desarrollo del pensamiento trigonométrico

DESARROLLO DEL
PENSAMIENTO
TRIGONOMÉTRICO
GISELA MONTIEL ESPINOSA
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subsecretaría de educación media superior
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO
TRIGONOMÉTRICO
Gisela Montiel Espinosa
Investigador a del
Instituto Politécnico Nacional,
CICATA-Legaria
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Ricardo Cantoral Uriza
Coordinador de la Serie
Primera edición, 2013
© Secretaría de Educación Pública, 2013
Subsecretaría de Educación Media Superior
Argentina # 28 Col. Centro Histórico, Del. Cuauhtémoc
México, Distrito Federal
ISBN: 978-607-9362-02-7
Impreso en México
Se permite la reproducción del material publicado previa autorización
del editor. Los textos son responsabilidad de los autores y no reflejan,
necesariamente, la opinión de la Subsecretaría de Educación Media
Superior.
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CONTENIDO
Prólogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 5
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 9
1. Trigonometría escolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2. Investigación didáctica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . 19
3. Implicaciones didácticas de un Rediseño del dTE . . . . . .. . 41
4. Relexiones finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 69
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PRÓLOGO
Estimada profesora, estimado profesor:
Como parte de una estrategia de largo plazo para la
profesionalización docente en el campo de las matemáticas, el
Departamento de Matemática Educativa del Centro de Investigación
y de Estudios Avanzados (Cinvestav) y la Subsecretaría de Educación
Media Superior de la SEP, diseñaron un plan para elaborar estos
materiales dirigidos a las y los profesores de Matemáticas del país.
En un segundo momento, con la colaboración de la red de egresados
de Matemática Educativa y el apoyo de la Sociedad Matemática
Mexicana, llevaremos a cabo mesas, foros, seminarios, cursos y
diplomados mediante un Plan Nacional para la Profesionalización
Docente en las Matemáticas Escolares.
Quienes estamos interesados en el aprendizaje de las matemáticas
no podemos reducir los conceptos a sus definiciones, ni limitar las
experiencias didácticas a la repetición memorística de algoritmos
y resultados. Aprender matemáticas no puede limitarse a la mera
copia del exterior a través de resultados previamente elaborados,
o digamos que, a su duplicado; sino más bien, es el resultado de
construcciones sucesivas cuyo objetivo es garantizar el éxito ante
una cierta situación de aprendizaje.
Una consecuencia educativa de este principio consiste en
reconocer que tenemos todavía mucho que aprender al analizar
los propios procesos de aprendizaje de nuestros alumnos; nos
debe importar, por ejemplo, saber cómo los jóvenes del bachillerato
operan con los números, cómo entienden la pendiente de una recta,
cómo construyen y comparten significados relativos a la noción de
función o proporcionalidad, o cómo se explican a sí mismos nociones
de azar. Esta visión rompe con el esquema clásico de enseñanza
según el cual, el maestro enseña y el alumno aprende. Estos textos
se diseñaron para ayudar al docente a explorar y usarlos para una
enseñanza renovada aprovechando las formas naturales en que los
estudiantes razonan sobre matemáticas y sobre lo que aporta a
este respecto la investigación en Matemática Educativa.
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El papel del profesor en esta perspectiva es mucho más activo y
propositivo, pues sobre él o ella recae más la responsabilidad del
diseño y coordinación de las situaciones de aprendizaje. Actualmente
se considera al profesor como un profesional reflexivo, que decide,
diseña, aplica y experimenta estrategias de acción para lograr el
aprendizaje de sus alumnos. De manera que aprender matemáticas
no se reduce a recordar fórmulas, teoremas o definiciones para
resolver problemas mediante la imitación de las explicaciones del
profesor en clase o con apego a los métodos ilustrados en los textos
escolares.
Los resultados de las pruebas nacionales de corte masivo, utilizadas
con fines de investigación, permitirían saber cuáles conceptos y
procesos requieren todavía adaptaciones progresivas con el fin de
mejorar su aprendizaje. Si bien los últimos resultados de las pruebas
de logro académico estandarizadas muestran un incremento en el
porcentaje de la población estudiantil con resultados satisfactorios
y un decremento en el complemento, aún falta mejorar la atención
en algunas temáticas particulares.
Gracias a la labor que lleva a cabo el Departamento de Matemática
Educativa del Cinvestav, a través de sus profesores, egresados e
investigadores en formación, sabemos cuáles asuntos, de naturaleza
transversal, resultan fundamentales para el aprendizaje de las
matemáticas y de las ciencias, como puede ser el desarrollo del
pensamiento y lenguaje variacional, la constitución de un lenguaje
gráfico para las funciones, el desarrollo del pensamiento trigonométrico,
el pensamiento proporcional y el pensamiento estadístico. Estos
asuntos siguen siendo un reto de la mayor importancia para mejorar
los aprendizajes entre los estudiantes del bachillerato mexicano.
Por esta razón, los cinco volúmenes de esta colección fueron
pensados para el docente de matemáticas. Su lectura, análisis y
discusión permitirá mejorar los procesos de aprendizaje matemático.
Los títulos de los textos de la serie son los siguientes:
Vol. 1 - Lenguaje gráfico de funciones. Elementos de precálculo
- Rosa María Farfán Márquez
Vol. 2 - Desarrollo del pensamiento trigonométrico
- Gisela Montiel Espinosa
Vol. 3 - Desarrollo del pensamiento y lenguaje variacional - Ricardo Cantoral Uriza
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Vol. 4 - La transversalidad de la proporcionalidad
- Daniela Reyes Gasperini
Vol. 5 - Elementos de estadística y su didáctica a nivel bachillerato
- Ernesto Sánchez Sánchez
Según la profesora Régine Douady, saber matemáticas precisa de
dos aspectos. Por un lado, se refiere a la disponibilidad funcional
de nociones y teoremas matemáticos para enfrentar problemas e
interpretar nuevas situaciones. En este proceso, dichas nociones
y teoremas tienen un estatus de herramienta, en tanto que sirven
para que alguien actúe sobre un problema en determinado contexto.
Por otra parte, también significa identificar a las nociones y a los
teoremas como parte de un cuerpo de conocimientos reconocidos
socialmente. Es ahí donde se formulan definiciones, se establecen
relaciones entre nociones mediante teoremas y se prueban las
conjeturas adquiriendo entonces el estatus de objeto. Al adquirir
ese estatus, están descontextualizados y despersonalizados para
permitir su aprendizaje. Este proceso de descontextualización
y despersonalización participa del proceso de apropiación del
conocimiento. Por su parte, para un profesor enseñar se refiere a
la creación de las condiciones que producirán la apropiación del
conocimiento por parte de los estudiantes. Para éstos, aprender
significa involucrarse en una actividad intelectual cuya consecuencia
final sea la disponibilidad de un conocimiento con su doble estatus de
herramienta y de objeto. Para que haya aprendizaje y enseñanza es
necesario que el conocimiento sea un objeto importante, casi esencial,
de la interacción entre el profesor y sus alumnos.
Ésta es pues la primera de una serie de iniciativas coordinadas
para la mejora de la educación en el campo de las matemáticas del
bachillerato. No me resta más que animarles a estudiar y discutir los
materiales que ahora tienen en sus manos, el camino es largo, pero
iremos juntos …
Dr. Ricardo Cantoral Uriza
Jefe del Departamento
Matemática Educativa – Cinvestav
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INTRODUCCIÓN
La Didáctica de la Trigonometría o Trigonometría Educativa, como
llamaríamos en México por la tradición de llamar a nuestro
campo disciplinar como Matemática Educativa, cuenta hoy con un
número significativo de resultados de investigación y desarrollos
de innovación didáctica que básicamente han problematizado
sobre la enseñanza y aprendizaje de las razones trigonométricas,
las funciones trigonométricas y el tránsito de las razones a las
funciones, pocos estudios tratan directamente con el aprendizaje
de objetos trigonométricos del tipo ecuaciones, identidades o leyes;
pero parece estar implícito que un buen aprendizaje de las razones
y las funciones favorecería un uso apropiado de esos otros objetos
matemáticos.
Iniciaremos esta sección con una mirada a la enseñanza “oficial” de
la trigonometría en el sistema educativo mexicano, para plantear
desde ahí la problemática identificada y estudiada desde distintas
perspectivas en la disciplina. El objetivo principal de este escrito
será compartir con los lectores los resultados de la investigación
e innovación educativa relacionadas con la trigonometría para
problematizar en conjunto qué estamos enseñando y no sólo cómo
lo estamos enseñando, de tal suerte que sin importar el enfoque
que adopte nuestro sistema educativo contemos con elementos
para innovar en nuestra práctica educativa desde la reorganización
del saber matemático escolar mismo y no sólo desde la práctica
pedagógica.
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1. TRIGONOMETRÍA
ESCOLAR
En el sistema educativo mexicano el primer acercamiento del
estudiante con la trigonometría se ubica en el tercer grado de la
educación básica-secundaria (entre los 14 y 15 años de edad).
Los programas y planes de estudio de este nivel están regulados
centralmente por la Secretaría de Educación Pública, que establece
qué es lo que los alumnos de este nivel deben saber sobre la razón
trigonométrica (Cuadro 1).
Cuadro 1. Competencias, aprendizajes esperados y estándares curriculares donde
se enmarca la trigonometría de la educación secundaria (SEP, 2011).
Tercer Grado. Bloque IV
• Competencias que se favorecen: Resolver problemas de
manera autónoma, Comunicar información matemática,
Validar procedimientos y resultados, Manejar técnicas
eficientemente.
• Aprendizajes esperados: Resuelve problemas que implican
el uso de las razones trigonométricas seno, coseno y
tangente.
Eje “Forma, Espacio y Medida”:
• Análisis de las relaciones entre el valor de la pendiente
de una recta, el valor del ángulo que se forma con
la abscisa y el cociente del cateto opuesto sobre el
cateto adyacente.
• Análisis de las relaciones entre los ángulos agudos y los
cocientes entre los lados de un triángulo rectángulo.
• Explicitación y uso de las razones trigonométricas
seno, coseno y tangente.
Este bloque está ubicado en la segunda mitad del ciclo escolar, es
decir, casi al final de la educación básica-secundaria y encontrará
vinculación directa con contenidos del nivel medio superior, ubicados
según el subsistema educativo.
Aun adscritos al Sistema Nacional de Bachillerato es posible
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encontrar variaciones en las propuestas didácticas de los
subsistemas de nivel medio superior de nuestro país; sin embargo,
en lo que respecta a la matemática escolar, hay una invariante en
ellas y en aquellas de los subsistemas no adscritos. La matemática
escolar del nivel medio superior contempla tópicos del álgebra y la
geometría como antecedentes al precálculo y/o al cálculo, así como
elementos de la probabilidad y la estadístuca. En este marco general
se plantea el tránsito de la trigonometría clásica, vinculada al estudio
de los triángulos rectángulos en la educación básica-secundaria;
a la trigonometría analítica, orientada al estudio de las funciones
trigonométricas. Es decir, aquí se pasa de medir ángulos en grados
a medirlos en radianes; se abordan las leyes de senos y cosenos, así
como las identidades trigonométricas; se comienza a trabajar con
ángulos negativos y mayores a 360°; se introduce el círculo unitario,
para graficar las funciones en el plano cartesiano, etc.
A manera de ejemplo, presentamos en el cuadro 2 los momentos
escolares donde la Dirección General de Bachillerato (DGB)
ubica la enseñanza de contenidos trigonométricos, así como las
competencias disciplinares que les asocia, aunque cabe señalar que
éstas también se asocian a otros bloques temáticos.
Cuadro 2. Bloques y competencias disciplinares del Programa de Matemáticas II y
IV de la DGB, relacionados con Trigonometría
Bloques en el Programa de Matemáticas II:
• Bloque VI: Describes las relaciones trigonométricas para
resolver triángulos rectángulos. En el Bloque VI identificarás
diferentes sistemas de medida de ángulos describirás las
razones trigonométricas para ángulos agudos. Finalmente,
aplicarás las razones trigonométricas en ejercicios teóricoprácticos.
• Bloque VII: Aplicas funciones trigonométricas. En el Bloque
VII interpretarás y aplicarás las funciones trigonométricas
en el plano cartesiano, así como en el círculo unitario.
• Bloque VIII: Aplicas las leyes de senos y cosenos. En el
Bloque VIII aplicarás las leyes de los senos y cosenos.
Competencias disciplinares:
1.Construye e interpreta modelos matemáticos mediante
la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos,
geométricos y variacionales para la comprensión y análisis
de situaciones reales, hipotéticas o formales.
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2.Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando
diferentes enfoques.
3.Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante
procedimientos y los contrasta con modelos establecidos
o situaciones reales.
4.Argumenta la solución obtenida de un problema con
métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales
mediante el lenguaje verbal, matemáticos y el uso de la
tecnología de la información y la comunicación.
5.Cuantifica, representa y contrasta experimental o
matemáticamente las magnitudes del espacio y de las
propiedades físicas de los objetos que los rodean.
Bloque en el Programa de Matemáticas IV:
• VIII: Aplicas funciones periódicas. En este bloque se
estudian las funciones exponenciales, logarítmicas y
periódicas.
Competencias disciplinares:
6.Analiza las relaciones entre dos o más variables de un
proceso social o natural para determinar o estimar su
comportamiento.
7.Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos
con símbolos matemáticos y científicos.
El bloque VIII del programa de Matemáticas IV declara el desarrollo
de las siete competencias del cuadro, la competencia 6 está
presente en el programa de Matemáticas II, pero no se asocia a
los bloques de contenido trigonométrico, lo cual puede resultar
confuso, ya que las funciones periódicas abordadas son las que
denomina como trigonométricas y circulares, abordadas también
en el programa de Matemáticas II.
Por la ubicación curricular de los contenidos hay una separación
de casi un año entre los bloques del programa de Matemáticas II
y el bloque de Matemáticas IV, lo que se explica por la relación del
contenido con la geometría y con las funciones, respectivamente.
Evidentemente el aprendizaje no estará asociado sólo al contenido
que proponen los programas institucionales, sino a cómo es
abordado en el aula, principalmente a las actividades didácticas
que realiza el propio estudiante. Sin embargo, los resultados de
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investigación apuntan a cuestionar los contenidos, su ubicación
curricular y los procesos de enseñanza asociados, por ello
presentamos a continuación una síntesis de las aportaciones
teóricas y didácticas que pueden ayudar tanto a investigadores
como a profesores a entender, en un sentido amplio, los fenómenos
didácticos relacionados con la trigonometría escolar y reconocer
elementos de innovación susceptibles de llevar al aula.
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2. INVESTIGACIÓN
DIDÁCTICA
A fin de entender cuáles son los aprendizajes que logran los
alumnos, se estudia cómo los métodos de enseñanza permiten
alcanzar o no cierta comprensión. Por ejemplo, después de
identificar las dificultades, concepciones o niveles de comprensión
entre los estudiantes, algunas investigaciones cierran con una
discusión sobre la pertinencia de utilizar los métodos del “triángulo
rectángulo” y del “círculo unitario” con la intención de introducir las
razones trigonométricas (Kendal y Stacey, 1998), o bien, utilizar al
círculo trigonométrico como medio para pasar de las razones a las
funciones trigonométricas (De Kee, Mura y Dionne, 1996).
De Kee, et al. (1996) realizan una investigación orientada al
estudio del entendimiento de los estudiantes y concluyen que para
favorecerlo hay que dar más importancia a los lazos entre las diversas
representaciones de las nociones, aunque dichos lazos puedan
parecernos evidentes y triviales cuando ya se posee el concepto. En
esta investigación las autoras resaltan las siguientes concepciones que
los estudiantes manifiestan acerca del seno y el coseno:
• considerarlas como un procedimiento que consiste en dividir una
entre otra las longitudes de dos lados de un triángulo (rectángulo)
y que produce el seno o el coseno de un ángulo (agudo)1,
• lo que se le aplica al punto cuyas coordenadas están en el
círculo trigonométrico;
• funciones de una calculadora; son funciones que
proporcionaban, según los alumnos, el seno y el coseno de un
número que expresaba la medida de un ángulo2 .
_______________________
1
Las autoras reportaron que en ocasiones los alumnos aplicaron ese procedimiento
indebidamente a triángulos que no eran rectángulos o a ángulos que no eran agudos.
2
Esta idea se expresó a pesar de que los alumnos no tenían acceso a una calculadora
durante las entrevistas, continuamente hicieron referencia a ella como un medio
privilegiado para encontrar el valor de un seno o de un coseno.
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curvas con aspecto ondulado característico como las
gráficas de las funciones seno y coseno3.
“Función” es el conjunto de diferentes objetos que comúnmente
llamamos funciones (“la función trigonométrica es el conjunto, el
coseno, el seno, todas esas cosas”.
Además, las autoras encontraron que el alumno no hace diferencia
entre el seno (coseno) como una razón trigonométrica y el seno
(coseno) como función trigonométrica. En esta investigación se
encontraron pocas huellas de comprensión, del género que fuera,
de la función circular y de su papel en la definición de las funciones
trigonométricas. De hecho, ellas cuestionan significativamente el
papel de este método en la enseñanza:
•
Si pensamos que la función circular no es más que un medio didáctico
destinado a volver más visual, más “concreta”, la construcción de las
funciones trigonométricas, esta constatación deja perplejo. Hay que
reconocer que esta aproximación concretiza la definición de las funciones
trigonométricas al precio de complicarla considerablemente. (p. 25)
En este sentido, Grabovskij y Kotel’Nikov (1971) señalan como
dificultad el que la enseñanza de la función trigonométrica (de
argumentos numéricos) en el bachillerato recurra a ideas geométricas
para que el estudiante la entienda, y no a métodos analíticos.
Ante esto proponen la modelación de fenómenos físicos como
medio para permitir el reconocimiento del origen conceptual de la
cantidad trigonométrica y las propiedades que guarda la función. Sin
embargo, la forma en la que se calcula el valor numérico de la función
trigonométrica, aun contextualizada, se establece de manera
explícita como razón proporcional entre dos medidas y se calcula a
través de su cociente. Es decir, en el fondo subyace (y depende de) la
misma “técnica” de cálculo que en el triángulo rectángulo.
Por su parte, Weber (2005) encuentra resultados positivos al
trabajar con el círculo unitario. Su investigación incluye un diseño
didáctico fundamentado en teorías del aprendizaje matemático
y en el estudio del entendimiento que muestran los estudiantes
sobre la función trigonométrica. El autor propone la enseñanza de
la función trigonométrica como procepto4 , y reporta haber logrado
_______________________
3
Incluso algunos alumnos admitían que dichas curvas seguían representando las
mismas funciones cuando sufrían una rotación o un cambio de escala.
4
Entendiendo al procepto como la amalgama entre un proceso que produce un
objeto matemático y un símbolo que se usa para representar tanto al proceso como
al objeto (Gray y Tall, 1994, citado en Weber, 2005).
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que los estudiantes de nivel universitario mostraran habilidad para
aproximarse a los valores de expresiones trigonométricas básicas,
determinaran propiedades de las funciones trigonométricas y
justificaran por qué tienen dichas propiedades. Las actividades
diseñadas en este estudio utilizan el método del círculo unitario
como “procedimiento geométrico” para calcular los valores de
las funciones trigonométricas; el valor se obtiene localizando la
coordenada en el plano donde se intersecta el círculo con la línea que
traza el ángulo en cuestión (figura 1). Producto de esta instrucción se
reconoce que entender el proceso usado para crear la representación
del círculo unitario para las funciones trigonométricas parece ser
una parte integral del entendimiento de estas funciones.
El punto de intersección
de aproximadamente
0.75 a la derecha del
eje y.
40º
El punto de intersección
de aproximadamente
0.65por encima del
eje x.
Figura 1. Proceso geométrico para el cálculo de valores para el seno y el coseno.
Fuente: Weber (2008)
Weber (2008) afirma que:
para entender una operación trigonométrica como función, los
estudiantes necesitan conocer un proceso que puedan usar para evaluar
dicha función para cualquier ángulo dado, y deben ser capaces de anticipar
aproximadamente el resultado de este método y razonar sobre las
propiedades del resultado sin llevar a cabo los pasos del proceso (p. 145).
Sin embargo, lo que subyace al valor numérico de la coordenada que
localiza el estudiante es, de nuevo, el valor que resulta de dividir dos
longitudes de los lados de un triángulo rectángulo.
En la coexistencia de ambos métodos, el del triángulo rectángulo
para introducir a la trigonometría y el del círculo unitario para
transitar de la razón a la función trigonométrica, también se han
reportado dificultades del estudiante. Maldonado (2005) diseñó
un cuestionario con base en los contenidos institucionales de tres
sistemas educativos mexicanos para explorar las concepciones
de los estudiantes alrededor de la función trigonométrica. Su
diseño dibuja tres etapas escolares: el planteamiento de la razón
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trigonométrica, la relación entre ángulos medidos en grados y
radianes, y la comprensión de las propiedades. En la experiencia,
los estudiantes no mostraron una concepción de funcionalidad
de los conceptos trigonométricos, es decir, se conservan la razón
trigonométrica y sus unidades de medida como el instrumento de
resolución de todo aquello que se relacione con el seno, el coseno,
la tangente y sus recíprocas, aunque se trate ya de una función.
Maldonado identificó en la relación (equivalencia) del radián y el real,
el punto neural para construir y entender la noción funcional de las
relaciones trigonométricas y concluye que al no hacerse explícita
en el discurso matemático escolar, al estudiante le es indistinto el
tratamiento como razón o como función (ver figura 2).
+1
180º 135º 90º 45º
45º 90º 135º 180º
-1
Figura 2. Una respuesta a la pregunta: ¿para qué valores de x se satisface
sen x = cos x ? Argumenta tu respuesta graficando sen x y cos x .
Fuente: Maldonado (2005).
Tanto las dificultades como los desempeños positivos, producto
de innovaciones didácticas, están fuertemente vinculados al uso de
herramientas y nociones matemáticas relacionadas con las razones o
las funciones trigonométricas, por ejemplo el uso de grados o radiantes
para su argumento, de la semejanza y la proporcionalidad en el caso
de las razones o de la variación para las funciones, su representación
visual en el triángulo o en el plano cartesiano, entre otras.
Una mirada alternativa para separar estas nociones y ubicarlas
cada una con una “técnica de enseñanza”, propone un uso integral
de ellas para favorecer un entendimiento trigonométrico coherente
(Moore, 2012). Para ello, Moore (2012, 2010; Moore, LaForest, Kim,
2012) diseña actividades didácticas, en el contexto del círculo, que
van desde la medición angular hasta la graficación de las funciones
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trigonométricas y que favorecen el razonamiento cuantitativo5, el
uso del radio del círculo como unidad de medida y el razonamiento
covariacional. Es decir, no propone un diseño didáctico para
aprender el concepto de función trigonométrica, sino una serie
de tareas que le dan coherencia al uso de múltiples nociones
matemáticas relacionadas con ella. Si bien consideramos acertado
el uso del contexto del círculo para la actividad trigonométrica,
identificamos que para concretar las actividades en la gráfica de la
función el estudiante requiere previamente de la definición de razón
trigonométrica.
Problematizando la trigonometría
Además de reconocer los logros y las dificultades en el estudiante
y asociarlos con el cómo enseñamos e inferir cómo se aprende,
desde la investigación nos hemos ocupado por entender su porqué.
Desde el enfoque teórico de la Socioepistemología, lo hacemos
cuestionando también el qué enseñamos, es decir, problematizando
a la propia matemática en juego y desde ahí hemos logrado una
explicación más amplia de por qué ciertas dificultades o por qué el
éxito de algunas innovaciones didácticas, independientemente del
enfoque pedagógico que subyace a la práctica educativa. Partimos
del principio de reconocer la naturaleza de cada saber matemático
en juego y para el caso del conocimiento trigonométrico iniciamos
nuestros estudios en su escenario histórico de origen. Identificar el
desarrollo y la evolución de las nociones trigonométricas en relación
con las circunstancias histórico-sociales donde se sitúan, nos da un
marco para entender por qué la coherencia que propone Moore es
efectivamente una vía para integrar nociones matemáticas y por
qué el estudiante usa elementos geométricos para trabajar las
funciones trigonométricas.
Es así que Montiel (2011) propone una construcción basada en
prácticas y no sólo en conceptos, poniendo énfasis a la construcción
de la relación y la funcionalidad trigonométricas y sus respectivos
desarrollos del pensamiento geométrico-proporcional y analíticofuncional; en contraste con la visión tradicional sobre el aprendizaje
de la razón y la función. En el cuadro 3 sintetizamos los elementos de
la epistemología de prácticas que fundamenta el uso y la significación
de las herramientas trigonométricas para una construcción
articulada de las razones y las funciones trigonométricas.
_______________________
5
Entendido como la forma en que se razona sobre las cantidades (por ejemplo,
los atributos medibles de los objetos) y las relaciones entre ellas (por ejemplo, la
comparación multiplicativa entre dos cantidades).
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Cuadro 3. Principios para la construcción de las relaciones trigonométricas
(columna de la PS-Anticipación) y de la funcionalidad trigonométrica (columna de la
PS-Predicción) en un escenario histórico.
PRÁCTICA SOCIAL
Anticipación
Predicción
Matematización de la
Astronomía
Matematización de la
Física
Estático-proporcional
Dinámico-periódico
Geométrico-numérico
Curvas-ecuaciones
Helenística-euclidiana
Física-matemática
Herramienta
Razón trigonométrica
Función trigonométrica
Variables
sen ! (longitud)
𝜙𝜙 ángulo (en grados)
sen ! (distancia)
! tiempo (radián-real)
Práctica de Referencia
Contexto
Lenguaje
Racionalidad
Escala de tiempo
•
Finita
Infinitesimal-infinito
Momento de anticipación
En el primer periodo histórico se identifica a la anticipación
como la práctica social que regula las actividades asociadas
a la matematización de la astronomía. Ya sea para la
predicción o la explicación de fenómenos celestes, era
necesario que éste sucediera para estar en condiciones de
comprobar el dato y, a la vez, el modelo; la matematización,
numérica o geométrica, orientaba las decisiones prácticas de
la agricultura, el comercio o la navegación, del mismo modo
que guiaba las explicaciones teóricas de la astronomía o la
geografía. Esto es, se tenía la “necesidad” de anticipación
al fenómeno. Este acto anticipatorio preconfigura la
emergencia de un conocimiento y, en consecuencia, de un
saber institucional.
La trigonometría se constituye como un preliminar
matemático de la teoría astronómica, que en virtud del
dominio de la racionalidad helenística debía desarrollarse
en el marco epistemológico que brindaba la geometría
deductiva. La construcción de “modelos a escala” de
una entidad real no manipulable (la inmensidad celeste)
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constituye una transición de lo macro a lo micro, donde la
proporcionalidad entre ellos (realidad presente y realidad
representada) condiciona la precisión del modelo. De
manera natural, las razones se convierten en la abstracción
inmediata de la proporción y los círculos, los arcos/ángulos
y las cuerdas en los elementos constitutivos del modelo
geométrico.
El conocimiento trigonométrico que se construye en
este momento de anticipación, al estar vinculado a la
matematización de la astronomía, está considerando una
escala de tiempo finito, humana y cosmológica a la vez,
cuyo periodo depende en definitiva del fenómeno específico
en cuestión (día-noche, fases lunares, estaciones del año,
eclipses, posición de un cuerpo celeste). Así, encontramos que
la periodicidad y el valor de las cuerdas (valores acotados)
estaban vinculados a la repetición de fenómenos astronómicos
y a la posición de los cuerpos celestes, respectivamente, y
una vez que eran encontrados periodo y posición, no había
razón alguna para su estudio en tanto propiedad de la relación
trigonométrica.
• Momento de predicción
Para desarrollar nuevas herramientas trigonométricas fue
necesaria una concepción matematizable del movimiento,
es decir, concebir cualidad y movimiento en términos de
entes abstractos (figuras y números). Del siglo xvi al siglo
xvii se da una emergencia conjunta de los conceptos físicos
y los conceptos matemáticos, donde autores como De
Gandt (1999) reconocen al estudio del movimiento y de
las velocidades como lo que introduce a los problemas y
descubrimientos del cálculo infinitesimal.
En el desarrollo de la teoría newtoniana se puede reconocer
el contexto dinámico con que se tratan tanto los fenómenos
como los objetos matemáticos. Newton integra en una sola
teoría las primeras leyes matemáticas que describen el
movimiento celeste de Kepler, con las leyes del movimiento
terrestre elaboradas por Galileo (Cantoral y Farfán, 2004),
partiendo de una interpretación de los objetos geométricos
como entidades generadas por un movimiento continuo,
pero que no podía ser reducido a una geometría del
movimiento y que se fundaba sobre un tratamiento de las
ecuaciones algebraicas que prefiguraban de algún modo
la noción analítica de la función (Panza, 2001). Una figura
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11/28/13 10:56 AM
26
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO
TRIGONOMÉTRICO
geométrica se concibe entonces como una especie de
mecanismo donde el movimiento se transmite de acuerdo
con las articulaciones de la figura; las líneas y las superficies
vienen engendradas, en sentido propio, por desplazamientos
(De Gandt, 1999).
La predicción, entendida como la necesidad de conocer un
estado futuro con base en el presente y las variaciones de su
pasado, se reconoce como la práctica social que regula las
actividades asociadas a esta matematización de la física, y
el paso del fenómeno celeste al modelo mecánico constituye
una vía de transición de lo geométrico al plano funcional.
El método de los infinitesimales hace de la serie infinita la
expresión matemática para representar la relación entre
dos cantidades variables, sus cambios y sus variaciones. En
este sentido, la cantidad trigonométrica se despojará de su
carácter geométrico-estático cuando pase de ser la medida
de una línea en el círculo a una cantidad cuya ley de variación
describa un movimiento particular.
La cantidad trigonométrica, reconocida como trascendente,
adquiere el estatus de función analítica al aplicarle los
métodos del análisis infinitesimal. Los infinitos le permiten
a Euler poner al descubierto la estructura interna de las
funciones (Durán, 2009), que para el caso del seno y el
coseno la constituye sus propiedades periódica y acotada.
En este sentido, se dan cambios importantes como trasladar
el foco de atención del tiempo (o periodo) al movimiento, de
lo periódico del tiempo a lo periódico del movimiento, pero
siempre referido al comportamiento del objeto en cuestión.
Este movimiento se caracteriza por lo que tienen en común
la cuerda vibrante, las ondas de sonido que produce la
campana, las ondulaciones del agua y los flujos (o corrientes)
marinas; lo que actualmente denominamos movimiento
de un oscilador armónico. Una vez que lo trigonométrico
adquiere el estatus de función, son sus propiedades lo que
la convertirán en una herramienta poderosa en el análisis
matemático. El uso de lo trigonométrico se ampliaría en la
resolución de problemas físico-matemáticos específicos,
pero en un momento en donde la matemática se perfila
hacia la racionalidad del rigor lógico.
Con esta epistemología de prácticas no se pretende una reproducción
de lo sucedido en la historia (una génesis ficticia, como se le conoce
en la disciplina), sino una reconstrucción de condiciones tales
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DESARROLLO DEL PENSAMIENTO
TRIGONOMÉTRICO
27
como el contexto, el lenguaje, la racionalidad y, principalmente, el
manejo adecuado de las escalas de tiempo; reconociendo que las
actividades estarán matizadas por el escenario, el planteamiento
de situaciones-problema y los participantes (edad, conocimientos
previos, tradición escolar, etc.).
Esta epistemología nos ha permitido explicar las dificultades del
estudiante al reconocer que la introducción a la trigonometría a
través del estudio del triángulo rectángulo despoja a las razones
trigonométricas de todo aquello que le da origen, sentido y
significado; es decir, hay una pérdida del proceso geométrico en la
construcción de lo trigonométrico. El discurso Trigonométrico Escolar
(dTE) ha convertido a las razones trigonométricas en el proceso
aritmético de dividir las longitudes de los lados del triángulo, esto
es, en una técnica para encontrar valores faltantes de un triángulo.
En ese sentido, entendemos que los resultados positivos de Moore
se deben en gran medida a devolverle a lo trigonométrico esas
condiciones que le son propias.
En la investigación de Jácome (2011), profesores mexicanos del nivel
medio superior, en un contexto de actualización docente, llevaron a
cabo una experiencia didáctica cuya intención fue trabajar relaciones
de proporcionalidad en la construcción de modelos geométricos
para resolver una situación-problema tradicional de “cálculo de
distancias inaccesibles”. El diseño de la situación-problema pone
énfasis en la toma de medidas angulares y en la construcción
de modelos geométricos a escala, a través de la experiencia y la
manipulación. Es decir, no se les proporcionó una ilustración con
medidas hipotéticas, sino que se les pidió localizar un objetivo (alto)
en su entorno para calcular su altura.
En los reportes entregados por los profesores se pueden observar
distintos fenómenos, algunos entendibles por tratarse de profesores
del nivel medio superior. Por ejemplo, quienes utilizan la razón
trigonométrica tangente (RTT) como herramienta para resolver
el problema hablan de función trigonométrica, función tangente,
procedimiento trigonométrico, relación tangente, razones
trigonométricas o, simplemente, fórmula tangente. En el nivel
medio superior se trabaja con mucho más énfasis en las funciones
trigonométricas, así que la ambigüedad entre razón (también vista
como fórmula o procedimiento) y función es bastante frecuente.
Sin embargo, entre estos profesores se presentó un hecho (ver
figura 3) que no se había atendido en la investigación sobre estos
tópicos y que resultó de nuestro interés porque pone en evidencia
la necesidad de un rediseño del discurso matemático escolar que se
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DESARROLLO DEL PENSAMIENTO
TRIGONOMÉTRICO
28
sustente en la problematización de lo que estamos enseñando y no
sólo de cómo lo estamos enseñando.
60º
50º
40º
1.66m
1
2
3
Figura 3. Ejemplo de significado lineal en la relación ángulo-distancia (cateto).
Los pasos que sigue el profesor para calcular la altura de un objetivo
alto, tomando medidas a 1, 2 y 3 metros de distancia, son básicamente
los de la tradición escolar. Sin embargo, la representación gráfica
nos muestra que la costumbre didáctica de enfatizar la relación
proporcional entre los lados del triángulo rectángulo pudiera sugerir
también una relación lineal entre el ángulo y el cateto adyacente,
cuando éste, para el caso de la experiencia, incrementa su medida
en forma constante.
Partimos de asumir que la razón trigonométrica, como herramienta,
si bien resuelve el problema de calcular la altura del edificio
(cumpliendo así con el objetivo escolar de elegir correctamente
la razón trigonométrica tangente y calcular el valor faltante),
no asegura un pensamiento trigonométrico ante el manejo del
triángulo, sus elementos y las relaciones entre éstos. Por ello, no
centramos nuestra atención en el manejo del objeto matemático (la
razón trigonométrica), sino en la práctica que demanda de modelar
una realidad macro no manipulable, cuantificando la inclinación
mediante el uso de ángulos, midiendo distancias y trazando
proyecciones al construir triángulos, así como de la construcción
de modelos geométricos haciendo uso de la semejanza y las
herramientas que se requieran para representar la situación vivida
con el objetivo de estudiarla.
Con base en lo anterior no podemos declarar que el profesor no
domina los conceptos o tiene concepciones erróneas, sino que
hay significados de lo trigonométrico que subyacen a su quehacer:
significado lineal, significado como división de longitudes, significado
como técnica para obtener un valor; porque subyacen también a
la trigonometría escolar y, en consecuencia, a todo aquello que la
transmite con intencionalidad didáctica.
4700 INT VOL 2.indd 28
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DESARROLLO DEL PENSAMIENTO
TRIGONOMÉTRICO
29
Con el objetivo de enfrentar estos fenómenos, ya sea para evitarlos
o ayudar al estudiante a superarlos, y al mismo tiempo buscar dar
respuesta a la demanda institucional de atender al aprendizaje de
las razones trigonométricas se han diseñado actividades didácticas
que incorporan algunos resultados de la investigación, como la
que presentamos a continuación. Proponemos su resolución y
posterior análisis para identificar cómo se reorienta la actividad
didáctica para poner énfasis en el uso de más herramientas y
nociones geométricas, en la manipulación de objetos matemáticos,
en la modelación de lo macro con lo micro, en la medición, en el
reconocimiento de regularidades y relaciones, pero sobre todo en
la interacción del estudiante con su entorno haciendo matemáticas.
Calculando alturas
Para realizar esta actividad necesitas salir de tu salón. El grupo
debe elegir un objetivo alto (edificio, poste o un árbol) para
calcular su altura aproximada y deben formar equipos de mínimo
tres integrantes.
Cada equipo requiere de los siguientes materiales:
•
•
•
•
Una cinta métrica.
Un popote.
Una regla.
Un transportador.
•
•
•
Tijeras.
Lápiz.
Hojas de trabajo.
Actividad 1.
Localiza el objetivo
En equipos de tres elijan el un
objeto para que un equipo se
posicione a dos metros del
objetivo (árbol, poste o edificio),
otro a cuatro metros y el último
a cinco metros. En cada equipo
un integrante, usando el popote
como telescopio, localice su
punto más alto (ver figura A).
Otro integrante se encargará
de tomar las medidas y el
tercero de registrarlas.
4700 INT VOL 2.indd 29
Figura A.
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DESARROLLO DEL PENSAMIENTO
TRIGONOMÉTRICO
30
Actividad 2. A medir
Primero se debe tomar la medida aproximada del ángulo de
inclinación que tiene el popote, tal como mostramos en las
figuras B1 y B2 Es importante que al medir el ángulo consideren
los siguientes casos (dependiendo desde dónde estén haciendo
sus observaciones):
0
0
10
180 170
170 180
160
0 20 10
15
0 30
14 0
4
30º
20
160 30
15
0 40
14
0
80 90 100 1
1
70
0 90 80 7 0 12
0
60 110 10
0
60 13
20
0
1
5 0
50 0
13
Figura B1. Midiendo el ángulo en el sentido de las manecillas del reloj (de izquierda
a derecha)
Enseguida debe tomarse la medida del piso al punto más bajo
donde se posiciona el popote (figura 3).
30º
0
20
160 30
15
0 40
14
0
0
10
180 170
170 180
160
0 20 10
15
0 30
14 0
4
80 90 100 1
1
70
0 90 80 7 0 12
0
60 110 10
0
0
60 13
2
0
5 01
50 0
13
Figura B2. Midiendo el ángulo en sentido opuesto a las manecillas del reloj
(de derecha a izquierda).
4700 INT VOL 2.indd 30
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DESARROLLO DEL PENSAMIENTO
TRIGONOMÉTRICO
31
?
Figura C.
Actividad 3. Construyendo un modelo geométrico
¡Ya puedes volver a tu salón!
Con la medida obtenida del ángulo de elevación construyan tres
triángulos rectángulos con bases b = 5, b = 10 y b = 15 centímetros,
como se muestra en la siguiente figura.
aº
base= 10 centímetros
¿Cuánto mide la altura de cada triángulo? Recórtalos y completa
la siguiente tabla con las medidas que has encontrado.
Triángulo
h
aº
Base (b)
1
5 cm
2
10 cm
3
15 cm
Altura (h)
b
4700 INT VOL 2.indd 31
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DESARROLLO DEL PENSAMIENTO
TRIGONOMÉTRICO
32
Actividad 4. Regresando a la situación inicial
Los triángulos que construiste son semejantes, por lo tanto, sus
lados guardan una relación proporcional:
Coloca los valores de tus
triángulos
Relación proporcional
!"#$ !"# !"#á!"#$% 2 !"#$ !"# !"#á!"#$% 1
= !"#$%! !"# !"#á!"#$% 2
!"#$%! !"# !"#á!"#$% 1
5
!"#á!"#$% 3 !"#$ !"# !"#á!"#$% 1
!"#$ !"# = !"#$%! !"# !"#á!"#$% 3
!"#$%! !"# !"#á!"#$% 1
5
!"#á!"#$% 3 !"#$ !"# !"#$ !"# !"#á!"#$% 2
= !"#$%! !"# !"#á!"#$% 2
!"#$%! !"# !"#á!"#$% 3
10
=
10
“la base del triángulo 1 es a su altura, como la base del triángulo 2 es a la suya”
=
15
“la base del triángulo 1 es a su altura, como la base del triángulo 3 es a la suya”
=
15
“la base del triángulo 2 es a su altura, como la base del triángulo 3 es a la suya”.
Teniendo las razones proporcionales de las medidas, puedes usar
la regla de tres para encontrar alguna medida que haga falta.
Observa el siguiente esquema de la situación inicial.
aº
3 metros
4700 INT VOL 2.indd 32
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DESARROLLO DEL PENSAMIENTO
TRIGONOMÉTRICO
33
El triángulo superpuesto a la imagen también sería semejante a
los que construiste, así que puedes calcular una parte de la altura
aproximada del objetivo utilizando la regla de tres y las medidas
de alguno de los triángulos construidos. ¡No olvides que la base
del triángulo superpuesto está en metros y los triángulos que tú
construiste están en centímetros!
Si al resultado le sumas la medida que ya calculaste del piso
al punto más bajo donde se posicionó el popote, obtendrás
aproximadamente la medida total de tu objetivo, ¿cuál es?
Actividad 5. Veamos las regularidades
A partir de la medida angular que obtuviste construimos triángulos rectángulos semejantes que nos sirvieron como herramientas para aproximarnos a la medida de tu objetivo. Otros equipos
calcularon la medida del mismo objetivo que tu equipo, pero a
una distancia distinta de él y obtuvieron otro ángulo.
aº
bº
El nuevo triángulo que se observa cambió el tamaño de su base,
la medida del ángulo señalado y su hipotenusa, pero no cambia su
altura. Si hablamos del problema inicial, esto suena lógico, porque
no importa desde dónde veamos el objetivo, su tamaño siempre
es el mismo.
Completa la tabla con los datos de los otros equipos:
Distancia al objetivo
Ángulo de inclinación
2 metros
4 metros
5 metros
! = 56.31°
!" = 2
4700 INT VOL 2.indd 33
! = 90°
! = 45°
!" = 3.61
!" = 3
!" = 4.24
! = 33.69°
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DESARROLLO DEL PENSAMIENTO
TRIGONOMÉTRICO
34
Distancia al objetivo
Ángulo de inclinación
metros
Actividad 6.2Modificando
medidas en los triángulos
Los triángulos
que hemos usado en las actividades anteriores son
4 metros
todos triángulos rectángulos. Al cambiar la longitud de uno de los
5 metros rectángulo cambian también las medidas
catetos del triángulo
de dos de sus ángulos y la longitud de la hipotenusa, mira los
ejemplos:
! = 56.31°
!" = 2
T1
C
! = 56.31°
AC = 2
! = 90°
A
C
!" = 3
T2
! = 45°
! = 45°
c
BC = 3.61
AB = 3
! = 90°
!" = 3.61
AC
!" =
3 = 3! = 90°
c
!" = 4.24
!" = 4
! = 90°
BC = 5
c
AC = 4
BC = 4.24
!" = 3
! = 45°
! = 90°
B
! = 36.87°
!" = 5
A
AB = 3
! = 45°
B
! = 33.69°
C
! = 36.87°
T3
! = 33.69°
!" = 3
! = 90°
! = 53.13°
A
! = 90°
AB = 3
B
! = 53.13°
Completa la tabla con los valores que le correspondan a cada
triángulo:
Triángulo
T1
Medida del
ángulo θ
Longitud del
cateto AC
Longitud del
cateto AB
Longitud de la
hipotenusa BC
T2
T3
Si el punto B representara tu posición frente al objeto que mediste
en la actividad y � el ángulo que inclinas el popote para dirigirlo
a tu objetivo (posición del punto C), entonces a mayor inclinación
más alto tu objetivo a medir.
¿Podrías
un ángulo
ánguloθ �
40°sinsin
¿Podrías calcular
calcular lala longitud
longitud de
deAC
AC para
para un
==
40˚
construir
un
triángulo?
construir un triángulo?
Sí
¿Cómo?
No
¿Por qué?
¿Podrías calcular la medida del ángulo θ si la longitud de AC es igual
a 5?
Sí
4700 INT VOL 2.indd 34
¿Cómo?
11/28/13 10:56 AM
¿Podrías calcular la longitud de AC para un ángulo θ = 40˚ sin
construir un triángulo?
DESARROLLO
DEL
PENSAMIENTO
¿Cómo?
Sí
TRIGONOMÉTRICO
No
35
¿Por qué?
¿Podrías calcular la medida del ángulo � si la longitud de AC es
¿Podrías calcular la medida del ángulo θ si la longitud de AC es igual
igual a 5?
a 5?
Sí
¿Cómo?
No
¿Por qué?
Actividad 7. ¿Cómo se relacionan ángulo y cateto?
En la siguiente figura, tomando de referencia la línea horizontal, se han
trazado varios segmentos a distinta inclinación, que se intersectan
de la proyección en la
Longitud de la proyección en la
con
las !líneasLongitud
verticales
que pasan por los
puntos
B y C (y que son
Ángulo
línea que pasa por B
línea que pasa por C
perpendiculares a la línea horizontal), las intersecciones como
CC1= inclinación del
proyecciones de losBB1=
ángulos. Observa cómo a mayor
segmento hay un incremento
en
la
longitud
de
la
proyección.
CC2=
BB2=
CC3=
BB3=
¿Podrías calcular la longitud de AC para un ángulo θ = 40˚ sin
CC4=
BB4=
construir un triángulo?
¿Cómo?
Sí
Longitud de la proyección
en la ¿Por
línea que
pasa por D
qué?
Ángulo !
No
Ángulo !
DD1=
B4
DD2=
BB4 = 4.2
Longitud de la proyección
C3
en la línea que
pasa por D
DD5=
CC3 = 4.66
DD6=
DD7= de
DD3= la medida del ángulo θ si la longitud
C2 AC es igual
¿Podrías calcular
CC2 = 2.68
B3
a 5?
DD8=
DD4=
BB3 = 2.33
Sí
¿Cómo?
C1
B2
! BB2
==45°
1.34
CC1 = 1.76
B1
No
A
¿Por qué?
AB = 5
BB1 = 0.88
AC = 10
Completa la tabla con las longitudes de las proyecciones y el
ángulo de inclinación del segmento que las producen.
Ángulo !
Ángulo !
4700 INT VOL 2.indd 35
Longitud de la proyección en la
línea que pasa por B
BB1=
CC1=
BB2=
CC2=
BB3=
CC3=
BB4=
CC4=
Longitud de la proyección
en la línea que pasa por D
DD1=
DD2=
Longitud de la proyección en la
línea que pasa por C
Ángulo !
Longitud de la proyección
en la línea que pasa por D
DD5=
DD6=
11/28/13 10:56 AM
DESARROLLO
DELθPENSAMIENTO
calcular la longitud de AC
para un ángulo
= 40˚ sin
TRIGONOMÉTRICO
construir un triángulo?
¿Podrías
36
¿Cómo?
Sí
No
¿Por qué?
De nuevo tienes proyecciones, sobre la vertical, incrementando en
longitud. Completa la tabla con las longitudes de las proyecciones
y del ángulo de inclinación de los segmentos que las producen.
¿Podrías calcular la medida del ángulo θ si la longitud de AC es igual
a 5?
D8
Sí
¿Cómo?
No
¿Por qué?
D7
D6
D5
D4
D3
Longitud de la proyección en la
línea que pasa por B
Ángulo !
A
Longitud de la proyección en la
línea que pasa
D2 por C
BB1=
CC1=
BB2=
CC2=
BB3=
CC3=
BB4=
CC4=
D1
D
Completa la tabla con las medidas del ángulo y las longitudes de
las proyecciones.
Ángulo !
Longitud de la proyección
en la línea que pasa por D
DD1=
Ángulo !
Longitud de la proyección
en la línea que pasa por D
DD5=
DD2=
DD6=
DD3=
DD7=
DD4=
DD8=
Actividad 9. encontrando regularidades
Actividad
8. Encontrando regularidades
! = 45°
C1
B1
A
4700 INT VOL 2.indd 36
! = 45°
B
Observemos que las proyecciones sobre las líneas
verticales, trazadas con el mismo segmento a 45º,
Observemos
las proyecciones
tienen diferentesque
longitudes.
Esto se debe a que
sobre
verticales,
trazadas
tambiénlas
se líneas
relacionan
con otra longitud,
¿puedes
ver cuál?
con
el mismo segmento a 45° tienen
diferentes longitudes. Esto se debe a
que también se relacionan con otra
longitud, ¿puedes ver cuál?
C
11/28/13 10:56 AM
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO
TRIGONOMÉTRICO
37
Considera que ABB1 y ACC1 son triángulos rectángulos semejantes.
La relación ángulo-cateto o ángulo-hipotenusa, de cada triángulo,
no guarda una relación conocida hasta ahora (proporcional,
lineal o cuadrática, por ejemplo); pero la relación cateto-cateto
o cateto-hipotenusa, entre los triángulos sí. Así que vamos a
encontrar regularidades entre todos los elementos del triángulo.
Relación proporcional
Coloca los valores numéricos
!"#$%&'( !"# !"#$#% !!!
!"#$%&'( !"# !"#$#% !!!
=
!"#$%&'( !" !" ℎ!"#$%&'() !!! !"#$%&'( !" !" ℎ!"#$%&'() !!!
!"#$%&'( !"# !"#$#% !!!
!"#$%&'( !"# !"#$#%
!!
Relación proporcional
=
!"#$%&'( !" !" ℎ!"#$%&'() !!! !"#$%&'( !" !" ℎ!"#$%&'() !!!
Coloca los valores numéricos
!"#$%&'( !"# !"#$#% !!!
!"#$%&'( !"# !"#$#% !!!
!"#$%&'( !"# !"#$#% !!! = !"#$%&'( !" !" ℎ!"#$%&'() !!
!"#$%&'( !"# !"#$#% !!!
!"#$%&'( !" !" ℎ!"#$%&'() !!
! =
!
!"#$%&'( !"! !"#$#% !!! !"#$%&'( !"! !"#$#% !!
!"#$%&'( !"# !"#$#%
!!
!"#$%&'( !"# !"#$#% !!!
=
!"#$%&'( !" !" ℎ!"#$%&'() !!! !"#$%&'( !" !" ℎ!"#$%&'() !!!
Estas proporciones las encontraremos para cualquier proyección
trigonométrica
Triángulo
rectángulo
!"#a
!"#$#%
!!!
!"#$%&'( !"# !"#$#% !!
del Razón
mismo
ángulo! =y!"#$%&'(
van
recibir
el nombre de razones
!"#$%&'( !"! !"#$#% !!! !"#$%&'( !"! !"#$#% !!
trigonométricas.
!"#$#% !"#$%&!
!"
sen ∅ =
sen ! =
senhacen
!=
Completa
la siguiente tabla con los datos que
ℎ!"#$%&'()
!" falta.
C
Triángulo rectángulo
Razón trigonométrica
!"#$#% !"#!$%&'%
cos ! =
ℎ!"#$%&'()
!"#$#% !"#$%&!
sen ! =
ℎ!"#$%&'()
!"#$#% !"#$%&!
tan ! =
!"#$#% !"#!$%&'%
!"#$#% !"#!$%&'%
cos ! =
ℎ!"#$%&'()
ℎ!"#$%&'()
csc ! =
!"#$#% !"#$%&!
!"#$#% !"#$%&!
tan ! =
!"#$#% !"#!$%&'%
ℎ!"#$%&'()
sec ! =
!"#$#% !"#!$%&'%
ℎ!"#$%&'()
csc ! =
!"#$#% !"#$%&!
!"#$#% !"#!$%&$'&
cot ! =
!"#$#% !"#$%&!
ℎ!"#$%&'()
sec ! =
!"#$#% !"#!$%&'%
cot ! =
!"#$#% !"#!$%&$'&
!"#$#% !"#$%&!
C
∅
A
A
!
!
!"
sen ! =
!"
tan ! =
cos ! =
csc ! =
tan ! =
!"
sec ! =
!"
csc ! =
cot ∅ =
!"
sec ! =
!"
cos ! =
∅
! = 90°
B
! = 90°
B
cot ∅ =
sen ∅ =
cos ∅ =
!"
!"
cos ∅ =
!!
csc ∅ =
!"
!"
tan ∅ =
!"
sec ∅ =
!!
csc ∅ = !"
cot ∅ =
sec ∅ =
tan ∅ =
cot ∅ =
Como se puede apreciar en el diseño y en cualquier libro para el
nivel básico-secundaria, la introducción a la trigonometría se
contextualiza en la geometría y ésta por tradición escolar hace
4700 INT VOL 2.indd 37
11/28/13 10:56 AM
38
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO
TRIGONOMÉTRICO
uso de los ángulos medidos en grados. En este sentido, explicamos
el uso de elementos geométricos en el trabajo con las funciones
trigonométricas, que reporta Maldonado (2005), no por falta del
dominio analítico en los estudiantes, sino porque es el triángulo
donde ellos calculan “la cantidad trigonométrica” y los ángulos, como
elemento constitutivo del triángulo, siempre se mide en grados. Sin
embargo, en esta tradición escolar el uso de los triángulos tiene un
carácter puramente ilustrativo, no son construcciones geométricas
en el sentido estricto y ello puede provocar que lo trigonométrico se
vea sólo como la relación entre ángulos y catetos, y no se estudie la
naturaleza de esta relación, que es en donde radica lo trigonométrico.
Éste es un punto de rediseño que, desde la socioepistemología,
reconocemos fundamental en la trigonometría y se manifiesta en
actividades de construcción geométrica y análisis de la naturaleza
de la relación entre ángulo y catetos del triángulo rectángulo.
El tratamiento de las funciones trigonométricas, en el nivel medio
superior se basa en una extensión de las razones insertando
el triángulo rectángulo en el círculo unitario, gracias al cual se
establece el dominio de la función en todos los reales, el significado
de un ángulo negativo, la conversión de la unidad de medida:
grados ↔ radianes, la equivalencia entre radianes y reales, la
periodicidad y el acotamiento de la función para el caso del seno
y coseno. Es decir, el círculo se introduce ya que se han aprendido
las razones trigonométricas y no como el escenario natural donde
emergen.
Un discurso trigonométrico escolar basado en la epistemología de
prácticas propuesta por Montiel (2011) centraría la actividad del
estudiante en construcciones geométricas a partir de las cuales se
reconozca lo trigonométrico en la relación ángulo-cuerda y en cómo
las razones trigonométricas son la herramienta para cuantificar
dicha relación; de tal suerte que el círculo no sería una estrategia
didáctica para pasar de las razones a las funciones, sino el contexto
en donde se realizan las construcciones geométricas y que da
significado, uso y sentido al triángulo rectángulo. La evolución de
la razón trigonométrica a las funciones trigonométricas dependería
de la evolución de las situaciones-problema y no de un cambio
conveniente de lenguaje y herramientas matemáticas.
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3. IMPLICACIONES DIDÁCTICAS
DE UN REDISEÑO DEL DTE
Antes de abordar elementos de rediseño e innovación es importante
reconocer que la medición angular es una actividad fundamental para
construir lo trigonométrico y resulta una de las más complejas, no
sólo porque es de naturaleza distinta a la medición de longitudes por
ejemplo, sino porque el ángulo es un concepto escolar mutifacético
al que se le asocian diversos significados, según la tarea matemática
en donde se le sitúe. Rotaeche (2008; Rotaeche y Montiel, 2011)
identificó que si bien usar el concepto de ángulo resulta una tarea
compleja, los estudiantes son capaces de usar y cuantificar la
angularidad, por ejemplo, usando fracciones para hablar de partes
de vuelta. Es decir, es necesario reconocer el uso de la angularidad
que harán los estudiantes en las actividades trigonométricas para
identificar si cuentan con los antecedentes para no tener dificultades
con la medición.
Con el objetivo de articular los distintos resultados de investigación
e innovación con la epistemología de prácticas antes discutida,
vamos a desarrollar una secuencia de actividades “prototípicas” que
no constituyen un diseño para implementarse en cualquier escenario
escolar, sino que conforman la base de prácticas a partir de la cual se
pueden elaborar diseños de clase que se adapten a las condiciones
institucionales particulares de quien las poga en marcha.
Fase 1. Planteamiento y exploración de un problema
Cambiando las condiciones del problema que propone Vohns
(2006), planteamos:
André y Carlo están en distintos lugares del parque, pero a la
misma distancia de la campana donde inicia la ciclopista (4 km).
¿Cuál es la distancia entre ellos?
Forma equipos de 3 integrantes y discutan:
• Las diferentes posiciones en las que pueden estar André
y Carlo (apóyense con dibujos para ejemplificar estas
posiciones)
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DESARROLLO DEL PENSAMIENTO
TRIGONOMÉTRICO
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¿Qué posiciones permiten obtener la distancia con cálculos
aritméticos y por qué?
Y se espera que se propongan dibujos que puedan representar hasta
cuatro casos:
André
Campana
André
Campana
Carlo
Figura 4. Caso 1.
Carlo
Figura 5. Caso 2.
André
Campana
André
Carlo
Carlo
Figura 6. Caso 3.
Campana
Figura 7. Caso 4.
Los casos en donde se puede obtener la distancia con cálculos
aritméticos son cuando André y Carlo están en extremos opuestos
(figura 4), y cuando entre ellos y la campana se forma un triángulo
rectángulo (figura 5). Probablemente en el primer caso no exista
necesidad de introducir al ángulo como argumento; sin embargo,
para el segundo caso sí lo es o no podría calcularse la distancia con
el teorema de Pitágoras. Es decir, es este caso el que nos ayuda a
introducir el dato necesario para calcular la distancia en cualquier
otro caso; de ahí que pueda hablarse del caso genérico cuando el
ángulo formado entre André, Carlo y la campana sea menor a 90º
(figura 6) o el caso genérico cuando el ángulo sea mayor (figura 7).
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DESARROLLO DEL PENSAMIENTO
TRIGONOMÉTRICO
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Fase 2. Un contexto para las construcciones geométricas
Para hablar de cualquier caso es necesario variar las posiciones
de André y Carlo. Por ejemplo, con la ayuda de un programa
computacional de geometría dinámica se puede mostrar que un
círculo representaría todas las posiciones posibles para ambos
activando el ‘rastro de una de las posiciones’ (Figura 8).
Carlo
André
Campana
Figura 8.
Evidentemente el programa puede dar el valor de la distancia entre los
dos puntos, lo que Vohns (2006) llamaría acercamiento numéricoempírico al problema; pero no dice cómo se obtiene dicha medida. Lo
importante en esta exploración de posiciones es identificar de qué
depende esta distancia y las propiedades que guardan los triángulos
que se forman cuando se varían las posiciones de André y Carlo. Por
ejemplo, en la siguiente figura observamos distintas posiciones de
André y Carlo, en donde hay la misma distancia entre ellos porque
el ángulo que forman con la campana es el mismo (figuras 9 y 10).
Carlo
AndréCarlo = 2
André
Campana
! = 29º
Campana
! = 29º
André
AndréCarlo = 2
Carlo
Figura 9.
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Figura 10.
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DESARROLLO DEL PENSAMIENTO
TRIGONOMÉTRICO
44
Ésta resulta también una actividad propicia para reflexionar sobre la
distancia entre André y Carlo (o la cuerda que se forma en el círculo)
cuando el ángulo que forman con la campana, en el programa de
geometría dinámica, es mayor a 180º la distancia (figura 11).
! = 218.75º
André
Campana
AndréCarlo = 7.55
Carlo
Figura 11.
En este acercamiento numérico-empírico es importante que se
identifique que no sólo hay una relación entre el ángulo y la distancia
entre ellos (la cuerda), sino cómo es esta relación (razonamiento
cuantitativo en el sentido que propone Moore); por ejemplo,
analizando casos en los que el ángulo se duplique (figura 13) y
triplique (Figura 14), y la distancia entre André y Carlo no sea el
doble (figura 13) y el triple (figura 14), respectivamente.
! = 40º
! = 20.06º
Campana
Campana
André
André
AndréCarlo = 2.74
AndréCarlo = 1.39
Carlo
Carlo
Figura 13
Figura 12
André
! = 60.08º
Campana
AndréCarlo = 4
Carlo
Figura 14
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DESARROLLO DEL PENSAMIENTO
TRIGONOMÉTRICO
45
A partir de esta actividad se plantea entonces la necesidad de una
herramienta matemática para calcular la medida de la cuerda para
cualquier ángulo. Para hacerlo dejamos de lado, momentáneamente,
la variación de los ángulos; es decir, centramos el cálculo en una
posición y vamos incorporando herramientas geométricas para
estudiar el caso.
La primera herramienta consiste en el trazo de un círculo más
pequeño con centro en la campana (figura 15), para comenzar
un análisis de semejanza entre los triángulos que se van a formar
(figura 16), haciendo incluso más círculos (figura 17) para analizar
más casos.
André
! = 40.02º
Campana
! = 40.02º
Campana
Carlo
Figura 15.
André
André
! = 40.02º
Campana
Carlo
Figura 16.
Carlo
Figura 17.
Para definir las razones trigonométricas como tal se requerirá de
introducir otra herramienta geométrica, la bisectriz del ángulo, y
ello nos llevará a estudiar, ahora sí, el triángulo rectángulo y una
nueva medida (que en la construcción geométrica es la altura de los
triángulos isósceles que se forman). La razón trigonométrica, aun
definida por el profesor, se introduce a partir de las construcciones
geométricas para resolver un problema haciendo uso de las razones
y proporciones como un lenguaje para explicar la relación de los
lados de los triángulos respecto de un mismo ángulo.
Fase 3. Hacia la construcción de la función trigonométrica
Para continuar la actividad hacia la construcción de la función
trigonométrica se puede tomar la ruta de Weber (2005, 2008) si
ampliamos el problema hacia la localización de las posiciones de
André y Carlo en puntos específicos de un plano (se puede usar
como referente un mapa regional) sin embargo, la distancia entre
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DESARROLLO DEL PENSAMIENTO
TRIGONOMÉTRICO
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ellos dejaría de ser el centro de atención del problema. La inserción
del plano cartesiano con centro en la posición de la campana y la
búsqueda por una coordenada específica redirige la atención hacia
los triángulos rectángulos que se forman y tienen su base en el eje
horizontal (figuras 18 a la 20).
(!, !)
4
André
3
2
1
0
-4
-3
Figura 18
-2
-1
4
4
3
3
2
2
1
Campana
0
1
2
3
0
4
-4
-3
-2
-1
1
Campana
0
1
2
3
4
Campana 0
-4
-3
-2
-1
0
-1
-1
-1
-2
-2
-2
-3
-3
-4
-4
Figura 19
1
2
3
André
(!, !)
4
-3
André
(!, !)
-4
Figura 20
Otra ruta es el planteamiento de Moore (2012) para construir
la gráfica de la función. Para ello es necesario que se adopte el
radio como medida angular, tal como plantea Moore y que logra
proponiendo actividades del tipo “Dado un ángulo central de 35º,
determina la longitud de los arcos que corta en las circunferencias
de radio 2cm, 2.4 cm y 2.9 cm”. Otra posibilidad es trabajar desde el
inicio con ángulos en términos de
1
2𝜋𝜋 ,
aunque escolarmente domina
la tradición de las construcciones geométricas usando los ángulos
en grados.
Una adaptación al problema que propone Moore (2012) para
construir la gráfica de la función es:
Una rueda de la fortuna, de 11 metros de radio, tarda 1.2 minutos
para dar la vuelta completa. Cuando alguien toma su asiento
se encuentra en la parte inferior, diremos que hay una distancia
de 0 metros al suelo, y va girando en el sentido contrario a las
manecillas del reloj en forma continua por 12 minutos. Bosqueja
la gráfica que relaciona el total de la distancia recorrida por Isela
en un paseo, con la distancia vertical que hay entre ella y el suelo
durante el trayecto.
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DESARROLLO DEL PENSAMIENTO
TRIGONOMÉTRICO
47
El objetivo de esta actividad no es sólo lograr la gráfica sino el
conjunto de ideas, apoyos geométricos, mediciones, razonamientos
numéricos, tablas y operaciones que se realizan para llegar a
la gráfica. Una vez construida la gráfica es necesario variar las
condiciones del problema para obtener variaciones en la gráfica y
a partir de estas variaciones desarrollar lo que hemos denominado
como funcionalidad-trigonométrica.
Fase 4. Resignificando la función trigonométrica
La funcionalidad-trigonométrica es un planteamiento sobre la
construcción social de la función trigonométrica desarrollado desde
el enfoque teórico de la Socioepistemología (Buendía y Montiel,
2011; Montiel y Buendía, en prensa), es decir, es una explicación
sobre la construcción de los significados que le dan uso y sentido a
esta función al seno de la actividad humana organizada en prácticas
y normada por prácticas sociales. Se establece, particularmente
para las funciones seno y coseno, que el estudiante construye la
funcionalidad-trigonométrica cuando:
i. Estudia lo trigonométrico desde un acercamiento variacional
al movimiento oscilatorio, en donde se reconozca que el
comportamiento trigonométrico se caracteriza, y se distingue
de otros comportamientos (algebraicos o trascendentes) por
su variación y sus variaciones sucesivas, esto es, por cómo
cambia y cómo cambian sus cambios;
ii. Identifica una unidad mínima de análisis del comportamiento,
que le permite predecir. Al trabajar con objetos periódicos,
lo que favorece la predicción es una distinción entre el “se
repite” y el “cómo se repite”;
iii.Reconoce lo acotado del comportamiento en el análisis de
los datos respecto de las condiciones de la situación que le
da origen;
iv.Hace uso de la unidad de medida adecuada a la experiencia
física y la reconoce en la representación gráfica de los datos
obtenidos de la situación que le da origen.
Montiel y Buendía (en prensa) diseñan una situación-problema cuyas
actividades están intencionalmente orientadas a la construcción de la
funcionalidad-trigonométrica, en ella proponen la organización de un
escenario de estudio de la variación y el cambio, con un enfoque
hacia el uso y la resignificación de lo periódico, de lo acotado, del
comportamiento de las variaciones y de la unidad de medida. Esto lo
logran a través de la experimentación y estudio del movimiento de
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TRIGONOMÉTRICO
un péndulo simple y las gráficas que resultan de tomar las distancias
entre éste y un sensor de movimiento.
Beltrán (2013) y Santos (2013) llevan al aula el diseño para estudiar a
profundidad el rol de la modelación y el uso de gráficas, respectivamente,
en la construcción de la funcionalidad-trigonométrica. Ambas autoras,
profesoras en servicio, adaptaron el diseño a sus entornos escolares
y proporcionaron evidencia de cómo trabajar sólo en los contextos
numérico y gráfico lleva a los estudiantes a poner en funcionamiento
una gama amplia de argumentaciones a partir de su actividad.
Junto con las evidencias encontradas en la investigación de Jácome
(2011) hemos elaborado una caracterización del pensamiento
trigonométrico no como algo que debe alcanzarse (por eso no
hablamos de definirlo), sino como el conjunto de evidencias que
hemos recolectado en el estudio de la actividad matemática
cuando estudiantes y profesores enfrentan situaciones donde el
conocimiento trigonométrico emerge o debe emerger para resolver
un problema particular. En ese sentido, es necesario caracterizar este
tipo de pensamiento a la luz de la situación-problema y la herramienta
matemática que se pone en funcionamiento.
Hablamos entonces del desarrollo de un pensamiento funcionaltrigonométrico cuando el estudiante reconoce, en un comportamiento
periódico-acotado, una herramienta predictiva. La especificidad
de este comportamiento periódico se construye en un contexto de
variación, y se distingue de otros cuando se reconoce en sus cambios
y sus variaciones sucesivas el mismo tipo de comportamiento
(trigonométrico, acotado y periódico). Ello no resta importancia
a las construcciones geométricas, por el contrario constituyen
el proceso que les da origen y hablaríamos del desarrollo del
pensamiento relacional-trigonométrico cuando el estudiante
identifica la relación entre ángulos y cuerdas, pero sobre todo la
naturaleza de dicha relación y la posibilidad de cuantificarla vía las
razones proporcionales.
Presentamos a continuación el diseño de la situación problema
de Montiel y Buendía, con las adaptaciones que propone Beltrán
(2013) para controlar la toma de datos. Invitamos a la resolución de
las actividades, registrando todos sus procedimientos, respuestas e
ideas para mejorar el diseño, y a partir de ello reflexionar sobre los
elementos que componen la funcionalidad-trigonométrica.
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DESARROLLO DEL PENSAMIENTO
TRIGONOMÉTRICO
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Estudiando el movimiento del péndulo
Actividad 1
Utilizando una calculadora de capacidad gráfica y un sensor de
movimiento se recolectaron las distancias que hay entre el sensor
y un cuerpo en movimiento. En nuestro experimento, este cuerpo
es una bola de madera colgada de una cinta de 40 centímetros y
su posición en reposo se muestra en la figura A.
El sensor de movimiento se encargará de medir la distancia
entre él y la bola, para mandar los datos a la calculadora. Hemos
configurado la calculadora para que el sensor tome las distancias
cada segundo, durante 15 segundos.
bola de madera
sensor
Figura A.
calculadora
Figura A. Bola en reposo.
Al no moverse la bola, el sensor toma las distancias; en la
calculadora se obtiene la gráfica siguiente.
1.0
Distancia (m)
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Tiempo (s)
Figura B.
4700 INT VOL 2.indd 49
Figura B.
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DESARROLLO DEL PENSAMIENTO
TRIGONOMÉTRICO
50
1. ¿A qué distancia del sensor se encontraba la bola al iniciar
la toma de datos?
2. ¿Encuentras en la gráfica todos los datos que describen lo
que pasó?
3. Ubica sobre la gráfica los nuevos datos que se obtendrían
al configurar la calculadora para hacer tomas cada medio
segundo.
Para nuestro primer experimento configuramos la calculadora
para que el sensor tome distancias cada 0.5 segundos, durante
15 segundos. Se realizó una acción sobre la bola y la calculadora
bosquejó la siguiente gráfica:
1.2
1.0
Distancia (m)
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0
Figura C.
2
4
6
8
10
Tiempo (s)
12
14
16
Figura C.
4.Realiza un esquema como la figura C, donde muestres la
posición de la bola al iniciar la toma de datos, de tal manera
que se obtenga la gráfica anterior.
5. Ese esquema, ¿es único? Si consideras varias posibilidades,
dibuja los esquemas posibles, descríbelos y explica por
qué los consideras apropiados.
6. El ir y venir de la bola, ¿cómo se identifica en la gráfica?
7.En la figura C se han dejado siete datos sin color de
relleno y están marcados con un rombo en lugar de punto.
Coloca en la siguiente tabla el tiempo y la distancia que le
corresponden a cada uno de estos puntos.
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DESARROLLO DEL PENSAMIENTO
TRIGONOMÉTRICO
51
!
!! !
segundo
distancia
Actividad 2
Lo que se graficó se muestra en la figura D. Al iniciar la toma de
datos la bola se acercaba al sensor.
bola
sensor
calculadora
Figura D.Figura D. Bola en movimiento.
Hicimos una segunda toma de datos, ahora cada 0.05 segundos,
durante 15 segundos. La gráfica obtenida fue la siguiente:
1.0
Distancia (m)
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0
Figura E.
4700 INT VOL 2.indd 51
2
4
6
8
10
Tiempos (s)
12
14
16
Figura E.
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DESARROLLO DEL PENSAMIENTO
TRIGONOMÉTRICO
52
Con una explicación detallada, usando tus propias palabras,
responde las siguientes preguntas:
1.Además de la cantidad de datos, ¿encuentras alguna
diferencia entre las dos tomas?
2. Considerando las gráficas, ¿cómo explicarías el movimiento
de la bola?
3.Retoma tu esquema o esquemas de la actividad 1 y
compara con tu respuesta la pregunta anterior. ¿Se
reflejan las mismas características en los esquemas?
4. En los primeros 5 segundos, ¿cuál es la distancia máxima
que se alcanza entre el sensor y la bola? ¿Cuál es la
distancia mínima?
5. En los últimos 5 segundos, ¿cuál es la distancia máxima
que alcanza entre el sensor y la bola? ¿Cuál es la distancia
mínima?
6.¿Cómo explicarías la diferencia entre la distancia
máxima (o mínima) de los primeros y la de los últimos
segundos?
7.Con un marcatextos sombrea los puntos de la gráfica
donde la distancia entre el sensor y la bola crece, y
con uno de otro color sombrea los puntos donde esta
distancia disminuye.
1.2
1.0
Distancia (m)
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Tiempo (s)
Figura F.
4700 INT VOL 2.indd 52
Figura F.
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DESARROLLO DEL PENSAMIENTO
TRIGONOMÉTRICO
53
8. En las gráficas de las figuras E y F, ¿cómo determinas si la
bola se acerca o se aleja del sensor?
Actividad 3
La siguiente toma de datos, cada 0.05 segundos durante 15
segundos, se realizó con la bola colgando de un cordón cuya
longitud del techo al centro de la bola es de 60 centímetros, como
se muestra en la figura G.
60 cm
bola de madera
sensor
calculadora
Figura G. Usando un cordón de 60 cm.
.
La gráfica obtenida por la calculadora se muestra a continuación:
1.2
1.0
Distancia (m)
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0
2
4
6
8
10
Tiempo (s)
12
14
16
Figura H.
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DESARROLLO DEL PENSAMIENTO
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54
1. Realiza un esquema que muestre la posición del sensor al
iniciar la toma de datos.
2.Durante la toma de datos, ¿cómo se reflejan, en el
comportamiento de las curvas, las distancias más lejanas
del sensor?
3.Durante la toma de datos, ¿cómo se reflejan en el
comportamiento de las curvas, las distancias más cortas
del sensor?
4. Al aumentar el tamaño del cordón, ¿percibes algún cambio
en el valor de los datos o en la gráfica?, ¿cuál? Descríbelo
detalladamente.
En la siguiente gráfica se muestran los datos de una toma
cuando la bola cuelga de un cordón de 40 cm y los datos de
una toma cuando cuelga de un cordón de 60 cm.
1.2
1.0
40 cm
Distancia (m)
0.8
0.6
60 cm
0.4
0.2
0.0
0
Figura I.
2
4
6
8
10
Tiempo (s)
12
14
16
Figura I.
5. ¿Muestra las mismas diferencias que inferiste de la
lectura de las gráficas previas?
6.Explica detalladamente las diferencias que encuentras
entre ambas tomas en esta gráfica.
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DESARROLLO DEL PENSAMIENTO
TRIGONOMÉTRICO
55
Actividad 4
En la siguiente gráfica se muestran las distancias entre el sensor
y la bola, tomando los datos cada 0.025 segundos, durante 5
segundos.
1.4
1.2
Distancia (m)
1.0
0.8
0.6
0.0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Tiempo (s)
Figura J.
Figura J.
Considera que la bola continúa con su movimiento, que se
comporta como el péndulo de un reloj. Usa la figura J y responde
las siguientes preguntas.
1. ¿Cuál sería la distancia a la que se encontraría el péndulo
del sensor en el segundo 60? ¿Alejándose o acercándose
al sensor?
2.¿Usaste alguna parte de la gráfica para poder realizar la
predicción? En caso positivo, señala dicha parte.
3. En la siguiente figura, la K, ¿cuál sería la distancia a la que
estaría el péndulo del sensor en el segundo 14?
4. Compara el método de predicción utilizado para la figura
J y para la figura K, ¿en qué difieren? ¿Cómo se relaciona
esta diferencia con el tipo de repetición que la figura
presenta?
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DESARROLLO DEL PENSAMIENTO
TRIGONOMÉTRICO
56
1.2
1.0
Distancia (m)
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0
2
4
6
8
10
12
14
Tiempo (s)
Figura K.
Figura K.
Actividad 5
La velocidad media o promedio de un objeto se define como
la razón entre el desplazamiento y el tiempo transcurrido. Por
ejemplo, cuando se dice que un automóvil lleva una velocidad de
100 kilómetros por hora, se entiende que en una hora recorre
100 km.
Es decir, en el momento inicial (t0 = 0) no ha recorrido ninguna
distancia (d0=0), pero al cabo de una hora (t1=1) ha recorrido 100
km (d1=100)
!=
!"#$%&'"% !"#$%!!"#$%&'"% !"!#!$%
!"#$%& !"#$%!!"#$%& !"!#!$%
=
!! !!!
!! !!!
=
!"" !"!! !"
!"!!"
=
!"" !"
!"
= 100
!"
!
Sin embargo, por experiencia sabemos que es difícil que un
automóvil se mantenga a esa velocidad durante una hora
completa. Por eso es común que el estudio de las velocidades se
realice en intervalos pequeños de tiempo y de ahí la importancia
de haber tomado datos cada 0.05 segundos en nuestro segundo
experimento. La velocidad instantánea se define como el valor al
que se acerca la velocidad media cuando el intervalo de tiempo
(t n , t n –1) es muy pequeño.
4700 INT VOL 2.indd 56
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DESARROLLO DEL PENSAMIENTO
TRIGONOMÉTRICO
57
A
continuación
aparece
una
tabla
tiempo-distancia
correspondiente a uno de los experimentos que realizaste.
Calcula las velocidades instantáneas en los tiempos dados,
observa el ejemplo.
!!
!!
!!
!!
!!
!!
!!
!!
!!
!!
!!"
!!!
!!"
!!"
!!"
!!"
!!"
!!"
!!"
!!"
!!"
!!"
!!!
!!"
!!"
!!"
!!"
!!"
!!"
!!"
!!"
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Segundo
Distancia
0.05 0.876 0.1 0.15 0.2 0.856 0.83 0.8 0.25 0.768 0.4 0.673 0.3 0.35 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4 1.45 1.5 1.55
Velocidad
instantánea
Segundo
!!"
!! = 0.4
!!"
!!!
!!"
!!"
0.735 !!"
0.703 !!"
!!"
0.645 !!"
0.623 !!"
0.607 !!"
0.596 !!"
0.591 !!"
0.593 !!!
0.6 !!"
0.614 !!"
0.633 !!"
0.657 !!"
0.685 !!"
0.718 !!"
0.75 !!"
0.783 !!"
0.814 !!"
0.843 !!"
0.867 !!!
0.884 0.9 0.909 0.911 0.907 0.896 !!"
!!"
!!"
!!" !!" !!" 1.6 Distancia
0.88 1.65 0.859 1.8 0.773 1.7 1.75 1.85 1.9 1.95 2 2.05 2.1 2.15 2.2 2.25 2.3 2.35 2.4 2.45 2.5 2.55 2.6 2.65 2.7 2.75 2.8 2.85 2.9 2.95 3 3.05 3.1 Velocidad
instantánea
0.834 0.805 0.741 0.709 0.677 0.65 0.628 0.61 0.598 0.593 0.593 0.6 0.612 0.63 0.653 0.68 0.711 0.745 0.777 0.809 .837 0.862 0.88 0.895 0.906 0.91 0.907 0897 11/28/13 10:56 AM
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TRIGONOMÉTRICO
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En la siguiente gráfica se han representado, como hasta ahora, las
distancias entre el sensor y la bola. Con pequeños puntos, para
ver la diferencia, ubica en la gráfica los puntos que corresponden a
la velocidad a la que se mueve la bola. Por ejemplo, el primer punto
le corresponde al par ordenado (0.1, 0.856) y que corresponde a
una velocidad de −0.4 centímetros por segundo en el segundo 0.1
1.0
0.9
0.8
Distancia (m)
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Tiempo (s)
Figura L.
Figura L.
Con tus propias palabras, explica detalladamente:
1.¿Cómo describirías el comportamiento global de las
velocidades instantáneas de la bola?
2. En términos de la gráfica de distancias y lo que representa
en el experimento, ¿cómo interpretarías las velocidades
negativas?
3.¿Visualizas alguna relación global o puntual entre las
gráficas de la velocidad y de la distancia? ¿Cuál o cuáles?
4.Sombrea, sobre la gráfica de distancias, los puntos donde hay
velocidad positiva y, usando otro color, donde tiene velocidad
negativa. ¿Cómo se relacionan estas zonas de velocidad positiva
y negativa con las zonas de crecimiento y decrecimiento que
marcaste en la pregunta 7 de la actividad 2?
5.¿Qué valores toma la velocidad en las “crestas” y los
“valles” de la gráfica de distancias?, en términos del
experimento ¿qué significarían estos puntos?
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TRIGONOMÉTRICO
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A continuación se muestra la gráfica del mismo experimento,
pero ahora con más datos.
1.0
Distancia (m)
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0
Figura M.
2
4
6
8
10
Tiempo (s)
12
14
16
Figura M.
6. Con base en el comportamiento de la velocidad de la figura
L dibuja en trazo continuo, sobre la gráfica figura M, el
comportamiento de la velocidad durante 15 segundos.
7.La gráfica de la velocidad puede indicarnos cómo está
variando la distancia del péndulo. Por ejemplo, los puntos
donde la gráfica velocidad cruza al eje x, donde la velocidad
es cero, indican algún cambio en el comportamiento
de las distancias, ¿cuál?, ¿qué significa este cambio en el
experimento?
Actividad 6
Se dice que un objeto cuya velocidad cambia con el tiempo está
acelerado. Un auto, por ejemplo, cuya velocidad se incrementa
desde cero hasta 80 km/hora está acelerado; si otro auto puede
lograr este cambio de velocidad en menos tiempo que el primero,
se dice que sufre una aceleración mayor. Entonces, la aceleración en
un intervalo de tiempo puede obtenerse con el siguiente cociente:
!=
!! !!!
!! !!! En cada una de las siguientes gráficas se grafican simultáneamente
las curvas que describen las variaciones de la distancia entre un
péndulo y un sensor de movimiento, así como su velocidad y
su aceleración. Indica en cada gráfico qué curva corresponde a la
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gráfica de la distancia, cuál a la gráfica de velocidad y cuál a la de
aceleración.
1.Explica detalladamente los criterios que usaste para
identificar la gráfica de cada una. Discute ampliamente y
señala si puede haber más de una alternativa
2.Llena las tablas de cada gráfica con los valores que se te
piden.
Valores máximos
4
Velocidad
3
Aceleración
Distancia
Velocidad
2
Distancia (m)
Valores mínimos
Gráfica 1
5
Distancia
Aceleración
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Tiempo (s)
Valores máximos
4
Velocidad
3
Aceleración
Distancia
Velocidad
Aceleración
2
Distancia (m)
Valores mínimos
Gráfica 2
5
Distancia
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
0
2
4
6
8
10
12
14
Tiempo (s)
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TRIGONOMÉTRICO
Valores máximos
4
Velocidad
3
Aceleración
Velocidad
2
Distancia (m)
Distancia
Gráfica 3
5
Distancia
Valores mínimos
61
Aceleración
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
0
2
4
6
8
10
12
10
12
14
Tiempo (s)
Valores máximos
4
Velocidad
3
Aceleración
Distancia
Velocidad
Aceleración
2
Distancia (m)
Valores mínimos
Gráfica 4
5
Distancia
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
0
2
4
6
8
14
Tiempo (s)
Recuerde que esta situación-problema está intencionalmente diseñada
para provocar el desarrollo de un tipo particular de pensamiento
matemático y, en ese sentido, no hay necesidad de manejar objetos
matemáticos ni sus estructuraciones formales, pero sí de matematizar
las experiencias que se tienen con el entorno haciendo uso de
herramientas como las gráficas. También cabe aclarar que un estudio
de desde la Física haría emerger herramientas matemáticas más
complejas, de ahí la importancia de los enfoques transversales en la
educación en cualquier nivel, pero sobre todo en el nivel medio superior,
donde los tópicos científicos pueden abordarse de forma integral.
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4. REFLEXIONES
FINALES
Los usos y los significados de la matemática escolar son construcciones
humanas producto de la experiencia y, en consecuencia, susceptibles
de reconstruirse en las condiciones apropiadas. En este sentido,
nos proponemos que los estudiantes en situación escolar no
sientan la necesidad de negar o abandonar su pensamiento social
para aprender un saber pre-establecido por el discurso matemático
escolar; por el contrario reconocemos la importancia de incorporarlo
a la construcción de un conocimiento funcional dentro del contexto
formativo en el que se sitúa. Así, la matemática debe reconocerse,
por el estudiante, como conocimiento producto de su hacer y pensar
en interacción con su entorno.
Por este motivo, la sección previa no pretende ser una receta de cómo
enseñar trigonometría, reconocemos la importancia de contextualizar
la actividad didáctica en el entorno particular de profesores y
estudiantes; desde la elección de las herramientas (por ejemplo, uso
o no de tecnología computacional) y los materiales, hasta el tipo de
situaciones-problemas, según la ubicación curricular de los contenidos
y los problemas resueltos con anterioridad o en el futuro que puedan
vincularse con lo trigonométrico; la valoración de los conocimientos
previos y la funcionalidad de las situaciones-problema en la
formación del estudiante (por ejemplo, pensando en los bachilleratos
tecnológicos que puedan identificar tareas profesionales donde se
haga uso de los conocimientos trigonométricos en la resolución de
otro tipo de tareas), etc.
Lo que resulta imprescindible resaltar es que un diseño de clase
que retome la base de prácticas propuesta debe contemplar
la valoración del aprendizaje en todo aquello que produce el
estudiante. El pensamiento trigonométrico es un tipo particular del
pensamiento matemático, entendido éste como todas las formas
posibles de construir ideas matemáticas, incluyendo procesos
avanzados del pensamiento como la abstracción, justificación,
visualización, estimación y razonamiento bajo hipótesis (Cantoral,
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TRIGONOMÉTRICO
Farfán, Cordero, Alanís, Rodríguez y Garza, 2000). En consecuencia,
y como se plantea en Montiel y Buendía (en prensa), es necesario
poner atención en las argumentaciones, los procedimientos y
las explicaciones que el estudiante configura, en forma escrita,
icónica, gestual o verbal, para responder a una tarea específica.
En el reconocimiento de las variables didácticas que permitirían
usar y/o adaptar las actividades de la sección previa, en un diseño
de clase, situamos el conocimiento y la experiencia del profesor;
por lo que dejamos el capítulo en puntos suspensivos, esperando
que la comunicación e interacción con los profesores nos permita
acercarnos al aula y alimentarnos de su experiencia para validar las
propuestas e incrementar la innovación didáctica fundamentada
en la investigación científica en Matemática Educativa…
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Se terminó de imprimir y encuadernar en diciembre de 2013
en Impresora y Encuadernadora Progreso, S. A. de C. V. (IEPSA),
Calzada San Lorenzo 244; C.P. 09830, México, D. F.
El tiraje fue de 10,000 ejemplares.
12/5/13 3:45 PM
ISBN: 978-607-9362-02-7
9 786079
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