texto logica y teoria de conjuntos

ALGEBRA
TEXTO
LOGICA Y
TEORIA DE
CONJUNTOS
í mdice gemer al
1. L OG I CA V T EOÆI A D E CON JU N T OS
1
fi.fi. ELEMENTOS DE LOGIGA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . fi
8
fi.£. GONJUNTOS
fi.3. GUANTIFIGADORES LOGIGOS . . . . . . . . . . . . . . . . fi†
fi.4. EJERGIGIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . fi8
+
Capít ulo 1
L OG I CA V T EOÆI A D E
CON JU N T OS
1.1.
EL EM EN T OS D E L OG I C A
Toda estruct ura matemática supone la necesidad de raxonar en forma
válida y el uso de un lenguaje apropiado. Por est o es necesario una gran simplificación y el uso de un simbolismo adecuado e inequívoco que nos permit a
raxonar válidamente mediant e reglas fijadas con claridad.
La L OG I CA SI M B OL I CA y la T EOÆI A D E CON JU N T OS nos
permiten adquirir est e simbolismo y el esquema de un raxonamiento deduct ivo.
D efimicióm 1.1.1 Una PÆ0 P0 SI CI 0 N es una espressón con sentsdo en
un tenguaje, que aflrma o nsega atgo 4 proporcsona una snformacsón. Usa−
remos et térmsno proposscsón para dessgnar una espressón de ta cuat tenga
sentsdo snequssoco decsr ss es serdadera o fatsa en un cserto contesto. 5sm−
botssaremos tas proposscsones con tetras msnúscutas p, q, r, ‹, ets.
Los VA L OÆES D E V EÆDA D , verdadero (V ) y falso (5 ) , los consideraremos concept os primit ivos.
D efimicióm 1.1.2 Et C0 N Z CT I V 0 T0 GI C0 es un ssmboto que permste
obtener nuesas proposscsones a partsr de proposscsones dadas. Gos conectssos
son: no; 4; o; ss...entonces...; ss 4 sóto ss.
fi
CAPÝTULO fi:
Lógica y Teoría de Conjuntos
Las proposiciones pueden ser de dos t ipos:
fi) AT OM I CA S O SI M PL ES: las que no incluyen conectivos.
Por ejemplo:
p : ” Pedrit o es un nino muy est udioso™
q : ” El padre de Pedrito es un hombre felix™
X) M OL ECU L A ÆES O COM PU ESTA S: Las que se obt ienen combinando proposiciones átomicas mediant e conect ivos.
Por ejemplo:
r : ” Si Pedrit o es un nino muy est udioso, entonces el padre de Pedrit o
es un hombre felix™
D efimicióm 1.1.3 5e ttama N Z GA CI 0 N de una proposscsón p, a ta proposs−
csón “ no p™
.
N ot acióm 1.1.1
~ p, —p, p,
Est e es el único conect ivo que actúa sobre una sola proposición.
La proposición ~ p es verdadera si la proposición p es falsa y, es falsa si
p es verdadera. Esto se esquematixa con la siguiente:
TABLA DE VERDAD
p ~p
V
5
5
V
Ej emplo 1.1.1 :
p : “ todos tos números smpares son prsmos™
~ p : “ no todos tos números smpares son prsmos™ó “ atgunos números sm−
pares son no prsmos™ó “ at menos un número smpar no es prsmo™
Not emos que las afirmaciones:
” Todos los números impares no son primos™
” Ningún número impar es primo™
No corresponden a la proposición ~ p.
£
CAPÝTULO fi:
Lógica y Teoría de Conjuntos
D efimicióm 1.1.4 5ean p 4 q dos proposscsones, se ttama C0 N JU N CI 0 N
de tas proposscsones p 4 q a ta proposscsón “ p 4 q™
.
N ot acióm 1.1.2
pK q
La proposición p K q es verdadera sólo si p y q son ambas verdaderas y,
es falsa si al menos una de ellas es falsa. Esto se esquematixa por medio de
la siguiente:
TABLA DE VERDAD:
p
V
V
5
5
q
V
5
V
5
pKq
V
5
5
5
Ej emplo 1.1.2 :
p : “ et trsánguto equstátero tsene tos tres tados sguates™
q : “ et trsánguto equstátero tsene tos tres ángutos sguates™
p K q : “ et trsánguto equstátero tsene tos tres tados sguates 4 et trsánguto equs−
tátero tsene tos tres ángutos sguates™
En forma más sencilla la proposición p K q se enuncia:
” el triángulo equilat ero tiene sus t res lados y sus tres ángulos iguales™
D efimicióm 1.1.5 5ean p 4 q dos proposscsones, se ttama D I SY U N CI 0 N
de tas proposscsones p 4 q a ta proposscsón “ p ó q™
.
N ot acióm 1.1.3
pV q
La proposición p V q es verdadera si al menos una de las proposiciones p
ó q es verdadera y, es falsa si ambas son falsas. Esto se esquemat ixa con la
siguient e:
TABLA DE VERDAD:
p
V
V
5
5
q
V
5
V
5
pVq
V
V
V
5
3
CAPÝTULO fi:
Lógica y Teoría de Conjuntos
Ej emplo 1.1.3 : 5s conssderamos tas proposscsones:
p :“ esta tarde sré at csne™
q :“ esta tarde me quedaré en casa estudsando™
r :” en Goncepcsón ssempre ttuese”
‹ :“ en Goncepcsón hace frso™
, entonces:
p V q : “ esta tarde sré at csne o me quedaré en casa estudsando™
r V ‹ : “ en Goncepcsón ssempre ttuese o hace frso™
Obser vacióm 1.1.1 Ga prsmera dss4uncsón es esctu4ente 4 ta segunda es
snctu4ente.
D efimicióm 1.1.6 5e ttama C0 N D I CI 0 N AT de tas proposscsones p 4 q
a ta proposscsón “ 5s p, entonces q™
. Ga prsmera proposscsón se ttama an−
tecedente 4 ta segunda consecuente.
N ot acióm 1.1.4
p‹ q
Se lee: ” Si p, ent onces q™ó ” p es condición suficient e para q™ó ” q es
condición necesaria para p™
.
La proposición p ‹ q es falsa sólo si p es verdadera y q es falsa, en los
demás casos p ‹ q es verdadera. Esto se resume en la siguiente:
TABLA DE VERDAD:
p
V
V
5
5
q
V
5
V
5
p‹q
V
5
V
V
Ej emplo 1.1.4 :
p : “ et ssstema sotar está formado sóto por astros™
q : “ et sot es un astro™
r : “ ta tserra es un astro™
p ‹ q : “ ss et ssstema sotar está formado sóto por astros, entonces et sot es un
astro™
4
CAPÝTULO fi:
Lógica y Teoría de Conjuntos
p ‹ r : “ ss et ssstema sotar está formado sóto por astros, entonces ta tserra es
un astro™
q ‹ p : “ et sot es un astro es una condscsón suflcsente para que et ssstema sotar
esté formado sóto por astros™
r ‹ q : “ que et sot sea un astro es una condscsón necesarsa para que ta tserra
sea un astro™
D efimicióm 1.1.Y 5e ttama B I C0 N D I CI 0 N AT de tas proposscsones p 4
q a ta proposscsón “ p ss 4 sóto ss q™
.
N ot acióm 1.1.5
p— q
Se lee: ” p si y sólo si q™ó ” p es condición necesaria y suficient e para q™
.
La proposición p — q es verdadera si ambas p y q son verdaderas o ambasson
falsas y, es falsa si p y q t ienen distint o valor de verdad. Un resumen de
ést o se ve en la siguient e:
TABLA DE VERDAD:
p
V
V
5
5
q
V
5
V
5
p—q
V
5
5
V
Ej er cicio 1.1.5 Gon tas proposscsones p, q, r det ejempto antersor, enuncsar
p — q, p — r, r — q.
D efimicióm 1.1.8 Una proposscsón motecutar se dsce:
TA U T 0 T0 GI A ss es ssempre serdadera cuatesqusera sean tos satores
de serdad de tas proposscsones que ta componen.
C0 N T ÆA D I CCI 0 N ss es ssempre fatsa, sndependsentemente de tos
satores de serdad de tas proposscsones componentes.
C0 N T I N GZ N CI A ss no es tautotogsa ns contradsccsón.
†
CAPÝTULO fi:
Lógica y Teoría de Conjuntos
Ej emplo 1.1.6 Gonstrusr tas tabtas de serdad para tas ssgusentes proposs−
csones:
fi) pV ~ p (tautotogsa)
X) p ‹ p
(tautotogsa)
3) pK ~ p
(contradsccsón)
Œ)~ p V q
(contsngencsa)
5) (p ‹ q) — (~ q ‹ ~ p)
6) (p ‹ q) — (~ p V q)
(tautotogsa)
(tautotogsa)
t ) (p — q) — (~ p V q) K (~ q V p)
D efimicióm 1.1.9 Dos proposscsones p 4 q se dscen T0 GI CA M Z N T Z Z ØU I VA TZ N T Z S sssus tabtas de serdad son sdéntscas o bsen, sssu bscondscsonat es
una tautotogsa.
N ot acióm 1.1.6
pe q
Ej emplo 1.1.Y De ta parte 5) det ejempto antersor obsersamos que:
(p ‹ q) c c (~ q ‹ ~ p)
PÆOPI EDA D ES:
fi) ~ (~ p) e p (D oble megacióm)
,
fi. p K q e q K p
.
X) X. p V q e q V p
(Commut at ividad)
,
3. (p — q) e (q — p)
,
fi. [(p K q) K r ] e [p K (q K r )]
.
3) X. [(p V q) V r ] e [p V (q V r )]
(A sociat ividad)
3. [(p — q) — r ] e [p — (q — r )] ,
.
fi. [p K (q V r )] e [(p K q) V (p K r )]
Œ)
(D ist r ibut ividad)
X. [p V (q K r )] e [(p V q) K (p V r )]
6
CAPÝTULO fi:
Lógica y Teoría de Conjuntos
fi. ~ (p K q) e (~ pV ~ q)
5)
X. ~ (p V q) e (~ pK ~ q)
fi. (p K p) e p
6)
X. (p V p) e p
t
.
(L eyes de M or gam)
.
(I dempot emcia)
t ) ~ (p ‹ q) e (pK ~ q)
D em ost r acióm. (Propiedad 3,3)
[(p — q) — r ] e [p — (q — r )]
s
,,
s s
,,
s
fi
X
p
V
V
V
V
5
5
5
5
q
V
V
5
5
V
V
5
5
r
V
5
V
5
V
5
V
5
p—q q—r
V
V
V
5
5
5
5
V
5
V
5
5
V
5
V
V
fi
V
5
5
V
5
V
V
5
X fi — X
V
V
5
V
5
V
V
V
5
V
V
V
V
V
5
V
Luego, fi — Xesuna tautología y por t ant o [(p — q) — r ] e [p — (q — r )]
D em ost r acióm. (Propiedad 5,fi)
~ (p K q) e (~ pV ~ q)
,,
s
s
fi
X
p
V
V
5
5
q
V
5
V
5
p K q ~ (p K q)
V
5
5
V
5
V
5
V
~p
5
5
V
V
~q
5
V
5
V
~ pV ~ q fi — X
5
V
V
V
V
V
V
V
Luego fi — X es una t aut ología y por t ant o ~ (p K q) e (~ pV ~ q) .
Las demás demostraciones se dejan a cargo del lect or.
D efimicióm 1.1.10 5e dsce que una proposscsón p I M PTI CA T0 GI CA M Z N T Z una proposscsón q ss p ‹ q es una tautotogsa.
5e denota p c q. 5e tee: p smptsca q.
CAPÝTULO fi:
Lógica y Teoría de Conjuntos
I N FEÆI Æ es una operación lógica que consiste en obtener, apartir de
una o varias proposiciones (H I POT ESI S) , supuestamente verdaderas, ot ra
proposición (T ESI S) que en tales condiciones resulta necesariamente verdadera.
Si designamos por H la hipótesis y por f la t esis, entonces f infiere de
H si y sólo si el condicional H ‹ f es una tautología, y la implicación lógica
H c f se llama T EOÆEM A .
Si H c f y f c H, entonces se dice que f c H es el T EOÆEM A
ÆECI PÆOCO de H c f .
Si H c f y ~ H ‹ ~ f es una implicación lógica, ent onces ~ H c ~ f
se llama T EOÆEM A CON T ÆA ÆI O de H c f .
De la tautología (p ‹ q) — (~ q ‹ ~ p) se deduce que los teoremas
H c f y ~ f c ~ H son equivalentes y cada uno se llama CON T ÆA ÆECI PÆOCO del otro.
La equivalencia ent re los teoremas H c f y ~ f c ~ H proporciona
un mét odo de demostración llamado “ D emost r acióm por Æeduccióm al
A bsur do” que consist e en demost rar el t eorema cont rarrecíproco.
Ej emplo 1.1.8 5ea a c Æ, ss aX es smpar, entonces a es smpar.
D em ost r acióm. Sean
H : aX es impar
f : a es impar
Debemos probar que H =c f . Usando el método por reducción al absurdo bast a demost rar que ~ f c ~ H.
En efecto, si a es par entonces a = Xn, para algún n c Æ. Luego:
.
.
aX = (Xn) X = Œ
n X = X Xn X , es decir, aX es par.
Por lo t ant o, ~ f c ~ H..
1.2.
C ON JU N T OS
En el lenguaje corrient e, CON JU N T O es cualquier colección de
objet os. Los objet os se denominan EL EM EN T OS del conjunt o.
Se hace present e que est a definición de conjunto es totalmente int uitiva
y no sat isfactoria desde el punt o de vista mat emático.
Indicaremos los elementos con let ras minúsculas, a, b, s, ..., y los conjuntos
con letras mayúsculas, A, B , C, ... .
Así A = ( a, b,s, ...} .
8
CAPÝTULO fi:
Lógica y Teoría de Conjuntos
Un conjunto es una entidad de naturalexa diferente de los elementos que
lo componen. Así, un conjunto de puntos no es un punto, aún cuando él no
cont enga más que un sólo punt o.
A = ( a} =
ƒ a y ( a} no es element o de A.
El conjunt o que no cont iene element os se llama CON JU N T O VA CI O
y se denota por Ø.
Si ı es un element o del conjunt o A se escribe ı c A y se lee ” ı pert enece
a A™
.
La negación de ı c A se escribe ı c/ A y se lee ” ı no pert enece a A™
. Un
conjunt o está bien definido cuando dado un objet o cualquiera es posible decidir si pert enece o no al conjunto.
Un conjunt o puede ser definido de dos maneras:
a) nombrando sus elementos.
b) enunciando una propiedad que caract erixa sus element os.
En el primer caso se llama definición por EX T EN SI ON y en el segundo,
definición por COM PÆEN SI ON .
Ej emplo 1.2.1 ( C0 N JU N T 0 S N U M Z ÆI C0 S I M P0 ÆTA N T Z S)
Æ= ( fi, X, 3, ...} Gonjunto de tos Números Naturates.
® = ( ..., —X, —fi, 0, fi, X, 3, ...} Gonjunto de tos Números Enteros.
R = ( ı : ı es un número decsmat} Gonjunto de tos Números Æeates.
.
.
Q = ab : a c ®, b c ®, b ƒ
= 0 Gonjunto de tos Números Æacsonates.
¢ = ( ı : ı c R K ı c/ Q} Gonjunto de tos Números Irracsonates.
Obser vacióm 1.2.1 Gos conjuntos Æ4 ® están deflnsdos por estenssón, Q, R, ¢
por comprenssón.
D efimicióm 1.2.1 Dos conjuntos A 4 B son I GU A TZ S 4 se escrsbe A = B
ss todo etemento de cada uno de ettos es tambsén etemento det otro.
Deest a definición result a quelosconjunt os( a, b,s, d} , ( b,a, d, s} , ( a, a, b, s, s, d}
son iguales, es decir, no interesa el orden ni la repet ición de los element os.
D efimicióm 1.2.2 5ean A 4 B dos conjuntos cuatesqusera. A es un SU B C0 N JU N T 0 D Z B o, A está snctusdo en B ss todo etemento de A es un
etemento de B .
9
CAPÝTULO fi:
Lógica y Teoría de Conjuntos
Se escribe: A Ç B .
Formalment e: A Ç B e (ı c A c ı c B )
Ej emplo 1.2.2 :
a ) ( fi, t , 8} Ç Æ
b) ÆÇ ®
s) ÆÇ ® Ç Q Ç R
PÆOPI EDA D ES:
Gualesquiera sean los conjunt os A y B se tiene:
fi) A Ç A
X) ØÇ A
3) [(A Ç B ) K (B Ç C)] c A Ç C
Œ)[(A Ç B ) K (B Ç A)] e A = B
D em ost r acióm. :
fi) Es trivial.
X) Si Ø¢ A, entonces existe un elemento en Øque no es elemento de A. De
aquí se obt iene una cont radicción pues Øes por definición el conjunt o
que no posee element os. Por lo t ant o, ØÇ A.
3)
ı c Ac
ı c B , pues por hipót esis A Ç B
ı c C, pues por hipót esis B Ç C
Luego, ı c A c ı c C y, por t anto, A Ç C.
Œ)A cargo del lect or.
Si A es un subconjunt o de B y A ƒ
= B se escribe A c B ó A ; B y se
dice que A es un subconjunto propio de B .
fiO
CAPÝTULO fi:
Lógica y Teoría de Conjuntos
fifi
D efimicióm 1.2.3 Et C0 N JU N T 0 D Z PA ÆT Z S, 9 (A) , de un conjunto
cuatqusera A es et conjunto de todos tos subconjuntos de A.
Esto es: 9 (A) = ( E : E Ç A}
Ej emplo 1.2.3 5s A = ( 0, fi, X} , entonces
9 (A) = (Ø, ( 0} , ( fi} , ( X} , ( 0, fi} , ( 0, X} , ( fi, X} , A}
Obser vacióm 1.2.2 :
f . Et conjunto 9 (A) nunca es sacso, pues Ø4 A son etementos de 9 (A)
4a que ØÇ A 4 A Ç A.
W. 5s A tsene n etementos, entonces 9 (A) consta de Xn etementos.
OPEÆA CI ON ES CON CON JU N T OS
Para ciertos est udios suele considerarse el conjunt o ¥ que contiene a la
t ota-lidad de los objetos básicos de int erés para el estudio; est e conjunt o se
llama CON JU N T O U N I V EÆSO.
Si por ejemplo, estamos t rabajando con conjuntos de números enteros,
entonces ¥ = ®; con conjunt os de let ras, ¥ será el abecedario, etc.
D efimicióm 1.2.4 5ean A 4 B dos conjuntos, ta D I J Z ÆZ N CI A de A 4 B
es et conjunto
A \ B = ( ı c ¥ : ı c A K ı c/ B }
D efimicióm 1.2.5 Dado A, ¥ \ A se ttama C0 M PTZ M Z N T 0 de A con
respecto a ¥ 4 se denota por A c ó A t ó —A. Guego, A c = ( ı c ¥ : ı c/ A} .
Ass, para todo ı c ¥ se sersflca una 4 sóto una de tas ssgusentes proposscsones:
s) ı c A
ss) ı c A c
CAPÝTULO fi:
Lógica y Teoría de Conjuntos
Ej emplo 1.2.4 :
fi) 5ean ¥ = Æ4 A = ( ı c Æ: ı c 5} , se tsene que:
A c = ( ı c Æ: ı Ç 5} .
X) Dados ¥ = ® 4 A = ( ı c ® : ı es posstsso o cero} , se tsene que:
A c = ( ı c ® : ı es negatsso} .
PÆOPI EDA D ES:
fi) ¥ c = Ø; Øc = ¥
X) (A c) c = A
D em ost r acióm. Probemos X)
(A c) c = ( ı c ¥ : ı c/ A c} = ( ı c ¥ : ı c A} = A
D efimicióm 1.2.6 5ean A 4 B conjuntos, ta I N T Z ÆSZ CCI 0 N de A 4 B
es et conjunto
A fi B = ( ı c ¥ : ı c A K ı c B }
D efimicióm 1.2.Y Dos conjuntos A 4 B se dscen D I SJU N T 0 S ss 4 sóto ss
su snterseccsón es et conjunto sacso.
Ej emplo 1.2.5 Dado A = ( a, b,s, d, e} ; B = ( s, d, ƒ} ; C = ( a, fi, Œ
, 5} se
tsene:
A fi B = ( s, d} ; A fi C = ( a} ; B fi C = Ø; A \ B = ( a, b,e}
fi£
CAPÝTULO fi:
Lógica y Teoría de Conjuntos
D efimicióm 1.2.8 5ean A 4 B conjuntos, ta U N I 0 N de A 4 B es et con−
junto
A UB = (ı c ¥ : ı c A V ı c B}
Ej emplo 1.2.6 5s A = ( fi, a, b} ; B = ( fi, X, s} ; C = ( 3, 5} , entonces:
A U B = ( fi, a, b, X, s} ; B U C = ( fi, X, s, 3, 5}
Es posible visualixar los conjuntos antes definidos por medio de los llamados D I A G ÆA M A S D E V EN N , donde el conjunto universo ¥ se representa por un rect ángulo, como se observa en la figura fi y X.
Algunaspropiedadesdelasoperacionescomplement o, int ersección y unión
son las siguientes:
fi) I dempot emcia:
A UA = A
A fi A = A
X) Commut at ividad:
A UB = B UA
A fi B = B fi A
3) A sociat ividad:
A U (B U C) = (A U B ) U C
A fi (B fi C) = (A fi B ) fi C
Œ)D ist r ibut ividad:
A U (B fi C) = (A U B ) fi (A U C)
A fi (B U C) = (A fi B ) U (A fi C)
fi3
CAPÝTULO fi:
Lógica y Teoría de Conjuntos
5) L eyes de M or gam:
(A U B ) c = A c fi B c
(A fi B ) c = A c U B c
A cont inuación, probaremos la propiedad 5)
c
(A fi B ) = A c U B c
D em ost r acióm.
ı c (A fi B )
c
e
e
e
e
e
ı
~
~
ı
ı
c/ A fi B
((ı c A) K (ı c B ))
(ı c A) V ~ (ı c B )
c Ac V ı c B c
c Ac U B c
Luego: (A fi B ) c = A c U B c
D efimicióm 1.2.9 5ean A 4 B conjuntos no sacsos, et PÆ0 D U CT 0 CA ÆT Z SI A N 0 D Z A y B es et conjunto, A × B , de todos tos pares ordenados (a, b)
tates que a pertenece at conjunto A 4 b pertenece at conjunto B . Es decsr:
A × B = ( (a, b) : a c A K b c B } .
Ej emplo 1.2.Y 5s A = ( fi, 3} 4 B = ( a, b,s} , entonces:
A × B = ( (fi, a) , (fi, b) , (fi, s) , (3, a) , (3, b) , (3, s)}
B × A = ( (a, fi) , (b,fi) , (s, fi) , (a, 3) , (b,3) , (s, 3)}
Este ejempto muestra que et producto cartessano no es conmutatsso.
Gráflcamente A × B 4 B × A se representan de ta ssgusente manera:
fi4
CAPÝTULO fi:
Lógica y Teoría de Conjuntos
D efimicióm 1.2.10 5ean A fi, A X, ..., A n , n conjuntos no sacsos. Z J PÆ0 D U CT 0 CA ÆT Z SI A N 0 de Jos coı j uı t os A fi, A X, ..., A n es et conjun−
to de todas tas n−uptas ordenadas (afi , aX, ..., an ) tates que as pertenece a A s
cuatqusera sea s = fi, X, ..., n.
5e escrsbe:
A fi × A X × ... × A n = ( (afi , aX, ..., an ) : as c A s, s = fi, X, ..., n}
Ej emplo 1.2.8 :
fi) RX = R × R = ( (ı , 4) : ı c R K 4 c R} es et conjunto de todos tos
pares ordenados de números reates.
X) R3 = R × R × R = ( (ı , 4, x) : ı , 4, x c R} es et conjunto de todas tas
ternas ordenadas de números reates.
D efimicióm 1.2.11 Una coteccsón A fi , A X, ..., A n de subconjuntos (o partes)
no sacsos de un conjunto B es una PA ÆT I CI 0 N D Z B ss tos conjuntos
son dssjuntos dos a dos 4 ta unsón de todos ettos es et cojunto B , es decsr,
( A fi , A X, ..., A n } es una partscsón de B ss 4 sóto ss
(s) A s ƒ
= Ø
(ss) A s fi A j = Ø
6 s = fi, X, ..., n
6 sƒ
= j
n
(sss) U A s = B
s=fi
Ej emplo 1.2.9 Gos conjuntos A fi = ( fi, 3} ; A X = ( X, Œ
} 4 A 3 = ( 5} consts−
tu4en una partscsón det conjunto B = ( fi, X, 3, Œ
, 5} .
1.3.
C U A N T I F I C A D OÆES L OG I C OS
D efimicióm 1.3.1 5e ttama J U N CI 0 N PÆ0 P0 SI CI 0 N AT a una es−
pressón que contsene una o más sarsabtes 4 resutta ser una proposscsón ss se
assgna a ta (o tas) sarsabte (‹ ) satores especsflcos.
N ot acióm 1.3.1
p(ı ) , q(ı , 4) , r (ı , 4, x, u)
p(ı ) : ” s,ı, s tsene ta propsedad p“
s
s
,,
sujet o
predscado
fi†
CAPÝTULO fi:
Lógica y Teoría de Conjuntos
D efimicióm 1.3.2 5e ttama C0 N JU N T 0 D Z VA TI D Z E de p(ı ) at con−
junto de todos tos satores de ı para tos cuates p(ı ) es serdadera.
N ot acióm 1.3.2
Vp = ( ı c U : p(ı )}
Es frecuente en Matemática la presencia de proposiciones que aluden a
objet os de un cierto universo y que su valor de verdad depende de dichos
objet os. Para indicar que p (ı ) es una proposición verdadera para todo ı
del universo ¥ y que q(ı ) es una proposición verdadera sólo para algunos
elementos de ¥ , se int roducen dos símbolos especiales:
6
llamado cuant ificador universal que se lee ” cualquiera sea™o
” para t odo™
.
I
llamado cuant ificador exist encial que se lee ” exist e™
.
Ej emplo 1.3.1 5s et conjunto unsserso es Æ, p(ı ) : ı ‡ Œ> 3 4
q(ı ) : ı ‡ Xc 8, entonces:
Vp = Æ, es decsr, “ para todo ı , ı en Æ, p (ı ) es serdadera™to que se
escrsbe: 6ı , ı c Æ, p(ı ) .
V q = ( fi, X, 3, Œ
, 5} , es decsr, “ Essste (o essste atgún) ı , ı en Æ, tat que
q(ı ) es serdadera™to que se escrsbe: I ı , ı c Æ, q(ı ) .
Obser vacióm 1.3.1 :
fi) 5s et conjunto de satsdes es unstarso, entonces se escrsbe:
“ I ! ı , ı c ¥ , p(ı )™4 se tee: “ essste un únsco ı c ¥ tat que p(ı ) es
serdadera™
.
X) Ga negacsón de ta proposscsón “ Para todo ı en ¥ , p(ı ) es serdadera™
,
es:
“ no es serdad que para todo ı en ¥ , p(ı ) es serdadera™
o equssatentemente:
“ essste un ı en ¥ tat que ta proposscsón ~ p(ı ) es serdadera™
.
5smbótscamente se escrsbe:
~ (6ı , ı c ¥ , p(ı )) e (I ı , ı c ¥ , ~ p(ı ))
fi6
CAPÝTULO fi:
Lógica y Teoría de Conjuntos
fit
3) Ga negacsón de ta proposscsón “ essste un ı en ¥ tat que p(ı ) es ser−
dadera™es:
“ no es serdad que essste un ı en ¥ tat que ta proposscsón p(ı ) es
serdadera™to que es equssatente a decsr:
“ para todo ı en ¥ , ta proposscsón p(ı ) es fatsa™
. 5smbótscamente se
escrsbe:
~ (I ı , ı c ¥ , p(ı )) e (6ı , ı c ¥ , ~ p(ı ))
Œ)Ga negacsón de ta proposscsón “ essste un únsco ı en ¥ tat que p(ı ) es
serdadera™es:
“ no essste nsngún ı en ¥ tat que p (ı ) es serdadera o esssten at menos
dos etementos en ¥ , ı e 4, tates que p (ı ) 4 p (4) son serdaderas™
.
5smbótscamente se escrsbe:
~ (I !ı , ı c ¥ , p(ı )) e ( (6ı , ı c ¥ , ~ p(ı )) V (I ı , ı c ¥ , I 4, 4 c ¥ , p(ı ) , p(4))}
Ej emplo 1.3.2 :
fi) 5s ¥ = Æ, entonces p(ı ) : ı ‡ X= 9 es serdadera sóto para ı = t , esto
es: Vp = ( t } 4 podemos escrsbsr:
I !ı , ı c Ætat que ı ‡ X= 9
X) Dada ta proposscsón “ f odos tos atumnos son responsabtes™
, su negacsón
es:
“ essste un atumno que no es responsabte™
.
3) Ga negacsón de (6ı , ı c ®, ı ‡ 5 Ç fi0) es (I ı , ı c ®, ı ‡ 5 > fi0) .
Œ)Ga negacsón de ta proposscsón “ essste un número reat a, tat que a·fi ƒ
= a™
es:
“ para todo número reat a, a · fi = a™
.
CAPÝTULO fi:
1.4.
fi.
Lógica y Teoría de Conjuntos
EJEÆC I C I OS P ÆOP U EST OS
Dadas las proposiciones:
p : el banco fue asaltado
q : el asalt ant e huyó
escribir en lenguaje corrient e:
a) ~ p
e) ~ (p K q) ‹ p
ƒ) (pK ~ q) ‹ p
b) p V q
g) ~ (~ pV ~ q)
s) p — q
d) pK ~ q
£. Dadas las proposiciones:
q : X‡ 8 = fi0
‹ : X· fi = fi
p : X‡ Œ= 6
r : 3 · Œ= fiX
Hallar los valores de verdad de las proposiciónes siguientes:
a) [(p K q) K (r K ‹ )] ‹ p V ‹
b) (p ‹ q) ‹ (‹ V r )
s) (p ‹ q) ‹ (‹ ‹ r )
d) (p ‹ ~ q) — [(p V r ) K ‹ ]
3. Gomprobar que:
a) (p K q) V p e p
b) (p V q) K p e p
s) ~ (p — q) e (pK ~ q) V (qK ~ p)
4. Escriba simbólicament e:
a) El cuadrado de todo número real es posit ivo o cero.
b) Exist e un único número real cuya raíx es cero.
s) Gualesquiera sean los números reales a y b se verifica
(a ‡ b) X = aX ‡ Xab ‡ bX.
d)Existe por lo menos un número real t al que su raíx cuadrada no es
real.
e) La ecuación Xı ‡ 6 = 0 t iene una única solución real.
ƒ) Para t odo par de números naturales su suma es natural.
fi8
CAPÝTULO fi:
Lógica y Teoría de Conjuntos
g)Existen por lo menos dos números nat urales tales que su cuocientees
un número racional.
†. Dadas las siguient es proposiciones, averiguar su valor de verdad y negar
cada una de ellas.
a) (6ı c R) (ı ‡ 3 c t )
b) (6ı c R) (6n c Æ)
(ı ‡ 3 > n)
s) (6ı c R) (In c Æ)
(n c ı)
X
d) (Iı c R)
(ı — ı ‡ 6 = 0)
e) (6ı c R) (ıX > 0)
6.
Sea E = (—fi, 0, fi} . Averiguar el valor de verdad de las proposiciones
siguient es:
a)
b)
s)
d)
e)
ƒ)
g)
h)
6ı c E ,
6ı c E ,
I ı c E,
I ı c E,
6ı c E,
Iı c E,
Iı c E,
6ı c E,
t . Sean
ı X Ç fi
ı3= ı
ı Ç0
ı X Ç fi
I4 c E,
I4 c E,
64 c E,
I4 c E,
ı ‡ 4 Ç fi
ı ‡ 4 > fi
4Çı
ı‡4 =0
U = ( ı c N : ı Ç fi0}
A = ( ı c U : Œc ı c 8}
B = ( X, 3, 5, 6}
C = ( n c N : Xn c U}
a) Haga un Diagrama de Venn.
b) Galcule por ext ensión:
A UB,
B fi C,
A \ B,
B × (A \ C) c
8.
Sean A y B subconjunt os de un conjunt o universal U. Demuestre que:
a) (A \ B ) c = A c U B
b) A Ç B c c A fi B = Ø
fi9
CAPÝTULO fi:
Lógica y Teoría de Conjuntos
£O
9. Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Just ifique
su afirmación.
a) ØÇ ( fi, X}
e) ( a} Ç (Ø, ( a} }
b) a c (Ø, ( a} }
ƒ) ( a} c (Ø, ( a} }
s) ( a, b} Ç ( a, ( a, b} , b}
g) Øc ( a}
d) ( a, b} = (Ø, a, b}
h) ( a, b} = ( b,a}
fiO. Sean A y B dos conjunt os cualesquiera. Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Just ifique su afirmación.
e) A fi B Ç A U B
ƒ) A c Ç A
a) A U B Ç A fi B
b) A Ç A U B
fifi. Sea A = ( a, b,s, d}
a) Encont rar 9 (A)
b) ¿Guánt os elementos t iene 9 (A)?
s) ¿Es 9 (( a, b} ) un subconjunt o de 9 (A)?
d) Est udie las siguient es afirmaciones
ØÇ 9 (A) ,
a c 9 (A) ,
( a} Ç 9 (A) ,
Øc 9 (A) ,
9 (A) = 9 (( a, b,s} ) ,
( a} c 9 (A)
9 (Ø) Ç 9 (A) .
fi£. Una indust ria fabrica fiOOOneumát icos. Se sabe que 9Ot ienen falla tipo
α; fi†O t ienen falla tipo Ø y £OO falla tipo ç. Además fi† neumáticos
t ienen los t res t ipos de falla, £fi sólo falla t ipo α, 8Osólo falla t ipo Ø y
†Ot ienen falla t ipo α y ç.
a)Designe por A, B y C los conjuntos de neumát icos que tienen falla
t ipo α, Ø y ç respect ivamente y haga un Diagrama de Venn que ilustre
la situación.
b)Describa en t érminos de A, B y C el conjunt o de neumáticos que
no tienen fallas.
s) Defina por comprensión los conjunt os
A UB ,
A f i B c,
A f i B fi C,
c
, (B U C) ,
A \ (B U C) .
d) Determine cuántos neumát icos tienen sólo un tipo de falla, cuántos
t ienen exactament e dos tipos de falla y cuántos tienen al menos una
falla.