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FÍSICA. PRUEBA ACCESO A LA UNIVERSIDAD +25
TEMA 2. Cinemática.
Cinemática: Estudio de los movimientos
En la sociedad actual nos habituamos desde pequeños a los medios de locomoción que permiten rápidos
desplazamientos. Términos como velocidad y aceleración son de uso habitual y todos creemos saber su
significado. Estas circunstancias pueden hacernos pensar que «el movimiento» esconde pocos secretos para
nosotros, e incluso nos cuesta trabajo creer que pensadores tan importantes como Galileo o Newton tuviesen
dificultades para llegar a establecer las leyes del movimiento. Sin embargo, no resulta tan evidente todo lo que
está relacionado con el movimiento, y para darnos cuenta basta con plantearnos algunas preguntas: ¿es cierto
que, aunque estemos sentados leyendo, en realidad recorremos 30 km cada segundo? ¿Es posible que un cuerpo
con una aceleración alta vaya despacio mientras que otro cuerpo que vaya muy rápido no tenga aceleración?
¿Qué condiciones deberían cumplirse para que una persona, empujando a un tren, pudiese ponerlo en
movimiento? ¿Por qué no cae la Luna sobre la Tierra a pesar de la atracción que existe entre estos dos astros?
Aunque las preguntas anteriores tienen respuestas en el marco de la ciencia clásica, son representativas de
algunas de las complicaciones que pueden surgir al estudiar los fenómenos relacionados con el movimiento. Pero
incluso hay otras preguntas que en estos momentos se plantean los científicos directamente relacionadas con el
movimiento y que dan lugar a investigaciones: ¿a qué velocidad se están alejando las estrellas?, ¿cómo afecta a
algunas reacciones químicas de interés industrial el que se lleven acabo en situaciones en las que la gravedad es
muy pequeña? Preguntas como éstas, junto con muchas otras, están en el centro de la actividad de muchos
programas de investigación, por no hablar de los problemas tecnológicos que plantea la disminución del
rozamiento con el aire en los vehículos que alcanzan grandes velocidades, o las mejores características para los
neumáticos.
Magnitudes necesarias para describir el movimiento
Describir un movimiento significa decir en todo instante dónde está el móvil, qué hace el móvil y cómo lo
hace el movimiento el móvil. En primer lugar, el móvil es el objeto cuyo movimiento queremos estudiar que para
simplificar supondremos que es un punto que solo se traslada (no rota). Para localizar el móvil tomaremos un
sistema de referencia que puede ser un punto si el móvil se mueve en una línea, un eje de coordenadas
cartesianas si el móvil se mueve en un plano o un sistema de coordenadas rectangulares si el móvil se mueve en
el espacio de tres dimensiones.
Z
z
Y
( x, y )
y
( x, y , z )
y
X
x
Y
x
X
Dado que el sistema de referencia puede estar en reposo o en movimiento, resulta que un móvil puede estar en
reposo o en movimiento según el sistema de referencia que tomemos. Así por ejemplo, si subes por unas
escaleras mecánicas estarás en reposo respecto del escalón en el que te encuentras pero estarás en movimiento
respecto de cualquier punto de referencia fuera de la escalera mecánica. De aquí el carácter relativo de los
movimientos. Ya estamos en condiciones de localizar al móvil, para ello utilizaremos un vector que está aplicado
en el origen del sistema de referencia y cuyo extremo se encuentra en el móvil.
Z
z

r

r
Y
y
( x, y )
( x, y, z )

r
x

r
X
y
Y
x
X
1

El vector r que apunta a la posición del móvil se le llama vector posición. Solo me queda recordar que los
vectores tienen módulo (valor, cantidad), dirección y sentido; y que en el tema anterior hemos deducido su
ecuación:




r  x  i  y  j  z  k (también llamada ecuación del movimiento)
Un móvil realiza un movimiento si al pasar el tiempo cambia de posición. Las sucesivas posiciones por las que
pasa el móvil determinan una línea que se denomina trayectoria que puede ser una recta o curva por lo que
podemos clasificar los movimientos, según su trayectoria, en rectilíneos y curvilíneos.
Supongamos que nuestro móvil se mueve sobre una trayectoria cualquiera y que se encuentra inicialmente (to=0

s) en la posición señalada por el vector r0 y que un tiempo después t se

r0

encuentra en la posición r como describe el gráfico. Diremos pués, que el
móvil se ha desplazado el vector desplazamiento  r  r  r0 .

r
Es el momento de que nos fijemos en que en el lenguaje habitual las palabras
desplazamiento, distancia, espacio tienen significados semejantes pero en
física no es así. Cuando en física utilizamos la palabra desplazamiento nos
referimos al vector desplazamiento; y cuando utilizamos distancia o espacio
nos referimos a la longitud sobre la trayectoria. Como podemos observar en
este caso, el módulo del vector desplazamiento no coincide con la distancia
recorrida.

r
A.1 ¿En que caso coincidirán el módulo del vector desplazamiento y la distancia recorrida?
A.2 Un gachó saca el coche de su cochera y se va a Motril a comer “pescaito”, regresa y deja el coche en la
cochera.
a) ¿Cuál es el desplazamiento total?
b) ¿Es el mismo el desplazamiento Granada-Motril que Motril-Granada?
c) ¿Qué distancia total ha recorrido? (Utiliza Google Earth)
A.3 El camión de bomberos de un tiovivo se encuentra a 3 m del eje. Si el paseo son 10 vueltas completas.
a) ¿Cuál ha sido el desplazamiento?
b) ¿Qué distancia ha recorrido el camión de bomberos? (Sol: 1,9x102 m)
Volvemos a nuestro móvil. Ahora queremos saber si el cambio de posición ha sido rápido o lento, que como
sabemos son conceptos relacionados con el tiempo; para ello comparamos el desplazamiento con el tiempo que


r
ha tardado: vm 
; a esta razón se le denomina velocidad media que como puedes apreciar es una magnitud
t
vectorial que tiene la misma dirección y sentido que el vector desplazamiento. Se denomina velocidad media
porque corresponde a un intervalo de tiempo en el que el vector desplazamiento ha ido cambiando. Como el
módulo del vector desplazamiento es una longitud y el intervalo de tiempo es un tiempo, la unidad de la velocidad
en el Sistema Internacional será m/s, aunque habitualmente utilizamos km/h.
En nuestro lenguaje habitual solemos referirnos a la velocidad como una magnitud escalar, sin tener en cuenta la
dirección y el sentido, lo cual es incorrecto.
A.4 ¿Qué significa para ti que un ciclista lleva una velocidad de 40 km/h?
A.5 Un móvil A se mueve a 1 m/s y otro móvil B a 1 km/h ¿son igual de rápidos? ¿cuál es más rápido? ¿cuánto
más rápido?
Cuando el vector posición cambia con el tiempo, t aparece dentro de su ecuación. Para calcular el vector posición
en un instante (una posición en el tiempo) nos bastará con sustituir t por el valor de ese instante (2 s, 3,45 s, etc.)

3



A.6 La ecuación de un movimiento es r  5t i  2 j  3tk en SI








a) Calcula el vector posición para t=2 s y para t=5 s. (Sol: r2  40i  2 j  6k m; r5  625i  2 j  15k m)





b) Calcula el vector desplazamiento entre esos dos instantes. (Sol: r  r5  r2  585i  9k m)



c) Calcula la velocidad media entre esos dos instantes. (Sol: v m  195i  3k m/s)
Pero supongamos que queremos saber cual es la velocidad de nuestro móvil en un instante determinado
(no en un intervalo como calcula la velocidad media). La idea consiste en calcular, repetidas veces, la velocidad
media en intervalos cada vez más cerrados entorno al valor de t en el que deseamos saber la velocidad
2
instantánea. Estos cálculos constituyen una sucesión de valores que se aproximan al valor de la velocidad media
en un intervalo tan cerrado sobre el valor buscado que podemos considerar que es el valor de la velocidad en un

3

instante t. Veamos un ejemplo sencillo. Supongamos que la ecuación de movimiento de un móvil es r  2t i y
queremos saber cuál es la velocidad del móvil en t=3 s.



to
t
r
r
r
0
2
4

16 i
2,1
3,9
18,5 i
2,2
3,8
2,3
3,7
2,4
3,6
2,5
3,5
2,6
3,4
2,7
3,3
2,8
3,2
2,9
3,1
2,91
3,09


21,3 i

24,3 i

27,6 i

31,3 i

35,2 i

39,4 i

43,9 i

48,8 i

49,3 i

128 i
118,6 i
 t
56 i

55,6 i

55,3 i

55 i

54,7 i

54,4 i

54,3 i

54,2 i

54 i

54 i

54 i


109,7 i

101,3 i

93,3 i

85,7 i

78,6 i

71,9 i

65,5 i

59,6 i

59 i
Los matemáticos han buscado un procedimiento para hacer esto de una manera menos tediosa, lo llaman
derivadas y lo expresan:


 r dr 
Lím

v
t 0 t
dt




dr
3
Dada una función del tiempo cualquiera r  2t i su derivada respecto del tiempo se expresa
 6t 2 i Observa
dt
que para este caso, hemos multiplicado el coeficiente 2 por el exponente de la variable t y hemos disminuido el
exponente de t en 1. Para t=3 s,




dr
 6t 2i  6(3)2 i  54i que como puedes observa es el mismo valor que ha
dt
resultado en la tabla. Por tanto, la velocidad instantánea se calcula a partir de la ecuación del movimiento
derivando respecto del tiempo:

 dr
v
dt 

2
Como podemos ver, para el caso anterior, la velocidad v  6t i depende del tiempo, esto quiere decir que varía
con el tiempo por lo que puede ser rápida o lenta (¡esto te suena!). Para saber que tan rápido o lento cambia la
velocidad con el tiempo haremos una comparación:


v
2
am 
(que se mide en m/s )
t
¡Exacto! Es la aceleración media. Como puedes ver es una magnitud vectorial (tiene módulo, dirección y sentido)
como la velocidad y que en el lenguaje habitual también tratamos como una magnitud escalar.
A.7 ¿Qué significa para ti que un coche sufre una aceleración de 3 m/s2?
Esto también te suena. Se trata de saber la aceleración del móvil en un instante determinado (no en un intervalo
como calcula la aceleración media). La idea es similar a la que hemos visto para la velocidad instantánea.


 dv
Para el caso anterior: a 
 12ti
dt



 v dv
a  Lím

t 0 t
dt

2


2
A.8 Dado el vector posición de un móvil r  ( 4t  1)i  ( t  2) j (en m)




 


a) Calcula los vectores v y a para t=2 s. (Sol: v2  16i  4 j ; a2  8i  2 j )
x 1
2)
4



¡Bien!, ya sabemos como describir un movimiento: dónde r , qué v y cómo a . Pero a veces se nos olvida que
b) Determina la ecuación de la trayectoria del móvil. (Sol: y 
3
son vectores que además de módulo tienen dirección y sentido. ¿Cuál es la dirección y sentido de la velocidad y la
aceleración? Fácil, vienen dadas por sus ecuaciones vectoriales, pero observa:
De manera intuitiva, si tomamos intervalos cada vez
instante, los vectores desplazamiento se aproximan
manera que en un instante es tangente a ella. No
velocidad instantánea es muy pequeña ya que si bien
más cerrados sobre un
a la trayectoria de tal
debes interpreta que la

 r se hace pequeño, al
igual
ser
(
que
 t , pero su cociente

r
t
puede

v
un valor grande
0,0002
 20 ). En definitiva, el vector velocidad instantánea v tendrá
0,000001
dirección tangente a la trayectoria.
Veamos cuál será la dirección y sentido del vector aceleración. Tengamos un móvil que describe una trayectoria


v

cualquiera y consideremos su velocidad en dos instantes. Teniendo en cuenta que am 
y como v es
t

secante a la trayectoria resultará que a m también es secante a la trayectoria.
y

v0
y
  
v  v  v0

v

v

am

 v0
x

at

an
x
Es costumbre descomponer el vector aceleración en dos vectores llamados componentes intrínsecas de la

aceleración: Una tangente a la trayectoria at llamada aceleración tangencial (que mide la variación del módulo

de la velocidad) y otra perpendicular a la trayectoria an llamada aceleración normal (que mide la variación de la
dirección del vector velocidad).
Se puede demostrar que el valor de los módulos (observa que no tienen flecha) de ambas componentes
intrínsecas de la aceleración son:
v
at 
t
y
v2
an 
R
siendo R el radio de la curva. De todo ello podemos sacar las siguientes conclusiones:

Si la trayectoria es recta y la rapidez ( v , módulo de la velocidad) no varía, las dos componentes de la
aceleración serán nulas. Piensa que una recta se puede considerar como una curva de radio infinito:
v2
v
an 
 0 y at 
0

t

Si la trayectoria es recta y la rapidez varía, la componente normal será nula (igual que en el caso anterior)
pero la aceleración tangencial no será nula at 
a  at

v
 0 . En los movimientos rectilíneos, la aceleración
t
Si la trayectoria es curva y la rapidez no varía, entonces at 
v
v2
 0 pero an 
 0 . Este es el caso
t
R
de los MCU, que veremos más adelante.

Si la trayectoria es curva y la rapidez varía, entonces at 
v
v2
 0 y an 
 0 . Este es el caso de los
t
R
movimientos circulares variados, que veremos más adelante.
4
A.9 De las siguientes frases, que se refieren al movimiento circular uniforme, discute si son verdaderas o falsas:
a) En este tipo de movimiento no existe aceleración normal, pero sí aceleración tangencial.
b) En este tipo de movimiento no existe aceleración tangencial pero sí aceleración normal.
c) En este tipo de movimiento varía la velocidad tanto en módulo como en dirección.
d) En este tipo de movimiento sólo varía la dirección de la velocidad y no varía su módulo.
e) En este tipo de movimiento el módulo de la velocidad lineal se mantiene constante.
Clasificación de los movimientos
Según la trayectoria: Rectilíneos y curvilíneos.
Según la velocidad: Uniformes (si no varia la velocidad) y Variados (si varía la velocidad)
Combinando estos criterios, vamos a estudiar:
 Movimiento rectilíneo uniforme (MRU)
 Movimiento rectilíneo uniformemente variado o acelerado (MRUV). Caída de graves.
 Movimiento circular uniforme (MCU)
 Movimiento circular uniformemente variado (MCUV)
 Movimiento armónico simple (MAS)
El tratamiento vectorial de los movimientos es un procedimiento general que se puede simplificar para aquellos
casos en los que la dirección y sentido de la velocidad no cambie (movimientos rectilíneos) o bien cuando el
sistema de referencia se encuentre sobre la trayectoria conocida. En estos casos determinaremos los módulos de
las magnitudes vectoriales.
 3  2 1 0 1  2  3
Las posiciones las entenderemos como la distancia al punto de
referencia sobre la trayectoria y las significaremos de manera
general como s (o x si estamos sobre el eje X; o y si estamos sobre
el eje Y; o como e)
3 2
1
3

2
0 1
Movimiento rectilíneo uniforme (MRU)
El móvil describe una trayectoria rectilínea con velocidad constante (en módulo, dirección y sentido) por lo que no
tiene aceleración (ni tangencial ni normal). De otra manera podemos decir que el móvil recorre distancias iguales
en tiempos iguales, es decir se mueve con rapidez (nombre que le damos al módulo de la velocidad v ) constante.
La descripción de estos movimientos se puede realizar de tres maneras:
Tabla de datos (posición-tiempo)
t(s)
0
2
4
6
8
10
s(m)
0
3
6
9
12
15
Los siguientes datos corresponden a un movimiento uniforme. Como podemos observar, cada 2
s recorre la distancia de 3 m. La rapidez media de todo el recorrido
será: vm 
s s  s0 15  0


 1,5 m/s. Esta rapidez será la misma en cualquier intervalo de
t t  t0 10  0
tiempo que tomemos, ¡compruébalo!
Gráfica posición-tiempo
A.10 ¿Qué forma tendrá la gráfica que representa la variación de la
rapidez con el tiempo v-t en los movimientos rectilíneos uniformes?
s(m)
Representamos las posiciones (s) en el eje de ordenadas y el tiempo (t) en el eje de abscisas. Para el caso
MRU
anterior obtenemos la gráfica de la derecha. En este punto hay que
aclarar que la línea de la gráfica no es la trayectoria o camino recorrido
15
por el móvil sino que establece la relación entre el tiempo y la posición.
12
Nos dice la posición en cada instante pero no informa nada de la
trayectoria.
9
6
3
0
Ecuación del movimiento
0
2
4
6
8
10
t(s)
Se trata de una ecuación matemática que relaciona la posición con el tiempo. La podemos deducir de la
representación gráfica y para este caso se trata de una recta cuya ecuación general es y=k+px donde k es la
ordenada en el origen y p la pendiente que se deduce p 
y
. Para este caso particular la ecuación será:
x
5
s=0+1,5t. En general para cualquier MRU la ecuación será: s  s0  v  t donde s0 es la posición inicial (para t=0)
y v es la rapidez.
A.11 La tabla te muestra los datos de un movimiento:
t(s)
0
2
4
6
8
10
12
s(m)
14
0
-14
-28
56
42
28
a) ¿Es un movimiento uniforme o variado? Explícate.
b) ¿En qué instante pasa el móvil por el punto de referencia? Explícate.
c) ¿Qué distancia recorre durante los 6 últimos segundos? Explícate.
d) Deduce la ecuación de ese movimiento.
e) Construye el gráfico posición-tiempo s-t.
S(m)
28
24
20
16
12
A.12 Describe detalladamente el movimiento representado en la gráfica.
8
4
A.13) Una pista de atletismo tiene 400 m (100 m cada recta y otros 100 cada
curva)
a) Tomando como punto de referencia la meta, determina la posición de salida de una
carrera de 3000 m para que ésta finalice exactamente en la meta. Ayúdate del dibujo
y explícate.
b) El ganador de dicha carrera ha invertido 9 minutos y 20 segundos ¿Cuál ha sido su
rapidez media? Explica lo que significa el resultado. (Sol: 5,4 m/s)
2
4
6
8
10
12
14
16
18
T(s)
20
A.14) Un ciclista de contrarreloj marcha a 54 km/h y se encuentra a 600 m de la
entrada de un túnel.
a) Toma un punto de referencia y escribe una ecuación para su movimiento.
b) ¿Qué tiempo le falta para entrar en el túnel? (Sol: 40 s)
c) ¿Qué longitud tiene el túnel si tarda 24 s en atravesarlo? (Sol: 360 m)
Movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV)
En este caso el móvil no recorre distancias iguales en tiempos iguales, pues su rapidez varía de manera
uniforme; es decir, aumenta o disminuye en igual cantidad cada unidad de tiempo. Al variar la rapidez de manera
constante, la aceleración es constante y como la trayectoria es rectilínea sólo puede variar en módulo por lo que
sólo tiene aceleración tangencial cuyo valor será: a 
v
que también podemos expresar: v  v0  a  t
t
Tabla de datos rapidez-tiempo
Tiempo(s)
0
2
4
6
8
10
12
Rapidez(m/s)
5
8
11
14
17
20
23
Como podemos observar, la tabla muestra la variación de la rapidez v con el tiempo. Cada dos unidades de
tiempo la rapidez se incrementa en tres unidades por lo que la
24
MRUV
23  5
aceleración media será a 
 1,5 m/s2, que es válida para
20
12  0
La representación gráfica de la rapidez frente al tiempo será una
línea recta pues la ecuación v  v0  a  t se corresponde a la de
una línea recta.
v(m/s)
16
cualquier intervalo de tiempo que tomemos (¡compruébalo!).
12
8
4
0
0
Ecuación del MRUV
2
4
6
8
10
12
t(s)
Observa en la tabla:
5  23 8  20 11  17 14  14



 14
2
2
2
2
Para este tipo de movimiento se puede establecer que v m 
v0  v
s  s0
o como antes se definió v m 
luego
2
t
6
v 0  v s  s0

y teniendo en cuenta que para este tipo de movimiento se verifica que v  v0  a  t . Realizando
2
t
sustituciones y simplificaciones obtenemos la ecuación general del MRUV:
a t2
s  s0  v0  t 
2
s(m)
Como puedes observar se trata de una ecuación de segundo grado cuya
representación gráfica será una rama de parábola.
A.15) La tabla te muestra los datos de un movimiento:
t(s)
v(m/s)
0
3
2
5
4
7
6
9
8
11
10
13
12
15
a) ¿Es un movimiento uniforme o variado? Explícate.
b) Deduce las ecuaciones de ese movimiento.
c) ¿Qué distancia recorre durante los 6 últimos segundos? (Sol:72 m)
d) Haz la representación gráfica posición-tiempo.
T(s)
A.16) Las gráficas corresponden a dos movimientos.
a) Describe lo más detallado que puedas el movimiento de la
gráfica A.
b) Describe lo más detallado que puedas el movimiento de la
gráfica B.
A.17) Un avión comienza a rodar sobre la pista y a los 20 s
despega con rapidez de 360 km/h.
a) Calcula la aceleración sufrida por el avión. (Sol: 5 m/s2)
b) La distancia recorrida por el avión sobre la pista. (s-s0= 1000 m)
A.18 Un conductor circula a 60 km/h cuando ve un semáforo en rojo a 20 m.
a) ¿Qué aceleración de frenada constante debe aplicar para detenerse exactamente en el semáforo? (Sol: -7,2
m/s2)
b) ¿Qué tiempo tarda en detenerse el vehículo? (Sol: 2,4 s)
A.19) Las ecuaciones de los movimientos de dos móviles A y B son: xA = 8 - 2t y xB = -2 + 3t en el SI.
a) ¿Se mueven ambos móviles en el mismo sentido o en sentido contrario? ¿cuál se mueve más rápido?
Explícate.
b) ¿En qué instante y posición coincidirán ambos móviles? Explícate. (Sol: 2
s; 4 m)
A.20) La gráfica representa la posición frente al tiempo para un movimiento.
Describe el movimiento (tipo) calculando v, a y la distancia recorrida así
como la rapidez media total.
A.21) Un automóvil parado se pone en marcha con aceleración constante
de 2 m/s2 cuando es adelantado por una moto que circula a 60 km/h.
a) Calcula donde y cuando alcanzará el automóvil a la moto. (Sol: s=289 m;
t=17 s)
b) ¿Cuál será la rapidez del automóvil en el momento del adelantamiento? (Sol: 122 km/h)
Caída de graves (caída libre)
sube
Comenzaremos por establecer un sistema de referencia:
h0
baja
Un caso particular de MRUV es la caída de graves o caída libre. Si en las proximidades de la superficie de
la Tierra dejamos libre un cuerpo, éste se moverá en un movimiento rectilíneo con
h0
v0
rapidez creciente. Este tipo de movimiento es independiente de la masa del
v0
v  0
cuerpo, de su tamaño y forma sólo en el caso de que no haya aire o de que la
v  0
a0
velocidad que alcance sea pequeña de tal manera que el rozamiento con el aire
a0
sea despreciable. Con estas condiciones (ideales) podemos hablar de caída libre. h  0
Si lanzamos verticalmente y hacia arriba un cuerpo también realizará un MRUV
h
v
semejante al de caída libre y que no le llamaremos de manera diferente.
t
a
v
t
Para la caída libre, la aceleración es un valor fijo que depende del astro. Para la Tierra es costumbre denominarlo
7
aceleración de la gravedad o intensidad del campo gravitatorio, se denomina g y toma el valor -9,8 m/s2. Al
tratarse de un MRUV las ecuaciones serán:
v  v0  g  t
h  h0  v0  t 
g t 2
2
Como puedes observar ahora la posición la significamos con h (te recuerdo que altura no lleva h)
A.22) Se lanza verticalmente y hacia arriba un cuerpo con rapidez inicial de 80 m/s.
a) A los 5 s ¿está subiendo o bajando? (Sol: Sube)
b) ¿Hasta qué altura sube? (Sol: 327 m)
c) ¿Cuál será la rapidez al llegar al suelo? (Sol: -80 m/s)
A.23) Desde cierta altura cae un cuerpo que llega al suelo a 40 m/s
a) ¿Qué tiempo ha tardado en llegar al suelo? (Sol: 4,1 s)
b) ¿Desde qué altura ha caído? (Sol: 82 m)
A.24) Desde 40 m de altura se deja caer un cuerpo y simultáneamente se lanza desde el suelo y hacia arriba otro
cuerpo con rapidez de 20 m/s.
a) ¿En qué posición (altura) se encuentran? (Sol: h=20 m)
b) ¿A qué altura se encuentra el segundo cuerpo cuando el primero llega al suelo, y qué hace? (Sol: 17 m;
bajando a -8 m/s)
Movimientos circulares
Son aquellos en los que el móvil realiza una circunferencia como trayectoria. Al igual que en los
movimientos lineales (trayectorias abiertas) habrá que fijar un sistema de referencia que por comodidad
tomaremos sobre la trayectoria (punto O). Un móvil que inicialmente está en la posición s0 pasa a la posición s
en un intervalo de tiempo t . Sin embargo, podemos plantear la posición como el ángulo1 que forma el radio de la
posición con el eje +X. Ambos enfoques están relacionados pues se
cumple que:
s
s  s0     0   R o también s    R
siendo:  el ángulo barrido; s , el arco recorrido o la distancia y R el
radio de la trayectoria.
Diremos que el móvil se ha movido si cambia el ángulo posición con el
tiempo. Este cambio puede ser más o menos rápido y lo podemos
cuantificar comparándolo con el tiempo:
m 
 s0
0
o

siendo este valor la
t
rapidez angular media, cuya unidad es 1/s pues el ángulo es adimensional
por ser la relación entre dos longitudes (aunque el SI de medidas admite
que se le denomine rad, por lo que sería rad/s). También es frecuente
expresar la rapidez angular en Nrpm (revoluciones por minuto) o Nrps
(revoluciones por segundo) cuyo equivalente será:

N rpm  2  
60
o

N rps  2  
1
Durante el intervalo de tiempo que consideramos el movimiento puede ocurrir que el móvil lleve siempre la misma
rapidez angular o que ésta sea variable en cuyo caso podríamos plantearnos varias cuestiones:


¿Cuál es la rapidez angular en un instante cualquiera (por ejemplo a t=3 s)? Para contestar a esta
pregunta podemos pensar de la siguiente manera: calculamos la rapidez angular media entre 2 y 4 s,
después entre 2,1 y 3,9 s, después entre 2,2 y 3,8 s, después entre 2,3 y 3,7, y así sucesivamente hasta
que el intervalo de tiempo sea muy próximo a 3 s (2,99999 y 3,00001 s) de tal manera que en ese
intervalo podamos considerar que no hay cambio de rapidez angular. Este razonamiento lo hemos
utilizado antes para introducir el concepto de valor instantáneo de velocidad y aceleración)
Por otra parte ¿qué tan rápido es el cambio de rapidez angular? ¿cómo podemos cuantificar este cambio?
La respuesta es inmediata (ver como se ha procedido antes con el cambio del ángulo posición).
1
Es el momento de recordar que los ángulos se pueden medir en grados sexagesimales o en radianes; en el
primer caso la circunferencia completa tiene 360º o 2π radianes en el segundo.
8
Surge una nueva magnitud que se denomina aceleración angular
m 

2
2
que se mide en 1/s o rad/s en el
t
SI. De igual manera a como sucedía con la rapidez angular, durante el intervalo de tiempo que consideramos el
movimiento puede ocurrir que el móvil lleve siempre la misma aceleración o que esta sea variable; en este caso
tenemos que hablar de aceleración media.
Finalmente debemos considerar en los movimientos circulares:

Teniendo en cuenta que s    R para un cambio que se de en un intervalo de

s 
tiempo t se verifica que

 R o lo que es lo mismo v    R .
t t
v2
La aceleración normal a n 
  2  R nunca es nula.
R
v

R de donde se deduce que a    R
La aceleración angular  

t
t
t


v

v

v

v
Movimiento circular uniforme (MCU)
El móvil describe una trayectoria circular barriendo ángulos iguales en tiempos iguales. Es decir, el móvil

se mueve con rapidez angular  constante (también la rapidez lineal v es constante) pero la velocidad v no es
constante puesto que su dirección cambia. Para describir este tipo de movimiento podemos utilizar tablas, gráficas
o ecuaciones como hemos visto para los movimientos lineales. Las gráficas y las ecuaciones tienen una gran
semejanza:


t
o bien
  0    t
A.25) Una noria de feria de 10 m de radio gira a razón de 8 vueltas por minuto.
a) Calcula la rapidez angular de una canasta. (Sol: 0,2π 1/s)
b) Calcula la rapidez lineal de una canasta. (Sol: 2π m/s)
c) Calcula la aceleración normal de una canasta. (Sol: 0,4π2 m/s2)
d) Si el paseo dura 5 minutos ¿Qué distancia recorre una canasta? (Sol: 600π m)
A.26) Un tiovivo de feria gira a razón de 12 vueltas por minuto. El caballito blanco se encuentra a 2 m del centro y
el caballito negro a 3 m del centro.
a) Calcula la rapidez angular de ambos caballitos. (Sol: 0,4π 1/s)
b) Calcula la rapidez lineal de ambos caballitos. (Sol: vB=0,8π m/s; vN=1,2π m/s)
c) Calcula la aceleración normal de ambos caballitos. (0,32π2 m/s2; 0,48π2 m/s2)
A.27) Un satélite artificial realiza un movimiento circular uniforme a 400 km de altura sobre la superficie de la
Tierra dando 16 vueltas diarias.
-4
a) Calcula la rapidez angular (ω) del satélite. (Sol: 3,7x10 π 1/s)
b) Calcula la rapidez lineal (v) del satélite. (Sol: 28440 km/h)
c) Calcula la aceleración del satélite. (Sol: 9,2 m/s2)
DATOS: Radio de la Tierra=6400 km
-5
A.28.a) Calcula la rapidez angular y lineal de un punto del ecuador terrestre. (Sol: 2,3x10 π 1/s; 148 m/s)
-2
2
b) Calcula la aceleración normal en el mismo punto. (Sol: 3,4x10 m/s )
DATOS: Radio de la Tierra: 6400 km (necesitas otro dato)
Los movimiento circulares uniformes son de tipo periódico, es decir, el móvil repite el movimiento cada
cierto tiempo que denominamos periodo T. El periodo T es el tiempo que el móvil tarda en recorrer un ciclo
(   2 ) completo. El concepto inverso al periodo es la frecuencia N, que no indica el número de vueltas que
realiza cada unidad de tiempo. La unidad de la frecuencia es 1/s que también se denomina Hercio Hz. La relación
entre ambas magnitudes es T 
1
N
9
Movimiento circular uniformemente variado (MCUV)
En este caso, el móvil no barre ángulos iguales en tiempo iguales pues su rapidez angular  varía con el
tiempo de manera uniforme. Al variar su rapidez angular  de manera uniforme con el tiempo, la aceleración
angular


t
es constante de donde
  0    t . De manera semejante a los movimientos lineales,
podemos demostrar que:
   0  0  t 
  t2
2
A.29) El tambor de una lavadora gira a 600 rpm cuando sufre un corte de corriente y se detiene de manera
uniforme en 12 segundos.
a) Calcula la aceleración angular. (Sol: -0,17π rad/s2)
b) Calcula el número de vueltas que da el tambor desde el corte de luz hasta detenerse. (Sol: 114 vueltas)
Movimiento armónico simple (MAS)
Los movimientos periódicos son aquellos en los que el móvil repite su movimiento (posición, velocidad y
aceleración) cada tiempo llamado periodo (T). Son ejemplos de movimientos
periódicos el de la Tierra alrededor del Sol o el de la Luna alrededor de la
Tierra. Los movimientos oscilatorios son movimientos periódicos entre dos
posiciones extremas alrededor de una posición central de equilibrio. El caso
más sencillo de movimiento oscilatorio es el movimiento armónico simple
(MAS) como el que realiza una masa puntual sujeta por un muelle. De la simple
observación de este movimiento podemos apreciar que:
i)
En un movimiento variado ya que la velocidad varía.
ii)
La velocidad es máxima en el centro de la trayectoria.
iii)
La velocidad es mínima (nula) en los extremos de la trayectoria.
Para deducir las ecuaciones de este movimiento nos serviremos de un MCU.
En el esquema tenemos un punto circular que realiza un MCU en el sentido que
indica la flecha (podría ser el contrario). Su proyección sobre el eje Y (también
podríamos proyectarlo sobre el eje X) es un punto cuadrado que realiza un movimiento oscilatorio entorno a la
posición central con trayectoria rectilínea; es decir, el punto cuadrado hace un MAS.
Veamos algunos conceptos que vamos a aplicar:
Período (T): Tiempo que tarda el móvil en realizar una oscilación o ciclo completo (se mide en s). Debemos
entender que se completa un ciclo cuando el móvil pasa dos veces consecutivas por el mismo punto de la
trayectoria haciendo lo mismo (misma velocidad y aceleración)
Frecuencia (N): Es el número de oscilaciones o ciclos que realiza el móvil cada unidad de tiempo (se mide en
ciclos/s o Hz o 1/s). De las definiciones anteriores se deduce que T=1/N.
Centro de oscilación: Es el punto medio de la trayectoria del móvil o posición de equilibrio.
Elongación (y o x): Es la posición del móvil con MAS sobre el eje de proyección (y o x) (se mide en m).
Amplitud (A): Es la elongación máxima; es decir, la máxima separación desde el centro de oscilación.
Pulsación (frecuencia angular): Es la velocidad angular ω del MCU que genera el MAS. También:

2 
 2   N
T
Vamos a buscar una ecuación que nos permita calcular la posición y(t) del MAS en cualquier instante de tiempo t.
Supongamos que el móvil (punto redondo) se encuentra inicialmente (t=0 s) en la posición 1 y pasa con un MCU
hasta la posición 2. Al ser un MCU se cumple:    0    t
¿Cuál será la posición o elongación del móvil (punto cuadrado) con MAS sobre el eje de ordenadas Y?
Pues aplicando trigonometría y teniendo en cuenta que r=A (es decir, el radio del MCU es igual que la A del MAS):
y (t )  A  sen (  t   0 )
y  A  sen
y sustituyendo
Veamos algunas cosas:
10



Al término (  t   0 ) se le llama fase del movimiento y
 0 es la fase inicial, que será nula cuando el
MAS comienza en el centro de oscilación es decir, cuando para t=0 la elongación es y=0.
Teniendo en cuenta que la función seno toma valores entre -1 y +1, tenemos que la elongación tomará
valores  A  y   A
Si en vez de proyectar el MCU sobre el eje de ordenadas lo proyectamos sobre el eje de abscisas (X), la
ecuación de la elongación será: x ( t )  A  cos(  t   0 ) . Por tanto si supones (o te dicen) que el
movimiento MAS es en el eje Y, utilizarás la ecuación
dicen) que el MAS es en el eje X, utilizarás la ecuación
La rapidez instantánea de un MAS será:
y (t )  A  sen (  t   0 ) . Pero si supones (o te
x (t )  A  cos(  t   0 )
dy d ( A  sen (  t   0 ))

dt
dt
v  A    cos(  t   0 )
v
es decir:
Teniendo en cuenta que la función coseno toma valores entre -1 y +1, tenemos que la rapidez máxima de un MAS
será: vmáx  A   .
dv d ( A    cos(  t   0 ))

es decir:
dt
dt
a   A   2  sen (  t   0 )
De igual manera, la aceleración instantánea será: a 
2
y de donde se deduce que amáx   A   . Y si tenemos en cuenta la ecuación de la elongación, podemos
expresar:
a   2  y
A.30 Un móvil realiza un MAS vertical, partiendo del centro de oscilación, con amplitud de 10 cm y frecuencia de
10 Hz.
a) Construye las ecuaciones de y, v y a. (Sol: y=0,1Sen(20πt) m; v=2πCos(20πt) m/s; a=-40π2Sen(20πt) m/s2)
b) Calcula los valores de la tabla:
t
y
v
a
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
....
0,20
c) Representa las gráficas y-t, v-t y a-t
A.31 Construye las ecuaciones de x, v y a para un MAS de 0,2 m de amplitud, 4 s de periodo y π/3 de fase inicial.
Determina los valores de x, v y a entre t=0 y t=4.5 s cada 0.5 s. (Sol: x=0,2Cos(πt/2 + π/3) m; v=-0,1πSen(πt/2 +
π/3) m/s; a=- 0,05π2Cos(πt/2 + π/3) m/s2)
A.32 Un MAS viene descrito por la ecuación x=0,05 Cos(200πt) (SI)
a) Deduce: la Amplitud, pulsación, frecuencia, periodo, la ecuación de v y ecuación de a. (Sol: A=0,05 m; ω=200π
1/s; N=100 Hz; T=0,01 s; v=-10πSen(200πt) m/s; a=-2000π2Cos(200πt) m/s2)
b) ¿En qué instante t, la elongación vale -0,015 m? (Sol: 0,003 s)
c) Calcula v máx y amáx (Sol: v máx =-10π m/s; amáx =-2000π2 m/s2)
Composición de movimientos
Muchos movimientos reales pueden ser considerados como la composición de dos movimientos sencillos
como los que acabamos de estudiar. Por ejemplo, cuando cruzamos un
x
río en una barca propulsada podemos considerar que el movimiento
real realizado por la barca es un MRU realizado por el motor de la barca
( v y ) y otro MRU, perpendicular al anterior, producido por la corriente
del agua ( v x ). Ambos movimientos tienen la misma duración t y
cualquier pregunta que podamos hacernos se resuelve mediante un
sistema de dos ecuaciones:
y
s
11
x  vx  t
y  vy  t
y como podemos apreciar en el esquema, la distancia recorrida por la barca será: s 
de la barca será: v 
x 2  y 2 y la rapidez real
v x2  v 2y por ser la velocidad una magnitud vectorial.
Otro caso, algo más complicado, es el lanzamiento horizontal de un cuerpo desde lo alto de un acantilado o
cualquier otra plataforma sobre el suelo, una bola que rodando sobre una
mesa llega al borde y cae. En este caso el movimiento real del cuerpo se
puede considerar compuesto por de MRU horizontal (x) y otro movimiento
de caída libre (y). En este caso ambos movimientos también tienen la
misma duración t y cualquier pregunta que podamos hacernos se resuelve
y
mediante un sistema de dos ecuaciones:
x  vx  t
1
y   g  t2
2
De igual manera la rapidez en cualquier instante t de la caída será: v 
x
v x2  v 2y donde v y  g  t
A.33 Un nadador avanza a 0,5 m/s perpendicularmente a la corriente de un río de 3 m/s. Si tarda 2 minutos en
cruzar el río:
28.a) ¿Qué anchura tiene el río? (Sol: 60 m)
28.b) ¿Qué deriva (desplazamiento en la dirección de la corriente) sufre el nadador al cruzar el río? (Sol: 360 m)
28.c) ¿Qué rapidez ha mantenido el nadador? (Sol: 3,04 m/s)
A.34 Desde lo alto de un castillo a 120 m sobre el nivel del mar, se lanza horizontalmente un proyectil a 500 m/s
hacia un barco pirata que se encuentra a 2 millas náuticas de la vertical del castillo.
29.a) ¿Qué tiempo dura el vuelo del proyectil? (Sol: 4,95 s)
29.b) ¿Dará el proyectil en el barco pirata? (Sol: se queda corto)
29.c) Si no le damos al barco pirata ¿qué podemos hacer? i) meterle más pólvora al cañón, explícate; ii) poner
inclinado el cañón, explícate, iii) rendirnos. (Sol: Ver ayudas)
A.35 Una pelota rueda por un tejado que forma 30º con la horizontal y llega al borde a 10 m/s. Si el borde del
tejado está a 60 m de suelo de la calle y ésta tiene 15 m de ancho ¿botará la pelota en la pared de enfrente o en la
calle? DATO: g= -9,8 m/s2.
12
Ayudas para la resolución de los ejercicios del texto




Hay distintos tipos de cuestiones; en algunas te piden una definición que podrás buscar en el texto; en
otras te piden que evalúes la variación de una magnitud cuando varia otra con la que está relacionada
mediante alguna ley física (ecuación o fórmula) para lo cual tendrás evaluar cualitativamente dicha ley. Por
ejemplo: para Ec=mv2/2, al duplicar la rapidez, la energía cinética aumenta cuadruplicándose.
Para resolver los problemas:
o Lee atentamente el problema e identifica las magnitudes y los valores que te dan en los datos, ten
en cuenta que algunos datos vienen dados de manera implícita, por ejemplo si el cuerpo se para
significa v=0.
o Ayúdate de un esquema que represente la situación que te plantean.
o Identifica las leyes físicas (una o varias ecuaciones) que sintetizan la situación física.
o Sustituye los datos en las ecuaciones teniendo cuidado que las unidades sean del SI.
o Después resuelve los cálculos y evalúa físicamente el resultado; es decir, el resultado tiene que
ser verosímil; por ejemplo, la energía cinética no puede ser negativa.
Si tienes dificultad con el planteamiento físico del ejercicio, consulta la ayuda correspondiente, pero antes
inténtalo tú.
Si no consigues resolver el ejercicio, plantéale al Profesor tus dificultades el próximo día (no al cabo de
una semana o de un mes)
A.1 Si la trayectoria es rectilínea (línea de puntos) el módulo del vector desplazamiento

r coincide con la distancia recorrida sobre la trayectoria.

r
A.2
a) Dado que el vector posición inicial y final son iguales, el desplazamiento total será
nulo.
b) No, son vectores opuestos, tienen la misma dirección, el mismo módulo (unos 48 km)
pero sentido contrario.
c) Unos 140 km.

r0

r
A.3

a) Como realiza 10 vueltas completas, el vector posición inicial r0 y final r serán los mismos por lo que el
desplazamiento será nulo  r  r  r0  0
b) Cada vuelta recorre 2r
A.4 No podemos saber en qué dirección y sentido se desplaza. Lo correcto sería decir que lleva una rapidez
(módulo de la velocidad) de 40 km/h y que de mantener dicha rapidez recorrerá una distancia de 40 km en una
hora.
A.5 Recuerda que 1 hora equivale a 3600 s. El móvil A cada 1s recorre 1 m por lo que en 1 hora recorrerá 3600 m
(3,6 km); por su pare el B, en 1 hora recorre solo 1 km. El A es más rápido porque en el mismo tiempo recorre más
distancia, en concreto 3,6 veces más.
A.6

3



a) Sustituye los valores de t (2 s y 5 s) en la ecuación r  5t i  2 j  3tk



b) Realiza la operación r  r5  r2 con los vectores que has calculado antes.


r
c) Aplica vm 
donde ∆t=5-2
t


A.7 Como no sabemos ni la dirección y ni el sentido de v y de a , pues no significa nada. Pero si suponemos que
la velocidad y la aceleración tienen la misma dirección habrá que ver que sentido tienen ambos:





v
Si ambos, v y a , tiene el mismo sentido, la rapidez v aumentará 3 m/s cada segundo.

a
Si ambos, v y a , tiene sentido contrario, la rapidez v disminuirá 3 m/s cada segundo.
13

a

v
A.8


 dr
 dv
a) Primero tiene que deducir v 
y a
, después sustituye t= 2
dt
dt



2
2
2
2
b) En la ecuación r  ( 4t  1)i  ( t  2) j ; 4t -1=x y t +2=y si combinas ambas ecuaciones eliminando t
obtendrás la ecuación de la trayectoria.

v
A.9
v
v2
a) Falso. at 
 0 dado que v  0 ; an 
0
t
R

v
b) Verdadero.
c) Falso. ¡Mira! el gráfico.
d) Verdadero. ¡Mira! el gráfico.
e) Verdadero. ¡Mira! el gráfico.
v
MCU

v

v
A.10 Como puedes ver en la gráfica, para cualquier valor del
tiempo la rapidez toma el mismo valor como corresponde a
un MRU.
A.11
a) Observa en la tabla que cada 2 s el móvil se recorre -14 m; es decir, recorre distancias
t1 t2 t3 t iguales en tiempos iguales como los movimientos uniformes (no puedo afirmar que sea
rectilíneo porque no tengo información de la trayectoria). El signo – indica que el móvil se
ha desplazado en el sentido de posiciones positivas hacia posiciones negativas.
b) Cuando el móvil pasa por el punto de referencia está en la posición s= 0 m, lo que ocurre para t=8 s.
c) s12 – s6= (-28) – 14 = -42 m.
d) Al ser un movimiento uniforme de trayectoria desconocida: s  s0  v  t . Para este caso s 0  56 y
( 28)  (56)
 7 m/s por lo que la ecuación del movimiento será: s  56  7t
12  0
v
e) ...
A.12 Observa que la gráfica relaciona el tiempo t con la posición s que ocupa el móvil y que podemos apreciar tres
tramos:
S(m)
 t=0 s a t=6 s: El móvil desde la posición s0=0 m alcanza la posición
28
s=24 m de manera uniforme en 6 s con una rapidez media
24
vm 
s 24  0

 4 m/s y sin aceleración (movimiento uniforme)
t
60
20
16
12

t=6 s a t=10 s: el móvil permanece en la posición s=24 m. Como no
cambia de posición diremos que permanece en reposo.
8
4
T(s)

t=10 s a t=20 s: el móvil se desplaza de s0=24 m hasta s=0 m en
20-10=10 s con una rapidez media vm 
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
s 0  24

 2,4 m/s y sin aceleración (movimiento
t 20  10
uniforme). El signo – significa que se ha movido en sentido contrario al primer tramo.

En total de t=0 s a t=20 s. El móvil no se desplaza (vector desplazamiento nulo) pero si recorre distancia
48 m en 20 s por lo que su rapidez media será: vm 

s 48

 2,4 m/s
t 20
Sobre la trayectoria no podemos decir nada, puede ser cualquier línea.
A.13
a) Recuerda que en las pistas de atletismo se corre tomando las curvas a la izquierda (visto desde arriba, en el
sentido contrario a las agujas del reloj) Para recorrer 3000 m tiene que dar 3000/400=7,5 vueltas. Primero media
vuelta y después 7 vueltas más.
14
b) La rapidez media será: vm 
s 3000

 5,4 m/s
t
560
Salida
A.14
a) Como no nos informan de la trayectoria, suponemos que es rectilínea
por lo que se trata de un MRU ya que me dan a entender que el ciclista no
cambia de rapidez. Tomamos el punto de referencia en la posición inicial
del ciclista s0=0 m de esta manera la ecuación del movimiento es:
s  s0  v  t que para este caso es: s  0  15  t (habrás comprobado
que 54 km/h equivale a 15 m/s)
b) Para entrar en el túnel tendrá que recorrer 60 desde la posición inicial vm 
t 
s
de donde
t
s 600

 40 s
vm
15
c) De la ecuación vm 
s
se deduce s  v  t  15  24  360 m
t
A.15
a) De los datos no podemos deducir el tipo de trayectoria por lo que supondremos que es rectilíneo. La tabla de
datos pone de manifiesto que el móvil varía de rapidez de manera uniforme con el tiempo, cada 2 s su rapidez
aumenta en 2 m/s. Podemos concluir que es un MRUV.
b) Las ecuaciones del MRUV son:
v  v0  a  t
s  s0  v0  t 
a t2
tendremos que deducir todos los valores menos el tiempo.
2


v0 es la rapidez a t=0 s, de la tabla se deduce que v 0= 3 m/s
s0 es la posición a t=0 s. La tabla no da información. Este valor depende de dónde pongamos el sistema
de referencia y por tanto supondremos que s0=0 m, es decir el móvil está inicialmente en el punto de
referencia.

a es la aceleración (tangencial) a 
v 15  3

 1 m/s2
t
12
Y ya podemos construir las ecuaciones:
v  3  1 t
1 t 2
s  0  3 t 
2
c) Piensa de la siguiente manera: La distancia que recorre durante los 6 últimos segundos será la distancia que
recorre hasta el 12 s menos la que ya había recorrido hasta 6 s: s12 –s6
1  12 
 108 m
2
2

Para t=12 s s12  0  3  12 

Para t=6 s s6  0  3  6 
1  6 
 36 m
2
2
Por tanto: s12 –s6=108 – 36= 72 m
d) Primero tendrás que hacer una tabla que relaciones las posiciones con el tiempo utilizando la ecuación de la
posición: s  0  3  t 
t(s)
1
2
...
15
1 t 2
. Después haces la representación gráfica s-t.
2
s(m)
0
15
A.16
a) Es una gráfica posición-tiempo s-t que me informa de la posición del móvil sobre la trayectoria de la que no me
da información (puede ser cualquiera) y que suponemos que es rectilínea.
 Primer tramo: De la gráfica se deduce que el móvil pasa de s0=25 m a s3=10 m en 3 s de manera
uniforme. Luego podemos afirmar que se trata de un MRU que lo realiza con rapidez constante
10  25
 5 m/s (el signo menos significa que el móvil se desplaza en el sentido positivo-negativo
3
de las posiciones sobre la trayectoria). La ecuación del movimiento para este tramo será: s  25  5t
v

Segundo tramo: El móvil no cambia de posición con el tiempo, está en reposo en s=10 m.
b) Es una gráfica rapidez-tiempo v-t que me informa de la rapidez del móvil sobre la trayectoria de la que no me da
información (puede ser cualquiera) y que suponemos que es rectilínea.
 Primer tramo: De la gráfico se deduce v 0=15 m/s y en 3 s pasa a v=6 m/s de manera uniforme, luego se
trata de MRUV con aceleración (tangencial) a 
v3  v0 6  15

 3 m/s2 (el signo menos indica que la
3
3
aceleración es de sentido contrario a la velocidad). De las posiciones no tenemos información, pero si
ponemos el sistema de referencia en la posición inicial del móvil s0=0 m las ecuaciones serán:
v  15  3  t
( 3)t 2
de esta ecuación podemos deducir la posición del móvil en todo instante. En
2
( 3)(3) 2
concreto para t=3 s será s  0  15  3 
 31,5 m y como inicialmente estaba en s0=0 m durante
2
s  0  15  t 

los 3 s habrá recorrido 31,5 m.
Segundo tramo: El móvil no cambia de rapidez con el tiempo, realiza MRU durante 8-3=5s con rapidez de
6 m/s por lo que a t=8 s se encontrará en s=s0+vt=31,5+6(5)=61,5 m habiendo recorrido 30 m.
A.17 Suponemos que el avión realiza un MRUV y que ponemos el sistema de referencia en la posición inicial del
avión.
v  v0  a  t aplicando 100= 0+ at se deduce a=5 m/s2. Con la ecuación s  s0  v 0  t 
a t2
deducimos la
2
distancia recorrida s  s0 .
A.18 Por la información deducimos que se trata de un MRUV con v0=17 m/s; v=0 m/s; s-s0= 20 m.
v  v0  a  t ; s  s 0  v 0  t 
a t2
; en ambas ecuaciones hay dos valores desconocidos por lo que tendrás que
2
tratarlas como un sistema de dos ecuaciones.
A.19 Ambas ecuaciones posición(sobre X)-tiempo se corresponden a dos movimientos uniformes de los que no
sabemos la trayectoria.
a) Para los movimientos uniformes: s  s0  v  t . De las ecuaciones se deduce: v A  2 m/s y v B  3 m/s.
Luego, por los signos, se deduce que circulan en sentido contrario sobre la trayectoria, siendo B más rápido.
b) Al coincidir, ambos están en la misma posición, luego haz xA=xB y resuelve para calcular t; después calcula x
para ambos y comprueba que es el mismo valor (¡claro, están en la misma
posición!)
A.20 Es una gráfica posición-tiempo y como los tres tramos son rectilíneos
(recuerda que para los MUV, la gráfica posición-tiempo es una rama de
parábola) se trata de movimientos uniformes.
Primer tramo: s0=50 m; s=20 m; ∆t=10 - 0=10 s; luego recorre s-s0=20 - 50= 30 m. El signo menos significa que el móvil se mueve en el sentido positivonegativo
de
las
posiciones,
con
una
rapidez
media
de
vm 
s 20  50

 3 m/s; al ser movimiento uniforme a=0 m/s2.
t
10
Segundo tramo: El móvil no cambia de posición con el tiempo.
Tramo tercero: s0=20 m; s=40 m luego recorre s-s0=40 - 20= 20 m en el sentido negativo-positivo de las
16
posiciones, con una rapidez media de vm 
s 40  20

 5 m/s; al ser movimiento uniforme a=0 m/s2.
t
4
En total la distancia recorrida ha sido de 30+20= 50 m en un tiempo de 24 s por la que la rapidez media ha sido de
vm 
s 50

 2,1 m/s.
t 24
A.21 Se trata de dos movimientos: La moto realiza un movimiento uniforme y el automóvil realiza un movimiento
uniformemente variado. Tomaremos el punto de referencia en la posición inicial de ambos móviles: s0=0 m para
ambos.
a) Utilizaremos la correspondiente ecuación de movimiento para ambos móviles:
Para la moto: s=s0+vt; s=0+17t
Para el vehículo: s=s0+v0t+at2/2; s=0+0t+2t2/2;
En el momento de alcanzar el vehículo a la moto, ambos se encuentran en la misma posición por lo que entre las
dos ecuaciones podemos deducir t para el alcance, siendo t=17 s.
La posición del alcance se puede calcular por cualquiera de las dos ecuaciones: s=289 m.
b) Aplica v=v0+at para el vehículo.
A.22
a) Para saber si sube o baja nos bastará con determinar el signo de la rapidez en ese instante:
v=v0+gt=80+(-9,8)(5)=+31 m/s; luego está subiendo.
También podemos calcular el tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima, donde sabemos que v=0 m/s.
0=80+(-9,8)t; de donde t=8,2 s. Como tarda 8,2 s en alcanzar la altura máxima, a los 5 s todavía está subiendo.
b) Como hemos visto tarda 8,2 s en alcanzar la altura máxima, luego h=h0+v0t+gt2/2 y poniendo el punto de
referencia en el punto de partida (cuando se lanza) h0=0 m; luego h=0+80(8,2)+(-9,8)(8,2)2/2
c) Dado que la aceleración tiene el mismo valor absoluto para la subida y la bajada, los movimientos de caída libre
son simétricos, es decir, el móvil tarda lo mismo en subir que en bajar. Luego el tiempo total que tarda en regresar
al suelo será el doble que tarda en alcanzar la altura máxima, para este caso t=8,2+8,2=16,4 s. Si aplicamos
v=v0+gt= 80+(-9,8)(16,4)= - 80,7 m/s. Dos aclaraciones:
 Debería haber salido – 80 m/s. El signo menos indica que cuando llega al suelo lo hace en sentido
contrario a cuando se lanzó.
 ¿Por qué no sale justo 80? Pues por que hemos hecho redondeos; es decir, hemos introducido errores.
A.23 Se trata de una caída libre.
a) En este caso nos están dando un dato numérico de manera implícita, “cae” significa que v0=0 m/s.
Por otra parte, hay un dato “erróneo”. Teniendo en cuenta el sistema de referencia, los móviles caen
con rapidez negativa v=-40 m/s. Aplicando: v=v0+gt; -40=0+(-9,8)t deducimos el tiempo de caída.
b) Teniendo en cuenta el sistema de referencia; h0 es la posición inicial (arriba) y h=0 m pues coincide
con el sistema de referencia. Te preguntan h0. Aplicando: h=h0+v0t+gt2/2; 0=h0+0t+(-9,8)t2/2
A.24 Se trata de aplicar simultáneamente las mismas leyes para dos móviles y que ambos móviles se
encuentra en la misma posición a la vez (mismo tiempo).
h0
h
Móvil A: Se deja caer: h=h0A+v0A+gt2/2=40+0t+(-9,8)t2/2
2
2
Móvil B: Se lanza hacia arriba: h=h0B+v0B+gt /2=0+20t+(-9,8)t /2
Tratando simultáneamente ambas ecuaciones, el suceso ocurre a t=2 s que sustituyendo en ambas ecuaciones
obtendrás h (igual para ambos casos A y B)
b) ¿Cuándo llega A al suelo? En el suelo h=0 m luego 0=40+0t+(-9,8)t2/2 de donde deduce t. Y dónde estará B en
ese instante, pues: h=0+20t+(-9,8)t2/2. Y qué hace: v=v0+gt
a)
A.25 Se trata de un MCU
2N 2 8

 0,2 rad/s o 1/s
t
60
b) v    R  0,2  10  2 m/s
v2
c) a n 
 2  R
R
d) s  v  t
a)

17
A.26 Se trata de MCU
a) Ambos tienen la misma rapidez angular:

2N
t
b) Aplica v    R para ambos casos, pero ten en cuenta que los radios son diferentes. El caballito negro va más
rápido.
v2
c) Aplica a n 
 2  R
R
A.27 Se trata de un MCU. La única dificultad es que tienes que tener en cuenta que el radio de la trayectoria será
el radio de la Tierra más la altura del satélite sobre la superficie de la Tierra.
A.28 La Tierra da una vuelta sobre su eje cada 24 horas.
a)

2N
2  1

t
24  60  60
b) Aplica a n 
v2
 2  R
R
A.29 Se trata de un MCUV.
   0
2  600

donde ω= 0 1/s ya que al final se para; y 0 
 20 1/s.
t
t
60
 t2
b) Aplica    0  0  t 
para calcular el ángulo que barre durante los 12 s de parada. Luego piensa que
2
a) Aplica

cada vuelta son 2π rad.
A.30 Dado que los ángulos están medidos en rad tendrás que poner la calculadora en modo RAD o R.
y (t )  A  sen (  t   0 ) teniendo en cuenta:
Inicialmente está en la posición de equilibrio, luego  0  0 ; A=0,1 m;   2    N  2    10  20
a) Aplicamos
1/s
b) Tienes que repetir los cálculos veinte veces para completar la tabla y luego hacer las tres gráficas.
A.31 Ahora el movimiento es en el eje X. Aplica x ( t )  A  cos(  t   0 ) . Otra vez te recuerdo que la calculadora
debe estar en modo RAD o R.
A.32
a) Por similitud con x ( t )  A  cos(  t   0 ) deducimos que A=0,05 m; ω=200π 1/s, y como ω=2πN deducimos
dx d ( A  cos(  t   0 ))

  A  . sen (  t   0 ) , y para
dt
dt
dv d (  A    sen (  t   0 ))
a

  A   2  cos(  t   0 )
dt
dt
N; T=1/N; para v 
b) En ese instante -0,015=0,05 Cos(200πt) de donde Cos(200πt)=-0,03; ¿qué ángulo, en radianes, tiene de
coseno el valor -0,03? Utiliza la calculadora y aplica cos-1(-0,03) = 1,6 por lo que 200 π t=1,6 de donde t=0,0027 s
c) Aplica vmáx  A   y amáx   A  
x
2
A.33 Se trata de la composición de dos movimientos uniformes.
a) La achura del río será y. Esta dirección se corresponde con el
movimiento del nadador y  v y  t  0,5  120  60 m.
b)
Este
movimiento
tiene
x  v x  t  3  120  360 m.
la
dirección
de
la
y
s
corriente,
c) Al tratarse de dos movimientos con direcciones perpendiculares, la rapidez resultante será: v 
v x2  v 2y
A.34 Ahora se trata de dos movimientos: uno en Y (caída libre) y otro en X MRU.
a) El tiempo de vuelo del proyectil lo podemos deducir del movimiento en Y (caída libre): y  y0  v0  t 
g  t2
2
18
que con los datos 0  120  0  t 
b)
En
tiempo,
2
de donde t=4,95 s.
movimiento horizontal en X (que es
x  v x  t  500  4,95  2474 m desde el pié la vertical del castillo, lo
cual es insuficiente para alcanzar al barco pirata que se encuentra a
3704 m (busca milla náutica y encontrarás que equivale a 1852 m).
c)
i) Meterle más pólvora al cañón será la solución ya que el proyectil sale
más rápido y puede alcanzar más distancia en el mismo tiempo:
vx 
este
 9,8t 2
el
MRU)
recorrerá
una
distancia
y
3704
 748 m/s; es decir, habrá que meter pólvora para que el
4,95
x
proyectil salga del cañón a 748 m/s.
ii) Consultar tiro parabólico en algún texto de Física. Ponerle inclinación, por si solo no sería solución, además
habrá que poner más pólvora aunque menos que en el caso anterior.
iii) Es una cuestión de Ética que se estudia en Filosofía.
A.35 Se trata de la composición de dos movimientos: Uno horizontal en X (MRU) y otro vertical en Y (caída libre).

Cuando la pelota cae del tejado su velocidad v la podemos
descomponer en dos componentes
  
v  v x  v y . Los
y

vy
30º
valores de ambas componentes de la velocidad serán
(observa que hay un ángulo de 30º en un triángulo
rectángulo):
v x  v  cos 30º  10  cos 30º  8,7 m/s

vx
30º

v
v y  v  sen 30º  10  sen 30º  5 m/s
Como puedes observar la componente vertical es una
caída libre con rapidez inicial (hacia abajo) de -5 m/s
¿cuánto tardará en llegar al suelo? Veamos:
y  y0  v yo  t 
g t
2
2
que con los datos será 0  60   5  t 
x
 9,8  t
2
2
de donde t=3 s. En este tiempo
horizontalmente (x) la pelota se desplaza x=v x t = 8,7 x 3= 26,1 m; es decir, más que el ancho de la calle, por lo
que la pelota chocará con la pared de enfrente antes de llegar al suelo.
19
EJERCICIOS PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE ACCESO
1) Un remero intenta cruzar un río de 60 m de ancho. Para ello utiliza una barca que impulsa, perpendicularmente
a la corriente, con una velocidad de 0,3 m/s. Si la corriente del río lleva una velocidad de 5 m/s:
1.a) Calcule el tiempo que tarda en cruzar el río.
1.b) ¿Qué distancia habrá entre el punto de salida y el de llegada en línea recta?
2) Un movimiento armónico simple (MAS) viene descrito por la expresión x ( t )  a  sen   t   
2.a) Indique el significado físico de cada una de las magnitudes que aparecen en ella.
2.b) Escriba la velocidad y aceleración de la partícula en función del tiempo y explique por qué también es correcta
la expresión x ( t )  a  cos  t    para el mismo movimiento.
3) Razone cuál de las gráficas adjuntas se aproxima más a las descripción de la velocidad de una piedra que se
lanza verticalmente hacia arriba en el instante t=0 desde un punto próximo a la superficie de la Tierra.
v
v
v
B
A
t
C
t
t
4) Una partícula al pasar por el punto A tiene una velocidad de 10 m/s y al pasar por el punto B, distante 50 m de
A, tiene una velocidad de 25 m/s. Si el movimiento es rectilíneo y uniformemente acelerado calcule:
4.a) La aceleración del movimiento.
4.b) El tiempo que tarda la partícula en ir de A hasta B.
5) Un automóvil sigue una trayectoria rectilínea. Inicialmente su velocidad es de 30 km/h y acelera a 3 m/s2
manteniendo constante su aceleración durante 10 s. Finalmente frena con aceleración constante hasta detenerse,
recorriendo durante el frenado 90 m.
5.a) ¿Qué espacio ha recorrido en los primeros 10 segundos?
5.b) ¿Cuál ha sido la aceleración durante el frenado?
20