EXAMEN DE ECONOMETRÍA II 15 de noviembre de 2010

EXAMEN DE ECONOMETRÍA II
15 de noviembre de 2010 - Duración: 2 horas y 45 minutos
APELLIDOS: ........................................................NOMBRE:..........................
LICENCIATURA:..................................................GRUPO:............................
Notas: Considere válidas las aproximaciones asintóticas. En todos los contrastes tome como nivel
de significación el 5%. Una tabla estadı́stica le ofrece valores crı́ticos.
1.- (1.25 puntos) Considere el modelo simple sin constante
Yt = βXt + ut ,
para t = 1, ..., T
que satisface
todos los supuestosP
del MLG con errores normales. Se sabe además que Xt P
6= 0 ∀t,
T
T
Yt
1 PT
1
1
1
2
lim
t=1 Xt = c > 0, lim T
t=1 Xt2 = d > 0, y que el estimador de β dado por β̃ = T
t=1 Xt
T →∞ T
T →∞
√
es tal que T β̃ − β →d N 0, σ 2 d . El valor σ 2 denota la V ar (ut ). Demuestre que el estimador
MCO de β es asintóticamente más eficiente que el estimador β̃. Nota: Utilice el resultado 1 < cd.
2.- (2.5 puntos) Se dispone de 200 observaciones para estimar el modelo Yt = β 1 +β 2 X2t +β 3 X3t +
ut . Las ecuaciones (1)-(7) son estimaciones MCO de este modelo, algunas variantes y varias ecuaciones
auxiliares. Los errores estándar (entre paréntesis) son válidos cuando se verifican los supuestos básicos
para el término de error de la ecuación correspondiente.
Yt =
Y
√ t
X2t
Yt
X2t
Y
√ t
X2t
4.82 + 0.49 X2t − 0.63 X3t + et ,
(1.37)
(0.30)
R2 = 0.0535
p
1
X3t
+ 0.10 X2t − 0.21 √
+ â∗t , R2 = 0.9342
(0.09) X2t
(0.06)
(0.07) X2t
1
X3t
= 0.57 + 4.72
− 042
+ q̂t∗ , R2 = 0.6067
(0.18)
(0.38) X2t
(0.19) X2t
p
X3t
= 5.07 + 1.51 X2t − 0.51 √
+ ŝ∗t , R2 = 0.1616
(0.50)
(0.51)
(0.21) X2t
=
(1)
(0.27)
4.85 √
(2)
(3)
(4)
2
2
e2t = α
b1 + α
b 2 X2t + α
b 3 X3t + α
b 4 X2t
+α
b 5 X3t
+α
b 6 X2t X3t + rest , R2 = 0.0650
(5)
et = π
b1 + π
b2 X2t + rest , R = 0.0012
2
b
b
et = δ 1 + δ 2 X3t + rest , R2 = 0.0018
(6)
2
(7)
a) Contraste de todas las maneras posibles que el término de error ut es heterocedástico.
(0.75 puntos)
2 . ¿Qué modelo estimado ofrece
b) Algunos investigadores han sugerido que V ar (ut ) = σ 2 X2t
las estimaciones más eficientes en tal caso? Justifique adecuadamente su elección frente al resto de
opciones. (0.5 puntos)
c) Escriba la regresión auxiliar con que contrastarı́a, mediante el procedimiento de White, que
el modelo (transformado) elegido en el apartado anterior tiene un término de error heterocedástico.
¿Cuál serı́a su conclusión si el R2 de esta regresión auxiliar es 0.0175? (0.75 puntos)
d) Teniendo en cuenta sus respuestas a los apartados anteriores, contraste que el valor del
parámetro β 2 es 0.75. (0.50 puntos)
2
3.- (1 punto) Sea {Xt }∞
t=1 un proceso estocástico tal que Xt = w + εt , E(w) = c, V ar(w) = σ w y
∞
2
{εt }t=1 es ruido blanco con varianza V ar(εt ) = σ ε . Se sabe además que w y εt son independientes ∀t.
a) Verifique si el proceso estocástico {Xt } es estacionario. (0.75 puntos)
b) Verifique si la función de autocorrelación de {Xt } es constante para k = 1, 2, .... (0.25
puntos)
1
4.- (2.75 puntos) Considere el siguiente modelo de regresión, que satisface todas las hipótesis
clásicas con errores normalmente distribuidos excepto la de incorrelación serial:
Yt = β 1 + β 2 X2t + . . . + β k Xkt + ut
(1)
Se piensa que el término sigue un proceso AR(1) estacionario: ut = ρut−1 + t .
Un investigador estima (1) por MCO y obtiene:
PT
PT 2
t=2 et et−1 = θ − 2, e1 = eT = 1
t=1 et = θ,
en donde et son los residuos MCO.
a) Si el investigador quiere realizar el test de autocorrelación de Durbin-Watson, ¿qué condición
debe satisfacer θ para que el estadı́stico DW se encuentre entre 0 y 4? (0.75 puntos)
b) Suponga que k = 2, T = 100, y θ = 6. Calcule el valor del estadı́stico DW y realice el test
DW especificando la hipótesis nula y alternativa. (0.5 puntos)
c) Calcule una estimación consistente para ρ a partir del valor del DW en b). (0.25 puntos)
d) Para estimar β por MCGF, el investigador transforma (1) en
t ≥ 2,
∗
∗
Y1∗ = β 1 X11
+ . . . + β k Xk1
+ u∗1
(2)
∗
∗
Yt∗ = β 1 X1t
+ . . . + β k Xkt
+ u∗t
(3)
∗ , . . . , X ∗ , Y ∗ , X ∗ , . . . , X ∗ dado el valor de ρ obtenido en c)? (0.5
¿Qué expresión tienen Y1∗ , X11
1t
k1 t
kt
puntos)
e) El investigador estima el modelo en (2)-(3) por MCO obteniendo:
∗
b X∗ + . . . + β
b X∗
Ybt = β
1 1t
k kt


a11 a12 . . . a1k


a21 a22 . . . a2k 
0


σ
b∗2 (X ∗ X ∗ )−1 =  .
..
.. 
..
 ..
.
.
. 


(4)
ak1 ak2 . . . akk
0
en donde σ̂ ∗2 = e∗ e∗ /T − k y e∗ es el vector de residuos MCO de (4). Utilice esta información para
derivar la condición bajo la que H0 : β 1 = β 2 será rechazada en favor de H1 : β 1 6= β 2 . (0.75 puntos)
5.- (2.5 puntos) Considere la siguiente relación lineal entre el logaritmo del salario (log(wage)),
los años de educación (educ), los años en el trabajo actual (tenure) y una variable ficticia (married)
que toma el valor uno si el individuo está casado:
log(wage)t = β 0 + β 1 educt + β 2 marriedt + β 3 tenuret + ut
(1)
Se sospecha que educ podrı́a ser endógena en este modelo y se propone utilizar como instrumento
el número de hermanos y hermanas del individuo (sibs). En base a una muestra de 935 hombres
americanos se han obtenido los resultados que se presentan en la tablas adjuntas.
a) Verifique que sibs es un buen instrumento para los años de educación. (0.75 puntos)
b) Contraste si efectivamente los años de educación es una variable endógena. (0.75 puntos)
c) En base a los resultados obtenidos en los apartados anteriores contraste la hipótesis nula
de que el efecto sobre el logaritmo del salario de estar casado es el doble que el efecto de un año más
de educación, conjuntamente con que el impacto sobre el logaritmo del salario de un año más en el
trabajo actual es igual a 0.016. (0.75 puntos)
d) ¿Son los siguientes dos métodos para estimar el coeficiente de educ en (1) equivalentes?
1. Utilizar VI con sibs como instrumento para educ. 2. Reemplazar educ por sibs en (1) y usar
el estimador MCO del coeficiente de sibs de esta nueva regresión. Justifique su respuesta. (0.25
puntos)
2
VALORES CRÍTICOS
z0.025 = 1.96
z0.05 = 1.65
t95;0.025 = 1.98
t95;0.05 = 1.66
t99;0.05 = 1.66
χ
χ
χ
χ
2
χ5;0.05
= 11.07
2
1;0.05
= 3.84
d L ,45,1 = 1.48
2
2;0.05
= 5.99
d L ,100,1 = 1.65
2
3;0.05
= 7.81
dU ,100,1 = 1.69
2
4;0.05
= 9.49
d L ,90,2 = 1.61
dU ,90,2 = 1.70
Nota: Los valores críticos del contraste de Durbin-Watson ( d L (U ),T , K ' ) se dan al 5% de
significación; K ' es el número de variables explicativas excluyendo el término constante.
TABLAS PROBLEMA 5
TABLA 1
Dependent Variable: LOG(WAGE)
Method: Least Squares
Sample: 1 935
Included observations: 935
Variable
C
EDUC
MARRIED
TENURE
Coefficient
5.630894
0.062879
0.211989
0.015469
Std. Error
0.090493
0.005770
0.041074
0.002500
t-Statistic
62.22444
10.89677
5.161094
6.187755
Prob.
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
TABLA 2
Dependent Variable: EDUC
Method: Least Squares
Sample: 1 935
Included observations: 935
Variable
Coefficient
C
14.13879
SIBS
-0.227916
Std. Error
0.113138
0.030277
t-Statistic
124.9692
-7.527759
Prob.
0.0000
0.0000
Std. Error
0.247543
0.226022
0.013781
0.030248
t-Statistic
59.11306
-1.778831
-1.303405
-7.593861
Prob.
0.0000
0.0756
0.1928
0.0000
TABLA 3
Dependent Variable: EDUC
Method: Least Squares
Sample: 1 935
Included observations: 935
Variable
Coefficient
C
14.63303
MARRIED
-0.402056
TENURE
-0.017963
SIBS
-0.229698
TABLA 4
Dependent Variable: LOG(WAGE)
Method: Two-Stage Least Squares
Sample: 1 935
Included observations: 935
Instrument list: C SIBS MARRIED TENURE
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
EDUC
MARRIED
TENURE
4.895153
0.115713
0.233096
0.016202
0.350092
0.024946
0.043961
0.002632
13.98249
4.638596
5.302370
6.156922
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
Wald Test: TABLA 4
Null Hypothesis:
C(3) - 2*C(2)=0
F-statistic
Chi-square
0.000814
0.000814
Probability
Probability
0.977240
0.977234
Wald Test: TABLA 4
Null Hypothesis:
C(3) + 2*C(2)=0
F-statistic
39.84055
Probability
Chi-square
39.84055
Probability
0.000000
0.000000
Wald Test: TABLA 4
Null Hypothesis:
F-statistic
Chi-square
C(3) - 2*C(2)=0
C(4)=0.016
0.003753
0.007505
Probability
Probability
0.996255
0.996255
Wald Test: TABLA 4
Null Hypothesis:
C(3) + 2*C(2)=0
C(4)=0.016
F-statistic
19.97649
Probability
Chi-square
39.95297
Probability
0.000000
0.000000
TABLA 5
NOTA: RES contiene los residuos de la TABLA 3
Dependent Variable: LOG(WAGE)
Method: Least Squares
Sample: 1 935
Included observations: 935
Variable
Coefficient
C
4.895153
EDUC
0.115713
MARRIED
0.233096
TENURE
0.016202
RES
-0.056106
Std. Error
0.334564
0.023839
0.042011
0.002515
0.024566
t-Statistic
14.63145
4.853883
5.548464
6.442677
-2.283843
Prob.
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0226
Std. Error
0.047157
0.005762
0.043057
0.002625
t-Statistic
139.7116
-4.612633
4.333138
5.379808
Prob.
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
TABLA 6
Dependent Variable: LOG(WAGE)
Method: Least Squares
Sample: 1 935
Included observations: 935
Variable
Coefficient
C
6.588383
SIBS
-0.026579
MARRIED
0.186573
TENURE
0.014124