Programa actividades de relatividad

Física de 2º de Bachillerato. Introducción a la Física Relativista
Francisco Martínez Navarro
ELEMENTOS DE FÍSICA RELATIVISTA
Introducción a la teoría de la Relatividad
1. INTRODUCCIÓN
La Relatividad, es la teoría desarrollada a principios del siglo XX, que originalmente
pretendía explicar ciertas anomalías en el concepto de movimiento relativo, pero que en su
evolución se ha convertido en una de las teorías básicas más importantes en las ciencias físicas.
Esta teoría, desarrollada fundamentalmente por Albert Einstein, fue la base para que los físicos
demostraran la unidad esencial de la materia y la energía, el espacio y el tiempo, y la equivalencia
entre las fuerzas de la gravitación y los efectos de la aceleración de un sistema.
ELEMENTOS DE FÍSICA RELATIVISTA
PROGRAMA DE ACTIVIDADES
0. LA CRISIS DE LA FÍSICA CLÁSICA Y EL ORIGEN DE LA FISICA
MODERNA
Entre 1861 y 1873 Maxwell realizó la síntesis electromagnética que culmino con su
“Tratado de electricidad y magnetismo”, integrando fenómenos considerados hasta entonces sin
ninguna conexión: la electricidad, el magnetismo y la óptica. Con ello parecía haberse dado
respuesta satisfactoria a los principales problemas que planteaba la ciencia física. A lo largo de
dos siglos se había construido así un sólido edificio imponente del que la mecánica newtoniana
y la teoría electromagnética eran sus dos más fuertes pilares.
A finales del siglo XIX se consideraba la Física como una ciencia prácticamente
elaborada y cerrada, cuyos principios y leyes estaban sólidamente establecidos. La actividad
física pensaba que consistiría en aplicar estas leyes y principios a distintos fenómenos. Pero una
serie de problemas que no pudieron ser explicados originaron a principios del siglo XX, la crisis
de la física clásica, poniendo en cuestión hasta sus conceptos más evidentes y sólidos y el origen
de una nueva concepción de la física.
A.1
Señalar algunos de los principales éxitos, señalando los principales interrogantes y problemas que
resolvió (incluyendo sus aplicaciones prácticas), de la física clásica, desde la época de Galileo a la
de Maxwell
A.2
Tratar de indicar qué imagen del comportamiento de la materia introduce la física clásica (en
particular, cómo se concibe el espacio, el tiempo, las radiaciones y los cuerpos)
Conviene recordar que la física clásica se construyo contra la visión del pensamiento
aristotélico - escolástico, contra la concepción denominada “Física del sentido común” y
supuso un profundo cambio metodológico, acompañando al radical cambio conceptual.
A.3
Indica que problemas o dificultades no pudieron ser resueltos por la “Física aristotélico escolástica” y que contribuyeron al surgimiento de la física clásica en los siglos XVI y XVII
A.4
Nombrar algunas de las principales ideas o principios básicos de la concepción anterior que
derribo la Física clásica denominada newtoniana - mecanicista.
A.5
Resumir las principales características del cambio metodológico que supuso el triunfo de la
revolución científica de los siglos XVI y XVII frente a la concepción anterior.
1
Física de 2º de Bachillerato. Introducción a la Física Relativista
Francisco Martínez Navarro
Para completar esta breve revisión de las principales características de la ciencia clásica,
conviene tener en cuenta, que su triunfo supuso junto con el cambio conceptual y metodológíco
un cambio de actitud y el triunfo de unos nuevos valores, lo que pone de manifiesto las
relaciones ciencia, tecnológia y sociedad
A.6
Indicar algunas de las implicaciones más relevantes de la ciencia clásica
ideológico, social, medioambiental.
en los dominios
La Física clásica llegó a explicar prácticamente todos los fenómenos físicos
conocidos y se convirtió en un cuerpo coherente de conocimientos en el que solo
quedaban por resolver algunos pequeños problemas
A.7
Señalar algunos de estos problemas pendientes por la física clásica a finales del siglo XIX.
Estos pequeños problemas pendientes que quedaban sin resolver por la física
clásica a finales del siglo XIX, (fundamentalmente la interpretación de la radiación del cuerpo
negro, el resultado negativo del experimento de Michelson y Morley, las líneas espectrales de
los átomos, el efecto fotoeléctrico, etc...), originaron fundamentalmente dos líneas de
investigación que provocaron la crisis de las principales concepciones vigentes en la física
clásica y condujeron al establecimiento de dos nuevas ramas de la física moderna: la Física
relativista y la Física cuántica
1. ELEMENTOS DE RELATIVIDAD
Los “pequeños problemas” a los que la física clásica se enfrentaba sin éxito a finales del siglo
XIX, fueron los primeros indicadores de que la física clásica exigía cambios fundamentales. Una
de las líneas de investigación, que contribuyo a provocar la crisis de la física clásica, marcando
sus limites de validez, fue la Teoría General de la Relatividad. A continuación abordaremos
algunas de las principales ideas de la física relativista y sus principales implicaciones.
1.0. FENÓMENOS QUE NO SE EXPLICAN CON LA FÍSICA CLÁSICA.
CRISIS DE LA MISMA Y ORIGEN DE LA FÍSICA MODERNA
A comienzos del siglo XX la Física iba a experimentar una crisis profunda en la que jugaría un
papel especial la teoría especial de la relatividad o de la relatividad restringida , que es la única que
trataremos aquí ( no abordaremos por tanto la teoría general de la relatividad).
1.1. FRACASO EN LA DETECCIÓN DE UN SISTEMA DE REFERENCIA
EN REPOSO ABSOLUTO.
La génesis de la teoría de la relatividad puede asociarse con un problema presente desde
antiguo en la historia de la Ciencia: el de la existencia del espacio absoluto:
Indicar brevemente qué objetos materiales se han considerado, a lo largo de la historia de las
A.1 ideas, como sistemas de referencia en reposo absoluto
1.2. LOS POSTULADOS BÁSICOS DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL.
El principio de relatividad de Galileo establece, de acuerdo con toda nuestra práctica habitual, que
no existen diferencias entre los fenómenos mecánicos que ocurren en marcos de referencia en reposo o en
movimiento rectilíneo uniforme uno respecto al otro, lo que le llevo al propio Galileo a enunciar el
llamado principio de relatividad de Galileo: “Las leyes de la mecánica no se modificabn al referirlas a un
sistema en reposo o que se mueva con movimiento rectílineo uniforme con respecto al observador”
2
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A.2 Consideremos dos sistemas de referencia de origen O y O´, respectivamente, tales que el segundo
se desplace respecto del primero, a lo largo del eje X con velocidad v. Podremos ver la forma en
que varían las leyes de la física al pasar de un sistema a otro, sin mas que establecer la relación
existente entre las fuerzas F y F´ referidas a uno y otro sistema. Encontrar dicha relación
estableciendo:
a) la relación entre las ecuaciones que ligan las coordenadas (x,y,z) de un punto referidas al primer
sistema, y las (x´, y´, z´) referidas al segundo sistema. Supongamos que en el instante inicial
ambos orígenes coinciden. (Estas ecuaciones se denominan transformaciones de Galileo)
b) Obtener a partir de dichas ecuaciones las relaciones entre las velocidades y las aceleraciones de
un punto en ambos sistemas. Tener en cuenta se mueve con respecto a O con movimiento
uniforme, es decir que v es constante.
[Fácilmente se obtiene que: x´= x - v.t; y´=y; z´= z]; Por tanto, derivando: [v´x=vx -v; v´y =vy; v´z =
vz] . Por lo que, derivando de nuevo: [a´x =a x; a´y = ay; a´z = az] y por consiguiente sin más que
multiplicar por la masa. [F´x= Fx; F´y = Fy; F´z = Fz]
Nada pues permite diferenciar, desde un punto de vista mecánico a un sistema en reposo
absoluto de otro que se desplace con movimiento uniforme: “las leyes de la mecánica
resultan ser las mismas”
A.3 A modo de confirmación, en un caso concreto del principio de relatividad de Galileo , obtener la
expresión de la fuerza que actúa sobre un punto de masa 10 kg, cuyas coordenadas respecto a un
sistema en reposo son, respectivamente (4t2, 5,0) m Obtener igualmente la expresión de dicha
fuerza respecto a un sistema de coordenadas que se mueve con relación al primero a una velocidad
G
de 2 m/s, en la dirección del eje X.
[Solución: En ambos casos F = (80,0,0) N ]
A.4
Predecir si la propagación de las ondas luminosas (y por extensión los fenómenos ópticos) harán
posible diferenciar entre los sistemas en reposo absoluto o los provistos de movimiento uniforme
El experimento realizado por Michelson y Morley trataba de poner de manifiesto la existencia
de un marco especial de referencia en reposo absoluto ( “el éter”) a partir de fenómenos ópticos. El
fundamento del mismo estriba en tomar en consideración el Movimiento de la Tierra con respecto
al eter, que podía considerarse uniforme para intervalos de tiempo pequeños (dado el gran radio de
curvatura de su trayectoria 150 millones de km)
Aceptando que la Tierra se mueve en el espacio (es decir en el seno del éter inmóvil) con una
velocidad v. El tiempo que tarde la luz en recorrer una cierta distancia sobre la Tierra dependerá de
la dirección en que la luz recorra dicha distancia, por sumarse vectorialmente la velocidad de la luz
y la de la Tierra. Michelson y Morley diseñaron un ingeniosos montaje (interferometro) para poner
de manifiesto las diferencias previstas de tiempo, con que la luz alcanza cierta posición, según
el movimiento relativo de la Tierra con respecto al éter. Pero se obtenia siempre un resultado
negativo: “no se apreciaba diferencia alguna en el tiempo”
A.5 Aceptando que la Tierra se mueve con respecto al éter con velocidad v y siendo c La velocidad
de la luz, calcular el tiempo en que la luz emitida por el foco F alcanzara la pantalla P, situada a una
distancia d en cada uno de los casos esquematizados. (v representa la velocidad de la Tierra y por
tanto la velocidad de los objetos situados sobre ella con relación al supuesto éter)
a)
v
[Solución: a) t =
P
b)
P
*
F
*
F´
v
d
d
; b)d t =
]
c−v
v+c
d
3
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Del resultado negativo del experimento de Michelson y Morley, repetido con todo
tipo de precauciones, se concluía que había que rendirse a la evidencia “ La
velocidad de la luz no se veía afectada por el movimiento de la Tierra con
respecto al éter”. O sea que: “la velocidad de la luz para todos los
observadores cualquiera que fuera su velocidad con respecto al éter era
siempre la misma c”
A.6 ¿Cómo explicar el resultado inesperado del experimento de Michelson para hacerlo compatible con
las teorías vigentes, que poseían una sólida base experimental y estaban tan solidamente
establecidas?
Todo intento de explicar este resultado evidente: “la velocidad de la luz en el vacío es siempre la
misma, independiente mente de la velocidad del observador o de la fuente luminosa” en el marco
de la física clásica (hipótesis de arrastre del éter, etc.) llevarían al fracaso.
Einstein generaliza este resultado afirmando que “las leyes de la física son las mismas
para todos los sistemas que se mueven con movimiento uniforme con respecto al
observador” lo que constituye su principio de la relatividad especial, basado en los resultados
negativos de evidenciar el movimiento absoluto.
A.7 Explica que concepto fundamental (implicito en las transformaciones de Galileo) criticado
por Einstein abrió las puertas a la solución del problema planteado por la solución
inesperada del resultado del experimento de Michelson y de paso al desarrollo de la nueva
Física.
La suposición de sentido común de igualdad de los intervalos temporales y espaciales en
ambos sistemas de referencia, daba por evidente la cuarta ecuación t´= t de identidad de las
escalas temporales para uno y otro sistema en las transformaciones clásicas de Galileo..
A.8
Obtener la relación entre los tiempos en el siguiente caso: Sean dos relojes de luz
Ay B, formados cada uno de ellos por dos espejos paralelos separados una distancia d,
donde t es el tiempo necesario para que un pulso luminosos que parte del fondo incida en
el espejo superior (d=c.t) : Cada vez que la luz incide sobre un espejo se tiene un “tic del
reloj” . El reloj B se desplaza con respecto al A con velocidad v. Si nosotros
permanecemos solidarios del reloj A, observaremos que el camino recorrido por el rayo
luminoso en B, desde la base inferior hasta incidir en la superior , es mayor que el que
recorre en el reloj A. Y como la velocidad de la luz es siempre la misma c (como ha
quedado establecido, el tiempo t´será mayor que el t. Es decir que el reloj B se retrasara
con respecto al A, para un observador solidario con A. Para uno solidario con B, sera el
reloj A el retrasado.
c.t´
Obtener matemáticamente a partir de la situación
descrita en la figura la relación entre t´ y t y
explica como esta diferencia de tiempos entre t´ y t
viene a compensar lo que predecía la experiencia de
Michelson, dando cuenta del resultado negativo
encontrado.
d=c.t
A
B
[Sin más que v.t´
aplicar el teorema de Pitagoras al triángulo de la figura se obtiene:
(ct´)2=(ct)2 + (vt´)2 . De donde sacando factor común t´y despejando se llega a la famosa
ecuación: t ′ =
t
v2
1− 2
c
]
4
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1.3. ALGUNAS IMPLICACIONES DE LA FÍSICA RELATIVISTA
Las ecuaciones de transformación galileana no son validas, ya que parten del carácter absoluto de
la escala temporal, que sería la misma en cualquier sistema, en contra de toda la evidencia experimental
que llevo al principio de la relatividad especial. La correspondencia entre las coordenadas (x´, y´, z´, t´)
de (x,y,z,t) fue establecido por Lorentz :
x′ =
x − v. t
2
; ∆x′ =
v
1− 2
c
∆x
v2
1− 2
c
y´= y
z´= z
xv
c2
t′ =
;
v2
1− 2
c
t−
∆t ′ =
∆t
1−
v2
c2
Transformaciones de Lorentz
A.9
Analiza las transformaciones de Lorentz y mostrar que las ecuaciones de transformación de
Lorentz se convierten el las Galileanas para velocidades v muchisimo más pequeñas que las
de la luz
La importancia de la teoría de la relatividad no se limita a dar cuenta de los hechos experimentales
que estén en su base, sino que de ella se siguen gran número de implicaciones, cuya verificación dara a
las hipótesis iniciales el carácter de una teoría firmemente establecida. Implicaciones teóricas que
permitan una mejor comprensión del mundo físico e implicaciones prácticas, que abrirán el camino a una
mayor utilización de la naturaleza: Dos importantes consecuencias que están en la base de la teoría
son la dilatación del tiempo y la contracción de la longitud.
1.3.1. DILATACIÓN DEL TIEMPO
A.10
a) Explica y justifica a partir de las transformaciones de Lorentz la dilatación temporal para
un sistema en movimiento con respecto a otro. Es decir que el intervalo entre dos sucesos
∆t es diferente si se mide desde dos sistemas de referencia distintos con una velocidad
relativa v. Demuestra que esta diferencia solo adquiere importancia para velocidades
próximas a las de la luz.
b) Lo mismo para la contracción de la longitud.
A.11 Si aceptamos que como indica la ecuación t ′ =
t
v2
1− 2
c
, el tiempo transcurre diferentemente en
dos sistemas de referencia, uno de los cuales se mueve con velocidad v respecto al otro. ¿Cómo
explicar que las experiencias cotidianas, un viaje en tren, por ejemplo, no señalen tal diferencia?
A.12
5
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Calcular el valor de ∆t′ para el intervalo entre dos sucesos medidos por un observador a que se
mueve con velocidad v respecto a otro B, que da para dicho intervalo 10 s. en los siguientes casos:
a) v = 10 m/s; b) v= 100.000 m/s; c) v= 270.000 km/s Comenta y justifica los resultados obtenidos.
[Solución: a) ∆t ′ = 10s ; b) ∆t ′ ≈ 10s ; c) ∆t ′ = 22.94 s ]
A.13
A.14
Analizar como el concepto de simultaneidad de dos sucesos pierde sentido cuando se trata de
sucesos que tienen lugar en puntos diferentes. Mostrar que dos sucesos que ocurren en puntos
distintos ( ∆x ≠ 0 ), y son simultáneos ( ∆t = 0 ) en cierto sistema de referencia, no lo son en otro
sistema que se mueva respecto al primero con velocidad v.
a) El periodo de semidesintegración de determinada partícula inestable es de 10-6 s. ¿Cuál
sería el período medido si dichas partículas fueran acelaradas hasta alcanzar velocidades de
0,7 c respecto al observador? [Soluc: T=1,8.10-6 s]
b) La vida media del neutrón libre es 700 s ¿Cuál será su vida media si fuese acelerado
hasta alcanzar la velocidad de 0,7 veces la velocidad de la luz respecto al observador?
Justifica la respuesta.
1.3.2. EQUIVALENCIA MASA - ENERGÍA
Para que se cumpla el principio de conservación de la cantidad de movimiento,
en una transformación de coordenadas, la masa de un cuerpo ha de variar con la
m0
velocidad según la ecuación: m =
, en donde m0 es la masa en reposo, es
v2
1− 2
c
decir la masa medida por un observador respecto del cuál la partícula esta en reposo.
A.15 Mostrar que la masa de un cuerpo puede considerase constante, tal como suponía la
mecánica clásica si su velocidad es pequeña comparada con c.
A.16 Suponer que una nave espacial de 5.000 kg se aleja de la Tierra a una velocidad de 0,2 c
a) ¿Cuál será su masa para un observador situado en la Tierra?
b) ¿Y para un viajero de la nave?
c) ¿Cuál sería para dicho viajero la masa de otra nave idéntica situada en la Tierra?
[Solución: a)5.103 kg; b) 5.000 kg; c) 5.103 kg]
-31
A.17 Siendo la masa del electrón en reposo me=9,11.10 kg ¿Qué masa observaremos si lleva
una velocidad de 0,8 c respecto a nosotros? Interpreta los resultados.
La relación de la variación de la masa con la velocidad puede interpretarse como un
incremento de la masa que tiene lugar al comunicar energía al cuerpo
En la mecánica relativista la relación entre la energía y una velocidad
dada viene dado por:
m0 .c 2
2
E = m. c =
v2
1− 2
c
6
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A.18
Analiza y justifica la expresión anterior, mostrando la existencia de un contenido
energético incluso para v=0. Deduce su valor y comenta el resultado
A.19
La ecuación E= m0.c2, es una de las más famosas de la física. Explica sus significado. Y
sus posibles aplicaciones.
A. 20
A. 21
a) Calcular la energía que puede liberarse en la desintegración de 1 g de materia. Comparar
con la energía que se libera al quemar 1 g de petróleo (poder calorífico 10,30 Kcal/g)
[Solución: E= 9.1013 J y E´= 4,3. 104 J]
b) Demostrar que si un cuerpo emite energía E en forma de radiación, la masa disminuye
en E/c2. ¿A que velocidad debe convertirse masa en energía para producir 30 Mw?
Comenta y analiza el siguiente texto:
La masa no se puede convertir en energía. En las reacciones nucleares, con
“defecto de masa” lo que tiene lugar es el paso de una forma de materia (las
partículas) a otra forma de materia (los fotones del campo electromagnético,
etc.). En cada uno de estos procesos la materia total (no solo la existente en
forma de partículas) se conserva y se conserva asimismo la energía total. Hay
simplemente una liberación de energía existente en forma potencial, acompañada
del paso de la materia de un estado a otro. No existe la energía sin sustrato
material, por lo que cualquier aumento de energía supone necesariamente un
aumento de la masa. De aquí la proporcionalidad de la relación E=m.c2.”
A.22 Indica algunas de las principales contribuciones de la teoría especial de la
relatividad a la comprensión del comportamiento de la materia.
A.23 Señala algunas de las influencias e implicaciones de la teoría de la
Relatividad en la sociedad.
A.24 Con las orientaciones del profesor realiza un trabajo de revisión bibliográfica
explicando la visita de Einstein a España, resaltando las característica de la
generación de científicos españoles que la hizo posible.
¿Quién fue Blas Cabrera? ¿Qué papel jugo en la difusión en España de la
física moderna? ¿y en la visita de Einstein a España? ¿En que organismos
científicos internacionales trabajaron juntos?
SELECCIÓN BIBLIOGRÁFICA
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http://www.edu.aytolacoruna.es/aula/fisica/applets/Hwang/ntnujava/relativeVelocity/relativeVelocity_s.
http://www edu.aytolacoruna.es/aula/fisica/applets/Hwanl/ntnujavalrelativity/relativity.html
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http://www.fourmilab.ch/gravitation/orbits/
http://www.cnice.mecd.es/recursos/paeprof/fisica relativista pdf (Unidad didáctica de Relatividad para Física Moderna)
http://www.edu.aytolacoruna.es/aula/fisica/appletsíFendt/physesp/physesp.htm
En w w w .low y-robles.com (en sección laboratorio virtual hay una sección de applets de relatividad)
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