Programa de la asignatura Geodesia II

Teoría de Errores y Guiones de Prácticas
FÍSICA GENERAL II
DEPARTAMENTO DE FÍSICA - UNIVERSIDAD DE JAÉN
Alumno : _________________________________________
Curso: _____________________ Grupo: ________________
16
CONTENIDO
SEMINARIO I: Análisis de error y tratamiento de datos obtenidos en el
laboratorio
Introducción.
Conceptos de precisión, sensibilidad y exactitud.
Clasificación de los errores.
Conceptos de exactitud, precisión y sensibilidad
Error absoluto. Error relativo
Determinación de los errores cometidos en las medidas directas
Determinación del error de una magnitud medida indirectamente
Construcción de gráficas
Ajuste de la recta de regresión por el método de mínimos cuadrados
Interpolación en tablas de simple entrada
Interpolación en tablas de doble entrada
PRÁCTICAS
1. Determinación del valor del campo eléctrico y del potencial creado entre las
placas de un condensador cargado.
2. Estudio de la función de carga y descarga de un condensador.
3. Campo magnético en espiras y bobinas.
4. Ley de Ohm.
5. Prisma Óptico
17
Análisis de errores y tratamiento de datos
obtenidos en el laboratorio
INTRODUCCIÓN
Todas las medidas experimentales vienen afectadas de una cierta
imprecisión inevitable debida a las imperfecciones del aparato de medida, o a las
limitaciones impuestas por nuestros sentidos que deben registrar la información.
El principal objetivo de la denominada teoría de errores consiste en acotar el valor
de dichas imprecisiones, denominadas errores experimentales. Dado que el valor
de las magnitudes físicas se obtiene experimentalmente por medida (bien directa
de la magnitud o bien indirecta, por medio de los valores medidos de otras
magnitudes ligadas con la magnitud problema mediante una fórmula física) debe
admitirse como postulado físico el hecho de que resulta imposible llegar a
conocer el valor exacto de ninguna magnitud, ya que los medios experimentales
de comparación con el patrón correspondiente en las medidas directas, viene
siempre afectado de imprecisiones inevitables. De este modo, aunque es
imposible encontrar en la práctica el valor "cierto" o "exacto" de una magnitud
determinada, no hay duda de que existe, y nuestro problema es establecer los
limites dentro de los cuales se encuentra dicho valor.
CLASIFICACIÓN DE LOS ERRORES
El error se define como la diferencia entre el valor verdadero y el obtenido
experimentalmente. Los errores no siguen una ley determinada y su origen está
en múltiples causas. Atendiendo a las causas que los producen, los errores se
pueden clasificar en dos grandes grupos, errores sistemáticos y errores
accidentales.
Se denomina error sistemático a aquel que es constante a lo largo de todo el
proceso de medida y, por tanto, afecta a todas las mediciones de un modo
definido y es el mismo para todas ellas. Estos errores tienen un signo
determinado y las causas probables pueden ser las siguientes:
- Errores instrumentales (de aparatos). Por ejemplo el error de calibrado es de
este tipo.
- Error personal. Este es, en general, difícil de determinar y es debido a
limitaciones de carácter personal. Un ejemplo de éste sería una persona con un
problema de tipo visual.
- Error de la elección del método. Corresponde a una elección inadecuada del
método de medida de la magnitud. Este tipo de error puede ponerse de
18
manifiesto cambiando el aparato de medida, el observador, o el método de
medida.
Se denominan errores accidentales a aquellos que se producen en las
pequeñas variaciones que aparecen entre observaciones sucesivas realizadas
por un mismo operador. Las variaciones no son reproducibles de una medición a
otra, y no presentan más que por azar la misma magnitud en dos mediciones
cualesquiera del grupo. Las causas de estos errores son incontrolables para un
observador. Los errores accidentales son en su mayoría de magnitud muy
pequeña y para un gran número de mediciones se obtienen tantas desviaciones
positivas como negativas. Aunque con los errores accidentales no se pueden
hacer correcciones para obtener valores más concordantes con el real, si se
emplean métodos estadísticos se puede llegar a algunas conclusiones relativas al
valor más probable en un conjunto de mediciones.
CONCEPTOS DE EXACTITUD, PRECISIÓN Y SENSIBILIDAD
En lo que respecta a los aparatos de medida, hay tres conceptos muy
importantes que vamos a definir exactitud, precisión, y sensibilidad.
La exactitud se define como el grado de concordancia entre el valor
verdadero y el experimental. De modo que, un aparato es exacto si las medidas
realizadas con él son todas muy próximas al valor "verdadero" de la magnitud
medida.
La precisión hace referencia a la concordancia entre una medida y otras de la
misma magnitud, realizadas en condiciones sensiblemente iguales. De modo que,
un aparato será preciso cuando la diferencia entre diferentes medidas de una
misma magnitud sean muy pequeñas.
La exactitud implica normalmente precisión, pero la afirmación inversa no es
cierta, ya que pueden existir aparatos muy precisos que posean poca exactitud
debido a los errores sistemáticos tales como error de cero, etc. En general, se
puede decir que es más fácil conocer la precisión de un aparato que su exactitud.
La sensibilidad de un aparato está relacionada con el valor mínimo de la
magnitud que es capaz de medir. Por ejemplo, decir que la sensibilidad de una
balanza es de 5 mg significa que para masas inferiores a la citada, la balanza no
presenta ninguna desviación.
Normalmente, se admite que la sensibilidad de un aparato viene indicada por
el valor de la división más pequeña de la escala de medida. En muchas
ocasiones, de un modo erróneo, se toman como idénticos los conceptos de
precisión y sensibilidad, aunque hemos visto ya que se trata de conceptos
diferentes.
ERROR ABSOLUTO. ERROR RELATIVO
19
Si medimos una cierta magnitud física cuyo valor "verdadero" es x 0,
obteniendo un valor de la medida x, llamaremos error absoluto en dicha medida, a
la diferencia:
x = x – x0
donde en general se supone que | x | << |x0|. El error absoluto nos da una
medida de la desviación, en términos absolutos respecto al valor "verdadero". No
obstante, en ocasiones nos interesa resaltar la importancia relativa de esa
desviación. Para tal fin, se usa el error relativo. El error relativo se define como el
cociente entre el error absoluto y el valor "verdadero":
x
x0
en forma porcentual se expresará multiplicado por cien. Cuando indiquemos el
valor de una medida de una magnitud, tendremos que indicar siempre el grado de
incertidumbre de la misma, para lo que acompañaremos el resultado de la medida
del error absoluto de la misma, expresando el resultado en la forma:
x
x
De ordinario, y dado el significado de cota de imprecisión que tiene el error
absoluto, éste jamás debe tener más de dos cifras significativas, admitiéndose por
convenio, que el error absoluto sólo puede darse con dos cifras significativas si la
primera de ellas es un 1, o si siendo la primera un 2, la segunda no llega 5. En
todos los demás casos debe darse un valor con una sola cifra, aumentando la
primera en una unidad si la segunda fuera 5 o mayor que 5. El valor de la
magnitud debe tener sólo las cifras necesarias para que su última cifra
significativa sea del mismo orden decimal que la última del error absoluto, llamada
cifra de acotamiento.
Como ejemplo damos la siguiente tabla de valores de distintas magnitudes
(en la columna de la izquierda mal escritos y en la derecha corregidos) para poner
de manifiesto lo dicho anteriormente.
Valores Incorrectos
Valores Correctos
3.418 ± 0.123
3.42 ± 0.12
6.3 ± 0.09
6.30 ± 0.09
46288 ± 1551
46300 ± 1600
428.351 ± 0.27
428.4 ± 0.3
0.01683 ± 0.0058
0.017 ± 0.006
20
Si un valor de medida es leído de una tabla u otro lugar, sin indicación de
su error, se tomar como error una unidad del orden de la última cifra con que se
expresa.
DETERMINACIÓN DE LOS ERRORES COMETIDOS EN LAS MEDIDAS
DIRECTAS
Cuando realicemos la medida de cualquier magnitud deberemos indicar
siempre una estimación del error asociado a la misma. Dado que no conocemos
el valor "verdadero" de la magnitud que deseamos medir, se siguen ciertos
procedimientos para hacer una estimación tanto del valor "verdadero" de la
magnitud, como de una cota de error, que nos indique la incertidumbre en la
determinación realizada. Distinguiremos dos casos bien diferenciados:
a) Caso en el que se realiza una única medida de una magnitud.
En este caso consideramos que el error absoluto coincide con el valor de la
sensibilidad del aparato utilizado para realizar la medida. De este modo el
resultado de una medida lo indicaremos en la forma:
x
x ( x = sensibilidad)
b) Caso en el que se realizan varias medidas de una misma magnitud.
Con el fin de alcanzar cierta validez estadística en los resultados de las
medidas, es muy conveniente repetir varias veces la determinación del valor de la
magnitud problema. Los resultados de las medidas individuales pueden
presentarse poco o muy dispersas, en función de esta dispersión será
conveniente aumentar o no, el número de determinaciones del valor de la
magnitud.
Para decidir el número determinaciones del valor de una magnitud física
que deseamos medir seguiremos el siguiente procedimiento.
Se realizan siempre tres medidas de la magnitud, se calcula el valor medio
de estas tres medidas, dado por:
3
x3
1
3
xi
i 1
y se halla la dispersión total D de las mismas, es decir, la diferencia entre los
valores extremos de las medidas (valor máximo de las medidas obtenidas menos
el valor mínimo) y finalmente se obtiene el tanto por ciento de dispersión, T, que
viene dado por:
21
D
100
x3
T
Si el valor de la dispersión total D no es mayor que el valor de la
sensibilidad del aparato de medida, D ≤ S, en este caso se toma como estimación
del valor "verdadero" de la magnitud el valor medio de las tres medidas x3 y como
error absoluto la sensibilidad. Ahora bien, si el valor de la dispersión total D es
mayor que el de la sensibilidad del aparato, D > S, procedemos a aumentar el
número de medidas de la magnitud. El criterio a seguir en este aumento viene
condicionado por el valor del porcentaje de dispersión T del modo indicado en la
siguiente tabla:
T en las tres primeras medidas
nº total de medidas necesarias
T 2%
2% < T 8%
8% < T 15%
15% < T
Bastan las 3 medidas realizadas
Hay que hacer 3 medidas más, habrá 6 valores
Hay que hacer un total de 15 medidas
Hay que hacer 50 medidas como mínimo
Una vez realizadas las medidas necesarias se toma como valor verdadero
de la magnitud, el valor medio de la misma calculado sobre el número total de
medidas realizadas. En cuanto al correspondiente error se determina según los
casos como sigue:
1) Si se han realizado tres medidas, se toma como error absoluto el valor de la
sensibilidad del aparato, que como hemos indicado anteriormente, es el error
absoluto de cada una de las medidas individuales.
2) Si se han realizado seis medidas, entonces se calcula el error de dispersión
definido como D6/4 (cuarta parte de la dispersión total de las seis medidas, es
decir, la diferencia entre la mayor y menor de todas las medidas realizadas), y
se asigna como error absoluto de las medidas, el máximo entre este valor y la
sensibilidad del aparato.
3) Si se han realizado quince medidas o más, el error absoluto puede calcularse
por la expresión:
N
xi
x
xN 2
i 1
N ( N 1)
que proporciona el error cuadrático medio o desviación estándar de las medidas,
donde xi son cada uno de los valores medidos, xN es la media aritmética de las
medidas individuales y N es el número de medidas realizadas.
DETERMINACIÓN
INDIRECTAMENTE
DEL
ERROR
DE
UNA
MAGNITUD
MEDIDA
22
La medida indirecta de una magnitud se alcanza por aplicación de una
fórmula a un conjunto de medidas directas, (variables independientes o datos),
que las relacionan con la magnitud problema. Mediante dicha fórmula se obtiene
también el error de la medida según pasamos a explicar. Antes de continuar,
debemos indicar que si en dicha fórmula aparecen números irracionales tales
como pi, e, etc., debemos elegir el número de cifras significativas con que deben
tomarse a la hora de realizar los cálculos correspondientes, de modo que los
errores cometidos al aproximar estos números irracionales no afecten a la
magnitud del error absoluto de la magnitud que queremos determinar.
Supongamos que la magnitud F es función de otras magnitudes físicas,
estando relacionada con ellas por F = f ( x, y, z, ...). Supongamos además, que se
han realizado medidas de las citadas variables, x, y, z...; y se han determinado su
valor y su error. Para realizar el cálculo del error absoluto de F, en función de los
errores absolutos cometidos en las determinaciones directas de x, y, z... se
procederá de la siguiente forma:
En primer lugar se obtiene la diferencial total de F en función de las
diferenciales de las variables x, y, z, ...; mediante :
dF
F
dx
x
F
dy
y
F
dz ...
z
A continuación asimilamos las diferentes diferenciales a los errores
absolutos, y además consideramos que en el cálculo del error de F debemos
ponernos en el caso más desfavorable, es decir, error mayor, para lo cual
tomaremos los valores absolutos de las derivadas parciales, con el fin de tener
una suma de términos positivos, obteniendo para el valor del error absoluto de F
el resultado:
F
F
x
x
F
y
y
F
z ...
z
En este problema se presenta una notable simplificación en el caso en el
que la función considerada sea de la forma :
F
x a y b z c ...
con a, b, c, ... constantes positivas o negativas, ya que en este caso, podemos
proceder del siguiente modo, tomando logaritmos neperianos:
ln F = a.ln x + b.ln y + c.ln z
si a continuación obtenemos la diferencial:
d(ln F)= a.d(ln x) + b.d(ln y) + c.d(ln z)
teniendo en cuenta la diferencial logarítmica dada por:
23
d(ln u) = (du)/u
tenemos que:
dF
F
a
dx
x
b
dy
y
c
dz
z
...
donde asimilando de nuevo los diferenciales totales a los errores absolutos
obtenemos:
F
F
a
x
x
b
y
z
c
...
y
z
Ejemplo numérico del cálculo de errores.
Vamos a calcular el error de una magnitud F que depende de otras a
través de una expresión del tipo:
F
( x y)z
(u v)w
consideremos que se han medido las magnitudes de las variables y se han
determinado sus valores absolutos de modo que:
x = 27.33 ± 0.13
y = 2.45 ± 0.05
z = 10.0 ± 0.1
u = 50.2 ± 0.1
v = 1.033 ± 0.012
w = 3.26 ± 0.02
vamos a obtener el valor de la magnitud F y el error correspondiente a la misma,
primeramente tenemos:
F = 1.8579
en segundo lugar se obtiene el error mediante:
F
F
x
x
F
y
y
F
z
z
F
u
u
F
v
v
F
w
w
realizando cálculos se obtiene:
F
x
z
(u v)w
F
y
z
(u v)w
F
z
( x y)
(u v)w
24
F
u
F
v
( x y)z
(u v )2 w
( x y )z
(u v )2 w
F
w
( x y )z
(u v)w 2
tras aplicar valores absolutos y realizar las operaciones numéricas obtenemos:
F = 0.04458
y teniendo en cuenta el número máximo de cifras significativas del error absoluto:
F= 0.04
con lo cual vemos que la última cifra significativa en el valor de F es la segunda
cifra decimal, de modo que finalmente expresamos:
F = 1.86 ± 0.04
CONSTRUCCIÓN DE GRÁFICAS
La representación gráfica de los fenómenos físicos que estudiemos debe
ajustarse a las siguientes normas:
1) Todas las gráficas deben obtenerse con un programa informático adecuado,
como puede ser EXCEl, ORIGIN, etc.
2) Las graficas llevaran un pie de gráfica con su título y en los ejes especificadas
adecuadamente MAGNITUD REPRESENTADA Y (UNIDADES). La variable
independiente, X, se representa en el eje de las abscisas y la variable
dependiente, Y, se representa en el eje de ordenadas (vertical).
3) Las escalas, sobre ambos ejes, han de permitir una lectura rápida y sencilla.
Para ello se elegirán las escalas con intervalos de 1, 2, 5, 10, 20, ... etc.
unidades (poniendo pocos números).
4) Las escalas deben abarcar todo el intervalo de medidas realizadas y sólo el
citado intervalo.
5) Sobre los ejes sólo se indican los valores correspondientes a las divisiones
enteras de la escala (que han de quedar así uniformemente espaciadas).
Nunca se señalan los valores correspondientes a las medidas realizadas.
6) Los valores medidos se representan gráficamente por el punto correspondiente
a sus dos coordenadas (punto experimental) y rodeado por el denominado
rectángulo de error, cuya base abarca desde x- x hasta x+ x y cuya altura se
extiende desde y- y hasta y+ y, siendo (x,y) las coordenadas del punto
experimental. En el caso de que x o y sean despreciables en comparación con
la escala utilizada, el rectángulo de error queda reducido a un simple segmento
vertical u horizontal, según sea el caso.
25
7) Las gráficas han de ser líneas finas "continuas " nunca quebradas, que han de
pasar por todos los rectángulos de error, aunque para ello, dejen muchas
veces de pasar por los puntos experimentales que pueden quedar a derecha o
izquierda de la gráfica. Si al hacer esta operación, alguno de los rectángulos de
error, queda excesivamente alejado de la forma continua de la gráfica, es
prueba de que esa medida es falsa por alguna causa accidental, y debe
repetirse.
AJUSTE DE LA RECTA DE REGRESIÓN POR EL MÉTODO DE MÍNIMOS
CUADRADOS
Con frecuencia, se plantea el problema de encontrar una expresión
matemática del tipo y = f(x), de la ley física que rige el comportamiento de un
determinado fenómeno, a partir de una serie de N medidas (x i,yi), de las
magnitudes x e y que lo caracterizan. Cuando la representación gráfica del
fenómeno estudiado proporciona una distribución de los puntos experimentales
en forma prácticamente lineal, es conveniente determinar la ecuación de la recta
que será expresión de la ley física que rige el fenómeno estudiado, utilizando
para ello el método de mínimos cuadrados. Dicha recta debe cumplir la condición
de que los puntos experimentales, queden distribuidos simétricamente a ambas
partes de la misma, y además, lo más próximos posible. Esta condición se cumple
si se obliga a que la recta de ecuación:
y=ax+b
Además de los valores de la pendiente y la ordenada en el origen, es
interesante obtener el denominado coeficiente de correlación lineal “r”, que nos da
una medida del grado de correlación entre los valores de las variables x e y, es
decir, hasta qué‚ punto x e y están relacionadas mediante una función lineal. En
ocasiones es más preciso representar r2.
INTERPOLACIÓN EN TABLAS DE SIMPLE ENTRADA
Las tablas de simple entrada nos proporcionan el valor de una variable dada
x en función de otra z y viceversa. Cuando se quiere determinar el valor de z que
corresponde a uno dado de x no tabulado, o viceversa, se determinan
previamente los valores tabulados de x y z entre los que se encuentra los de
nuestro problema. Sean
x1
z1
x2
z2
entonces, la relación que liga x con z puede escribirse aproximadamente según la
fórmula lineal:
26
z
z1
z2
x2
z1
( x x1 )
x1
que permite determinar z en función de x o viceversa. El error de z resulta ser:
z
z2
x2
z1
x
x1
INTERPOLACIÓN EN TABLAS DE DOBLE ENTRADA
En las tablas de doble entrada para cada pareja de valores (x,y) se
proporciona el valor correspondiente a una tercera variable z relacionada con las
dos anteriores. En este caso el trazo de tablas entre cuyos valores se encuentran
el z buscado, presenta el aspecto:
y1
y2
x1
z11
z12
x2
z21
z22
la relación aproximada que permite el cálculo de z es:
z
z 21 z11
( x x1 )
x 2 x1
z11
z12 z11
( y y1 )
y 2 y1
y puede ser utilizada en la interpolación inversa, es decir, en la determinación de
x o y, conocidos los valores de (y,z) o de (x,z). El error de z resulta obtenible
análogamente de la expresión:
z
z 21 z11
x
x 2 x1
z12 z11
y
y 2 y1
27
1. DETERMINACIÓN DEL VALOR DEL CAMPO ELÉCTRICO Y DEL
POTENCIAL CREADO ENTRE LAS PLACAS DE UN
CONDENSADOR CARGADO
1.-OBJETIVO
Entre las placas cargadas de un condensador se forma un campo
eléctrico homogéneo. Mediante

un medidor de campo eléctrico determinaremos el valor de E en función de la distancia entre las
placas del condensador y de la tensión aplicada, así como en función de la diferencia de potencial
entre sus armaduras.
2.- MATERIAL
1 Condensador plano
1 Medidor de campo eléctrico (conectado a fuente de 12 V)
1 Fuente de alimentación de C/C de hasta 300 V
1 Regla
2 Multímetros digitales
Cables para conexión
Soportes
3.-FUNDAMENTO TEÓRICO
En un condensador plano, el campo eléctrico se puede considerar uniforme si las dimensiones de
las placas son suficientemente grandes frente la distancia entre ellas y podamos considerarlas
como planos "infinitos".

Por consiguiente E cte y dentro de
las placas,
 por tanto, se ha de cumplir
que rot E 0 .
Consecuentemente el campo deriva
de un potencial, pudiéndose escribir:

E

V
Si multiplicamos escalarmente por el
vector desplazamiento, obtenemos:


 
E dl
V dl
dV
 
dV
E dl
y por tanto
La diferencia de potencial entre las
armaduras del condensador será:
V1 V2
 
E dl
Edl
E dl
Ed
Por tanto la relación entre el valor del
campo eléctrico y la diferencia de potencial que hay entre las placas del condensador es:
E
V1 V2
d
[1]
28
Esta expresión nos va a permitir estudiar el valor del campo eléctrico que hay entre las placas del
condensador al variar la diferencia de potencial ( V1 V2 ) entre las placas manteniendo la distancia
entre ambas fijas, y posteriormente ver como varia cuando modificamos la distancia entre las
placas del condensador
4.- MÉTODO EXPERIMENTAL
PRECAUCIÓN: NO JUNTAR BAJO NINGÚN CONCEPTO LAS DOS PLACAS DEL
CONDENSADOR CUANTO ESTE SE ENCUENTRA CONECTADO A LA FUENTE DE TENSIÓN
PRECAUCIÓN: NO TOCAR SIMULTÁNEAMENTE LAS ARMADURAS DEL CONDENSADOR
MIENTRAS ESTA CONECTADO A UNA DIFERENCIA DE POTENCIAL ALTA. LA FUENTE DE
ALIMENTACIÓN PUEDE PROPORCIONAR HASTA 300 V DE C/C QUE
PODRÍAN
PROVOCAR UNA FUERTE DESCARGA A TRAVÉS DEL CUERPO.
1. Encender el medidor de campo y la fuente de alimentación de corriente continua y comprobar el
ajuste a cero, viendo que es nulo el valor que señala el medidor de campo cuando la tensión
aplicada entre las placas es 0. Si no fuera así ajustar el 0 mediante el mando posterior que posee
el medidor de
 campo.
El valor de E no se mide directamente, sino a través de un multímetro que proporciona el valor de
la intensidad de corriente que se obtiene en el medidor de campo eléctrico. Esta intensidad es
proporcional al campo eléctrico. La relación de proporcionalidad depende de los botones que se
tengan pulsados en el medidor de campo (1 kV/m, 10 kV/m, 100 kV/m).

2. Medir el valor de E para distintos valores de la tensión aplicada. Realizar medidas entre 20 y
150 V de 10 en 10 V, para distancias de 7 cm y 12 cm.
REALIZAR UNA GRÁFICA Y REPRESENTAR LOS VALORES DE E (Y) FRENTE A V (X).
AJUSTAR LOS VALORES POR MÍNIMOS CUADRADOS Y OBTENER, A PARTIR DE LA
PENDIENTE EL VALOR DE LA DISTANCIA ENTRE PLACAS. COMPARAR ESTE VALOR CON
EL VALOR TEÓRICO INDICADO EN LA TABLA.
3. Manteniendo un voltaje de unos 90 V y 120 V entre las placas del condensador, medir la
intensidad de campo eléctrico en función de la separación entre las placas del condensador en un
rango aproximado de 8 a 20 cm., tomando medidas de cm. en cm.
REPRESENTAR EL VALOR DE E(Y) FRENTE AL INVERSO DE LA DISTANCIA, 1/d (X).
AJUSTAR POR MÍNIMOS CUADRADOS Y OBTENER A PARTIR DE LA PENDIENTE EL
VALOR DE LA TENSIÓN. COMPARAR ESTE VALOR CON EL VALOR TEÓRICO INDICADO
EN LA TABLA.
29
5.- RESULTADOS
V
d 7cm
E
E
V (V )
(
d 12cm
E
E
)
(
)
d
V
E
d (cm)
(
90V
E
)
V 120V
E
E
(
)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
30
2. ESTUDIO DE LA FUNCIÓN DE CARGA Y DESCARGA DE UN
CONDENSADOR
1.- OBJETIVO
Estudiar el valor de la intensidad instantánea que circula por un circuito RC conectado a una
fuente de c/c y de la carga que van adquiriendo un condensador mientras tiene lugar el proceso
de carga y de descarga.
2.- MATERIAL
1 Fuente de alimentación de c/c
4 Condensadores de distinta capacidad
5 Resistencias
2 Multímetros
3 Paneles para la construcción del circuito
3.-FUNDAMENTO TEÓRICO
Un condensador es un dispositivo formado por dos conductores cercanos y aislados entre
sí denominados placas o armaduras del condensador. Al conectar el dispositivo a un generador y
establecer entre ambas placas una diferencia de potencial, se establece una corriente eléctrica
que transporta electrones desde una de las placa a la otra, hasta que se estabiliza en un valor que
depende de la capacidad del condensador. Cuando ha terminado la transferencia de electrones
ambas armaduras poseen la misma carga, aunque de signo contrario. Este dispositivo mientras
está cargado puede almacenar energía y, en un momento determinado ceder su carga,
proporcionando energía al sistema al que está conectado.
Proceso de carga.
Consideremos un circuito como el que se muestra en la figura. El generador de C/C está
conectado en serie a una resistencia R y a un condensador de capacidad C. Supongamos que
inicialmente el condensador está descargado.
Al conectar el condensador a la fuente de alimentación de C/C que proporciona una diferencia de
potencial entre sus extremos , comienza a pasar carga desde una de las placas a la otra del
condensador. El valor instantáneo de la intensidad debe ser, como sabemos:
dq
[1]
i
dt
En el circuito debe verificarse:
iR
q
C
d
dt
R
di
dt
1 dq
C dt
R
di
dt
i
C
[2]
Si la tensión suministrada es cte.:
d
dt
0
di
i
y por tanto
dt
RC
[3]
Integrando, obtenemos
i
I0 e
t
RC
[4]
31
expresión que nos proporciona el valor de la intensidad instantánea. El valor de I 0 en esta
ecuación se obtiene poniendo las condiciones de contorno: para t = 0 q = 0 y por tanto de la
ecuación [2]
Fig.1 Esquema del circuito para la carga y descarga del condensador. La figura de la derecha
incorpora una resistencia de pequeño valor para realizar descargas rápidas del condensador si
se necesitan
I0
[5]
R
y nos proporciona el valor de la intensidad en el instante en que se conecta la fuente de
alimentación y el condensador comienza a cargarse.
El valor de la carga que posee el condensador al cabo de un tiempo t se obtiene integrando la
expresión
i
dq
dt
siendo i la expresión
i
I0 e
t
RC
32
Del resultado de dicha operación se obtiene:
q
t
Q 1 e
RC
[6]
siendo Q el valor final de la carga que vale Q = CV
El producto =RC se denomina constante de tiempo del circuito, y tiene dimensiones de tiempo.
Cuando ha transcurrido un tiempo igual al producto RC la intensidad vale:
i
I0
e
1
I0 e
0 .367 I 0
[7]
y la carga que posee el condensador:
q Q1 e
1
Q1
1
e
0.63Q
[8]
Es decir, la constante de tiempo nos indica el tiempo que el condensador tarda en adquirir el 63 %
de la carga final de equilibrio.
Se define el semiperiodo del circuito ( t 1/ 2 ) como el tiempo que se necesita para que el
condensador adquiera la mitad de la carga final de equilibrio. Por tanto:
t1/ 2
RC ln 2
[9]
Proceso de descarga
Consideremos ahora un condensador cargado y aislado que posee una carga Q 0 entre sus
armaduras. Si su capacidad es C, la diferencia de potencial entre sus armaduras es:
V0
Q0
C
En el circuito de la figura 3 se representa un condensador cargado con sus placas unidas a través
de una resistencia R. Si inicialmente estaba cargado con Q 0 , en el momento que se cierra el
circuito, comienza a pasar una intensidad de corriente a través de la resistencia hasta que el
condensador se descarga totalmente. Utilizando el mismo razonamiento que para el proceso de
carga, obtenemos que la intensidad instantánea que circula por el circuito tiene la expresión:
i
I0 e
t
[10]
RC
y la carga que resta en el condensador al cabo de un tiempo t de comenzar la descarga:
q
Q0 e
t
RC
[11]
ecuaciones que proporcionan unas gráficas semejantes a las del proceso de carga.
33
4.-MÉTODO EXPERIMENTAL.
1) Comprobar que el circuito corresponde al esquema que se presenta en la figura 1.
2) Comprobar que la fuente de alimentación está graduada para suministrar la tensión
adecuada a nuestras medidas, 8 V.
3)
Conectar la fuente de alimentación. ESTAR ATENTO PARA TOMAR LA PRIMERA
MEDIDA DE INTENSIDAD AL ALCANZAR SU MÁXIMO (t = 0) .
4) Tomar medidas de la intensidad que circula por el circuito y de la diferencia de potencial
entre las placas del condensador a intervalos de tiempo regulares. Debe tenerse en
cuenta que al cerrar el circuito la corriente máxima tarda breves instantes en alcanzarse
partir de dicho valor máximo comienzan las medidas. Cuando la corriente sea
prácticamente nula y la diferencia de potencial entre las armaduras constante, puede
considerarse terminado el proceso de carga.
5) Proceder a descargar el condensador eliminando la fuente de alimentación del circuito,
tomando como en el caso anterior, datos a intervalos de tiempo regulares de la
intensidad que circula y de la diferencia de potencial entre las armaduras.
6) Repetir el proceso para distintos valores de la capacidad del condensador, 64 F y 4.7 F
34
5.-RESULTADOS
PARA CADA CONDENSADOR
1) Tomar Los siguientes datos.
CARGA DELCONDENSADOR DE 64 F
Tiempo (s)
I
I ( A)
V
V (V )
Q
Q( C)
Q
Q( C)
Q
Q( C)
Q
Q( C)
DESCARGA DELCONDENSADOR DE 64 F
Tiempo (s)
I
I ( A)
V
V (V )
CARGA DELCONDENSADOR DE 4,7 F
Tiempo (s)
I
I ( A)
V
V (V )
DESCARGA DELCONDENSADOR DE 4,7 F
Tiempo (s)
I
I ( A)
V
V (V )
2) Representar gráficamente los valores de la intensidad frente al tiempo y la carga frente al
tiempo para los procesos de carga y descarga de cada condensador (8 gráficas en total).
3) A partir de de las gráficas del proceso de carga obtener el valor de la constante de tiempo
y del semiperiodo.
35
3. MEDICIÓN DEL CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UNA
ESPIRA Y POR UN SOLENOIDE EN SU INTERIOR
1.-OBJETIVO
Medir el campo magnético que se crea en el centro de distintas espiras con diferentes radios y en
el interior de diversos solenoides de distinto número de vueltas.
2.-MATERIAL
5 Espiras de distintos radio y diversos número de vueltas
4 Solenoides de distintas características
1 Sonda de Hall para medición del campo magnético
1 Fuente de alimentación
1 Teslámetro
1 Multímetro análogico
FUNDAMENTO TEÓRICO
a) Para una espira.
La ley de Biot-Savart nos dice que el campo magnético creado por un hilo por el que circula una
intensidad de corriente I, en un punto situado a una distancia
r viene expresado por:
 

Idl
u
0
r
[1]
dB
4
r2
siendo:

del hilo conductor
dl un elemento diferencial


r vector que une dl con el punto donde
se crea el campo magnético


ur vector unitario en la dirección de r
Fig. 1 Campo magnético creado por una espira en un punto de su eje
Apliquemos esta ecuación a una espira circular como la de la figura 1. De forma general para un
punto de su eje obtenemos que
Bx
0
IRsen
2r 2
y como sen ¡Error! Marcador no definido. = R/r y r
[2]
x2
R2 sustituyendo:
36
Bx
2( x
2
0 IR
2
2 3/ 2
R )
y en el centro de la espira x = 0
B( 0 )
0I
2R
[3]
Si la espira tiene N vueltas
B( 0 )
0 NI
2R
[4]
b) Para un solenoide.
Un conductor arrollado en forma helicoidal como el que se señala en la figura 2 se
denomina solenoide. Entre otras aplicaciones, se utiliza para producir un campo magnético
intenso y uniforme en una región pequeña del espacio. En la figura 2.b) se pueden observar las
líneas de campo magnético que se crean cuando se hace circular por él una corriente eléctrica
continua. Dentro del solenoide las líneas son prácticamente paralelas al eje del solenoide y se
encuentran uniformemente espaciadas. Fuera de la bobina son menos densas, dispersándose en
los extremos del solenoide.
El valor del campo magnético en el interior se puede considerar para muchas aplicaciones como
constante. Si hacemos esta suposición, podemos obtener su valor mediante la aplicación de la ley
de Ampere.
Fig. 2 a) Esquema de un solenoide. b) Líneas de campo magnético creadas en un solenoide
cuando se hace circular por él una corriente eléctrica.
Supongamos un solenoide de radio R y de una longitud L >> R que posee un arrollamiento de N
vueltas. Si hacemos la suposición de que dentro de la bobina el campo B es uniforme y vale 0
fuera al aplicar la ley de Ampere se obtiene
N
[6]
B
I
0
0 nI
L
siendo n el número de vueltas por unidad de longitud e I la intensidad que circula por el solenoide.
Sin la suposición anterior de que el valor de B es constante a lo largo de todo el eje x del
solenoide, la expresión del campo magnético en un punto P del eje principal es algo más
compleja.
El valor de B a lo largo del eje del solenoide ( ver fig. 3) vale en este caso:
37
B( x)
nI
2
0
L/2 x
L/2 x
2
L/2 x
R2
L/2 x
2
[7]
R2
Fig.4 Esquema de un solenoide para conocer el valor de B en un punto P
de su eje.
siendo :
I
intensidad que circula por la bobina
n
número de espiras por unidad de longitud
L
longitud del solenoide
R
radio del solenoide
x
coordenada desde el punto central del eje del solenoide en la propia dirección del
eje.
El valor de ¡Error! Marcador no definido.0 = 4¡Error! Marcador no definido. π10-7
TmA-1
Obsérvese que si en la ecuación [7] hacemos x = 0 y R<<L obtenemos la ecuación [6] que es una
aproximación para el caso de un solenoide ideal.
38
4.-METODO EXPERIMENTAL
PRECAUCIÓN: LA SONDA ESTÁ FABRICADA CON UN MATERIAL MUY FRÁGIL. PROCURE
NO DARLE NINGÚN GOLPE BRUSCO YA QUE PUEDE ROMPERSE CON FACILIDAD.
PRECAUCIÓN: NO SUMINISTRE A LA ESPIRA UNA INTENSIDAD SUPERIOR AL LIMITE
ESTABLECIDO PARA CADA UNA DE ELLAS, CUYO VALOR SE ENCUENTRA
ESPECIFICADO EN UNO DE SUS LATERALES.
PRECAUCIÓN: AL INTRODUCIR Y QUITAR CADA UNA DE LAS ESPIRAS EN SU SOPORTE
NO TIRE DIRECTAMENTE DE LA MISMA, SINO DE LA BASE RECTANGULAR QUE LAS
SUSTENTA.
A) Para las espiras
1.
Una vez conectado el instrumental, la fuente de alimentación a un voltaje d5 V, compruebe
que el valor que señala el teslámetro del campo magnético fuera de las espiras es 0. Si no
fuera así ajústelo a 0.
2.
Sitúe cada una de las espiras en el soporte y después de situar la sonda a la altura
adecuada en el pie que la sustenta mida el valor de B en el centro de cada una de las
espiras, tomando nota de la medición que proporciona el teslámetro.
3.
Represente los valores de B para las espiras de radio igual a 60 mm en función del número
de arrollamientos
4.
Represente el valor de B obtenido para una espira de R=6cm y N=3 al hacer pasar por ella
distintas intensidades
5.
Represente el valor de B obtenido en función del radio de las espiras.
B) Para los solenoides
1. Para cada una de las bobinas: N=75; N=150; vueltas medir el campo magnético en el eje.
Para ello, desde un extremo y desplazando la sonda cm a cm, hasta recorrer toda la longitud
de la bobina, medir el campo magnético en el eje. Se debe evitar tocar las paredes con la
sonda.
2. Determinar el valor teórico del campo magnético en las dos bobinas mediante la ecuación [7].
Los valores determinados con esta ecuación son simétricos respecto al centro de la bobina
por lo que solamente necesitamos calcular los valores desde el centro a un extremo que son
iguales a los del centro al otro extremo. Para su cálculo puede utilizar el programa
Mathematica.
3. Representar gráficamente las dos curvas en la misma gráfica, la curva de los valores
experimentales y la de los valores teóricos. Tener en cuenta que el valor teórico
correspondiente a x=0, corresponde al valor del centro de la bobina en los datos
experimentales,
39
5.- RESULTADOS
1) Espiras.
a) Tomar los datos correspondientes.
b) Representar gráficamente B frente a cada una de las variables.
c) ¿Qué tipo de gráficas se obtienen?.
Espiras R=6 cm; I=5 A
N
(Vuetas)
1
B
B
(mT )
Espiras N=1; I=5 A
R (cm)
6
B
B
(mT )
Espira N=3; R=6 cm
I (A)
B
B
(mT )
1
2
2
4,5
3
4
3
3
5
40
2) Bobinas
a) Tomar los datos correspondientes.
b) Representar gráficamente B frente a la distancia al centro de la bobina en una
misma gráica para N=75 y N=150.
c) Lo mismo para la boina de 300 vueltas representando en la misma gráfica B
teórico y B experimental. Comente los resultados obtenidos.
BOBINA
L=160 mm; R=13 mm I=4 A
x
x
(cm )
N=75
B
B
(mT )
B teórico
(mT)
x
x
(cm )
N=150
B
B
(mT )
B teórico
(mT)
41
4. LEY DE OHM. ASOCIACIÓN DE RESISTENCIAS
1.-OBJETIVO DE LA PRÁCTICA
Verificar si un conductor metálico es óhmico, es decir, que obedece a la ley de Ohm y por tanto
su resistencia es constante. Comprobarlo en asociaciones de resistencias en serie y paralelo.
2.- MATERIAL
Fuente de alimentación.
Panel de resistencias.
Polímetros.
3.- FUNDAMENTO TEÓRICO
La relación entre la diferencia de potencial, V la intensidad de corriente, I , y la resistencia ,R,
en un conductor metálico viene dada por la ley de Ohm:
V=I.R
4.-MÉTODO EXPERIMENTAL Y RESULTADOS
a.
Comprobación de la ley de Ohm.
Se efectúa el montaje mostrado en la figura 1, colocando el voltímetro V (con el cual vamos a
medir la diferencia de potencial entre los extremos de la resistencia) en paralelo, y el amperímetro
A (para medir intensidad de corriente) en serie con la resistencia. La fuente de tensión regulable,
se representa con la letra E y la resistencia mediante la letra R.
Una vez montado el circuito variamos la tensión mediante la fuente de alimentación regulable
entre el valor más bajo y el más alto, tomando 10 puntos y midiendo la intensidad de corriente que
circula y la diferencia de potencial en los extremos de la resistencia. Los valores obtenidos se
anotan en la tabla 1,
Representar gráficamente La tensión, V (eje Y) frente a la intensidad I (eje X) y contestar a las
siguientes preguntas:
i. ¿Qué tipo de gráfica se obtiene?
ii. ¿Responde a la ley de Ohm?
iii. Calcular, a partir de la gráfica mediante el correspondiente ajuste por mínimos cuadrados,
el valor de la resistencia. Comparar el valor obtenido con el valor de R marcado en la
resistencia y obtenga el error absoluto y relativo.
42
Fig.1
I±
mA
V±
V
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tabla1
b. Comprobación de la ley de Ohm en una asociación de resistencias en serie
Montar un circuito con tres resistencias en serie y la fuente de alimentación unida a los extremos
de la asociación, Fig2.
43
Fig.2
Variar el valor de la tensión de la fuente tomando 5 puntos y medir en cada caso la diferencia de
potencial para cada resistencia, anotando también el valor de la intensidad, así como en los
extremos de la asociación. Anotar los valores en las cuatro tablas siguientes.
Con los datos obtenidos, dibuje las cuatro gráficas y a obtenga como en el caso anterior el valor
de cada resistencia y el valor de la resistencia total de la asociación. Comprobar que se cumple la
expresión:
Req = R1 + R2 + R3
I±
mA
R1
V±
V
R2
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
Tabla 2
V±
V
Req
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
Tabla 4
V±
V
I±
mA
V±
V
Tabla 3
I±
mA
R3
I±
mA
Tabla 5
c. Comprobación ley de Ohm en una asociación de resistencias en paralelo
Montar un circuito con las tres resistencias anteriores, cuyo valor acabamos de determinar,
asociadas en paralelo y conectar la fuente de alimentación, Fig. 3.
Para cinco valores de tensión de la fuente, medir la diferencia de potencial y la intensidad para
toda la asociación. Representar gráficamente y obtener el valor de la resistencia equivalente.
44
Comprobar que se cumple que:
Fig.3
Req
I±
mA
V±
V
1
2
3
4
5
Tabla 6
Comparar los valores de las resistencias obtenidas con los valores teóricos, es decir, los que
marcan las resistencias y los obtenidos de las fórmulas.
Expresar los valores finales y su error absoluto y relativo.
RESULTADOS
R1 ±
Ω
R2 ±
Ω
R3 ±
Ω
SERIE: Req ±
Ω
PARALELO: Req ±
Ω
45
5. ÍNDICE DE REFRACCIÓN DE UN PRISMA
OBJETIVO: Determinación del índice de refracción de un prisma.
MATERIAL: Prisma, semicírculo graduado.
FUNDAMENTO TEÓRICO
Un prisma óptico es un sistema constituido por dos dioptrios planos que forman un ángulo
diedro, limitando, por lo tanto, dos medios de distinto índice de refracción (figura 1); el ángulo A,
llamado ángulo refringente del prima, y el índice de refracción n del mismo, en relación al medio
que lo rodea, caracterizan su comportamiento frente a cualquier rayo de luz incidente sobre dicho
prisma.
Supongamos
un
rayo
de
luz
monocromática
que
incide sobre la primera
cara AB, y sigámoslo a
través
de
las
refracciones
que
experimentará en dicha
cara y en la AC; la ley
de Snell aplicada en
estas dos caras nos
lleva a escribir:
n
sen i
sen r
(1)
n
sen i '
sen r '
(2)
Además el ángulo
que mide la desviación sufrida por el rayo, vale:
= (i - r) + (i ‘ – r ‘) = (i + i ‘) - (r + r ‘) = i + i ‘ - A
ya que como puede verse en la figura 1:
r + r’=A
(3)
(4)
PROCEDIMIENTO Y RESULTADOS
Se coloca el prisma problema con su arista normal al papel del dibujo y con un lápiz de
punta fina se traza el contorno del prisma.
Del lado de una cara, por ejemplo AB (figura 2) (cara de incidencia), se traza una recta
cualquiera y se colocan en ella, normales al papel, dos alfileres 1 y 2, uno a unos 10 cm del
prisma y el otro próximo a la cara del mismo. Mirando a través del prisma por la cara emergente
46
de modo que se vean los alfileres 1 y 2 alineados, se clavan otros dos alfileres, 3 y 4, uno cerca
de la cara emergente y el otro también a 10 cm.
Se quita el prisma y se prolonga la recta hasta que encuentre en O la cara incidente; luego
se unen los puntos O y O’ y por dichos puntos se trazan las normales a las caras del prisma. Con
un semicírculo graduado se miden los ángulos i, r, i’ y r’ (figura 1). Anote los errores de estas
mediciones.
Determine n y su error (expresión y resultado) con las ecuaciones (1) y (2) y tome como
resultado el valor medio de ambos valores. Compruebe así mismo que se cumplen las ecuaciones
(3) y (4).
DATOS:
CUESTIONES
1.- Exprese los resultados y los cálculos realizados así como la comprobación de las ecuaciones
(3) y (4).
n=
2.- ¿Hay alguna posición en la que no sean visibles por la cara emergente los alfileres del otro
lado del prisma?.
2.- ¿En qué cambiarían los cálculos si el prisma, en vez de estar en el aire, estuviera sumergido
de un líquido de índice n’ ?.
47