Energía electrostática Electromagnetismo. Grupo C. Curso 2005-2006 Andrés Cantarero Trabajo y energía potencial El trabajo necesario para mover una carga puntual de valor q desde un punto (inicial) a otro (final) del espacio, en presencia de un campo eléctrico uniforme es: W = Z final inicial F · dl = q Z final inicial Energía de una carga en presencia de un campo exterior Energía de un conjunto de cargas Energía de una distribución de cargas Energía en función de los campos: densidad de energía Energía de un dipolo eléctrico Energía de polarización Energía potencial de un conjunto de cargas puntuales Calculemos la energía electrostática de un conjunto de N cargas. Debe ser igual al trabajo de formación de dicho conjunto de cargas. E · dl = q∆V W1 = 0 1 q1 q2 4πε0 r12 ∙ ¸ 1 q2 q3 q1 q3 W3 = q3 V1 + q3 V2 = + 4πε0 r13 r23 W2 = q2 V1 = Si definimos la energía potencial electrostática como U = qV podemos decir que el trabajo realizado se almacena en forma de energia potencial electrostática W = ∆U W = N X Wi = i=1 Energía electrostática de una distribución de carga 1 X0 qi qj U= 8πε0 i,j rij 1 U= 8πε0 U= 1 2 Z 2 De ρ(r) = −ε0 ∇ V (r) U= ε0 2 E 2 d3 r 0 ρ(r)ρ(r ) 3 3 0 d rd r |r − r0 | ρ(r)V (r)d3 r y 2 2 ∇ · (V ∇V ) = (∇V ) + V ∇ V Energía electrostática de los campos Z Z Z Densidad de energía u= 1 ε0 E 2 2 1 X0 qi qj 8πε0 i,j rij Energía de interacción y autoenergía U= ε0 2 Z (E12 + E22 + 2E1 · E2 )d3 r = U1 + U2 + U12 Los dos primeros términos se corresponden con la autoenergía de las cargas puntuales, el último se denomina energía de interacción. La autoenergía se hace infinita en el caso de cargas puntuales. Presenta problemas en Electrodinámica Cuántica (el electrón es una carga puntual). La energía total siempre es positiva, pero la energía de interacción puede ser positiva o negativa. En el caso de cargas puntuales se demuestra de forma trivial que U12 = q1 q 2 4πε0 r12 1 Energía de un dipolo eléctrico La energía de un dipolo de densidad ρ(r) en un campo exterior es U= Z 0 0 3 0 ρ(r )V (r )d r Siendo V (r) el potencial del campo exterior. Si es dipolo es cuasipuntual, centrado en el punto r0 = r , podemos aproximar, en el intervalo de integración, V (r 0 ) ≈ V (r) + (r − r0 ) · ∇V (r) de donde U = −p · E , como habíamos visto anteriormente La fuerza sobre un dipolo en un campo inhomogéneo es F = −∇U = ∇(p · E) = (p · ∇)E Energía en un medio dieléctrico Para definir nuestro problema, imaginémonos un condensador cualquiera relleno de un dieléctrico de permitividad ε cargado con una cierta carga q . Si queremos aumentar la carga del condensador en una pequeña cantidad δρf , hemos de realizar un trabajo, que será igual a la energía potencial de interacción δU = Z δqf V d3 r = Z ∇ · (δD)V d3 r = Z δD · (−∇V ) 1 δ(D · E) 2 De modo que la energía almacenada en el dieléctrico puede escribirse en la forma Z 1 U = D · Ed3 r 2 Si el medio es lineal, δD· = εδE · E = Energía de polarización La pregunta que nos hacemos aquí es: ¿cuál es la energía que se necesita para polarizar un dieléctrico? Consideremos una distribución de cargas (fija) en el espacio que originan un campo eléctrico, de manera que la energía potencial puede escribirse Z como 1 U0 = D 0 · E0 d3 r 2 Z 1 siendo D0 = ε0 E0. Con dieléctrico, U = D · Ed3 r 2 Podemos reescribir Z Z Z 1 1 1 (D · E − D0 · E0 )d3 r = (D0 · E − D · E0 )d3 r = − P · E0 d3 r 2 2 2 La densidad de energía de polarización es up = −P · E0 2