Investigación Anotaciones sobre el proyecto y el análisis Ruy Marcelo de Oliveira Pauletti Traducción Marco Eugenio Terán METF Iluminación, C.A. Colaboración Mariano Rodríguez Saglimbeni Revista entre rayas Revisión Carlos H. Hernández Grupo Estran, C.A. de las estructuras tensadas 1. Introducción ¿Qué tienen en común estructuras tan diferentes como un puente colgante, una cubierta de red de cables, un globo meteorológico o la vela de un barco? Por más distintas que sean en términos de uso, forma o tecnología, todas estas estructuras dependen, para su funcionamiento efectivo, de un adecuado estado de las fuerzas internas de tracción. Un caso emblemático es de las cuerdas de los arcos o las cuerdas de los instrumentos musicales. Para funcionar de manera satisfactoria, estos elementos deben estar tensos, no sueltos. Así, en una alusión al estado en que se encuentra la cuerda de un arco o la membrana de un tambor, se pueden agrupar todos estos tipos debajo de un único sistema estructural, aquel de las estructuras tensadas (en inglés, taut structures). Un estado adecuado de tensado es, de hecho, esencial para el buen funcionamiento de cualquiera de los tipos de estructura ejemplificados anteriormente. Existen otras nomenclaturas de uso más corriente, que también aluden al particular estado de solicitud en el que se encuentran las estructuras tensadas y que impone la necesidad de algunas restricciones. El término “tenso-estructura”, por ejemplo, de uso ya consagrado en el campo de las cubiertas de cables y membranas, es un anglicismo que introduce, en las lenguas latinas, una seria ambigüedad: si el término tensión designa adecuadamente, en inglés, los estados de tensiones de tracción al que las estructuras tensadas invariablemente se encuentran sujetas, en lenguas latinas el término “tensión” incluye, sin distinción, los estados de solicitud interna de tracción o compresión. Ruy Marcelo de Oliveira Pauletti Maestría en Ciencias Sociales, Doctorado en Ciencias, Doctor Habilitado. Profesor Asociado, Docente Independiente en Teoría de las Estructuras. Departamento de Ingeniería de Estructuras y Fundaciones. Escuela Politécnica de la Universidad de Sao Paulo www.lmc.ep.usp.br/people/pauletti 30 entre rayas Nº 88 Abril 2011 ® En el caso de las membranas, además de los estados tensado y suelto, existe también un estado intermedio, el arrugado, en el que en algún punto de la membrana exista apenas una dirección principal en relación a la membrana que esté suelta. De todos modos, optamos por denominar las estructuras tensadas por su estado ideal de tensión, a pesar de que los estados no ideales, con áreas sueltas y arrugadas también puedan ocurrir en la práctica, a menudo sin condenar la estructura. Hay una aparente contradicción en denominar un sistema por uno de sus estados. Pero, del mismo modo que una “estructura hipostática” deja de ser una estructura y se convierte en un mecanismo, también una cuerda o una membrana, cuando se suelta, deja de ser una estructura y comienza a comportarse como un mecanismo. Nuevamente, es un estado apropiado de tensión el que define el comportamiento correcto de este tipo de estructura. Los sistemas tensados son, generalmente, estructuras ligeras. El peso específico típico de las estructuras de cables y membranas es, a groso modo, dos órdenes de magnitud menor que el de las estructuras en concreto armado y una orden menor que el de las estructuras de acero convencionales. Sin embargo, en contraste con las ventajas derivadas de la reducción de peso, las consecuencias del viento se tornan críticas para el diseño de este tipo de estructuras. Por otra parte, las estructuras ejemplificadas anteriormente también se pueden clasificar como sistemas flexibles, pasando por cambios drásticos de forma cuando el patrón de carga al que están sujetos es alterado. En contraste, los sistemas rígidos, tales como vigas y conchas, no muestran una deformación considerable sobre la acción de las cargas de servicios, manteniendo una forma cercana a la original (en la figura 1 se sugiere esta distinción gráficamente). Sin embargo, la clasificación según el estado (estructuras tensas) y el comportamiento (estructuras flexibles) son de hecho equivalentes: una gran flexibilidad limita la naturaleza de las fuerzas internas que las estructuras pueden desarrollar, ya que se vuelven inestables a las fuerzas internas de compresión. La flexibilidad inherente a los sistemas de tensión es un factor que limita sus posibles aplicaciones. Como observa Bradshaw et al. (2002), este atributo, experimentado por cualquiera que haya caminado sobre un trampolin, es la razón por la cual los sistemas de membrana tensadas son casi exclusivamente empleados como cerramiento de edificaciones, particularmente como techos, y no como plataformas o pisos. Además, si por un lado los elementos estructurales básicos de las estructuras tensadas son posiblemente los elementos más simples en ser formulados matemáticamente, por otra parte el comportamiento estructural de estos elementos trabajando en conjunto es esencialmente no lineal, en la mayoría de los casos invalidando el uso de soluciones analíticas. (a) una estructura rígida, como una viga, no cambia drásticamente de forma, al variar la carga (b) una estructura flexible, como un cable, cambia drásticamente de forma, al variar la carga. 1. Distinción entre estructuras rígidas y flexibles (Pauletti, 2003), adaptado de Shodek (1992) 2. Elementos constructivos / tipologías Los elementos constructivos de estructuras tensadas se dividen básicamente en dos grandes grupos: cables y membranas. Los cables son elementos lineales capaces de soportar cargas externas con el solo desarrollo de fuerzas axiales de tracción. Las membranas son elementos de superficie que equilibran los esfuerzos externos desarrollando tensiones de tracción y de corte, tangenciales a la superficie. La distinción entre estos dos grupos no está claramente delimitada: las redes de cables, por ejemplo, tienen un comportamiento general muy similar a las estructuras de membrana. Por otra parte, el tejido de la membrana puede ser entendida como una red de cable de malla muy fina. Cables y membranas pueden presentarse juntos, generando la creación de estructuras tensadas de tipo mixto. Las estructuras neumáticas son las estructuras tensadas por excelencia, puesto que son las únicas en donde es posible tener todos los elementos trabajando sometidos a tracción. Hay tres tipos básicos de estructuras neumáticas: una estructura insuflada consta de una membrana que encierra un espacio útil y que se soporta por una presión interna ligeramente superior a la atmosférica, generada por el uso de ventiladores, en una estructura aspirada se utiliza el principio opuesto, es decir, con una presión interna menor; una estructura inflada, a su vez, utiliza globos presurizados en forma de vigas, columnas y arcos como elementos estructurales. Además de estos tres tipos básicos, las velas, los paracaídas y las amarras se pueden considerar como un cuarto tipo, los sistemas neumáticos abiertos (Chi & Pauletti, 2005), (Pauletti, 2010A). Las estructuras tensegrity y las estructuras atirantadas son tipos mixtos de estructura, combinando cables traccionados con otros elementos que ejecutan la compresión o la flexo-compresión (Deifeld y Pauletti, 2004A/B, 2005). Sin embargo, en el caso de estas estructuras la rigidez geométrica prepondera sobre otros factores de rigidez y además de eso, siendo también muy ligeros, las cargas críticas son similares a los de otras estructuras tensadas. De hecho, estrictamente hablando, con la excepción de los globos, todas las estructuras tensadas son mixtas, ya que las fuerzas internas de tensión desarrolladas por algunos elementos deben ser, de alguna manera, equilibradas por los elementos que ejecutan la flexión o compresión. 3. Materiales El material más utilizado en la fabricación de los cables estructurales es el acero. Los materiales alternativos son el poliéster, en el caso de las estructuras de menor función y carácter transitorio, y las fibras de vidrio o de carbono (Kevlar), en el caso de las estructuras de mayor responsabilidad. El predominio del acero en las aplicaciones habituales se debe a sus propiedades mecánicas favorables, como su trajabilidad, las altas resistencias a la tracción, la fatiga y la abrasión, combinado a la ductilidad y flexibilidad, que dan lugar a pequeñas secciones transversales y –por lo tanto- poco peso. Si la aparición del acero llevó al desarrollo de estructuras de cable, desde el siglo XIX, no fue sino hasta la invención de tejidos sintéticos, durante los últimos cincuenta años, que las estructuras de membrana pudieron florecer. Antes de eso, poca resistencia y durabilidad de los tejidos naturales limitaban tanto la amplitud de las extensiones como la permanencia de las estructuras. Incluso hoy en día, el espectro de materiales adecuados para la producción de tejidos estructurales está muy restringido: fibras de poliéster o de vidrio recubiertas con PVC, fibras de vidrio o carbono (Kevlar) recubiertas con teflón (PTFE) y fibra de vidrio o de carbono recubierta de silicona (Vestar). En términos generales, los tejidos de poliéster recubiertos con PVC están entre los más baratos, pero por desgracia se deterioran bajo la acción de los rayos ultravioleta. Al otro lado del espectro, los tejidos de fibra de vidrio o Kevlar, recubiertos con teflón son estables, resistentes a la intemperie y a las altas temperaturas, resistentes a la tracción, corte y perforación y se pueden dotar con cualquier grado de translucidez, desde la total transparencia hasta una opacidad completa, pero son más caros que los primeros. Desde el punto de vista de resistencia mecánica y de costo, el nylon presentaría a b 2. El Monumento a la Forma Fútil II, la escultura en la estructura tensada, que combina un módulo tensegrity simplex, cables y membranas: (a) simulación por computadora (b/c) realización física (Titotto et al., 2005). c 31 ventajas sobre el poliéster, pero este último termina siendo el preferido, en la práctica, por ser más estables dimensionalmente y menos susceptible a la erosión. deformada. Al incluir estos efectos en el análisis de la respuesta de las carga, ésta se torna geométricamente no lineal (Pauletti, 2008). El cableado de los tejidos estructurales se lanza generalmente en dos direcciones: la urdimbre y la trama. Durante la fabricación, los hilos de urdimbre se mantienen estirados, tensados, y los hilos de la trama se pasa alternativamente por arriba y abajo de cada hilo de la urdimbre, presentando una ondulación más acentuada que estos últimos, que por ende también terminan ondulándose, en menor grado, por efecto de la interacción con los primeros. Cuando el tejido lo requiere, esta interacción se vuelve más pronunciada, con la trama tendiendo a corregirse adicionalmente, al tiempo que aumenta la ondulación de la urdimbre. De este comportamiento resultan las propiedades mecánicas anisótropas altamente no lineales para la membrana, especialmente en los casos de tejidos de fibra de vidrio. La respuesta de una estructura tensada a las cargas de proyecto gira en torno a una configuración de equilibrio inicial, o configuración viable, en la que la membrana (o red de cables) está reforzada por el efecto de las cargas permanentes, básicamente, las cargas de peso propio y de tensión de la membrana. 4. Cargas Las cargas típicas de las estructuras tensadas incluyen las cargas concentradas (es decir, distribuidas en una región muy pequeña), el peso propio, las cargas de tensión y demás cargas permanentes, la sobre o subpresión uniforme (en el caso de estructuras neumáticas), las cargas de nieve y viento, los terremotos y la temperatura. Las explosiones y las colisiones son mencionados ocasionalmente, pero generalmente no son tomadas en cuenta en los proyectos. Las variaciones en la temperatura llevan a la pérdida o aumentar el nivel de tensión. Con respecto a los terremotos, se puede decir que las estructuras tensadas se comportan de manera muy favorable, gracias a su peso ligero, flexibilidad, y la interacción entre las frecuencias de los terremotos y las frecuencias propias de las estructuras. El contenido de frecuencia de un terremoto es típicamente entre 3 Hz y 10 Hz, mientras que las estructuras tensadas tienen frecuencias por debajo de 4 Hz, en general, y las estructuras de soporte frecuencias por encima de los 10 Hz. La falta de rigidez a flexión de los cables y las membranas deja a las estructuras tensas susceptibles a las grandes variaciones geométricas, incluso con cargas moderadas. En algunos casos, las propias cargas dependen de la deformación. Este es el caso de la carga de presión, que permanece siempre normal a la superficie 32 entre rayas Nº 88 Abril 2011 ® El peso es una carga inherente a la existencia misma del material, mas su contribución al campo de tensiones iniciales suele ser insignificante. Son las cargas de estiramiento las que constituyen, de hecho, la carga esencial de una estructura tensada, dándole forma y rigidez. Es en torno al ámbito de las tensiones de estiramiento, así como de la geometría inicial de la membrana en la que se define este campo, que varían tanto la geometría como el campo de tensión de una membrana bajo la acción de las otras cargas de proyecto. Dado que los cables y membranas no pueden soportar las tensiones de compresión, se producen las arrugas, con la consiguiente redistribución de tensiones, cada vez que la carga externa anula las tensiones iniciales de tracción. El arrugamiento impone serias dificultades para el análisis numérico, especialmente para cargas transitorias de gran intensidad, a pesar de que la estabilidad global de la estructura no sea comprometida, y la membrana vuelve a su estado ideal de tensión, con la eliminación de estas cargas. Es interesante observar que la rigidez geométrica, que estabiliza la configuración inicial de una estructura tensada, no es una función directa de la intensidad de las tensiones que actúan, pero sí de la fuerza normal, resultante de la integración de las tensiones normales en la sección transversal de un cable o de la tensión superficial, resultante de la integración de las tensiones normales a lo largo del espesor de una membrana. Para los materiales disponibles en la actualidad para la confección de membranas, y teniendo en cuenta el espesor típicamente disponible, se puede alcanzar un nivel adecuado de rigidez para la membrana solicitando un material con tensiones del orden de 5% de resistencia a la ruptura, por lo que la imposición de un nivel adecua- do de estiramiento no encuentra obstáculos, en lo que respecta al nivel de tensión. ser considerados, de forma similar a lo que se hace en un estudio normal de fatiga. Son las cargas debidas al viento las que son particularmente problemáticas para las estructuras tensadas, ya sea por su gravedad, por la complejidad de los fenómenos involucrados, tales como los resultantes de la interacción viento-estructura. Naturalmente, el viento constituye uno de los focos de las investigaciones experimentales y teóricas acerca de las cargas en estructuras tensiles (Buchholdt, 1985/1999), (Stefanou, 1992) (Tabarrok, 1992, 1997) (Wuchner et al., 2009), pero su discusión va más allá de la naturaleza introductoria de este trabajo. 6. El Proceso de Diseño y Análisis de Estructuras tensadas Tradicionalmente, el diseño de las estructuras tensadas eludía las dificultades asociadas al tratamiento analítico por medio de modelos físicos, útiles para determinar tanto la forma como el entendimiento cualitativo del comportamiento estructural. Sin embargo, los modelos físicos proporcionan poca información sobre los esfuerzos a los que la estructura está sometida, por lo que han sido sustituidos, en gran parte, por el diseño asistido por computadora, combinando análisis estructural y gráficos por computadora. Además de la visualización y la determinación precisa de la distribución de tensiones en toda la estructura, el equipo también permite una investigación más exhaustiva de la forma (tomando partido, por ejemplo, técnicas de realidad virtual para la creación rápida de prototipos) y una percepción rápida de los efectos de los cambios geométricos, pretensado, materiales, etc. 5. Seguridad En general, la verificación de la seguridad de los sistemas tensados está basada en los criterios de máxima tensión admisible, los cuales ofrecen mayor resolución para verificar la seguridad de estructuras que se endurecen con el crecimiento de las cargas (“stiffening structures”), como es el caso de las estructuras tensadas (Horne, 1965) (Irvine, 1981). Los coeficientes de seguridad empleados en los proyectos de estructuras de membrana son altos, en comparación con aquellos aplicados a otros tipos de estructura (y otros materiales). Varias razones contribuyen a ello. Happold (1994) observa que la falla bruscas de las membranas son causadas generalmente por cortes provocados por objetos lanzados contra la membrana, o por la colisión de ésta con otros objetos, durante las oscilaciones provocadas por el viento. Los cortes, a su vez, propician la aparición de roturas. Sin embargo, los tejidos tienen “longitudes de rotura características”, por encima de las cuales se propagan las ranuras. Típicamente, un desgarro de 40 mm se propaga con aproximadamente el 25% de la resistencia a la tracción, por lo que en general se requiere un factor de seguridad nominal por encima de 5. De todos modos, las cargas intensas, más las de naturaleza localizada y transitoria, que someten a una membrana íntegra a altos esfuerzos localizados, por un período corto de tiempo, no son necesariamente perjudiciales para la estructura: también los efectos acumulativos del daño, resultantes de los ciclos de carga y creep, deben Hasta la década pasada, prevalecía la noción de que el proyecto y el análisis de las estructuras de membrana correspondía a un proceso especializado, el cual requería el empleo de programas dedicados (‘special purpose programs’) (Tabarrok & Qin, 1997). Actualmente, con la suma de experiencia y la disponibilidad de herramientas computacionales más eficientes, este proceso puede ser entendido como un proceso estándar (‘standard process’), que puede ser de hecho desarrollado por medio de cualquier buen programa general (‘general purpose program’), capaz de realizar análisis estructurales no lineales de cables y membranas (Pauletti & Brasil, 2003). Con respecto a los métodos numéricos, es sin duda el método de los elementos finitos que domina el análisis estructural de las estructuras de membranas y cables. Fue Argyris (1974A/B) quien primero presentó discusiones completas del análisis de la estática no-lineal de redes de cables, basadas en el método de los elementos finitos, realizadas por ocasión de los trabajos del proyecto del Estadio Olímpico de Munich (Leonhardt, 1972), (Habber, 1982). 33 3. Fases del proyecto de una estructura tensada (Pauletti, 1999) 4. Cable suspendido libremente, sujeto al propio peso: sucesivas iteraciones del Método de Newton, que convergen para una forma viable En la mayoría de los casos prácticos del diseño de estructuras tensadas envuelve el análisis de su comportamiento estático. La consideración de los efectos dinámicos y de interacción de la estructura con el aire circundante es poco frecuente, en el caso de membranas de tamaño pequeño o mediano, sea porque los costos asociados a este tipo de análisis son altos, sea porque la práctica muestra que las oscilaciones de estructuras de pequeño o mediano tamaño pueden ser controladas con relativa facilidad. El análisis estructural de membranas de gran tamaño, por el contrario, muy probablemente requerirán la consideración de los efectos dinámicos y de interacción fluido-estructura. Sin embargo, una descripción satisfactoria de este tipo de problemas exigiría una medida incompatible con la naturaleza introductoria de este trabajo, por lo que la discusión queda aquí limitada a los métodos de análisis estático. Dos métodos alternativos predominan, para el análisis estático de las estructuras tensadas: Método de Newton y el Método de Relajación Dinámica, ambos métodos clásicos de análisis numérico no lineal, descritos por Zienkiewicz (1989),entre otros. En el contexto de las estructuras de cables, los libros de Krishna (1978), Buchholdt (1985, 1999) y Leonard (1988) discuten el Método de Newton en detalles, mientras que el Método de Relajación Dinámica es investigado por Shugar (1987), y defendido por Barnes (1988, 1999) y Qiang (1988). Métodos como gradientes conjugados y otros métodos de programación matemática y optimización también son empleados por Stefanou (1993). El método de Newton por lo general suministra el algoritmo más eficiente para la solución de problemas no lineales de equilibrio, una vez que presenta tasas de convergencia cuadráticas, en una zona lo suficientemente cercana a la solución. Sin embargo, los cables y membranas no representa resistencia a la flexión, y por lo tanto trabajan como mecanismos continuos, cuya estabilidad depende intrínsecamente de la rigidez geométricas del sistema (Pauletti, 2008). En la ausencia de un campo adecuado de tensiones de tracción, en toda la extensión de la estructura, la matriz de rigidez tangente puede tornarse no positivo-definida, dando lugar a la divergencia del proceso interactivo, sea porque la estructura en realidad se afloja, sea simplemente debido a las limitaciones del método numérico. 34 entre rayas Nº 88 Abril 2011 ® Por otra parte, el Método de Relajación Dinámica (MRD) el problema de equilibrio se resuelve mediante un análisis pseudo-dinámico, con integración explícita en el tiempo, y matrices diagonales de masas y amortiguación ficticia, con valores ajustados para controlar la estabilidad de integración en el tiempo. Si las fuerzas externas son aplicadas repentinamente y luego mantenidas constantes, dejando el sistema vibrar de forma amortiguada, su respuesta converge para la solución estática. Si bien el MRD no presenta una ventaja para problemas menores, el método puede permitir un ahorro en la solución de grandes problemas, y ofrecer una alternativa atractiva para la solución de problemas fuertemente no lineales, sobre si las derivadas de los vectores de la fuerza no estuviesen disponibles explícitamente (Pauletti et al. 2008, 2010) En cuanto a los métodos de búsqueda de la forma, una alternativa para evitar los problemas asociados al análisis no lineal, viene dada por el Método de las Densidades de Fuerza (MDF), propuesta originalmente en el contexto de las estructuras de cable (Linkwitz & Scheck, 1971), (Gründig et al., 2000). En la terminología de la mecánica de sólidos, MDF se puede entender como un caso especial de análisis de equilibrio, en el cual se impone un campo de tensiones secundarias de Piola-Kirkhoff (2PK) a una configuración de referencia, resultando en un sistema lineal de ecuaciones (Bletzinger & Ramm, 1999) (Pauletti & Pimenta, 2008). El MDF también se usa ampliamente para determinar la forma de las membranas, mediante la sustitución de las superficies continuas por redes de cables equivalentes, que deben ser lo más regulares posible, de lo contrario se hace difícil definir valores adecuados de las densidades de fuerza en los diferentes elementos, requeridos para conseguir la geometría deseada. Para superar esta limitación, procedimientos análogos al MDF, basados en conceptos de “densidades de tensión” fueron propuestas en la literatura (Singer, 1995), (Maurin y Motro, 1999). Resultan, sin embargo, en procedimientos no lineales, por lo que la gran ventaja del MDF original se pierde, y no hay ninguna buena razón para reemplazar los análisis estructurales clásicos por otros procedimientos no lineales. Recientemente, Pauletti (2006) introdujo el Método de las Densidades de Fuerza Natural (MDFN), una extensión del MDF para buscar la forma de las membranas a 5. (a) diferentes momentos del proceso de búsqueda de la forma de una red de cables a través del MRD, con amortiguación cinética, (b) forma final viable, (c) la variación de energía cinética. b c continuas, que preserva los lineamientos característicos del método original y permite el uso de mallas irregulares, típicas del modelado de membranas en forma libre. El MDFN se basa en el enfoque natural, introducido por Argyris (1974A/B, 1981) para el Método de los Elementos Finitos (Pauletti et al., 2005). Pauletti y Pimenta (2008) reconocieron que la imposición de densidades de fuerza natural es equivalente a la imposición de tensiones 2PK en una malla de referencia. Además, si el MDFN fuera aplicado iterativamente, tomándose la forma resultante de cada iteración como una nueva configuración de referencia, e imponiéndose siempre el mismo campo uniforme e isótropo de tensiones 2PK, el mismo convergirá para una configuración sobre un campo uniforme e isótropo de tensiones de Cauchy. Esto significa que una superficie mínima se puede lograr a través de una serie de configuraciones viables, de modo que el proceso pueda ser interrumpido en cualquier iteración, y el resultado sea admitido como solución. Esta es una clara ventaja, si se compara con el Método de Newton o el MRD, los cuales también pueden converger a una solución mínima, pero a través de una serie de ajustes no viables. consecuentemente, tampoco a la compresión- se desprende que la forma, las cargas externas y un estado exclusivamente interno de las tensiones de tracción deben interactuar con el fin de satisfacer las ecuaciones de equilibrio. Por lo tanto, el diseño preliminar de las estructuras tensadas consiste en determinar una configuración inicial, en la que una geometría dada y un estado de las solicitudes dado, asociado a esa geometría, den un estado de equilibrio. En este contexto, entendiendo tanto la geometría como el campo de tensiones, se le denomina configuración viable. Por extensión, también nos referimos a los campos de tensión viables, siempre asociados a las correspondientes formas viables. El MDFN también se puede aplicar a la búsqueda de formas no mínimas, por medio de la especificación de campos no uniformes y no isótropos de tensiones 2PK. En estos casos, sin embargo, aunque sigue siendo una forma viable, para cada iteración, no hay garantía de que un campo de tensiones de Cauchy, no uniforme y no isótropo, pueda obtenerse por medio de las interacciones. Por otra parte, una vez que la geometría varia de iteración en iteración, la definición de las direcciones principales, en relación a las que usualmente se prescriben las tensiones, pueden volverse muy complejos (Pauletti, 2011). Al adoptar el Método de Newton para resolver el problema, se hace necesario definir una configuración inicial (comprendiendo una geometría y un campo de tensiones iniciales), no necesariamente viable, pero capaz de proporcionar la rigidez geométrica suficiente al sistema, evitando divergencia del Método de Newton. También el Método de Relajación Dinámica requiere la definición de una geometría inicial, pero sin la necesidad de definir un campo inicial de tensiones. 6.1. Fases del proceso del proyecto y análisis de las estructuras tensadas Con algunas variaciones de terminología, los autores identifican algunas fases características del proceso de proyecto y análisis –necesariamente integrados- de las estructuras tensadas. Estas fases, esquematizadas en la figura 3 (Pauletti, 1999), comprenden la búsqueda de la forma, el patrón y el análisis de la respuesta a las cargas. 6.2 En búsqueda de la Forma Es difícil definir a priori la forma de una estructura tensada. Como esta no tiene rigidez a la flexión –y Además de ser mecánicamente posible, una configuración inicial debe adaptarse tanto a las exigencias arquitectónicas (forma y uso) como estructurales (resistencia y estabilidad). En general, para un determinado conjunto de condiciones del contorno, en número suficiente, hay toda una familia de posibles configuraciones viables, dejando a los proyectistas seleccionar la configuración que mejor se adapte a los requisitos del proyecto. Como un primer ejemplo de búsqueda de la forma, utilizando el Método de Newton, se considera la determinación de la geometría de un cable poligonal suspendido, sujeto a constantes fuerzas nodales. Se trata de una aproximación al problema de la geometría del cable sujeto a su peso propio, cuya solución es la familia de las curvas catenarias. Como forma inicial, se asume el cable definido por dos segmentos rectos. La figura 4 muestra las configuraciones obtenidas por sucesivas iteraciones del Método de Newton, hasta que encuentre una configuración de equilibrio. Sólo esta última configuración corresponde una forma viable. 35 6. (a) geometría inicial, no viable, (b) la geometría posible, con colores que representan las dimensiones verticales desde el suelo, (c) que cubre la membrana del “Memorial de los Pueblos de Belém do Pará” (Pauletti, 2005b) Como ejemplo de aplicación del MRD, se considera la búsqueda de la forma de una red de cables en forma de montura, a partir de una malla plana, de contorno cuadrado. Dos vértices opuestos se mantienen fijos, imponiéndose desplazamientos verticales a los otros dos vértices. La figura 5 (a) muestra cuatro instantes del proceso de relajación dinámica, convergiendo en la configuración de equilibrio estático, que se muestra en la figura 5 (b). Una vez más, apenas la configuración final, de reposo, corresponde a una forma viable. La figura 5 (c) muestra la variación de energía cinética del sistema. Se adopta la técnica de amortiguamiento cinético, mediante el cual la energía cinética del sistema es arbitrariamente llevada a cero cada vez que alcanza un máximo. Los primeros picos de energía (Fase A) se asocian a movimientos tangenciales a la configuración de la estructura, debido a las altas cargas desbalanceadas que surgen cerca de los vértices. Después de que estos movimientos son sustancialmente reducidos, los picos posteriores (Fase B) se asocian con oscilaciones de baja frecuencia, que se caracterizan por desplazamientos transversales a la superficie media de la estructura. 7. Geometrías diferentes generadas por el método de las densidades de la fuerza, considerando la misma malla de la referencia y diferentes razones nb = ni 36 entre rayas Nº 88 Abril 2011 ® Un tercer ejemplo de la búsqueda de la forma, utilizando el Método de Newton, se da en la figura 6. El análisis parte de la geometría no-viable, que se muestra en la figura 6 (a). Se atribuye al material un módulo de elasticidad muy bajo, así como un campo isótropo de tensiones iniciales. Una vez que se encuentra una configuración viable, la geometría es redefinida, el campo de tensiones se actualiza, y las propiedades de los materiales se cambian a valores reales. La figura 6 (b) muestra la forma viable encontrada. La figura 6 (c) muestra la realización del proyecto. Pauletti (2005B) describe en detalles el proyecto y la construcción de esta membrana de 400 m2, ubicada en la capital del Estado de Pará, Brasil. nb = 5ni nb = 10ni La figura 7 muestra tres diferentes hipar generados por medio del método clásico de las densidades de fuerza, a partir de una misma malla de referencia, y con diferentes razones, entre las densidades de fuerza de los cables de bordes y del cableado interno. Debido a que el MDF es un proceso lineal, cada una de las tres soluciones presentadas se obtuvo en una sola iteración, una clara ventaja sobre el Método de Newton o al MRD. También es interesante observar que si las densidades de fuerza de todos los elementos fueran directamente prescritas, el problema no depende de la definición de una geometría inicial, sino de la conectividad entre los diferentes elementos. También se resalta que al prescribir densidades de fuerza en la configuración inicial, no es posible controlar las fuerzas normales resultantes de la configuración final, en apenas una iteración. De todos modos, es posible acercarse a un campo normal de fuerzas uniformes, de manera iterativa, redefiniéndose la geometría y las densidades de tensión especificadas, en cada iteración. La figura 8, a su vez, muestra la aplicación del Método de las Densidades de Fuerza Natural a la determinación de diferentes geometrías de membrana, partiendo siempre de una misma malla de referencia cuadrada. Para la búsqueda de la forma de conoides, es necesario incluir un agujero en la malla de referencia (en términos topológicos, una superficie de “genus 1”). Cada forma factible se obtiene en una única iteración, no siendo posible, sin embargo, el control las tensiones de Cauchy que resultan en la configuración final, en apenas una iteración, análogamente al MDF. La figura 9 muestra los campos de las primeras tenciones principales asociadas a las geometrías mostradas en la figura 8. 8. Varias configuraciones viables, generadas por la imposición de diferentes condiciones de desplazamientos y densidades de fuerza en los cables del borde, sobre una misma malla de referencia rectangular, de género 0 o 1. 9. Campos de tensión de Cauchy asociados con las formas posibles mostradas en la figura 8. 10. Búsqueda de la forma de la superficie mínima de Costa, utilizando el Método de las Densidades de Fuerza Natural (Pauletti, 2006). En muchas situaciones prácticas del proyecto de las estructuras de membrana, es razonable adoptar, como configuración inicial, la superficie mínima asociada al contorno especificado en el proyecto arquitectónico. Una superficie mínima se caracteriza por presentar tanto por la mínima área para un determinado contorno, como un estado uniforme e isótropo de tracción. Para encontrar una superficie mínima se puede buscar directamente la geometría que reduce el área, o la geometría que permite el equilibrio de un campo isótropo de tensiones superficiales (Souza et al., 2008). La figura 10 muestra la generación de una superficie mínima de Costa (Costa, 1982), a partir de la superficie no-mínima mostrada en la figura 10 (a), la cual conecta tres anillos circulares fijos. Las figuras 10 (b/c) muestran las geometrías obtenidas en la primera y en la sexta iteración del MDFN. Se advierte que la primera iteración ya proporciona una aproximación óptima de superficie mínima. En la segunda línea, las figuras 10 (d/e/f) muestran los campos de primera tensión principal (sI) resultantes después de la primera iteración (1.0288 ≤ sI ≤ 1.8086), de la segunda iteración (1.0015 ≤ sI ≤ 1.0594) y la sexta iteración (1.0001 ≤ sI ≤ 1.0124). Se observa que a partir de la segunda iteración del campo ha sido liberado de cualquier punto de concentración, y para efectos prácticos, el método puede ser interrumpido sólo en la segunda iteración. piezas planas. Como las superficies de doble curvatura –típicas de las estructuras tensadas- no pueden ser planificadas de forma exacta, el proceso de determinación de los patrones de corte es inevitablemente aproximado. Sin embargo, es crucial que se limite el error de esa aproximación, con el riesgo de no conseguir la configuración recomendada, o de que aparezcan rasgos o zonas de arrugas, que condenan la estructura, sea del punto de vista mecánico o sea de utilidad. 6.3. Patrón La definición de los patrones de corte de una membrana es un proceso que comprenden la identificación de líneas de corte sobre la superficie de equilibrio inicial, permitiendo el desdoblamiento de la superficie total y la generación de un conjunto de piezas de doble curvatura, posteriormente desarrollado en un conjunto de El proceso de modelar el patrón también debe tener en cuenta una serie de limitaciones de orden práctica: el tejido debe ser cortado a partir de rollos de anchura relativamente pequeña; por razones económicas, es deseable que cada pieza maximice el uso de anchura disponible, siendo ventajoso el empleo de piezas con lados rectos; la longitud del contorno de las piezas adyacentes deben ser iguales; la distorsión del tejido en los bordes de la estructura debe evitarse; la disposición de las piezas debe ser tal que las direcciones de las tensiones principales coincidan en mayor medida posible b a d c e 11. (a) patrón de la membrana del Memorial de los Pueblos de Belem do Pará, (b) planificación estructural de estos patrones, (c) conjunto de patrones de corte planificados (d) montaje de estos patrones en un modelo de papel, (e) modelo de tejido, en escala 1:10. 12. (a) Modelo físico de la superficie mínima de Costa; (b) patrones de corte sobre la superficie de la membrana, (c) patrones de corte después de la planificación 37 la direcciones de la fijación. Por otra parte, las líneas de costura también están condicionadas por factores estéticos. Piezas adyacentes deben tener una variación gradual de tamaño. Figura 13. Toldos originales de Mercado Abierto de Goiânia (hasta 2006) 14. Intención arquitectónica de los nuevos techos del Mercado Abierto de Goiânia La figura 11 muestra el proceso de patrón aplicado a la membrana del Memorial de los Pueblos de Belém do Pará (Pauletti, 2005). La figura 11 (a) muestra los diferentes modelos de corte definidos, sobre la forma posible de la membrana. La planificación de estos patrones se obtuvo a través de una serie de análisis estructurales no lineales (uno para cada banda), arrastrando todos los nodos de cada banda para un plano conveniente, y permitiendo que la membrana se acomodase sobre este plano. La figura 11 (b) muestra uno de estos patrones de corte, antes y después de la planificación, con los colores que representan la magnitud de los desplazamientos prescritos. La figura 11 (c) muestra el conjunto de todos los patrones de corte ya planificados, que se pueden trazar en papel, a escala reducida, y montarse para verificar la consistencia, como se ve en la figura 11 (d). La figura 11 (e) muestra un modelo de tejido, en escala 1:10, usado para verificar los procesos de fabricación y montaje de la estructura. Como otro ejemplo de patrón, se considera la realización de un modelo físico de la superficie de Costa, que se muestra en la figura 12 (a) (en exhibición en el vestíbulo del Edificio de Ingeniería Civil de la Escuela Politécnica de la Universidad de São Paulo en 2008). La figura 12 (b) muestra un patrón definido sobre la superficie de la membrana, y la figura 12 (c) muestra los patrones de corte ya planificados. Como el material utilizado en la producción del modelo era flexible, se empleó un pequeño número de puertos de corte, con apenas tres patrones, repetidos cuatro veces (patrones F1 y F3) u ocho veces (patrón F2). 7. Análisis de cargas / Mercado Abierto de Goiânia (2006) Como un ejemplo de análisis de cargas, se considera el caso de los techos en membrana del Mercado Abierto de Goiânia. En un esfuerzo por restaurar el área urbanísticamente degradada, la Prefectura de la Ciudad de Goiânia propuso la sustitución de dos agregados de toldos piramidales, que se muestran en la figura 13, por dos nuevas membranas para el techo. 15. Solución del proyecto para los nuevos techos del Mercado Abierto de Goiânia 38 entre rayas Nº 88 Abril 2011 ® La figura 14 muestra la intención del arquitecto con el nuevo techo, cada uno compuesto de una sucesión de conoides, cubriendo las dos esquinas centrales de un bulevar del eje circular. El presupuesto para la producción de la obra fue restringido, y un presupuesto básico del proyecto estructural buscaba el mínimo costo, sin comprometer la seguridad. Los dos techos se destinaban a una feria de comercio popular. Su ocupación sería intensiva, con muchos obstáculos, por lo que no había necesidad de trabajar con grandes aberturas. Aberturas más pequeñas abaratan las estructuras, porque los esfuerzos son más bajos, reduciendo el tamaño de la estructura metálica. Por otra parte, la forma muy alargada de los toldos generó exigencias contradictorias en cuanto a la altura de los mástiles: para garantizar el ajuste de la superficie en dirección longitudinal, con sólo tres mástiles, los mismos deberían ser considerablemente altos; por otro lado, si los mástiles eran muy altos, la superficie de la membrana sería casi vertical, en la dirección transversal. Se optó entonces por el uso de un mayor número de mástiles (siete), de modo que la “zona de influencia” de cada uno de ellos esté lo más cerca posible a un cuadrado. Debido a que los techos deberían cubrir una serie de quioscos modulares, el uso de siete mástiles también ordena mejor el espacio, atendiendo las funciones a las que está destinado. Aún tratando de reducir los costos de fabricación y montaje, se procuró aprovechar al máximo las simetrías disponibles, dentro de las limitaciones impuestas por el despliegue de las estructuras. Así, se definieron dos estructuras iguales, doblemente simétricas, con la forma de una V muy deprimida, con dos piernas rectangulares, con las cuatro esquinas biseladas, para dar cabida a las restricciones de espacio. Cada toldo se compone de siete módulos conoidales, siendo cuatro módulos intermedios (módulos tipo A -bases cuadradas, dos ejes de simetría), dos módulos de extremidad (módulos tipo B -bases trapezoidales, sin simetría) y un modulo central (módulo tipo C -base truncada; un eje de simetría). Cada módulo estará apoyado por un mástil tubular, unido a la membrana por un “rueda cónica rayada” (con 8 rayos, y con 2 m de diámetro medio). La figura 15 muestra el modelo de uno de los nuevos techos. c Presión de campo para el caso de viento transversal d Presión de campo para el caso de viento longitudinal a b 16. (a) Isopletas (en m/s), a lo largo del territorio nacional y situación de Goiania, (b) zonas de coeficientes de forma y de presiones (en kN/m2), (c/d) campos de presión para los casos de viento transversal y longitudinal. (1) Retensado (2) Viento transversal (3) Viento longitudinal 17. Principales tensiones máximas en la membrana (en N/m2) y reacciones de anclaje (a) Viento transversal (b) Viento longitudinal 18. Norma de los desplazamientos, bajo la acción de las cargas de viento (en metros; desplazamientos amplificados tres veces, para una mejor visualización) 39 Tabla 1 40 entre rayas Nº 88 Abril 2011 ® Todos los análisis estructurales se realizaron por medio de modelos de elementos finitos desarrollados con la ayuda del programa SATS (Pauletti et al., 2005). La membrana fue modela con elementos en estado plano de tensión, con material isótropo, elástico-lineal, trabajando exclusivamente la tracción. Los bordes fueron modelados por los cables, sin rigidez de compresión. Los demás elementos metálicos fueron modelados con elementos de viga de sección tubular, definiéndose los diámetros equivalentes, en los casos donde las secciones transversales fueran compuestas, o no-circulares. Se consideraron tres casos de carga: (1) Tensión: campo de tensiones superficiales promedio de 2.5 kN/m; (2) Viento Transversal: q0 = 0,4 kN/m2, (3) Viento longitudinal: q0 = 0.4 kN/m2. Las cargas de presión ocasionadas por el viento se definieron de acuerdo a la norma brasileña NBR-6123/88, considerando una velocidad básica vo = 35m/s. La norma NBR-6123/88 no prevé coeficientes de presión específica para la geometría de las membranas en estudio. Se sabe, sin embargo, por medio de pruebas en túneles de viento, que cada módulo de una sucesión de conoides está sujeto a un exceso de presión a barlovento y la succión a sotavento en los lados, conforme a las zonas de presión que se esquematizan en la figura 16, donde también se muestran los campos de presión adoptados por los dos casos de viento estudiados. Referencias (Argyris, 1974A) J.H. Argyris et. al. “A general method for the shape finding of lightweight tension structures.” Comp. Meth. Appl. Mech. Eng. 3 135-149 (1974). (Argyris, 1974B) J.H. Argyris et. al. “Large natural strains and some special difficulties due to non-linearity and incompressibility in finite elements.” Comp. Meth. Appl. Mech. Eng. 4 (2) 219-278 (1974). (Argyris, 1981) J.H. Argyris & J.St. Doltsinis “On the natural formulation and analysis of large defomation coupled thermomechanical problems.” Comp. Meth. Appl. Mech. Eng. 25 (2) 195-253 (1974). (Barnes, 1988) M.R. 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Suponiendo que el tejido tenga un rendimiento igual o similar al tejido Sanclif Doble IV, producido por la empresa Sansuy, cuya baja resistencia a la tracción se produce en la dirección de la trama, con un valor, según la información del catálogo, de Sr=(76 ± 11) kN/m, tomando, a favor de la seguridad, el límite inferior del rango estadístico, Sr=65kN/m, y luego Slim=0,25Sr=16kN/m. La tabla 1 y las figuras 17 y 18 resumen los principales resultados de los análisis. La figura 19 muestra, en la primera línea, algunos pasos del montaje de un modelo físico 1:10, durante las clases de la disciplina de Estructuras Ligeras, ofrecidas por el Programa de Posgrado en Ingeniería Civil de la Escuela Politécnica de la Universidad de São Paulo. La segunda línea de la figura 19 muestra una foto de satélite de nuevos techos. Finalmente, la figura 20 muestra algunas visuales de los techos nuevos, que rápidamente se convirtieron en iconos urbanos, muy apreciados por los ciudadanos. 20. Distintas visuales de los nuevos techos del Mercado Abierto de Goiania 19. Mercado Abierto de Goiania. Montaje de prototipo en escala 1:10 y vista por satélite (Pauletti, 2003) R.M.O. Pauletti. História, Análise e Projeto das Estruturas Retesadas. Tese apresentada à Escola Politécnica da Universidade de São Paulo, para o concurso de Livre-Docência junto ao Departamento de Engenharia de Estruturas e Fundações. São Paulo, 2003. (Pauletti & Brasil, 2003) R.M.O. Pauletti & R.M.L.R.F Brasil, “Design and analysis of tension structures using general purpose finite element programs”. International Conference on Textile Composites and Inflatable Structures, 2003, Barcelona. Textile and Inflatable Structures. Barcelona : CIMNE, 2003. v. 1. (Pauletti et. al, 2005) R.M.O. Pauletti; D.M. Guirardi; T.E.C. Deifeld, “Argyris’ Natural Membrane Finite Element Revisited”. International Conference on Textile Composites and Inflatable Structures, 2005, Stuttgart. 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