, y en cada uno de los medios del potencial magnético
vectorial A, es conveniente recordar la conversión entre coordenadas cartesianas y
cilíndricas:
-7-
x = r cos ψ ⇒ cos ψ = x
r
5.25
y la derivación parcial de la función de Bessel de grado cero de primera especie
Jo(mr) con respecto a x :
∂Jo (mr)
∂x
= - J (mr) . m . ∂r = - J (mr) . m . cos ψ
1
∂x
1
5.26
La expresión 5.16 se puede dividir en dos ecuaciones independientes debido
a que los términos en ∂Ax/∂z no son asociables con los términos en ∂Az/∂x:
∂Axo (r,0)
=
∂z
∂Az o (r,0)
=
∂x
∂A (r,0)
x1
∂z
∂A
z1
5.27
(r,0)
∂x
5.28
De las condiciones de contorno 5.18 y 5.27 aplicadas a las soluciones 5.19 y 5.20 se
obtienen las dos relaciones siguientes:
-λ s
fo (m) = m e 1 + g (m)
1
λ
1
5.29
- λ o fo (m) = - m e
-λ s
1
+ λ g (m)
1 1
5.30
Con las condiciones de contorno 5.15 y 5.17 aplicadas en las soluciones 5.19
a 5.22, se obtienen las siguientes ecuaciones:
po (m) = q (m)
1
5.31
1 [ - m f (m) - λ p (m) ] = 1 [ - ( m e- λ 1s+ g (m) ) m + λ q (m) ]
o
o o
1
1 1
λ
γ2o
γ2
1
1
5.32
Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones 5.29 a 5.32 se obtiene:
fo (m) = 2 m [
-λ s
1
]e 1
λ + λo
1
5.33
λ - λo - λ s
g (m) = m [ 1
]e 1
1
λ λ + λo
1
1
5.34
-8-
po (m) = q (m) = 2
1
γ2o - γ2
γ2o λ +
1
1
γ2
1
[
λo
1
2 -λ s
] m e 1
λ + λo
1
5.35
Sustituyendo el resultado de la ecuación 5.34 en la solución 5.20 del campo
magnético vectorial para la coordenada x en el medio conductivo, e integrando
analíticamente mediante el auxilio de la expresión 2.65, se obtiene:
A (r,z) =
x1
µ o δI
4π
[
e
- γ R+
1
R+
-e
- γ R1
R-
∞
∫
o
+2
m e
λo+ λ
- λ (s-z)
1
Jo (mr) dm
1
]
5.36
donde:
R+ =
r2 + (z+s)
R- =
r2 + (s-z)
2
5.37
2
5.38
Si se sustituye la solución obtenida en la ecuación 5.35, en la ecuación 5.22,
se determina la componente del vector potencial magnético A en la dirección z del
medio conductivo:
γ2o - γ2
- λ (s-z)
1
µ o δI ∂ ∞
1
]m e 1
2
[
Jo (mr) dm
A (r,z) =z1
4 π ∂x
γ2 λ o + γ2o λ λ 1 + λ o
0
1
1
∫
5.39
Mediante las expresiones 5.9, 5.10 y 5.11 se obtienen las contribuciones
diferenciales del campo eléctrico en cada una de las direcciones coordenadas:
δEx(r,z) = j ω
γ2
[ ∂∂x [
∂A
x1
∂x
+
∂A
z1
∂z
] - γ2 A
1
x1
]
1
5.40
δEy(r,z) = j
∂A
∂A
∂
x1
z1
[
+
]
2 ∂y
∂
x
∂
z
γ
ω
1
δEz(r,z) = j
ω
γ2
1
[ ∂∂z [
5.41
∂A
x1
∂x
+
∂A
z1
∂z
] - γ2 A
1
z1
]
5.42
donde:
-9-
∂A
x1
∂x
+
∂A
z1
∂z
µ δI ∂
= o
4 π ∂x
[
e
- γ R+
1
R+
-e
- γ R1
R-
+ 2γ
∞
- λ (s-z)
m
e 1
Jo (mr) dm]
1 γ 2 λ + γ2 λ
o 1 o
o 1
2
∫
5.43
Las ecuaciones 5.40, 5.41 y 5.42 permiten evaluar las diferencias de potencial
producidas por un dipolo diferencial de corriente en la dirección x sobre electrodos
orientados según los ejes x, y, y z respectivamente. Mediante estas expresiones es
posible determinar los coeficientes de potencial entre los electrodos de una red
compleja de puesta a tierra, inmersa en un terreno con permeabilidad, permitividad y
conductividad uniforme. Se ha utilizado el símbolo δE, en las expresiones
anteriores, para enfatizar que se trata de la contribución debida a un dipolo
diferencial de intensidad δI.
Si el dipolo se encuentra orientado según el eje y, los resultados obtenidos en
esta sección se extienden inmediatamente. Es necesario tan sólo hacer una
transformación del sistema de coordenadas. En esta transformación el eje z queda
invariante, mientras que los ejes x e y son intercambiados. Es importante destacar,
que la transformación del sistema de coordenadas debe afectar tanto al dipolo
excitador como al conductor sobre el cual se calcula el campo.
Las integrales que aparecen en las ecuaciones 5.36, 5.39 y 5.43 pueden
evaluarse utilizando la técnica analizada en la sección 3.2.3 para integrar ecuaciones
semejantes a la 3.29 que involucran funciones de Bessel. Existen diversos métodos
para resolver estas integrales. Algunos autores que han estudiado el problema
[53,69,81,82,83] plantean el uso de simplificaciones en casos límite, coeficientes de
reflexión, equivalentes circuitales, integraciones adaptativas o integración en el plano
complejo. En este trabajo, debido a que la conductividad del medio acelera la
convergencia de las integrales a la solución, se ha utilizado una integración por el eje
real, dividiendo el integrando entre raíces consecutivas de las funciones de Bessel.
Sin embargo, en casos más generales esta técnica presenta problemas importantes
de convergencia, y es necesario recurrir a herramientas más poderosas [69].
5.2.2 Excitación mediante un dipolo diferencial de corriente en la dirección
vertical, en un terreno uniforme.
- 10 -
En la figura 5.4 se muestra un dipolo elemental de corriente δI, orientado
según la dirección vertical, a una profundidad s de la superficie de un terreno cuya
conductividad σ1, permeabilidad µo y permitividad ε1 son constantes.
z
A
µo , εo , σo= 0
γ
r, x
o
A1
o
γ
s
µ ,ε ,σ
o
δI
1
1
1
Fig. 5.4 Dipolo elemental orientado según la dirección vertical, en un terreno uniforme
Cuando el dipolo elemental de corriente δI está orientado en la dirección
perpendicular al plano de separación aire-tierra, el potencial magnético vectorial A
es independiente del ángulo azimutal, y debido a la simetría cilíndrica del problema,
las componentes del vector A según las direcciones x e y son nulas [107], por lo que
las componentes de los campos eléctrico E y magnético H, tangentes a la superficie
del terreno se pueden simplificar a partir de las ecuaciones 5.1a 5.6 quedando
expresadas de la forma siguiente:
2
∂ Az
Ex (r, z) = j ω
γ2 ∂x∂z
5.44
2
∂ Az
Ey (r, z) = j ω
γ2 ∂y∂z
5.45
2
∂ Az
Ez (r, z) = j ω [
- γ 2 Az ]
2
2
γ
∂z
5.46
∂Az
Hx (r, z) = 1
µo ∂y
5.47
- 11 -
1 ∂Az
Hy (r, z) = - µ
o ∂x
5.48
Hz (r, z) = 0
5.49
Utilizando las condiciones de contorno 5.7 y 5.8 en las ecuaciones 5.44 a 5.49
se obtienen las siguientes relaciones:
2
2
∂ A (r,0)
1 ∂ Azo (r,0) 1
z1
=
∂x∂z
∂x∂z
γ2o
γ2
1
5.50
2
2
∂ A (r,0)
1 ∂ Azo (r,0) = 1
z1
2
∂y∂z
∂y∂z
2
γo
γ
1
5.51
∂A (r,0)
∂Azo (r,0)
z1
=
∂y
∂y
∂Azo (r,0)
=
∂x
5.52
∂A (r,0)
z1
∂x
5.53
Las ecuaciones 5.50 y 5.51 son linealmente dependientes debido a la simetría
existente entre los ejes x e y. De igual forma las ecuaciones 5.52 y 5.53 también
son linealmente dependientes. La coordenada z del vector potencial magnético A es
independiente del ángulo azimutal, y por esta razón la ecuación 2.63 permite
encontrar la solución homogénea. En el medio conductivo es necesario superponer
la respuesta particular a la excitación, mediante la relación 2.65. De esta forma, la
solución para la coordenada z del potencial magnético vectorial A se puede calcular
para los dos medios mediante las expresiones:
µ I
Azo (r, z) = δ
4π
µ I
A (r, z) = δ
z1
4π
∞
∫
0
∞
∫0 fo(m) e
- λoz
Jo (mr) dm
;
∀z>0
5.54
|z+s|
[ m e- λ 1
+ g (m) eλ1z ] Jo (mr) dm ; ∀ z Š 0
1
λ1
5.55
Sustituyendo las ecuaciones 5.54 y 5.55 en las condiciones de contorno 5.50
y 5.52, se obtiene:
- 12 -
fo (m) =
2 γ2o
γ2o λ + γ2 λ o
1
g (m) =
1
me
-λ s
1
1
5.56
γ2o λ - γ2 λ o
1
1
m e- λ 1s
2
2
γo λ + γ λ o λ 1
1
1
5.57
Reemplazando las funciones 5.56 y 5.57 en las ecuaciones 5.54 y 5.55, e
integrando analíticamente los términos que son semejantes a la integral de la
ecuación 2.65, se obtienen las siguientes componentes del potencial magnético
vectorial A:
- (λ oz+λ s)
µ δI ∞
m
1
Azo (r,z) = 2γ2o o
Jo (mr)dm ; z
e
2
2
4π
γ
λ
+γ
λ
o o 1 1 o
∫
A
z1
=
µ o δI
4π
[
e
- γ R+
1
R+
-e
- γ R1
R-
+ 2γ2o
∞
∫
m
e
2
2λ
γ
λ
+
γ
o o 1
1 o
-λ (s-z)
1
Jo (mr)dm
0
5.58
]
; zŠ0
5.59
La ecuación 5.59 permite calcular la componente en el eje z del potencial
magnético vectorial en el medio conductivo de la Fig. 5.4 mediante la superposición
en un medio homogéneo del efecto de un dipolo elemental de corriente, su imagen
especular con respecto a la superficie y un término adicional de corrección que
puede ser integrado numéricamente.
Mediante las ecuaciones 5.44 y 5.45 se pueden determinar las componentes
del campo eléctrico E en las direcciones x e y a partir de la coordenada z del
campo magnético vectorial obtenida a partir de la ecuación 5.59. Estas expresiones
son de gran utilidad para calcular posteriormente el acoplamiento entre conductores
horizontales. Para el cálculo de los acoplamientos propios y mutuos entre electrodos
verticales se utiliza la componente según la dirección z del campo eléctrico E, dada
por la expresión 5.46.
5.3 Análisis transitorio en terrenos multiestratificados
- 13 -
5.3.1 Excitación mediante un dipolo diferencial de corriente según la
dirección horizontal en la primera capa de un terreno
multiestratificado.
En la figura 5.5 se muestra el esquema de un terreno multiestratificado en p
capas horizontales, excitado en la primera capa mediante un dipolo elemental de
corriente δI en la dirección paralela a la estratificación del terreno. La capa j posee
permeabilidad magnética del vacío µo, conductividad σj y permitividad dieléctrica εj.
Cada una de las capas posee una frontera, de tal manera que la longitud hj
corresponde a la profundidad medida perpendicularmente desde la superficie del
terreno, a un punto situado en la unión entre la capa j y la capa j+1. En el aire o
capa cero se asume siempre que la conductividad del medio es nula σo=0 y la
permitividad es la del vacío εo.
z=0
γ
γ
s
r
δI
1
A
ο
A1
A2
2
γ3
A3
γj
Aj
γ
Ap
p
-h 1
-h 2
-h 3
-h j
-hp-1
-z
Fig. 5.5 Dipolo elemental orientado según la dirección horizontal, en un terreno multiestratificado
Las soluciones del potencial magnético vectorial para la coordenada x en
cada una de las p capas son de la forma general:
- 14 -
A (r, z) =
xk
µ o δI ∞
∫
o
4π
[ f (m) e
-λ z
k
k
+ g (m) e
λ z
k
k
] Jo (mr) dm
∀k≠1
y,
∀ -h <z<-h
;
k
k-1
h = - ∞ ; ho = 0
-1
5.60
A (r, z) =
x1
µoδI
4π
∞
∫
o
[
m - λ1
e
λ
| z+s|
+ f (m) e
-λ z
1
1
1
+ g (m) e
λ z
1
1
] Jo (mr) dm ; ∀ -h <z<0
1
5.61
Las funciones go(m) y fp(m) deben ser cero para garantizar que la
componente en la dirección horizontal del potencial magnético vectorial A en el
infinito sea nulo. El resto de las funciones pueden determinarse, mediante las
siguientes condiciones de contorno, semejantes a las condiciones 5.18 y 5.27 para
terrenos uniformes:
A (r, -h ) = A
xk
k
xk+1
; ∀ k = 0,1,2, …, p-1
(r, -h )
k
5.62
∂A (r,-h )
xk
k
∂z
=
∂A
xk+1
(r,-h )
k
∂z
∀ k = 0,1,2, …, p-1
;
5.63
Al sustituir las soluciones para la coordenada x del potencial magnético
vectorial A en el estrato k, en las condiciones de contorno 5.62 y 5.63, se obtiene:
 fk(m) 
 f (m) 

 = E  k+1 
 gk(m) k  gk+1(m)
; ∀ k = 2, 3, …, p-1
5.64
donde:
e
 (λ
k e
(λ
E =
k
1
1+ k
k
- λ )h
k+1
k+1
k
k
+λ )h
k
k e
- (λ
k+1
+λ )h
k
k
k
k
e
- (λ
- λ )h
k+1
k
k
k



5.65
y:
λ -λ
k = k k+1
k λ +λ
k
k+1
5.66
De las condiciones de contorno 5.62 y 5.63 para la frontera más profunda se
obtiene:
 fp-1(m)     0     0

 = E  
 =  E    g (m)
 gp-1(m)  p-1  gp(m)  p-1  1 p
5.67
- 15 -
Al aplicar, estas condiciones a la superficie de separación entre el aire y la primera
capa, queda :
 λ1
λ   f1 (m)  λ - λ o
-λ s
= 1
) (1+ 1 )  
me 1
 (1λ o   g (m) λ o λ
 λo
1
1
5.68
y cuando se aplican dichas condiciones a la superficie de separación entre los dos
primeros estratos, se tiene:
 f1(m)     f2(m)   0
λ s

 =  E 1 
 -   m e 1
 g1 (m)
 g2 (m) 1 λ1
5.69
Sustituyendo 5.64 y 5.67 en 5.69, resulta:
 f1(m)   p-1     0
 

 =  ∏  E k    gp (m) -  0
 1
 g1 (m) k = 1
  1
m λ 1s
e
λ
1
5.70
De las ecuaciones 5.68 y 5.70 se determina la función gp(m):
gp (m) = m
λ 
1
(1+
λ
1
λo
)e
λ s
1
- (1-
λ
1
λo
)e
-λ s
1
  p-1   0
) (1+
) 
E  
 (1 k  1 
λ
λ

o
o  k=1

λ
λ
1
1
∏
5.71
Al determinar gp(m) mediante esta expresión, se puede sustituir el resultado
en la ecuación 5.70, y se obtienen directamente las funciones indeterminadas f1(m) y
g1(m). Sustituyendo estas funciones en la solución 5.61 e integrando la expresión,
analíticamente la solución particular y numéricamente el resto, se obtiene la
componente en la dirección x del potencial magnético vectorial A. La integración
numérica de esta expresión requiere evaluar el integrando para valores grandes de
la variable m. En estas condiciones las matrices Ek tienen términos que tienden a
infinito y a cero para valores grandes de la variable m.
Como estas matrices
terminan siempre siendo multiplicadas por el vector [0 1]T, el límite del producto de
todas las matrices multiplicadas por este vector es el vector mismo. Por esta razón,
cuando la variable m alcanza durante el proceso de integración el valor mmax que
hace imposible evaluar numericamente algún término de las matrices Ek, si se utiliza
el procedimiento del Anexo C, se demuestra que:
gp (m) → e
- ms
p-1
[ ∑ 1+1 k ]
j=1
j
- 16 -
;
cuando m > mmax
5.72
 f1(m)   0

→ 
 g1 (m)  0
; cuando m > m
max
5.73
fo (m) → e- ms
;
cuando m > m
max
5.74
Para la componente según la dirección z del vector potencial magnético A es
válida la siguiente solución general:
A (r, z, ψ) =
∞
µ o δI
cos ψ
4π
zk
∫
o
[ p (m) e
-λ z
k
+ q (m) e
k
λ z
k
k
] J (mr) dm ;
1
∀ k = 0, 1, 2, …, p
∀-h <z<-h
k
k-1
5.75
Las funciones po(m) y qp(m) deben ser siempre cero para garantizar que el potencial
magnético vectorial se anule en el infinito.
Las condiciones de contorno para cada una de las fronteras son:
A (r, -h , ψ) = A
zk
k
zk+1
(r, -h , ψ)
∀ k = 0, 1, 2, …, p-1
;
k
5.76
1 [
γ2
∂A (r,-h ,ψ)
zk
∂x
k
+
∂A (r,-h ,ψ)
zk
∂z
k
k
]= 1
γ2
[
∂A
zk+1
(r,-h ,ψ)
k
∂x
k+1
+
∂A
zk+1
(r,-h ,ψ)
∂z
k
]
∀ k = 0, 1, 2, …, p-1
5.77
Aplicando las condiciones de contorno 5.76 y 5.77 en la solución 5.75, se
obtiene un sistema de ecuaciones que permite determinar las funciones pk(m) y
qk(m) para todos los estratos del subsuelo.
Para dos capas intermedias, se tiene:
 pk(m) ∧  pk+1 (m) ∧  fk(m) 

=E 
+F 

 qk(m) k qk+1 (m) k gk(m)
; ∀ k = 1, 2, …, p-1
5.78
donde:
(λ
∧
E =
k
1
∧
1+ k
k
e
 ∧ (λ
k e
k
k+1
- λ )h
k+1
k
+ λ )h
k
- 17 -
∧
k
k e
- (λ
+ λ )h
k+1
k
k
k
e
- (λ
k+1
- λ )h
k
k
k


5.79
 1
m
k
(1F =
)
k 2λ
2λ h
γ2
k k
k
k+1  - e
γ2
∧
∧
k =
k
e
-2λ h
k k
-1



5.80
γ2 λ - γ 2 λ
k+1 k
k k+1
2
γ λ + γ2 λ
k+1 k
k k+1
5.81
Para las dos capas más profundas:
 pp-1(m) ∧  0
 fp-1(m) 
∧

 = E   q (m) + F 

p-1 g
 qp-1(m) p-1 1 p
 p-1(m)
5.82
Para el aire y la primera capa:



(λ o γ2
1
-
λ γ2o )
1
(λ o γ2
1
+

λ γ2o ) 
1

 p1(m)

 = m (γ2 - γ2) fo(m)
o 1
 q1(m)
5.83
Sustituyendo 5.82 en 5.78, y repitiendo el proceso hasta alcanzar los
coeficientes correspondientes al primer estrato, se obtiene:
f (m)  p-2  j
 fj+1(m) 
 p1 (m)  p-1 ∧   0
∧  1
∧  ∧

 =  E    qp(m) + F 
+  E  F 

k 1
1  g (m) ∑  ∏ k  j+1  g (m)
 q1 (m)  ∏
1
j+1
k=1
j=1 k=1
5.84
Haciendo uso de la ecuación 5.83 en la 5.84 se determina la función qp(m):



 f (m)  p-2  j ∧  ∧  fj+1 (m) 
2 2

2
2  ∧  1
2
2
γ
γ
+  E F 

m( o - 1 ) fo (m) -  (λ o γ1 -λ 1 γo ) (λ o γ1 +λ 1 γo ) F 1
k j+1 g (m)
 g (m)



qp (m) =

2
2
 (λ γ -λ γ )
 o 1 1 o
1
∑∏
j =1 k=1
j+1
 p-1 ∧   0

2
2
(λ o γ +λ γo ) 
E  
1 1

k=1 k  1
∏
5.85
Al determinar qp(m) mediante esta expresión, se puede sustituir el resultado
en la ecuación 5.84 y se obtienen directamente las funciones indeterminadas p1(m) y
q1(m). Sustituyendo estas funciones en la solución 5.75 e integrando la expresión,
se obtiene la componente en la dirección z del potencial magnético vectorial A.
Cuando el argumento m de integración es demasiado grande para ser evaluado
numéricamente, siguiendo el procedimiento del Anexo C, se tiene:
- 18 -
 p1(m)

→
 q1(m)
γ2 - γ21  0
o
  e - ms ; cuando m > m
max
2
2  1
γ +γ
1
o
5.86
Una vez obtenidas las coordenadas Ax1(r,z) y Az1(r,z,ψ) del vector potencial
magnético A, se pueden calcular las contribuciones de campo eléctrico δEx, δEy y
δEz del dipolo elemental de corriente δI, en la dirección
x de la primera capa
mediante las ecuaciones 5.40, 5.41 y 5.42, aplicadas a las soluciones representadas
por las expresiones 5.61 y 5.75 respectivamente.
5.3.2 Excitación mediante un dipolo de corriente según la dirección
vertical, en la primera capa de un terreno multiestratificado.
En la figura 5.6 se muestra un dipolo vertical inmerso en el primer estrato de
un terreno multiestratificado. Con esta simetría sólo puede existir la componente en
la dirección del eje z del potencial magnético vectorial A.
Las soluciones del potencial magnético vectorial para la coordenada z en
cada una de las p capas son:
A (r, z) =
µ o δI ∞
zk
A (r, z) =
z1
∫
o
4π
[ f (m) e
+ g (m) e
λ z
k
] Jo (mr) dm
k
;
∀k≠1
y,
∀ -h <z<-h
k
∫
o
4π
k
k
∞
µ o δI
-λ z
[
m
e
λ
- λ | z+s|
1
+ f (m) e
-λ z
1
1
1
+ g (m) e
λ z
1
1
k-1
5.87
] Jo (mr) dm ;
∀ -h < z < 0
1
5.88
Las funciones go(m) y fp(m) deben ser cero para garantizar que la
componente en la dirección z del potencial magnético vectorial A en el infinito sea
nulo. El resto de las funciones pueden ser determinadas mediante las siguientes
condiciones de contorno:
∂A (r, -h )
zk
∂x
k
=
∂A
zk+1
∂x
2
1
γ2
k
∂ A (r, -h )
zk
∂x∂z
k
(r, -h )
k
5.89
2
=
1
γ2
k+1
∂ A
∀ k = 0, 1, …, p-1
;
zk+1
(r, -h )
∂x∂z
k
; ∀ k = 0,1, …, p-1
5.90
- 19 -
r
z=0
γ1
γ
s
δΙ
Aο
A1
2
A2
γ3
A3
γj
Aj
γ
Ap
p
-h
1
-h 2
-h 3
-h j
-hp-1
-z
Fig. 5.6 Dipolo elemental orientado según la dirección vertical, en un terreno multiestratificado
Aplicando a las soluciones de la coordenada z del potencial magnético
vectorial A en el estrato k, las condiciones de contorno 5.89 y 5.90, se obtiene el
siguiente resultado:
 fk(m)  ∧  fk+1(m) 

=E 

 gk(m) k  gk+1(m)
; ∀ k = 2, 3, …, p-1
∧
donde
E
5.91
k se ha definido previamente en la ecuación 5.79.
Aplicando las condiciones de contorno a la superficie de separación más
profunda se obtiene:
 fp-1(m)  ∧  0

 = E   g (m)
 gp-1(m) p-1 1 p
5.92
Si se aplican las mismas condiciones de contorno entre el aire y el primer estrato:
∧
[ ko
 f1(m)  ∧
-λ s
 = - ko m e 1
1] 
λ
 g1 (m)
1
- 20 -
5.93
y entre los dos primeros estratos del subsuelo:
 f1(m)  ∧  f2 (m) 

 =E 

 g (m) 1 g (m)
1
2
λ s
 0
-   m e 1
1 λ1
5.94
Sustituyendo 5.91 y 5.92 en 5.94 se obtiene:
 f1(m)   p-1 ∧   0
λ s
 

 =  ∏E    gp(m) -  0 m e 1
 1 λ
 g1 (m)  k=1 k  1
1
5.95
De las ecuaciones 5.90 y 5.92 se determina la función gp(m) como:
(e
gp (m) = m
λ
1
λ s ∧
1
∧
[ ko
- ko e
-λ s
1
)
 p-1 ∧   0
1]  ∏E   
 k=1 k 1
5.96
Al determinar gp(m) mediante esta expresión, se puede sustituir el resultado
en la ecuación 5.95 y se obtienen directamente las funciones indeterminadas f1(m) y
g1(m). Sustituyendo estas funciones en la solución 5.88 e integrando analítica y
numéricamente la expresión, se obtiene la componente en la dirección
z
del
potencial magnético vectorial A. La evaluación numérica de esta expresión requiere
calcular el integrando para valores grandes de la variable m, tal como se mencionó
∧
en las secciones anteriores. En estas condiciones las matrices
E
k
también poseen
términos que tienden a infinito y a cero para valores grandes de la variable m. Como
estas matrices terminan siendo multiplicadas por el vector
[0 1]T, el límite del
producto de todas las matrices multiplicadas por este vector es el vector mismo. Por
esta razón, cuando la variable m alcanza durante el proceso de integración el valor
mmax que hace imposible evaluar numericamente algún término de las matrices en
cuestión, siguiendo el procedimiento del Anexo C, queda:
p-1
gp (m) → ( e
ms
- ko e
- ms
)
∏ 1+1 kj
; cuando m > mmax
j =1
 f (m) 


 1  →  0  ∧ko e- ms
 g1 (m) -1
5.97
; cuando m > m
max
5.98
Una vez obtenida la coordenada Az1(r,z) del vector potencial magnético A, se
pueden calcular los diferenciales de campo eléctrico δEx, δEy y δEz del dipolo
elemental de corriente δI, en la dirección z de la primera capa mediante las
ecuaciones 5.40, 5.41 y 5.42, aplicadas a las soluciones representadas por la
expresión 5.88.
- 21 -
5.4 Distribución de corrientes en la red de puesta a tierra para una frecuencia
determinada
Una red compleja de puesta a tierra puede discretizarse en un número N finito
de subelectrodos. Si estos electrodos son suficientemente pequeños es posible
considerar en forma aproximada que en cada uno, la corriente es practicamente
constante. De esta forma se puede establecer una red multipuerta entre los N
elementos en que se ha dividido el sistema. Si los elementos son diferencialmente
pequeños, es posible considerarlos como dipolos elementales. Para que un
electrodo finito conduzca la corriente sólo en la dirección de su eje, es necesario que
sea lo suficientemente largo como para que se puedan despreciar las componentes
radiales del campo eléctrico producidas por esta misma corriente. Por esta razón no
es correcto considerar al subelectrodo como un dipolo, a menos que se estén
evaluando campos en puntos situados a mucha distancia del elemento.
Una red compuesta por N elementos acoplados entre si, puede ser analizada
mediante las técnicas convencionales de la teoría de circuitos. Uno de los métodos
más utilizados consiste en caracterizar el comportamiento de la red mediante las
impedancias de circuito abierto propias y mutuas, entre todos y cada uno de los
elementos que la configuran.
En la figura 5.7 se muestra una red de puesta a tierra formada por n
electrodos. En esta red se excita el elemento j y se observan las fuerzas
electromotrices que aparecen en el medio que circunda al propio electrodo ZjjIj, o al
electrodo genérico k, ZkjIj. Las impedancias definidas de esta forma son externas a
los electrodos, y dependen solamente del medio y de la geometría. Si esta misma
operación se realiza con el resto de los electrodos de la red y se aplica el principio
de superposición, se puede plantear la siguiente formulación matricial del problema:
V   Z
…  =  …
V   Z
V
1
Z
11
2
21
n
n1
Z
12
… Z
…
Z
22
… …
…
Z
n2
 I 
Z
  …
…
Z  I 
1n
I
1
2n
2
nn
n
5.99
Cada una de las impedancias Zij de circuito abierto del sistema 5.99 está
definida entre los extremos de cada conductor, de igual forma que las tensiones Vi.
- 22 -
Se supone que la corriente Ij circula por el eje del electrodo j. Si el sistema es lineal
y el medio isotrópico, la matriz de impedancias de circuito abierto [Z] es simétrica.
I
Superficie
Z
1j
I
Z j jI j
j
Z
2j
I
j
j
I
j
µ , ε, σ
Z
I
nj j
Fig. 5.7 Red de tierra excitada mediante una corriente senoidal
Para resolver el sistema 5.99 es necesario conocer las características de la
fuente de excitación, por esta razón es necesario añadir una ecuación adicional al
sistema. Sin embargo, en general se desconoce la información relativa a la fuente.
Para solventar este problema es posible considerar que el acoplamiento entre la red
y la fuente es muy leve, excepto con el electrodo o grupo de electrodos donde se
introduce la perturbación. Por esta razón en el sistema 5.99 deben añadirse
ecuaciones adicionales, cuyas impedancias externas de circuito abierto son todas
nulas excepto en aquellos elementos propios y mutuos que estén influenciados por
la fuente. Suponiendo que el electrodo de excitación tiene uno de sus extremos
libres, estando unido al resto de la malla por su otro extremo, y que la fuente de
excitación incide sobre el extremo libre (Fig. 5.8), se puede admitir que el efecto del
acoplamiento con la fuente es importante unicamente sobre este electrodo excitador.
En estas condiciones, el sistema de ecuaciones 5.99 queda modificado unicamente
en el sentido de sustituir la fuente que representaba al electrodo excitador, por una
nueva puerta que incluya la fuente, lo que origina la aparición de una tensión V´j en
esa puerta, V´j =Vj - ZffI, en donde Zff representa la impedancia propia del camino
recorrido por la fuente, y que es desconocida.
- 23 -
I fuente
Electrodo de
excitación j
n
1
2
Fig. 5.8 Aplicación de la fuente sobre el electrodo de excitación.
Suponiendo el electrodo j es el único que tiene un acoplamiento importante
con la fuente de excitación, el sistema de ecuaciones 5.99 se puede resolver
conociendo la corriente que circulan por el electrodo de excitación j , y las tensiones
en el resto de los conductores. Si se define la impedancia interna del electrodo k
como zk, la caída de tensión sobre el conductor k es:
V =z I
k
kk
; ∀k≠j
V = V ´ + z I fuente = z I - V
j
j
ff
jj
fuente
+z I
ff fuente
5.100
Como sobre el electrodo j aparece la tensión Vj debida al acoplamiento con la
fuente, si se sustituye 5.100 en el sistema 5.99 se obtiene:
 
 
 
z I
Z
z I
Z
1 1
2 2
…
V
j
…
z nI n
=
11
21
Z
Z
12
22
… Z
… Z
1j
2j
… Z
… Z
1n
I
2n
…
…
… …
…
Z
Z
… Z
… Z
Z
j1
n1
Z
j2
n2
… Z
jj
nj
 
 
 
I
…
jn
… Z
nn
1
2
…
I
j
…
In
5.101
En este sistema, los términos que representan la caída de tensión interna de
los conductores en el primer miembro de la igualdad pasan al segundo miembro.
Cada una de las impedancias internas zk se resta de la impedancia propia de circuito
abierto del electrodo Zkk. Si los conductores poseen una impedancia interna
despreciable,debido a que están construidos de un material muy buen conductor,
todos los términos zkIk son prácticamente nulos. En el electrodo j, se define la
tensión Vj que representa en forma aproximada el efecto de la fuente de excitación.
Mediante el sistema 5.101 se puede determinar la distribución de las
- 24 -
corrientes por todos los elementos de la red, aplicando una fuente de tensión unitaria
en la puerta j, y reescalando posteriormente con respecto a la corriente real por el
electrodo.
El cálculo de las impedancias externas de circuito abierto Zkj de todos los
electrodos es el punto más importante del problema. Para este fin es necesario
integrar el campo electrico que cada elemento produce sobre si mismo y sobre el
resto. Como se mencionó al principio de esta sección, existe un conflicto entre la
definición del dipolo elemental, que siempre puede ser lo suficientemente pequeño
como para que el punto sobre el que se desea calcular el campo esté muy alejado
del mismo, y la longitud del elemento que debe ser grande con respecto a su radio
para asegurar que la corriente circula practicamente por el eje del mismo. Por esta
razón, cuando se calculan las impedancias de circuito abierto propias o mutuas con
electrodos cercanos al excitador, es necesario integrar las contribuciones al campo
eléctrico que producen los infinitos dipolos elementales en que podemos dividir el
electrodo excitador.
Para los electrodos enterrados en un subsuelo uniforme, se han considerado
cuatro posibles impedancias mutuas entre los electrodos, Zxx, Zxy, Zxz y Zzz. De esta
manera es posible modelizar cualquier conjunto de electrodos ortogonales
orientados en las tres direcciones cartesianas.
De acuerdo con las ideas
desarrolladas en este capítulo estas expresiones son, para electrodos horizontales y
paralelos:
Z xx = j
µo ω
4π γ2
1
[ L1
[ F (x ,x ) - F (x ,x ) - F (x
1
x1
1f 2f
x
+
γ2
1
1f
1
x
1f 2o
,x ) + F (x ,x
1o 2f
1
2f
∫ x∫
x
1o
1
F2 (x , x ) dx
1
2
2
dx
1o 2o
)]+
]
1
2o
5.102
para electrodos horizontales perpendiculares:
Z xy = j
ω µo
4π γ2
1
[ L1
(F (x , y ) - F (x , y ) - F (x
1
x1
1f
2f
1
1f
2o
1
1o
, y ) + F (x , y
2f
1
1o
2o
) )]
5.103
para electrodos horizontales y verticales:
Z xz = j
ω µo
4π
γ2
1
[ L1
x1
(F (x , z ) - F (x , z ) - F (x , z ) + F (x
3
1f
2f
3
1f
2o
3
1o
2f
3
1o
,z
2o
) )]
5.104
y para electrodos verticales pararalelos:
- 25 -
µo ω
Z zz = j
4π
γ2
1
[ L1
[ F (z ,z ) - F (z ,z ) - F (z ,z ) + F (z ,z
3
z1
1f 2f
z
1f
+
γ2
1
3 1f 2o
z
1o 2f
2f
∫ z∫
z
1o
3
F (z , z ) dz dz
3
1
2
2
1
3
1o 2o
)]+
]
2o
5.105
donde:
F (x ,x ) = e
1
1 2
- γ R+
R+
F (x ,x ) = e
2
1 2
F (x ,x ) = e
3
1 2
- e
- γ R+
R+
- γ R+
R+
- e
- γ R-
+2
R-
- e
- γ R-
R-
- γ R-
R-
γ2
1
∞
- λ (s-z)
m
e 1
Jo (mr) dm
2 +λ γ2
λ
γ
o
1 o o 1
∫
∞
+2
∫
o
m
λo+ λ
e
1
1
Jo (mr) dm
5.107
∞
- λ (s-z)
m
e 1
Jo (mr) dm
2 +λ γ2
o
λ
γ
o
1 o o 1
+2γ 2
5.106
- λ (s-z)
∫
5.108
Las expresiones 5.102 a 5.105 permiten de igual forma el cálculo de las
impedancias de circuito abierto en terrenos multiestratos, pero es necesario
reemplazar las funciones 5.106 a 5.108 por las correspondientes para este tipo de
terreno.
El procedimiento descrito coincide con el método de los momentos [47]
cuando se escoge el pulso como función descriptora.
Cuando se determinan las impedancias externas propias y mutuas de la red,
se considera que los campos no son distorsionados por los electrodos metálicos
presentes. Sin embargo, esta hipótesis no es correcta. La presencia de materiales
de alta conductividad en el subsuelo, introduce en el problema condiciones de
contorno que no han sido previamente consideradas. En la práctica, se obtienen
muy buenos resultados con los métodos descritos, siempre y cuando los gradientes
de potencial sobre los electrodos sean reducidos. Esto se puede lograr si los
segmentos de la red no son excesivamente grandes. Estas suposiciones son de uso
frecuente en la teoría de antenas. Los algoritmos convencionales que modelan el
comportamiento de las redes de tierra en régimen permanente hacen uso de esta
misma hipótesis.
Los segmentos en que se subdividen los electrodos, deben ser varias veces
mayores que su radio, para justificar que las corrientes circulen por el centro de los
electrodos y que el campo eléctrico sobre ellos es tangencial a su superficie. En la
práctica esto se alcanza con longitudes mayores a 20 veces el radio del electrodo.
- 26 -
El número de segmentos en que es necesario partir los electrodos de la red,
depende también de la frecuencia. Es necesario que los segmentos sean varias
veces menores a la longitud de onda de la excitación, para garantizar que la
distribución de las corrientes por los electrodos tenga sentido físico.
Por otra parte, aumentar el número de segmentos en que se divide la red,
incrementa considerablemente el tiempo de cálculo, los requerimientos de memoria
e incluso las imprecisiones; debido al gran número de operaciones que es necesario
realizar para calcular todas las impedancias a cada frecuencia, y resolver el sistema
de ecuaciones.
5.5 Análisis transitorio en el tiempo
En la sección 5.4 se analizó un método que permite evaluar la distribución de
corrientes en el interior de los electrodos de una red de puesta a tierra que ha sido
excitada mediante una corriente senoidal de amplitud y frecuencia constante. Para
extender este método en el caso de excitaciones no senoidales, pero periódicas, se
realiza una descomposición en armónicos de la excitación haciendo uso de las
series de Fourier [15]. Una vez que la corriente ha sido descompuesta en sus
armónicos, se analiza con el método desarrollado en la sección 5.4 la distribución de
corrientes en la red para cada una de las frecuencias consideradas. Como durante
todo el análisis se ha supuesto que el sistema es lineal, para determinar las
distribuciones de las corrientes en el tiempo que circulan por cada electrodo se
superponen cada una de las contribuciones senoidales de corriente por el electrodo
para todas las frecuencias analizadas.
Si la excitación no es periódica, se puede utilizar la transformada de Fourier
[15] o la transformada de Laplace [96] para determinar la distribución, continua en
este caso, de la excitación en la frecuencia. Calculando la respuesta en el dominio
de la frecuencia H(ω) de la red de puesta a tierra ante una excitación tipo impulso
unitario en el tiempo δ(t), se puede obtener la respuesta frecuencial de las corrientes
del sistema I(ω), a una inyección de corriente iiny(t), mediante:
I
iny
(ω) = F ( i
iny
I (ω) = H (ω) . I
(t))
iny
5.109
(ω)
donde la letra F representa el operador transformada de Fourier:
- 27 -
5.110
F( f ( t ) ) =
∞
∫
-∞
f(t).e
- j ωt
dt
5.111
Para determinar la respuesta frecuencial del sistema H(ω) al impulso unitario
δ(t) se evalúa el comportamiento de la red de puesta a tierra ante inyecciones de
corriente senoidal de amplitud unitaria para todas las frecuencias. Una vez
calculada la función de transferencia H(ω) se utiliza la ecuación 5.110 para evaluar la
distribución frecuencial de las corrientes I(ω), en la red de puesta a tierra,
ocasionadas por la inyección transitoria de corriente. Conocida la distribución de
corrientes en la frecuencia se puede aplicar la transformada inversa de Fourier [15]
para determinar las corrientes en el tiempo i(t):
i (t) = F
-1
( I (ω) ) = 1
2π
∞
∫ I (ω) . e
-∞
j ωt
dω
5.112
En definitiva para calcular la corriente instantánea i(t) se tiene a partir de las
ecuaciones 5.109, 5.110 y 5.111 que:
-1 

i (t) = F  H (ω) . F [ iiny(t) ] 


5.113
El algoritmo rápido de Fourier se fundamenta en la representación matricial
de la transformación discreta de Fourier, y en la repetición cíclica de esos valores
debido a la variación del argumento de la función exponencial compleja. De esta
forma se genera un algoritmo eficiente que permite descomponer o factorizar una
matriz de coeficientes funcionales con el fin de reducir significativamente el número
de operaciones necesarias para obtener los valores transformados discretizados.
Existen otras transformaciones que incluso pueden ser más eficientes que la
transformada rápida de Fourier, una de estas es la trasformada rápida de Hartley
[13,46] que permite reducir a la mitad el tiempo utilizado en el cálculo. Sin embargo,
Bold [12] asegura que los algoritmos modernos que calculan la transformada rápida
de Fourier son capaces de igualar los tiempos de procesamiento de la
transformación rápida de Hartley. En el trabajo realizado se han utilizado las rutinas
para el calculo de la transformada discreta de Fourier de la librería IMSL [50].
De cualquier forma, los tiempos consumidos en el cálculo de la transformada
y antitransformada de Fourier no son significativos, principalmente por que el
número de muestras consideradas en el análisis es reducida debido a que el cálculo
de cada uno de los puntos representa un esfuerzo computacional muy grande.
5.6 Campo eléctrico, densidades de corriente, impedancias de entrada y
fuerzas electromotrices en puntos y trayectorias del medio conductivo
- 28 -
Mediante la respuesta en frecuencia al impulso unitario, de las corrientes en
los electrodos de puesta a tierra se determinó en la sección 5.5 la respuesta en
frecuencia de las corrientes en los electrodos para una excitación determinada. Si
se conocen las corrientes en los electrodos de la red para cada frecuencia, se puede
obtener por superposición el campo eléctrico E, y la densidad de corriente J en
cualquier punto del terreno, o la fuerza electromotriz en una trayectoria dada.
En las secciones 5.2 y 5.3, así como en el Anexo B, se han desarrollado las
ecuaciones que determinan el diferencial de campo eléctrico δE en un punto
cualquiera del espacio debido a un dipolo de corriente diferencial δI orientado según
uno cualquiera de los ejes coordenados. Integrando estas expresiones a lo largo del
conductor excitador se obtiene el campo eléctrico E en un punto cualquiera de
interés. Por ejemplo, si estamos interesados en obtener la componente según la
dirección x, originada por un dipolo orientado horizontalmente en un terreno
uniforme, a partir de 5.36, 5.39 y 5.40, se obtiene:
[
1
- 2 γ2
1
- γ R-
γ
3γ
1 - x2 ( γ2 + 1 + 3 ) ) 1
2
RR- R2 R2
R- γ R+
γ
3γ
1
2
e
1
(
γ2 + 1 + 1 - x ( γ 2 +
+ 3 )) 1 R+
1
2
2
2
R+
R
+
R+ R+
R+
µ δI
δEx(x, z) = j ω o
γ2 4π
e
∞
∫
m
1
( γ21 + R1 +
γ2 λ o + γ2o λ + m2 (λ o +λ )
- λ (s-z)
1
1
e 1
Jo (mx) dm +
(γ2 λ o + γ2o λ ) (λ o + λ )
1
1
1
2 ∞
- λ (s-z)
2γ
m2
e 1
J (mx) dm
+ x1
1
2 λ + γ2 λ
γ
o 1 o
o 1
1
o
]
∫
5.114
Integrando la expresión 5.114, a lo largo de un electrodo, con respecto a otro
electrodo con igual orientación, es posible determinar impedancias propias y mutuas
de un conjunto de electrodos. Estas impedancias son:
Z =j
ij
µo ω
4πγ2
1
{[
e
x xj2
i2
- γ R+
1
R+
-e
- γ R1
R-
+
2γ2
1
∞
∫o m λ γ2o+λoγ2 e
1
1
- γ (s-z)
1
Jo (mr)dm
∫
i1 j1
]x
i1
,x j1+
1
-γ R+
-γ R∞
1
1
e
e
m e- λ 1 (s-z)J (mr)dm ] dx dx
2
+ 2γ
[
+2
o
1
j i
R+
Rλ + λo
x x
o 1
∫∫
x i2,x j2
}
5.115
Una vez que se ha calculado el campo eléctrico E en cualquier punto del
- 29 -
espacio, se puede evaluar la densidad de corriente en ese punto aplicando la
ecuación 2.6. Sin embargo, en las cercanías del conductor y en su periferia en
particular, este método presenta inconvenientes numéricos debido a la dimensión
reducida del radio del conductor. Por esta razón se describe en la literatura [3] un
método simplificado que permite estimar con precisión la densidad de corriente en
las cercanías del conductor. Si el punto se encuentra cerca del conductor y alejado
de los extremos, se puede considerar que el campo eléctrico E es radial y constante,
a una determinada distancia. En un medio conductivo la densidad de corriente se
calcula como:
J = σE + J
iny
5.116
y a partir de las ecuaciones 2.6, 2.7, 2.33 y 2.35, se establece que:
∇. J = - j ω ρ = - j ω D = - j ωε ∇. E
5.117
que al sustituir en 5.116 y reagrupando términos resulta:
∇. J
iny
= - (σ+ j ωε ) ∇. E
5.118
Calculando la integral de volúmen sobre un cilíndro de radio r, centrado en el
conductor para los dos miembros de la expresión 5.118 y teniendo en cuenta la
ecuación 2.6, se tiene:
dI
∧
dx
J
(r) = r
ωε
medio
2π r (1+ j σ )
5.119
En la ecuación 5.119, dI/dx es la variación de la corriente entre dos subelectrodos
consecutivos. Por lo tanto para evaluar la densidad de corriente drenada a tierra por
los conductores es suficiente conocer la variación de la corriente que circula por los
mismos en las cercanías del punto de interés, para cada una de las frecuencias que
se están considerando en el estudio y utilizar la expresión 5.116 para determinar la
magnitud de esta variable. La dirección de la densidad de corriente J siempre ha de
ser radial a la superficie del cilindro conductor debido a la hipótesis de cercanía que
se ha utilizado.
Conocido el campo eléctrico se pueden obtener las fuerzas electromotrices
para una trayectoria dada, integrando el campo eléctrico resultante. Si este proceso
se realiza para todas las frecuencias consideradas, superponiendo el efecto de cada
uno de los electrodos de la red sobre todas la trayectorias de interés, se pueden
obtener las fuerzas electromotrices en función del tiempo,
transformación inversa rápida de Fourier discutida en la sección 5.5.
- 30 -
mediante
la
En la sección 4.3.2 se utilizó el método de integración de Simpson [16,17]
para realizar las integraciones a lo largo de las trayectorias. Este método sigue
siendo válido debido a que permite discretizar los electrodos en un número
determinado de segmentos. También se puede utilizar el método de los momentos
desarrollado por Harrington [45,47] para el mismo propósito. En algunas ocasiones,
la integral en una trayectoria tiene solución analítica y resulta conveniente utilizar
esta formulación para reducir los tiempos de cálculo. Un caso particular donde se
presenta este caso es al calcular la impedancia de entrada de un electrodo
horizontal. En este caso la integral desde el radio hasta el valor de menos infinito,
siguiendo una trayectoria en la dirección del eje z, tiene solución cerrada.
5.7 Algoritmo general para el cálculo de transitorios en la red de tierra
En la figura 5.9 se presenta el diagrama de flujo de un algoritmo básico que
permite la determinación de la respuesta transitoria de una red de puesta a tierra
inmersa en un terreno uniforme o estratificado en varias capas horizontales. Se
fundamenta en la obtención de la respuesta en frecuencia de la red mediante la
técnica de solución directa de las ecuaciones de Maxwell que se ha presentado en
este capítulo. Utiliza el método de los momentos para discretizar el problema y la
transformada rápida de Fourier para determinar los resultados en el dominio
temporal. El algoritmo se puede dividir en tres grandes bloques: Uno para la
introducción de los datos del terreno, de la instalación y de la inyección transitoria de
corriente. El segundo bloque constituye el centro medular del algoritmo y se encarga
fundamentalmente de evaluar la respuesta en frecuencia de la red de puesta a tierra
ante una excitación de tipo impulso. El último bloque se encarga de calcular la
distribución de la corriente por los electrodos de la red, las impedancias de entrada
de la red de puesta a tierra en el nudo de excitación, las fuerzas electromotrices en
una trayectoria previamente definida, y las densidades de corriente tanto en la
frecuencia como en el tiempo.
La división mencionada en el párrafo anterior no es física, el algoritmo esta
constituido mediante módulos que se interrelacionan unos con otros. Los bloques en
que se ha dividido el algoritmo tienen por objeto presentar una imagen funcional del
mismo para facilitar su comprensión. A continuación se presenta una descripción
más detallada del programa PTT ( Programa Transitorio de Tierras) y de la
interconexión existente entre las diferentes tareas que realiza.
- 31 -
Programa Transitorio
de Tierras
PTT
Editor
- Coordenadas.
- Parámetros.
BLOQUE A
Inicialización
- Tipo de caso (Hom., Bies., Multi.)
- Sistema de entrada de datos.
Lectura de datos y
de las coordenadas
por un fichero.
- Cálculo de las coordenadas de los segmentos.
- Definición de los nodos de la red.
- Evaluación de las simetrías de la red.
COORSEG
MATINC
Lectura de la excitación y de los parametros temporales
Cálculo del ∆Frec., Nº de Frecuencias. y de la Frec. Máxima TOPOLOG
Frec. = 50 Hz
Cálculo de las Constantes
de Propagación γ para todos
los medios.
no
¿Frec.>
Frec.
max.?
Almacenamiento de
datos y resultados en
un fichero.
si
COEFPOT
FFTCC
Cálculo de las Impedancias
Propias y Mutuas de Circuito
Abierto.
POSCAPA
DIRECCION
REFERENCIA
FFT de la corriente
inyectada.
CALINT
Cálculo de la distribución de
corriente por los electrodos
Producto de la respuesta en frecuencia
de la distribución de las corrientes en los
segmentos, por el espectro en frecuencia
de la inyección de corriente. H(ω).I(ω)
Frec. = Frec. + ∆Frec.
FFTCC
BLOQUE B
Transformada Inversa de Fourier
-1
Fin
Impresión de
resultados


BLOQUE C
F  H seg.(ω). I iny.(ω)

Isegm.(t) =
Almacenamiento de los resultados en el tiempo.
Cálculo de Campos, Fuerzas Electromotrices,
Densidades de Corriente, Impedancias de
Entrada, etc.
Fig. 5.9 Diagrama de Flujo del Algoritmo PTT
Este bloque de actividades se encarga de realizar las tareas de inicialización
de las variables, asignaciones por defecto, definición de las constantes del problema,
etc. También se encarga de leer los datos y las instrucciones que recibe del usuario
o de un fichero previamente confeccionado. Para la introducción de la información
se dispone un sistema de edición tanto para la introducción de los datos del terreno
- 32 -
como para los datos de la instalación. El editor se encarga a su vez de producir
ficheros que pueden ser leídos directamente sin intervención del usuario.
Bloque A: Inicialización, lectura y preparación de los datos.
Una vez que se han introducido los datos de la instalación, el algoritmo hace
un procesamiento de los mismos. Parte de este procesamiento consiste en
segmentar los electrodos de la red según las instrucciones recibidas a la entrada.
También se determinan y ordenan los nudos del sistema, considerando como tales
los puntos en los cuales existen o coinciden extremos de los electrodos originales.
El paso siguiente consiste en analizar las simetrías de la red para evitar
posteriormente cálculos repetitivos. Al analizar la topología de la red se identifican
todas las configuraciones geométricas diferentes de parejas de segmentos y se les
asigna un número entero diferente a cada una de ellas. Las otras configuraciones
coinciden con alguna de las anteriores, y por esta razon se les asigna el mismo valor
del identificador. Sin embargo, si no existe coincidencia con ninguna de estas,
quiere decir que la nueva configuración también es diferente y debe incorporarse en
la lista primitiva de configuraciones diferentes. De esta forma se obtiene una matriz
que identifica a cada pareja de segmentos con un número entero que tiene la
información necesaria para saber si es necesario calcular o asignar el valor de la
impedancia de circuito abierto correspondiente.
Por último este bloque se encarga de leer a partir de un fichero o mediante el
teclado los datos de la inyección de corriente. Se informa al usuario del programa
sobre el punto de inyección, la forma de onda y la magnitud de la corriente
inyectada. Con esta información el algoritmo evalua la frecuencia máxima y el
número de frecuencias que debe analizar el siguiente bloque. En este punto el
algoritmo está completamente preparado para comenzar el cálculo de la respuesta
en frecuencia de la red de puesta a tierra que se realiza en el bloque siguiente.
Bloque B: Respuesta en frecuencia de la red de puesta a tierra.
En este bloque se determinan las impedancias de circuito abierto propias y
mutuas de cada uno de los segmentos en que se ha particionado la red de puesta a
tierra. El proceso se inicia con la frecuencia más baja que se desea analizar, esta
frecuencia puede ser definida por el usuario en un valor cercano a cero tal como
0.001 Hz, 50 Hz, 60 Hz, etc., y posteriormente se va incrementando dependiendo
del valor de frecuencia máxima y del número de frecuencias a ser analizadas, valor
este que fue calculado en el Bloque A. Una vez establecido el bucle de frecuencia
se calculan las constantes de propagación γj para cada uno de los medios
- 33 -
conductivos. Además se evaluan en este punto algunas variables utilizadas por las
rutinas internas que también dependen de la frecuencia.
El siguiente paso puede ser considerado como el centro neurálgico del
algoritmo y consiste en la evaluación de las impedancias propias y mutuas de
circuito abierto de cada uno de los elementos en que se ha particionado la red, a
todas las frecuencias de interés. En este parte del programa se concentra la mayor
densidad de operaciones matemáticas. Para realizar este proceso se realiza un
barrido de cada uno de los electrodos con todos los demás que estén numerados en
la inicialización con un índice igual o superior al propio indice del electrodo con la
finalidad de reducir las operaciones al considerar el principio de reciprocidad, válido
en el entorno de las hipótesis que se están manejando en este modelo. Para cada
una de estas parejas se determina la capa en que esta ubicado cada uno de los
segmentos y su dirección respectiva. Cuando se conoce la ubicación, dirección y
dimensiones de los electrodos se verifica si se debe proceder al cálculo de esta
impedancia o si esta información ya se ha calculado anteriormente para otra
configuración semejante.
Hay que recordar que esta información ha sido
previamente almacenada en el Bloque A . Si se detecta que es necesario realizar el
cálculo, se invoca a las rutinas correspondientes que permiten el cálculo, según el
modelo del terreno y la posición de los electrodos que se están considerando.
El proceso que se lleva a cabo para la evaluación de los coeficientes propios
y mutuos de la impedancia de circuito abierto se presenta esquemáticamente en el
diagrama de bloques de la figura 5.10. Existe un árbol de decisión que dirige el
algoritmo al cálculo de la impedancia de circuito abierto según el tipo de terreno
(Homogéneo, Biestratificado o Multiestratificado) y según la orientación
(xx,yy,zz,xy,xz,yz) de la pareja de segmentos.
Una vez seleccionada la rutina que debe realizar el cálculo de la impedancia,
se definen los límites de integración, los cuales son restringidos para evitar
singularidades numéricas, después se calcula la integración más externa sobre una
trayectoria rectilínea definida entre los extremos del primer segmento. Esta primera
integración numérica invoca a la segunda integración sobre la trayectoria definida
por el otro segmento. La segunda integración tiene que evaluar el campo eléctrico
para lo cual es necesario realizar la integración numérica y analítica de expresiones
que involucran funciones de Bessel. También es necesario evaluar en este punto
los coeficientes indeterminados que ajustan las condiciones de contorno del
problema a medida que se va llevando a cabo el proceso de integración.
- 34 -
Una vez que se ha obtenido el valor de la impedancia de circuito abierto de la
pareja de electrodos, es necesario identificar su polaridad relativa, según la dirección
que se le ha asignado a cada electrodo en la lectura inicial de coordenadas. Es
necesario recordar que muchos términos no se calculan por representar términos
topológicamente iguales, sin embargo es necesario definir la polaridad relativa de
cada par para asignar correctamente el signo de la impedancia.
Cuando se han evaluado o asignado todos los términos de la matriz de
impedancia de circuito abierto para una frecuencia dada, se calcula la distribución de
la corriente por los segmentos en que se ha particionado la red. Finalmente se
incrementa la frecuencia y se repite todo el proceso a la nueva frecuencia, tantas
veces como sea necesario hasta que se alcance la frecuencia máxima que se está
analizando. Cuando se alcanza la frecuencia máxima, se ha calculado la respuesta
en frecuencia de la red de puesta a tierra sometida a un impulso de excitación. La
respuesta en frecuencia de la red de puesta a tierra es la información de partida para
el último bloque del algoritmo.
La respuesta en frecuencia obtenida en el Bloque B, se almacena en un
fichero, junto con todos los datos del terreno y de la instalación para permitir que el
usuario pueda alcanzar este punto posteriormente sin necesidad de pasar por los
dos bloques anteriores cuando quiere obtener nuevos resultados de un caso
particular que ha sido analizado previamente.
En la Fig. 5.9 se muestra como se transforma al dominio de la frecuencia
mediante el algoritmo de la transformada rápida de Fourier - FFT - la inyección de
corriente que se está aplicando sobre la red de puesta a tierra. Posteriormente se
multiplica la respuesta en frecuencia de cada uno de los segmentos de la red, por el
espectro en frecuencia de la corriente inyectada. El siguiente paso consiste en
realizar la transformada inversa de Fourier mediante los mismos algoritmos rápidos
que se han utilizado para realizar la transformación directa.
Bloque C: Conversión tiempo-frecuencia-tiempo y resultados.
En este bloque se calculan todas aquellas variables en el tiempo o en la
frecuencia que son de interés en la solución del problema tales como pueden ser las
impedancias de entrada de la red de puesta a tierra, las densidades de corriente
drenadas a tierra en un punto cualquiera del espacio, las fuerzas electromotrices en
una trayectoria determinada, etc.
- 35 -
Cálculo de las Impedancias
de Circuito Abierto
COEFPOT
¿Coincide la
topología de los electrodos con
alguna previa?
si
Asignacion de los valores
calculados anteriormente
no
K=H
Retorno
K=M
Tipo de Subsuelo
(H)omogéneo, (B)iestrato,
(M)ultiestrato
K=B
XX
YY
Integración Externa
MUTXX(K)
Determinación de la ubicación y dirección de
la pareja de electrodos.
XY
YX
ZZ
XZ ZX
YZ ZY
Integración Externa
MUTZZ(K)
Integración Externa
MUTXY(K)
Integración Externa
MUTXZ(K)
Integración Interna
FXX(K)
Integración Interna
FXX(K)
Integración Interna
FZZ(K)
Integración Interna
FXZ(K)
Integrales del tipo
Sommerfeld
Integrales del tipo
Sommerfeld
Integrales del tipo
Sommerfeld
Integrales del tipo
Sommerfeld
Coeficientes
Indeterminados
Coeficientes
Indeterminados
Coeficientes
Indeterminados
Coeficientes
Indeterminados
Funciones de Bessel
Funciones de Bessel
Funciones de Bessel
Funciones de Bessel
Retorno
Retorno
Retorno
Retorno
Fig. 5.10 Diagrama de flujo de la rutina que calcula las impedancias de circuito abierto.
Finalmente se realiza un informe con todos los datos y resultados obtenidos y
el algoritmo pregunta al usuario si desea continuar analizando más casos o nuevas
redes de puesta a tierra. Dependiendo de la respuesta, el algoritmo culmina el
proceso informando sobre todos los tiempos empleados en el análisis, o regresa al
Bloque A para introducir nuevos datos o variar algunos de los datos utilizados en el
análisis anterior.
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