Transitorios en circuitos de primer y segundo orden

PRÁCTICAS DE ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
TRANSITORIOS EN CIRCUITOS DE
PRIMER Y SEGUNDO ORDEN :
RC,RL Y RLC
I.OBJETIVOS:
El propósito de esta práctica es el estudio de la respuesta natural de circuitos pasivos lineales de primer y
segundo orden.
Como circuitos de primer orden estudiaremos el RL y el RC, así como sus respectivas curvas de carga y
descarga.
Como circuito de segundo orden estudiaremos el RLC, así como la respuesta transitoria a una excitación de
tipo escalón.
II.INSTRUMENTAL:
• Generador de señales
• Osciloscopio de rayos catódicos y sus sondas de medida
• Regleta universal
• Cables de interconexión de varios tipos
• Resistencias, condensadores y autoinducciones de distintos valores.
III.CARGA Y DESCARGA DE UN CONDENSADOR:
Montamos el circuito de la figura 1 (ver anexo 1), usando un condensador de capacidad nominal C=27nF y
una resistencia de valor nominal R=1Kð.
Este circuito representa el proceso de carga de un condensador de capacidad C a través de una resistencia R;
la figura 2 (anexo 1) muestra el proceso de descarga.
Antes de efectuar medida alguna ajustamos las sondas del osciloscopio de la forma habitual.
Aplicamos una tensión de forma de onda cuadrada con un periodo tal que nos permite observar correctamente
todo el proceso de carga y descarga, ambos objeto de nuestro estudio.
Este proceso está caracterizado por el valor de la resistencia R (más los 50 ð de resistencia interna del
generador).
Medimos el tiempo de relajación de la exponencial de descarga en la pantalla del osciloscopio.
Si hubiésemos medido directamente del generador ideal de tensión (que no es accesible, sino que se trata de
un modelo), obtendríamos una onda cuadrada perfecta.
Observamos en la pantalla que la bajada de tensión es más grande al principio que cuando se ha alcanzado el
estado estacionario.
1
Para medir rápidamente la magnitud RC en el osciloscopio, tomo dos valores convenientes de tensiones,
usando la expresión:
)=V
, donde RC = ð es el tiempo de relajación del circuito
=V
=V
Tomando
=
/2 y dividiendo ambas expresiones obtenemos lo siguiente:
½= e−(t1−t2)/RC − Ln 2 =− (
−
)/ð ð ð
Donde
=
−
= 17 ðs , por tanto ð = 25 ðs.
Si lo comparamos con el valor numérico dado por los valores nominales de resistencia y capacidad
involucrados (ð = 27 ðs.) vemos que son del mismo
orden.
Una vez realizados estos cálculos nos disponemos a estudiar en primer lugar la curva de descarga; se trata de
una exponencial, al igual que la curva de carga.
Para ello realizamos distintas mediciones de tensiones y tiempos en la pantalla del osciloscopio:
TIEMPO (ðsð
0
1.0 + 0.1
2.0 + 0.1
3.0 + 0.1
4.0 + 0.1
5.0 + 0.1
TENSION (V)
4.00 + 0.05
3.85 + 0.05
3.70 + 0.05
3.60 + 0.05
3.40 + 0.05
3.25 + 0.05
Ln V
1.39 + 0.01
1.35 + 0.01
1.31 + 0.01
1.28 + 0.01
1.22 + 0.01
1.18 + 0.01
2
6.0 + 0.2
8.0 + 0.2
10.0 + 0.2
15.0 + 0.5
20.0 + 0.5
25.0 + 0.5
30.0 + 0.5
40 + 1
50 + 1
60 + 2
80 + 2
100 + 2
3.15 + 0.05
2.95 + 0.05
2.70 + 0.05
2.25 + 0.05
1.90 + 0.05
1.55 + 0.05
1.25 + 0.05
0.85 + 0.05
0.60 + 0.05
0.40 + 0.05
0.20 + 0.05
0.10 + 0.05
1.15 + 0.02
1.08 + 0.02
0.99 + 0.02
0.81 + 0.02
0.64 + 0.03
0.44 + 0.03
0.22 + 0.04
−0.16 + 0.06
−0.51 + 0.08
−0.92 + 0.12
−1.61 + 0.25
−2.30 + 0.50
Con los datos representados en esta tabla, construimos la gráfica correspondiente a la curva de descarga del
condensador (gráfica 1) y dibujamos la recta de regresión obtenida mediante el método de los mínimos
cuadrados :
Ln
(t) = Ln V − (1/RC) t
A partir de la pendiente de la recta se puede hallar un valor más preciso de ðð
La pendiente de la recta B= −0.0373 + 0.0002 ðs
; despejando, obtenemos que ð=−1/B=26.80 + 0.15 ðs que es un valor más exacto que el hallado por el
metodo rápido.
Nos disponemos ahora a estudiar la curva de carga del condensador, para ello medimos, al igual que antes,
tensiones y tiempos directamente en el osciloscopio.
Con los datos obtenidos mediante dicho procedimiento componemos la siguiente tabla:
TIEMPO
TENSION
(micro s.)
0
5
10
15
20
25
30
(V)
4
4.6
5.2
5.6
6
6.3
6.6
Hacemos notar que hemos tomado únicamente algunos valores, no tantos como en la curva de descarga, ya
que nuestro objetivo será únicamente representar la citada curva de carga usando las medidas expresadas en la
3
tabla.
Por el mismo motivo, no se realizan cálculo de errores sobre esta curva.
(Gráfica 2)
En este momento medimos con el multímetro el valor preciso de la resistencia R y a partir del valor de RC
hallado mediante el cálculo de la pendiente de la recta de regresión de la curva de descarga, encontramos un
valor preciso para C.
R= 1.00 + 0.01 Kð ð ð ððððð + 0.15 ðs ;
C = ð/ R =25.52 + 0.04 nF
Con todos estos conocimientos podemos idear una forma de medir la resistencia del generador a partir de la
medida de un tiempo de relajación.
Esto puede hacerse quitando la resistencia auxiliar del circuito, de manera que la única resistencia existente
sea la del generador.
El tiempo de relajación se halla de manera similar al circuito RC de partida,
obteniendose el siguiente valor:
= 0.85 + 0.01 ðs
Por otra parte sabemos que :
=
, después de despejar queda:
=
=48.0521 + 0.0005 ð
IV. TRANSITORIOS EN UN CIRCUITO RL
En este punto vamos a estudiar la evolución temporal de la intensidad que fluye por una autoinducción
conectada en serie con una resistencia al aplicarle de forma brusca una tensión de continua.
Sabemos que una bobina real viene caracterizada por el valor de su autoinducción L, pero el efecto de su
resistencia
no tiene porqué ser despreciable.
Además ,cuando la corriente es continua, es decir, a frecuencias bajas, la autoinducción no afecta a la caida de
tensión a su través, de modo que la bobina queda en este caso determinada exclusivamente por su resistencia.
Usando los conocimientos adquiridos en la anterior práctica sobre el divisor de tensiones y sabiendo que la
resistencia del generador es de 50 ð , hallaremos la resistencia de la autoinducción :
4
= 16 V
=4 V
=[
/(
+
)]
=
(
/
−
) = 16.7 ð
Midiendo con el multímetro vemos que
= 20.2 ðð
A continuación ,montamos el circuito de la figura 3. Sabemos que la caida de tensión en la resistencia R
(R=100.8 ð medidos con el multímetro) es proporcional a la intensidad que fluye por la bobina .
Aplicamos al circuito RL una onda de forma cuadrada de manera que se observe en el osciloscopio como
varía la tensión con el tiempo en la resistencia R, o sea,
(t) .
Realizamos el mismo procedimiento que en el caso anterior (circuito RC) :
=
=
Ahora tomamos
=
y dividimos una ecuación entre otra .Despejando:
ð=
=4.33x10
s. Donde
5
=30ðs.
El valor teórico sería ð=
=5.88x10
s. donde
=(
+
+
) , por lo que el valor teórico sería 1.36 veces mayor que el hallado experimentalmente, luego hemos
alcanzado una muy buena aproximación.
A continuación vamos a encontrar un valor de ð más exacto a partir de la representación gráfica de la función
(gráfica 3):
Ln
=Ln
(t)/
= Ln (V/
)−(
/L)t ð ð L/
y deducimos a partir de la misma el valor de ð con su correspondiente error.
Los valores obtenidos experimentalmente se refleja en la siguiente tabla:
TIEMPO (ðs)
0
5 .0+ 0.1
10.0 + 0.1
15.0 + 0.5
20.0 + 0.5
25.0 + 0.5
30.0 + 0.5
40 + 1
50 + 1
60 + 2
TENSIÓN (V)
7.40 +0.05
6.80 + 0.05
6.30+ 0.05
5.80 + 0.05
5.30 + 0.05
4.90 + 0.05
4.50 + 0.05
3.80 + 0.05
3.30 + 0.05
2.80+ 0.05
INTENSIDAD (mA)
74.0+0.6
68.0+0.6
63.0+0.6
58.0+0.6
53.0+0.5
49.0+0.5
45.0+0.5
38.0+0.5
33.0+0.5
28.0+0.5
Ln (V/R)
4.310+0.008
4.221+0.008
4.140+0.009
4.061+0.010
3.971+0.009
3.894+0.010
3.812+0.011
3.643+0.013
3.519+0.015
3.323+0.018
Usando estos datos; el valor de ð resultante es : ð= (6.179 + 0.003 )x
s.
V. OSCILACIONES AMORTIGUADAS EN UN CIRCUITO RLC.
Este circuito utiliza todos los componentes que usamos antes, una resistencia, una autoinducción y un
condensador. En este caso vamos a conectar el sistema con una fuente de tensión de continua de manera
brusca, lo que se conoce como tensión de tipo escalón.
6
El circuito (figura 4) está formado por la bobina usada anteriormente ( L=10 mH) , un condensador de C=1.2
nF y como resistencia usamos la resistencia de la bobina
= 20.2 ð
Al ser la resistencia menor que la resistencia crítica: R<2
nos encontramos en un regimen subamortiguado.
Excitamos el circuito con una forma de onda cuadrada, la frecuencia, debe ser tal que se pueda visualizar la
señal completa, hasta que se extinga.
Para ver correctamente la función es necesario utilizar el mecanismo de disparo exterior (TRIGGER).
Tomamos datos del osciloscopio consistentes en la situación de los máximos y los mínimos que se muestran
en la siguiente tabla:
V máximos (V)
8
7
6.4
5.6
5
4.4
4
3.6
3.2
2.8
2.4
T máximos (ðs)
21.5
64.0
106.5
149
191.5
234
276.5
319
361.5
404
446.5
V mínimos (V)
−8
−7.1
−6.2
−5.8
−5.1
−4.5
−4.1
−3.6
−3.2
−2.7
−2.3
T mínimos (ðs)
0
42.5
85
127.5
170
212.5
255
297.5
340
382.5
425.0
Usando las posiciones de los máximos vamos a hallar el valor del factor de atenuación ð cuyo valor teórico es:
ð=
= 3520
=
+
Para ello hacemos la recta de regresión logaritmica Ln
(t)=−ðt+cte
Ln V (V)
2.08
1.95
1.86
1.72
1.61
T (ðs)
21.5
64.0
106.5
149.0
191.5
7
1.48
1.39
1.28
1.16
0.88
0.79
234.0
276.5
319.0
361.5
404.0
446.5
Tras los cálculos por mínimos cuadrados resulta que: ð=2979+110
El punto de sobredisparo corresponde al primer máximo, teóricamente:
= ð/
donde
=(
−ð
)
y
=1/LC
= 10.88 ðs
Experimentalmente el punto de aparición del primer pico es
=10.75 ðs.
Habiendo sido calculada teóricamente la pseudofrecuencia de oscilación (
) obtenemos ,como consecuencia, el periodo T =21.7 ðs.
Comparando este valor con su valor experimental T=21.5 ðs. podemos observar la proximidad entre ambos
resultados, lo que indica la validez de las experiencias realizadas.
La gráfica cuatro (realizada con los valores de la tabla anterior ) tiene la forma de la curva teórica que es una
sinusoide amortiguada por una exponencial.
Si introducimos una resistencia lo suficientemente grande R>2
nos encontraremos en el regimen sobreamortiguado. Nosotros usamos una resistencia de valor R=33 Kðð
Con estos datos hacemos la siguiente tabla y lo representamos en la gráfica 5.
Tensión (V)
4
4.2
4.6
5.1
5.6
Tiempo (ðs)
0
2
5
10
15
8
5.9
6.2
6.4
7
7.3
20
25
30
40
50
Se observa que la curva tiene forma de exponencial pero en t=0 la pendiente debería ser nula, esto no aparece
por el error en los datos.
Por último cambiamos la resistencia por otra cercana a R=2
=5770 ð
Nosotros tomamos R= 5600 ð . Se observa que para este valor se alcanza el estado estacionario lo más
rápidamente posible.
Tomamos unos cuantos datos de tensiones y tiempos para construir la siguiente tabla :
Tensión (V)
4
5.2
6.2
6.4
6.7
7
7.2
Tiempo (ðs)
0
2
4
5
6
8
10
Con estos valores representamos la gráfica 6.
NOTA: Debido a una serie de problemas que no sabemos como resolver,rogamos disculpe por la aparición de
una serie de cuadros en lugar de las letras correspondientes.
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