1. Determine si las siguientes sucesiones son convergentes

Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matemática
Mat-022
Segundo Semestre de 2009
1. Determine si las siguientes sucesiones son convergentes
r
r q
q
q
q
√
√
√
√
√
√
6, 6 + 6, 6 + 6 + 6, . . .
b)
2, 2 2, 2 2 2, . . .
a)
2. Usando sucesiones determine que número es mayor 1,000,0001,000,000 o 1,000,001999,999
3. Calcule los siguientes límites
√
√
a) lı́m n2 + 5n − 2 − n2 − 6n + 8
n→∞
√
b) lı́m n 4n + 5n
n→∞
1
1
1
+
+ ... +
c) lı́m
n→∞
1·3 2·4
n · (n + 2)
1
1
1
d ) lı́m √
+√
+ ... + √
n→∞
n2 + 1
n2 + 2
n2 + n
4. Determine valores de x tales que la sucesión an =
1
sea convergente.
1 + x2n
5. Pruebe que lı́m xn = 0 ssi lı́m |xn | = 0. De un ejemplo que muestre que la
n→∞
n→∞
convergencia de la sucesión (|xn |) no implica la convergencia de la suceción (xn ).
6. Sea b ∈ R con 0 < b < 1. Demuestre que lı́m nbn = 0.
n→∞
7. De un ejemplo de dos sucesiones divergentes tal que la suma de ellas sea convergente.
8. De un ejemplo de dos sucesiones divergentes tal que su producto sea convergente.
9. Sean (xn ), (yn ) sucesiones. Pruebe que si (xn ) y (xn + yn ) convergen, entonces (yn )
converge.
10. Sean (xn ), (yn ) sucesiones. Pruebe que si (xn ) converge a x 6= 0 y (xn )(yn ) converge, entonces (yn ) converge.
11. Demuestre que las sucesiones (2n ) y ((−1)n n2 ) no son convergentes.
1
12. Sea xn = (an + bn ) n donde 0 < a < b. Demuestre que lı́m xn = b.
n→∞
xn+1
= L. Demuestre que
n→∞ xn
si L < 1, entonces (xn ) es convergente y lı́m xn = 0.
13. Sea (xn ) una sucesión tal que xn > 0, ∀ n ∈ N y lı́m
n→∞
14.
a) De un ejemplo de una sucesión de números positivos convergente, (xn ), tal
xn+1
que lı́m
= 1.
n→∞ xn
b) De un ejemplo de una sucesión divergente con la propiedad anterior.
xn+1
= L. Demuestre que
xn
si L > 1,entonces (xn ) no es acotada y por lo tanto no es convergente.
15. Sea (xn ) una sucesión tal que xn > 0, ∀ n ∈ N y lı́m
n→∞
1
16. Sea (xn ) una sucesión tal que xn > 0, ∀ n ∈ N y lı́m (xn ) n = L < 1. Demuestre
n→∞
que existe un número real 0 < r < 1 tal que 0 < xn < rn , para n suficientemente
grande. Concluya que lı́m xn = 0.
n→∞
17.
a) De un ejemplo de una sucesión de números positivos convergente, (xn ), tal
1
que lı́m xnn = 1.
n→∞
1
b) De un ejemplo de una sucesión divergente,(xn ), tal que lı́m xnn = 1.
n→∞
18. Considere la sucesión definida por:
a1 = 1
an+1
1
=
2
4
an +
an
a) Escriba los cinco primeros términos de la sucesión.
b) Muestre que la sucesión es convergente.
c) Calcule lı́m an .
n→∞
19.
a) Demuestre que:
1
1
≤ ln(n + 1) − ln(n) ≤
n+1
n
1 1 1
1
b) Si an = 1 + + + + · · · + − ln(n) demostrar que la sucesión {an }n∈N es
2 3 4
n
decreciente
manera que existe un número
y que cada an ≥ 0. Se sigue de esta
1
1 1 1
δ = lı́m 1 + + + + · · · + − ln(n)
n→∞
2 3 4
n
20.
ex − 1
a) Para todo x > 0, sea f (x) = x − log
, y f (0) = 0. Justifique que
x
lı́m f (x) = 0.
n→∞
Estudie el signo de la derivada de f para probar que para x > 0 se verifican
las desigualdades:
0 < log
ex − 1
<x
x
b) Dado a > 0, se define:
x1 = a,
xn+1 = log
e xn − 1
; n∈N
xn
Justifique que la sucesión {xn }n∈N , así definida es convergente a 0.