´ALGEBRA

ÁLGEBRA
Ejercicio 1
(50 minutos)
Examen final
21 de junio de 2010
1.– En un mundial de fútbol participan 32 equipos: 13 europeos, 8 americanos, 6 africanos, 3 asiáticos y 2
oceánicos.
(a) ¿De cuántas maneras distintas pueden formarse ocho grupos de 4 equipos cada uno?.
Suponiendo que importase el orden en que formamos los grupos, podemos razonar ası́:
- Para el ”primer” grupo escogemos cuatro equipos de entre los 32. Obviamente no nos importa el
orden de elección.
Se trata por tanto de combinaciones sin repetición de 32 elementos tomados de 4 en
4: C32,4 = 32
.
4
- Para el ”segundo” podemos escoger otros cuatro entre los restantes: C28,4 = 28
4 .
- Para el ”tercero” otros cuatro entre los restantes: C28,4 = 24
4 .
- Y ası́ sucesivamente, quedando en total:
32 28 24 20 16 12 8 4
32!
.
=
(4!)8
4
4
4
4
4
4
4 4
Ahora bien, realmente da igual en que orden vayamos escogiendo los grupos; por tanto cada
configuración la hemos repetido tantas veces como formas de ordenar los ocho grupos, es decir, P8 = 8!
veces. Por tanto en definitiva el número de maneras distintas de agruparlos en ocho grupos serı́a:
32!
.
(4!)8 8!
(b) ¿De cuántas maneras distintas pueden formarse ocho grupos de 4, si no puede haber dos o más equipos
americanos en el mismo grupo?.
Como hay 8 equipos americanos, y no puede haber dos o más en un mismo grupo, cada uno de ellos
ha de ir en un grupo diferente Sólo hemos de contar por tanto las distintas formas de elegir quien
acompaña a cada uno de ellos:
- Para escoger los que acompañan
al primer equipo americano, escogemos tres equipos de entre los
32 − 8 = 24: C24,3 = 24
.
3
- Para escoger los que acompañan al segundo equipo americano, escogemos tres equipos de entre los
restantes 32 − 8 − 3 = 21: C21,3 = 21
3 .
- Etcétera...
Nos queda:
24 21 18 15 12 9 6 3
24!
=
.
(3!)8
3
3
3
3
3
3 3 3
(c) ¿De cuántas maneras distintas pueden formarse ocho grupos de 4, si todos los asiáticos se ubican en el
mismo grupo?.
Para el grupo de asiáticos sólo tenemos que decidir que equipo no asiático los acompaña: 29 opciones.
Ahora debemos de formar siete grupos con los 28 equipos restantes. Argumentamos como en el primer
apartado y queda:
28 24 20 16 12 8 4
29!
4
4
4
4
4
4 4
=
.
29 ·
7!
(4!)7 7!
(0.9 puntos)
2.– Dado n ∈ N , sea Jn ∈ Mn×n (R) una matriz cuadrada con todos los elementos iguales a 1; sea
In ∈ Mn×n (R) la matriz identidad de orden n. Definimos:
An = aJn + bIn , con a, b ∈ R.
(a) Calcular traza(An ).
Se tiene:
traza(An ) = traza(aJn + bIn ) = a traza(Jn ) + b traza(In ) = an + nb = n(a + b),
ya que traza(Jn ) = traza(In ) = n, porque son matrices de orden n con unos en la diagonal; la traza es
la suma de los elementos de la diagonal, en su caso, 1 + . . . + 1 = n.
| {z }
n
(c) Calcular det(An ).
La matriz An es:
a+b
 a

a
An = 
 .
 ..

a

a
a
...
a
a+b
a
...
a 

a
a + b ...
a .
..
..
.. 
..
.
.
.
. 
a
a
... a + b
Entonces, utilizaremos las propiedades de los determinantes. Sumamos todas las filas a la primera:
na + b
a
det(An ) = a
...
a
na + b
a+b
a
..
.
a
na + b . . . na + b a
...
a a + b ...
a .
..
.
..
.. .
.
a
... a + b Restamos la primera columna a todas las demás:
na + b 0 0 . . . 0 a
b 0 ... a
0 b ... 0.
det(An ) = a
.. .. . .
.
...
. .. . .
0
0 0 ... b Nos queda una matriz triangular inferior; el determinante es el producto de los términos de la diagonal:
det(An ) = (an + b)bn−1 .
(b) Calcular para que valores de a, b se anula det(A4 ).
Aplicando (c) queda:
det(A4 ) = (4a + b)b3 .
Este producto se anula si:
- 4a + b = 0, es decir, b = −4a,
- o bien, si b3 = 0, es decir, b = 0.
(1 puntos)
3.– Sea A ∈ M2×2 (R). Razona la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
(a) Si rango(A) = 1 entonces A es equivalente por filas a
FALSO. Por ejemplo la matriz A =
0
0
1
0
1
0
0
.
0
tiene rango uno pero no es equivalente por filas a la dada.
(b) Si rango(A) = 2 entonces A es equivalente por columnas a
1
0
0
1
VERDADERO. En genera toda matriz Mn×n (R) inversible es equivalente por filas y por columnas a
la identidad. En nuestro caso, A es una matriz cuadrada de orden 2 que tiene rango 2 y entonces es
inversible.
1 0
(c) Si traza(A) = 0 entonces A no es equivalente a
.
0 1
1
0
FALSO. Por ejemplo la matriz A =
tiene traza nula pero es equivalente a la anterior. Esto
0 −1
es debido a que matrices de la misma dimensión y mismo rango siempre son equivalentes. En nuestro
caso ambas son cuadradas de orden 2 y rango 2.
(0.6 puntos)