Solución analítica a las oscilaciones en masa

Tema D: Estructuras Hidráulicas
Solución analítica a las oscilaciones en masa
Cristóbal Mateos Iguacel
I. Caminos; Catedrático de la UPM
cmateos@caminos.upm.es
1 Introducción
En numerosas estructuras hidráulicas se presenta una situación en la que es posible la existencia de oscilaciones
en masa entre dos depósitos conectados por un conducto. La formulación de este tema lleva a una ecuación
diferencial de segundo orden no-lineal que en cada caso admite con sencillez una solución numérica. Sin
embargo la posibilidad de actuaciones correctoras o reguladoras hace que también sea de interés en algunos
casos el disponer de una solución analítica.
Por la naturaleza del problema ( salvo depósitos artificiosamente ad hoc ) una solución analítica totalmente
exacta no existe pero sin embargo, como se verá, en muchas ocasiones es posible conseguir soluciones analíticas
tan aproximadas como para poder lograr que los rasgos característicos de la solución exacta y de la aproximada
sean prácticamente coincidentes.
2 Ecuaciones del movimiento
Se analiza según lo antedicho un conducto, que a los efectos de esta exposición se considerara de sección
uniforme, uniendo dos depósitos de secciones también uniformes. Ninguna de estas dos limitaciones es
imprescindible y se adoptan solamente para una mayor claridad de la exposición. Pues solo las expresiones
serían algo más engorrosas en tales casos sin que realmente se agravara la dificultad.
B.
A.
Figura 1
Si se consideran las magnitudes de la figura 1, donde X e Y son las diferencias (medidas con el signo atribuido
en cada una en la figura) entre la cota en el respectivo estanque con la cota (común) que en ambos se tiene en la
situación de reposo. Es claro que por continuidad debe tenerse:
y
XS1 = YS2
(1)
X´S1 = VS
(2)
Donde S, S1, S2 son las respectivas secciones del conducto de unión y del primer y segundo depósito, a su vez
X´ es la derivada de X respecto del tiempo es decir la velocidad de elevación del nivel en el depósito de la
derecha y V es la velocidad del flujo en el conducto.
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Para establecer la ecuación de la dinámica se partirá de los puntos de embocadura de ambos depósitos, A y B, y
se tomará en cuenta la masa entre ambos esto es
LSρ
Donde L es la distancia entre los puntos A y B a lo largo del conducto y ρ es la densidad del agua. La fuerza que
propulsa el movimiento es la diferencia de presiones hidrostáticas entre A y B que en total, esto es a plena
sección puede valorarse como
(X+Y) S γ
donde γ es el peso específico del agua. Si la cantidad X+Y es positiva esta fuerza frenará el flujo si éste se dirige
al primer deposito y lo acelerara si va al segundo.
Además hay una resistencia al flujo con componentes por fricción y por perdidas localizadas cuya magnitud se
expresará como
P= M V2
El parámetro M recoge toda la información sobre las perdidas de carga ya sean estas continuas o localizadas.
Como esta fuerza se opone al movimiento tiene un signo opuesto al de V y por tanto vale
R= - M |V| V
La ecuación de la dinámica puede por tanto ponerse en la forma
ρLS V´= - γ(X+Y)S – M |V| V
(3)
Sustituyendo en (3) las variables Y, V, V´ por los valores que se pueden despejar respectivamente en (1), (2)
y la derivada respecto de t de la igualdad (2) se obtiene:
ρLS1 X´´ = -γ S (1+S2/S1) X – M S12 |X´| X´/S2
Dividiendo por el coeficiente de X´´ y agrupando todo en el miembro izquierdo de la ecuación, esta puede
escribirse como:
X ' '+2C X ' X '+ KX = 0
(4)
Donde los parámetros C y K son deducibles con operaciones obvias a partir de los datos geométricos e
hidráulicos antes reseñados.
En la búsqueda de soluciones nos limitaremos a postular como situación inicial una en la que X(0) ( a la que a
partir de ahora se denominará A0) pueda ser cualquiera, según convenga, pero que además el fluido esté
inicialmente en reposo. Trasladar lo que se concluya en esta situación inicial a lo que sucedería en cualquier otra
resultará obvio según podrá apreciarse.
La ecuación (4) es de segundo grado en X´ y en lo que sigue va a ser de interés compararla con la análoga de
primer grado esto es
X ' '+2 DX '+ KX = 0
(5)
Y más concretamente interesa saber para que valor de D las soluciones de ambas ecuaciones (para idénticas
condiciones iniciales ) son muy parecidas y sobre todo durante cuanto tiempo, t, se mantiene esa similitud. Es
claro que si C y D son nulos las dos ecuaciones son la misma y por tanto lo es su solución
X = A0 cos K t
(6)
La fórmula (6) evidencia que se trata de una oscilación (cosenoidal) que se mantiene eternamente por no haber
disipación de energía. Por su parte si D es pequeño ( luego se precisará) habrá una oscilación muy parecida a la
de (6) si bien con una cierta atenuación tanto más moderada cuanto más pequeño sea D. Algo similar sucederá
con (4) si C es adecuadamente pequeña y por ello es plausible que escogiendo adecuadamente D las dos ondas
sean prácticamente coincidentes al menos unos pocos ciclos.
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3 La aproximación seudolineal
Se ha aceptado ya que, al menos en unos pocos ciclos sucesivos cualesquiera, la solución de (4) se puede
aproximar por (5), eso sí tomando para ello un valor adecuado para D. El problema es pues sustituir en (4) y de
una forma eficaz C | X´| por D. Aunque naturalmente la primera es una variable y la segunda una constante.
Para hacer la equiparación pretendida conviene conocer mejor | X´| y para ello es oportuno recordar que dado
que las soluciones de (4) y (5) van a ser muy parecidas podemos utilizar el valor explicito de la solución de esta
ultima
X = A(t ) cos ωt
(7)
donde la amplitud A= A(t) del movimiento se atenúa de forma exponencial es decir
A(t ) = Ai e −σ t
(8)
En (8) Ai es la amplitud en el instante que se desea iniciar la atención a la similitud. Por su parte σ y ω son unas
constantes función de D y K
σ = −D
(9.1)
ω = k − D2
(9.2)
El interés de estos parámetros σ y ω radica en que según patentizan (7) y (8) expresan respectivamente el ritmo
de atenuación del proceso y la frecuencia de la oscilación y por tanto define su periodo.
De (7) se puede obtener (como aproximación, pues (7) es exacta para (5) pero solo aproximada para (4) ):
X ' = Ai (−σ cos ω t − ω senω t )
(10)
D = α C Am ω m
(11)
Lo que lleva a plantear
según se justifica en el anejo de cálculos y donde Am y ωm son los valores medios de A y ω en el intervalo de
interés. Por su parte α es una constante para la que según se explica en el mismo anejo se recomienda el valor
8/(3π) calculado para que las cuantificaciones de la disipación de energía en un ciclo coincidan en la expresión
cuadrática (la valoración que se ha considerado como realista) y en la aproximación lineal que aquí se plantea.
Con ello la ecuación (5) cuya solución mejor se aproxima a la de (4) pasa a ser
X ' ' + 2α Am ωmC X ' + K X = 0
(12)
A la ecuación se la califica de seudolineal porque en realidad Am y ωm son variables pero se entiende que en un
periodo corto se adoptan para ellas valores constantes que irán variando con el tiempo de manera que en otros
periodos cortos tomaran otros valores que entonces serán los más adecuados. Lo interesante es que si se conoce
la amplitud Am adaptando al caso la formula (9.2) se puede poner:
2
ω m = K − (α C Am ω m ) 2
(13)
Y por tanto:
ωm 2 =
K
2
2
(14)
(1 + α C 2 A m )
Hay que destacar que de acuerdo con esa fórmula para las soluciones de (4) la frecuencia varía con la amplitud y
es mayor cuanto menor es la amplitud.
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4 La solución propuesta
4.1 La amplitud
Volviendo ahora no a lo que sucede en uno o dos ciclos sino a la evolución general, esto es en un intervalo de
tiempo largo, y por lo que hace a A=A(t) , que es la variable de principal interés pues es su evolución la que
marca el ritmo de la atenuación, discutiremos dos situaciones: a) Que el A inicial, A0, sea tan reducido que pueda
considerarse ω como constante o, b) que sea oportuno tomar en cuenta la evolución de ω. Parte del interés del
primer caso es que permite obtener una expresión explicita de A como función de t mientras que en el segundo
se obtendrá una implícita.
Resolviendo la oportuna ecuación diferencial, ver el Anejo de cálculo, resulta en el primer caso
A(t) =
A0
( 1 + α CA 0ω r t )
(15)
Usando (13) si se pone Am = A0 se obtiene la frecuencia inicial ω0 y si se pone Am= 0 resulta la frecuencia límite
ωf. Para la formula (15) debe de considerarse como ωr el que se estime más adecuado bien ω0 bien ωf o bien
uno intermedio, pero sabiendo que en la primera opción se estimará A(t) (ligeramente) por exceso y en la
segunda se hará por defecto.
Mientras que en el segundo caso, es decir si se cree que no se debe de omitir la variación de ω en el cálculo de
A, es posible llegar a una formula implícita en A pero explicita en t en la forma:
2
α C Kt =
1 + α 2C 2 A0
(1 + α 2 C 2 A 2 )
− ArgSh (α CA) −
+ ArgSh (α CA0 )
(α CA)
α CA0
(16)
4.2 La frecuencia y la fase
Con lo indicado y para un instante, t, cualquiera se puede ya sea con (15) o (16) calcular la amplitud
correspondiente a ese instante. A su vez conocida la amplitud la fórmula (14) permite conocer la frecuencia, ω,
de la onda en el instante t, y con ello se conoce la duración del ciclo que engloba ese instante, a muchos efectos
prácticos esa información es todo lo que se necesita para estimar la evolución del proceso. Pero si se desea
conocer el nivel del agua en ese instante, X(t), esos dos datos locales no son suficientes. En efecto una vez
estimada A(t) no es necesario conocer su evolución previa, pero el conocimiento de ω(t) solo en el instante t no
informa, en realidad, sobre la fase en que está la onda pues el hecho de que ω sea variable obliga para conocer la
fase a calcular la integral
t
I = ∫ ω (t )dt
(17)
0
Para ésta integral también se puede obtener una fórmula explicita pero tan engorrosa que se pierde la claridad
pretendida. Es pues por ello preferible adaptar la fórmula (7) y poner
X = A(t ) cos ω m t t
(18)
Donde A(t) será la que se obtiene con la fórmula (15), o (16) en su caso, y ωmt que será el valor medio de ω en el
intervalo 0-t puede aproximarse por una formula “ad hoc” por ejemplo:
ωmt = 0.05ω0 + 0.05ω f + 0.45ωi
donde ωi es la frecuencia calculada para A(t/7) con la formula (14).
(19)
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5 La validez de la aproximación
En lo que antecede se ha obtenido una solución analítica aproximada a la ecuación
X ' '+2C X ' X '+ KX = 0
(4)
Y ahora se pretende saber en que caso la aproximación es satisfactoria para ello se empezará por advertir que un
cambio en la escala de tiempos poniendo una nueva variable T de forma que sea
T=
t
(20)
K
permite escribir (4) en la forma
KX ' '+2C K X ' X '+ KX = 0
(4.1)
Donde la derivación ha de entenderse formulada respecto de la nueva variable temporal T. Dividiendo por K
resulta:
X ' '+
y atribuyendo a
2C
X ' X '+ X = 0
K
(4.2)
C otra vez el valor C resulta
K
X ' '+2C X ' X '+ X = 0
(4.3)
que es la ecuación (4) pero ahora particularizada para K = 1 es decir depende solamente de un parámetro, con lo
que se reducen sensiblemente las situaciones a comprobar. Por otra parte es fácil advertir que si para un mismo
C se consideran dos valores iniciales A0 distintos la solución del menor de ellos quedará (muy
aproximadamente) como un tramo de la solución del mayor, es decir la calidad de la solución analítica estará
asegurada para el menor si lo está para el mayor.
Para valorar la calidad de una concreta de estas soluciones analíticas se va a comparar su gráfica con la solución
numérica del correspondiente caso llevada al menos con cinco cifras exactas. Ver figura 2 y siguientes.
Figura 2
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Figura 3
Figura 4
Figura 5
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Figura 6
Figura 7
Si el valor del producto CA0 supera 1.2 eso quiere decir que en la ecuación (5) (con K ya igualado a 1) cuando se
maneja como primera aproximación de (4) D supera la unidad y en tal caso la solución de (5) no es oscilante sino
amortiguada. Esto indica una primera limitación en la calidad de la aproximación analítica. No obstante ese valor
alto de D se reduce sensiblemente (a menos de la mitad) en el primer ciclo por lo que según muestran las figuras
la aproximación es muy satisfactoria aún en estos casos salvo los primeros instantes del primer ciclo. Si CA0 no
supera 0.5 la desviación aún en el primer ciclo es reducida y si no supera 0.25 las soluciones son indistinguibles.
6 Conclusiones
Se propone la expresión (15) como solución analítica muy aproximada para estimar la amplitud del movimiento
oscilatorio entre dos depósitos que obedezca a la ecuación (4). Por su parte la evolución del nivel puede
calcularse con la ecuación (18).
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La calidad de la aproximación esta ligada al valor del producto de la Constante C (de la ecuación (4.3) por la
amplitud inicial del movimiento. En función de ese producto se proponen tres umbrales: Si es menor que 0.25 la
solución analítica es prácticamente exacta; si está entre 0.25 y 0.5 hay errores moderados en el primer ciclo y
muy reducidos en los siguientes; si el citado producto esta entre 0.5 y 1.2 la desviación es apreciable en el primer
ciclo y moderada en los siguientes.
Para valores del producto algo superiores puede ser preferible utilizar la fórmula (17) a la (15).Con el
inconveniente de que se dificulta la intuición del proceso que tanto facilita la formula (15).
Si los valores del producto son muy superiores el enfoque no es adecuado pues por desaparecer prácticamente
toda la energía en el primer ciclo la oscilación que queda es residual y en principio de poco interés. En este
último caso la búsqueda de una buena aproximación analítica debería plantearse con un enfoque y unos objetivos
completamente distintos.
7 Anejo de cálculos
7.1 Equivalencia de disipaciones de energía
Se pretende escoger adecuadamente el valor de D para que las ecuaciones
y
X ' '+2C X ' X '+ KX = 0
(4)
X ' '+2 DX '+ KX = 0
(5)
Tengan soluciones muy parecidas para un ciclo en el que las dos comiencen con la misma amplitud. Aunque en
algún caso ello pueda alejarse de la realidad se asumirá que en ese ciclo ambas soluciones coincidirán y aún
sabiendo que la segunda es cosenoidal atenuada se va a obviar la atenuación y representar ambas soluciones con
la fórmula:
X = A( m) cos ωm t
(21)
Y para que puedan (en función de D) ser iguales o muy parecidas se va a imponer que lo sean en sus efectos,
más concretamente se va a obligar a que para ambas se produzca la misma disipación de energía en un ciclo. Esa
disipación es el trabajo de la fricción. Para la ecuación (4) el trabajo será:
U1 = ∫
T /4
0
2C X ' X ' dX
(22)
Donde por simetría es suficiente extender la integración a un cuarto del periodo, T. sustituyendo en esta formula
los valores que se pueden deducir de la formula (21) se obtiene:
4
U1 = C Am3 ωm2
3
(23)
Mientras que para la ecuación (5) y con idénticos planteamientos el trabajo es:
U2 = ∫
T /4
0
2 DX ' dX
(24)
Y reemplazando también con (21) resulta:
U 2=
πDAm2ωm
2
Igualando ambos trabajos y simplificando resulta:
(25)
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D=
8CAm ω m
3π
(26)
Que puede escribirse como :
D = α CAm ω m
Donde α puede ser
(27)
8 como sugiere la formula (26), u otro que se considere más afinado.
3π
La fórmula (27) expresa la buscada relación entre D y C.
7.2 La evaluación de la atenuación de la amplitud.
Se ha justificado en el apartado anterior que en un lapso lo suficientemente breve para que la frecuencia y la
atenuación se puedan considerar fijadas se puede aplicar la ecuación (5) con el valor de D obtenido de (27). Εn
tal caso en ese entorno puede ponerse:
X (t + ∆t ) = Ai e −αAiωm (t + ∆t ) cos ω m (t + ∆t )
(28)
Se concluye que la amplitud en el instante t + ∆t es
A(t + ∆t ) = Ai e −αAiωm ( t + ∆t )
(29)
Restando de esta expresión la análoga para el instante t dividiendo por ∆t y pasando al límite:
Am' = −α Am2 ω m
(30)
Esta ecuación expresa la evolución de la amplitud Am a lo largo del proceso(es decir de A). Y para su resolución
se pueden considerar dos casos: a) Que la variación de la frecuencia sea tan moderada que se pueda reputar
constante y entonces la ecuación (29) tiene la solución
A(t) =
A0
( 1 + α CA 0 ω m t )
(15)
Y b) que la variación de la frecuencia sea importante y deba ser tomada en cuenta de acuerdo a la formula (14) la
solución en este caso resulta ser:
α C Kt =
(1 + α 2 C 2 A 2 )
(α CA)
− ArgSh (α CA) −
1 + α 2 C 2 A0
α CA0
2
+ ArgSh (α CA0 )
(16)
8 Bibliografía
1
M.A. Gill. Oscillations in surge tanks. En J. Hydr. Div. ASCE. Vol. 100 P. 1369 a 1381
2
M.A. Gill y O.C. Ecke. Mass Oscillations in surge tanks on sudden opening of the valve. En Water
Power Dam Construction (1987) P. 36 a 49
3
A.Osuna , C. Mateos Hidráulica (1967)