EJERCICIOS DE LÓGICA 2, Enero 2012

EJERCICIOS DE LÓGICA 2, Enero 2012 (con algunas soluciones y notas) Primero: Demostrando Teoremas. Por regla general, en Matemáticas y en otras Ciencias semejantes, los Teoremas son expresiones lógicas de la forma A ⇒ B , y en atención al contenido o significado de lo que se esté tratando, entenderemos que si A es verdadero, también lo será B. Cuando tal cosa ocurre, estamos ante un razonamiento válido. Los razonamientos no válidos se llaman “falacias”. Habitualmente, la expresión A es una conjunción de hipótesis o condiciones, esto es, A = A1 ∧ A2 ∧ ... ∧ An , y B es más a menudo una sola proposición, aunque no es necesario que lo sea. Por ejemplo, en Análisis Matemático tomemos el siguiente Teorema: “Si {an n∈ `} es una sucesión acotada y monótona, entonces es convergente”. En este caso A = A1 ∧ A2 , donde A1 es la proposición “ {an n∈ `} es acotada”, A2 es “ {an n∈ `} es monótona”, y B es “ {an n∈ `} es convergente”. Existen algunas reglas de manejo de expresiones que conviene conocer. Se pide demostrar las siguientes, donde p, q y r son proposiciones. 1.
p ⇒ p ∨ q (regla de adición) 2.
p ∧ q ⇒ p (regla de sustracción) 3.
p ∧ (p ⇒ q) ⇒ q (regla conocida como modus ponendo) 4. (p ⇒ q) ∧ ¬q ⇒ ¬p (regla conocida como modus tollendo) 5.
[(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r )] ⇒ (p ⇒ r ) (regla conocida como silogismo hipotético) Segundo: Consideremos estos dos ejemplos de razonamiento para decidir si son válidos o falacias, razonando la decisión tomada: 1. “Si Pepito estudiase Informática, entonces sería simpático. Pepito no estudia Informática, luego no es simpático”. 2. “Si hace sol, Maruchi irá a la playa. Si va a la playa, tomará un helado (de fresa, claro está). Hoy Maruchi no ha tomado helado (de ninguna clase). Por tanto Maruchi no ha ido a la playa”. Tercero: Un rompecabezas lógico. Manolito es invitado a una reunión en la cual toman parte Maruchi, Pepito y Susanita. Según entra, Maruchi le dice: “nosotros tres somos unos 1 mentirosos”; Pepito, muy ofendido, responde que “no, la única mentirosa es Maruchi”, y para rematarlo del todo, Susanita exclama: “estos dos son aquí los únicos mentirosos”. Manolito, en plena desesperación, se va de la reunión e intenta determinar si alguno de los otros tres le ha dicho la verdad ¡¡ayúdenlo!! Cuarto: Tómese la tabla de verdad correspondiente a las operaciones que se pueden llevar a cabo con dos proposiciones p y q (la que tiene 16 columnas sin contar las dos primeras, reservadas a los valores de p y q). Comprobar los siguientes hechos: 1. Toda la tabla puede construirse usando solamente los símbolos ∨ , ¬ . 2. Toda la tabla puede construirse usando solamente los símbolos ∧ , ¬ . 3. Intenten establecer si será cierto lo mismo para un número arbitrario de proposiciones. NOTA: Las familias de símbolos lógicos {∨ , ¬} y {∧ , ¬} se denominan “conjuntos funcionalmente completos de operadores (=símbolos) lógicos”. Existen también conjuntos funcionalmente completos con sólo un símbolo (véase cualquier texto). Quinto: Escribir tablas de verdad para las siguientes combinaciones de proposiciones y símbolos, señalando si algunas son tautologías o contradicciones: 1.
¬q ⇒ q 2.
p ∨ (q ⇒ p) 3.
p ⇒ (q ⇒ r ) 4. (p ⇒ q) ⇒ (q ⇒ p) 5. ((p ⇒ q) ⇒ p) ⇒ ¬q ¡¡ufff!! 2