Lógica informática Curso 2003–04 Tema 5: Otros sistemas proposicionales José A. Alonso Jiménez Andrés Cordón Franco Dpto. de Ciencias de la Computación e Inteligencia Artificial Universidad de Sevilla LI 2003–04 Cc Ia Otros sistemas proposicionales 5.1 Sistemas proposicionales x x Sistemas estudiados: u Tablas de verdad. u Método de Quine. u Formas normales. u Tableros semánticos. u Resolución. Otros sistemas proposicionales: u Sistemas axiomáticos. u Cálculo de secuentes. u Deducción natural (DN). LI 2003–04 Cc Ia Otros sistemas proposicionales 5.2 DN: Reglas de la conjunción x Reglas de la conjunción: u Regla de introducción de la conjunción: F G ∧i F ∧G u Reglas de eliminación de la conjunción: F ∧G ∧e1 F u Ejemplo: p ∧ q, r ` q ∧ r: 1: 2: 3: u p¦q , r q q¦r F ∧G ∧e2 G premises ¦e2 1.1 ¦i 2,1.2 Adecuación de las reglas de la conjunción: * ∧i : {F, G} |= F ∧ G * ∧e1 : F ∧ G |= F * ∧e2 : F ∧ G |= G LI 2003–04 Cc Ia Otros sistemas proposicionales 5.3 DN: Reglas de la doble negación x Reglas de la doble negación u Regla de eliminación de la doble negación: u Regla de introducción de la doble negación: u Ejemplo: p, ¬¬(q ∧ r) ` ¬p ∧ r: 1 2 3 4 5 u : : : : : p , ÂÂ(q¦r) ÂÂp q¦r r ÂÂp¦r ¬¬F ¬¬e F F ¬¬i ¬¬F premises ÂÂi 1.1 ÂÂe 1.2 ¦e2 3 ¦i 2,4 Adecuación de las reglas de la doble negación: * ¬¬e : {¬¬F } |= F * ¬¬i : {F } |= ¬¬F LI 2003–04 Cc Ia Otros sistemas proposicionales 5.4 DN: Regla de eliminación del condicional x Regla de eliminación del condicional: F u Regla de eliminación del condicional: u Ejemplo: ¬p ∧ q, ¬p ∧ q → r ∨ ¬p ` r ∨ ¬p: 1: 2: u premises çe 1.1,1.2 Ejemplo: p, p → q, p → (q → r) ` r: 1 2 3 4 u Âp¦q , Âp¦qçrëÂp rëÂp F →G →e G : : : : p , pçq , pç(qçr) q qçr r premises çe 1.1,1.2 çe 1.1,1.3 çe 2,3 Adecuación de la regla de eliminación del condicional: {F, F → G} |= G LI 2003–04 Cc Ia Otros sistemas proposicionales 5.5 DN: Regla derivada de modus tollens (MT) x Regla derivada de modus tollens (MT) u Regla derivada de modus tollens (MT): u Ejemplo: p → (q → r), p, ¬r ` ¬q: 1: 2: 3: u premises çe 1.2,1.1 MT 1.3,2 Ejemplo: ¬p → q, ¬q ` p: 1: 2: 3: u pç(qçr) , p , Âr qçr Âq F → G ¬G MT ¬F Âpçq , Âq ÂÂp p premises MT 1.2,1.1 ÂÂe 2 Ejemplo: p → ¬q, q ` ¬p: LI 2003–04 Cc Ia Otros sistemas proposicionales 5.6 DN: Regla de introducción del condicional x Regla de introducción del condicional u Regla de introducción del condicional: F ... G →i F →G u Ejemplo: p → q ` ¬q → ¬p: 1: pçq 2: 3: Âq Âp 4: u ÂqçÂp premise assumption MT 2,1 çi 2-3 Adecuación de la regla de introducción del condicional: Si F |= G, entonces |= F → G. LI 2003–04 Cc Ia Otros sistemas proposicionales 5.7 DN: Regla de introducción del condicional u u Ejemplo: ¬q → ¬p ` p → ¬¬q: 1: ÂqçÂp 2: 3: 4: p ÂÂp ÂÂq 5: pçÂÂq premise assumption ÂÂi 2 MT 3,1 çi 2-4 Ejemplo (de teorema): ` p → p: 1: p 2 : pçp LI 2003–04 assumption çi 1-1 Cc Ia Otros sistemas proposicionales 5.8 DN: Regla de introducción del condicional u Ejemplo: ` (q → r) → ((¬q → ¬p) → (p → r)): 1: qçr assumption 2: ÂqçÂp assumption 3 4 5 6 7 p ÂÂp ÂÂq q r assumption ÂÂi 3 MT 4,2 ÂÂe 5 çe 6,1 : : : : : 8: 9: pçr çi 3-7 (ÂqçÂp)ç(pçr) 10 : (qçr)ç((ÂqçÂp)ç(pçr)) LI 2003–04 Cc Ia çi 2-8 çi 1-9 Otros sistemas proposicionales 5.9 DN: Regla de introducción del condicional u Ejemplo: p ∧ q → r ` p → (q → r): 1: 2: p premise assumption 3: 4: 5: q p¦q r 6: qçr 7: LI 2003–04 p¦qçr pç(qçr) assumption ¦i 2,3 çe 4,1 çi 3-5 çi 2-6 Cc Ia Otros sistemas proposicionales 5.10 DN: Regla de introducción del condicional u Ejemplo: p → (q → r) ` (p ∧ q) → r: 1: 2 3 4 5 6 : : : : : 7: LI 2003–04 pç(qçr) p¦q p qçr q r (p¦q)çr premise assumption ¦e1 2 çe 3,1 ¦e2 2 çe 5,4 çi 2-6 Cc Ia Otros sistemas proposicionales 5.11 DN: Regla de introducción del condicional u Ejemplo: p → q ` p ∧ r → q ∧ r: 1: pçq : : : : : p¦r p r q q¦r 2 3 4 5 6 7: LI 2003–04 p¦rçq¦r premise assumption ¦e1 2 ¦e2 2 çe 3,1 ¦i 5,4 çi 2-6 Cc Ia Otros sistemas proposicionales 5.12 DN: Reglas de la disyunción x Reglas de la disyunción: u u Reglas de introducción de la disyunción: F ∨i F ∨G 1 Regla de eliminación de la disyunción: F ∨G F ... H H u G ∨i F ∨G 2 G ... H ∨e Ejemplo: p ∨ q ` q ∨ p: 1: premise 2: 3: p qëp assumption ëi2 2 4: 5: q qëp assumption ëi1 4 6: LI 2003–04 pëq qëp ëe 1,2-3,4-5 Cc Ia Otros sistemas proposicionales 5.13 DN: Reglas de la disyunción u Ejemplo: q → r ` p ∨ q → p ∨ r: 1: qçr 2: pëq assumption 3: 4: p për assumption ëi1 3 5: 6: 7: q r për assumption çe 5,1 ëi2 6 8: 9: LI 2003–04 premise për pëqçpër ëe 2,3-4,5-7 çi 2-8 Cc Ia Otros sistemas proposicionales 5.14 DN: Reglas de la disyunción u Ejemplo: (p ∨ q) ∨ r ` p ∨ (q ∨ r): 1: 2: pëq premise assumption 3: 4: p pë(qër) assumption ëi1 3 5: 6: 7: q qër pë(qër) assumption ëi1 5 ëi2 6 8: pë(qër) ëe 2,3-4,5-7 9: 10 : 11 : r qër pë(qër) assumption ëi2 9 ëi2 10 12 : LI 2003–04 (pëq)ër pë(qër) ëe 1,2-8,9-11 Cc Ia Otros sistemas proposicionales 5.15 DN: Reglas de la disyunción u Ejemplo (distributiva): p ∧ (q ∨ r) ` (p ∧ q) ∨ (p ∧ r): 1: 2: 3: premise ¦e1 1 ¦e2 1 4: 5: 6: q p¦q (p¦q)ë(p¦r) assumption ¦i 2,4 ëi1 5 7: 8: 9: r p¦r (p¦q)ë(p¦r) assumption ¦i 2,7 ëi2 8 10 : LI 2003–04 p¦(qër) p qër (p¦q)ë(p¦r) ëe 3,4-6,7-9 Cc Ia Otros sistemas proposicionales 5.16 DN: Regla de copia u Ejemplo (usando la regla hyp): ` p → (q → p): 1: LI 2003–04 p assumption 2: 3: q p 4: qçp çi 2-3 5 : pç(qçp) çi 1-4 assumption hyp 1 Cc Ia Otros sistemas proposicionales 5.17 DN: Reglas de la negación x x Extensiones de la lógica para usar falso: u Extensión de la sintaxis: ⊥ es una fórmula proposicional. u Extensión de la semántica: v(⊥) = 0 en cualquier valoración. Reglas de la negación: ⊥ ⊥e F u Regla de eliminación de lo falso: u Regla de eliminación de la negación: u Adecuación de las reglas de la negación: F ¬F ¬e ⊥ * ⊥ |= F * {F, ¬F } |= ⊥ LI 2003–04 Cc Ia Otros sistemas proposicionales 5.18 DN: Reglas de la negación u Ejemplo ¬p ∨ q ` p → q: 1: Âpëq 2: Âp assumption 3: 4: 5: p Ù q assumption Âe 2,3 Ùe 4 6: pçq çi 3-5 7: q assumption 8: 9: p q 10 : pçq 11 : LI 2003–04 pçq premise assumption hyp 7 çi 8-9 ëe 1,2-6,7-10 Cc Ia Otros sistemas proposicionales 5.19 DN: Reglas de la negación u Regla de introducción de la negación: F ... ⊥ ¬i ¬F u Adecuación: Si F |= ⊥, entonces |= ¬F . u Ejemplo: p → q, p → ¬q ` ¬p: 1: 2 3 4 5 : : : : 6: LI 2003–04 pçq , pçÂq p q Âq Ù Âp premises assumption çe 2,1.1 çe 2,1.2 Âe 4,3 Âi 2-5 Cc Ia Otros sistemas proposicionales 5.20 DN: Reglas de la negación u Ejemplo: p → ¬p ` ¬p: 1: pçÂp 2: 3: 4: p Âp Ù 5: LI 2003–04 Âp premise assumption çe 2,1 Âe 3,2 Âi 2-4 Cc Ia Otros sistemas proposicionales 5.21 DN: Reglas de la negación u Ejemplo p ∧ ¬q → r, ¬r, p ` q: 1: 2 3 4 5 : : : : 6: 7: u p¦Âqçr , Âr , p premises Âq p¦Âq r Ù assumption ¦i 1.3,2 çe 3,1.1 Âe 1.2,4 ÂÂq q Âi 2-5 ÂÂe 6 Ejemplo: p → (q → r), p, ¬r ` ¬q: 1: 2: 3: LI 2003–04 pç(qçr) , p , Âr qçr Âq premises çe 1.2,1.1 MT 1.3,2 Cc Ia Otros sistemas proposicionales 5.22 DN: Reglas del bicondicional u Regla de introducción del bicondicional: u Ejemplo: p ∧ q ↔ q ∧ p: 1 2 3 4 : : : : p¦q p q q¦p 5 : p¦qçq¦p 6 7 8 9 : : : : q¦p q p p¦q 10 : q¦pçp¦q 11 : p¦qêq¦p LI 2003–04 F →G G→F ↔i F ↔G assumption ¦e1 1 ¦e2 1 ¦i 3,2 çi 1-4 assumption ¦e1 6 ¦e2 6 ¦i 8,7 çi 6-9 êi 5,10 Cc Ia Otros sistemas proposicionales 5.23 DN: Reglas del bicondicional u Reglas de eliminación del bicondicional: u Ejemplo: p ↔ q, p ∨ q ` p ∧ q: 1: : : : : p pçq q p¦q assumption êe1 1.1 çe 2,3 ¦i 2,4 6 7 8 9 : : : : q qçp p p¦q assumption êe2 1.1 çe 6,7 ¦i 8,6 p¦q F ↔G ↔ e2 G→F premises 2 3 4 5 10 : LI 2003–04 pêq , pëq F ↔G ↔ e1 F →G ëe 1.2,2-5,6-9 Cc Ia Otros sistemas proposicionales 5.24 DN: Reglas derivadas: modus tollens u Regla derivada de modus tollens (MT): 1: LI 2003–04 FçG , ÂG 2: 3: 4: F G Ù 5: ÂF F → G ¬G MT ¬F premises assumption çe 2,1.1 Âe 1.2,3 Âi 2-4 Cc Ia Otros sistemas proposicionales 5.25 DN: Reglas derivadas: introducción de doble negación u Regla de introducción de la doble negación: 1: LI 2003–04 F F ¬¬i ¬¬F premise 2: 3: ÂF Ù 4: ÂÂF assumption Âe 2,1 Âi 2-3 Cc Ia Otros sistemas proposicionales 5.26 DN: Reglas derivadas: reducción al absurdo (RAA) u Regla de reducción al absurdo: 1: LI 2003–04 ÂFçÙ 2: 3: ÂF Ù 4: 5: ÂÂF F ¬F ... ⊥ F RAA premise assumption çe 2,1 Âi 2-3 ÂÂe 4 Cc Ia Otros sistemas proposicionales 5.27 DN: Reglas derivadas: ley del tercio excluido (LEM) u Ley del tercio excluido (LEM): 1: Â(FëÂF) assumption 2: 3: 4: F FëÂF Ù assumption ëi1 2 Âe 1,3 ÂF FëÂF Ù Âi 2-4 ëi2 5 Âe 1,6 8 : ÂÂ(FëÂF) 9 : FëÂF Âi 1-7 ÂÂe 8 5: 6: 7: LI 2003–04 Cc Ia F ∨ ¬F LEM Otros sistemas proposicionales 5.28 DN: Reglas derivadas: ley del tercio excluido (LEM) u Ejemplo: p → q ` ¬p ∨ q: 1: 2: premise LEM 3: 4: 5: p q Âpëq assumption çe 3,1 ëi2 4 6: 7: Âp Âpëq assumption ëi1 6 8: LI 2003–04 pçq pëÂp Âpëq ëe 2,3-5,6-7 Cc Ia Otros sistemas proposicionales 5.29 DN: Reglas de deducción natural x Reglas de deducción natural: Introducción ∧ ∨ → LI 2003–04 F G ∧i F ∧G F F ∨ G ∨i1 G ∨i F ∨G 2 F .. G F → G →i Cc Ia Eliminación F ∧ G ∧e 1 F F ∨G F F .. H H F ∧ G ∧e 2 G G .. H ∨e F → G →e G Otros sistemas proposicionales 5.30 DN: Reglas de deducción natural x Reglas de deducción natural: Introducción ¬ F .. ⊥ ¬F ¬i F ¬F ¬e ⊥ ⊥ ⊥ ⊥e F ¬¬ ¬¬F ¬¬e F ↔ x Eliminación F → G G → F ↔i F ↔G F ↔G↔e 1 F →G F ↔G↔e 2 G→F Adecuación y completitud del cálculo de deducción natural. LI 2003–04 Cc Ia Otros sistemas proposicionales 5.31 Bibliografı́a x C. Badesa, I. Jané y R. Jansana Elementos de lógica formal. (Ariel, 2000) Cap. 16: Cálculo deductivo. x R. Bornat Using ItL Jape with X (Department of Computer Science, QMW, 1998) x J.A. Dı́ez Iniciación a la Lógica, (Ariel, 2002) Cap. 4: Cálculo deductivo. Deducibilidad. x M. Huth y M. Ryan Logic in computer science: modelling and reasoning about systems. (Cambridge University Press, 2000) Cap. 1: Propositional logic. x Fitting, M. First-Order Logic and Automated Theorem Proving (2nd ed.) (Springer, 1995) Cap. 4.2: Natural deduction. x E. Paniagua, J.L. Sánchez y F. Martı́n Lógica computacional (Thomson, 2003) Cap. 3.6: El método de la Deducción Natural LI 2003–04 Cc Ia Otros sistemas proposicionales 5.32