Círculo central en posición estándar

ECUACIÓN DE UN CÍRCULO Y APLICACIONES DE LA DIFERENCIACIÓN IMPLÍCITA
Cálculo I
Prof. Evelyn Dávila Adams
La ecuación de un círculo con vértice en
y radio r , es dada por la ecuación general:
Círculo central en posición estándar
r
x
y
Dibujo 1
Un círculo central en posición estándar tiene su centro en el origen del plano cartesiano por lo tanto la
coordenada del vértice es
, y su ecuación dada por
La ecuación del círculo central en posición estándar cuyo radio es uno (1) es
ecuación del círculo unitario.
. Esta es la
Práctica
1. Escribe la ecuación del círculo cuyo vértice es dado por la coordenada ( -2, 3 ) y cuyo radio es
tres.
2. Escribe la ecuación del círculo central en posición estándar y cuyo radio es cinco.
3. Dibuja ambos círculos en el siguiente plano.
y
9
8
7
6
5
4
3
2
1
x
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
Tomando el círculo del dibujo 1, cuya ecuación es
tangente al punto
.
. Halla la ecuación de la línea
Hallar la ecuación de la línea tangente a una curva en un punto dado
1. Halla la ecuación de la línea tangente a la curva
2.
Halla la ecuación de la línea tangente a la curva
a. el punto (-2, -8)
b. el punto ( 1, 1 )
c. el punto ( 0, 0)
√
, en el punto (4, 2 )
, en:
3. Halla la ecuación de la línea tangente a la curva
a. el punto (2, 7)
b. el punto ( -1, 4 )
c. el punto ( 0, 3 )
, en:
4. Halla la ecuación de la línea tangente a la curva
a. el punto
b. el punto (3. 0)
c. el punto (5,2)
, en
5. Halla la ecuación de la línea tangente a la curva
, en el punto (
6. Halla la ecuación de la línea tangente a la curva
, en el punto
a.
(
b. (
)
√ )
√ )
y
6
5
4
3
2
1
x
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-1
-2
-3
-4
-5
y
9
8
7
6
5
4
3
2
1
x
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
y
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
x
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
-1
-2
-3
-4
-5
y
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
x
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
y
9
8
7
6
5
4
3
2
1
x
-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1
-1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
y
f(x)=2*sin(x)
3
f(x)=2cos(x)
2.5
2
1.5
1
0.5
x
-5 /2
-2
-3 /2
-
- /2
/2
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
3 /2
2
5 /2
APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN IMPLÍCITA
Aplicación 1 DERIVACIÓN IMPLÍCITA
Considere una porción de aire elevándose rápidamente en la atmósfera . Como consecuencia se
expamde sin intercambiar calor con el aire que le rodea. La ley de Charles , física, estabvlecen que el
volumen( V) y la temperatura (T) de la porción de aire se relacionan de la siguientemanera
, donde
es aproximadamente 1.4 y C es una constante. La temperatura se mide en
grados Kelvins que es una escala siempre positiva y se conoce como una escala absoluta. Como al
elevarse el aire se expande , el volumen de la Proción de aire aumenta con el tiempo. Esto se expresa
matemáticamente como
donde t indica tiempo.
Determina con esta información cómo cambia la temperatura del aire cuando se eleva con respecto al
tiempo.
Aplicación 2 DERIVACIÓN IMPLÍCITA
Una pelota esférica se llena de aire. Cuando el radio es
, dicho radio se incrementa a una
velocidad de 2 cm/s. ¿Con qué rapidez varía el volumen en ese instante?
Fórmula de volumen de una esfera
Aplicación 3 Crecimiento exponencial
Calcula la velocidad de crecimiento per cápita de una población cuyo tamaño en el instante t,
,
sigue la ecuación de crecimiento exponencial
; siendo N(0) el tamaño de la
población en el instante 0 y r una constante.
Aplicación 4 Desintegración radioactiva
Calcula la derivada de la función de desintegración radioactiva, que modela la cantidad de material
restante tras t unidades de tiempo dada por
, siendo
la cantidad de
material en el instante cero y λ la constante de desintegración radioactiva.
Cómo se relaciona la
derivada con la función de cantidad restante del material.
* Tomado del libro “Matemáticas para Ciencias”, Claudia Neuhauser , Prentice Hall , Segunda edición
2004 - Página 203. 220,221