TEMA 7. LA LÓGICA COMO SISTEMA FORMAL AXIOMÁTICO: LOS LÍMITES DE LOS SISTEMAS FORMALES AXIOMÁTICOS 1. LA LÓGICA * Dado que este tema pertenece a la disciplina filosófica denominada lógica, creemos conveniente hacer una primera aproximación a esta rama de la filosofía, para después centrarnos en la cuestión propuesta: * , que significa El término lógica proviene del griego palabra o tratado. La lógica formal es la TEORÍA FORMAL DEL RAZONAMIENTO1. * En la historia de la filosofía ha cobrado acepciones muy diversas. Los griegos llamaron lógica a la silogística de Aristóteles y a la teoría estoica de la proposición (lo que más tarde se ha llamado lógica formal). * Por su parte, Kant llamó lógica trascendental a su crítica filosófica del conocimiento científico, es decir, a lo que más bien sería, al menos parcialmente, competencia de la teoría de la ciencia y de la filosofía de la lógica. Luego Hegel denominó lógica a la metafísica. * La lógica simbólica, lógica matemática o logística es una nueva denominación de la lógica formal en su actual estado de desarrollo. 2. HISTORIA DE LA LÓGICA (Para comentar brevemente) * La lógica formal nació hace 2500 años, cuando Aristóteles y los estoicos se interesaron por la construcción y el análisis de esquemas de argumentos. Desde entonces, salvo las contribuciones realizadas durante la Edad Media, la lógica no ha experimentado grandes desarrollos hasta mediados del siglo XIX. 1 Estudia la forma y la valoración de los argumentos. CONCEPCIÓN PÉREZ GARCÍA 1 * La clave de este progreso se halla en las revolucionarias aportaciones del inglés Boole (hacia la mitad del siglo XX) y del alemán Frege (último tercio del XIX) relativas a lo que suele denominarse la matematización de la lógica2. Para ello, se construyeron un lenguaje simbólico y unas reglas de operación. Veamos cómo fue evolucionando la lógica: * Antes de entrar en Aristóteles, recordamos que Zenón de Elea era famoso por sus paradojas y que fue un genio del arte del razonamiento dialéctico3, en el que también descollaron Sócrates y Platón. Por otra parte, los sofistas eran muy solicitados como maestros de retórica. 1. ARISTÓTELES: señalaremos que además de una completa doctrina silogística4 y de varios trabajos de lógica inductiva, realizó teorías metodológicas. Además, el Estagirita inventó la lógica modal5. Para Aristóteles, la lógica era una introducción a toda investigación científica y un análisis de los principios en los que se halla articulada la realidad. La lógica Aristotélica fue la lógica por antonomasia durante mucho tiempo. 2. ESTOICISMO: es principalmente una lógica de las proposiciones. El lógivco estoico más famoso fue Crisipo. Tenían un sistema deductivo basado en cinco reglas de inferencia. También dilucidaron cuestiones semánticas. Estudiaron paradojas6 muy famosas en toda la historia de la filosofía. Por matematización se entiende en metodología científica la subordinación de una ciencia al método de la matemática. De las ventajas inherentes a la matematización es claro ejemplo la física, que comenzó a marchar por el camino seguro del progreso científico desde que, en el siglo XVII, Galileo la sometió al rigor del método matemático. 2 La dialéctica es la lógica de la opinión. A ella se opone la analítica (inaugurada por Aristóteles), que es la lógica de la argumentación rigurosa. Aristóteles llamó a dos de sus obras Primeros Analíticos y Segundos Analíticos. 4 En el silogismo, a partir de dos premisas se deriva una conclusión. 3 La lógica modal analiza proposiciones a las que se antepone cualquiera de las cuatro partículas modales: posible (p. Ej. Es posible que haya seres inteligentes en otros lugares del universo), necesario (p. Ej. Es necesario que dos y dos sean cuatro), imposible (p. Ej. Es imposible que un círculo sea cuadrado) y contingente (p. Ej. Es contingente que el equipo A gane al equipo B). 5 Una de ellas era la siguiente: Si miento y digo que miento, ¿miento o digo la verdad? La tradición cuenta que Teofrasto, discípulo de Aristóteles, escribió tres 6 CONCEPCIÓN PÉREZ GARCÍA 2 3. MEDIEVO, SIGLOS XII – XV: los Padres de la Iglesia se ocuparon de cuestiones gramáticas que les permitiesen interpretar las Escrituras. Así surgieron nuevos campos de estudio: los términos sincategoremáticos, las propiedades de los términos, los insolubles, la obligación y las consecuencias. También hubo numerosos estudios de filosofía del lenguaje. Para los escolásticos, la lógica era la ciencia de juzgar rectamente. Cabe destacar a Pedro Hispano y a Guillermo de Occam. En España sobresalió Raimundo Lulio con su Ars Magna. 4. LÓGICA MODERNA: estuvo más centrada en la dialéctica y la retórica. Destacan en este período la lógica inductiva de Bacon, los estudios de la Lógica de Port-Royal sobre los términos generales, la obra de Kant y los estudios lógicos de John Stuart Mill. 5. LEIBNIZ: precursor de la lógica matemática. También expuso que sería adecuado usar símbolos para la lógica y cálculos similares a los matemáticos. 6. BOOLE: en 1854 este inglés publicó Las leyes del pensamiento. Desarrolló un álgebra lógica según la cual las proposiciones categóricas podrían ser convertidas en ecuaciones. 7. FREGE: en 1879 este alemán publicó Conceptografía. Con el tiempo, sustituyó a Aristóteles como la autoridad lógica más importante. Fue el inventor del lenguaje artificial y de la teoría de la cuantificación, lo que aportó claridad a la lógica. 8. GIUSEPPE PEANO: matemático italiano que hizo los primeros avances en lógica matemática al intentar crear una interlingua y elaborar un sistema de signos. Su sabiduría impresionó a Russell. 9. RUSSELL: Descubrió, muy a su pesar, la paradoja de las clases, que en palabras de Frege hacía tambalearse a la aritmética. Russell ideó la teoría de libros sobre el tema y Crisipo más de veinte, y que al lógico Filitas de Cos la investigación de aquel enigma le costó la muerte por extenuación. CONCEPCIÓN PÉREZ GARCÍA 3 tipos para contrarrestrarla, aunque terminó por dejar la lógica y dedicarse a la política7. 10. WITTGENSTEIN: El Tractatus logico-philosophicus ocupa un lugar propio en la historia de la lógica. Hizo críticas a las teorías de su maestro Russell y dijo que la lógica no dice nada sobre el mundo y que a las palabras lógicas no les corresponde ningún contenido real. 11. ÚLTIMOS DESARROLLOS: De entre todos ellos señalaremos las contribuciones de Kurt Gödel y su teorema de la incompletud de la aritmética, Alan M. Turing y la teoría de la computación, Alfred Tarski y el desarrollo de la semántica. Han surgido además lógicas no clásicas: modal, polivalente, libre, intuicionista, dialógica, combinatoria, deóntica, espistémica y pragmática. Además, la lógica se ha conectado con la matemática en muchas ocasiones, como en la teoría de conjuntos, la teoría de modelos, la teoría de algoritmos y de funciones recursivas. También ha tenido importantes aplicaciones lingüística, la informática y el desarrollo inteligencia artificial. en de la la 3. LA LÓGICA COMO LENGUAJE FORMAL * En la lógica formal se estudian los razonamientos o argumentos, que están compuestos de premisas y conclusiones. El lenguaje formal está construido por una serie de signos convencionales o artificiales. Prescinde del significado. * La lógica simbólica usa la notación matemática para establecer lo que designan los signos, y lo hace de forma más precisa y clara que el lenguaje ordinario. Esta lógica es un metalenguaje. Tras Russell cabe mencionar a Georg Cantor, gran matemático que destacó por su teoría sobre el infinito y la teoría de conjuntos. 7 CONCEPCIÓN PÉREZ GARCÍA 4 * Aunque un lenguaje artificial o simbólico es más preciso y claro, también es más pobre y no recoge todo lo que el lenguaje ordinario puede expresar. * La moderna lógica simbólica se expresa en forma de cálculo, esto es, como un sistema de relaciones entre símbolos y reglas, y se divide en dos ramas principales: la lógica proposicional o de enunciados, y la lógica de predicados o cuantificacional. * Un lenguaje formal consta de: 1. VARIABLES PROPOSICIONALES: p, q, r, s, etc 2. SÍMBOLOS AUXILIARES: Paréntesis y corchetes. 3. CONECTORES: Monádicos: Negación: Diádicos: Condicional o implicación: → Conjunción: Λ Disyunción: V Bicondicional o coimplicación: no si… entonces y o ↔ si y sólo si…entonces 4. REGLAS DE FORMACIÓN DE FÓRMULAS: por las que se unen los símbolos con las conectivas. Permiten distinguir entre frases bien construidas y mal construidas. 5. REGLAS DE TRANSFORMACIÓN DE FÓRMULAS: con las que se puede calcular o demostrar. Permiten pasar de unas expresiones a otras, a la manera como permiten determinadas reglas gramaticales pasar de la forma activa a la forma pasiva de una oración. * En la lógica de predicados se usan también el cuantificador universal: Λx (Para todo x), y un cuantificador particular: Vx (Para algún x). CONCEPCIÓN PÉREZ GARCÍA 5 4. LA LÓGICA AXIOMÁTICO COMO SISTEMA FORMAL * El término axioma proviene del griego , dignidad. Un axioma es una proposición que, por hallarse al comienzo del argumento, debe ser considerada verdadera (digna, justa). * Suele ser considerado un principio intuitivo y evidente, que no necesita ser demostrado. Puede ser el fundamento de una ciencia o el punto de partida de la demostración de un teorema. Ej.: El todo es mayor que la parte (quinto axioma común de Euclides). * Así, en la lógica y la matemática actuales se distingue entre el axioma y el teorema; mientras el primero se postula como verdadero sin precisar ninguna prueba, el segundo es un enunciado que se acepta una vez que ha sido probado. 4.1. NACIMIENTO Y EVOLUCIÓN DE LOS AXIOMAS * Quien primero formuló el análisis de la noción de axioma fue Aristóteles, que lo definió como: las proposiciones primeras de las cuales parte la demostración y, en todo caso, los principios que debe poseer necesariamente el que quiere aprender algo. Para Aristóteles, el axioma más evidente es el principio de no contradicción: ¬ (p Λ ¬p) * Esta consideración del axioma se mantuvo inmutable hasta la Modernidad, donde ya se empezó a cuestionar cómo los conocemos. Los racionalistas, como Descartes decían que eran ideas innatas en la mente, y los empiristas, como Locke, que procedían de la experiencia. En lo que todos coincidían es en que eran proposiciones evidentes. * Los axiomas, tras el estudio realizado por Inmanuel Kant, pasaron a ser denominados proposiciones analíticas, las cuales eran propias de las ciencias formales (lógica y matemáticas). * Una proposición verdadera en el ámbito de la lógica podría ser la siguiente: A→B, B→C CONCEPCIÓN PÉREZ GARCÍA A→C 6 * Por otro lado, un enunciado como Los triángulos tienen tres ángulos expresa una verdad matemática. * ¿Por qué sabemos que esas proposiciones son verdaderas? Constatamos, en primer lugar, que su verdad se reconoce sin necesidad de recurrir a ningún hecho de experiencia; Por eso se dice que las proposiciones analíticas son no empíricas a priori. * Para establecer la verdad de estos enunciados se comprueba si el concepto que funciona como predicado se deduce del concepto que funciona como sujeto, si es su consecuencia lógica. Y ¿cómo se comprueba que el predicado se deriva con necesidad lógica del sujeto? Verificando si es lógicamente coherente con él: SI NO LO CONTRADICE. Así, la no contradicción es la condición necesaria y suficiente de la verdad de una proposición analítica. * Las proposiciones analíticas verdaderas son, en terminología kantiana, no extensivas, esto es, en ellas los conceptos que funcionan como predicados aportan una información ya incluida en los conceptos que funcionan como sujeto. Por tanto, no amplían nuestra información; se limitan a establecer relaciones de equivalencia entre conceptos. * De este modo, concluimos que la lógica y las matemáticas son sistemas formales axiomáticos8, es decir, parten de axiomas para hacer sus cálculos. Esos axiomas deben ser completos, consistentes, fecundos, coherentes, independientes, categóricos, pocos y simples. 4.2. LOS LÍMITES DE AXIOMÁTICOS LOS SISTEMAS FORMALES * Hasta aquí hemos visto qué eran los axiomas y cómo fueron expuestos por Kant, quien los denominó proposiciones analíticas. El problema que surgió después es que se comprobó que los sistemas formales axiomáticos de la lógica y las matemáticas tenían sus límites. * En los últimos tiempos, las matemáticas se han enfrentado a la duda de que se pueda probar la necesidad de sus demostraciones. Si bien en un principio se pensaba que las argumentaciones matemáticas eran infalibles, ahora eso ya no 8 El sistema axiomático antiguo más conocido es la geometría euclidiana. CONCEPCIÓN PÉREZ GARCÍA 7 está tan claro. Unos axiomas matemáticos muy célebres fueron los diez axiomas del matemático griego Euclides (300 a.C.). Durante mucho tiempo se consideraron válidos, pero hoy en día algunos de ellos han sido refutados. * Como vimos más arriba, el quinto axioma común decía El todo es mayor que la parte. De aquí se deduce que las partes nunca son mayores que el todo y que las partes nunca son iguales al todo. Pero esta última deducción ha sido puesta en cuestión. Se afirma entonces que sí puede ocurrir que las partes sean iguales al todo. * Ejemplo: 1. Tenemos dos conjuntos: (números pares). N (números naturales) y P 2. P es un subconjunto de N en la medida en que todos los elementos de P pertenecen a N, pero no todos los elementos de N pertenecen a P (ningún número impar pertenece a P). Por tanto, P es una parte de N. 3. Entre P y N podemos establecer una relación que asigne a cada elemento del conjunto P un único elemento del conjunto N, y viceversa, a cada elemento de N un único elemento de P. 4. Luego, P y N tienen el mismo número de elementos. * Por otro lado, el quinto axioma propio de Euclides decía Por un punto exterior a una recta puede trazarse una única paralela. Pero actualmente hay geometrías no euclidianas que dicen que se pueden trazar infinitas paralelas y otras que dicen que no se puede trazar ninguna. ¿Qué geometría es la mejor? * Aún así, a principios del S. XX, los filósofos Bertrand Russell y Alfred Whitehead intentaron axiomatizar las matemáticas para demostrar su verdad absoluta. Pero el joven matemático estadounidense Kart Gödel vio imposible demostrar la verdad matemática. Su teorema de la incompletud es considerado el descubrimiento matemático más importante del siglo XX. * El teorema decía: es imposible demostrar que un sistema es consistente con las herramientas que el propio sistema nos ofrece. O sea, el sistema no puede demostrarse CONCEPCIÓN PÉREZ GARCÍA 8 a sí mismo. Habría que recurrir a otro sistema, pero, ¿cómo sabemos que ese sistema es consistente? Gödel concluyó que no podemos estar nunca seguros de la consistencia de un sistema axiomático. * Este teorema ha sido un mazazo para las matemáticas, que hasta ese momento eran tenidas por la ciencia modelo del saber riguroso. Si ya no es tan modélica, ¿no se relativiza la separación entre los saberes demostrables, y los no científicos, en apariencia indemostrables? 4.3. ESTADO ACTUAL DE LA CUESTIÓN * Dada la interrelación entre la lógica y las matemáticas (no olvidemos que los desarrollos lógicos más actuales fueron hechos por matemáticos), el problema de la no evidencia de los axiomas alcanzó también a la lógica. * Según se piensa actualmente, los axiomas de la lógica no son ni verdaderos ni falsos; han sido adoptados convencionalmente como fundamentos o premisas del discurso lógico. * Así, si tradicionalmente un axioma era algo evidente, y un postulado debía ser demostrado, hoy se usan ambos términos como sinónimos. ¿Qué actitud cabe adoptar entonces frente a las ciencias formales? * La mejor explicación de cómo funciona la ciencia y de por qué lo que hoy es verdad mañana puede no serlo, la ofreció el filósofo de la ciencia Thomas Kuhn. Kuhn expuso que en ciencia cada época sostiene un paradigma científico. Cuando ese paradigma da lugar a tantas anomalías que ya no sirve, aparece otro paradigma mejor que lo sustituye y resuelve las anomalías. Así, la ciencia funciona a base de revoluciones científicas. * No se trata entonces de que no se pueda hallar la verdad, sino de cambiar a un enfoque más humilde que nos lleve a comprender que la aproximación a la verdad es lenta y se va haciendo poco a poco. Cuando decimos que una teoría científica es verdadera, se sobreentiende en el estado actual de los conocimientos científicos. * Tampoco hay que dejarse llevar por el catastrofismo, ya que muchas teorías científicas sí que poseían grandes porciones CONCEPCIÓN PÉREZ GARCÍA 9 de verdad y servían para resolver los problemas que su época les planteaba. * Pero como todo conocimiento precisa mejorar, la investigación científica es algo primordial en las sociedades actuales y debe ser promocionada por los gobiernos para que toda la humanidad se pueda beneficiar de sus avances. * * * BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA CORTINA, A y otros.: Ática, filosofía 1º Bachillerato, Santillana, Madrid, 2000. FERRATER MORA, J.: Diccionario de filosofía abreviado, Barcelona, Edhasa, 1976. GARRIDO, M.: Lógica simbólica, Madrid, Tecnos, 1974. PÉREZ CARRASCO, F. J.: Filosofía 1º Bachillerato, Oxford Educación, Madrid, 2002. CONCEPCIÓN PÉREZ GARCÍA 10